Zde

ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
Vzduchová dráha
Abstrakt
Cílem úlohy je ov¥°it zákon zachování energie a hybnosti p°i sráºce dvou t¥les, m¥°ení impulzu síly a
stanovení koecientu restituce p°i sráºce. M¥°ení se provádí pomocí vzduchové dráhy, která
minimalizuje t°ení. Cílem úlohy je nau£it se základní manipulaci se senzory p°ipojenými k po£íta£i a
zpracovávat v¥t²í mnoºství dat.
1 Pracovní úkoly
1. Elastické sráºky na vzduchové dráze
K m¥°ení pouºijte 2 vozí£ky r·zných hmotností. Jednomu z vozí£k· ud¥lte po£áte£ní rychlost pomocí
startovacího za°ízení, druhý nechte v klidu. Pro kaºdou ze 3 startovacích rychlostí prove¤te 10
m¥°ení. Poté zam¥¬te vozí£ky a m¥°ení opakujte (celkem tedy 60 m¥°ení).
2. Seznamte se s pojmy systematická a statistická chyba. Rozmyslete si, která je pro tuto úlohu zásadní.
Ur£ete, jak se m·ºe hybnost a energie p°ed sráºkou a po sráºce li²it, aby bylo moºné je povaºovat
za shodné.
3. Z rychlostí vozí£k· p°ed a po sráºce stanovte, k jaké zm¥n¥ hbnosti ∆p a energie (∆E ) do²lo.
Diskutujte, zda-li jste v rámci chyb ov¥°ili zákony zachování.
4. Impulz síly
Ke startovacímu senzoru umíst¥te jeden z vozí£ku, druhý ze vzduchové dráhy odstra¬te. Pomocí
tlakového senzoru zm¥°te pr·b¥h síly p°i odrazu. Srovnejte se zm¥nou hybnosti zm¥°enou polohovým
senzorem. M¥°ení prove¤te 10-krát.
2 Pom·cky
Vzduchová dráha s p°íslu²enstvím, digitální váhy, 2x pohybový senzor PASCO, silový senzor
PASCO, PC (DataStudio).
Pom·cky:
3 Úvod
První zmínky o jakýchsi zákonech zachování pochzí z ecka. Zákony zachování se údajn¥ zabýval jiº Thálet
z Mílétu. Tvrdil, ºe se zachovává jakási substance, z které je v²e vytvo°eno. Blíºe dne²nímu pohledu byl
Empédokles, jehoº Vesmír byl tvo°en 4 prvky: zemí, vzduchem, vodou a ohn¥m. Celkové mnoºství t¥chto
element· se dle Empédokla nem¥ní, pouze dochází k jejich p°em¥n¥ v jiný prvek. Podobn¥ dnes vnímáme
zákon zachování energie.
N¥kolik kokrétních p°ípad·, souvisejících p°edev²ím se zákonem zachování hybnosti a momentu hybnosti, studoval i Galileo Galilei. Jeho pokusy s kyvadly ve²ly do fyzikálních d¥jin, ov²em nep°inesly ºádný
obecný zákon.
První matematickou formulaci zákon· zachování vytvo°il Gottfried Wilhelm Liebnitz (pokud je Vám
jméno pov¥domé, vytvo°il diferenciální a integrální po£et). Zabýval se zákonem zachování kinetické energie. Kinetická energie se dle Liebnitze zachovává, pokud nedochází ke zm¥n¥ hmotností systému. Tyto
podmínky spl¬ují nap°íklad elastické sráºky.
1
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
Émilie du Châtelet se nechala inspirovat Liebnitzovou prací a vytvo°ila experiment, kdy z r·zných
vý²ek pou²t¥la koule do nádoby s jílem. Zjistila, ºe deformace jílu je úm¥rná výsce, ze které koule spou²t¥la.
Do²la tedy k záv¥ru, ºe energie v libovolné form¥ musí mít stejný rozm¥r, aby se mohla transformovat do
jiných forem (kinetická, potenciální, tepelná, ... ).
