Ekvivalentní formule a Princip Duality

Ekvivalentnı́ formule a Princip Duality
14. března 2011
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Outline
1
Ekvivalentnı́ formule
2
Duálnı́ funkce, princip duality
3
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Outline
1
Ekvivalentnı́ formule
2
Duálnı́ funkce, princip duality
3
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Formule, ekvivalence formulı́
Řekneme, že formule A, B nad množinou P ekvivalentnı́,
jestliže k nim přiřazené funkce FA , FB jsou shodné.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Ekvivalentnı́ formule. Přı́klad
Necht’
P = {x̄, x ∧ y, x → y },
A = x → (x ∧ ȳ ), B = x ∧ y jsou formule nad P.
x
0
0
1
1
Formule A, B realizujı́ funkce FA , FB , kde
y ȳ x ∧ ȳ FA = x → (x ∧ ȳ)
x ∧y
0 1
0
1
0
1 0
0
1
0
0 1
1
1
0
1 0
0
0
1
Funkce FA a FB jsou shodné.
FB = x ∧ y
1
1
1
0
Formule A a B jsou ekvivalentnı́.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Ekvivalentnı́ formule. Přı́klad
Necht’
P = {x̄, x ∧ y, x → y },
A = x → (x ∧ ȳ ), B = x ∧ y jsou formule nad P.
x
0
0
1
1
Formule A, B realizujı́ funkce FA , FB , kde
y ȳ x ∧ ȳ FA = x → (x ∧ ȳ)
x ∧y
0 1
0
1
0
1 0
0
1
0
0 1
1
1
0
1 0
0
0
1
Funkce FA a FB jsou shodné.
FB = x ∧ y
1
1
1
0
Formule A a B jsou ekvivalentnı́.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Ekvivalentnı́ formule. Přı́klad
Necht’
P = {x̄, x ∧ y, x → y },
A = x → (x ∧ ȳ ), B = x ∧ y jsou formule nad P.
x
0
0
1
1
Formule A, B realizujı́ funkce FA , FB , kde
y ȳ x ∧ ȳ FA = x → (x ∧ ȳ)
x ∧y
0 1
0
1
0
1 0
0
1
0
0 1
1
1
0
1 0
0
0
1
Funkce FA a FB jsou shodné.
FB = x ∧ y
1
1
1
0
Formule A a B jsou ekvivalentnı́.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Ekvivalentnı́ formule. Přı́klad
Necht’
P = {x̄, x ∧ y, x → y },
A = x → (x ∧ ȳ ), B = x ∧ y jsou formule nad P.
x
0
0
1
1
Formule A, B realizujı́ funkce FA , FB , kde
y ȳ x ∧ ȳ FA = x → (x ∧ ȳ)
x ∧y
0 1
0
1
0
1 0
0
1
0
0 1
1
1
0
1 0
0
0
1
Funkce FA a FB jsou shodné.
FB = x ∧ y
1
1
1
0
Formule A a B jsou ekvivalentnı́.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Zákony komutativnosti
x ∨ y = y ∨ x,
x ∧ y = y ∧ x,
x ⊕ y = y ⊕ x.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Důkaz zákona komutativnosti x ∨ y = y ∨ x
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x ∨y
0
1
1
1
y ∨x
0
1
1
1
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Zákony asociativnosti
x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z,
x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y ) ∧ z,
x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y ) ⊕ z.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Důkaz zákona asociativnosti x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
y ∨z
0
1
1
1
0
1
1
1
x ∨ (y ∨ z)
0
1
1
1
1
1
1
1
x ∨y
0
0
1
1
1
1
1
1
(x ∨ y) ∨ z
0
1
1
1
1
1
1
1
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Zákony distributivnosti
x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z),
x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z),
x ∧ (y ⊕ z) = (x ∧ y ) ⊕ (x ∧ z).
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Důkaz zákona distributivnosti x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
y ∧z
0
0
0
1
0
0
0
1
x ∨ (y ∧ z)
0
0
0
1
1
1
1
1
x ∨y
0
0
1
1
1
1
1
1
x ∨z
0
1
0
1
1
1
1
1
(x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
0
0
0
1
1
1
1
1
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Zákon dvojité negace
x̄¯ = x.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
De Morganovy zákony
x ∨ y = x̄ ∧ ȳ,
x ∧ y = x̄ ∨ ȳ.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Důkaz De Morganova zákona x ∨ y = x̄ ∧ ȳ
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x ∨y
0
1
1
1
x ∨y
1
0
0
0
x̄
1
1
0
0
ȳ
1
0
1
0
x̄ ∧ ȳ
1
0
0
0
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Zákony idempotence
x ∨ x = x,
x ∧ x = x.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Zákony sporu a vyloučeného třetı́ho
x ∧ x̄ = 0,
x ∨ x̄ = 1.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Zákony 0 a 1
x ∧0=0
x ∨ 0 = x,
x ∧1=x
x ∨ 1 = 1.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Realizace elementárnı́ch logických funkcı́ formulemi nad
{∨, ∧,¯}
x → y = x̄ ∨ y,
x ⊕ y = (x ∧ ȳ ) ∨ (x̄ ∧ y),
x|y = x ∧ y = x̄ ∨ ȳ.
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled základnı́ch ekvivalencı́
Důkaz x → y = x̄ ∨ y
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x →y
1
1
0
1
x̄
1
1
0
0
x̄ ∨ y
1
1
0
1
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Outline
1
Ekvivalentnı́ formule
2
Duálnı́ funkce, princip duality
3
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Duálnı́ funkce
Definice
Uvažujme logickou funkci f (x1 , . . . , xn ) ∈ P2 .
