Symm

Symetrie
Co je symetrie?
• Základní princip pro celý vesmír (proton x
antiproton, černá x bílá, parita)
• Zákon zachování parity (CP, CPT)
• Fundamentální organizační princip v přírodě a
umění (DNA - double helix)
• Symetrie zachovává vzdálenosti, uhly, velikost a
tvar
• Symetrie molekul, optická aktivita, chiralita
Symetrie v architektuře
The best known example of this is the Taj Mahal.
Symetrie Abecedy
• Písmena dělíme na:
• Symetrická: A, B, C, D, E, H, I, K, M, N, O,
S, T, U, V, W, X, Y, Z
• Nesymetrická: F, G, J, L, P, Q, R
Motýl
M.C. Escher
• Dutch graphic
artist
• No formal
training in
math or
science
• Used intricate
repeating
patterns in his
artwork
Mušle a hvězdice
Motýle
Ryby a
lodě
Ještěrky
Symetrie v chemii
Symetrické molekuly
• NH3
• H2O
• C6H6
• SF6
• H2C2
• C60, B12H12
Symetrie v matematice
Množiny
Grupy
Grupoidy
E. Galois, 1832. Teorie grup.
Symetrie (souměrnost)
Motiv: fundamentální část konceptu symetrie.
Opakováním motivu se vytvoří celý vzor.
Operace: určitá akce, která zopakuje motiv tak,
aby se vytvořil celý vzor
Prvek (element) symetrie: operace je
lokalizována v určitém místě (bodě) prostoru.
Geometrický prvek - bod, přímka, rovina,
vektor.
Typy symetrie
•
•
•
•
•
•
•
•
Rotace
Translace
Reflexe (odraz)
Inverse
Rotoinverse
Rotoreflexe
Skluzná reflexe
Šroubovitá rotace
(spirála)
Bodová symetrie
Translační symetrie
2-D Symetrie
Prvky Symetrie
Rotace
a. Dvojnásobná rotace
dvojnásobná osa
Symetrický vzor
6
= 360o/2 rotace
reprodukuje motiv v
symetrickém vzoru
6
2-D Symetrie
Prvky Symetrie
Rotace
Operace
a. Dvojnásobná osa
rotace = 360o/2
6
Motif
Element
6
Symbol pro 2-osu, C2
2-D Symetrie
Prvek symetrie
6
Operace symetrie
Symetrická operace
first
operation
step
Pohyb, akce
6
second
operation
step
2-D Symetrie
Prvky Symetrie
Rotace
b. Trojnásobná osa
rotace = 360o/3
6
2-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotace
b. trojnásobná rotační osa
rotace=
6
360o/3
step 1
step 3
Symbol pro osu, C3
step 2
2-D Symetrie
Krystalografické prvky rotační symetrie
6
6
6
6
6
4-fold
6
6
6
2-fold = dvojnásobná
3-fold
6
2-fold
6
6
6
1-fold
6
6
6
6
6-fold
2-D Symetrie
Prvky symetrie
Reflexe, odraz (m)
Odraz přes “zrcadlovou
rovinu” reprodukuje motiv
= symbol pro zrcadlovou
rovinu
Cs, σ
2-D Symetrie
Nyní máme 6 unikátních 2-D operací symetrie:
1 2 3 4 6 m
Rotace jsou congruentní operace
reprodukce jsou identické
Inverse a reflexe jsou enantiomorfní operace
reprodukce jsou “levé a pravé”
2-D Symetrie
Kombinace prvků symetrie jsou také možné
Aby se vytvořila kompletní analýza symetrie v prostoru v okolí
bodu, musíme zkoušet všechny možné kombinace těchto prvků
symetrie
Kvůli čistotě v podání a snadnosti ilustrací, budeme pokračovat
pouze v příkladech z 2-D
2-D Symetrie
Kombinace 2-rotační osy a zrcadlové roviny
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace
Ještě něco??
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace
Vzniká druhá zrcadlová rovina
2-D Symetrie
Výsledek je
Bodová Grupa 2mm, C2v
“2mm” indikuje 2 zrcadla
Zrcadla jsou různá
(nejsou ekvivalentní z
důvodu symetrie)
2-D Symetrie
Kombinace 4-násobné rotace s reflexí
Kombinace 4-násobné rotační osy s rovinou symetrie.
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace 1
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace 2
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace 3
2-D Symetrie
Ještě nějaký element?
2-D Symetrie
Ještě nějaký element?
