PLASTICITA I

Plasticita I
PLASTICITA A CREEP
PLASTICITA I
Zbyněk Hrubý
[email protected]
1/43
Plasticita I
2/43
Literatura
•
Dunne, F., Petrinic, N. Introduction to Computational
Plasticity. Oxford University Press, 2005.
•
Khan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley
& Sons, 1995.
•
Mendelson, A. Plasticity: Theory and Application. MacMillan,
1968.
•
Wu, H.-C. Continuum Mechanics and Plasticity. Chapman &
Hall, 2005.
•
Kojić, M., Bathe, K.-J. Inelastic Analysis of Solids and
Structures. Springer-Verlag, 2005.
•
Bathe, K.-J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1996.
Plasticita I
Mikromechanika
3/43
Plasticita I
4/43
Krystalografická mřížka – slitiny železa
kubická prostorově
centrovaná
(body centered cubic – BCC)
kubická plošně centrovaná
(face centered cubic –
FCC)
http://www.chem.lsu.edu/htdocs/people/sfwatkins/ch4570/lattices/lattice.html
Plasticita I
Monokrystaly
Dunne, F., Petrinic, N. Introduction to Computational Plasticity. Oxford University Press, 2005.
5/43
Plasticita I
Monokrystaly – Schmidův zákon
τ = σ cos φ cos λ = σ (t ⋅ n)(t ⋅ s)
Dunne, F., Petrinic, N. Introduction to Computational Plasticity. Oxford University Press, 2005.
6/43
Plasticita I
7/43
Mřížka bez poruch
vs. s poruchami (bodové, čárové, plošné)
• pokud by se skluz uskutečňoval jako skluz celých rovin v
monokrystalu, byla by teoretická „smyková pevnost“ o
několik řádů vyšší než experimentálně naměřená data
• důvody reálného chování reálných konstrukčních
materiálů (spíše polykrystaly) je třeba hledat jinde…
http://deformacepevnehotelesa.k valitne.cz/struktura.htm
Plasticita I
8/43
Dislokace
hranová dislokace
šroubová dislokace
mechanismus šíření
dislokací:
skluz, dvojčatění
b – Burgersův vektor
Dunne, F., Petrinic, N. Introduction to Computational Plasticity. Oxford University Press, 2005.
Plasticita I
9/43
Polykrystaly – krystalografická mřížka
Makroskopická isotropie díky náhodné orientaci anisotropních krystalů v tuhé
fázi!
http://www.ped.muni.cz/wphy/FyzVla/index.htm
Plasticita I
Technické slitiny železa
http://cs.wikipedia.org/ wiki/Soubor:Diagramm_phasen.jpg
10/43
Plasticita I
11/43
Úrovně zkoumání elastoplastických vlastností
materiálu
• atomistické měřítko (molekulární dynamika)
• soubor dislokací (teorie osamělých dislokací)
• dislokační substruktury v zrnu (teorie spojitě rozložených
dislokací)
• zrno (plasticita monokrystalu) – anizotropie
• makroměřítko (klasická teorie mechaniky kontinua)
Plasticita I
Model kontinua – mechanika kontinua
12/43
Plasticita I
13/43
Model kontinua – základní zákony
• Zákon zachování hmotnosti:
∫
t
ρ dV =
V
∫
o
ρ dV0
V0
• Zákon zachování hybnosti:
dp
dt
=
d
∫
dt V
t
ρ t x& dV = ∫ b dV + ∫ t d S = ∫ b dV + ∫ σ ⋅ n d S
V
S
V
• Zákon zachování momentu hybnosti:
d
∫
dt
V
t
x × t ρ t x& dV =
∫
t
x × b dV + ∫ t x × t d S
V
S
~ ~
d
• Zákon zachování energie: Q
+W =
(U + K )
dt
• Clausiova-Duhemova nerovnost: d
dt
S≥
~
Q
T
S
Plasticita I
Mechanika kontinua – zdroje nelinearit
• nelineární chování materiálu
(nelineární elasticita, viskoelasticita, plasticita,
creep, …)
• nelineární geometrie
(velké posuvy, rotace a přetvoření)
↓↓
rovnováha ve zdeformovaném stavu
14/43
Plasticita I
15/43
Předpoklady makroskopického chování vyslovené
na základě znalosti mikrostruktury
• plastická nestlačitelnost – plastický skluz nevede ke
změně objemu (změna objemu může být způsobena
pouze zmenšováním dutin uvnitř materiálu)
• plastická deformace je smykový proces; hydrostatické
napětí v makroměřítku neovlivňuje skluz
• plastické makroskopické chování polykrystalických
materiálů je často isotropní proces
Plasticita I
Teorie plasticity založené na mechanice kontinua
(Continuum Plasticity)
16/43
Plasticita I
Tahový diagram – síla-prodloužení
(load-deflection characteristics)
http://hsc.csu.edu.au/engineering_studies/lifting/3210/image004.png
17/43
Plasticita I
18/43
Tahový diagram – napětí-deformace
(stress-strain characteristics)
1000
900
800
σ , σ C [MPa]
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
ε , e [1]
σ=
F
A0
ε=
∆l
l0
nominal stress vs. nominal (small) strain
σC =
F
A
 l 
e = ln  = ln(1+ ε )
l 
 0
true stress vs. true strain
Plasticita I
19/43
Aproximace tahového diagramu
(nominální napětí - malé deformace) 1D
ideální plasticita
σ
(Prandtl)
(bilineární model)
mez kluzu
(multilineární, nelineární)
σ
σ
σ pt
σk
σk
σ
plasticita se zpevněním
ε
σk
σ
σ pt
σk
σ pt
σk
ε
σ
ε
σ pt
σk
jiné
sklony
ε pl
ε pl
ε pl
Plasticita I
20/43
Odlehčení
ideální plasticita
plasticita se zpevněním
σ
σ
σk
σk
ε
ε pl ε el
ε
ε pl ε el
Odlehčování je vždy elastické! Proč?
Následné zatěžování do aktuální
meze kluzu je také elastické!
Plasticita I
21/43
zbytkové napětí
Zbytková napětí
ideální plasticita
σ
σk
σ zb
−σk
plasticita se zpevněním
el
σ zb = σ − σ fic
el − pl
σ zb = σ − σ fic
σ
σk
ε
ε
?
Zbytková napětí mohou vzniknout pouze v situacích, kdy je možná
jejich rovnováha!
Zbytková napětí nikdy nemohou být vyšší než aktuální mez kluzu!
Plasticita I
22/43
Konstituční popis – elasticita, isotropie, malé
deformace
isotropní elastický materiál – Lamého konstanty λ, µ:
E
νE
λ=
µ =G =
(1+ν )(1− 2ν )
2(1+ν )
Hookeův zákon 1D:
σ = Eε
Hookeův zákon 3D:
σ = λ tr (ε) I + 2µ ε
σ xx

