tisku - FSE UJEP

Matematika I (KMI/PMATE)
0.1
1
Úvod do matematické analýzy
0.1.1
Pojem funkce
Veličina - pojem, který popisuje kvantitativnı́ (čı́selné) vlastnosti reálných i abstraktnı́ch
objektů.
Přı́klady veličin:
• hmotnost (m)
• čas (t)
• výše úrokové sazby v bance (i)
• cena výrobku (P )
• počet pracovnı́ků potřebných k výměně žárovky (n)
Proměnná - veličina, která může měnit svou hodnotu.
Na obrázku popisujeme vztah dvou veličin. Vyjadřujeme, jak hodnoty jedné veličiny
(teploty T) závisejı́ na hodnotách dalšı́ veličiny (času).
Obecně, tento popis vzájemného vztahu probı́há tak, že hodnotám jedné veličiny (tzv.
nezávisle proměnné) přiřazujeme hodnoty druhé veličiny (tzv. závisle proměnné).
Definice 0.1.1. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x
Zobrazenı́ z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny
D(f ) ⊂ R přiřadı́me právě jeden prvek z množiny H(f ) ⊂ R.
2
Matematika I (KMI/PMATE)
V matematice se funkce zpravidla označujı́ pı́smeny f , g, ϕ, apod.
f :x 7→ y
f :x 7→ 2x + 3
y = f (x)
y = 2x + 3
f (x) = 2x + 3
f (5) = 2 · 5 + 3 = 13
Některé často použı́vané funkce majı́ speciálnı́ označenı́ (např. log, sin, cos apod.)
Definice 0.1.2. Definičnı́ obor funkce
Množina čı́sel, kterou jsme v definici funkce označili D(f ), se nazývá definičnı́ obor
funkce. Symbol x, označujı́cı́ libovolné čı́slo z množiny D(f ), se nazývá nezávisle
proměnná nebo argument funkce.
Definice 0.1.3. Obor hodnot funkce
Čı́slo y přiřazené funkcı́ f k čı́slu x nazýváme hodnotou funkce f v bodě x; pı́šeme
y = f (x). Množinu H(f ) všech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f .
Definice 0.1.4. Graf funkce
Grafem funkce f nazýváme množinu všech bodů o souřadnicı́ch [x, f (x)], kde x je
libovolné čı́slo z definičnı́ho oboru funkce f a f (x) je přı́slušná funkčnı́ hodnota. Obrázek 1: Graf funkce
K jednoznačnému určenı́ funkce je třeba zadat:
1. definičnı́ obor funkce,
2. funkčnı́ předpis, tj. způsob přiřazenı́ funkčnı́ch hodnot k argumentům.
Je zvykem, že nenı́-li u funkčnı́ho předpisu zároveň uveden definičnı́ obor funkce f ,
rozumı́ se jı́m množina všech čı́sel x, pro něž existujı́ funkčnı́ hodnoty f (x).
Funkčnı́ předpis nejčastěji mı́vá formu vzorce, tj. matematického zápisu, z něhož je
patrné, které matematické operace je třeba provést s argumentem x, abychom dostali
přı́slušnou funkčnı́ hodnotu. V tom přı́padě se řı́ká, že funkce je zadána analyticky.
Matematika I (KMI/PMATE)
3
Někdy je funkčnı́ předpis dán několika vzorci, např:

