to get the file

Poznámky ke cvičenı́ z předmětu Pružnost pevnost na Posunutı́ a pootočenı́ na konci nosnı́ku v bodě B
K618 FD ČVUT v Praze (pracovnı́ verze). Tento materiál
F l3
F l3
F l3
má pouze pracovnı́ charakter a bude v průbehu semestru
v(l) =
−
=
= vmax
2EJ
6EJ
3EJ
postupně doplňován.
Autor: Jan Vyčichl E–mail: [email protected]
F l2
F l2
F l2
revize: 6. prosince 2011
−
=
= ϕmax
ϕ(l) = v ′ (l) =
EJ
2EJ
2EJ
Graficky znázorněné posunutı́ a pootočenı́ řešeného
1 Přı́klad
nosnı́ku
x
Zadánı́
A
B
v(l)
Stanovte pomocı́ metody počátečnı́ch/koncových parametrů rovnici průhybové čáry pro staticky určitý nosnı́k
zatı́žený dle obrázku (na nosnı́k v tomto přı́padě působı́
pouze počátečnı́/koncové parametry). Určete posunutı́ a
pootočenı́ na konci nosnı́ku. Znáte: F , l. Určete: v(x),
ϕ(x), v(l), ϕ(l)
v
ϕ(l)
l
Dalšı́
Z derivacı́ funkce průhybové čáry lze dále dopočı́tat
průběh posouvacı́ch sil a momentů
F
l
Stavová funkce
Stavová funkce je základ pro vyšetřovánı́ všech nosnı́ků.
v(x) = v(0) + v ′ (0)x −
B
M (0)x2
T (0)x3
−
2EJ
6EJ
v(x)
=
v ′ (x)
=
v ′′ (x)
=
v ′′ (x)
=
F x3
F lx2
−
2EJ
6EJ
F x2
F lx
−
EJ
2EJ
Fx
Fl
−
EJ
EJ
F
−
EJ
Průběh monentů
−EJv ′′ (x) = M (x) = F (x − l) = −F l + F x
Řešenı́
Průběh posouvacı́ch sil
Počátečnı́ parametry (okrajové podmı́nky) stanovı́me ze
zadánı́ a z podmı́nek rovnováhy na staticky určitém
nosnı́ku
−EJv ′′′ (x) = T (x) = F
x
2
Přı́klad
F
M(0)
A
Zadánı́
B
Stanovte pomocı́ metody počátečnı́ch/koncových parametrů rovnici průhybové čáry pro staticky určitý nosnı́k
zatı́žený dle obrázku. Znáte: F , a, b, l = a + b. Určete:
v(x)
T (0)
l
posunutı́ ve vetknutı́ v(0) =
′
pootočenı́ ve vetknutı́ v (0) =
moment ve vetknutı́ M (0) =
↑ posouvacı́ sı́la ve vetknutı́ T (0) =
0
F
0
−F l
F
a
b
Dosadı́me do stavové funkce
v(x) = 0 + 0 +
F x3
F lx2
−
2EJ
6EJ
Univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
Podle A.N. Krylova univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
pro zatı́ženı́ osamělými silami a momenty (bez vlivu
spojitého zatı́ženı́) lze zapsat ve tvaru
Funkce průhybové čáry
v(x) =
F x3
F lx2
x3
F lx2
−
=
(
− )
2EJ
6EJ
EJ 2
6
T (0)x3
M (0)x2
−
+
2EJ
6EJ
n
n
X
Mi (x − lMi )2 X Ti (x − lT i )3
+
+
2EJ
6EJ
i=1
i=1
v(x) =v(0) + v ′ (0)x −
Funkce pootočenı́ (derivace rovnice průhybové čáry)
ϕ(x) = v ′ (x) =
F lx
F x2
F
x2
−
=
(lx − )
EJ
2EJ
EJ
2
1
Univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
Řešenı́
Počátečnı́ parametry (okrajové podmı́nky) stanovı́me ze Podle A.N. Krylova univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
zadánı́ a z podmı́nek rovnováhy na staticky určitém pro zatı́ženı́ osamělými silami a momenty (bez vlivu
spojitého zatı́ženı́) lze zapsat ve tvaru
nosnı́ku
x
T (0)x3
M (0)x2
−
+
2EJ
6EJ
n
n
X
Mi (x − lMi )2 X Ti (x − lT i )3
+
+
2EJ
6EJ
i=1
i=1
F
pole I
A
v(x) =v(0) + v ′ (0)x −
pole II
C
B
T (0)
T (l)
a
b
l
Řešenı́
posunutı́ ve vetknutı́ v(0) =
pootočenı́ ve vetknutı́ (neznáme) v ′ (0) =
moment ve vetknutı́ M (0) =
↑ posouvacı́ sı́la ve vetknutı́ T (0) =
Počátečnı́ parametry (okrajové podmı́nky) stanovı́me ze
zadánı́ a z podmı́nek rovnováhy na staticky určitém
nosnı́ku
0
?