σ xy
σ xz

Robert Hooke (1635-1703)
ε xx ε xy ε xz 
σ xy σ xz 
1 0 0





σ yy σ yz  = λ (ε xx + ε yy + ε zz )0 1 0 + 2µ ε xy ε yy ε yz 


0 0 1
σ yz σ zz 
ε
ε
ε
xz
yz
zz




Plasticita I
23/43
Konstituční popis – elastoplasticita, isotropie,
malé deformace
ε=
ε = εel + ε pl
el
ε xx
 el
= ε xy
ε el
 xz
∆l
l0
=
∆l el + ∆l pl
l0
= ε el + ε pl =
σ
E
+ ε pl
1D
el
el   pl
pl
pl  
ε xy
ε xz
ε xx ε xy
ε xz
ε xx ε xy
el
el   pl
pl
pl  
ε yy ε yz  + ε xy ε yy ε yz  = ε xy ε yy
el
el   pl
pl
pl  
ε yz
ε zz
ε
ε
ε
yz
zz   ε xz ε yz
  xz
 


ε xz 

ε yz  ∈ sym 3D
ε zz 

( )
σ = λ tr εel I + 2µ εel
σ xx

σ xy
σ xz

σ xy σ xz 

el
el
el
+ ε yy
+ ε zz
σ yy σ yz  = λ ε xx
σ yz σ zz 
(
el
ε xx
1 0 0
0 1 0  + 2 µ ε el
 xy


