1. Systém řezů M 2. Konjunkce (t-norma) 3. Disjunkce 4. Množinové

1. Systém řezů M
Nechť M : h0, 1i → P(X) je systém řezů fuzzy množiny A ∈ F(X), tj. M = RA . Pak M splňuje podmínky:
M (0) = X,
0 ≤ α < β ≤ 1 ⇒ M (α) ⊇ M (β),
1.1. Negace - definice
1.3. Rovnovážná hodnota
α ≤ β ⇒ ¬. β ≤ ¬. α
¬. e = e
¬. ¬. α = α
0 < β ≤ 1 ⇒ M (β) =
0, ¬. 0 = 1. Její graf je symet-
rický podle osy 1. a 3. kvadrantu,
tj. ¬. −1 = ¬. (neboli ¬. je sama
k sobě inverzní).
1.4. Vlastnosti negace
1.2. Standartní negace
¬α = 1 − α
s
Každá fuzzy negace ¬. je spojitá, klesající, bijektivní a splňuje okrajové podmínky ¬. 1 =
2. Konjunkce (t-norma)
komutativita: α ∧. β = β ∧. α
asociativita: α ∧. (β ∧. γ) = (α ∧. β) ∧. γ
monotonie: β ≤ γ ⇒ α ∧. β ≤ α ∧. γ
okrajová podmínka: α ∧. 1 = α
T
tj.
¬α =
i
i−1 ¬
i(α) je fuzzy negace.
S
i(α) =
.
α+¬ ¬ α
S
2
1. vypočti i−1 ()
2. udělej 1 − i(α)
Nechť i : h0, 1i → h0, 1i
je rostoucí bijekce. Pak funkce
.
.
komutativita: α ∨ β = β ∨ α
.
.
.
.
asociativita: α ∨ (β ∨ γ) = (α ∨ β) ∨ γ
.
.
monotonie: β ≤ γ ⇒ α ∨ β ≤ α ∨ γ
.
okrajová podmínka: α ∨ 0 = α
M (α)
¬ = i−1 ◦ ¬ ◦ i,
i
S
1.5. Generátor fuzzy negace
3. Disjunkce
α<β
3. udělej i−1 (1 − i(α)
4. Množinové operace
µĀ (x) = ¬. µA (x)
µA∩B (x) = µA (x) ∧. µB (x) µA∪B (x) =
.
µA (x) ∨ µB (x)
5. Relace
α∧
β ≤ α ∧. β ≤ α ∧
β
D
S
.
D
S
α∨β ≥α∨β ≥α∨β
2.1. Standardní
3.1. Standardní
α∧
β = min(α, β). Idempotence (α ∧
α = α)
S
S
α ∨ β = max(α, β).
2.2. Lukasiewiczova
3.2. Lukasiewiczova
α∧
β = max(α + β − 1, 0)
L
α ∨ β = min(α + β, 1)
5.1. reflexivita (hlavní diag. jedničky)
3.3. Součinová
∀x ∈ X : (x, x) ∈ R, tj. E ⊆ R
2.3. Součinová
S
L
je fuzzy podmnožina kartézského součinu X×
Y , tedy R ∈ F(X × Y ). Odpovídá jí funkce
příslušnosti µR : X × Y → h0, 1i. Inverzní
relace k R je R−1 ∈ F(Y × X) taková, že
∀x ∈ X ∀y ∈ Y : µR−1 (y, x) = µR (x, y).
P
α ∨ β = α + β − α · β.
α∧
β = α · β.
P
2.4. Drastická
(
α∧
β=
D
α
β
0
pro β = 1,
pro α = 1,
jinak.
3.4. Drastická
(
D
α∨β =
α
β
1
pro β = 0,
pro α = 0,
jinak.
3.5. Dělení
2.5. Dělení
• nespojité
• nespojité
• spojité
• spojité
Př: Drastická
– Nearchimédovské
Př: Standartní
– Archimédovské
α ∧. α < α pro α ∈ (0, 1)
∗ Nilpotentní
Př: Lukasiewiczova
∗ Striktní
Př: Součinová
β < gamma, α 6= 0
α ∧. β < α ∧. γ
Př: Drastická
5.2. symetrie (symetrie dle hlav. diag)
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R, tj. R = R−1
5.3. antisymetrie
(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y, tj.
R ∩ R−1 ⊆ E µR (r, s) ∧. µR (s, r) = 0
5.4. tranzitivita
– Nearchimédovské
Př: Standartní
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R,tj.
R ◦ R ⊆ R µR (x, z) ∧. µR (y, z) ≤ µR (x, z)
– Archimédovské
.
α ∨ α > α pro α ∈ (0, 1)
5.5. částečné uspořádání
∗ Nilpotentní
Př: Lukasiewiczova
∗ Striktní
Př: Součinová
β<
. gamma,
. α 6= 0
α∨β <α∨γ
relace antisymetrická, reflexivní a tranzitivní,
5.6. ekvivalence
relace symetrická, reflexivní a tranzitivní.