Modelován´ı kontaktn´ıch vazeb bez tren´ı

Modelovánı́ kontaktnı́ch vazeb bez třenı́
Cı́lem předkládaného studijnı́ho textu je čtenáře obeznámit s problematikou řešenı́ kontaktnı́ úloch bez třenı́. Nejprve bude čtenář seznámen s kinematickými vazbami kontaktnı́
plochy, které je nutné znát pro určenı́ průniku. V následujı́cı́m oddı́lu bude popsáno určenı́
normálové tuhosti kontaktu pomocı́ modelu založeném na Hertzově kontaktu [Rivin (1999)],
Johnsonovým modelem [Hippmann (2004)] a kontaktnı́m modelem představeným autory
[Shi & Polycarpou (2005)]. Tyto kontaktnı́ modely budou porovnány na zvolené kontaktnı́
úloze. Výsledky jednotlivých kontaktnı́ch modelů budou porovnány s komerčnı́m MKP
software (ANSYS), který se standardně použı́vá pro řešenı́ kontaktnı́ch úloh.
Metodika výpočetu normálových sil vycházı́ z rozdělenı́ kontaktnı́ plochy na n elementárnı́ch plošek a následně je řešena kontaktnı́ úloha pro každou plošku samostatně.
Celkový silový účinek, kterému je kontaktnı́ plocha vystavena, je zı́skán součtem účinků
od jednotlivých elementárnı́ch plošek ve zvoleném uzlu. Při znalosti normálové tuhosti
kontaktu a průniku bude soustava dvou těles provázána pomocı́ sil, kdy jsou normálové
(kontaktnı́) sı́ly přičteny na přı́slušné pozice silového vektoru.
Kinematika kontaktnı́ch ploch
Uvažovaná kontaktnı́ plocha A se rozdělı́ na elementárnı́ kontaktnı́ plošky Aj , kde index
j = 1, . . . , n. Pro výpočet kontaktnı́ch sil je nutné znát polohu elementárnı́ch plošek aby
bylo možno určit jejich vzájemný průnik. Ve středu každé elementárnı́ plošky je zvolen
lokálnı́ systém souřadnic ξj ηj ζj , obrázek 1. Průnik dAj ,ζ je určován ve středu elementárnı́
plošky, jedná se o třetı́ prvek vektoru dAj , který je určen následujı́cı́m předpisem
dAj = q1,Aj − q2,Aj ,
dAj = [dAj ,ξ , dAj ,η , dAj ,ζ , 0, 0, 0]
(1)
T
kde q1,Aj a q2,Aj jsou vektory udávajı́cı́ pozici středů kontaktnı́ch plošek. Jejich poloha je
dána vztahem
qi,Aj = Ti,Aj qi,C ,
i = 1, 2,
(2)
kde qi,C je zobecněná souřadnice i-tého uzlu, do kterého jsou soustředěny silové účinky.
Transformačnı́ matice blokové struktury Ti,Aj určujı́cı́ polohu středu kontaktnı́ plošky
vznikne pronásobenı́m matic
Ti,Aj =
E RTAj ,Si
0
E
E C
0 E
.
(3)
Matice E je jednotková matice. Matice RTAj ,Si určuje polohu středu kontaktnı́ plochy
v souřadnicovém systému umı́stěném bodě S1


0
zAj −yAj
0
xAj  ,
RTAj ,S1 =  −zAj
(4)
yAj −xAj
0
1
respektive v S2
RTAj ,S1


0 −zAj −yAj
0
xAj  .
=  zAj
yAj −xAj
0
(5)
Matice C popisuje přechod ze zvoleného uzlu lopatky do bodu Si o vzdálenosti c a má
tvar