 el
0 0 1
ε
 xz
)
ε pl = ?
el
ε xy
el
ε yy
el
ε yz
el 
ε xz

el
ε yz 
el 
ε zz


Plasticita I
Příklady – ideální plasticita
24/43
Plasticita I
25/43
Př.1: Stanovení Fel a Fmez 1/2
D: průřez A, modul pružnosti v tahu E, mez kluzu σk
a
I
U: Fel, Fmez, zbytková napětí při zatížení na Fmez a odlehčení
F
3a
II
RA + RB = F
elastický stav:
rovnice rovnováhy:
nulové protažení:
RA = 1 F
4
Fa 4RAa
0=
−
EA EA
RB = 3 F
4
RB
a
I
σI =
F
3a
II
RA
− RA + F
A
=
RB
A
=
3F
4A
σ II =
− RA
A
=
−F
4A
Plasticita I
26/43
Př.1: Stanovení Fel a Fmez 2/2
σkA
a
3a
I
Fel II
σkA
3a
σI =
3F
= σ k ⇒ Fel = 4 σ k A
3
4A
Fmez (v obou částích napětí na mezi kluzu – v I tah, v II tlak):
RA
a
Fel (v jedné části napětí na mezi kluzu):
I
Fmez II
σkA
σ k A + σ k A = Fmez ⇒ Fmez = 2σ k A
odlehčení z Fmez, zbytková napětí:
3Fmez
3 ⋅ 2σ k A − σ k
el
σ zb I = σ k − σ fic
=
σ
−
=
σ
−
=
I
k
k
4A
4A
2
 Fmez 
2σ A − σ k
 = −σ k + k =
 4A 
4A
2
el
σ zb II = −σ k − σ fic
II = −σ k − 
−
Plasticita I
27/43
Př.2: Stanovení Fel a Fmez 1/2
a
D: průřez A, rozměry a, h, modul pružnosti v tahu E,
mez kluzu σk
a
h
U: Fel, Fmez, zbytková napětí při zatížení na Fmez a
odlehčení
a/2
elastický stav:
F
N1 + N2 + N3 = F
rovnice rovnováhy:
N2a + 2N3a = 3 2 Fa
N1
N2
N3
∆l1 − 2∆l2 + ∆l 3 = 0
deformační podmínka:
⇓
F
po dosazení fyzikálních rovnic:
N1 = 1 F
12
N2 = 4
12
F
N1 − 2N2 + N3 = 0
N3 = 7
12
F
Plasticita I
28/43
Př.2: Stanovení Fel a Fmez 2/2
N1
σkA
N2
Fel
Fel (v jednom prutu napětí na mezi kluzu):
N3 = 7
Fel = σ k A ⇒ Fel = 12 σ k A
12
7
Fmez (ve dvou prutech napětí na mezi kluzu):
σkA
σkA
N3
σkA
σkA
N2
Fmez
N1
σkA
Fmez
nemožné
a
2σ k Aa + σ k Aa = Fmez
nenastane
2
Fmez = 6σ k A
nemožné
a
σ k Aa − σ k Aa = −Fmez
nenastane
2
Fmez = 0
N3 = 6σ k A − σ k A − σ k A =
N2 = 0 − σ k A − σ k A =
= 4σ k A
= −2σ k A
σkA
Fmez
možné
3a
σ k Aa + 2σ k Aa = Fmez
nastane
2
Fmez = 2σ k A
N1 = 2σ k A − σ k A − σ k A =
=0
Plasticita I
29/43
Př.3: Stanovení oblasti „el“ a „mez“ 1/3
D: průřez A, délka prutů l, úhel α, mez kluzu σk
l
l
1
2
α α
(protože je úloha staticky určitá, bude stav „el“
zaroveň i stavem „mez“)
H
elastický stav:
rovnice rovnováhy: − N1 sinα + N2 sinα + H = 0
V
N1
U: kombinace (H, V)el a (H, V)mez
N1 cos α + N2 cos α − V = 0
N2
H
V
N1 =
V sinα + H cos α