Velkým zlomem byl tzv. teorém Noetherové. Emilly Noetherová byla n¥mecká matemati£ka, která se
zabývala, mimo jiné, teoretickou fyzikou. Ve své práci ukázala, ºe zákony zachování souvisí se symetriemi
systému. Zákon zachování hybnosti vyjad°uje, ºe nezáleºí na tom, kde k d¥ji dochází (transla£ní symetrie),
zákon zachování energie je zase d·sledkem toho, ºe nezáleºí na tom, kdy experiment provádíme (£asová
symetrie). Tedy pokud provedeme stejný experiment v 11:00 v Praze a ve 13:00 v Brn¥, dostaneme stejné
výsledky.
Dal²ím p°íkladem m·ºe být zákon zachování momentu hybnosti, vyjad°ující symetrii v·£i rotaci, nebo
zákon zachování elektrického náboje, který je d·sledkem tzv. kalibra£ní invariance.
V této úloze se budeme zabývat elastickýmmi a neelastickými sráºkami dvou t¥les, konkrétn¥ dvou
vozík·. Elastická sráºka je taková sráºka, p°i které platí zákon zachování hybnosti i zákon zachování
mechanické energie soustavy. Oproti tomu neelastická sráºka je taková sráºka, p°i které se £ást energie
m¥ní na jinou, která se projevuje nap°íklad deformacemi nebo zah°íváním.
Abychom dosáhli opravdu elastické sráºky, budeme pouºívat tzv. vzduchovou dráhu. To je za°ízení,
které sniºuje dynamické t°ení na minimum. Skládá se z trubice, do které je vhán¥n vzduch, který dále
uniká malými dírkami. Vzduch nadleh£uje vozíky a tedy výrazn¥ redukuje t°ení.
P°i neelastické sráºce se zachovává pouze hybnost. Stupe¬ pruºnosti p°i takové sráºce udáváme pomocí
tzv. sou£initele nebo koecientu restituce, který vyjad°uje podílem relativních rychlostí t¥les p°ed sráºkou
a po ní. Hodnotu koecientu restituce je t°eba ur£it experimentáln¥ pro kaºdý materiál. Nabývá hodnot
od 0 do jedné. Pro dokonale elastickou sráºku platí k = 1, pro dokonale neelastickou pak k = 0. Je
d·leºité si uv¥domit, ºe koecient závisí na rychlosti, není konstantní. P°i malých rychlostech nárazu se
blíºí jedné. Konrétní hodnoty jsou nap°íklad 0.9 pro golfový mí£ek naráºející na ocelový plát nebo 0.4
pro puk na d°evo [7]. Pro dv¥ auta jedoucí proti sob¥ rychlostí 30 km/h je koecient restituce asi 0.12 [8].
Nap°íklad pro sklo na sklo je k = 0.94, ocel na ocel k = 0.93, pryº na mramor k = 0.82.
4 Teoretický základ
4.1
Zákony zachování v soustav¥ t¥les
Jak bylo zmín¥no v úvodu, platí n¥kolik zákon· zachování. My se omezíme na dva zákony zachování:
• Celková hybnost izolované soustavy se zachovává.
• Celková energie izolované soustavy se zachovává.
Matematicky tyto zákony snadno odvodíme za pouºití 2. Newtonova zákona, který °íká, ºe síla F~ je
rovna zm¥n¥ hybnosti p~ za £as t. Matematicky vyjád°eno;
∆~
p
.
F~ =
∆t
(1)
Izolovaná soustava je taková soustava, na kterou nep·sobí ºádné vn¥j²í síly, tedy
∆~
p
=0
∆t
⇒
p~ = konst .
(2)
V p°ípad¥ zákona zachování energie se omezíme pouze na energii kinetickou, ozna£íme ji E . Mezi
hybností p~ a energií platí vztah
|~
p|2
E=
,
(3)
2m
kde m zna£í hmotnost soustavy. Pokud povaºujeme tuto hmotnost za konstantní, snadno dostáváme, ºe
E = konst .