0 0 0
(6)
C =  0 0 c .
0 −c 0
Obecný popis odvozovánı́ matic posunutı́ a natočenı́ lze nalézt např. v [Brát et al. (1987)].
Obrázek 1: Elementárnı́ kontaktnı́ ploška se souřadným systémem ξj , ηj , ζj .
Určenı́ normálové tuhosti
V této části budou představeny tři modely pro výpočet normálové tuhosti kontaktu, na
které přı́mo závisı́ normálové (kontaktnı́) sı́ly. Vektor kontaktnı́ch sil je přičten na přı́slušné
pozice k vektoru buzenı́ pohybové rovnice, kde se nacházı́ ostatnı́ silové účinky, kterým
je systém vystaven. K provázánı́ uzlů spojených kontaktem vznikne dı́ky principu akce
a reakce. V tomto studijnı́m textu budou představeny 3 výpočtové modely:
1. Rivinův model [Rivin (1999)] učı́ normálovou tuhost kontaktu následujı́cı́ rovnostı́
kζ =
N
,
γ
(7)
kde N je kontaktnı́ sı́la působı́cı́ na jednu elementárnı́ kontaktnı́ plošku a deformaci
kontaktnı́ plošky γ lze určit ze vztahu
γ = cσζp ,
(8)
kde přičemž σζ je napětı́ vyvolané normálovou silou N působı́cı́ na elementárnı́ plochu Aj . Konstanty c a p jsou konstanty o velikosti c = 3, p = 0, 5 odpovı́dajı́cı́
poddajnému kovu, vı́ce v [Rivin (1999)].
2
2. Johnsonův model [Hippmann (2004)] definuje normálovou tuhost pomocı́ předpisu
kζ =
b
,
K
(9)
kde b udává poměrnou deformaci v poddajné vrstvě a K je definováno pomocı́ materiálových konstant ν a E poddajné vrstvy vztahem
K=
1−ν
E.
(1 + ν)(1 − 2ν)
(10)
Samotná kontaktnı́ úloha je řešena jako kontakt dvou tuhých těles, z nichž jedno má
na svém povrchu poddajnou vrstvu o zvolené tloušt’ce, viz obrázek. 2.
Obrázek 2: Poloprostorová aproximace kontaktu, převzato z [Hippmann (2004)].
3. model představený v přı́spěvku [Shi & Polycarpou (2005)] vycházejı́cı́ z Hertzova modelu kontaktu, kde normálovou kontaktnı́ tuhost autoři určı́ pomocı́ předpisu
−1
1 − ν2
2dth
ν
kζ =
2ln
−
,
(11)
πE ∗
a
1−ν
kde E ∗ a ν jsou materiálové konstanty kontaktnı́ plochy, dth je tloušt’ka kontaktnı́
vrstvy a a je poloměr křivosti. Nevýhodou popsaného modelu je přı́liš velká tuhost
pro hladké kontakty, nebot’ poloměr křivosti a se blı́žı́ k ∞. Proto je dále upravován
jak je popsáno v [Shi & Polycarpou (2005)].
Začlenı́ vlivu kontaktu do matematického modelu
Kontaktnı́ úloha je modelována tzv. silovým přı́stupem, kdy je vliv kontaktu popsán
pomocı́ kontaktnı́ch sil přičı́taných na přı́slušné pozice k vektoru pravých stran. Pokud
uvažujeme, že kontaktnı́ sı́la je přı́mo úměrná průniku dvou ploch definovaného pomocı́
vektoru (2), tedy
FAj ,N = kζ dAj ,ζ H(dAj ,ζ ),
3
(12)
kde kζ je tuhost kontaktu v normálovém směru, dAj ,ζ určuje průnik dvou ploch Aj těles
1 a 2 a H(dAj ,ζ ) je Heavisideova funkce. V přı́padě, že průnik je záporný, Heavisideova
funkce nabývá nulové hodnoty stejně jako celková normálová sı́la. Tzn. došlo k rozvázánı́
kontaktu. Sı́ly od jedné elementárnı́ plošky pro těleso 1 majı́ tvar
(2,1)
fAj
=
0, 0, FAj ,N , 0, 0, 0
T
(13)
.
(1,2)
(2,1)
Dı́ky platnosti principu akce a reakce pro sily působı́cı́ na těleso 2 platı́ vztah fAj = −fAj .
Uvedené vektory sil (13) popisujı́ velikost třecı́ch sil v elementárnı́ kontaktnı́ plošce. Je
nezbytné tyto sı́ly zpětně transformovat do zvolených uzlů Ci kde i = 1, 2. Zpětná trasformace je provedena transponovanou maticı́ (3). Výraz pro transformaci sil ze souřadnicového
systému ξj ηj ζj do xc yc zc má tvar
X
(2,1)
TT1,Aj fAj ,
f1,c =
j
f2,c =
X
(1,2)
TT2,Aj fAj .
(14)
j
Výsledný matematický model s uvažovaným kontaktem zahrnutý pomocı́ vektoru sil má
tvar
M1 0
0 M2
+
K1
0
q̇1
+
+
q̇2


..
.


 f1,c 
 . 
0
q1
f1 (t)

