ALGEBRA

ALGEBRA
Z
apisky z predn
asky
1 Algebry, homomorsmy a kongruence
denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : AN
n-arn operace, n 2 N0
! A rekneme, ze je
terminologicka poznamka
0-arn operace: A0 ! A, A0 = fg, je to vlastne vyber prvku
1-arn operace - unarn
2-arn operace - binarn
3-arn operace - ternaln
denice Necht' A je mnozina, i ; i 2 I a to i nekonecna; jsou (ni -arn)
operace. Pak A(i j i 2 I ) nazveme (universaln) algebrou.
prklady
N (+; )
Z (+; ; )
Q n f0g(; =)
<(+; ; )
<(+; ; p )
denice Necht' A je mnozina s n-arn operac a B A. R ekneme, ze B je
uzavrena na operaci , pokud 8b1 ; :::; bn 2 B plat, ze (b1 ; :::; bn ) 2 B . Je-li
A(i ; i 2 I ) algebra a B A, pak rekneme, ze B je podalgebra A(i ; i 2 I ),
pokud je B uzavrena na vsechny i ; i 2 I
prklady
N (+; ) - k 2 B , potom kN = fknjn 2 N g jsou podalgebry N (+; )
Overen: Necht' b1 ; b2 2 kN
1. b1 + b2 2 kN
2. b1 b2 2 kN
Z (+; ; 0) ma podalgebry kZ = fk rjr 2 Z g (a zadne jine).
Je dulezite si rozmyslet uzavrenost na nularn operaci 0
1
Vektorovy prostor U (+; tjt 2 T; 0) nad telesem T
t : U ! U , u ! u t
W je podprostor U , W je podalgebra U (+; t; 0)
A(i ji 2 I ) je algebra, potom A je podalgebra A
Pokud zadna operace algebry A nen nularn, potom ; je podalgebrou A
skorodenice Je-li A(i ji 2 I ) algebra a B jej podalgebra, pak i =
i dB ni : B ni ! B - mame prirozene danou strukturu na B
prklady
Q(+; ), Z Q je podalgebra algebry Q(+; ) restrikce
! Z (+; )
Necht' Mn (T ) jsou ctvercove matice radu n nad telesem T . Vezmeme algebru M2 (<)(), potom diagonaln matice D(<)() tvor podalgebru M2 (<)().
poznamka 1.1
1. Necht' A je mnozina s operac
em podmnozin
T a necht' Aj , j 2 J je syst
A uzavrenych na . Pak j 2J Aj je opet uzavrena na T
2. Necht' A(i ji 2 I ) je algebra a Aj ; j 2 J jsou jej podalgebry. Pak j2J Aj
je podalgebra
d
ukaz
1. je n-arn operace
8j 2 j : (a1 ; a2 ; :::; an ) 2
\
j 2J
Aj Aj
T
Podle predpokladu (a1 ; :::; an ) 2 Aj 8j ) (a1 ; :::; an ) 2 Aj
2. Aj jsou uzav
a na i 8i 2 I; j 2 J
Tren
Podle 1. je j2J Aj uzavrena na i 8i 2TI , tedy je uzavrena na vsechny
operace na algebre A(i ji 2 I ), a proto je j2J Aj podalgebra A(i ji 2 I )
QED
denice Necht' A a B jsou mnoziny s n-arn operac a f : A ! B . R ekneme,
ze f je slucitelne s , pokud 8a1 ; a2 ; :::; an 2 A
B (f (a1 ); f (a2 ); :::; f (an )) = f (A (a1 ; :::; an ))
denice R ekneme, ze algebra A(i ji 2 I ) a B (i ji
pokud i na A i na B jsou stejne arity 8i 2 I
2
2 I ) jsou stejneho typu
denice Necht' A(i ji 2 I ) a B (i ji 2 I ) jsou algebry stejneho typu. Pak
zobrazen f : A ! B je homorsmus, pokud je f slucitelna se vsemi i .
poznamka 1.2
1. Necht' A, B , C jsou mnoziny s n-arn operac , f : A ! B , g : B ! C
jsou zobrazen slucitelna s . Pak g f : A ! C je slucitelne s . Je-li f
bijekce, potom f 1 je opet slucitelne s .
2. Necht' A(i ji 2 I ), B (i ji 2 I ), C (i ji 2 I ) jsou algebry stejneho typu a
f : A ! B , g : B ! C jsou homomorsmy. Pak g f : A ! C je opet
homomorsmus. Je-li navc f bijekce, pak f 1 je take homomorsmus.
d
ukaz
1. Vezmeme a1 ; ::::; an 2 A
g(f ((a1 ; :::;n ))) sluc:=f s g((f (a1 ); :::; f (an ))) =
sluc: g s = (g(f (a1 )); :::; g(f (an )))
f bijekce ... f 1 je zobrazen B ! A, b1 ; b2 ; :::; bn 2 B a chceme dokazat
f 1 (B (b1 ; :::; bn )) =? A (f 1 (b1 ); :::; f 1 (bn ))
= B f f 1 (b1 ) ; :::; f f 1 (bn )
f A f 1 (b1 ); :::; f 1 (bn ) def:
Tedy vezmeme
f 1 (b1 ); :::; f 1 (bn ) = f 1 f A b1 ; :::; f 1 (bn )
Podle radku pred tm se toto rovna
f 1 ((b1 ; :::; bn ))
Tedy i inverzn zobrazen je slucitelne s .
2. Podle prvnho bodu je g f slucitelne s i 8i 2 I , tedy g f je homomorsmus.
f 1 je podle bodu 1. slucitelne se vsemi i , a tedy je take homomorsmus.
QED
denice Jsou-li A(i ji 2 I ) a B (i ji 2 I ) algebry stejneho typu a f : A ! B
je bijektivn homomorsmus, pak mluvme o isomorsmu. A a B jsou isomorfn
algebry, pokud mezi nimi existuje isomorsmus.
poznamka Dve isomorfn algebry maj "stejne algebraicke vlastnosti" (tj,
logicke operace, mnozinove operace a vlastnosti algeber)
3
poznamka 1.3
1. Necht' A a B jsou mnoziny s operac a C A; D B jsou uzavrene na
. Je-li f : A ! B slucitelne s , pak f (C ) je (opet) uzavrene na v B
a f 1 (D) = fa 2 Ajf (a) 2 Dg je uzavrena na v A
2. Necht' A(i ji 2 I ) a B (i ji 2 I ) jsou algebry stejneho typu a C A,
D B podalgebry prslusnych algeber. Je-li f : A ! B homomorsmus,
pak f (C ) B a f 1 (D) A jsou podalgebry
d
ukaz
1. je n-arn operace, je na ni f (C ) uzavrena?
b1 ; ::; bn 2 f (C ) 9a1 ; :::; an 2 C : f (ai ) = bi 8i 2 I
(b1 ; :::; bn ) = (f (a1 ); :::; f (an )) = f ((a1 ; :::; an ))
Vme, ze C je uzavrena na , tedy (a1 ; :::; an ) 2 C , f ((a1 ; :::; an ))
f (C )
2
Dale
a1 ; :::; an 2 f 1 (D) f (ai ) 2 D
Lez f ((a1 ; :::; an )) v mnozine D?
f ((a1 ; :::; an )) = (f (a1 ); :::; f (an ))
|
{z
}
2D
To mus z uzavrenosti D na lezet v D, tedy (a1 ; :::; an ) 2 f 1 (D)
2. stac aplikovat 1. na i 8i
QED
prklady
1. linearn zobrazen f : U ! V , kde U; V jsou vektorove prostory nad
telesem T , jsou homomorsmy algebry U (+; tjt 2 T ) a V (+; tjt 2 T )
2. ctvercove matice nad telesem T - Mn (T ). Determinant : Mn (T ) ! T je
homomorsmus algebry Mn (T )() a T ()
3. n : Z ! Zn : n (k) = k mod n.
Pak n je homomorsmus algebry Z (+; ) do algebry Zn (+; )
denice R ekneme, ze je relace na mnozine A, pokud A A.
