13. ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, VÝROKOVÁ LOGIKA

13. ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, VÝROKOVÁ LOGIKA


Definice výroku a jeho negace, základní typy složených výroků a jejich pravdivosti (tautologie),
zákony negace, kvantifikované výroky a jejich negace.
Definice, věta, důkaz (přímý, nepřímý, sporem, důkaz matematickou indukcí)
1. Rozhodněte, zda následující tvrzení je výrok (zdůvodněte), pokud ano, znegujte ho a určete
pravdivostní hodnoty obou výroků (pokud lze):
a) Česká republika má více než 10 milionů obyvatel.
b) Praha má méně než 1,5 milionu obyvatel.
c) Kolik je hodin?
d) Poloměr Země není menší než 6 000km.
e) Vzdálenost Měsíce od země není větší než 400 000km.
f) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
g) Pro všechna reálná čísla a, b platí: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
h) Pravidelný dvacetiúhelník má aspoň 100 úhlopříček.
i) Vrcholy trojúhelníku leží na jedné přímce.
j) Prvočísel menších než 100 je nejvýše 25.
k) Dvojciferných čísel je 90.
l) 2(3x – 1) = 6x – 2
m) Rovnici 2(3x – 1) = 6x – 2 vyhovuje každé přirozené číslo
n) Pro každé celé číslo x je číslo x + 1 kladné.
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
Číslo
je iracionální.
Na Petřínskou rozhlednu vede aspoň 300 schodů.
Jakákoliv kniha má více než 200 stran.
Právě tři studenti 4. A chybí na vyučování
Přijde Alena a Barbora.
Přijde Cyril nebo David.
Jestliže přijde Eva, potom přijde i Hana.
Jan přijde právě tehdy, když přijde Iva.
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Pomocí proměnných a kvantifikátorů zapište následující formulace:
Pro všechna reálná čísla a, b platí: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které je kladné.
Pro každé přirozené číslo n platí, jestliže 3 dělí n2 + 2, pak 3 nedělí n
Existuje aspoň jedno reálné číslo a a aspoň jedno reálné číslo b, pro něž platí (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Pro každé celé číslo k platí, jestliže je druhá mocnina čísla k dělitelná 3, pak je i číslo k dělitelné 3.
Existuje aspoň jedno reálné číslo, jehož absolutní hodnota je rovna nule.
Druhá mocnina každého reálného čísla je číslo nezáporné.
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Posuďte pravdivost následujících výroků a vytvořte jejich negace:
Každé dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné.
Každá kočka je černá.
Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné pěti.
Existuje trojúhelník, ve kterém součet všech jeho vnitřních úhlů není roven 180°.
Existuje aspoň jedno reálné číslo, jehož součin s nulou je číslo nenulové.
Žádné přirozené číslo není menší než deset.
Žádný učený z nebe nespadl.
Existuje aspoň jeden trojúhelník, jehož výšky se neprotínají v jediném bodě.
4. Rozhodněte o pravdivosti výrokových formulí:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5. Důkazové úlohy o dělitelnosti – zvolte si vhodně přímý důkaz, nepřímý důkaz (důkaz obměnou)
Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí:
a) n3 + 5n je dělitelné třemi i šesti
g) 3(n2 + 1)6 n
b) 2(n2 – n)
h) 4n22n
c) 3(n3 – n)
i) 3(n2 + 2)3 n
d) 2(n2 – 3n)
j) 3n23n
e) 3(n3 – 11n)
k) 3 n9 n2
f) 10 n20 n
6.
a)
b)
c)
d)
Vyslovte obměny výroků:
Jestliže se řidič necítí zdráv, nevyjíždí vozidlem do silničního provozu.
Jestliže řidič předpokládá, že bude řídit vozidlo, nepije alkoholické nápoje.
Jestliže jede vozidlo v dešti, řidič rozsvěcuje světla.
Jestliže jsou škodlivé látky z výrobního procesu odplavovány vodou, je podnik povinen vybudovat
čistírnu odpadních vod.
e) Jestliže podnik nedodržuje zákon o životním prostředí, platí pokuty za znečišťování prostředí.
f) Jestliže není ve městě dostatek zeleně, zvyšuje se množství CO2 v ovzduší města.
7. Dokažte sporem:
a) Pro všechna přirozená čísla n platí, jestliže je sudé číslo n2, je sudé i číslo n.
b)
c)
d)
e)
Číslo
je číslo iracionální.
Body
jsou vrcholy trojúhelníka.
Ani jedna mocnina čísla 2 se nerovná součtu žádných pěti za sebou jdoucích přirozených čísel.
Je dána kružnice k se středem S a v jejím bodě A je sestrojena přímka p kolmá k přímce SA. Dokažte,
že přímka p má s kružnicí k jediný společný bod A.
8. Dokažte matematickou indukcí:
a)

)
b)

c)
d)
e)
f)
g)
h)