2 sinα cos α
N2 =
V sin α − H cos α
2 sinα cos α
Plasticita I
30/43
Př.3: Stanovení oblasti „el“ a „mez“ 2/3
mezní stav:
N2
σkA
H
V sinα + H cosα
N1 =
= σk A
2 sinα cosα
V
H
= 2 cosα −
cotgα
σk A
σkA
V
N2
−σkA
H
V
N1 =
V sinα + H cosα
V
σkA
2 sinα cosα
= −2 cosα −
H
σk A
N1
H
a)
c)
b)
d)
= −σ k A
σkA N2 = V sinα − H cosα = σ k A
2 sinα cosα
V
H
= 2 cosα +
cotgα
σkA
σk A
V
−σkA
N1
cotgα
H
V
N2 =
V
σk A
V sinα − H cosα
2 sinα cosα
= −2 cosα +
= −σ k A
H
σk A
cotgα
Plasticita I
31/43
Př.3: Stanovení oblasti „el“ a „mez“ 3/3
zakreslení diagramu pro mezní stav:
− 2 cos α
b)
d)
− 2 cos α
2 cos α
cotgα
cotgα
c)
a)
H
σkA
2 cos α
elastický stav obou
prutů
V
σkA
jeden prut na mezi
kluzu (v rozích oba)
(stav „el“ = „mez“)
Plasticita I
32/43
Př.4: Krut kruhového profilu v elastoplastické
oblasti 1/3
D: průměr profilu d, mez kluzu ve smyku τk (vychází z
podmínek plasticity, které ještě nejsou probrány, krut není
jednoosá napjatost díky sdruženým smykovým napětím,
zatím tedy informativně kritické smykové napětí, které
způsobí plastickou deformaci)
Ød
U: krouticí momenty Mkel, Mkep, Mkpl
τk
Mkel (krouticí moment, kdy v krajních vláknech
bude smykové napětí na úrovni τk, průběh napětí
po profilu však je stále lineární jako v oblasti čistě
elastické); tuhost má celý profil
M kel = Wkτ k =
πd 3
16
τk
Plasticita I
33/43
Př.4: Krut kruhového profilu v elastoplastické
oblasti 2/3
ρ
τk
a
Mkep (krouticí moment, kdy je část průřezu
zplastizovaná, část stále elastická), a je poloměr
elastického jádra; tuhost má pouze elastické jádro
π (2a )3
τk +
M kep = M k elastické jádro + M k plastický obal =
16
+
2π
d
2
∫ ∫τ k ρ
2
0 a
ρ
τk
dρ dϕ =
π (2a)3
16
d 3 a3 
τ k + τ k 2π  − 
 24 3 
Mkpl (krouticí moment, kdy je celý průřez
zplastizován – poloměr elastické části z
předchozího je roven nule); nulová tuhost (třecí
spojka)
M kpl =
πd 3
12
τ k = Wkpl τ k
Plasticita I
34/43
Př.4: Krut kruhového profilu v elastoplastické
oblasti 3/3
zbytková napětí
el
τ zb = τ − τ fic
zbytková napětí opravdu vniknou, mohou vytvořit díky rozdílnému umístění po
průřezu rovnováhu
tuhost:
tuhost má vždy pouze elastická část průřezu
υel =
υep =
Mkel
GJ p
M k elastické jádro
GJ p elastické jádro
υ pl = 0
Plasticita I
35/43
Př.5: Ohyb přímého nosníku s profilem se dvěma