Necht' je relace na A, potom
= f(b; a) 2 A Aj(a; b) 2 g je opacna relace
+ = f(a; b) 2 A Aj9a1 ; :::; an 2 A : a1 = a; an = b; (ai ; ai+1 ) 2 i =
1; :::; n 1g je transitivn obal
id = f(a; a) 2 A Aja 2 Ag je identita
4
denice R ekneme, ze relace je
reexivn, pokud id symetricka, pokud transitivn, pokud + ekvivalence, pokud je reexivn, symetricka a transitivn relace.
denice Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak mnozina A= =
f[a] ja 2 Ag, kde [a] = fb 2 Aj(a; b) 2 g, nazyvame faktor A podle poznamka 1.4 Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak A= tvor
rozklad.
d
ukaz
A=
[
f[a] ja 2 Ag
a 2 [a] - reexivita, ale ony se prekryvaj
x 2 [a] \[b] ) (a; x) 2 ; (b; x) 2 g ) f(x; a) 2 ; (x; b) 2 g ) (a; b) 2 ; (b; a) 2 (a; b) 2 , [b] = fy 2 Aj(b; y) 2 g
8y 2 [b] (a; y) 2 ) y 2 [a]
tj. [b] [a] symetricky [a] [b] , tedy [a] = [b] . Obsahuj-li 2 trdy
spolecny prvek, potom splyvaj, jestlize neobsahuj ani jeden prvek, pak jsou
disjunkntn
QED
poznamka 1.5 Necht' fBi ji 2 I g je rozklad mnoziny A. Pak relace na A
denovana predpisem (a; b) 2 def
9i 2 I : a; b 2 Bi je ekvivalence a A= =
fBi ji 2 I g
d
ukaz
1. je ekvivalence
a 2 Bi pro nejake i 2 I ) (a; a) 2 - reexivita
(a; b) 2 ) 9i a; b 2 Bi ) (b; a) 2 - symetrie
(a; b) 2 &(b; c) 2 ) 9i; j a; b 2 Bi &b; c 2 Bj . Protoze to je
disjunktn rozklad, Bi = Bj , a tedy a; c 2 Bj - transitivita
5
2. Dokazeme A = fBi ji 2 I g
""
[a] a 2 Bi def:
, [a] = fb 2 Ajb 2 Bi g = Bi
[a] Bi
""
Bi [a]
vezmu libovolny prvek a zjistm, ze to dela rozkladovou trdu
QED
denice Necht' f : A ! B je zobrazen. Pak jadrem f nazveme relaci ker f
danou predpisem (a1 ; a2 ) 2 ker f def
f (a1 ) = f (a2 ). Je-li ekvivalence na
mnozine A, pak o zobrazen : A ! A= dane formul (a) = [a] rekneme,
ze je to prirozena projekce podle poznamka 1.6 Necht' f : A ! B je zobrazen a je ekvivalence na A. Pak
plat
1. ker f je ekvivalence
2. f je proste , ker f = id
3. ker = 4. zobrazen g : A= ! B s vlastnost g = f existuje prave tehdy, kdyz
ker f
d
ukaz
1.
2.
reexivita: f (a) = f (a) ) (a; a) 2 ker f
symetrie: f (a1 ) = f (a2 ); f (a2 ) = f (a1 ), tj. (a1 ; a2 ) 2 ker f )
(a2 ; a1 ) 2 ker f
transitivita: (a1 ; a2 ) 2 ker f ) f (a1 ) = f (a2 ) = f (a3 ) ) (a1 ; a3 ) 2
ker f
a1 6= a2 ) f (a1 ) 6= f (a2 ) ) (a1 ; a2 ) 2= ker f
a stejne tak opacne
6
3.
(a1 ; a2 ) 2 ker , |{z(a1}) = |{z(a2}) , (a1 ; a2 ) 2 [a1 ]
[a2 ]
Predpokladame existenci g : g = f , tj. 8a 2 A g (a) = f (a)
| {z }
) g([a] ) = f (a)
Predpokladejme a; b 2 ) [a] = [b] . Pak
f (a) = g ([a] ) = g ([b] ) = f (b)
Tedy a, b lez v jadru
4. ")"
[a]
"("
Predpokladame ker f
Denujeme
g ([a] ) = f (a)
Je tato denice korektn
[a] = [b] ) (a; b) 2 ker f
...prvky se slepuj podle denice jadra f (a) = f (b)
g ([a] ) = f (a) = f (b) = g ([b] )
Zrejme g = f
QED
prklad Deterministicky algoritmus f , A je mnozina vstupnch hodnot, B je
mnozina moznych vystupnch hodnot f : A !f B , Potom ker f je zcela prirozene
denovana ekvivalence: ztotoznuje vstupy, ktera daj stejny vysledek
denice Necht' je n-arn operace na A, je ekvivalence na A. R ekneme, ze
je slucitelna s , pokud (ai ; bi ) 2 i = 1; :::; n ) (a1 ; :::; an )(b1 ; :::; bn )
Je-li A(i ; i 2 I ) algebra a je ekvivalence na A, pak je kongruence na A,
pokud je slucitelna s i ; 8i 2 I
poznamka 1.7
1. Necht' A; B jsou mnoziny, je operace na A; B a f je zobrazen A ! B
slucitelne s , Pak ker f je slucitelna s 2. Necht' A; B jsou algebry stejneho typu a f je homomorsmus A ! B .
Potom ker f je kongruence
7
d
ukaz
1.
tj.
(ai ; bi ) 2 ker f ) f (ai ) = f (bi ) 8i = 1; :::; n
f ((a1 ; :::; an )) = (f (a1 ; :::; an )) =
= (f (b1 ; :::; bn )) = f ((b1 ; :::; bn ))
((a1 ; :::; an ); (b1 ; :::; bn )) 2 ker f
Podle poznamky 1.6(1.) je ker f ekvivalence
2. plyne z 1.
QED
TA 1.8
VE
1. Necht' je ekvivalence na A, je operace na A. Pak je slucitelna s prave kdyz je slucitelna s 2. Necht' je ekvivalence na algebre A. Pak je kongruence , je homomorsmus
denice k 1.8 Necht' A ke mnozina s ekvivalenc a relac . Denujeme
operaci na A=
([a1 ] ; :::; [an ] ) = [(a1 ; :::; an )]
Na mnozine A= denujeme stejnym zpusobem algebru stejneho typu jako na
A za predpokladu, ze A je algebra.
Koreknost denice
(a1 ; b1 )
..
[a1 ] = [b1 ] ; :::; [an ] = [bn ] )
! [(a1 ; :::; an )] = [(b1 ; :::; bn )]
.
(an ; bn )
neboli je slucitelne s , pro algebry je denice korektn prave tehdy, kdyz je
kongruence.
D
ukaz vety 1.8
je slucitelna s , potom je dobre denovana na A= .
??? Je : A ! A= slucitelna s ???
")"
((a1 ; :::; an )) def
= [(a1 ; :::; an )] = ([a1 ] ; :::; [an ] ) = ( (a1 ); :::; (an ))
tj. je slucitelne s 8
"("
Je-li slucitelne s ... ker = , potom je korektne denovano, tedy
ker je slucitelne s ) je slucitelne s ... a druhy bod se dokaze pouzitm prvnho bodu na vsechny operace algebry.
QED
denice Grupoidem nazveme algebru G() s binarn operac . Prvek e nazveme
neutralnm prvkem grupoidu G(), pokud e g = g e = g 8g 2 G
R ekneme, ze algebra M (; e) je monoid, pokud je asociativn binarn operace
a e je neutraln prvek M ()
prklady
X 6= ;...mnozina znaku, M (X ) mnozina slov na abecede X
operace x1 x2 :::xn y1 :::ym = x1 :::xn y1 :::ym
e je prazdne slovo
Potom M (X )(; e) je monoid
X 6= ;, T (X ) = ff : X ! X jf zobrazeng, potom T (X )(; idX ) je monoid
T -telesom Mn (T )-ctvercove matice nad T . Mn (T )(; In ) je monoid
det : Mn (T ) ! T je homomorsmus monoidu Mn (T )(; In ) a T (; 1)
Poznamka 1.9 Necht' G() je grupoid. Pak na G existuje nejvyse jeden
neutraln prvek.
D
ukaz Pro spor necht' f; g 2 G jsou 2 r
uzne neutraln prvky.
