Bc. Martin Hanus, Bc. Petr Prikryl

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH
TECHNOLOGIÍ
ÚSTAV MIKROELEKTRONIKY
FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND
COMMUNICATION
DEPARTMENT OF MICROELECTRONICS
MINIMALIZACE LOGICKÉ FUNKCE
AUTOŘI
Bc. Martin Hanus
Bc. Petr Prikryl
BRNO 2010
Obsah
1 Logická funkce..................................................................................................................................3
1.1 Zápis logické funkce..................................................................................................................3
1.1.1 Pravdivostní tabulka ..........................................................................................................3
1.1.2 Logické výrazy ..................................................................................................................4
1.2 Úplný zápis kombinační logické funkce....................................................................................4
1.2.1 Způsob součtu součinů.......................................................................................................4
1.2.2 Způsob součinu součtů.......................................................................................................4
1.3 Karnaughova mapa....................................................................................................................5
2 Minimalizace logické funkce............................................................................................................6
2.1 Booleova algebra a de Morganovy zákony................................................................................6
2.2 Minimalizace logické funkce pomocí Karnaughovy mapy.......................................................6
3 Příklady..............................................................................................................................................7
3.1 Využití Booleovy algebry..........................................................................................................7
3.2 Využití Karnaughovy mapy.......................................................................................................8
4 Závěr................................................................................................................................................10
Literatura.............................................................................................................................................11
-2-
1 Logická funkce
Logická funkce je funkce, která pro konečný počet vstupních parametrů vrací logické
hodnoty. Kombinační logickou funkcí pak nazýváme funkci, která každé kombinaci logických
hodnot 0 a 1 přiřazených vstupními proměnnými, přiřadí jedinou hodnotu výstupní proměnné.
Kombinace vstupních logických proměnných, k níž není určena hodnota výstupní logické funkce,
se nazývá neurčitý stav. Kombinační logická funkce se dále může rozdělovat. Prvně lze mít funkci
úplně určenou, kdy definiční obor této funkce zahrnuje všechny kombinace vstupních proměnných
nebo může existovat funkce neúplně určená, která obsahuje jednu nebo více kombinací vstupních
proměnných, které nejsou definovány.
1.1 Zápis logické funkce
1.1.1
Pravdivostní tabulka
Logickou funkci lze zapisovat několika způsoby. První způsob zápisu je pravdivostní
tabulka. Tato tabulka obsahuje pouze logické hodnoty 0, 1 nebo neurčité stavy označovány znakem
X. Velikost tabulky je dána počtem všech vstupních proměnných a počtem výstupních funkcí.
Tabulka bude mít tolik řádků jako je počet všech kombinací stavů vstupních proměnných, které
mohou nastat. Počet těchto kombinací se vypočítá jako 2 n kde n představuje počet vstupních
proměnných.
Vstupy
Výstupy
A
B
Y
0
0
X
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Tabulka 1: Zápis logické funkce ve formě pravdivostní tabulky
-3-
1.1.2
Logické výrazy
Další ze způsobů, jak zapisovat logickou funkci je pomocí logických výrazů. Mezi jejich
zvláštní typy patří následující. Součinový term obsahuje jen operátory logického součinu. Nazývá
se též jako implikant nebo konjunkce. Součtový term obsahuje jen operátory logického součtu.
Nazývá se též jako inhibent či disjunkce. Minterm je součinový term obsahující všechny vstupní
proměnné. Maxterm je se součtový term obsahující taktéž všechny vstupní proměnné. Úplným
termem nazýváme minterm nebo maxterm.
1.2 Úplný zápis kombinační logické funkce
Úplný zápis kombinační logické funkce provedený ve formě pravdivostní tabulky pomocí
logického výrazu můžeme provézt dvěma způsoby.
1.2.1
Způsob součtu součinů
Výsledkem tohoto způsobu musí být vždy logická 1. Proto postupujeme tak, že ve sloupci
obsahující hodnotu výstupní funkce hledáme řádky obsahující právě logickou 1 a napíšeme logický
součin vstupních proměnných, které znegujeme, pokud obsahují logickou 0. Zápis bude vypadat
následovně
Tabulka 2: Příklad pravdivostní tabulky
Y = A . B . C  A . B . C  A . B . C  A . B . C (1.1)
1.2.2
Způsob součinu součtů
Výsledkem tohoto způsobu musí být vždy logická 0. Postupujeme podobně jako u způsobu
součtu součinu. Nyní ale vyhledáme v tabulce řádky, v nichž se ve sloupci s hodnotou výstupní
funkce vyskytuje logická 0. Následně zapíšeme logický součet vstupních proměnných, které
-4-
znegujeme, pokud obsahují logickou 1. Zápis bude vypadat následovně.
Y =  ABC  .  ABC  .  ABC  .  ABC  (1.2)
Oba tyto způsoby zápisu logického výrazu z pravdivostní tabulky jsou ekvivalentní. V praxi
se ale častěji využívá způsobu součtu součinů.
