Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice

The Mathematics Education into the 21st Century Project
Proceedings of the International Conference
The Decidable and the Undecidable in Mathematics Education
Brno, Czech Republic, September 2003
Komutativní a nekomutativní
polookruhy ve školské matematice
Drahomíra Holubová
Resume
Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice.
Tento příspěvek uvádí příklady komutativních a nekomutativních polookruhů, které nejsou
okruhy.
Commutative and non-commutative
semi-rings in educational
mathematics
Resume
The semi-rings, which are not rings, play a considerable role in educational
mathematics. This article show examples of commutative and of non-commutative semirings,
which are not rings.
The Mathematics Education into the 21st Century Project
Proceedings of the International Conference
The Decidable and the Undecidable in Mathematics Education
Brno, Czech Republic, September 2003
Algebraická struktura polookruh je z hlediska četnosti výskytu ve školské matematice
základní školy nejvýznamnější algebraickou strukturou se dvěma operacemi.
Bude proto tato část příspěvku věnována přehledu pojmů týkajicích se především
algebraických operací a algebraických struktur se dvěma operacemi.
Definice 1. Binární (algebraická) operace o v (neprázdné) množině M je zobrazení
z množiny M × M do množiny M .Místo [ x, y, z ] ∈ o píšeme x o y = z a místo „binární
(algebraická) operce“ budeme obvykle říkat jen „operace“.
Definice 2. Vlastnosti binární operace o v množině M :
a) ND: neomezeně definovaná – právě když pro každé prvky x, y ∈ M existuje z ∈ M ,
že x o y = z .
b) K: komutativní – právě když pro každé prvky x, y ∈ M platí x o y = y o x .
c) A: asociativní – právě když pro každé prvky x, y, z ∈ M platí ( x o y ) o z =
= x o ( y o z) .
d) EN: v množině M existuje neutrální prvek vzhledem k operaci o - právě když
existuje e ∈ M , že pro každé x ∈ M platí x o e = e o x = x ; e je neutrální prvek množiny M
vzhledem k operaci o .
e) EI: v množině M ke každému prvku existuje prvek inverzní vzhledem k
operaci o - právě když ke každému x ∈ M existuje x ∈ M , že platí
x o x = x o x = e; x je inverzní prvek k prvku x ∈ M vzhledem k operaci o .
f) ZR: v množině M jsou řešitelné základní rovnice vzhledem k operaci o - právě
když ke každým prvkům a, b ∈ M existuji prvky x, y ∈ M , že platí a o x = b a y o a = b .
Pro každou operaci o v množině M platí:
• Existuje nejvýše jeden neutrální prvek v množině M vzhledem k operaci o .
• Je-li operace asociativní, pak ke každému prvku existuje nejvýše jeden
prvek inverzní.
• Aby operace o mohla mít některou z vlastností K, A, ZR musí mit
vlastnost ND ( K ⇒ ND, A ⇒ ND, ZR ⇒ ND ).
• Aby operace o mohla mít vlastnost EI, musí mít vlastnost EN ( EI ⇒ EN ).
• Jestliže má operace o vlastnost A pak má vlastnost EI právě tehdy, když má
vlastnost ZR ( A ⇒ ( EI ⇔ ZR ) ).
∗D o : jsou-li v množině M definovány dvě binární operace oa ∗ a pro každé tři prvky
x, y, z ∈ M platí: x ∗ ( y o z ) = ( x ∗ y ) o ( x ∗ z ) a ( y o z ) ∗ x = ( y ∗ x) o ( z ∗ x) , pak říkáme, že
operace ∗ je distributivní vzhledem k operaci o .
Definice 3. Algebraické struktury typu ( M , ⊕, ) se dvěma operacemi:
a) polookruh – operace ⊕ má vlastnosti K a A, operace má vlastnost A a platí D ⊕ ,
b) okruh – polookruh, jehož operace ⊕ má vlastnost EI, neutrální prvek množiny M
vzhledem k operaci ⊕ nazýváme nulový a začínáme o,
c) těleso – okruh, kde platí ( M − {o}, ) je grupa ( značí tentokrát tzv. restrikci, tj.
zúžení původní operace ze struktury ( M , ⊕, ) na množinu M − {o}) .