x
0
Fb
l
A
F
M
pole I
pole II
B
Dosadı́me do univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
F (x − a)3
F b x3
+
v(x) = 0 + v ′ (0)x + 0 −
l 6EJ I
6EJ
II
pole III
D
C
T (0)
T (l)
a
b
c
l
Pro pole I platı́ výraz do prvnı́ho oddělovače a pro pole
II platı́ celý výše uvedený výraz. Neznámý počátečnı́
parametr v ′ (0) stanovı́me z podmı́nek na konci nosnı́ku
(x = l), kde v(l) = 0
posunutı́ ve vetknutı́ v(0) =
pootočenı́ ve vetknutı́ (neznáme) v ′ (0) =
Zadánı́
v(x) =
0
?
moment ve vetknutı́ M (0) =
0
Tc − M
↑ posouvacı́ sı́la ve vetknutı́ T (0) =
3
3
l
F
b
l
F
b
v(l) = 0 = v ′ (0)l −
+
Dosadı́me
do
univerzálnı́
rovnice
průhybové
čáry
6lEJ
l 6EJ
b2
F b l 2 − b2
Fb
T c − M x3
′
′
l−
=
= ϕ(0)
v (0) =
−
v(x)
=
0
+
v
(0)x
+
0
−
6EJ
l
6EJ
l
l
6EJ I
T (x − (a + b))3
M (x − a)2
Zpětně dosadı́me a zı́skáme funkci průhybové čáry pro obě
+
−
pole (pro pole I do prvnı́ho oddělovače, pro pole II celý
2EJ
6EJ
II
III
výraz)
Pro pole I platı́ výraz do prvnı́ho oddělovače, pro pole II
platı́ výraz do druhého oddělovače a pro pole III platı́ celý
F b l 2 − b2
F (x − a)3
F b x3
v(x) =
+
x−
výše uvedený výraz. Neznámý počátečnı́ parametr v ′ (0)
6EJ
l
l 6EJ I
6EJ
II
stanovı́me z podmı́nek na konci nosnı́ku (x = l), kde v(l) =
Derivovánı́m této funkce lze zı́skat funkci pootočenı́ 0
a průběhy svislých posouvacı́ch sil a momentů (pro
T c − M l3
−
v(l) = 0 = v ′ (0)l −
derivovánı́ a následné použitı́ je vhodné neslučovat
l
6EJ
jednotlivé zlomky do jednoho celkového zlomku).
T (l − (a + b))3
M (l − a)2
+
−
2EJ
6EJ
ϕ(x) = v ′ (x)
M
(l
− a)2
T c3
l(T
c
−
M
)
M (x) = −EJv ′′ (x)
+
−
v ′ (0) =
6EJ
2lEJ
6lEJ
T (x) = −EJv ′′′ (x)
Zpětně dosadı́me a zı́skáme funkci průhybové čáry pro
všechna pole (pro pole I do prnı́ho oddělovače, pro pole
II do druhého oddělovače a pro pole III celý výraz)
3 Přı́klad
l(T c − M ) M (l − a)2
T c3
+
−
−
6EJ 2lEJ 6lEJ
M (x − a)2
T (x − (a + b))3
T c − M x3
−
+
−
l
6EJ I
2EJ
6EJ
II
III
Stanovte pomocı́ metody počátečnı́ch/koncových parametrů rovnici průhybové čáry pro staticky určitý nosnı́k
zatı́žený dle obrázku. Znáte: F , M , a, b, c, l = a + b + c. Derivovánı́m této funkce lze zı́skat funkci pootočenı́
Určete: v(x)
a průběhy svislých posouvacı́ch sil a momentů (pro
derivovánı́ a následné použitı́ je vhodné neslučovat
F
M
jednotlivé zlomky do jednoho celkového zlomku).
