n-boký hranol

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
N-BOKÝ HRANOL
= část prostoru ohraničená dvěma podstavami a n bočními stěnami – podstavy: shodné n‐úhelníky ležící v rovnoběžných rovinách – boční stěny: rovnoběžníky Poznámka: Hranoly patří mezi mnohostěny. Základní pojmy:
™
™
™
™
plášť hranolu – sjednocení všech bočních stěn výška hranolu – vzdálenost rovin podstav stěnová úhlopříčka – úhlopříčka bočních stěn tělesová úhlopříčka – úsečka spojující 2 body hranolu, které neleží v jedné stěně Druhy hranolů:
™
™
™
™
kolmý – boční stěny kolmé k podstavám kosý – hranol, který není kolmý pravidelný n‐boký – kolmý hranol, jehož podstavou je pravid. n‐úhelník rovnoběžnostěn – čtyřboký hranol, jehož stěnami jsou rovnoběžníky – protější stěny rovnoběžné a shodné – speciálním případem je kvádr a krychle Kvádr
= kolmý hranol, jehož stěnami jsou obdélníky – protější stěny jsou shodné u1, u2, u3 – stěnové úhlopříčky u1 = a 2 + b 2 , u2 = a 2 + c 2 ,
u3 = b 2 + c 2
u – tělesová úhlopříčka u = a2 + b2 + c2
Poznámka: Kvádr má čtyři shodné tělesové úhlopříčky, které se protínají v jediném bodě a jsou jím půleny. Krychle
= kolmý hranol, jehož stěnami jsou čtverce – hrana krychle: a u1 – stěnová úhlopříčka, velikost a ⋅ 2
u – tělesová úhlopříčka, velikost a ⋅ 3
Poznámka: Krychle má čtyři shodné tělesové úhlopříčky, které se protínají v jediném bodě a jsou jím půleny. 1
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Cvičení: Příklad 1: Načrtněte daná tělesa: a) pravidelný trojboký hranol b) kosý čtyřboký hranol c) rovnoběžnostěn d) kolmý šestiboký hranol Příklad 2: Určete počet tělesových úhlopříček n‐bokého hranolu. Příklad 3: Vypočtěte délky tělesových úhlopříček pravid. šestibokého hranolu výšky 14 cm s podstavnou hranou délky 10 cm. Příklad 4: Existuje hranol, který má shodné všechny hrany, ale nemá shodné všechny stěny? Objem a povrch hranolů
Objem = kladné reálné číslo, jednotky: m3, cm3, mm3
– objem krychle s hranou délky 1 je roven 1 Povrch = obsah jeho hranice, jednotky: m2, cm2, mm2
Obecný hranol: V = Sp ⋅v
S = 2 ⋅ S p + S pl
Kvádr: V = a ⋅ b ⋅ c
S = 2 ⋅ (ab + ac + bc )
Krychle: V = a 3
S = 6 ⋅ a2
Příklad: Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého hranolu, jsou‐li dány tělesové úhlopříčky vycházející z téhož vrcholu. u1 = 12 cm, u2 = 13 cm. Řešení: pravoúhlý ∆ ABD´: a = u22 − u12 = 5 cm
pravoúhlý ∆ ADD´: v = u22 − (2a ) = u22 − 4a 2 =
2
= − 3u22 + 4u12 = 69 cm
1
o
2
S p = 6 ⋅ S< = 6 ⋅ ⋅ a ⋅ a ⋅ sin 60 =& 64,952 cm
2
V = Sp ⋅ v = 539,53 cm3
S = 2Sp + Spl = 2 ⋅ 64,952 + 6 ⋅ a ⋅v = 379,1 cm2
2
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Cvičení: Příklad 1: Učebna má rozměry 7 m × 6 m × 3,6 m. Kolik žáků lze do učebny umístit, mají‐li připadnout na 1 žáka minimálně 3 m3 vzduchu? Příklad 2: Je dána krychle s hranou a. Určete délku hrany krychle, která má vzhledem k původní krychli dvojnásobný a) objem b) povrch Příklad 3: Prodlouží‐li se hrana dané krychle o 5 cm, zvětší se její objem o 485 cm3. Určete povrch původní i zvětšené krychle. Příklad 4: Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu 3,5 m vysokého, který má průřez tvaru prav. 6‐úhelníku o hraně 18 cm? Poměr mísení je 350 kg cementu na 1 m3 betonu. Příklad 5: Podstavou kolmého hranolu je rovnoramenný ∆, základna má délku 10 cm a úhel při základně je 40°20´.Vypočítejte objem hranolu, je‐li obsah pláště roven součtu obsahů jeho podstav. Příklad 6: Vypočítejte výšku kolmého trojbokého hranolu s objemem 200 cm3, jehož podstavné hrany mají délky 4⅓ cm, 10 cm, 12⅓ cm. 3