The Mathematics Education into the 21st Century Project
Proceedings of the International Conference
The Decidable and the Undecidable in Mathematics Education
Brno, Czech Republic, September 2003
komutativní, půjde vždy o algebraickou strukturu komutativní,
Je-li operace
v opačném případě o nekomutativní.
Operace ⊕, po řadě nazýváme sčítání a násobení.Prvky inverzní u operace ⊕
nazýváme opačné.U operace
nazýváme neutrální prvek jednotkový, značíme 1, inverzní
prvky nazýváme převrácené.
V předcházejícím odstavci jsme se seznámili s některými důležitými typy algebraických
struktur se dvěma operacemi.Ve školské matematice, jmenovitě v aritmetice, nalézáme pouze
polookruhy komutativní (pro úplnost uvedeme na závěr odstavce i příklad nekomutativního
polookruhu).Proto po uvedení příkladů polookruhů majících širší a základní působnost
sestavíme přehled nejdůležitějších vlastností komutativních polookruhů.
Příklady komutativních polookruhů, které nejsou okruhy a jsou, případně mohou být
studovány ve školské matematice (a to i na základní škole), jsou přehledně uvedeny v [3],
kde jsou též stručně připomenuty jejich základní vlastnosti.
Výčet uvedených příkladů doplníme ještě několika dalšími příklady komutativních
polookruhů, které nejsou okruhy, uvedenými v [2].
množina všech nezáporných reálných čísel, pak algebraická struktura ( , +, ⋅) ,
Je-li
kde + , ⋅ jsou obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není
okruh, s nulovým a jednotkovým prvkem a s neomezeně proveditelným dělením.
množina všech kladných reálných čísel, pak algebraická struktura ( , +, ⋅) , kde
Je-li
+, ⋅ jsou obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh, který není
okruh, bez nulového prvku, s jednotkovým prvkem a s neomezeně proveditelným dělením.
, kde
je množina všech
Algebraická struktura
racionálních čísel, + a ⋅ jsou obvyklá sčítání a násobení racionálních čísel, je komutativní
polookruh, který není okruh, bez nulového prvku a bez jednotkového prvku (a nemůže tedy
být s neomezeně proveditelným dělením).
, kde
je množina všech
Algebraická struktura
reálných čísel, + a ⋅ obvyklá sčítání a násobení reálných čísel, je komutativní polookruh,
který není okruh, bez nulového prvku a bez jednotkového prvku.
Dále uvedeme některé vlastnosti komutativního polookruhu ( M , ⊕, ):
Sčítání i násobení jsou obecně komutativní a obecně asociativní operace v množině M
(tzn., že například n sčítanců můžeme v libovolném pořadí a libovolně uskupené do závorek
sečíst a dostaneme vždy stejný výsledek). Násobení je obecně distributivní vzhledem ke
sčítání (tzn. násobíme-li m sčítanců n sčítanci, vynásobíme po řadě každý z m sčítanců každý
z n sčítanců a všechny vzniklé součiny dvou prvků sečteme).
Pro každé prvky a,b,c libovolného komutativního polookruhu ( M , ⊕, ) platí (většina
uvedených vět je v [1] , kde jsou některé i dokázány):
Existuje-li rozdíl a b , pak platí (a b) ⊕ b = a, (a ⊕ c) (b ⊕ c) = a
(a ⊕ b) b = a.
b
The Mathematics Education into the 21st Century Project
Proceedings of the International Conference
The Decidable and the Undecidable in Mathematics Education
Brno, Czech Republic, September 2003
Existují-li rozdíly a
c ,b
c, pak platí ( a ⊕ b ) c = (a
c) ⊕ b = a ⊕ (b c).
Existují-li rozdíly b c,a b,a (b c), pak platí a (b c) = (a ⊕ c) b =
= (a Ө b) ⊕ c .