Potom
e=ef =f
QED
poznamka 1.10 Necht' M (; e) je monoid, necht' a; b; c 2 M tak, ze e = a b =
c a, pak b = c
d
ukaz
c = c e = c (a b) asoc:
= (c a)b = e b = b
QED
denice Je-li M (; 1) monoid, potom prvek m 1 nezveme inverznm prvkem,
pokud m m 1 = m 1 m = 1. Prvek je invertibiln, existuje-li j nemu inverzn
prvek.
9
prklady
M (X ) obsahuje pouze jeden invertibiln prvek, a to prazdne slovo.
v T (X ) jsou invertibiln prave bijekce
X nekonecna... 9f 2 T (X ) pro nej najdeme nejake g 2 T [x] : g f 2 Id,
ale f nen invertibiln
naprklad
f : N ! N n ! 2n
n
g:N !N n!d e
2
g(f (x)) = Id, ale f (g(x)) nen na, protoze f nen na.
denice Podmonoidem nazveme podalgebru monoidu M (; 1)
poznamka 1.11 Necht' M (; 1), pak M mnozina vsech invertibilnch prvk
u
tvor podmonoid, navc kazdy inverzn prvek k nejakemu invertibilnmu prvku
je tez invertibiln
D
ukaz
M = fm 2 M j9n 2 M : n m = m n = 1g
1 1 = 1, tj. 1 je inverzn sama k sobe ) 1 2 M (uzavrenost na operaci
"1")
Necht' a; b 2 M , tj. 9c; d 2 M
ac=ca=1
bd=db=1
Tedy
(a b) (d c) asoc:
= a (b d) c = |{z}
a 1 c = a c = 1
a
(d c) (a b) = d (c a) b = d b = 1
Tedy (a b) 2 M a tm jsme overili uzavrenost na m 2 M 9n n m = m n = 1
neboli m je inverznm prvkem pro n
QED
denice R ekneme, ze G(; 1 ; 1) je grupa, pokud G(; 1) je monoid a 1 je
unarn operace inverznho prvku
1 : G ! G 8g 2 G : g g 1 = g 1 g = 1
10
poznamka 1.12 Necht' M (; 1) je monoid, M mnozina vsech invertibilnch
prvku,
dM : M M ! M m dM n = m n m; n 2 M a 1 prirad kazdemu prvku z M inverz. Potom M (dM ; 1 ; 1) je grupa.
d
ukaz z denice grupy a poznamky 1.11
prklady
T (x)(; Id) - monoid, podle 1.12,
(T (x)) = S (x) vsechny bijekce, pak S (x)(; 1 ; Id) je grupa, specielne
S (f1; :::; ng) jsou permutace na f1; :::; ng
Mn (T )(; In )
GLn (T )(; 1 ; In ) je grupa, kde GLn (T ) jsou invertibiln matice nad telesem
T
denice Necht' G(; 1 ; 1) je grupa. R ekneme, ze H G je podgrupa grupy
G(; 1 ; 1), pokud H je podalgebra algebry G(; 1 ; 1)
R ekneme, ze podgrupa H je normaln, plat-li 8g 2 G 8h 2 H : g h g 1 2 H
R ekneme, ze grupa je komutativn, je-li jej binarn operace komutativn
poznamka 1.13 Vsechny podgrupy komutativn grupy jsou normaln
d
ukaz Necht' G(; 1 ; 1) je komutativn grupa, H je podgrupa G, g 2 G,
h2H
g h g 1 komut:
= gg 1h=1h=h2H
QED
prklad
S (f1; 2; 3g) (; 1 ; Id)
1 = (23) 2= H , tj. H nen normaln
fId; (12)g je podgrupa ... (13) (12) |(13)
{z }
(31)
TA 1.14 Necht' G(; 1 ; 1) je grupa. Pak je kongruence na grupe G(; 1 ; 1)
VE
prave tehdy, kdyz
[1] je normaln podgrupa
(g; h) 2 , g 1 h 2 [1]
11
d
ukaz
")"
[1] je podgrupa
{ (1; 1) 2 - reexivita ) 1 2 [1] - uzavrenost na 1.
{ h 2 [1] tzn. (1; h) 2 , a protoze je slucitelna s 1
0
@
1
1
1
|{z}; h
1
1 A 2 ) h 1 2 [1]
- uzavrenost na 1
{ h1 ; h2 2 [1] tzn. (1; h1 ) 2 a (1; h2 ) 2 , a protoze je slucitelna s
, tedy
0
1
@
11
|{z}; h1
1
h2 A 2 ) h1 h2 2 [1]
- uzavrenost na [1] je normaln
Necht' g 2 G, h 2 [1] , tedy (1; h) 2 .
je ekvivalence, tedy (g; g) 2 a (g 1 ; g 1 ) 2 Vme, ze je slucitelna s , takze
(g 1; g h) 2 &(g| 1{z g }1 ; g h g 1 ) 2 1
Tedy
g h g 1 2 [1]
(g; h) 2 , (g1 ; g 1 ). Protoze je slucitelne s (|g {z1 g}; g 1 h) 2 ) g 1 h 2 [1]
=1
g 1 h 2 [1] tj. (1; g 1 h) 2 , ale je kongruence, takze (g; g) 2 , a
protoze je slucitelna s (g 1; g g 1 h) = (g; h) 2 "("
H je normaln podgrupa
def
: (g; h) 2 g 1 h 2 H , kazda podgrupa je uzavrena na 0-arn operaci,
tedy 1 2 H
? ekvivalevnce?
12
{ (reexivita) g 1 g = 1 2 H ) (g; g) 2 { (symertie) (g; h) 2 def
) g 1 h 2 H , pak (g 1 h) 1 2 H , kvuli
uzavrenosti na 1 . (g 1 h) 1 = h 1 (g 1 ) 1 = h 1 g def
) (h; g) 2 def
{ (transitivita) (g; h) 2 ; (h; r) 2 ) g 1 h 2 H; h 1 r 2 H , a
protoze H je uzavrena g 1 r = (g 1 h) (h 1 r) 2 H def
) (g; r) 2 |
{z
1
}
?slucitelnost se vsemi operacemi?
{ (1; 1) 2 , nebot' je reexivn
{ (g; h) 2 def 1
) g h 2 H H norm
) aln{ g (g 1 h)g 1 = hg 1 = (h 1 ) 1 g 1 2 H
) (h 1 ; g 1 ) 2 ) (g 1 ; h 1 ) 2 Tedy je slucitelne s 1
{ (g1 ; h1 ); (g2 ; h2 ) 2 def 1
) g1 h1 ; g2 1 h2 2 H
H normaln{
) h 2 g 2 1 = g2 g 2 1 h 2 g 2 1 2 H
H normaln{ 1
) g2 g1 1 h1 h2 g|2 1{z g}2 2 H
1
12H
) (g1 g2 ) 1 (h1 h2 ) 2 H ) (g1 g2 ; h1 h2 ) 2 [1] = h 2 H j(1; h) 2 (tj: h = 1 1 h 2 H )
QED
znacen Necht' G(; 1 ; 1) je grupa, H je kongruence, H = [1]H (toto jednoznacne denuje tu kongruenci). G= (; 1 ; [1]H ) se obvykle znac G=H (; 1 ; [1]H )
Prklady
Z (+; ; 0) je komutativn grupa.
nZ ...nsechny celocselne nasobky n
! podgrupy Z (+; ; 0), ktere jsou
podle 1.13 normaln.
Regularn matice GLn (T )(; 1 ; In )
Normaln podgrupou jsou naprklad konstantne diagonaln matice (vsechny
prvky na diagonale jsou stejne)
nebo matice se stejnym determinantem
Sn ...permutace na f1; :::; ng
An - sude permutace tvor normaln grupu
G(; 1 ; 1) je grupa, pak [1], G jsou trivialn normaln grupy.