Funkci f ∗ nazveme duálnı́ k funkci f jestliže
f ∗ (x1 , . . . , xn ) = f̄ (x̄1 , . . . , x̄n ).
Zřejmě
f ∗∗ = (f ∗ )∗ = f .
Přı́klad
x1
0
0
1
1
x2
0
1
0
1
f (x1 , x2 )
1
0
0
1
f ∗ (x1 , x2 )
0
1
1
0
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Elementárnı́ funkce a funkce k nim duálnı́
f
0
1
x
x̄
x ∨y
x ∧y
f∗
1
0
x
x̄
x ∧y
x ∨y
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Věta o duálnı́ funkci
Věta o duálnı́ funkci
Funkce, která je duálnı́ k superpozici funkcı́, je superpozicı́
duálnı́ch funkcı́, tj.
(f (f1 , . . . , fm ))∗ = f ∗ (f1∗ , . . . , fm∗ ).
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Princip duality
Zı́skánı́ duálnı́ funkce
Uvažujme množinu funkčnı́ch symbolů
P = {0, 1, x, x̄, x ∨ y , x ∧ y }.
Necht’ A je formule nad P, A realizuje funkci FA .
Pro zı́skánı́ duálnı́ funkce FA∗ změnı́me formuli A za A∗
následovně:
(i) zaměnı́me 0 za 1, 1 za 0,
(ii) funkčnı́ symbol ∨ za ∧ a funkčnı́ symbol ∧ za ∨.
Pak A∗ realizuje duálnı́ funkci FA∗ .
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Princip duality. Ilustrace
Necht’ formule A = x1 ⊕ x2 realizuje funkci FA . Převedeme
formuli A na ekvivalentnı́ formuli B nad množinou funkčnı́ch
symbolů P = {0, 1, x, x̄, x ∨ y, x ∧ y }:
B = (x̄1 ∧ x2 ) ∨ (x1 ∧ x̄2 ).
Aplikujeme princip duality a zı́skáme duálnı́ formuli B ∗ :
B ∗ = (x̄1 ∨ x2 ) ∧ (x1 ∨ x̄2 ).
B ∗ realizuje duálnı́ funkci FB∗ , která je shodná
s duálnı́ funkcı́ FA∗ .
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Outline
1
Ekvivalentnı́ formule
2
Duálnı́ funkce, princip duality
3
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
O rozkladu funkce podle proměnných
Označenı́:
(
x,
x =
x̄,
σ
jestliže σ = 1,
jestliže σ = 0.
Věta o rozkladu funkce
Mějme logickou funkci f ∈ P2n a 1 ≤ m ≤ n. Pak funkci f lze
reprezentovat následujı́cı́ formulı́:
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
_
σm
∧ f (σ1 , . . . , σm , xm+1 , . . . , xn ).
x1σ1 ∧ · · · ∧ xm
σ1 ,...,σm
Formuli na pravé straně nazýváme rozkladem funkce f podle
proměnných x1 , . . . , xm .
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
O rozkladu funkce podle proměnných
Označenı́:
(
x,
x =
x̄,
σ
jestliže σ = 1,
jestliže σ = 0.
Věta o rozkladu funkce
Mějme logickou funkci f ∈ P2n a 1 ≤ m ≤ n. Pak funkci f lze
reprezentovat následujı́cı́ formulı́:
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
_
σm
∧ f (σ1 , . . . , σm , xm+1 , . . . , xn ).
x1σ1 ∧ · · · ∧ xm
σ1 ,...,σm
Formuli na pravé straně nazýváme rozkladem funkce f podle
proměnných x1 , . . . , xm .
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Rozklad funkce podle jedné proměnné
Dohoda. Symbol konjunkce ∧ nadále nebudeme vypisovat, tj.
mı́sto x ∧ y budeme psát xy.
Necht’ f ∈ P2n , n ≥ 1. Rozložı́me f podle proměnné xm :
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
x̄m f (x1 , . . . , 0, xm+1 , . . . , xn ) ∨ xm f (x1 , . . . , 1, xm+1 , . . . , xn ).
Example
Necht’ f (x1 , x2 , x3 ) = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 . Rozložı́me f podle x2 :
x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = x̄2 (x1 ⊕ 0 ⊕ x3 ) ∨ x2 (x1 ⊕ 1 ⊕ x3 ) =
x̄2 (x1 ⊕ x3 ) ∨ x2 x1 ⊕ x3 .
logo
Ekvivalentnı́ formule
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Rozklad funkce podle jedné proměnné
Dohoda. Symbol konjunkce ∧ nadále nebudeme vypisovat, tj.
mı́sto x ∧ y budeme psát xy.
Necht’ f ∈ P2n , n ≥ 1. Rozložı́me f podle proměnné xm :
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
x̄m f (x1 , . . . , 0, xm+1 , . . . , xn ) ∨ xm f (x1 , . . . , 1, xm+1 , . . . , xn ).
Example
Necht’ f (x1 , x2 , x3 ) = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 . Rozložı́me f podle x2 :
x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = x̄2 (x1 ⊕ 0 ⊕ x3 ) ∨ x2 (x1 ⊕ 1 ⊕ x3 ) =
x̄2 (x1 ⊕ x3 ) ∨ x2 x1 ⊕ x3 .
logo