Kolik je iracionálních čísel

Mgr. Ivana Stefanová
Gymnázium Sob¥slav, Dr. Edvarda Bene²e 449/II
8 Kolik je iracionálních £ísel?
Jiº v úvodu na²eho seriálu jsme si ukázali, ºe racionálních £ísel je neomezen¥ mnoho. Kolik je
v²ak iracionálních £ísel?
Obsahem p°edchozích díl· bylo to, ºe jsme prokázali existenci iracionálních £ísel. By´ bychom
získali i jedno jediné, dal²í bychom mohli konstruovat pomocí základních po£etních operací.
x
M¥jme iracionální £íslo
jinému racionálnímu £íslu
a libovolné racionální £íslo
s
(tj.
x ± r = s),
r.
Pokud by sou£et £i rozdíl byl roven
pak by platilo
x = s ∓ r.
Rozdíl i sou£et libovolných racionálních £ísel je op¥t £íslo racionální, coº je v rozporu s tím, ºe
se rovná iracionálnímu
provést i pro
x.r, x/r
x.
a
Z toho plyne, ºe
r/x.
x±r
je £íslo iracionální. Analogický d·kaz m·ºeme
Speciálním p°ípadem posledního podílu je p°evrácená hodnota
£ísla, tím je tedy dokázáno, ºe také nap°.
1/π
je iracionální £íslo. Dal²í iracionální £ísla m·ºeme
získat jako odmocniny (i °ád· vy²²ích neº 2) iracionálních £ísel. Pokud bychom mohli zapsat
takovou odmocninu jako zlomek
√
n
x = p/q
(pro
máme
x=
x>0
a
p, q i n
p°irozené), pak po umocn¥ní
pn
,
qn
coº v²ak je evidentn¥ £íslo racionální ve sporu s po£áte£ním p°edpokladem. Tím jsme prokázali
iracionalitu £ísel jako
√
5
1
e = e5 ,
p
log3 100
apod.
1
P°edchozí odstavec (stejn¥ tak i p°edchozí díly na²eho seriálu) ukázal, ºe iracionálních £ísel
rozhodn¥ není mén¥ neº £ísel racionálních. Kolik jich tedy je? Jiº víme, ºe jich je neomezen¥
mnoho. Tady se dostáváme tak trochu na tenký led, protoºe se chystáme srovnávat nekone£né
mnoºiny. U kone£ných mnoºin jednodu²e ur£íme po£ty prvk·, které snadno porovnáme. Jak
ale m·ºeme pom¥°ovat nekone£na? Jsou v²echna stejná? P°esný matematický význam t¥mto
otázkám dal aº Georg Cantor v 70. letech 19. století, který mj. ukázal, jak porovnávat nekone£né mnoºiny a ºe existují nekone£na r·zných °ád·. Bliº²í popis t¥chto jist¥ kromoby£ejn¥
zajímavých partií matematiky je jiº mimo rámec tohoto textu.
Uvedený n¥mecký matematik a logik dokázal, ºe v matematicky dob°e denovaném významu
je reálných £ísel mnohem více neº £ísel racionálních. Zatímco racionální £ísla je moºné jistým
zp·sobem o£íslovat (tím je vlastn¥ p°i°adit p°irozeným £ísl·m), u reálných £ísel nic podobného
ud¥lat nelze. Matematici °íkají, ºe mohutnost mnoºiny
ºiny
Q
N
p°irozených £ísel a mohutnost mno-
£ísel racionálních je stejná, takové mnoºiny nazýváme spo£etné (jejich prvky se dají
o£íslovat a tedy spo£ítat). Naproti tomu mohutnost mnoºiny
R £ísel reálných je v¥t²í, mnoºina
R a Q, coº znamená ºe
je nespo£etná. Jsou to práv¥ iracionální £ísla, která odli²ují mnoºiny
iracionálních £ísel je nespo£etn¥ mnoho. A tedy více neº £ísel racionálních. Iracionální £ísla tedy
netvo°í pár bizarních výjimek v mo°i v²ech reálných £ísel, ale je tomu práv¥ naopak.
Pokud jste si z n¥kolika díl· seriálu o iracionálních £íslech odnesli dojem, ºe v této oblasti
jiº není co zkoumat a ºe matematici jiº zodpov¥d¥li v²echny otázky, je t°eba ho poupravit.