2
(4)
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
4.2
Impulz síly a zm¥na hybnosti
~ vyjad°uje £asový ú£inek síly. P·sobí-li na vozí£ek konstantní síla po dobu ∆t = t2 − t1 , je
Impulz síly I
impulz síly dán sou£inem této síly a £asu:
~v2 − ~v1
I~ = F~ ∆t = m~a∆t = m
∆t = m~v2 − m~v1 = p~2 − p~1 .
∆t
(5)
Impulz síly je tedy roven zm¥n¥ hybnosti £ástice. Je-li síla £asov¥ prom¥nná, p°esuneme se od ∆t k
diferenciálu dt. Impulz síly je pak denován jako integrál
Z t2
Z t2
Z t2
d~
p
dt =
d~
p = p~2 − p~1 .
(6)
I~ =
F~ dt =
t1
t1
t1 dt
Síla, jejíº impulz ur£ujeme, bývá £asto krátkodobá, jako nap°. p°i sráºcce dvou vozík·, a neznáme ani
její £asový pr·b¥h. Proto zavádíme st°ední sílu hF~ i p·sobicí na t¥leso vztahem
hF~ i =
Impulz síly bude tedy
1
∆t
Z
t2
(7)
F~ dt .
t1
(8)
I~ = hF~ i∆t
Výpo£et je nazna£en Obr. 1, kde vezmeme vy²rafovanou plochu nahradíme ji plochou obdelníka stejné
velikosti. Impulz síly má tedy tejný rozm¥r jako hybnost a m¥°íme jej ve stejných jednotkách jako hybnost.
4.3
Zákony p°i sráºkách dvou t¥les
P°edpokládejme elastickou sráºku dvou t¥les o
hmotnostech m1 a m2 . Ze vztah· 2, 3 a 4 lze zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti
zapsat jako
p~21
p~2
p~02
p~02
+ 2 = 1 + 2 ,
2m1
2m2
2m1
2m2
(9)
p~1 + p~2 = p~01 + p~02 ,
(10)
kde p~1 a p~2 jsou hybnosti t¥les p°ed sráºkou a p~01
a p~02 hybnosti t¥les po sráºce.
Uvaºujeme situaci, kdy jedno t¥leso je p°ed
sráºkou v klidu, tj. p~2 = 0. N¥kolika úpravami dostaneme vztah pro výpo£et hybností po sráºce:
p~01 =
m1 − m2
p~1 ,
m1 + m2
p~02 =
2m2
p~1 .
m1 + m2
(11)
: St°ední hodnota p·sobící síly.
Obr. 1
V p°ípad¥, ºe sráºku nelze povaºovat za elastickou, se zachovává pouze hybnost. Stupe¬ pruºnosti p°i
takové sráºce udáváme pomocí tzv. koecientu restituce :
k=
∆vpo
v10 − v20
=
,
v1 − v2
∆vpred
tedy podílem relativních rychlostí t¥les p°ed sráºkou a po ní.
3
(12)
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
4.4
Statistické zpracování dat
Pro na²e m¥°ení bude d·leºitý aritmetický pr·m¥r a chyba aritmetického pr·m¥ru. Odvodíme si, pro£ se
v·bec budeme zabývat aritmetickým pr·m¥rem a nauíme se, jak vypo£ítat chybu aritmetického pr·m¥ru.
4.4.1
Aritmetický pr·m¥r
P°i skute£ném m¥°ení získáme kone£ný po£et n nam¥°ených hodnot téºe veli£iny. Ozna£íme je x1 , x2 , ... , xn .
Skute£nou hodnotu m¥°ené veli£iny, kterou ov²em zm¥°ít nem·ºeme, ozna£íme x0 . Chyby m¥°ení ε jsou
tedy
εi = xi − x0 ,
i ∈ n̂ .
