docStatika 2 - 1. prednáška Prosté prípady pružnosti: Prostý ohyb Prosté
download 
Stížnost Transkript
Statika 2 - 1. prednáška Prosté prípady pružnosti: Prostý ohyb Prosté
Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Statika 2 1. přednáška Prosté případy pružnosti: Prostý ohyb Prosté kroucení vybraných průřezů Miroslav Vokáč [email protected] ČVUT v Praze, Fakulta architektury 5. října 2016 Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Konzultační hodiny Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Ing. Miroslav Vokáč, Ph.D. Klonerův ústav, ČVUT v Praze Šolínova 7 166 08 Praha 6 - Dejvice Konzultační hodiny: Pondělí 14 - 15 hod. v TH9:508 Tel.: 224 353 509 E-mail: [email protected] URL: http://15122.fa.cvut.cz Kontrolní otázky Organizace výuky Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Podmínky k udělení zápočtu ze Statiky II: 1. Docházka na cvičení min. 80 %. 2. Každý student navštěvuje cvičení, kde je zapsán v KOSu. Přesun není možný. 3. Odevzdané a správně vypracované domácí úkoly (celkem 6 úkolů). 4. Termín pro odevzdání domácího cvičení je 14 dní od jeho zadání (viz také harmonogram na http://15122.fa.cvut.cz). 5. Uzavření udělování zápočtů v zimním semestru 2016/2017 je 31. 1. 2017. Prosté kroucení Kontrolní otázky Organizace výuky Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Zkouška ze Statiky II: ◮ Dle Studijního a zkušebního řádu ČVUT v Praze má každý studen 1 řádný a nejvýše 2 opravné termíny, viz SZŘ, čl. 10, odst. 4. Další opravná zkouška je dle SZŘ nepřípustná. ◮ Podmínkou přihlášení je udělený zápočet ze Statiky II. ◮ ◮ Odhlášení ze zkoušky 3 dny před termínem zkoušky. Neomluvená nepřítomnost je klasifikována F. ◮ Ve zkouškovém období budou termíny zkoušky v pondělí a ve čtvrtek. ◮ V březnu budou 2 termíny, které budou v KOSu otevřené jen pro opravy. První termín je nutné vyčerpat ve zkouškovém období! ◮ Pro zimní semestr 2016/2017 je poslední den pro konání zkoušky dle rozhodnutí děkana 17. 3. 2017. Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Organizace výuky Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Zkouška ze Statiky II: Písemná část obsahuje 4 části: Prosté kroucení Kontrolní otázky 1. Test – teoretické otázky ze Statiky I a Statiky II. 2. Vnitřní síly na staticky určité soustavě. 3. Příklad na prosté případy pružnosti. 4. Příklad na ostatní úlohy z pružnosti a pevnosti. Pomůcky ke zkouškové písemce: ◮ ◮ Kalkulačka, čisté listy papíru, psací potřeby. Výpis důležitých vzorců libovolného zpracování (psaný text, tiskárna PC, Xerox,...). Omezen je formát papíru na 1 list A4. Tato pomůcka není povolena při Testu. Organizace výuky Statika 2 M. Vokáč Statistika výsledků klasifikace STATIKA II v roce 2016/2017: Organizace výuky ◮ ◮ ◮ ◮ ◮ Zapsáno studentů na předmět: 211 Neuděleno zápočtů: 22 Uděleno zápočtů: 189 Úspěšně dokončilo předmět: 159 Na zkoušku se dostavilo 186 studentů s výsledkem: Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Doporučená literatura Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky ◮ ◮ ◮ Radmila Vondrová. Statika II. Příklady. Praha : ČVUT, 2005. ISBN 80-01-03289-2. Tadeusz Kolendowicz. Stavební mechanika pro architekty. Přeložil doc. Ing. Jiří Muk, CSc. Praha : SNTL, 1984. 