 1 + x pro x ∈ (0, +∞)
0 pro x = 0
f (x) =

1 − x pro x ∈ (−∞, 0).
V některých přı́padech může být funkce zadána přı́mo výčtem funkčnı́ch hodnot pro
všechny hodnoty argumentu x, např. tzv. Dirichletova funkce je definována následovně:
1 pro x racionálnı́,
f (x) =
0 pro x iracionálnı́.
Přibližně lze funkci zadat též graficky, tj. nakreslenı́m jejı́ho grafu.
Základnı́ elementárnı́ funkce již známé ze střednı́ školy:
y = c,
c ∈ R,
y = kx + q, k, q ∈ R, k 6= 0,
y = xn ,
n ∈ N,
n ∈ R,
n 6= 0,
Funkce sinus:
y = sin x.
Funkce kosinus:
y = cos x.
Funkce tangens:
y = tg x,
Funkce kotangens:
y = cotg x,
Exponenciálnı́ funkce: y = ax ,
a > 0,
Logaritmická funkce: y = loga x, a > 0,
a 6= 1,
Konstantnı́ funkce:
Lineárnı́ funkce:
Mocninná funkce:
D(f ) = R.
D(f ) = R.
D(f ) = R.
D(f ) = R+ .
D(f ) = R.
D(f ) = R.
D(f ) = R\{ kπ+π
2 }k∈Z .
D(f ) = R\{kπ}k∈Z .
D(f ) = R.
D(f ) = R+ .
Elementárnı́mi funkcemi budeme rozumět takové funkce, které lze vytvořit ze základnı́ch
elementárnı́ch funkcı́ konečným počtem aritmetických operacı́ sčı́tánı́, odčı́tánı́, násobenı́,
dělenı́ a operacı́ skládánı́ funkcı́.
Přı́klady elementárnı́ch funkcı́:
• f (x) = x3 − 5x2 + 6x − 5
x
• g(x) = ln √sin
1+x2
Přı́klady neelementárnı́ch funkcı́:
• h(x) = |x|3 − 5x2 + 6x − 5

