keplerova rovnice

Michal Řepík LS 2013/2014
Rovnice a nerovnice
KEPLEROVA ROVNICE
Michal Řepík
Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, BM, LS 2013/2014
[email protected]
Abstrakt
V seminární práci se autor zabývá elementárním odvozením Keplerovy rovnice. Keplerova rovnice umožňuje určit polohu objektu při pohybu po eliptické dráze v daném čase. Odvozená teorie je v článku následně
demonstrována na příkladu planety Mars. Text je synergicky doplněn historickým úvodem o životě a díle
Johannese Keplera.
1
Historický úvod
dva zákony o pohybu planet. Druhý zákon byl však
objeven již tři roky před tím. První dva zákony byly
V úvodu našeho povídání uskutečněme historický uveřejněny kvůli nedostatku peněz teprve roku 1609
exkurz ke kořenům Keplerovy nebeské teorie. Histo- v publikaci Astronomia nova. Po dalších deseti letech
rický úvod je zpracován z publikace Kepler a Praha usilovné práce vydal Kepler spis Harmonices mundi
autora Antonína Švejdy [1, s. 52].
(Harmonie světa) roku 1619 a připojil třetí zákon.
Německý astronom, fyzik a matematik, jeden ze
Připomeňme si dobře známé znění Keplerových zázakladatelů moderní astronomie Johannes Kepler se konů o pohybu planet.
narodil 27. 12. 1571 ve Weilu; zemřel 15. 11. 1630
v Řezně. Studoval v Tübingenu, kde se díky matema- Zákon 1. Planety se pohybují po elipsách od kruhů
tiku a hvězdáři Möstlinovi seznámil s Koperníkovým málo odlišných, v jejichž společném ohnisku je Slunce.
učením, jež zavrhovala jak katolická církev, tak protesZákon 2. Plochy opsané průvodičem planety za stejný
tanté Luther a Melanchton. Jako třiadvacetiletý se stal
čas jsou stejné.
Kepler profesorem matematiky ve Štýrském Hradci.
K jeho povinnostem patřilo i sestavování kalendáře, Zákon 3. Třetí mocniny velkých poloos jsou přímo
prorokování povětrnosti a vypracování politických ho- úměrné čtvercům oběžných dob planet.
roskopů.
Spis Nová astronomie patří do nejvyšší kategorie
Náboženská nesnášenlivost katolíků vyhnala
vědeckých publikací a je svým významem srovnatelný
Keplera ze Štýrského Hradce do Prahy, kam přijel
s Koperníkovým spisem De revolutionibus orbium cona pozvání Tychona Brahe.
elestium. Na jeho práci navázal až další velikán světové
Tycho Brahe stavěl Keplera nejvýše ze všech asisastronomie Isaac Newton.
tentů, věděl, že je jeho nejschopnějším spolupracovníFormulace Keplerovy rovnice je obsažena v publikem. Proto mu přidělil na počátku spolupráce za úkol
kaci Astronomia nova. Odvození, o kterém pojednáme
pozorování Marsu. Ze všech tehdy známých a dobře
v následujícím paragrafu, je zpracováno na základě
pozorovatelných planet měl Mars největší excentriknihy Základy astronomie a astrofyziky od Vladimíra
citu dráhy. Jeho pozorované pozice měly největší odVanýska [2, s. 92-94].
chylku proti souřadnicím vypočteným podle Ptolemaia
2 Odvození Keplerovy rovnice
i Koperníka. Oba astronomové, Brahe a Kepler, viděli
v této otázce řešení problému pohybu planet. Při řešení
V první kapitole jsme se seznámili se skutečností,
výpočtů vycházel Kepler z Tychonových pozorování že planety obíhají Slunce po eliptických drahách, přiopozic Marsu. V Koperníkově soustavě bylo ve spo- čemž Slunce leží v jednom společném ohnisku. Numelečném středu drah všech planet Slunce, při vynášení rické excentricity (ε = ae , kde e je výstřednost elipsy
pozic Marsu však Slunce nestálo ve středu jeho dráhy. a a je hlavní poloosa) planet jsou ovšem velmi malé,
Bylo zřejmé, že kruhové dráhy neplatí pro pohyb pla- a tudíž eliptické dráhy od kruhových odhalí až přesná
net a bylo třeba najít geometrické a fyzikální vysvětlení astronomická pozorování.