13
2 Uzaverove systemy na algebre
denice R ekneme, ze C P (A) je uzaverovy system na mnozine A, pokud
(1) A 2 C
(2) B C ) T B = TB2B B 2 C
denice Je-li C uzaverovy system, pak
clC (B ) =
\
fC 2 CjB C g
je uzaver mnoziny B A
denice Zobrazen : P (A) ! P (A) nazveme uzaverovym operatorem, pokud
(1) B (B ) 8B A
(2) ((B )) = (B )
(3) B C A ! (B ) (C ) (monotonie)
prklad V ...vektorovy prostor, V ...vsechny podprostory V .
system: X V clV (X ) = L
V je uzaverovy
poznamka 2.1
1. Necht' A je mnozina s operac . Pak vsechny podmnoziny uzavrene na
tvor uzaverovy system na A
2. Necht' A(i ji 2 I ) je algebra. Potom vsechny podalgebry tvor uzaverovy
system na A.
d
ukaz
1. viz. poznamka 1.1, (2) z denice
2. vlastnost (1), A je trivialne uzavrena na QED
TA 2.2
VE
1. Necht' C je uzaverovy system na A. Pak uzaver clC je uzaverovy operator.
2. Necht' : P (A) ! P (A) je uzaverovy operator na mnozine A. Potom
C = fC 2 P (A)j(C ) = C g je uzaverovy system a
clC = 14
d
ukaz
1. C ...uzaverovy system
Nejdrve overme axiom (1)
\
B C
fC 2 CjB C g 8C :)
B clC (B )
(2) prvn inkluze je trivialn
clC (B ) =
clC (clC (B ))
(1)
clC (B ) 2 C
druha je jiz trosku tezs
clC (B ) 2 fC 2 CjclC (B ) C g
\
clC (B ) fC 2 CjclC (B ) C g = clC (clC (B ))
B1 B2 A
fC 2 CjB1 C g fC 2 CjB2 C g
\
\
clC (B1 ) = fC 2 CjB1 C g fC 2 CjB2 C g = clC (B2 )
2. ...uzaverovy operator
Je C = fC 2 P (A)j(C ) = C g uzaverovy system?
A ( A) A ) A = ( A) ) A 2 C
Ci 2 C i 2 I (Ci ) = Ci
\
i2I
\
i2I
\
i2I
Ci
\
i2I
\
Ci i2I
!
Ci
Ci Cj j 2 I )
!
(Cj ) = Cj 8 j 2 I
\
i2I
!
!
Ci
Ci =
tj. C je uzaverovy system
15
[
i2I
\
j 2I
Cj
\
) Ci 2 C
3. = clC , dokazeme 8B (B ) = clC (B )
((B )) = (B ) ) (B ) 2 C
B (B ) ) clC (B )
4. ?(B ) clC (B )?
clC (B ) =
\
fC 2 PjC = (C ) & B C g
B C ) (B ) (C ) = C
) (B ) vsech takovych mnozin, tedy je i v jejich pruniku, a tedy
(B ) clC (B )
To jest
(B ) = clC (B ) 8B 2 A
QED
prklad Z (+; ; 0), ni 2 N , ni Z = fni z jz 2 Z g. Potom
\
i2Z
ni Z = gcd(n1 ; :::; nk )Z
Neboli lez v uzaverovem systemu vsech podgrup
poznamka 2.3 Vsechny uzaverove systemy na A tvor uzaverovy system na
P
d
ukaz
P (A) je trivialne uzaverovy system.
Ci - uzaverove systemy na A, i 2 I
B
\
Ci ) B Ci 8i 2 I Ci uz:)system
\
B 2 Ci 8i 2 I )
\
B2
\
i2I
Ci
QED
poznamka 2.4 Necht' A B jsou uzaverove systemy na A a C D A.
Pak clB (C ) clA (D)
16
d
ukaz
fB 2 BjC B g fA 2 AjC Ag
(tato inkluze plyne z velikosti mnozin)
\
\
) clB (C ) = fB 2 BjC B g fA 2 AjC Ag = clA (C )
z denice a (2.2) )
clA (C ) clA (D)
clB (C ) clA (C ) clA (D)
QED
poznamka 2.5 Vsechny reexivn (symetricke, transitivn) relace i ekvivalence na mnozine A tvor uzaverove systemy na A A
d
ukaz
R... vsechny reexivn relace na A
S ... vsechny symetricke relace na A
T ... vsechny transitivn relace na A
E ... vsechny ekvivalence na A
E =R\S \E
A A 2 E (R; S ; T ), tm je overena prvn podmnka uzaveroveho systemu
i 2 R
\
id i 8i 2 I ) id i 2 R
i2I
i 2 S
\
\
(a; b) 2 i ) (a; b) 2 i 8i symetrie
) (b; a) 2 i 8i 2 I ) (b; a) 2 i 2 S
i2I
i 2 T
(a; b); (b; c) 2
\
i ) (a; b); (b; c)i 8i 2 I ) (a; c) 2 i
\
\
) (a; b) 2 i ) i 2 T
E je prunik uzaverovych systemu a vsechny uzaverove systemy na mnozine
tvor uzaverovy system. Proto E mus byt tez uzaverovy system.
QED
17
poznamka 2.6
1. Necht' je operace na A. Pak vsechny ekvivalence slucitelne s tvor
uzaverovy system na A A
2. Necht' A(i ji 2 I ) je algebra. Potom vsechny kongruence na A tvor
uzaverovy system na A A
d
ukaz
1. A A je trivialne slucitelne s T
Necht' i je ekvivalence slucitelne s , i 2 I . Potom i je podle
poznamky 2.5 tez ekvivalence
T
Necht' a1 ; :::; an ; b1 ; :::; bn 2 A a (aj ; bj ) 2 i2I i 8j = 1; :::; n
) (aj ; bj ) 2 i 8i 2 I 8j = 1; :::; n
((a1 ; :::; an ); (b1 ; :::; bn )) 2 i 8i 2 I
\
) ((a1 ; :::; an ); (b1 ; :::; bn )) 2 i
i2I
neboli je slusitelna s ekvivelenc vzniklou prunikem ekvivalenc slucitelnych
s
2. Ei ...mnozina vsech ekvivalenc slucitelnych s i tvor uzaverovy system.
KOngruence Tje podle denice slucitelna se vsemi operacemi
kongruence= i2I Ei - tedy dle poznamky 2.3 uzaverovy system
QED
poznamka 2.7 Necht' je relace na A. Pokud je reexivn (resp. symetricka), tak [ , + je opet reexivn (resp. symetricka)
d
ukaz
Necht' je reexivn
id [ id + = f(a; b) 2 AAja0 ; :::; an 2 A; a0 = a; an = b; (ai 1 ; ai ) 2 8i 2 1; :::; ng
Necht' je symetricka
=[ 1
(a; b) 2 +
z denice a0 ; :::; an 2 A tz. a0 = a, an = b, (ai 1 ; ai ) )
) (ai ; ai 1 ) 2 ) (an ; a0 ) 2 +
QED
18
TA 2.8 Necht' je relace na A. Potom
VE
[
( [ id) ( [ id)
+
= ( [ [ id)+
je nejmens ekvivalence obsahujc relaci (E -ekvivalence na A, clE () = ( [ [ id)+ )
d
ukaz
[ id je reexivn
S
( [ id) ( [ id) je reexivn a symetricka relace
S
:= (( [ id) ( [ id) )+ je ekvivalence
Dale je treba dokazat jej minimalitu
clE () ( [ id) clE [ id = clE ()
[
( [ id) ( [ id) 1 clE () [ clE ( ) = clE ()
[
( [ id) ( [ id)
+
clE ()+ = clE ()
QED
denice Necht' A je algebra, A je system vsech podalgeber, X A. R ekneme,
ze X generuje (podalgebru) clA (X )
poznamka 2.9 Necht' A(i ji 2 I ), B (i ji 2 I ) jsou algebry stejneho typu.
Necht' f; g : A ! B jsou homomorsmy. Pokud X generuje A a f (x) =
g(x) 8x 2 X , pak f = g
d
ukaz
Y = f y 2 Aj f ( y ) = g ( y ) g = X
A(i ) f (i (y1 ; ::; yn )) = i (f (y1 ); :::; f (yn ))) =
i (g(y1 ); :::; g(yn )) = g (i (y1 ; :::; yn ))
) Y je uzavrena na i 8i 2 I , tj. Y je podalgebra, X Y a X dle predpokladu
generuje A, tedy Y = A
QED
19
prklady
Necht' Z (+; ; 0) je grupa a G(+; ; 0) algebra, obe jsou stejneho typu.
