Model spotřeby soukromého sektoru (domácností)

Makroekonomická analýza – přednáška 2
1
Model spotřeby soukromého sektoru (domácností)
Předpoklady
•
•
•
•
•
•
Existují pouze domácnosti, tj. uvažujeme pouze spotřebu, neexistují žádné investice.
Existuje pouze jeden typ spotřebního statku.
Existují pouze dvě období – „dnes“ a „zítra“. První období reprezentuje současnost,
druhé období reprezentuje celou budoucnost. Neexistuje žádné období před
„dneškem“, budeme tedy předpokládat, že počáteční bohatství (počáteční aktiva)
soukromého sektoru jsou nulová.
Zkoumaná ekonomika má vlastnosti malé otevřené ekonomiky: reálná úroková míra je
determinována okolním světem na úrovni r, ekonomika může (jako celek) vstupovat
do úvěrových vztahů se zahraničím.
Reálná úroková míra je vyjádřena jako množství spotřebních statků, které je nutno
zaplatit zítra za jeden statek vypůjčený dnes (navíc nad splátku jistiny). Čím je
determinována reálná úroková míra r, to není zatím podstatné a bude to odvozeno
později.
Domácnosti mají v každém období jistý reálný příjem Y1 , resp. Y2 , reálný příjem je
vyjádřen jako množství spotřebních statků. Původ tohoto přijmu je pro tuto chvíli
nepodstatný.
Existuje tzv. reprezentativní domácnost, což znamená, že víme-li, jak (a proč) se
chová tato domácnost, můžeme z toho odvodit chování všech domácností, tj.celé
ekonomiky. Podmínky existence (resp. důkaz existence) reprezentativního
ekonomického subjektu jsou netriviální a přesahují rámec tohoto předmětu.
Tvorba očekávání
Model spotřeby je postaven na dynamických (intertemporálních, mezičasových) základech ekonomické subjekty berou při rozhodování o svém chování do úvahy nejen současnost, ale i
celou očekávanou budoucnost. Tento princip je uváděn jako hypotéza permanentního
důchodu nebo životního cyklu.
Pro takový model je nutné nadefinovat způsob, jakým tvoří ekonomické subjekty svoje
očekávání o budoucnosti.
Označíme Yt e+1|t očekávání vytvořené v čase t o hodnotě veličiny Y v čase t+1.
Všeobecně přijímanou hypotézou jsou v současné makroekonomii tzv. racionální očekávaní,
která lze shrnout jako
Yt e+1|t − Yt +1 = ε t ,
kde ε t je náhodná veličina s nulovou střední hodnotou, konečným rozptylem a sériově
nekorelovaná, tj.
Eε t = 0 Dε t < ∞
Eε t ε t −i = 0 pro i = 1,2,...
Po ekonomické stránce to znamená, že ekonomické subjekty nedělají při tvorbě svých
očekávání žádnou systematickou chybu, „v průměru se strefují“ do skutečných hodnot, plus
minus nějaké konečně velké odchylky. Chyba, kterou udělali včera v očekávaní dnešní
hodnoty, nemá žádný vliv na chybu, kterou udělají dnes ve svých očekáváních o zítřejší
hodnotě (jednotlivé chyby z různých období jsou nekorelované).
Makroekonomická analýza – přednáška 2
2
Jako zjednodušení, které odbourává stochastickou (náhodnou) složkou, se často používá tzv.
dokonalá předpověď (perfect foresight) ve tvaru Yt e+1|t = Yt +1 , tj. ekonomické subjekty tvoří
svoje očekávaní bez chyby, disponují dokonalou předpovědí budoucnosti. V principu dávají
racionální očekávání a dokonalá předpověď totožné výsledky.
V teoretickém dovozování modelu budeme používat nestochastickou dokonalou předpověď.
Rozpočtové omezení soukromého sektoru
Jestliže připustíme existenci kladných či záporných úspor v prvním období Y1 − C1 , které jsou
půjčeny zbytku světa nebo naopak vypůjčeny od zbytku světa za danou úrokovou míru r, a
jestliže všechny závazky a pohledávky jsou nakonec (tj. nejpozději v posledním, tj. druhém
období) vyrovnány, můžeme pro spotřebu ve druhém období psát
C 2 = Y2 + (Y1 − C1 )(1 + r )
Po úpravě je rozpočtové omezení soukromého sektoru
C
Y
C1 + 2 = Y1 + 2 = Ω
1+ r
1+ r
tj. diskontovaná celková spotřeba (současná hodnota všech přítomných a očekávaných
spotřeb) se musí rovnat diskontovanému celkovému příjmu (současné hodnotě všech
přítomných a očekávaných příjmů). Pravou stranu nazveme bohatstvím soukromého sektoru a
označíme Ω . Rozpočtové omezení je graficky znázorněno v obr.1
Přímka rozpočtového omezení
• vždy prochází bodem daným souřadnicemi Y1 , Y2
• má sklon − (1 + r )
Bod A na obr.1 odpovídá situaci Y1 = C1 , Y2 = C 2 , bod B odpovídá kladným úsporám
v prvním období a tedy zvýšené spotřebě ve druhém období. Bod C odpovídá zvýšené
současné spotřebě a adekvátně snížené budoucí tak, aby bylo možno splatit dluh z prvního
období. Vzdálenost 0 D udává bohatství soukromého sektoru Ω .
