některé poznatky z teorie grup a jejich praktické aplikace

Induktívne a deduktívne prístupy v matematike,
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
NĚKTERÉ POZNATKY Z TEORIE GRUP A JEJICH PRAKTICKÉ APLIKACE
EVA NÝVLTOVÁ
Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci,
Žižkovo náměstí 5, 771 40 Olomouc, Česká republika,
e-mail: [email protected]
Abstract: NÝVLTOVÁ, E.: Some knowledge from the theory of groups and their practical applications.
Induktívne a deduktívne prístupy v matematike, 2005, pp. 183 – 186.
All the teachers of mathematics should try to create at their students not only the system of knowledge
that is neccessary but they also should be able to point and show the connections and links among
individual topics and the possibilities of their usage. The typical topic to be shown as a link between
individual disciplines and a whole and for the application is an algebraic structure.
My contribution deals with one type of algebraic structure - the groups. There are several topics avaible
for the practical applications described and a few exercises in which the knowledge from the theory of
groups is shown in this contribution.
Key Words: an algebraic structure, the group.
Úvod
Všichni učitelé matematiky by se měli snažit předat svým žákům nejen potřebné vědomosti, ale také by
jim měli ukázat souvislost mezi jednotlivými tématy a možnosti jejich uplatnění. Tuto schopnost musí
získat ještě před nástupem do praxe, během svého studia. Pomůže jim k tomu vlastní tvořivá činnost.
Jedním z témat vhodných na ukázku souvislostí mezi jednotlivými disciplínami, celky a také na ukázku
aplikací jsou algebraické struktury.
Každý budoucí učitel matematiky musí projít vysokoškolskou přípravou, kde se setkává a učí různým
matematickým disciplínám. Patří mezi ně také algebra, která se mimo jiné zabývá právě studiem
algebraických struktur. Aby mohl učitel matematiky vyučovat svému předmětu s porozuměním, musí se
seznámit alespoň se základními poznatky z teorie algebraických struktur. Proto je v současnosti tato
problematika zařazena na všech českých vysokých školách do všech studijních oborů připravujících učitele
matematiky. Problematika algebraických struktur se tedy objevuje jak v matematických disciplínách oboru
Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, tak v matematických disciplínách oboru Učitelství pro 1. stupeň ZŠ.
Pojem grupy
Jako algebraickou strukturu s jednou binární operací označujeme objekt tvořený množinou a jednou
binární operací definovanou v této množině. Grupa je algebraickou strukturou s jednou binární operací,
která má tyto vlastnosti: je uzavřená, asociativní, obsahuje neutrální prvek a s každým prvkem obsahuje
prvek inverzní.
Pojem grupy nabývá v současné době čím dál více vlády nad nejrůznějšími obory matematiky a jejich
aplikacemi a spolu s dalším důležitým matematickým pojmem funkce patří k nejzákladnějším pojmům celé
matematiky. Pojem grupy je možno si osvojit již v samém počátku matematického vzdělání. A to je
dokonce možné provést s materiálem elementární matematiky.
183
Induktívne a deduktívne prístupy v matematike,
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
Dá se říci, že pojem grupy může se zájmem zvládnout každý žák vyšších ročníků střední školy, který
má rád matematiku.
Některé možnosti využití poznatků o algebraických strukturách
Existuje celá řada praktických aplikací poznatků o algebraických strukturách. Můžeme si uvést
například tato témata, ve kterých využíváme poznatky o strukturách při řešení praktických problémů:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
matematické hry a hlavolamy
geometrické sítě jako geometrické modely kvazigrup a lup
latinské čtverce v kombinatorice
latinské čtverce v teorii kódování
binární grupové kódy
zákrytové pohyby v rovině
Témat existuje samozřejmě mnohem více, ale jejich výčet či podrobný popis není smyslem našeho
příspěvku. My jsme si vybrali několik úloh, které nepatří do žádné z uvedených kategorií, ale které jsou
pěknou ukázkou využití poznatků o algebraických strukturách - konkrétně o grupách.
Několik příkladů
Příklad č. 1
Na školní tabuli jsou napsaná čísla 1, 2, 3, ..., 1966. Je dovoleno smazat libovolná dvě čísla a napsat
místo nich jejich rozdíl. Je jasné, že když to uděláme 1965krát, tak na tabuli bude napsané už jen jedno
číslo. Dokažte, že toto číslo je liché.
Řešení:
Jsou-li dvě čísla buď obě sudá nebo obě lichá, tak jejich rozdíl je sudé číslo. Když je jedno číslo sudé a
druhé liché, tak jejich rozdíl je liché číslo. To znamená, že pokaždé, když libovolná dvě čísla smažeme a
napíšeme místo nich jejich rozdíl, se počet lichých čísel na tabuli nezmění nebo se zmenší o dvě. Nezmění
se tehdy, když budou libovolně vybraná čísla obě sudá nebo když bude jedno sudé a jedno liché. Bude-li
jedno sudé a jedno liché, smažeme sice jedno liché číslo, ale rozdíl těchto čísel je číslo liché a tak místo
nich napíšeme zase číslo liché. Počet lichých čísel se o dvě sníží v tom případě, že obě námi zvolená čísla
jsou lichá. Smažeme tedy dvě lichá čísla a jejich rozdíl bude číslo sudé, které napíšeme.
Na začátku je na tabuli napsáno 1966 čísel, z nichž musí být jasně polovina sudá a polovina lichá.
Takže víme kolik lichých čísel je na začátku napsáno. Je jich přesně 983. Po každé operaci bude počet
lichých čísel liché číslo. To proto, že se nám počet lichých čísel vždy buď o dvě zmenší nebo zůstane
stejný. A my máme na úplném počátku lichý počet lichých čísel. Budeme-li tedy pokaždé buď dvě lichá
čísla odčítat nebo necháme jejich počet beze změny, musí nám jako poslední číslo zůstat právě číslo liché.