Ano, dvě další zrcadla
Bodová grupa
4mm
2-D Symetrie
3-násobná rotace a
zrcadlení vytvářejí
bodovou grupu
3m
2-D Symetrie
6-násobná rotace a
zrcadlení vytvářejí
bodovou grupu
6mm
2-D Symetrie
Původních 6 elementů plus 4 kombinace vytváří
10 možných 2-D bodových grup:
1 2 3 4 6 m 2mm 3m 4mm 6mm
Každý 2-D vzor v okolí bodu musí odpovídat jedné z
těchto grup
3-D Symetrie
Prvky Symetrie
Inverse (i) (-1) Ci
Střed symetrie. Transformace
přes bod.
= symbol je bod
6
inverse je identická 2násobné rotační ose v 2-D, ale
je unikátní v 3-D (dvě ruce)
6
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 1 )
a. 1-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
a. 1-násobná rotoinverse
1: rotace 360/1
(identita)
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
a. 1-násobná rotoinverse
1: rotace 360/1
(identita)
2: inverse
Stejná jako i
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 2 )
b. 2-násobná rotoinverse
1: rotace 360/2
Pozn.: dočasný krok
Tento motiv se nebude ve
finálním vzoru
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
b. 2-násobná rotoinverse
Step 1: rotate 360/2
Step 2: inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
b. 2-násobná rotoinverse
Výsledek
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
b. 2-násobná rotoinverse
Stejná jako m
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 3 )
c. 3-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
360o/3
Step 1: rotate
Opět, toto je pomocný krok.
Nebude ve finálním vzoru.
1
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Step 2: inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Dokončení první sekvence
1
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Rotace o dalších 360/3
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Inverse přes střed
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
3
1
Dokončení. Vzniká plocha 3
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
3
Plocha 4
(3 → (1) → 4)
1
4
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Plocha 5
(4 → (2) → 5)
1
5
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Plocha 6
(5 → (3) → 6)
Šestý krok je návrat na
plochu 1
5
1
6
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Toto je unikátní operace
5
4
3
1
6
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 4 )
d. 4-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
1: Rotace 360/4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
1: Rotace 360/4
2: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
1: Rotace 360/4
2: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3: Rotace 360/4
3-D Symetrie
Symmetry Elements
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3: Rotace 360/4
4: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3: Rotace 360/4
4: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
5: Rotace 360/4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
5: Rotace 360/4
6: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
Toto je unikátní operace
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
Základní vzor
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse( 6 )
e. 6-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
5
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
5
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
5
2
6
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
Pozn.: toto je stejné jako
3-násobná rotační osa kolmá na
zrcadlovou rovinu
Top View
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinversion
e. 6-násobná rotoinverse
Jednoduchý vzor
Top View
3-D Symetrie
Nyní máme 10 unikátních 3-D symetrických operací:
1 2 3 4 6 i m 3 4 6
Kombinace těchto elementů jsou přípustné
Kompletní analýza symetrie okolo bodu v prostoru vyžaduje aby
se testovaly všechny možné kombinace těchto prvků symetrie.
Existuje 32 kombinací. 32 bodových grup.
3-D Symetrie
3-D kombinace prvků symetrie
a. Rotační osa paralelní k rovině
Stejné jako v 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, also 4mm, 6mm
b. Rotační osa kolmá ⊥ na rovinu
2 ⊥ m = 2/m
3 ⊥ m = 3/m, also 4/m, 6/m
c. Kombinace rotací
2 + 2 pod 90o → 222 (třetí 2 je generována)
4 + 2 pod 90o → 422 ( “
“
“ )
6 + 2 pod 90o → 622 ( “
“
“ )
3-D Symetrie
Příklady zobrazení
3-D Symetrie
32 bodových grup
Seřazené podle krystalografického systému
Crystal System
No Center
Center
1
1
Monoclinic
2, 2 (= m)
2/m
Orthorhombic
222, 2mm
2/m 2/m 2/m
Tetragonal
4, 4, 422, 4mm, 42m
4/m, 4/m 2/m 2/m
Hexagonal
3, 32, 3m
3, 3 2/m
6, 6, 622, 6mm, 62m
6/m, 6/m 2/m 2/m
23, 432, 43m
2/m 3, 4/m 3 2/m
Triclinic
Isometric
3-D Symetrie
32 Bodových Grup
Bloss, Crystallography and Crystal
Chemistry. © MSA
Grupy symetrie
Množiny operací symetrie, matematická teorie grup
prvek symetrie
C6
x
operace symetrie
C6, C62 ≡ C3, C63 ≡ C2,
C64 ≡ C32, C65, C66 ≡ E
- množina je kompletní
A, B prvky grupy ⇒ C=A⊗B je též prvek
- existuje prvek E - jednotkový
- ke každému prvku existuje inverzní prvek A-1,
A⊗A-1=E
- platí asociativní zákon A⊗(B⊗C) = (A⊗B)⊗C
Grupy symetrie
¾ C1 (CFClBrI),
¾Cs (H2C=CClF, SOCl2)
¾Ci (C2Cl2H2Br2)
¾Cn (:PPh3)
¾Cnv – Cn + n vertikálních (dihedrálních) σv
(H2O, NH3)
¾Cnh – Cn + σh (C3h-H3BO3, C2h-H2C2O4)
Grupy symetrie
¾Dn – Cn + n C2 ⊥ Cn (D3 - [Ru(phen)3]2+)
¾Dnd – Cn + n C2 ⊥ Cn + n σd (D2d-allen – CH2=C=CH2)
¾Dnh – + σh (D4h-[PtCl4]2-, D3h-PCl5, D6h-C6H6)
¾Sn (n-sudé, n>4) – Sn (+Cn/2)
¾ Td (CH4 - 4xC3) ,
¾Oh (SF6 - 3xC4, 4xC3, i ) ,
¾Ih (C5, 120 operací, B122-, C60)
Lineární grupy – D∞h , C∞v – lineární A-A a A-B
Kužely, válce, koule
Grupy symetrie
0
C∞ ?