290s. Dvořák Jiří. Stavební mechanika. Praha : SOBOTÁLES, 1994. ISBN 80-901570-7-6. ◮ Hibbeler, R. C. Structural analysis. Boston : Prentice hall, 2009. ISBN 0-13-257053-X. ◮ Puchmajer, P.; Řezníčková, J. Sbírka úloh z pružnosti a pevnosti. Praha : ČVUT, 2002. ISBN 80-01-02448-2. ◮ Hořejší, J.; Šafka, J. a kol. Statické tabulky. Technický průvodce, svazek 51. Praha : SNTL, 1987. Žák, J., Pěnčík, J. Stavební mechanika, statika, pružnost a pevnost. Antikva, 2005. ISBN 80-239-4965-9. ◮ Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Statika 2 Vnitřní síly a napětí v průřezu M. Vokáč Organizace výuky Vnitřní síly Napětí Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky t My Vy t N y Vz Mz [y, z] Mx x y τxy (y, z) σx (y, z) τxz (y, z) z z ◮ ◮ ◮ Osy y a z jsou hlavní těžišt’ové osy setrvačnosti průřezu. Normálové napětí σ – při působení N, My , Mz (a Mx ). Tečné napětí τ – při působení Vy , Vz , Mx . x Prosté případy pružnosti Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky U prostých případů pružnosti je v průřezu jen jedna vnitřní síla nenulová. Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Prosté případy pružnosti: ◮ Prostý tah & tlak – viz Statika I. ◮ Prostý smyk – viz Statika I. Prosté kroucení. ◮ Prostý ohyb. ◮ Na http://15122.fa.cvut.cz lze na stránkách Statiky I nalézt výklad pro úvod k prostým případům pružnosti, napětí v průřezu, vnitřní síly, hlavní těžišt’ové osy setrvačnosti, momenty setrvačnosti atd. Statika 2 Prostý ohyb M. Vokáč Bernoulli-Navierova hypotéza Organizace výuky q Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Bernoulli-Navierova hypotéza: Průřez ohýbaného nosníku zůstává po deformaci rovinný a kolmý na průhybovou čáru. Z Bernoulli-Navierovy hypotézy a ze základních rovnic pružnosti lze odvodit vztahy pro prostý ohyb, které si budeme uvádět. Statika 2 Prostý ohyb M. Vokáč Odvození vztahu pro křivost Předpokládejme prut ohýbaný konstantním ohybovým momentem My . Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Pro ε(z) lze odvodit: ̺ ℓ 1 ℓ+∆ℓ = 1+ε(z) = ̺+z ⇒ ε(z) = ̺ My z σx (z) My ℓ ℓ + ∆ℓ Dosazením do Hookeova zákova získáme: σ(z) = Eε(z) = E ̺z Dosazením do podmínky R R 2ekvivalence: E M = σ(z) z dA = z dA y ̺ σx (z) A A Proto můžeme vyjádřit: My 1 = ̺ EIy 1 ̺ . . . je Prosté kroucení z ̺ křivost EIy . . . je ohybová tuhost průřezu Kontrolní otázky Statika 2 Prostý ohyb M. Vokáč Odvození vztahu pro σx u prostého ohybu Křivost: 1 ̺ = Organizace výuky My EIy Prosté případy pružnosti Dosadíme vztah ε(z) = z ̺ ⇒ 1 ̺ = ε(z) z , potom: ε(z) z = Prostý ohyb My EIy Po dosazení Hookeova zákova σx (z) = Eε(z) ⇒ ε(z) = M získáme: σxEz(z) = EIyy Prosté kroucení Kontrolní otázky σx (z) E Odtud plyne vztah: σx (z) = My z Iy σx My My y A t N.O. z t x z σx (A) N.O. t x z Statika 2 Prostý ohyb ve svislé rovině xz M. Vokáč Normálové napětí v průřezu Organizace výuky Prostý ohyb ve svislé rovině: My 6= 0 ∧ N = Mx = Mz = Vy = Vz = 0 A t N.O. z t Prostý ohyb Prosté kroucení σx My My y Prosté případy pružnosti x σx (A) N.O. t z Kontrolní otázky x z Normálové napětí σx se určí pro každý bod průřezu: σx (z) = My z Iy Neutrální osa (N.O.) je množina bodů s nulovou hodnotou normálového napětí a rozděluje průřez na taženou a tlačenou oblast. Z podmínky σx (z) = 0 plyne, že N.O. tvoří přímo osa y . Extrémní normálové