=
+
 ..  ,
K2
q2
f2 (t)
 f 
 2,c 
..
.
q̈1
q̈2
B1 0
0 B2
(15)
kde M, B, K jsou matice hmotnosti, tlumenı́ a tuhosti. Vektory q̈, q̇ a q, jsou zrychlenı́,
rychlosti a výchylky uzlů. Vektor pravé strany f(t) značı́ zatı́ženı́ vnějšı́ silou.
Porovnánı́ výsledku s komerčnı́m MKP
V technické praxi se pro řešenı́ kontaktnı́ch úloh bežně použı́vajı́ konečnoprvkové systémy,
proto lze pro zvolenou idealizovanou úlohu jejich výsledky použı́t jako referenčnı́ a nenı́
nutné provádět testy na skutečných tělesech. Za referenčnı́ komerčnı́ software byl zvolen
systém ANSYS.
Porovnánı́ jednotlivých modelů tuhosti kontaktu bude provedeno na soustavě dvou
lopatek na jedné straně vetknutých a na straně druhé s bandážı́, viz obrázek 3. Kontakt
bez třenı́ se nacházı́ na bandážı́ch. Tuhost lopatky ve směru osy z je řádově nižšı́ než tuhost
4
bandáže, proto bude bandáž uvažována jako tuhé těleso. Budou porovnávány přechodové
kmity, které vzniknou skokovým zatı́ženı́m lopatky jedna (obrázek 4(a) silou 4(b)) v čase
t = 0 a silovou dvojicı́, zbůsobujı́cı́ rotaci okolo osy x 4(c)). Přechodové kmity jednolivých
modelů kontaktnı́ tuhosti budou porovnány s komerčnı́m software ANSYS.
Obrázek 3: Soustava dvou lopatek s kontaktnı́ vazbou.
Nynı́ budou porovnány přechodové kmity jednotlivých modelů vybuzené zatı́ženı́m popsaném v předchozı́m odstavci. Prvnı́mi porovnanými přechodovými kmity jsou výchylky
ve směru osy z, které jsou vybuzeny přı́tlačnou silou 4(b). Na obrázcı́ch 5(a) a 5(b) je
patrná velmi dobrá shoda všech modelů tuhosti. Vzhledem k modelovánı́ úlohy bez třenı́,
je pozorovaný útlum kmitů odpovı́dajı́cı́ pouze materiálovému tlumenı́.
5
(a) Soustava dvou lopatek zatı́žená přı́tlačnou silou a momentem.
F [N]
M
[Nm]
2
10
0
0
t [s]
(b) Průběh přı́tlačné sı́ly.
(c) Průběh momentu dvojice sı́ly
Obrázek 4: Směr zatı́ženı́ soustavy lopatek a jejich průběhy.
6
t [s]
−5
−5
x 10
3.5
Model Rivin
Model Johnson
Moldel Polycarpou
ANSYS
Vychylky ve smeru Z [m]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
x 10
Model Rivin
Model Johnson
Moldel Polycarpou
ANSYS
3
Vychylky ve smeru Z [m]
3.5
2.5
2
1.5
1
0.5
0.005
0.01
Cas [s]
0.015
0
0
0.02
0.005
0.01
0.015
0.02
Cas [s]
(a) Přechodové kmity středu lopatky 1 ve směru
osy z pro různé modely tuhosti, které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
(b) Přechodové kmity středu lopatky 2 ve směru
osy z pro různé modely třenı́, které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
Obrázek 5: Přechodové kmity soustavy lopatek ve směru osy z pro různé modely třenı́,
které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
7
Mimo to byly porovnány výchylky přechodového kmitánı́ ve směru osy y, ačkoliv lopatky nebyly ve směru osy y buzeny žádnou silou. Výchylky, které jsou na obr. 6(a) a
6(b), vznikly pouze přenosem kontaktnı́ch sil, respektive jde o numerickou chybu. Jejich
velikost je však velmi malá a k jejich vybuzenı́ došlo pouze v MKP modelu sestaveném v
komerčnı́m software.
−8
−8
x 10
2
Model Rivin
Model Johnson
Moldel Polycarpou
ANSYS
1
x 10
Model Rivin
Model Johnson
Moldel Polycarpou
ANSYS
0
Vychylky ve smeru Y [m]
Vychylky ve smeru Y [m]
1.2
0.8
0.6
0.4
−2
−4
−6
−8
−10
−12
0.2
−14
0
0
0.005
0.01
0.015
−16
0
0.02
Cas [s]
0.005
0.01
0.015
0.02
Cas [s]
(a) Přechodové kmity středu lopatky 1 ve směru
osy y pro různé modely tuhosti, které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
(b) Přechodové kmity středu lopatky 2 ve směru
osy y pro různé modely třenı́, které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
Obrázek 6: Přechodové kmity soustavy lopatek ve směru osy y pro různé modely třenı́,
které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
