Normální Formy Logických Funkcí

Normálnı́ Formy Logických Funkcı́
3. března 2008
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Outline
1
Duálnı́ funkce, princip duality
2
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Outline
1
Duálnı́ funkce, princip duality
2
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Duálnı́ funkce
Definice
Uvažujme logickou funkci f (x1 , . . . , xn ) ∈ P2 .
Funkci f ∗ nazveme duálnı́ k funkci f jestliže
f ∗ (x1 , . . . , xn ) = f̄ (x̄1 , . . . , x̄n ).
Zřejmě
f ∗∗ = (f ∗ )∗ = f .
Přı́klad
x1
0
0
1
1
x2
0
1
0
1
f (x1 , x2 )
1
0
0
1
f ∗ (x1 , x2 )
0
1
1
0
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Přehled duálnı́ch funkcı́
f
0
1
x
x̄
x ∨y
x ∧y
f∗
1
0
x
x̄
x ∧y
x ∨y
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Věta o duálnı́ funkci. Princip duality
Věta o duálnı́ funkci
Funkce, která je duálnı́ k superpozici funkcı́, je superpozicı́
duálnı́ch funkcı́, tj.
(f (f1 , . . . , fm ))∗ = f ∗ (f1∗ , . . . , fm∗ ).
Princip duality
Uvažujme množinu funkčnı́ch symbolů
P = {0, 1, x, x̄, x ∨ y , x ∧ y }.
Necht’ A je formule nad P. Potom na zı́skánı́ duálnı́ formule A∗
stačı́ zaměnit 0 za 1, 1 za 0, funkčnı́ symbol ∨ za funkčnı́
symbol ∧ a funkčnı́ symbol ∧ za funkčnı́ symbol ∨.
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Věta o duálnı́ funkci. Princip duality
Věta o duálnı́ funkci
Funkce, která je duálnı́ k superpozici funkcı́, je superpozicı́
duálnı́ch funkcı́, tj.
(f (f1 , . . . , fm ))∗ = f ∗ (f1∗ , . . . , fm∗ ).
Princip duality
Uvažujme množinu funkčnı́ch symbolů
P = {0, 1, x, x̄, x ∨ y , x ∧ y }.
Necht’ A je formule nad P. Potom na zı́skánı́ duálnı́ formule A∗
stačı́ zaměnit 0 za 1, 1 za 0, funkčnı́ symbol ∨ za funkčnı́
symbol ∧ a funkčnı́ symbol ∧ za funkčnı́ symbol ∨.
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Outline
1
Duálnı́ funkce, princip duality
2
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
O rozkladu funkce podle proměnných
Označenı́.
(
x,
x =
x̄,
σ
jestliže σ = 1,
jestliže σ = 0.
Věta o rozkladu funkce
Mějme logickou funkci f ∈ P2n a 1 ≤ m ≤ n. Pak funkci f lze
reprezentovat v následujı́cı́m tvaru:
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
_
σm
∧ f (σ1 , . . . , σm , xm+1 , . . . , xn ).
x1σ1 ∧ · · · ∧ xm
σ1 ,...,σm
Výraz na pravé straně nazýváme rozklad funkce f podle
proměnných x1 , . . . , xm .
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
O rozkladu funkce podle proměnných
Označenı́.
(
x,
x =
x̄,
σ
jestliže σ = 1,
jestliže σ = 0.
Věta o rozkladu funkce
Mějme logickou funkci f ∈ P2n a 1 ≤ m ≤ n. Pak funkci f lze
reprezentovat v následujı́cı́m tvaru:
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
_
σm
∧ f (σ1 , . . . , σm , xm+1 , . . . , xn ).
x1σ1 ∧ · · · ∧ xm
σ1 ,...,σm
Výraz na pravé straně nazýváme rozklad funkce f podle
proměnných x1 , . . . , xm .
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Rozklad funkce podle jedné proměnné
Dohoda. Symbol konjunkce ∧ nadále nebudeme vypisovat, tj.
mı́sto x ∧ y budeme psát xy .
Necht’ f ∈ P2n , n ≥ 1. Rozložı́me f podle proměnné xm :
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
x̄m f (x1 , . . . , 0, xm+1 , . . . , xn ) ∨ xm f (x1 , . . . , 1, xm+1 , . . . , xn ).
Example
Necht’ f (x1 , x2 , x3 ) = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 . Rozložı́me f podle x2 :
x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = x̄2 (x1 ⊕ 0 ⊕ x3 ) ∨ x2 (x1 ⊕ 1 ⊕ x3 ) =
x̄2 (x1 ⊕ x3 ) ∨ x2 x1 ⊕ x3 .
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Rozklad funkce podle jedné proměnné
Dohoda. Symbol konjunkce ∧ nadále nebudeme vypisovat, tj.
mı́sto x ∧ y budeme psát xy .
Necht’ f ∈ P2n , n ≥ 1. Rozložı́me f podle proměnné xm :
f (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) =
x̄m f (x1 , . . . , 0, xm+1 , . . . , xn ) ∨ xm f (x1 , . . . , 1, xm+1 , . . . , xn ).
Example
Necht’ f (x1 , x2 , x3 ) = x1 ⊕ x2 ⊕ x3 . Rozložı́me f podle x2 :
x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = x̄2 (x1 ⊕ 0 ⊕ x3 ) ∨ x2 (x1 ⊕ 1 ⊕ x3 ) =
x̄2 (x1 ⊕ x3 ) ∨ x2 x1 ⊕ x3 .
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Rozklad funkce podle všech proměnných. Úplná
DNF
Necht’ f ∈ P2n , n ≥ 1. Rozložı́me f podle všech proměnných:
f (x1 , . . . , xn ) =
_
x1σ1 · · · xnσn f (σ1 , . . . , σn ) =
σ1 ,...,σn
=
_
x1σ1 · · · xnσn .
f (σ1 ,...,σn )=1
Poslednı́ formuli nazýváme úplná disjunktivnı́ normálnı́ forma.
Každou logickou funkci odlišnou od 0 lze jednoznačně
reprezentovat ve tvaru úplné DNF.
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Rozklad funkce podle všech proměnných. Úplná
DNF
Necht’ f ∈ P2n , n ≥ 1. Rozložı́me f podle všech proměnných:
f (x1 , . . . , xn ) =
_
x1σ1 · · · xnσn f (σ1 , . . . , σn ) =
σ1 ,...,σn
=
_
x1σ1 · · · xnσn .
f (σ1 ,...,σn )=1
Poslednı́ formuli nazýváme úplná disjunktivnı́ normálnı́ forma.
Každou logickou funkci odlišnou od 0 lze jednoznačně
reprezentovat ve tvaru úplné DNF.
logo
Duálnı́ funkce, princip duality
Rozklad logických funkcı́ podle proměnných
Reprezentace logické funkce ve tvaru úplné KNF
Každou logickou funkci odlišnou od 1 lze jednoznačně
reprezentovat ve tvaru úplné KNF:
^
f (x1 , . . . , xn ) =
(x1τ̄1 ∨ · · · ∨ xnτ̄n ).
f (τ1 ,...,τn )=0
Poslednı́ formuli nazýváme úplná konjunktivnı́ normálnı́ forma.
logo