Necht' f; g : Z ! G jsou homomorsmy
< f1g >= f1| + {z
::: + 1} jn 2 N g [ f0g [ f( 1) + ::: + ( 1)jn 2 N g = Z
{z
}
|
n
n
M (X ) - vsechna slova nad psmeny z X , M (X )(; e)
< X >= M (X ) f; g : M (X ) ! G(; e)
G(; e) je nejaky monoid
f (x) = g(x) 8x 2 X 2):9 f = g
G tak, ze < Y >= G
M (Y )(; e) 9!' : M (Y ) ! G
' je homomorsmus ker ' - kongruence na M (Y ), '(y) 8y 2 Y
Y
3 Isomorsmy algeber
denice Necht' A, B jsou algebry stejneho typu. A ' B (A je isomorfn B ),
pokud 9f : A ! B vzajemne jednoznacny homomorsmus (isomorsmus).
poznamka 3.1 Necht' M je mnozina algebra, pak ' tvor ekvivalenci na M.
d
ukaz Id : A ! A je isomorsmus ) reexivita ', symetrie a transitivita
z (1:2)
QED
denice Necht' je dvojice ekvivalenc na A. Pak = je relace na A=
dana predpisem
([a] ; [b] ) 2 = (a; b) 2 poznamka 3.2 Necht' jsou ekvivalence na A. Pak = je ekvivalence
na A=
d
ukaz plyne okamzite z reexivity, symetrie a transitivity relace .
poznamka 3.3 Necht' A je algebra, bud' kongruence na A obsahujc .
Pak je kongruence na A prave tehdy, kdyz = je kongruence na algebre A=
20
d
ukaz
dle 3.1 = je ekvivalence na A=
Necht' je libovolna n-arn operace na A a na A=
a1 ; :::; an ; b1 ; :::; bn 2 A
([ai ] ; [bi ] ) 2 =
([a1 ] ; :::; [an ] ) = [(a1 ; :::; an )]
([b1 ] ; :::; [bn ] ) = [(b1 ; :::; bn )]
Vme, ze ((a1 ; :::; an ); (b1 ; :::; bn )) 2 a podle denice =
(([a1 ] ; :::; [an ] ); ([b1 ] ; :::; [bn ] )) 2 =
")"
"("
= je kongruence, je ekvivalence ma A. Dokazujeme, ze je slucitelna s Predpokladam
a1 ; :::; an ; b1 ; :::; bn (ai ; bi ) 2 ) ([ai ] ; [bi ] ) 2 =
dale
( ([a1 ] ; :::; [an ] ) ; ([b1 ] ; :::; [bn ] )) 2 =
tedy dle denice
((a1 ; :::; an ); (b1 ; :::; bn )) 2 QED
poznamka 3.3
1. Necht' f : A ! B je zobrazen slucitelne s operac , kde je operace
na A a B stejne arity. Necht' je ekvivalence na A slucitelna s . Pak
existuje zobrazen g : A= ! B slucitelna s . Pak existuje zobrazen
g : A= ! B slucitelne s splnujc podmnku
, ker f
Navc g je bijekce prave tehdy kdyz = ker f
2. Necht' f : A ! B je homomorsmus algeber A, B stejneho typu a je
kongruence na A. Pak existuje homomorsmus g : A= ! B takovy, ze
g = f , ker f
Navc g je isomorsmus prave tehdy kdyz g je na a = ker f (veta o
homomorsmu)
g = f
21
d
ukaz
1. Podle poznamky 1.6 9 zobrazen g : A= ! B : g = f ) ker f ,
chceme dokazeme, ze
g ([a] ) = g (a) = f (a) 8a 2 A
")" prmo z poznamky 1.6(4)) ker f
"(" vme, ze 9g - zobrazen a chceme dokazat, ze je slucitelne s QED
TA 3.4 - 1. veta o isomorsmu Necht' f : A ! B je homomorsmus
VE
algeber stejneho typu. Pak f (A) je podalgebra B (tzn. je stejneho typu) a
A=ker f ' f (A)
d
ukaz
f : A ! f (A) je podalgebra B (viz poznamka 1.3)
podle poznamky 3.3(2.) je = ker f
9g : A=ker f ! f (A)
podle 3.3(2) ker f = a f je na f (A), potom g je isomorsmus
QED
TA 3.7 Necht' jsou dve kongruence na algebre A. Pak
VE
A===
' A=
d
ukaz
A ! A=
A ! A=
Vme, ze , ker = Z poznamky 3.3 9g : A= ! A=
g([a] ) = [a] je homomorsmus dle 3.3
ker g = f([a] ; [b] )j[a] = [b] g
to je podle denice =
g je na, a tedy dle 1. vety o isomorsmu A==ker g ' A= a z toho hned plyne
tvrzen
QED
22
4 Svazy
denice R ekneme, ze relace na M je usporadan, pokud je reexivn, tran-
sitivn a slabe antisymetricka, neboli
a b&b a ) a = b
prklady
P (X ) - potence na X , pak je usporadan
Z a "standardni" na N relace "j" je taktez usporadan
Id na M - extremn prpad
denice Necht' je usporadan na M =
6 ; a A M . R ekneme, ze m 2 A je
nejvets (nejmens) prvek A, pokud
8a 2 A : a m (m a)
denice R ekneme, ze sup (A) (resp. inf (A) 2 M ) je supremum (resp.
inmum) mnoziny A, pokud sup (A) je nejmens prvek z mnoziny fm 2 M ja m 8a 2 Ag. Inmum je nejvets doln zavora
denice R ekneme, ze dvojice (M; ) je svaz, pak existuje sup (fa; bg) a
inf (fa; bg) pro (kazda dve) a; b 2 M
denice O svazu (M; ) rekneme, ze je uplny, existuje-li supremum i inmum
pro kazdou (i nekonecnou) podmnozinu M
denice Zavedeme binarn operace _ a ^ na M predpisem a; b 2 M
a ^ b = inf (fa; bg)
a _ b = sup (fa; bg)
8a; b; c 2 M :
(S1) komutativita
poznamka 4.1
(S2) idempotence
a^b=b^a
a_b=b_a
a^a=a=a_a
23
(S3) asociativita
a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c
a _ (b _ c) = (a _ b) _ c
(S4) absorbce
a ^ (b _ a) = a
a _ (b ^ a) = a
d
ukaz
(S1) a (S2) jsou trivialn
(S3) stac dokazat, ze
a ^ (b ^ c) =? inf (fa; b; cg) (= c ^ (a ^ b))
|
{z
=:i
}
z denice i a; i b; i c
i (b ^ c)
i a ^ (b ^ c)
a ^ (b ^ c) a
a ^ (b ^ c) (b ^ c) b
a ^ (b ^ c) (b ^ c) c
a ^ (b ^ c) i slaba antisymetrie
)
a ^ (b ^ c) = i
Pujdeme-li z druhe strany, tak to taky vyjde, cmz mame existenci
(S4) a ^ (b _ a) a
a a (reexivita)
a b _ a (horn odhad)) a a ^ (b _ a)
Tedy ze slabe antisymetrie a = a ^ (b _ a)
QED
poznamka 4.2 Necht' M (^; _) je algebra s dvojic binarnch operac splnujcch
podmnky (S1)-(S4). Denujeme na M relaci predpisem
ab
def:
a_b=b
Pak (M; ) je svaz a a ^ b = inf (fa; bg) a a _ b = sup (fa; bg)
24
d
ukaz
tm je dokazana reexivita
(S 1)a ^ a = a
(S 1)a _ a = a
)aa
ab bc'b=a_b c=b_c
c = (a _ b) _ c S=3 a _ (b _ c) = a _ c
| {z }
=c
Neboli a c a tm je hotov dukaz transitivity
a b; b a ) b = a _ b S=1 b _ a = a
A to je presne slaba symetrie
Neboli takto denovana relace tvor usporadan na M
Dale
a ^ b = a ^ (a _ b) S=1 a ^ (b _ a) S=4 a
Touto rovnost je dokazan vztah a b , a = a ^ b
Dale budeme predpokladat (c d ) c = c ^ d)
(a ^ b) ^ a S=1 a ^ (a ^ b) S=3 (a ^ a) ^ b S=2 a ^ b
tj. (a ^ b) a, pro (a ^ b) ^ a dostanu podobnym postupem a ^ b b, tj. a ^ b
je dolnm odhadem pro fa; bg
Vezmu c a; b, c = c ^ a
c ^ (a ^ b) S=3 (c ^ a) ^ b = c ^ b = c ) c (a ^ b)
To znamena, ze a ^ b je nejvets v mnozine dolnch odhadu, a ^ b pak mus byt
inmum fa; bg.