sluneční soustavy. Na základě velkého počtu určených
V tomto článku si klademe za cíl odvodit tzv.
poloh Marsu a Slunce dospěl Kepler k poznatku, že Keplerovu rovnici. K čemu však takovou rovnici pose planeta nepohybuje po kružnici a epicyklech jako třebujeme? Keplerova rovnice dává do souvislosti záu Koperníka, ani po ovále, jak se původně domníval, vislost času a polohy planety na eliptické dráze. Umožale po jednoduché elipse. K tomu poznatku došel po ňuje nám zjistit, ve kterém místě na své oběžné dráze
několikaletých studií roku 1605, kdy formuloval první se v předem daném čase planeta nachází.
1
Michal Řepík LS 2013/2014
Rovnice a nerovnice
a odsluní (afeliu). Místo, kde se pomocné těleso mP
nalézá na kruhové dráze, je průsečík kružnice s kolmicí
vztyčenou k hlavní ose a vedenou elipsou v místě, kde
se nalezne skutečné těleso m. K bodu mP je veden průvodič ze středu elipsy O, který svírá s hlavní osou úhel
E, jenž nazýváme excentrická anomálie.
Ze vzájemných vlastností kružnice a elipsy (např.
afinita) plyne, že poměr obsahů segmentů P Sm
a P SmP je konstantní. Označíme-li obsah sektoru
P SmP jako ∆AP , pak platí
∆A =
b
∆AP .
a
(3)
Navíc ∆AP je kruhová výseč bez trojúhelníku o vrcholech S, mP , O, neboli
∆AP =
1 2
a (E − ε sin E).
2
(4)
Dosazením do vztahu (3) dostáváme
Na schématu je znázorněna poloha planety m na
eliptické dráze kolem Slunce S v čase t. Tvar elipsy
je dán hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b. Střed
elipsy je označen O.
Během svého pohybu se planeta na své dráze nejvíce přiblíží ke Slunci v bodě P , který označujeme jako
přísluní (perihelium). Obsah plochy P Sm, kterou průvodič opsal za čas t, označme ∆A. Úhel ν se nazývá
pravá anomálie.
Poloha tělesa ve dráze v daném okamžiku t je jednoznačně popsána tvarem dráhy a pravou anomálií
ν. Redukuje-li se tento problém na kruhovou dráhu
(ε = 0), pak postačí k jednoznačnému popisu místa,
kde se těleso nalézá, poloměr dráhy r, okamžik T , což
je průchod smluveným bodem na kruhové dráze, který
však u eliptické dráhy je definován periheliem (bod P ),
a úhel M daný vztahem
M=
2π
t,
P
∆A =
1
πab
ab(E − ε sin E) =
t,
2
P
čili
E − ε sin E =
2π
t.
P
∆A =
E − ε sin E = M,
(7)
což je hledaný tvar Keplerovy rovnice. Jedná se
o transcendentní rovnici, kterou nelze analyticky řešit. Řešení hledáme numerickými metodami. S jedním
způsobem řešení se seznámíme v poslední kapitole.
Řešením Keplerovy rovnice určíme v čase t excentrickou anomálii E. Díky ní můžeme jednoznačně určit
polohu bodu m na své eliptické dráze s hlavní poloosou
a užitím vztahů
r = a(1 − ε cos E),
r
ν
1+ε E
tg =
tg ,
2
1−ε 2
(1)
πab
t,
P
(6)
Jelikož 2πt/P = M, pak
kde P je doba oběhu a t je čas měřený od okamžiku
T . Úhel M se nazývá střední anomálie a je totožný
s pravou anomálií v případě kruhové dráhy. K odvo- které zde nebudeme odvozovat.
zení samotné rovnice využijeme druhého Keplerova zákona. Je-li celková plocha elipsy A a doba oběhu P ,
3 Ukázka řešení Keplerovy rovnice
pak nutně
∆A
t
= , odkud
A
P
(5)
(8)
(9)
Způsobů řešení Keplerovy rovnice numerickými metodami je několik. V tomto článku si na konkrétní
úloze předvedeme metodu iterační. Formulujme zadání
úlohy.