napětí je v bodu nejvíce vzdáleném od N.O. Statika 2 Prostý ohyb ve svislé rovině xz M. Vokáč Podmínka spolehlivosti a průřezový modul Organizace výuky Podmínka spolehlivosti podle dovolených namáhání: |σx,extr | = Prosté případy pružnosti Prostý ohyb |My | ≤ σdov Wy Prosté kroucení Kontrolní otázky Wy . . . je průřezový modul (modul průřezu), uvažuje se jako kladné číslo, základní jednotka je m3 Wy = Iy max(zd , |zh |) Je-li vzdálenost těžiště k dolním zd a horním vláknům |zh | odlišná, potom se někdy také rozlišuje: Wy ,d = Iy zd a Wy ,h = Iy |zh | Statika 2 Prostý ohyb ve svislé rovině xz M. Vokáč Průřezový modul některých základních průřezů Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb a y Prosté kroucení Kontrolní otázky t Wy = z 1 3 a 6 a h y t Wy = z b 1 b h2 6 Statika 2 Prostý ohyb ve svislé rovině xz M. Vokáč Průřezový modul některých základních průřezů Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb y t y d Wy = z h Prosté kroucení r y 1 1 π r3 = π d3 4 32 z Wy ,h = 1 b h2 24 Wy ,d = 1 b h2 12 t z b Kontrolní otázky Prostý ohyb ve svislé rovině xz Statika 2 M. Vokáč Optimalizace rozměrů dřevěného ohýbaného nosníku z hraněného řeziva Hledáme optimální poměr b : h dřevěného průřezu. b 1 2 6b h d 2 = h2 + b 2 ⇒ h2 = d 2 − b 2 r d h Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Wy = y Organizace výuky t b z h Wy (b) = 16 b(d 2 − b2 ) Wy (b) = 61 (b d 2 − b3 ) Wy′ (b) = 61 (d 2 − 3 b2 ) = 0 d 2 − 3 b2 = 0 h2 + b 2 − 3 b 2 = 0 2 2 √2b = h . b = 22 h = 0, 7071 h . Pro praktické aplikace se používá bh = 75 = 0, 7142 nebo 7 b h = 10 = 0, 7. Závisí také na výrobním sortimentu! Kontrolní otázky Prostý ohyb ve svislé rovině xz Statika 2 M. Vokáč Příklad Organizace výuky q = 3 kN m−1 ℓ = 3m Pro dané zatížení navrhněte dřevěný trám obdélníkového průřezu. Uvažujte σdov = 10 MPa. Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Ohybový momet uprostřed rozpětí: My = 18 qℓ2 = 18 . 3 . 32 = 3,375 kNm Nutný průřezový modul a návrh průřezu: M 3,375 −6 3 Wy ≥ σdovy = 10.10 m 3 = 337,5.10 1 5 1 2 2 −6 3 Wy = 6 bh = 6 7 h h ≥ 337,5.10 m ⇒ ⇒ h ≥ 0,141 m ⇒ b = 57 h ≥ 0,101 m y t b z h NÁVRH h = 150 mm, b = 100 mm Posouzení: Wy = 61 bh2 = 16 . 0,1 . 0,152 = 375.10−6 m3 M 3,375 σx,extr = Wyy = 375.10 −6 = 9 000 kPa σx,extr = 9,0 MPa < σdov = 10 MPa NÁVRH VYHOVUJE Kontrolní otázky Prostý ohyb ve vodorovné rovině xy Statika 2 M. Vokáč Normálové napětí v průřezu N.O. Organizace výuky y Mz y t Prostý ohyb ve vodorovné rovině: Mz 6= 0 ∧ N = Mx = My = Vy = Vz = 0 z Normálové napětí σx se určí pro každý bod průřezu: Mz y σx (y ) = − Iz A Z podmínky σx (y ) = 0 plyne, že N.O. tvoří přímo osa z. t Průřezový modul Wz je definován analogicky jako Wy . N.O. x σx t σx (A) x Prostý ohyb Prosté kroucení Mz y Prosté případy pružnosti Podmínka spolehlivosti má tvar: |σx,extr | = |Mz | ≤ σdov Wz Kontrolní otázky Prostý ohyb ve vodorovné rovině xy Statika 2 M. Vokáč Příklad konstrukce - paždík Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení paždı́k B 2 B w [kN m−2 ] B L B 2 Paždík nese jen vodorovné zatížení od větru. L y t q [kN m−1 ] Mz z Zatížení na paždík: q=wB Ohybový moment na prostém nosníku: Mz = 18 q L2 Kontrolní otázky Statika 2 Prosté kroucení M. Vokáč Organizace výuky O prostém kroucení mluvíme v případě, že platí: t Mx 6= 0∧N = My = Mz = Vy = Vz = 0 y Mx x z Podmínka ekvivalence: Z Mx = (τxz y − τxy z) dA A t Kombinace namáhání řešíme superponováním (sečtením) jednotlivých případů pružnosti. [y, z] y τxy (y, z) τxz (y, z) z x Osy y a z jsou VŽDY hlavní centrální osy setrvačnosti. Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Typické konstrukce namáhané kroucením Statika 2 M. Vokáč Půdorysně zalomený nosník Organizace výuky Prosté případy pružnosti x F Prostý ohyb +F + L2 x2 Vz Prosté kroucení Kontrolní otázky +F + x1 L1 −F L2 +F L1 − + −F L1 My Mx 0 − Typické konstrukce namáhané kroucením Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Rošty (balkonové nosníky) Nosníky zatížené mimo těžiště průřezu (resp. středu smyku) F F F F F F e Půdorysně zakřivené nosníky F Prefabrikované nosníky s ozubem q q e t Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Deplanace průřezu u kroucení Deplanace průřezu při kroucení je posun bodu průřezu mimo jeho rovinu. Deformovaný průřez není rovinný. Potom rozlišujeme: všesměrné vetknutı́ volný konec 1. Volné kroucení - je-li deplanace volně umožněna (volný konec prutu) nebo u nedeplanujících průřezů. V průřezu vniká jen tečné napětí τx . 2. Vázané kroucení - je-li deplanace plně (vetknutí) nebo u částečně (mezi průřezy ve M vetknutí a volným koncem) y z x omezena. V průřezu vniká jak tečné napětí τx , tak normálové napětí σx . Řešení vázaného kroucení vede na složité diferenciální rovnice. Proto se u kroucení omezíme jen na vybrané průřezy. t x Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Prosté kroucení kruhového průřezu Kruhový průřez nedeplanuje. U kruhového průřezu můžeme předpokládat vždy volné kroucení. Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Tečné napětí τx lze určit jako t y Mx x z Mx r τx (ρ) ρ τx z Mx ρ Ip Směr τx je dán smykovými čarami, které jsou kružnice. t y τx (ρ) = τx Ip . . . je polární moment setrvačnosti k těžišti Ip = Iy + Iz = 12 π r 4 Maximální tečné napětí τx,max lze určit jako τx,max = Mx r ≤ τdov Ip Kontrolní otázky Prosté kroucení masívního průřezu mezikruží Průřez nedeplanuje. Můžeme předpokládat vždy volné kroucení. Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Tečné napětí τx lze určit jako Mx r1 r2 ρ τx z Mx ρ Ip Směr τx je dán smykovými čarami, které jsou kružnice. t y τx (ρ) = τx (ρ) τx Ip . . . je polární moment setrvačnosti k těžišti Ip = Iy + Iz = 12 π(r14 − r24 ) Maximální tečné napětí τx,max lze určit jako τx,max = Mx r1 ≤ τdov Ip Prosté kroucení Kontrolní otázky Kroucení tenkostěnného uzavřeného průřezu Statika 2 M. Vokáč Bredtův vzorec Organizace výuky Pro tenkostěnné průřezy musí platit δ ≪ b a δ ≪ h. Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Mx τx δ(s) 1 2Ω s y τx t h δ(s) τ x z b s. . . je souřadnice po obvodu průřezu δ(s). . . tloušt’ka stěny průřezu Ω. . . dvojnásobek opsané plochy střednicí stěny průřezu t. . . smykový tok, v průřezu se předpokládá konstantní, t = MΩx τx . . . se předpokládá po tloušt’ce δ(s) konstantní Bredtův vzorec: τx (s) = t Mx = Ω δ(s) δ(s) Kontrolní otázky Prosté kroucení masívního obdélníkového průřezu Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Mx Průřez deplanuje! y t h Pro výpočet τx se používají přibližné vzorce nebo složité diferenciální výpočty. Směr