QED
d
usledek
(S; ) ! S (^; _) ! (S; ~ ) )= ~
S (^; _) ! (S; ) ! S (^; _) ) ^ = ^; _ = ^
Dky tomu mame jednoznacnou korespondenci svazu a pruseku+sloucen. Dale
budeme svazem nazyvat i algebry S (^; _) splnujcm (S1)-(S4).
TA 4.3 Kazdy uzaverovy system je uplnym svazem S (C ; ), B C
VE
[
sup B = clC ( B) = clC
inf
B=
\
B=
25
\
B 2B
[
B 2B
B
!
B
d
ukaz plyne ihned z vlastnost uzaveroveho systemu
znacen Vezmu svaz (S; ). R ekneme, ze a pokryva b, a; b 2 (a < b),
pokud b 6= a, b a,
b c a ) b = c _ a = c:
Necht' f resp. g 2 S je nejvets resp. nejmens prvek S , potom a resp. b
nazveme atomem resp. koatomem svazu S , pokud f < a resp. b < e
Hasseovym diagramem svazu nazvu orientovany graf s vrcholy S . Mezi a a b
bude hrana vedouc od a k b, pokud a < b
poznamka 4.4 Je-li S (^; _) svaz, pak S (_; ^) je take svaz
d
ukaz Plyne hned z 4.1 a 4.2.
poznamka 4.5 Necht' (S; ) je svaz a a; b; c
a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c
2 S . Pokud a c, potom
d
ukaz a (a _ b) a a c, tedy a (a _ b) ^ c
b ^ c b a _ b a b ^ c c, tedy (b ^ c) (a _ b) ^ c
Tedy
a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c
QED
denice O svazu S (^; _) rekneme, ze je modularn, pokud plat
8a; b; c 2 S a c ) a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ c
denice Necht' je usporadan na A a na B . R ekneme, ze zobrazen f : A !
B je monotonn, pokud a1 a2 ) f (a1 ) f (a2 ).
poznamka 4.6 Necht' f : A ! B je homomorsmus svaz
u A(^; _) a B (^; _).
Potom f je monotonn.
d
ukaz Necht' a1 a2 (, a2 = a1 _ a2 ).
f (a2 ) = f (a1 _ aa2 ) homomorfismus
=
f (a1 ) _ f (a2 )
Podle denice potom f (a1 ) f (a2 )
QED
poznamka 4.7 Necht' f : A ! B je bijektivn zobrazen dvou svaz
u (A; ) a
(B; ). Pak f je isomorsmus svazu , f i f 1 jsou monotonn zobrazen
26
d
ukaz
")"
f; f 1 jsou isomorsmy, tedy podle poznamky 4.6 jsou obe zobrazen monotonn
"("
f; f 1 stac ukazat, ze f je slucitelne s _, zbytek uz plyne ze symetri.
Necht' a; b 2 A.
Necht' a a _ b, b a _ b.
Zobrazen f je monotonn, takze mame
f (a) f (a _ b)
f (b) f (a _ b)
) |f (a) {z_ f (b}) f| (a{z_ b}) (1)
nejmens{ horn{ odhad
nejaky horn{ odhad
Dale necht' d = f (a) _ f (b).
f (a) d a f (b) d, vme ze f 1 jsou monotonn
a = f 1 (f (a)) f 1 (d)
b = f 1 (f (b)) f 1 (d)
a _ b f 1 (d)
Opet pouzijeme monotonnost f
f (a _ b) f f 1 (d) = d = f (a) _ f (b)(2)
Dky slabe symetrii, (1) a (2)
f (a _ b) = f (a) _ f (b)
Neboli f je slucitelne s _
QED
poznamka 4.8 Necht' C je uzaverovy system lez v mnozine vsech ekvivalenc
na A. Necht' N je nejaky podsystem P (A) a e 2 A tak, ze
2 C ) [ e] 2 N
N 2 N ) 9ekvivalence 2 C , ze N = [e]=rho
[e] [e] pro ; 2 C ) Pak N je uzaverovy system (a tudz svaz) a zobrazen ' : C ! N dane predpisem
'() = [e] je svazovy isomorsmus.
27
d
ukaz A = [e]AA A A 2 C , A A je ekvivalence a to ta nejets, takze
lez v C .
A = faj(e; a) 2 A Ag 2 N (to plat z prvnho predpokladu)
Necht' Ni 2 N i 2 I , potom s vyuzitm druheho predpokladu 9i 2 C Ni = [e]i
TA 4.9 Nevht' G(; 1 ; 1) je grupa, pak svaz vsech kongruenc na G je
VE
isomorfn svazu vsech normalnch podgrup G (s usporadanm )
\
T
i2I
=
\
i2I
[e]i = fa 2 Aj(e; a) 2 i 8i 2 I g = [e]Ti2I i 2 N
i 2 C , nebot' C je uzaverovy system
|
Je ' bijekce?
dobre denovane zobrazen
je to na 8N 2 N prirad [e] [e] ) - a stejne pro =; Tedy ano, ' je bijekce
'; ' 1 je prmo z denice monotonn 4):7 ' je isomorsmus svaz
u.
QED
D
ukaz Necht' C jsou vsechny kongruence na G
2 C ) [1] 2 N
kde N jsou vsechny normaln podgrupy G
Z 4.8 evidentne plat
[1] [1]
,
1
:14
(a; b) 2 ) a b 1 2 [1] [1] , (a; b) 2 Tedy z 4:8 je N uzaverovy system a ' je isomorsmus
QED
denice Necht' A; B jsou mnoziny a : P (A) ! P (B ), : P (B ) ! (P )(A).
R ekneme, ze ; tvor Galiosovu korespondenci, plat-li 8A1 ; A2 2 P (A); B1 ; B2 2
P (B )
(1) A1 A2 ) (A1 ) (A2 )
B1 B2 ) (B1 ) (B2 )
(2) A1 (A1 ); B1 (B1 )
28
poznamka 4.10 Necht' : P (A) ! P (B ) a : P (B ) ! P (A) je Galoisova
korespondence. Pak (respektive ) je uzaverovy operator na P (A) (resp.
na P (B )). Necht' A resp B je uzaverovy sysem na A resp. B prslusny resp.
. Dale (A) B, (B) A. Restrikce resp. na A resp B (oznacme je
0 : A ! B, 0 : B ! A) jsou vzajemne inverzn bijekce
d
ukaz
nejdrve dokazme, ze je uzaverovy operator ( symetricky)
(2) ) A1 (A1 )
A1 A2 ) (A1 ) (A2 ) ) (A1 ) (A2 )
Tm je dokazana monotonie
?(()()) (A1 ) =? (A1 )?