8
Poslednı́ porovnávanou výchylkou je velikost natočenı́ kolem osy x vyvolaná dvojı́cı́
sil. Zatı́ženı́ dvojicı́ sil způsobı́ snı́ženı́ počtu kontaktnı́ch ploch a přesouvánı́ kontaktu do
jedné poloviny kontaktnı́ plochy. Model v komerčnı́m software byl sestaven z 3D elementů
(SOLID185), které jsou schopny popsat jen posuvy uzlů. Oproti tomu matematický model,
kterým je úloha řešena v MATLABu, je sestaven z nosnı́kových prvků, které majı́ konstantnı́ průřez pro jeden element, a poloha každého uzlu popsána posuvem a natočenı́m
průřezu. Aby bylo možné výsledky vzájemně porovnat, jsou natočenı́ nosnı́kových elementů
převedeny na posuvy na konci lopatky předpisem y = 0, 01tanϕi +yi , kde 0, 01 je vzdálenost
od středu rotace ke kraji lopatky, ϕi je natočenı́ yi je posuv i-tého uzlu. Tento postup byl
upřednostněn, protože u nosnı́kových prvků je průřez uvažován jako nedeformovatelný.
Popsaným způsobem byly zı́skány amplitudy přechodového kmitánı́ na zadnı́m okraji lopatky, které jsou porovnány na obr. 7(a) a 7(b). Přes rozdı́lnost přı́stupů je vidět, že i
zde panuje dobrá shoda obdržených výsledků. Nejlepšı́ shody s komerčnı́m MKP dosahuje
Rivinův model, jehož hlavnı́ nevýhodou však zůstává nutná znalost přenášeného zatı́ženı́
přes kontaktnı́ plochu. Přesnost zbývajı́cı́ch dvou modelů by bylo možné zvýšit optimalizacı́
volených parametrů, jenž by zaručovali většı́ shodu s komerčnı́m MKP.
−6
x 10
Vychylky na kraji lopatky ve smeru Y [m]
Vychylky na kraji lopatky ve smeru Y [m]
−6
1
Model Rivin
Model Johnson
Moldel Polycarpou
ANSYS
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Cas [s]
1.2
x 10
Model Rivin
Model Johnson
Moldel Polycarpou
ANSYS
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Cas [s]
(a) Přechodové kmity kraje lopatky 1 ve směru
osy y pro různé modely tuhosti, které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
(b) Přechodové kmity kraje lopatky 2 ve směru
osy z pro různé modely třenı́, které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
Obrázek 7: Přechodové kmity soustavy lopatek ve směru osy y pro různé modely třenı́,
které jsou porovnány s výsledky z ANSYSu.
Závěr
V předkládané práci byly nejprve popsány kontaktnı́ plochy z hlediska kinematiky. Dále
byly představeny tři kontaktnı́ modely pro výpočet kontaktnı́ tuhosti, které byly aplikovány
na soustavu dvou lopatek, zatı́žených silou a dvojicı́ sil. Zı́skané amplitudy přechodového
kmitánı́ ve směru osy z, y a natočenı́ okolo osy x byly porovnány s hodnotami vypočtených
9
komerčnı́m MKP (ANSYS), kterým byla v minulosti již podobná problematika řešena,
proto lze považovat výsledky z ANSYSu za dostatečně reálné. Byly porovnány přechodové
kmity ve směru osy z, y a rotace okolo osy x a obdržené výsledky byly prodiskutovány.
10
Literatura
[Brát et al. (1987)] Brát, V., Rosenberg, J., Jáč, V., Kinematika, SNTL/ALFA, Praha,
(1987).
[Hippmann (2004)] Hippmann, G., Modellierung von Kontakten komplex geformter Körper
in der Mehrkörperdynamik, Technische Universität München, Steinebach, (2004).
[Kellner (2009)] Kellner, J., Kmitánı́ turbı́nových lopatek a olopatkovaných disků, Fakulta
aplikovaných věd,Plzeň, (2009).
[Rivin (1999)] Rivin, E., Stiffness and Damping in Mechanical Design, Wayne State University, Detroit, Michigan, Dekker, Inc., (1999).
[Rychecký (2011)] Rychecký, D., Kmitánı́ mechanických soustav s kontaktnı́mi vazbami,
Diplomová práce, Plzni, (2011).
[Shi & Polycarpou (2005)] Shi, X., Polycarpou, A., A., Measurement and Modeling of Normal Contact Stiffness and Contact Damping at the Meso Scale, Journal of Vibration
and Acoustics, Vol. 127, ASME, (2005) .
11