=
=
v ′ (x)
−EJv ′′ (x)
T (x) =
−EJv ′′′ (x)
ϕ(x)
M (x)
a
b
c
2
4
Přı́klad
Z podmı́nky M (l) = 0 odvodı́me podmı́nku pro funkci
v ′′ (x)
Zadánı́
M (l) = 0 = −EJv ′′ (l) → v ′′ (l) = 0
Stanovte pomocı́ metody počátečnı́ch/koncových parametrů rovnici průhybové čáry pro staticky neurčitý nosnı́k Dvakrát derivujeme funkci v(x) (1)
zatı́žený dle obrázku. Znáte: M , a, b, l = a + b. Určete:
T (0)x3
M (x − a)2
M (0)x2
v(x)
−
−
v(x) = −
2EJ
6EJ
2EJ
M
2
T
(0)x
M
(x
− a)
M
(0)x
−
−
v ′ (x) = −
EJ
2EJ
EJ
M
M (0) T (0)x
′′
−
−
v (x) = −
EJ
EJ
EJ
a
b
Po úpravě
Univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
0 = −M (0) − T (0)x − M
(3)
Podle A.N. Krylova univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
pro zatı́ženı́ osamělými silami a momenty (bez vlivu
Zı́skali jsme tak dvě rovnice o dvou neznámých (rovnice
spojitého zatı́ženı́) lze zapsat ve tvaru
(2) a (3)), jejichž řešenı́m jsou počátečnı́ parametry M (0)
3
2
a T (0). Ty zpětně dosadı́me do rovnice 1 a zkompletujeme
T
(0)x
M
(0)x
−
+
v(x) =v(0) + v ′ (0)x −
tak funkci průhybové čáry pro všechna pole (pro pole I do
2EJ
6EJ
prnı́ho oddělovače a pro pole II celý výraz). Derivovánı́m
n
n
3
2
X
X
Ti (x − lT i )
Mi (x − lMi )
této funkce lze zı́skat funkci pootočenı́ a průběhy svislých
+
+
2EJ
6EJ
posouvacı́ch sil a momentů (pro derivovánı́ a následné
i=1
i=1
použitı́ je vhodné neslučovat jednotlivé zlomky do jednoho
celkového zlomku).
Řešenı́
Počátečnı́ parametry (okrajové podmı́nky) stanovı́me ze
zadánı́. Protože je nosnı́k staticky neurčitý, nelze z
podmı́nek rovnováhy určit reakce v podpoře a vetknutı́.
=
=
v ′ (x)
−EJv ′′ (x)
T (x) =
−EJv ′′′ (x)
ϕ(x)
M (x)
x
M
pole I
M(0)
A
pole II
5
Zadánı́ A
T (l)
T (0)
a
Přı́klad
C
B
Navrhněte připojenı́ taženého prutu složeného ze dvou
úhelnı́ků 100 · 100 · 10 ke styčnı́kovému plechu tloušt’ky
15mm. Prut připojte pomocı́ nýtu d = ∅25 na plnou
únosnost taženého prutu. Dovolené namáhánı́ oceli v tahu
σD = 160M P a, dovolené namáhánı́ nýtů na smyk je
τD = 125M P a a na otlačenı́ je σDo = 250M P a.
b
l
posunutı́ ve vetknutı́ v(0) =
pootočenı́ ve vetknutı́ (neznáme) v ′ (0) =
0
0
moment ve vetknutı́ (neznáme) M (0) =
↑ posouvacı́ sı́la ve vetknutı́ (neznáme) T (0) =
?