(A1 )
(2)
((A1 ))
(2)
((A1 )) (1)
) (A1 ) (A1 )
Tedy mame uzaverove systemy
A = fA1 2 P (A)j(A1 ) = A1 g
B = fB1 2 P (B )j (B1 ) = B1 g
?(A) B? (symetricky (B ) A)
Necht' A1 2 A ) (A1 ) = A1
( ((A1 ))) = ((A1 )) = (A1 ) ) (A1 2 B )
B1 = (A1 )
0 0 : B ! B =? IdB
0 0 : A ! A =? IdA
Jinymi slovy to znamena, ze 0 a 0 jsou bijekce a jsou k sobe vzajemne
inverzn
0 0 (B )1 ) = (B1 ) predpoklad
= B1 ) 0 0 = IdB
5 Grupy
denice G(; 1 ; 1) je grupa, pokud je asociativ binarn operace, 1 je unarn
a a 1 = a 1 a = 1 a 1 je neutraln prvek
poznamka 5.1 Je-li f zobrazen dvou grup slucitelne s binarn operac, pak
f je homomorsmus
29
d
ukaz
f (1) = f (1 1) = f (1) f (1)
) f (1) = f (1) f (1) j f (1) 1 2 H
) 1 = f (1)
Tedy f je slucitelne s operac 1
1 = f (1) = f (a a 1 ) = f (a) f (a)
1
1 = f (a) f (a 1 ) j (f (a)) 1 ) (f (a)) 1 = f (a 1 )
Tedy f je slucitelne s operac QED
denice Necht' G(; 1 ; 1) je grupa a
H; K G; HK = H K = fh kjh 2 H; k 2 K g
hK = fhgK
Kh = K fhg
Zavedeme relaci rmod H G G (respektive lmod H G G) tak, ze
(a; b) 2 rmod H (respektive 2 rmod H ) def:
ab 1 2 H (a 1 h 2 H )
poznamka 5.2 Necht' G(; 1 ; 1) je grupa a H jej podgrupa. Pak pro a; b 2 G
plat
1. rmod H a lmod H jsou ekvivalence na G
2. (a; b) 2 rmod H , (a 1 ; b 1 ) 2 lmod H
3. jG=rmod H j = jG=lmod H j (pro nekonecne mnoziny: maj stejnou kardinalitu)
4. [a]rmod H = Ha, [a]lmod H = aH
5. jH j = j[a]rmod H j = j[a]lmod H j
30
d
ukaz
1.
Necht'
Tedy rmod je reexivn
Necht' (a; b) 2 rmod H
aa 1 =12H
ab 1 2 H ) ba 1 = a b 1 1
Tedy rmod je symetricka
Necht' ab 1 ; ac 1 2 H
ac 1 = (ab 1 )(bc 1 ) 2 H
Tedy je i transitivn a je to ekvivalence na G - lmod H symetricky
2. (a; b) 2 rmod H
a b 1 2 H uzav:)na
1
ab 1 = b 1 1 a 1 2 H ) (b 1 ; a 1 ) 2 lmod H
Opacna implikace se dokaze symetricky
3. Z predchozho bodu mame bijekci mezi lmod a rmod. Potom obe faktormnoziny mus byt stejne velke.
4.
[a]rmod H = fx 2 G; ax 2 rmod H g = x 2 H j9h 2 H : x = h 1 a = Ha
(protoze H je podgrupa, tudz je uzavrena na 1 )
Pro lmod je opet tvrzen dokaze symetricky
5. Podle predchozho bodu [a]rmod H = Ha, b : H ! Ha je zjevne na, stac
ukazat, ze b je proste
b(h1 ) = b(h2 ) = h2 a
h1 = h1 a a 1 = h2 a a 1 = h2
QED
denice Necht' Hi je podgrupa grupy G(; 1 ; 1). Pak indexem H na grupe
G rozumme
[G : H ] = G=rmod H = G=lmod H TA 5.3 - Lagrangeova Je-li G grupa a H jej podgrupa, pak
VE
jGj = [G : H ] jH j
31
d
ukaz
[
jGj = fA(= [a]rmod H )jA 2 G=rmod H g =
X
a2G=rmod
H
A
|{z}
=jH j
= [G : H ] jH j
QED
d
usledek 5.4 Velikost podgrupy del velikost konecne grupy
denice Necht' G(; 1 ; 1) je grupa g 2 G. Indukcne denujeme
g0 = 1
gn+1 = g gn pro n > 0
gn = (g 1 )jnj pro n < 0
poznamka 5.5 Necht' G(; 1 ; 1) je grupa a a 2 G. Zobrazen ' : Z ! G dane
predpisem '(n) = an je homomorsmus grupy Z (+; ; 0) do grupy G(; 1 ; 1).
Navc
'(Z ) = hai = fan jn 2 Z g
d
ukaz Stac dokazat uzavrenost na . Zbytek uz vyplyne sam.
?'(n + m) = gn gm ?
Tady se mus vysetrit jednotlive prklady podle toho, jestli je m; n vets nebo
mens nez 0. Vsechny jsou vzasade trivialn.
QED
poznamka 5.6 Necht' G(; 1 ; 1) je grupa a a 2 G. Potom pro kazde n; m 2 Z
plat, ze (an )m = amn
d
ukaz
Je-li m = 0 nebo n = 0, potom vztah zrejme plat
Pro n > 0, m > 0 lze pouzt jednoduchou indukci podle m
{ (an )1 = an = an1 - Tedy pro m = 1 plat
{ a pro m > 1?
(an )m = (an )m 1 an IP
= an(m 1) an = anm
pro n < 0 < m
(an )m def
= a
1 n m predchoz
= { a 1 nm def:
= anm
32
pro m < 0 < n je to dky (a b) 1 = b 1 a 1 to same
n < 0, m < 0 je to samy.
QED
denice Necht' G(; 1 ; 1) je grupa. Oznacme hai nejmens podgrupu grupy
G obsahujc prvek a 2 G. R ekneme, ze grupa G je cyklicka, pokud existuje
takovy prvek g 2 G, ze hgi = G
poznamka 5.7
1. Je-li A Z , pak A je podgrupa Z , prave kdyz existuje k 0 takze
A = kZ
2. Je-li A Zn , pak A je podgrupa Zn , prave kdyz existuje k 2 Zn tak, ze
k je 0 nebo k del n a A = kZn
d
ukaz
1. Budeme predpokladat, ze H 6= f0g (H = f0g ) k = 0)
9k 2 H ; k 6= 0 : (k < 0 ) k > 0 ) k 2 H ) ) 9k 2 H; k > 0
Vezmu nejmens k > 0, k 2 H , takoveze < k > H ; a 2 H , vydelme cslo
cslem k se zbytkem.
a = kx + y y < k
y = a + (k ( x))
k ( x) 2 H , protoze je to nasobek k, tedy y 2 H
Z minimality volby plyne, ze y 0 a y 0, tedy y = 0 ) a = kx
) a 2 hki
2. dokazeme stejne jako predchoz bod, vse pseme modulo n
a = (k x)n + (y)n ) hki = H
|{z}
=0
zbyva dokazat, ze k del n
Pro spor necht' tomu tak nen a l = gcd(k; n); l < k
l mod n = ( k + n) mod n ; 2 Z
ale
l mod n = k mod n
l 2 hki H
Z minimality dostavame spor s l < k, tedy mus k delit n
33
QED
TA 5.8 Necht' G(; 1 ; 1) je cyklicka grupa.
VE
1. Je-li G nekonecna, potom G(; 1 ; 1) ' Z (+; ; 0)
2. Necht' jGj = n, potom G(; 1 ; 1) ' Zn (+; ; 0)
d
ukaz obecna pozorovan
hg i = G
' : Z ! G('(z ) = gz )
Z poznamky 5.5 je ' homomorsmus
g = g1 2 '(Z )
G = hgi = '(Z )
neboli ' je na
Dle 1. vety o isomorsmu (veta 3.4) vezmu Z= ker ' ' G
Podle vety 1.14 ker ' je kongruence na Z prave tehdy, kdyz 9H normaln podgrupa Z a dle 5.7 .1 9n 2 Z : H = nZ
) [(a; b) 2 ker ' , a b 2 nZ ]
n = 0 ) ker ' = id ) Z ' Z= ker ' ' G
neboli zadne dva prvky nesplynou
Druhy bod se dokaze z prvnho
Z=nZ ' Z= ker ' ' Zn
Zn ' Z=nZ ' Z= ker ' ' G
QED
d
usledek 5.9 Podgrupa i faktorova podgrupa kazde cyklicke grupy je opet
cyklicka
d
ukaz
Necht' G je cyklicka, potom je isomorfn Z nebo Zn (podle konecnosti) a
obe tyto zase maj cyklicke podgrupy
Necht' je kongruence
) Z= ' Z=nZ ' Zn
Ta je cyklicka
Zn= = Z=nZ= ~ = =nZ
To je podle 2. vety o isomorsmu Z=
QED
~
34
d
usledek 5.10 Necht' G je cyklicka konecna grupa. Necht' k del jGj, pak
9!H podgrupa G takova, ze jH j = k
d
ukaz
G ' Zn n = jGj
k = 1 ) H = f0g
n
n n
n
k > 1(kjn) H = h i = f0; ; 2 ; :::; (k 1) g
k
k
k
k
Jednoznacnost:
vsechny podgrupy v Zn jsou cyklicke.
jK j = k; K = hai:::9a 2 Zn
9b 2 Z : ka = bn
n
n
a=b )a2h i
k
k
n
Tedy hai h k i jsou stejne velke mnoziny, z nichz jedna je obsazena v druhe.