τx je dán smykovými čarami. τx z b τx Se vzdáleností od těžiště t se τx nemění lineárně, ale po křivce. Prosté kroucení masivního obdélníkového průřezu Příklad průběhu tečných napětí τx učených metodou konečných prvků (MKP) Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Smykové čáry (větší hustota čar odpovídá větší hodnotě τx ) Vektory τx = (τxy , τxz ) v obdélníkovém průřezu Sít’ konečných prvků a velikost τx (tmavší odstín odpovídá větší hodnotě napětí) Prosté kroucení masivního obdélníkového průřezu Extrém určený pomocí tabulky Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Extrém tečného napětí τx,extr lze za předpokladu b ≤ h určit na základě součinitele β z tabulky podle výrazu: τx,extr = Mx βhb2 h/b β 1,00 0,208 1,20 0,219 1,50 0,231 1,75 0,239 2,00 0,246 h/b β 2,50 0,258 3,00 0,267 5,00 0,291 10,00 0,313 ∞ 1/3 Mezilehlé hodnoty lze interpolovat. Kontrolní otázky Kontrolní otázka Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Předpoklad, že průřez ohýbaného nosníku zůstává po deformaci rovinný a kolmý na průhybovou čáru, nazýváme: a) Schwedlerova věta b) Steinerova věta c) Bernoulli-Navierova hypotéza Kontrolní otázka Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Pevnost malty v tahu za ohybu se zkouší na trámečcích průřezu 40 x 40 mm a délky 160 mm. Trámeček se umístí na podpory ve vzdálenosti 100 mm. Zatěžuje se sílou uprostřed rozpětí. Jestliže dojde k porušení vzorku při působící síle 640 N, potom je pevnost v tahu za ohybu rovna: a) 1,5 MPa b) 2,4 MPa c) 0,75 MPa Kontrolní otázka Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Deplanace průřezu je jev, pro který platí: a) Nastává při kroucení prutu, kdy průřez po deformaci zůstává rovinný. b) Nastává při kroucení prutu, kdy průřez po deformaci nezůstane rovinný. c) Projevuje se u ohybu, kdy průřez po deformaci zůstává rovinný a kolmý na průhybovou čáru ohýbaného nosníku. Konec přednášky Statika 2 M. Vokáč Organizace výuky Prosté případy pružnosti Prostý ohyb Prosté kroucení Kontrolní otázky Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem LATEX. Obrázky vytvořeny v systému METAPOST.
Podobné dokumenty
Kombinace namáhání N+My+Mz, Jádro průřezu
Průběh normálového napětí závisí na excentricitě tlakové síly:
1. Tlaková síla působí v jádře průřezu – celý průřez je tlačen,
je možné využít lineární pružnost.
2. Tlaková síla působí ...
Matematika 1 - Sdružení TurnovFree.net
Ǩ M., H J.: Matematika pro ekonomické fakulty 2, Ekopress
to get the file
Nýtová, šroubová a svorníková spojení
Slouží ke spojení ocelových částí, kdy přenášejí síly z jedné části do druhé.
Nosné neboli silové nýty mají za úkol spojovat jednotlivé části nosníku v celek. ...
Statika 1
M. Vokáč
Průřez
Plocha
Statický moment
dokumentace se stahuje z téhož místa, ale samostatně
(nebo lze číst z WWW)
Statika-Otázky
85,87,92,95,98,103,107 nebo Florian Z., Suchánek M.: Úlohy ze statiky: Lze vynechat: Se7,T4T17,Te10,Te12,Te14,Te15,Te17,ST6,ST8,ST9,P3,P7,P10,P12,P16.; nutno znát Ve2, M1, M3, M5, M6, Se2,
Se5, Se6...
Doporučená literatura:
Tenkostěnné nosníky Z a C
Ke spojovacím účelům slouží nižší paždík CI, který lícuje s vnitřním povrchem paždíku C nebo profil U4. Paždíky C jsou dodávány ve výškách od 70 mm do
200 mm v tloušťkách stěny od 0,7 mm do 3,0 mm....
