Keplerova rovnice

Téma: Souvislost eliptického pohybu s kruhovým
pohybem - Keplerova rovnice
Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Polární ohnisková rovnice elipsy umožňuje při znalosti parametru elipsy p, její numerické výstřednosti ε a úhlové odchylky ϕ průvodiče bodu od průvodiče pericentra (tzv.
pravá anomálie bodu) určit okamžitou vzdálenost r bodu od středu centra ve tvaru
r(ϕ) =
p
.
1 + ε cos ϕ
Abychom mohli popsat polohu bodu na nebeské sféře, potřebujeme znát závislost pravé
anomálie ϕ na čase t uplynuvším od okamžiku posledního průchodu bodu pericentrem.
Tato závislost je poměrně komplikovaná a silně závislá na numerické výstřednosti ε
elipsy. Pro její určení je potřeba definovat pojem, který uvádí do souvislosti eliptický
pohyb se speciálně definovaným kruhovým pohybem.
y
a
La
ka
b
Lb
E
kb
r
L
ϕ
F b
a
x
Obrázek 1:
Mějme tedy eliptickou dráhu (obr.1) o poloosách a a b. Zaveďme kartézskou souřadnicovou soustavu (S, x, y) s počátkem ve středu elipsy a s osami splývajícími s osami
elipsy. Zaveďme dále polární souřadnicovou soustavu (F, r, ϕ) podle obrázku. Definujme
kružnici ka se středem S o poloměru a a kružnici kb s týmž středem o poloměru b. K
bodu L=[x, y] = [r, ϕ] na elipse definujme na kružnici ka bod La o stejné x−ové souřadnici jako bod L a na kružnici kb bod Lb o stejné y−ové souřadnici jako bod L (obr.1).
Potom platí tvrzení: Přímka spojující body La a Lb prochází počátkem S.
Ověření: Protože body La a Lb leží na svých kružnicích, jsou jejich souřadnice tvaru
La = [x,
√
q
a2 − x2 ] ; Lb = [ b2 − y 2 , y] .
1
Tvrzení bude dokázáno, ověříme-li, že přímky SLa a SLb svírají s kladně√orientovanou
2
2
osou x stejný úhel, tedy že mají stejnou směrnici. Muselo by tedy platit a x−x =
= √ 2y 2 . Násobíme-li tuto rovnici společným jmenovatelem a umocníme-li ji na druhou,
b −y
dostaneme
(a2 − x2 )(b2 − y 2 ) = x2 y 2 ⇔ b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 .
To je středová kartézská rovnice elipsy. Protože bod L= [x, y] leží na elipse, je tvrzení
ověřeno.
Dokázali jsme tedy, že body La a Lb mají společný průvodič. Jeho odchylka E od kladně
orientované osy x (tedy od průvodiče pericentra) se nazývá excentrická anomálie
bodu. Při pohybu bodu L po elipse (mění se pravá anomálie ϕ) se body La a Lb pohybují
po svých kružnicích (mění se excentrická anomálie E). Odvodíme nyní závislost E(t).
Z obrázku 1 plyne
a cos E − e = r cos ϕ ,
b sin E = r sin ϕ .
(1)
√
(2)
V těchto výrazech je a a b (po řadě) délka hlavní a vedlejší poloosy elipsy a e = a2 − b2
její délková výstřednost. Jsou to konstanty, zatímco veličiny E, r a ϕ jsou časově proměnné. Derivujme rovnice (1) a (2) podle času. Získáme rovnice
dE
dϕ dr
= −r sin ϕ
+
cos ϕ ,
dt
dt
dt
dϕ dr
dE
= r cos ϕ
+
sin ϕ .
b cos E
dt
dt
dt
Násobme rovnici (1) rovnicí (4) a rovnici (2) rovnicí (3). Dostaneme
−a sin E
(3)
(4)
dE
dE
dϕ
dr
− eb cos E
= r2 cos2 ϕ
+ r sin ϕ cos ϕ ,
(5)
dt
dt
dt
dt
dϕ
dr
dE
= −r2 sin2 ϕ
+ r sin ϕ cos ϕ .
(6)
−ab sin2 E
dt
dt
dt
Odečtením rovnice (6) od rovnice (5) s ohledem na základní vlastnost goniometrických
funkcí získáme
ab cos2 E
ab
dE
dE
dϕ
− eb cos E
= r2
,
dt
dt
dt
odkud
dϕ
dE
(1 − ε cos E) = r2
.
(7)
dt
dt
Podle II. Keplerova zákona ovšem r2 dϕ
= 2w (w je plošná rychlost bodu), takže (7) se
dt
přepíše na konečný tvar
ab
2w
dE
=
= konst .
dt
ab
To je diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými pro neznámou
funkci E(t). Protože pro čas t = 0 se bod L nachází v pericentru, kde je zřejmě E = 0,
budeme uvažovat počáteční podmínku E = 0 pro t = 0. Separací proměnných a integrací
mezi počáteční podmínkou a obecnými hodnotami v horní mezi máme
(1 − ε cos E)
2
Z
0
E
(1 − ε cos E)dE =
2w Z t
dt ,
ab 0
odkud
w
· t.