Pak mus byt stejne.
QED
poznamka 5.11 Necht' G(; 1 ; 1) je konecna grupa. Pak 8g
g j Gj = 1
2 G plat, ze
hgi je cyklicka podgrupa G velikosti k, tedy gk = 1.
Dle 5.4 k del jGj
jGj
jGj
gjGj 5=:6 gk k = 1 k = 1
d
ukaz
QED
poznamka 5.12
1. Necht' n 2 N; a 2 Zn ; k = gcd(n; a). Potom aZn = kZn
2. aZn = Zn , gcd(a; n) = 1
d
ukaz
1. Dle Eukleidova algoritmu 9x; y : k = a x + n y
k = (a x) mod n ) k 2 hai; hki hai
Podle predpokladu k del a, tedy 9u : (k u) mod n = a
) a 2 hki tj: hai hki ) kZn = a Zn
35
2. "("
plyne z prvnho dobu pro k = 1
")"
9x; y : a x + n b = 1(1 2 Zn ) ) gcd(a; n) = 1
(gcd(a; n) muzu vydelit celou rovnici)
QED
! N dane predpisem
'(n) = jfkj0 < k < n; gcd(k; n) = 1gj
nazveme Eulerovou funkc
denice Zobrazen ' : N
poznamka 5.13
:12
'(n) 5=
jfk 2 Zn jhki = Zn gj =
jZ (; 1)j = jfk 2 Zn j9x : x k = 1gj
n
d
ukaz 5.12(2.)+denice
TA 5.14 - Mala Fermatova
VE
8a : a < n; gcd(a; n) = 1 : a'(n) mod n=1
d
ukaz a 2 Zn (; 1), to je dle 1.11 grupa
:11 jZn j
jZn j = '(n) 5)
a| {z } mod n = 1
a'(n)
QED
poznamka 5.15
1. Necht' p je prvocslo a n je prirozene cslo. Potom
'(pn ) = (p 1) pn 1
2. Necht' m; n jsou vzajemne nesoudelna prirozena csla. Potom
'(n m) = '(n) '(m)
36
d
ukaz
1.
'(pn ) = jf0 < k < pn
j gcd(k; pn ) = 1gj =
= pn 1 jf0 < k < pn j gcd(p; k) > 1gj = (pn 1) (pn 1 1) = (1 p)pn 1
2. na Zn Zm denuji nasoben
(k1 ; l1 ) (k2 ; l2 ) = (k1 k2 ; l1 l2 )
Algebra Zn Zm (; (1; 1)) je monoid.
Denuji zobrazen f : Znm ! Zn Zm , ktere k prirad (k mod n; k mod
m).
Tvrdm, ze f je homomorsmus monoidu Znm (; 1) a Zn Zm (; (1; 1))
f (1) = (1; 1)
f (k1 k2 ) = ((k1 k2 ) mod n; (k1 k2 ) mod n) =
= (k1 mod n; k1 mod m) (k2 mod n; k2 mod m) = f (k1 ) f (k2 )
Neboli f je slucitelne se vsemi operacemi a tm padem to je homomorsmus. Dale je treba dokazat, ze f je bijektivn. Znm a Zn Zm jsou stejne
velke, stac tedy dokazat, ze f je proste.
Necht' f (k) = f (l) a BU NO necht' k l. Tzn.
k mod n = l mod n ) (l k) mod n = 0
k mod m = l mod m ) (l k) mod m = 0
Neboli m; n del 0 (l k) < n m. n; m jsou nesoudelne ) n m del
l k, ale to m
uze byt jen 0.
To znamena ze f je proste, dale jZnm j = jZn Zm j, f je homomorsmus.
Tedy f je isomorsmus.
Dale (a; b) 2 Zn Zm je invertibiln , 9(c; d) 2 Zn Zm tak, ze (a; b) (c; d) = (a c; b d) = (1; 1) , a i b jsou invertibiln
:13 'n m 5=
jZnm j f isomorfismus
=
j(Zn Zm ) j = jZn j jZm j 5=:13 '(n) '(m)
QED
TA 5.16 Je-li n = pk11 pk22 ::: pkr r prvocselny rozklad csla n, ki
VE
potom
'(n) =
r
Y
(pi 1)pki i
i=1
37
1
1,
d
ukaz indukce, to vymysl i cvicenej simpanz (ale treba gorila ne).
TA bez d
VE
ukazu Necht' T je teleso s operacemi +, . Potom T nf0g(; 1 ; 1)
je komutativn grupa. Necht' G je konecna podgrupa grupy T nf0g(; 1 ; 1), pak
G je cyklicka
6 Okruhy
denice Necht' R(+; ; ; 0; 1) je algebra takova, ze
R(+; ; 0) je komutativn grupa
R(; 1) je monoid
a (b + c) = a b + a c
(a + b) c = a c + b c
Takouvouto algebru nazyvame okruh
poznamka 6.1 8a; b 2 R(+; ; ; 0; 1) plat
0a=a0=0
( a) b = a ( b) = (a b)
( a) ( b) = a b
jRj > 1 , 0 6= 1
denice Necht' R(+; ; ; 0; 1) je okruh a I R. Pak I je pravy (levy) ideal,
pokud
I je podgrupa R(+; ; 0)
8i 2 I a r 2 R
i r 2 I (pravy ideal)
r i 2 I (levy ideal)
I je ideal, pokud je zaroven pravy i levy ideal
prklady
1. f0g, R jsou trivialn idealy kazdeho okruhu
2. R(+; ; ; 0; 1) r 2 R
rR = fr s j s 2 Rg
Rr = fs r j s 2 Rg
Potom rR je pravy a Rr levy ideal.
38
denice O idealu I rekneme, ze je netrivialn pokud I 6= f0g; R
TA 6.2 Necht' R(+; ; ; 0; 1) je okruh. Pak zobrazen, ktere kongruenci VE
prirad [0] je isomorsmus svazu vsech kongruenc a svazu vsech idealu a navc
(a; b) 2 , a| +{z( b}) 2 [0]
a b
d
ukaz pouzijeme 4.9
Predpokladame, ze je kongruence a chceme dokazat, ze [0] je ideal.
je kongruence na komutativn grupe ) [0] je normaln podgrupa R(+; ; 0)
Dale vezmeme i 2 [0] a r 2 R. Plat
(i; 0) 2 (r; r) 2 Vme, ze je slucitelna s (ir; |{z}
0r ) 2 ; (ri; |{z}
r0 ) 2 ) ir; ri 2 [0]
0
0
Tm jsme overili obe podmnky denice idalu ) [0] je ideal.
Mame I ideal a chceme dokazat, ze 9 kongruence takova, ze [0]
Vme, ze I je podgrupa, a to dokonce normaln nebot' R(+; ; 0) je komutativn.
Denujeme :
(a; b) 2 a b 2 I
(to je presne tak, aby nam to vyhovovalo s ohledem na pokracovan vety)
Je to kongruence na R(+; ; 0). S operac 1 je trivialne slucitelna dky
reexivite, ale je treba dokazat slucitelnost s .
Necht' (a1 ; a2 ) 2 a (b1 ; b2 ) 2 , tedy a1 a2 ; b1 b2 2 [0] = I
(a1 a2 ) b1 ; a2 (b1 b2 ) 2 I = [0]
) a1 b1 a2 b2 = (a1 b1 a2 b1 ) + (a2 b1 a2 a2 b2 ) =
= (a1 a2 ) b1 + a2 (b1 b2 ) 2 I
tj. (a1 b1 ; a2 b2 ) 2 To je splneno, ponevadz jsme si denovali tak, aby to bylo splneno.
QED
39