Kdyby byl po£et m¥°ení nekone£ný (n→ ∞) a kdybychom p°edpokládali, ºe chyby mají mít Gaussovo
rozd¥lení, musel by být po£et nam¥°ených hodnot, které leºí v intervalu (x, x + dx), dán výrazem
"
2 #
1 x − x0
1
√ exp −
dx ,
2
σ
σ 2π
v n¥mº ε = x − x0 zna£í velikost chyby, σ je konstanta.
Protoºe v²ak po£et m¥°ení je kone£ný, nelze snadno ur£it skute£nou hodnotu x0 . Zvolíme proto za
ni takovou hodnotu, jeº je nejpravd¥podobn¥j²í. Budeme hledat takovou hodnotu x0 , aby chyby εi ,
vypo£ítané vzhledem k x0 , m¥ly co nejv¥t²í pravd¥podobnost výskytu. Pravd¥podobnost, ºe se vyskytne
chyba εi , je
1
1 εi 2
dPi = √ exp −
dεi
2 σ
σ 2π
(p°esn¥ °e£eno, dPi je pravd¥podobnost, ºe chyba bude v intervalu (εi , εi + dεi )). Pravd¥podobnost, ºe
se ve skupin¥ n m¥°ení vyskytnou chyby ε1 , ... , εn je
n
1
1
2
2
2
√
exp − 2 ε1 + ε2 + ... + εn dε1 dε2 ... dεn .
dP1 dP2 ... dPn =
2σ
σ 2π
M·ºeme poloºit dε1 = ... = dεn a zvolit ²í°ku intervalu tak malou, aby velikost chyb byla dodrºena s
poºadovanou p°esností. Poslední výraz bude pak mít maximum tehdy, kdyº sou£et £tverc· chyb
s = ε21 + ε22 + ... + ε2n
bude minimální. Sou£et s je vyjád°en pomocí zm¥°ených hodnot výrazem
s = (x1 − x0 )2 + (x2 − x0 )2 + ... + (xn − x0 )2 .
Podmínkou extrému je
ds
= −2(x1 − x0 ) − ... − 2(xn − x0 ) = 0
dx0
a odtud
n
x0 =
1
1X
(x1 + x2 + ... + xn ) =
xi .
n
n
(13)
i=1
Za nejpravd¥podobn¥j²í hodnotu veli£iny x p°i dané sérii m¥°ení dostaneme tedy aritmetický pr·m¥r
nam¥°ených hodnot.
4
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
4.4.2
Chyba aritmetického pr·m¥ru
Pon¥vadº aritmetický pr·m¥r (13) není skute£ná hodnota m¥°ené veli£iny, nejsou výrazy εi = xi − x0
p°esné hodnoty chyb, nýbrº se od nich pon¥kud li²í. Budeme proto rozdíly xi − x0 , po£ítané vzhledem k
aritmetickéhu pr·m¥ru, ozna£ovat
∆i = x i − x 0 ,
i ∈ n̂ .
(14)
P°i kone£ném po£tu ∆i m·ºeme vypo£ítat odmocninu z aritmetického pr·m¥ru jejich £tverc·, tedy
r Pn
2
i=1 ∆i
(15)
σ=
n
a budeme ji nazývat st°ední (kvadratická) chyba jednotlivého m¥°ení. Správn¥ bychom zde místo ∆i m¥li
po£ítat εi , jeº ov²em neznáme. Podrobný výpo£et vede k výsledku, ºe st°ední chybu jednotlivého m¥°ení
musíme po£ítat podle vztahu
sP
n
2
i=1 ∆i
.
(16)
σ=
n−1
Odvození je nap°íklad v [2] na str. 73 nebo v [5] na str. 199. Rozdíly v hodnot¥ σ podle (15) a (16) nejsou
v²ak velké a n¥kte°í auto°i uºívají proto výrazu (15), viz nap°íklad [5] na str. 175 (v ruském p°ekladu).