pro x > 0,
 1
0
pro x = 0,
• sgn x =

−1 pro x < 0.
0.2
Vlastnosti funkce
Definice 0.2.1. Sudá funkce
Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro všechna x ∈ D(f ) je f (−x) = f (x).
Funkce f (x) = x2 je sudá, nebot’ ∀x ∈ D(f ) je f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x).
Přı́klady sudých funkcı́: f (x) = xn , kde n je sudé čı́slo, f (x) = cos x.
Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.
4
Matematika I (KMI/PMATE)
Definice 0.2.2. Lichá funkce
Funkce f se nazývá lichá, jestliže pro všechna x ∈ D(f ) je f (−x) = −f (x).
Funkce f (x) = x3 je lichá, nebot’ ∀x ∈ D(f ) je f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x).
Přı́klady lichých funkcı́: f (x) = xn , kde n je liché čı́slo, f (x) = sin x.
Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadných os.
(a) Graf sudé funkce - všimněte si osové
souměrnosti grafu!
(b) Graf liché funkce - všimněte si středové
souměrnosti!
Obrázek 2: Modře jsou vyznačeny grafy sudé a liché funkce s vyznačenı́m souměrnostı́
Definice 0.2.3. Periodická funkce
Funkce f se nazývá periodická, jestliže existuje takové p 6= 0, že pro všechna x z jejı́ho
definičnı́ho oboru je f (x + p) = f (x). Čı́slo p nazýváme periodou funkce f , nejmenšı́
kladnou periodu (pokud existuje) nazýváme základnı́ periodou funkce f .
Funkce f (x) = sin x je periodická, nebot’ jestliže zvolı́me p rovno např. hodnotě 2π,
tak: ∀x ∈ R : f (x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f (x).
Obrázek 3: Graf periodické funkce
Definice 0.2.4. Rostoucı́ funkce
Funkce f se nazývá rostoucı́ v intervalu J ⊂ D(f ), jestliže pro dva libovolné body xi ,
xj intervalu J pro něž platı́ xi < xj , zároveň platı́ nerovnost f (xi ) < f (xj ).
Funkce y = x2 je rostoucı́ v intervalu (0, ∞), nebot’ v tomto intervalu pro všechna
xi < xj je x2i < x2j (např. [3 < 5] ∧ [32 < 52 ]).
Matematika I (KMI/PMATE)
5
Definice 0.2.5. Klesajı́cı́ funkce
Funkce f se nazývá klesajı́cı́ v intervalu J ⊂ D(f ), jestliže pro dva libovolné body xi ,
xj intervalu J pro něž platı́ xi < xj , zároveň platı́ nerovnost f (xi ) > f (xj ).
Funkce y = x2 je klesajı́cı́ v intervalu (−∞, 0), nebot’ v tomto intervalu pro všechna
xi < xj platı́ x2i > x2j (např. [(−5) < (−3)] ∧ [(−5)2 > (−3)2 ]).
(a) Graf rostoucı́ funkce - všimněte si, jak se s
rostoucı́ hodnotou x zvětšuje i hodnota f (x)!
(b) Graf klesajı́cı́ funkce - všimněte si, jak se s
rostoucı́ hodnotou x zmenšuje hodnota f (x)!
Obrázek 4: Grafy monotónnı́ch funkcı́
Definice 0.2.6. Omezená funkce
Funkce f se nazývá ohraničená (omezená) v intervalu J ⊂ D(f ), jestliže existuje
takové čı́slo C, že pro všechna x ∈ J platı́ |f (x)| ≤ C.
Funkce y = f (x) je omezená v zobrazeném intervalu, nebot’ pro všechny zobrazené
funkčnı́ hodnoty je −C < f (x) < C, tedy |f (x)| < C.
Obrázek 5: Graf ohraničené funkce - všimněte si, že pro všechna zobrazená x platı́
nerovnosti −C < f (x) < C
Definice 0.2.7. Globálnı́ minimum
Globálnı́m minimem funkce f v intervalu J ⊂ D(f ) nazýváme takovou funkčnı́ hodnotu f (xn ), že pro všechna x ∈ J platı́ f (x) ≥ f (xn ).
Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodě xn globálnı́ minimum f (xn ), nebot’ pro všechna
x ze zobrazeného intervalu platı́ f (xn ) ≤ f (x).
6
Matematika I (KMI/PMATE)
Definice 0.2.8. Globálnı́ maximum
Globálnı́m maximem funkce f v intervalu J ⊂ D(f ) nazýváme takovou funkčnı́ hodnotu f (xm ), že pro všechna x ∈ J platı́ f (x) ≤ f (xm ).
Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodě xm globálnı́ maximum f (xm ), nebot’ pro
všechna x ze zobrazeného intervalu platı́ f (x) ≤ f (xm ).
(a) Graf funkce, která v bodě xn nabývá své
globálnı́ minimum
(b) Graf funkce, která v bodě xm nabývá své
globálnı́ maximum
Obrázek 6: Globálnı́ extrémy funkce
Definice 0.2.9. Prostá funkce
Funkce f se nazývá prostá, jestliže pro každé dva různé body z definičnı́ho oboru jsou
různé i jejich funkčnı́ hodnoty.
Obrázek 7: Vlevo je graf funkce, která nenı́ prostá; vpravo se nacházı́ graf prosté funkce
Definice 0.2.10. Inverznı́ funkce
Necht’ funkce y = f (x) je prostá. Potom inverznı́ funkcı́ k funkci f (značı́me f −1 )
rozumı́me funkci, která každému y z oboru hodnot funkce f přiřazuje takové čı́slo
f −1 (y) = x z definičnı́ho oboru funkce f , pro které platı́ f (x) = y.
Matematika I (KMI/PMATE)
7
Definice 0.2.11. Složená funkce
Mějme funkce f a g. Je-li definičnı́ obor funkce f roven oboru hodnot funkce g (tj.
D(f ) = H(g) ), pak funkci F (x) = f (g(x)) nazýváme složená funkce. Funkce g se
nazývá vnitřnı́ funkce, funkce f se nazývá vnějšı́ funkce.
Necht’ f (x) = sin x, g(x) = x3 . Je vidět, že D(f ) = H(g) = (−∞, ∞). Potom
F (x) = f (g(x)) = sin x3 .
0.2.1
Operace s funkcemi
Rovnost funkcı́
Dvě funkce jsou si rovny (f = g), jestliže majı́ týž definičnı́ obor [D(f ) = D(g)] a pro
všechna x z této množiny platı́ f (x) = g(x).
Součet funkcı́
Součtem funkcı́ f, g s týmž definičnı́m oborem nazýváme takovou funkci h (pı́šeme
h(x) = (f +g)(x)), která přiřadı́ ke každému čı́slu x ∈ D(f ) = D(g) funkčnı́ hodnotu
h(x) = f (x) + g(x).
Zbývajı́cı́ početnı́ operace s funkcemi
Obdobně se definuje rozdı́l, součin a podı́l funkcı́ f , g s týmž definičnı́m oborem,
přičemž podı́l je definován pouze tehdy, je-li g(x) 6= 0 pro každé x z definičnı́ho oboru.