Makroekonomická analýza – přednáška 2
3
Na obr.2 je znázorněn tzv. odříznutí od úvěru (credit rationing), domácnosti nemají možnost
si půjčit na vyšší současnou spotřebu, jejich rozpočtové omezení je dáno podmínkami
C
C1 + 2 = Ω
1+ r
Y1 − C1 ≥ 0
Užitková funkce
Do užitkové funkce domácností U vstupuje současná a budoucí spotřeba. Budeme
předpokládat, že
• současná spotřeba stejného množství spotřebních statků je ceněna (alespoň trochu)
více než spotřeba v budoucnosti (ekonomické subjekty jsou netrpělivé),
• užitková funkce je tzv. časově separovatelná, tj. míra užitku ze současné spotřeby není
ovlivněna velikostí budoucí spotřeby,
• mezní užitek je kladný, ale klesající (jak ze spotřeby současné tak budoucí).
Všechny tyto předpoklady lze shrnout do analytického tvaru užitkové funkce
u (C 2 )
U (C1 , C 2 ) = u (C1 ) +
1+ ρ
u ′(⋅) > 0 , u ′′(⋅) < 0
ρ >0
kde ρ je faktor vyjadřující netrpělivost (míru upřednostňování současné před budoucí
spotřebou; vyšší netrpělivost znamená vyšší ρ ).
Graficky lze užitkovou funkci zachytit soustavou izokvant, tj. čar spojujících místa, kde
nabývá užitková funkce danou (konstantní) hodnotu. Budeme předpokládat obvyklé konvexní
izokvanty, viz.obr.3.
Řešení optimalizačního problému
Soukromý sektor bude hledat takové rozložení spotřeby do současnosti a do budoucnosti, aby
mu při daném rozpočtovém omezení přineslo co nejvyšší užitek.
Formálně vyjádřeno, řeší optimalizační problém
⎡
u (C 2 ) ⎤
max U (C1 , C 2 ) , tj. max ⎢u (C1 ) +
1 + ρ ⎥⎦
⎣
Makroekonomická analýza – přednáška 2
4
Na množině bohatství soukromého sektoru
C1 +
C2
=Ω
1+ r
u (C 2 )
C
⎡
⎤
− λ ⎢C1 + 2 − Ω ⎥
1+ ρ
1+ r
⎣
⎦
Pro ekonomickou interpretaci stačí vyjádřit optimalizační podmínky prvního řádu vzhledem k
C1 a C 2 :
∂L
∂u
=
−λ = 0
∂C1 ∂C1
∂L
1 ∂u
1
=
−λ
=0
∂C 2 1 + ρ ∂C 2
1+ r
Dosazením λ obdržíme
1 ∂u
1 ∂u
=
1 + ρ ∂C 2 1 + r ∂C1
Za podmínky, že faktor netrpělivosti ρ je roven reálné úrokové míře r (což je docela
přirozená podmínka, která bude objasněna později), dostáváme
∂u
∂u
=
, neboli C 2 = C1
∂C 2 ∂C1
Soukromý sektor se tedy snaží “vyhladit” svoji spotřebu přes všechna uvažovaná období;
např. ekonomika s nízkým současným příjmem, ale vysokým (očekávaným) budoucím, se
zadlužení, spotřebuje dnes o něco více, a v budoucnu dluh splatí, tj. omezí svoji spotřebu.
Obvyklé grafické řešení optimalizačního problému je na obr.4.
Příslušný langrangián je
L = u (C1 ) +
1
1
≠
a případ, kdy očekávání budoucího příjmu Y2 není dokonalá
1+ ρ 1+ r
předpověď, nýbrž racionální očekávání, bude probrán na cvičení.
Případ, kdy
Makroekonomická analýza – přednáška 2
5
Vliv změny bohatství Ω na spotřebu
Vliv změny Ω na výši současné a budoucí spotřeby odvodíme opět z optimalizačních
1
1
=
. První dvě podmínky
podmínek prvního řádu za zjednodušujícího předpokladu
1+ ρ 1+ r
už byly shrnuty do rovnice
C 2 = C1
třetí podmínkou je
C
∂L
= C1 + 2 − Ω = 0
∂λ
1+ r
tj. třetí podmínka udává přímo rozpočtové omezení
C
C1 + 2 = Ω
1+ r
Ke zvýšení Ω může při dané r dojít
• zvýšením současného příjmu Y1 ,
• zvýšením očekávaného budoucího příjmu Y2 ,
• kombinací obou.
V každém případě je za uvedených tří optimalizačních podmínek zřejmé, že současná i
budoucí spotřeba vzrostou, jestliže Ω vzroste, tedy spotřební funkci soukromého sektoru
můžeme psát jako
∂C
>0
C 2 = C1 = C (Ω ) ,
∂Ω
Vliv změny reálné úrokové míry r na spotřebu
Vliv reálné úrokové míry je nejednoznačný, závisí na tom, zda je soukromý sektor v prvním
období věřitelem nebo dlužníkem (zda má kladné nebo záporné úspory). Analytické odvození
je poněkud náročnější a proto jej vynecháme.
Optimalizace v případě odříznutí od úvěru
Tento případ je okomentován pouze graficky. Odříznutí od úvěru může za jistých podmínek
samozřejmě ovlivnit optimální úroveň současné a budoucí spotřeby (jisté kombinace se
stanou nedostupné) - viz. Obr.5. V případě dostupného úvěru by byla optimální kombinace
C1 a C 2 v bode E , při odříznutí od úvěru je nejlepší dostupnou kombinací bod F . Dnešní
spotřeba C1 je tak určena dnešním příjmem Y1 a je nižší než v případě dostupného úvěru.