5 Postup m¥°ení
Pro ov¥°ování zákon· zachování energie a hybnosti pouºijte sestavu se dv¥ma vozíky, pro kaºdý z nich
jeden pohybový senzor. Instalaci pohybového senzoru ukazuje Obr. 2 (vlevo). P°ed vlastním m¥°ením je
t°eba pe£liv¥ nastavit vzduchovou dráhu vodorovn¥. P°i správném nastavení by m¥l vozík z·stat nehybn¥
v kaºdém míst¥ dráhy. Z d·vodu lehkého zak°ivení vzduchové dráhy je toto nastavení tém¥° nereálné.
Pokud se vám tedy nepoda°í vzduchovou dráhu srovnat, nastavte ji tak, aby vozí£ek samovoln¥ neodjíºd¥l
od startéru. B¥hem elastických sráºek nepouºívejte p°íli² t¥ºké vozíky a také nepouºívejte vozíky vzájemn¥
stejné nebo podobné hmotnosti. Optimální je pouºít t¥º²í a leh£í vozík.
Aby bylo m¥°ení co moºná nejmén¥ ovlivn¥no uktuacemi v tlaku vzduchu, je vhodné nastavit proud
plynu dodávaný zdrojem (Obr. 2 (vpravo)) na nejmen²í pouºitelnou úrov¥¬, tedy hodnotu 2. Také je
správn¥ nastavit odrazové plochy na obou vozících tak, aby se navzájem zakrývaly a byly ve správném
úhlu v·£i senzor·m. Tím se minimalizují fale²né signály, které znemoºní ode£et správných dat. Práce se
startovacím systémem (Obr. 3 (vlevo)) je intuitivní, hloubkou zamá£knutí regulujeme rychlost. Startovací
systém je pot°eba pro správné fungování domá£knout aº do konce.
Pro m¥°ení impulzu síly nahra¤te jeden z pohybových senzor· silovým senzorem (viz Obr. 3 (vpravo)).
P°ebyte£ný vozík z dráhy odstra¬te.
5.1
Inicializace programu DataStudio [3]
Program DataStudio je ur£en k obsluze senzor· PASCO a ode£ítání údaj· z nich. Program je automaticky
vyvolán v okamºiku, kdy je do USB portu zapojen nový senzor. P°i tom program najde i v²echny ostatní
senzory a aktualizuje jejich seznam. DataStudio je moºné spustit i bez vým¥ny senzoru, v tom p°ípad¥ ale
identikace zapojených £idel neprob¥hne a je t°eba je nastavit ru£n¥. Je-li nutné b¥hem m¥°ení vym¥nit
senzor, je nejjednodu²²í a nejrychlej²í vypnout a zapnout DataStudio.
Bezprost°edn¥ po zapnutí DataStudia se objeví prost°edí vyobrazené na Obr. 4 vlevo. V levém horním
okn¥ nadepsaném Data je seznam nalezených senzor· (na tomto p°íkladu 2 pohybové senzory), levé dolní
okno obsahuje výpis moºností zobrazení dat a jiº otev°ená datová okna. Zbytek plochy zabírá prostor pro
datové objekty (grafy, histogramy a podobn¥). Zde se automaticky otev°el jeden graf, svázaný se vstupy
pohybových senzor·.
Nyní je t°eba se p°esv¥d£it, ºe senzory jsou správn¥ nakongurovány. Klikn¥te na ikonu Setup (Nastavení) v levé horní £ásti obrazovky. Otev°e se okno s moºnostmi nastavení senzor· (viz Obr. 4 vpravo).
5
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
: Instalace pohybového senzoru PASCO (vlevo) a zdroj stla£eného vzduchu pro vzduchovou dráhu
(vpravo)
Obr. 2
: Startovací systém vzduchové dráhy (vlevo) a instalace silového senzoru PASCO (vpravo)
Obr. 3
Senzory umí snímat nejen polohu, ale i rychlost a zrychlení vozík·. Tyto schopnosti senzor· ale
vyuºívat nebudeme, nebo´ jsou (narozdíl od ur£ování polohy) velmi nep°esné. Místo toho budeme rychlost získávat ze zm¥n poloh v £ase (vysv¥tleno pozd¥ji). Jsou-li za²krtnuty i jiné moºnosti neº Position
(Pozice), zru²te je. Sampling rate (po£et ode£t· polohy za vte°inu) nastavte alespo¬ na 10 Hz. Okno
s nastavením senzor· pak zav°ete a vytvo°te si pro kaºdý vozík zvlá²´ graf závislosti polohy na £ase.
