1 Faktoriál a kombinační čísla

Nové symboly pro čísla
minimální informace
V kapitole Intuitivní kombinatorika jsme při řešení stále naráželi na součiny přirozených čísel,
tak jak jdou za sebou, někdy až do 1, někdy skončily dříve. Proto si zavedeme dva nové
symboly pro čísla a jejich základní vlastnosti, které nám umožní zkrátit záznamy vzorců a
výpočty v kombinatorice.
Definice faktoriálu:
Číslo n! se nazývá n-faktoriál a je definováno pro každé n N0 rekurentně:
(n+1)! = (n+1) . n!
(užitečné, nemusíme vypisovat součiny třeba od 1000.999…)
0! = 1
(to aby nám vycházeli různé vzorce)
Poznámka: n! = n.(n-1).(n-2)…3.2.1
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2.1 = 2, 3! = 3.2.1 = 6, 4! = 4.3.2.1 = 24, …
n
n!
0
1
1
1
2
2
3
6
57! = 57.56.55.54….42.41.40.39…..3.2.1
4
24
5
120
6
720
7
5040
8
9
40320 362880
(kdo má vypisovat všechny ty činitele,
příklad ukazuje výhodnost faktoriálu)
Příklady – podíly faktoriálů:
12!
8!
7!
5!
12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
12.11.10.9 11880
8.7.6.5.4.3.2.1
7.6.5.4.3.2.1
7.6 42
5.4.3.2.1
Čistě z praktického pohledu si všimněte, že když máme zlomek, kde v čitateli je n! a ve
jmenovateli k!, k je menší než n, po vykrácení je to součin celkem (n-k) činitelů. Součin
výsledku začneme číslem n a snižujeme o jednu v počtu (n-k) tj. skončíme v okamžiku, kdy
bychom museli přidat jako dalšího činitele číslo k.
13!/8! =
= 13.12.11.10.9
((13-8 je pět činitelů))
((do součinu jsme dali 5 čísel a skončili jsme před 8 = jmenovatel))
932!/930! = 932.931
17!/14! = 17.16.15
Definice kombinačních čísel:
Číslo
n
se nazývá kombinační číslo, čte se „en nad ká“, je definováno
k
n
n!
0 k n
k! ( n k )!
k
pro k,n N0 :
k
n
n
k
0
n
Úmluva: Z technických důvodů budeme zapisovat kombinační čísla často takto ( k).
Příklady – výpočet kombinačních čísel:
10
3
10!
3!.(10 3)!
10!
3!.7!
10.9.8
3!
10.9.8
3.2.1
5.3.8
120
1
Nejprve jsme kombinační číslo rozepsali podle definice. Pak jsme použili předchozí znalosti o
podílu faktoriálů 10!/7! = 10.9.8.
Všimněme si, že nyní je v čitateli stejný počet činitelů jako ve jmenovateli, a tento počet je
roven číslu k zapsanému v dolní části kombinačního čísla.
Nakonec jsme provedli krácení a vypočtení součinu.
Tedy rychleji:
15
2
20
3
7
7.6.5.4
7.5 35
4.3.2.1
4
75 75
75
1
1
15.14
15.7 105
2.1
20.19.18
3.2.1
Vlastnost 1:
n
k
20.19.3 1140
n
n k
- symetrie kombinačních čísel
Vyplývá to z komutativní vlastnosti součinu. Rozepíšeme to podle definice:
n
k
n!
k! ( n k )!
n!
( n k )! k!
n
n k
Tuto vlastnost používáme nejčastěji na zjednodušení
15
12
15
15 12
Vlastnost 2:
n
n
15
3
n
0
67
65
67
2
9
8
9
1
1
První rovnost je daná ze symetrie, druhou dokážeme z definice
159
159
159
0
n
n
n
n n
n
0
n!
0! ( n 0)!
n
n
1
n
n 1
Vlastnost 3:
n!
0!.n!
1
0!
1
1
1
První rovnost je daná ze symetrie, druhou dokážeme z definice
n
n 1
n
n ( n 1)
n
k
Vlastnost 4:
n
1
n!
1! ( n 1)!
n
k 1
n
0!
n
1
n
n 1
k 1
Toto sčítání kombinačních čísel se dá zapsat různě; toto je jedno vyjádření. Jeho grafickým
vyjádřením je Pascalův trojúhelník.
Pascalův trojúhelník:
Seřaďme kombinační čísla do trojúhelníku; právě uvedená 4. vlastnost se v trojúhelníku
projevuje takto:
0
1
0
1
1
0
2
0
3
3
2
4
1
1
2
3
1
4
0
2
1
3
0
4
1
1
2
2
1
3
4
4
3
1
4
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
0
1
2
3
4
5
1
6
1
6
7
7
7
7
7
7
7
7
0
1
2
3
4
5
6
7
KONEC
1
7
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1