?
L 100 · 100 · 10
Dosadı́me do univerzálnı́ rovnice průhybové čáry
M (x − a)2
T (0)x3
M (0)x2
−
(1)
−
v(x) = 0 + 0 −
2EJ
6EJ I
2EJ
II
25
15
Pro pole I platı́ výraz do prvnı́ho oddělovače, pro pole II
platı́ výraz do druhé oddělovače a pro pole III platı́ celý
výše uvedený výraz. Neznámé počátečnı́ parametry M (0)
a T (0) stanovı́me z podmı́nek na konci nosnı́ku (x = l), Řešenı́
kde v(l) = 0 a M (l) = 0. Z prvnı́ podmı́nky dostaneme
Plocha dvou úhelnı́ků 100 · 100 · 10 oslabených otvorem
rovnici
∅25 je (plocha úhelnı́ku odečtena z tabulek 1 920mm2)
2
3
2
M (0)l
T (0)l
Mb
v(l) = 0 = −
−
−
A = 2 · 1920 − 2 · 25 · 10 = 3 340mm2
2EJ
6EJ
2EJ
Po úpravě
Tato plocha přenese sı́lu (maximálnı́ únosnost v tahu)
0 = −M (0)l2 − T (0)
l3
− M b2
3
(2)
σ=
3
F
A
−→
FD = σD A
FD = 160 · 3340 = 534 400N
Únosnost jednoho nýtu na smyk (dvojstřižný nýt) je
τs =
4F
F
≤ τD
=
2A
2πd2
F1s =
−→
F1s =
l1
11111111111111111
00000000000000000
00000000000000000
11111111111111111
2π · d2 · τD
4
2π · 252 · 125
= 122 718N
4
σDo =
F
hd
l2
Tuto délku je třeba rozdělit mezi oba úhelnı́ky. Sı́la v
úhelnı́cı́ch působı́ v jejich těžišti, které však nenı́ uprostřed
výšky. Proto délky l1 , l2 budou různé, nepřı́mo úměrné
zdálenosti sváru od paprsku sı́ly. Těžiště zjistı́me z tabulek
a pak musı́ platit
F1o = dh2 σD,o
−→
F1o = 25 · 15 · 250 = 93 750N
Rozhoduje menšı́ únosnost z F1s a F1o , což je únosnost na
otlačenı́, která je tedy 93 750N . Nutný počet nýtů pak je
n=
534400
FD
=
= 5, 7
F1o
93750
−→
l1 : l2 = 71, 8 : 28, 2
což pro celkovou délku dává
6 nýtů ∅25
Zadánı́ B
Tažený prut ze zadánı́ A připojte pomocı́ koutových svarů
tloušt’ky t = 6mm ke styčnı́kovému plechu. Dovolené
namáhánı́ svaru je τD = 104M P a
svar 6mm
L 100 · 100 · 10
svar 6mm
15
Řešenı́
Plocha dvou úhelnı́ků 100 · 100 · 10 je (plocha úhelnı́ku
odečtena z tabulek 1 920mm2)
A = 2 · 1920 = 3 840mm2
Takže únosnost prutu vycházı́
σ=
F
A
−→
FD = σD A
FD = 160 · 3840 = 614 400N
což je o 13% vı́ce než v přı́padě nýtového připojenı́ prutu.
Nutná délka svaru l je
τ=
FD
≤ τD
0, 7tl
l≥
−→
l≥
N
71, 8
111111111
000000000
000000000
111111111
Při otlačenı́ se uplatnı́ v jednom směru tloušt’ka dvou
úhelnı́ků h1 = 2 · 10 = 20mm, v druhém směru tloušt’ka
styčnı́kového plechu h2 = 15mm. Pro únosnost na otlačenı́
je rozhodujı́cı́ menšı́ tloušt’ka. Únosnost pak vycházı́
28, 2
FD
0, 7tτD
614400
= 1 406, 6mm
0, 7 · 6 · 104
4
l
l1
= 2(l1 + l2 ) = 1 406, 6mm
= 505mm
l2
= 198, 3mm ≈ 200mm