To provedete tak, ºe kliknete levým tla£ítkem my²i na pat°i£ný senzor v seznamu a p°etáhnete jej do
seznamu zobrazení dat na poloºku Graph (Graf). Výsledek je zobrazen na Obr. 5 vlevo.
Nyní uve¤te do provozu vzduchovou dráhu, poloºte na ni vozíky a tla£ítkem Start zahajte sb¥r dat.
Ud¥lte vozík·m n¥jaké rychlosti a nechte je pohybovat se po vzduchové dráze. Tla£ítkem Stop, které se
objevilo na míst¥ tla£ítka Start, po chvíli sb¥r dat zastavte. M¥li byste vid¥t výsledek podobný situaci
na Obr. 5 vpravo.
Na první pohled je vid¥t, ºe zatímco první ze senzor· (£ervený), snímal polohu vozíku bez závad,
u druhého (zeleného) tomu tak nebylo. V datech se objevují nesmyslné ostré píky a plato v intervalu
13 − 17 s také není v po°ádku. První závada je zp·sobena nevhodným úhlem odraºe£e na vozíku signál se odráºí pry£, nezasáhne £idlo a to pak zaznamená nesmysln¥ vysokou vzdálenost. Plato je pak
zap°í£in¥no nevhodným sklonem samotného senzoru - mikrofon je p°íli² sklon¥n, takºe vozík vyjede z jeho
zorného pole a signál se odráºí p°ímo od kolejnice vzduchové dráhy. V datech se pak objeví údaj o tom,
ºe vozík stojí nehybn¥ na míst¥. Pomocí stálého sb¥ru dat a jemného nastavování obou úhl· lze podobné
problémy odstranit (viz Obr. 6).
6
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
: Obrazovka DataStudia po startu (vlevo); nastavení senzor· (vpravo)
Obr. 4
: Grafy závislosti polohy na £ase pro oba vozíky (vlevo); první sb¥r dat - vozíky na vzduchové dráze
(vpravo)
Obr. 5
5.2
M¥°ení rychlosti pomocí závislosti polohy na £ase
Zaznamenejte první sráºku. V programu DataStudia byste m¥li dostat podobný obrázek jako na Obr. 7
(vlevo).
Pokud p°edpokládáme, ºe na vozíky p°i pohybu na vzduchové dráze nep·sobí ºádné t°ení, lze o£ekávat,
ºe jejich pohyb bude rovnom¥rný, p°ímo£arý. To znamená, ºe body závislosti polohy na £ase nam¥°ené
mezi sráºkami budou leºet na p°ímce. Sklon (derivace) této p°ímky pak bude roven rychlosti vozík·
(velikosti zm¥ny polohy za £as). Pro získání rychlosti je tedy nutné proloºit body p°ímkou a ur£it její
sklon. To umí DataStudio ud¥lat automaticky.
Ozna£te body, které chcete proloºit, pomocí levého tla£ítka my²i. Volte oblast t¥sn¥ p°ed sráºkou.
D·vodem je to, ºe i kdyº je t°ení na vzduchové dráze malé, p°esto existuje (odpor vzduchu), a proto se
na dlouhém úseku body od p°ímky odchýlí. Bod· ov²em musí být dostatek, aby jimi program proloºil
p°ímku správn¥. Máte-li body ozna£eny, klepn¥te na tla£ítko Fit, které najdete na horním okraji okna
s grafem. Z nabídky vyberte Linear t (viz Obr. 7 vpravo). Výsledek je vid¥t na Obr. 8.