(2)
neboť pro obsah elipsy platí A = πab.
Úkolem je určit příslušný sektor elipsy ∆A pomocí
pravé anomálie ν. Vychází se většinou z představy pomocného tělesa (pomocné planety) mP , které obíhá kolem středu elipsy O po kružnici, jejíž poloměr je roven
velké poloose a. Doba oběhu pomocného myšleného tělesa je rovněž P . Tělesa m a mP splývají v přísluní
Příklad 1. Nalezněme excentrickou anomálii E planety Mars pohybující se po eliptické dráze (Slunce leží
v jednom z jejích ohnisek) s numerickou excentricitou
ε = 0, 09338 v čase 270 dnů po průchodu periheliem.
Perioda oběhu je 687 dnů.
2
Michal Řepík LS 2013/2014
Rovnice a nerovnice
Jak jsme již předeslali, Keplerovu rovnici budeme právě osmou iteraci, neboť následující iterace se v prvřešit numericky iterační metodou. Při takovém výpo- ních deseti platných číslicích shodují (a tudíž je kalkučtu nemůžeme v konečném počtu iterací získat přesný látor s přesností devět desetinných míst neodhalí).
výsledek. K výsledku se pouze přiblížíme s předem zvon
En [rad]
M − En + ε sin En [rad]
lenu přesností. Doporučujeme čtenáři, aby spolu s námi
0
2,
469374138
0, 058149909
výpočet prováděl na kalkulačce. Předpokládáme, že
1
2,
527524047
−0,
004344583
kalkulátor zobrazuje devět desetinných míst a že úhel
2
2,
523179464
0,
000331072
je zadáván v obloukové míře, tedy v radiánech.
3 2, 523510536
−0, 000025193
Výpočet zahájíme určením střední anomálie M ze
4
2,
523485343
0, 000001917
vtahu (1). Platí
5 2, 523487260
−0, 000000146
2π
6 2, 523487114
0, 000000011
· 270 = 2, 469374138 rad.
M=
687
7 2, 523487125
−0, 000000001
8 2, 523487124
0, 000000000
Nyní přistoupíme k určování hodnoty excentrické
anomálie E s přesností devíti desetinných míst. PoHledaná excentrická anomálie s požadovanou přesložme nultou iteraci E0 = M a následně pro n-tou
ností je tudíž E = 2, 523487124 rad.
iteraci (n ≥ 1, n ∈ N) pišme [3, s. 35-36]
En = M + ε sin En−1 .
Závěr
Takto například pro n = 1 dostáváme
Přehledový článek si kladl za cíl uvést čtenáře
do
problematiky řešení Keplerovy rovnice. Ve druhé
E1 = 2, 469374138 + 0, 09338 · sin 2, 469374138 =
kapitole jsme elementárními metodami odvodili tuto
= 2, 527524047 rad,
transcendentní rovnici a v kapitole třetí na konkrétní
úloze vypočítali excentrickou anomálii. Text je doplodkud pro n = 2 dostáváme
něn historickým úvodem, ve kterém jsme čtenáři připomněli znění známých Keplerových zákonů o pohybu
E2 = 2, 469374138 + 0, 09338 · sin 2, 527524047 =
planet.
= 2, 523179464 rad.
Na závěr poznamenejme, že Keplerova rovnice nenalézá své uplatnění pouze u popisu eliptického pohybu
Podobně bychom postupovali pro n ≥ 3.
V následující tabulce jsou zaznamenány všechny planet, ale stejně tak dobře poslouží při výpočtu dráhy
iterace do osmého řádu. Jako řešení bychom položili měsíce, družice, planetky či komety.
Použitá literatura
[1] ŠVEJDA, Antonín. Kepler a Praha. Praha: Národní technické muzeum, 2004, 78 s. ISBN: 80-7037-130-7
[2] VANÝSEK, Vladimír. Základy astronomie a astrofyziky. 1. vyd. Praha: Academia, 1980, 541 s.
[3] POKORNÝ, Zdeněk. Astronomické algoritmy pro kalkulátory. Praha: Hvězdárna a planetárium hl. m.
Prahy, 1988, 88 s.
3