1
0
i?
0
Cn ?
1
C∞v
0
σ?
0
i?
1
1
Cs
Ci
C1
1
D∞h
6C5?
3C4?
1
I
0
i?
0
i?
i?
1
O
Oh
nC2 Cn?
1
1
1
1
Ih
4C3?
1
Th
0
σh?
6σ?
1
Td
0
T
S2n
Cnh
1
1
σh?
S2n?
1
0
Dnh
0
nσv?
1
1
0
Dn
Dnd
nσv?
Cnv
0
Cn
Srovnávací tabulky symetrie
C1
C2
C3
C4
C6
C2v
C3v
C4v
C6v
Cs(C1h)
C2h
C3h
C4h
C6h
1
2
3
4
6
mm2
3m
4mm
6mm
m
2/m
-6
4/m
6/m
S2 (Ci)
S4
S6
D2
D3
D4
D6
D2d
D3d
D2h
D3h
D4h
D6h
-1
-4
3
222
32
422
622
-42m
-3 2/m
2/m 2/m 2/m
-6m2
4/m 2/m 2/m
6/m 2/m 2/m
-6 má být 6 a čárka nad znakem ¯6, a pod.
T
Td
Th
O
Oh
23
-4 3 m
2/m -3 1
432
4/m -3 2/m
Grupy symetrie
Aplikace:
¾ klasifikace molekul
¾ hybridní orbitaly
¾ molekulové orbitaly
¾ teorie krystalového pole
¾ vibrační spektra – IČ a Ramanova spektroskopie
¾ predikce dovolených spektrálních přechodů
¾ chiralita
Absolutní konfigurace
CIP - Cahn, Ingold, Prelog
Preferenční čísla
R,S - volantové pravidlo
Asymetrické centrum. Chiralia,
Optická aktivita
Diastereoizomery
Racemická směs, racemická sloučenina
Asymetrický uhlík
Číslo priority
1
1
Br
2
Cl
H
4
4
F
OH
H
CH3
CH2Br
3
2
3
CH2CH3
1 Br
CH=CH2 2
H
4
3
• To assign a priority to an atom that is part of a multiple bond,
treat a multiply bonded atom as an equivalent number of
singly bonded atoms. For example, the C of a C=O is
considered to be bonded to two O atoms.
• Other common multiple bonds are drawn below:
Volantové pravidlo
Chiralita
Pokud má molekula rotačně-reflexní osu Sn
(1, 2, 3, ....) potom není opticky aktivní!!!!
S1 je rovina
S2 je střed souměrnosti - inverse
Carvone
CH3
CH3
O
O
H
H
CH 3
H3C
Left-handed C arvone
R ight-handed Carvone
Sm ells like caraw ay
Sm ells like spearm int
S(+) kmínový olej
R(-) vůně po mátě
Aspartame
O
OH
O
H
H
N
H 2N
OH
Left-handed Aspartame
"Nutrasweet"
160 times sweeter than sugar
H
O
OH
O
O
H
H
N
H 2N
OH
O
H
Right-handed Aspartame
Not at all sweet
slightly bitter
Ibuprofen
OH
H
HO
H
CH3
H3C
O
Left-handed Ibuprofen
Powerful Pain Killer and
Anti-inflamatory Drug
O
Right-handed Ibuprofen
No Drug Activity
R ⇒ “good” - morning sickness
S ⇒ “bad” - birth defects