Existuje-li rozdíl a
(b ⊕ c), pak platí a (b ⊕ c) = (a
b ) c=(a c) b.
(b c)= (a ⊕ c)
Existují-li rozdíly a b,a c,b c. pak platí (a c)
(b ⊕ c) =a b.
Existuje-li podíl a b, pak platí (a b) b = a .
Je-li b ≠ o , pak (a b) b = a.
Existují-li podíly a c,b c, pak platí (a b)
c=(a c)
Existují-li podíly b c,a (b c), pak platí a (b c) = (a
b = a (b c).
c) b.
Existuje-li podíl a (b c) a je b ≠ o, c ≠ o , pak platí a (b c) = (a
Existuje-li podíl a b a c ≠ o , pak platí (a c )
b)
c.
(b c) = a b.
Existují-li podíly a b, a c, b c, pak platí (a c)
(b c) = a b.
Lze říci, že všechny běžně studované polookruhy (zejména číselné polookruhy) ve
školské matematice jsou komutativními polookruhy. Existují však i nekomutativní
polookruhy, které nejsou okruhy a o kterých je možno říci, že nejsou komplikované. Pro
potvrzení předcházejícího sdělení uvedeme dva takové případy:
1. případ: Je daná množina M = {a, b} a ostré lineární uspořádání a < b .Binární operace
⊕ a jsou definovány takto:
x ⊕ y = max{x, y},
x y = y.
Operační tabulky obou operací tedy vypadají následovně:
Pro vlastnosti jednotlivých operací platí:
⊕ : ND ∧ A ∧ K ∧ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR
: ND ∧ A ∧ ¬ K ∧ ¬ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR ∧
Vlastnost A pro operaci a vlastnost D ⊕ je asi nutné potvrdit experimentálně,
zbývající vlastnosti jsou patrné z tvarů operačních tabulek operací. Můžeme proto vyslovit
následující závěr:
The Mathematics Education into the 21st Century Project
Proceedings of the International Conference
The Decidable and the Undecidable in Mathematics Education
Brno, Czech Republic, September 2003
Algebraická struktura ( M , ⊕, ) je konečný nekomutativní polookruh s nulovým
prvkem (je to prvek a), bez jednotkového prvku, který není okruh.
Ke stejnému závěru bychom zřejmě dospěli i pro případy:
M = {a, b, c} , ostré lineární uspořádání a < b < c;
M = {a, b, c, d }, ostré lineární uspořádání a < b < c < d atd.
2. případ: Je dána množina všech čtvercových matic 2. řádu nad
jsou po řadě sčítání a násobení matic.
0
a binární operace ⊕,
Není těžké zjistit, že operace mají tyto vlastnosti:
⊕ : ND ∧ K ∧ A ∧ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR
: ND ∧ ¬ K ∧ A ∧ EN ∧ ¬ EI ∧ ¬ ZR ∧ D ⊕
Tzn. že algebraická struktura ( M , ⊕, ) je nekonečný nekomutativní polookruh
 0, 0 
1, 0 
) a jednotkovým prvkem (matice 
s nulovým prvkem (matice 

 ), který není
 0, 0 
 0, 1 
okruh.
Vezmeme-li místo množiny množinu (množina všech nenulových přirozených
čísel), dostaneme nekonečný nekomutativní polookruh bez nulového a jednotkového prvku,
který není okruh.
Je zřejmé, že ke stejným závěrům dospějeme i v případech, když vezmeme množinu
všech čtvercových matic n-tého řádu, pro n > 2.
Literatura
[1] Drábek, Jaroslav – Liška, Jan – Viktora, Václav et al.: Základy elementární aritmetiky
pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vydání, Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 223 s.
[2] Holubová, Drahomíra: Izomorfní vnoření polookruhu všech nezáporných racionálních
čísel.Rigorózní práce obhájena 1.2.2002 na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity v
Brně, 124 s.
[3] Viktora, Václav: Izomorfní vnoření polookruhů.In Sborník prací Pedagogické fakulty
UJEP v Brně, svazek 40, Brno: UJEP v Brně, 1974, s. 45-57.