Příklad č. 2
Na školní tabuli máte napsaná čísla 1 až 562. Můžete smazat libovolná dvě čísla a napsat místo nich
jejich součet. Je jasné, že když to uděláte 561krát, tak na tabuli bude napsané už jen jedno číslo.
Rozhodněte, zda bude toto číslo sudé či liché.
Řešení:
Řešení je obdobné s řešením příkladu č. 1.
184
Induktívne a deduktívne prístupy v matematike,
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
Příklad č. 3
Na školní tabuli bude napsán sudý počet karetních symbolů trefy (♣) a piky (♠). Bude tam stejný počet
tref a stejný počet piků. Můžete smazat libovolné dva symboly a napsat místo nich jeden podle
následujících pravidel: dva ♣♣ nahradíme jedním ♣, dva ♠♠ také jedním ♣, jeden ♣ a jeden ♠ nahradíme
jedním ♠. Co zůstane napsané na tabuli jako poslední? Je možné to vůbec zjistit?
Řešení:
Řešení je obdobné s řešením příkladu č. 1.
Příklad č. 4
Na tabuli je napsáno několik kladných a několik záporných znamének. Je dovolené smazat libovolná
dvě znaménka, která nahradíme kladným znaménkem, pokud byla stejná, nebo záporným znaménkem,
pokud byla různá. Dokažte, že znaménko, které zůstane na tabuli napsané nakonec, nezávisí na tom, v
jakém pořadí byla znaménka nahrazována.
Řešení:
Na začátku se dohodneme, že místo znamének + a – budeme psát čísla +1 a –1. Můžeme to tak udělat,
protože podle zadání úlohy platí, že stejná dvě umazaná znaménka nahradíme + a různá –.
A právě tato podmínka nám připomene operaci násobení čísel. Násobíme-li dvě kladná či dvě záporná
čísla, je jejich součin vždy číslo kladné. Když však násobíme kladné a záporné číslo, výsledek bude číslo
záporné.
Nahradíme tedy všechna kladná znaménka číslem +1 a všechna záporná číslem opačným, tedy –1.
Budeme vždycky mazat dvě čísla a místo nich napíšeme jejich součin.
Protože jsme zvolili čísla +1 a –1, nebude se v žádném případě měnit hodnota součinu. Číslo, které bude
jejich součinem bude vždy buď +1 nebo –1.
Víme, že operace násobení je komutativní, proto nezáleží na pořadí, ve kterém budeme čísla násobit.
Příklad č. 5
Na tabuli je narýsováno několik kružnic, čtverců a trojúhelníků.
Je dovolené smazat libovolné dva obrazce a nahradit je třetím podle následujících pravidel: dvojici
kružnic nahradíme jednou, dvojici čtverců nahradíme trojúhelníkem, dvojici trojúhelníků čtvercem,
kružnici a čtverec čtvercem, kružnici a trojúhelník trojúhelníkem, čtverec a trojúhelník kružnicí.
Dokažte, že tvar obrazce, který zůstane nakonec, nezávisí na pořadí v jakém nahrazujeme dvojice.
Řešení:
Označíme kruh písmenem K, čtverec písmenem C a trojúhelník písmenem T. Operaci výměny dvou
obrazců za třetí budeme značit hvězdičkou (*).
Teď můžeme zapsat podmínky úlohy matematicky:
K*K=K
C*C=T
T*T =C
K*C=C*K=C
K*T=T*K=T
T*C=C*T=K
Můžeme si je zapsat také do Cayleyho tabulky:
*
K
C
T
K
K
C
T
185
Induktívne a deduktívne prístupy v matematike,
Smolenice 20. 4.- 22. 4. 2005
C
C
T
K
T
T
K
C
Z tabulky je dobře vidět, že operace * je komutativní (tabulka je souměrná podle diagonály).
Není těžké dokázat, že je také asociativní, tj., že pro libovolné tři obrazce K, C a T platí vztah:
(K * (C * T)) = ((K * C) * T)
Když je dáno n obrazců, z kterých je n1 kružnic, n2 trojúhelníků a n3 čtverců, tak při libovolném pořadí
vykonání operací dostaneme nakonec obrazec:
(K * … * K) * (T * … * T) * (C * … * C)
Zde dobře vidíme, že jde vlastně o zobecnění asociativního a komutativního zákona na libovolný počet
kružnic, trojúhelníků a čtverců. Proto je zřejmé, že to jaký obrazec zůstane závisí pouze na počtu
jednotlivých typů a ne na pořadí jejich nahrazování.
Závěr
Algebraické struktury představují významný fenomén, který je užitečný nejen pro matematika–vědce,
kterému umožňuje zkoumat celé třídy matematických objektů, ale také pro matematika–učitele a
matematika–studenta, kterým umožňuje snadněji ukázat a pochopit různé souvislosti matematického
poznání. [2]
S algebraickými strukturami se setkávají už děti v 1. třídě základní školy při zavádění aritmetických
číselných operací. Proto je třeba jim věnovat dostatečnou pozornost.
Literatura
[1] ALEXANDROV, P. S.: Úvod do teorie grup, Mir, Moskva, 1985.
[2] EMANOVSKÝ, P.: Algebraické struktury ve vysokoškolské přípravě učitelů matematiky, UP,
Olomouc, 2000.
[3] NÝVLTOVÁ, E.: Některé poznatky z teorie grup a jejich praktické aplikace, Diplomová práce, PdF
UP, Olomouc, 2003.
186