(8)
ab
Podle II. Keplerova zákona je wT = πab, kde T je doba oběhu bodu kolem centra.
w
= 2 Tπ , takže po dosazení do (8) máme
Odtud 2 ab
E − ε sin E = 2
t
.
(9)
T
Při znalosti ε a T je pro libovolný čas t ∈ h0, T ) (9) transcendentní rovnicí pro excentrickou anomálii E. Říkáme jí Keplerova rovnice. Její řešení je možno určit pouze
přibližně, iterační metodou tvaru
E − ε sin E = 2π
t
; i = 1, 2, . . . .
T
Protože E má význam úhlu a probíhá interval h0, 2π), lze za nultou iteraci vzít např.
E0 = π. Další iterace pak určujeme jako
Ei−1 − ε sin Ei = 2π
Ei−1 − 2π Tt
.
(10)
ε
Pokud tento proces konverguje, je lim Ei řešením rovnice (9). Ukazuje se, že pro liboi→∞
volné t ∈ h0, T ) iterační proces konverguje.
Ei = arcsin
Poznámka: Pro ε = 0 (tedy pro pohyb bodu po kružnici) má Keplerova rovnice triviální
· t. Jedná se o rovnoměrný kruhový pohyb úhlovou rychlostí ω = 2π
. Při
tvar E = 2π
T
T
tomto speciálním případě zřejmě pravá a excentrická anomálie jsou trvale totožné. Čím
větší je numerická výstřednost ε elipsy, tím více se graf E(t) odlišuje od přímky popisující
kruhový pohyb. Pro různá ε jsou zmíněné grafy znázorněny na obr.2.
Poznámka: Na rovnici (9) lze rovněž nahlížet jako na grafické určení průsečíku křivek
y = 2π Tt + ε sin E a y = E v souřadnicové soustavě (E, y) při zadaném pevném čase
t ∈ h0, T ) (obr.3). Volíme E0 = π a určíme argument E, pro který 2π Tt + ε sin E = π,
tedy určíme
E0 − 2π Tt
.
E1 = arcsin
ε
Provedli jsme tím první iterační krok procesu (10), jenž jest graficky znázorněn na
obr.3. Podobným způsobem je tam znázorněn ještě druhý iterační krok. Postupnou
změnou času t po kroku ∆t získáme tak bod po bodu závislost E(t) uvedenou na obr.2.
Nyní odvodíme závislost ϕ(E). Z rovnice (1) plyne
a(cos E − ε) = r cos ϕ .
Dosaďme do této rovnice z polární ohniskové rovnice elipsy r =
metr elipsy. Dostaneme
p cos ϕ = a(cos E − ε)(1 + ε cos ϕ) .
Osamostatněním výrazu cos ϕ a rozšířením zlomku výrazem
3
1
a
p
,
1+ε cos ϕ
kde p je para-
dostaneme
Excentricka anomalie na case
7
ε=.1
ε=.2
ε=.5
ε=.9
6
excentricka anomalie E [rad]
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
zlomek doby periody t/T
0.7
0.8
0.9
1
Obrázek 2:
y rad
2π
y=E
t
+ε
T
t
y = 2π T + ε sin E
2π t
T
E1 E2 π = E 0
2π
E rad
Obrázek 3:
cos ϕ =
Podle definice ale je
p
a
cos E − ε
.
− ε(cos E − ε)
p
b2
a2 − e2
= 2 =
= 1 − ε2 .
a
a
a2
Po dosazení do předchozí rovnice vznikne
cos ϕ =
cos E − ε
.
1 − ε cos E
Protože funkce arkuskosínus má funkční hodnoty z intervalu h0, πi, dostáváme odtud
závislost pravé anomálie na excentrické jako
ϕ = arccos
cos E − ε
pro E ∈ h0, πi ,
1 − ε cos E
4
(11)
ϕ = 2π − arccos
cos E − ε
pro E ∈ hπ, 2πi .
1 − ε cos E
(12)
Poznámka: Pro ε = 0 (tedy pro pohyb bodu po kružnici) mají rovnice (11) a (12)
triviální tvar ϕ = E. Jedná se o rovnoměrný kruhový pohyb, kdy pravá a excentrická
anomálie jsou trvale totožné. Čím větší je numerická výstřednost ε elipsy, tím více se
graf ϕ(E) odlišuje od přímky popisující kruhový pohyb. Pro různá ε jsou zmíněné grafy
znázorněny na obr.4.
Prava anomalie na excentricke
ε=.1
ε=.2
ε=.5
ε=.9
6
prava anomalie φ [rad]
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
excentricka anomalie E [rad]
5
6
Obrázek 4:
Spojením závislosti E(t) vzniklé postupným řešením Keplerovy rovnice a závislosti
ϕ(E) vznikne složená závislost ϕ(t), která jest pro různé numerické výstřednosti ε elipsy
znázorněna na obr.5. Odchylka od přímky charakterizující kruhový rovnoměrný pohyb
je pro pevné ε ve všech časech úměrně větší než u obou předchozích závislostí.
Prava anomalie na case
7
ε=.1
ε=.2
ε=.5
ε=.9
6
prava anomalie φ [rad]
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
zlomek doby periody t/T
Obrázek 5:
5
0.7
0.8
0.9
1