7
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
: Data ze ²patn¥ (vlevo) a dob°e nastaveného polohového senzoru (vpravo)
Obr. 6
: Data ze sráºky vozík· pozorované polohovými senzory vykreslené DataStudiem (vlevo). Výb¥r
bod·, kterými se má proloºit p°ímka (vpravo)
Obr. 7
U kaºdé proloºené p°ímky vypí²e program její parametry Slope (Sklon), Y intercept (Y pr·se£ík),
d·v¥ryhodnost tu a standardní odchylky obou parametr·. Parametr Slope je rychlost vozíku, zaznamenejte si jej. Ostatní parametry jsou pro m¥°ení irelevantní a nemusíte si jich v²ímat. Chybu m¥°ení
budete po£ítat statisticky z nam¥°ených dat. Na Obr. 8 je nazna£eno získání rychlosti pro první vozík
p°ed a po sráºce (veli£in v1 a v10 ). Nezapome¬te, ºe rychlost je vektor, a je tedy pot°eba násobit p°íslu²né
rychlosti −1.
5.3
M¥°ení pr·b¥hu a impulzu síly
Zam¥¬te pohybový senzor dále od okna za silový senzor. Stojan za silovým senzorem zat¥ºte olov¥nou
cihlou, jinak se vám velká £ást hybnosti "ztratí"v pohybu stojanu.
V programu DataStudio otev°ete moºnosti nastavení (Setup ) - viz Obr. 10. Sampling rate pro silový
senzor nastavte na nejvy²²í moºnou hodnotu (1000 Hz), protoºe p·sobení síly p°i sráºce je velmi krátké
(n¥kolik milisekund).
Samotný senzor je t°eba zkalibrovat. To se provádí pomocí tla£ítka Zero (Nula), které je na horním
krytu senzoru (£erný £udlík). Tímto tla£ítkem nastavíte nulovou hodnotu p·sobící síly. Tla£ítko je pot°eba
zmá£knout v okamºiku, kdy na senzor nep·sobí ºádná síla. Rozdíl v ode£tu hodnot zkalibrovaného a
nezkalibrovaného senzoru je vid¥t na Obr. 10.
Samotná sráºka je velmi krátká. Zv¥t²íte-li si její záznam, vidíte, ºe trvá asi 10 ms (viz Obr. 11).
8
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
: Proloºení nam¥°ených dat p°ímkou
Obr. 8
: Ode£ítání rychlostí pro oba vozíky
Obr. 9
K ur£ení plochy, která je ohrani£ena pr·b¥hem síly, je bohuºel DataStudio nevhodné. Tuto plochu sice
program spo£ítat umí, ale pouze s p°esností na jedno desetinné místo, coº nám neposta£í. Musíte pouºít
n¥jaký externí nástroj. To ov²em p°edpokládá, ºe si data uloºíte a zpracujete pozd¥ji. K tomu slouºí volba
File, Export, která dovoluje uloºit data do ASCII souboru jako dvousloupcovou tabulku. Nezapome¬te
ale vybrat data ze správného senzoru (viz Obr. 12 vlevo)!
Výpo£et plochy pod lomenou £arou je vysv¥tlen na Obr. 12 vpravo. Postup lze aplikovat nap°íklad v
MS Excel.
9
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
: Nastavení silového senzoru (vlevo). Údaje z nezkalibrovaného (zelen¥) a zkalibrovaného (£erven¥)
silového senzoru (vpravo).
Obr. 10
Obr. 11
: Data ze silového senzoru, vpravo vý°ez
Obr. 12: Výb¥r dat k uloºení ve formátu textové tabulky (vlevo), princip výpo£tu plochy pod lomenou
£arou (vpravo)
10
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
6 Gracké zpracování výsledk·
V²echna m¥°ení (hmotnost, rychlost, . . . ) a tedy i výsledky mají své chyby a tyto chyby by m¥ly být
zobrazeny i ve výsledných grafech jednotlivých závislostí. K tomu slouºí tzv. errorbary, které gracky
zobrazují chybu daného m¥°ení. Obr. 13 zobrazuje p°íklad zákonu zachování hybnosti b¥hem elastické
sráºky pro dva vozíky, kde p0 je celková hybnost po sráºce a p hybnost p°ed sráºkou. Errorbary pak
zobrazují chyby p0 i p.