1.3 Karnaughova mapa
Karnaughova mapa je jeden z dalších možných zápisů logické funkce. Tuto mapu přímo
použijeme při její minimalizaci nebo při její analýze. Jejím principem je zobrazení pravdivostní
tabulky do dvourozměrné mapy. Z této mapy lze poté graficky vyčíst minimální funkci.
Tabulka 3: Příklad Karnaughovy mapy
Výhoda toho zápisu mapou spočívá v tom, že oblasti ovlivněné každou z proměnných jsou
na rozdíl od pravdivostní tabulky souvislé. Abychom dosáhli této skutečnosti je potřeba vnímat
mapu tak, že za posledním sloupcem následuje první sloupec a za posledním řádkem následuje
řádek první.
-5-
2 Minimalizace logické funkce
2.1 Booleova algebra a de Morganovy zákony
Jeden ze způsobů, jak postupovat při minimalizaci logické funkce je za použití Booleovy
algebry či de Morganových zákonů. Booleova algebra je algebraická struktura, která modeluje
vlastnosti množinových a logických operací a je definována jako distributivní komplementární svaz.
Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze logickou 0 a logickou 1 zastupující jeden prvek.
Takovouto Booleovu algebru nazýváme Booleovou logikou. Při minimalizaci logické funkce se
budeme řídit těmito vztahy a pravidly.
A A = A
A. A=A
A A = 1
A . A=0
A− BC  = A . B A . C
A B . C  =  AB .  AC 
A A . B = AB
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
V Booleově logice se také uplatňují de Morganovy zákony. Tyto zákony určují vztah mezi
sjednocením, průnikem a doplňkem množiny a další se zabývají matematickou logikou. Mezi
zákony uplatňující se v Booleově logice patří tyto.
A . B = AB
A B = A . B
(2.8)
(2.9)
2.2 Minimalizace logické funkce pomocí Karnaughovy mapy
Další ze způsobů minimalizace logické funkce je použití Karnaughovy mapy. Úplně zadaná
logická funkce se pomocí této mapy minimalizuje tím, že si všímáme souvislých oblastí.
Vyhledáváme oblasti, které jsou zcela nezávislé na jedné ze vstupních proměnných a ty pak
zapisujeme jako minimalizovanou funkci.
-6-
3 Příklady
V předchozí kapitole jsme si pospali, jakými způsoby lze přistupovat k problematice
minimalizace logické funkce. Nyní si tyto metody prakticky ukážeme.
3.1 Využití Booleovy algebry
Mějme zadanou pravdivostní tabulku (viz. Tab 4)
Tabulka 4: Příkladová pravdivostní tabulka
Z dané pravdivostní tabulky zapíšeme pro ukázku úplně zapsaný součet součinů.
Zaměřujeme se při tom na řádky tabulky obsahující ve sloupci výstupní hodnoty logické funkce
logickou 1 a zapíšeme.
Y =A. B.CA. B.CA. B.CA. B.C
Z prvních dvou součinů vytkneme a dále dle 2.3 upravíme. Jako výsledek úprav dostaneme
první minimalizovanou část funkce.
Y 1 = A B C A BC = AC .  BB = A C . 1 = AC
Podobně upravíme druhé dva součiny, z kterých po úpravách dostaneme druhou
minimalizovanou část.
Y 2 = A B C A B C = A B . CC  = A B . 1 = A B
-7-
Výslednou minimalizovanou funkci zapíšeme jako logický součet obou minimalizovaných
částí.
Y = Y 1 Y 2 = A C A B
3.2 Využití Karnaughovy mapy
Jako další metodu minimalizace lze použít Karnaughovu mapu a graficky odvodit
minimalizovanou funkci. Postupujeme tak, že si nejprve danou pravdivostní tabulku zapíšeme do
Karnaughovy mapy.
=>
Obrázek 1: Přepis pravdivostní tabulky do Karnaughovy mapy
Tímto krokem jsme dokázali spojit dříve nespojité oblasti vstupní proměnné C. Nyní můžeme
definovat části zápisu logické funkce s tím, že si všímáme souvislých oblastí.
Tabulka 5: První vybraná souvislá oblast
-8-
Tato oblast je zcela nezávislá na vstupní proměnné B (může nabývat jak logické 0 i
logické 1). Závisí tedy pouze na proměnných A a C.
Y1 = AC
Tabulka 6: Druhá vybraná souvislá oblast
Tato oblast je zcela nezávislá na vstupní proměnné C (může nabývat logické 0 i logické 1).
Závisí tedy pouze na proměnných A a B.
Y 2 = AB
Výslednou minimalizovanou funkci zapíšeme jako součet funkcí dílčích.
Y = Y 1 Y 2 = A C A B
-9-
4 Závěr
V této práci jsme se zaměřili na kombinační logickou funkci a na několik metod její
minimalizace. Popsali jsme, jak lze logickou funkci zapsat a uvedli příklady těchto zápisů. Na
příkladu jedné logické funkce jsme ukázali, jak provést její minimalizaci. Ukázali jsme si, jaké
vztahy a metody použít a vše podrobně popsali.
-10-
Literatura
[1]
VRBA, R. Digitální obvody a mikroprocesory. Brno, 2003. 252 s. Skriptum. FEKT
VUT v Brně.
-11-