Existuje mnoºství £ísel v matematice ²iroce pouºívaných, o kterých nevíme, do které mnoºiny
1 Ve
vý²e zmín¥ných d·kazech je podstatné, ºe
r je√£íslo
√ racionální. V opa£ném p°ípad¥ jiº výsledek operace
8/ 2 = 2 nebo log 150 − log 15 = 1. Podobn¥ mocnina
√
9
3
2 = 8.
iracionální být nemusí, o £emº sv¥d£í protip°íklady
iracionálního £ísla jiº obecn¥ iracionální není, viz
je p°i°adit. Do této skupiny pat°í °ada £ísel kombinujících Eulerovo a Ludolfovo £íslo (nap°.
e ± π , π/e, π e ), dále nap°. významná Eulerova (téº Eulerova-Mascheroniho) konstanta
γ = lim
n→∞
n
X
1
i=1
i
!
− ln n ,
Catalanova konstanta pouºívaná v pokro£ilej²í kombinatorice
∞
G=
X (−1)i
1
1
1
1
−
+
−
+
·
·
·
=
12 32 52 72
(2i + 1)2
i=0
nebo hodnota velmi d·leºité Riemannovy funkce
∞
X 1
1
1
1
1
ζ(x) = x + x + x + x + · · · =
1
2
3
4
ix
i=1
pro
x = 5,
7, 9, ... (lichá p°irozená £ísla
≥ 5)2 .
Stejn¥ jako ve v¥t²in¥ dal²ích obor· lidské
£innosti i zde z·stává mnoho bílých míst, která £ekají na své objevitele.
Záv¥r
Vra´me se je²t¥ jednou do prvního dílu seriálu. Tam jsme si poloºili otázku, zda v·bec existují
n¥jaká jiná £ísla neº racionální. Postupn¥ jsme pro n¥kolik £ísel, která mají dobrý smysl a
svou nespornou pouºitelnost, ukázali, ºe je nelze zapsat jako zlomek. Jsou tedy iracionální.
V tomto díle bylo dokázáno, ºe iracionálních £ísel rozhodn¥ není mén¥ neº £ísel racionálních.
Dále jsme si °ekli (jiº bez bliº²ího vysv¥tlení £i d·kazu), ºe v jistém smyslu je jich dokonce
mnohem více. Opravdu
mnohem
více, racionální £ísla jsou mezi v²emi reálnými £ísly vlastn¥
spí²e raritou. ƒíselná osa tvo°ená pouze racionálními £ísly je tedy zna£n¥ d¥ravá. Stejn¥ tak je
moºné sestrojit p°ímky v rovin¥, které procházejí po£átkem a p°itom míjejí v²echny dal²í body
s celo£íselnými sou°adnicemi. A op¥t platí, ºe t¥chto p°ímek je vlastn¥ mnohem více, takºe
tret n¥který m°íºový bod je spí²e výjimkou. To jsou pom¥rn¥ p°ekvapivé výsledky a vidíme,
ºe tentokrát nás na²e intuice zklamala.
Pouºitá literatura
Zdroje jsou uvedeny v abecedním po°adí dle jména autora nebo jména elektronického zdroje.
Ball, Keith: Podivuhodné k°ivky, po£ítání králík· a jiná matematická dobrodruºství,
Argo/Doko°án, 2011
SNTL, Praha 1977
Filosoa, Praha 2008
Pickover, Clifford A.: Matematická kniha, Argo/Doko°án, 2012
Niven, Ivan: A simple proof that π is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), no. 6
Kac, Mark a Ulam, Stanislaw M.: Matematika a logika,
Kolman, Vojt¥ch: Filosoe £ísla,
http://www.proofwiki.org
http://mathworld.wolfram.com
na http://en.wikipedia.org v ang-
ProofWiki: on-line matematické d·kazy, elektronicky na
Weisstein, Eric W.: MathWorld, elektronicky na
Wikipedia: internetová encyklopedie, elektronicky
li£tin¥, na
2 pro
http://cs.wikipedia.org
x=1
°ada diverguje a iracionalitu
v £e²tin¥
ζ(3)
dokázal Roger Apéry v roce 1979