K Obr. 13 lze dojít nap°. programem Gnuplot1 (lze pouºít i MS Excel). V p°ípad¥ programu Gnuplot
je t°eba si p°ipravit soubor dat, nap°. zzh.data, do prvního sloupce napsat x-ové hodnoty, do druhého
y -ové hodnoty a do dal²ích dvou pak chyby m¥°ení p a p0 . Sloupce musí být odd¥leny mezerou nebo
tabulátorem.
: Zákon zachování hybnosti p°i elastické sráºce - závislost celkové hybnosti po sráºkou p0 na celkové
hybnosti p°ed sráºkou p
Obr. 13
Popsání os x a y a následné vykreslení dat lze ud¥lat nap°íklad pomocí následujcích p°íkaz·:
set xlabel "p [gm/s]"
Nastaví popisek osy x na "p [gm/s]"
set ylabel "p' [gm/s]"
Nastaví popisek osy y na "p [gm/s]"
plot 'zzh.data' with xyerrorbars
Vykreslí data ze souboru zzh.data s errorbary
Pro tování dat zadenujeme tovací lineární funkci
f(x) = a*x + b
Denuje v programu, ºe funkce f(x) má p°edpis a*x + b, kde x je prom¥nná
a = 1; b = 0
Denuje parametry a a b
fit f(x) 'zzh.data' using 1:2 via a,b
Data ze souboru zzh.data proloºí funkcí f, která má parametry a a b
1 Gnuplot
je freeware k dispozici na
www.gnuplot.info
pro opera£ní systémy Windows, Linux i MacOs.
11
ƒESKÉ VYSOKÉ UƒENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
Univerzita t°etího v¥ku Aplikované p°írodní v¥dy (Fyzika p°átelsky), ZS 2015/2016
plot f(x), 'zzh.data' with xyerrorbars
Vykreslí data ze souboru zzh.data s errorbary a výslednou funkci f(x)
Vemte na v¥domí, ºe i tovací parametry mají svou chybu, se kterou by m¥ly být uvád¥ny.
Uloºení výstupu grafu lze nap°.:
set output 'zzh.pdf'
Gnuplot te¤ ví, ºe má obrázek pojmenovat 'zzh.pdf'
set terminal pdf
Nastaví správný formát obrázku (v tomto p°ípad¥ pdf)
plot 'zzh.data' with xyerrorbars
Vykreslí data ze souboru zzh.data s errorbary a výslednou funkci f(x)a uloºí je do zzh.pdf
Pokud zam¥níme set terminal pdf za set terminal png a set output 'zzh.pdf' za set output
'zzh.png', Gnuplot obrázek uloºí ve formátu png. Podrobn¥j²í návody lze nalézt na [4].
Reference
[1] ’TOLL, Ivan, Doc. Ing., CSc., Mechanika, Vydavatelství ƒVUT, Praha 2003.
[2] HORÁK, Z. Praktická fyzika, Praha, SNTL 1985, str. 52-86
[3] PASCO Company, DataStudio, http://www.pasco.com/datastudio/ [citováno 12.9. 2014].
[4] Gnuplot pages, www.gnuplot.info [citováno 12.9. 2014].
[5] BOL’AKOV, V. D. T¥orija o²ibok nabljud¥nij, Moskva, N2DRA 1965
[6] WORTHING, A. G., GEFFNER, J. Treatment of experimental Data, New York, London, 1943.
[7] Coecient of restitution of sports balls: A normal drop test, IOP Conf. Series: Materials Science and
Engineering 36, doi:10.1088/1757-899X/36/1/012038
[8] BATISTA, M. On the Mutual Coecient of Restitution in Two Car Collinear Collisions http://
arxiv.org/vc/physics/papers/0601/0601168v1.pdf [citováno 28.12.2015].
12