osami symetrie v elastoplastické oblasti 1/3
D: rozměry profilu, mez kluzu σk
U: ohybové momenty Moel, Moep, Mopl (analogicky k příkladu 4)
y
y
h/2
a
z
x
a
h/2
σk
Mo < M oel
Moel
σk
Moel < Moep < Mopl
σk
Mopl
Plasticita I
36/43
Př.5: Ohyb přímého nosníku s profilem se dvěma
osami symetrie v elastoplastické oblasti 2/3
Moel (ohybový moment, kdy v nejkrajnějších vláknech vznikne napětí právě
na mezi kluzu)
Moel = Woσ k
Moep (ohybový moment, kdy je část průřezu zplastizovaná, část stále
elastická), a je rozměr elastického jádra; tuhost má pouze elastické jádro
y
y
h
2
Moep = 2 ∫ yσ (y ) d A =
h/2
0
a
z
a
a
h/2
σk
x
= 2∫ y
0
=2
σk
a
yσ k
a
h
2
d A + 2 ∫ yσ k d A =
a
h
a
2
∫ y d A + 2σ k
∫ y dA = 2
0
a
2
σk
a
J + 2σ k S
Plasticita I
37/43
Př.5: Ohyb přímého nosníku s profilem se dvěma
osami symetrie v elastoplastické oblasti 3/3
Mopl (ohybový moment, kdy je ve všech vláknech napětí právě na mezi
kluzu); nulová tuhost=plastický kloub
h
Mopl = 2σ k
2
∫ y d A = 2Sσ k
= Wopl σ k ⇒ Wopl = 2S
0
součinitel rezervy průřezu
α=
Mopl
Moel
=
Wopl σ k
Woσ k
=
Wopl
Wo
=
2S
Wo
zbytková napětí (muže nastat jejich rovnováha, proto se skutečně při zatížení
na moment větší než Moel objeví) σ = σ − σ el
zb
fic
Plasticita I
38/43
Př.6: Ohyb přímého nosníku s profilem s jednou
osou symetrie v elastoplastické oblasti 1/4
a
F
2/
3b
t
1/
a
3b
D: rozměry profilu, mez kluzu σk
U: sílu Fmez a ohybový moment Mopl
t
princip virtuálních prací
úloha je 1xSN, pokud vzniknou dva plastické
klouby, nastane mezní stav
δα
δβ
F
Mopl
Mopl
δu
Mopl
δu = 2 bδα
3
δu = 1 bδβ
3
δW = δU
Fmezδu = 2M opl δα + M opl δβ
Fmezδu = 2M opl
Fmez
3δu
+ M opl
2b
6
= Mopl
b
3δu
b
Plasticita I
39/43
Př.6: Ohyb přímého nosníku s profilem s jednou
osou symetrie v elastoplastické oblasti 2/4
určení Mopl (u profilu s jednou osou symetrie se posouvá poloha neutrální osy
z polohy težiště průřezu do polohy „půlicí“ čáry průřezu)
a
V
t
T
a+t
V
a
t
Mopl = V
a +t
2
2
σk
σk
Moel
Mopl
= σ k at
a+t
2
⇒ Fmez =
3
b
σ k at (a + t )
Plasticita I
40/43
Př.6: Ohyb přímého nosníku s profilem s jednou
osou symetrie v elastoplastické oblasti 3/4
el
zbytková napětí σ zb = σ − σ fic
σk
zatížení
σk
fiktivní elastický stav
σk
σk
zbytková napětí
Zbytková napětí v absolutní hodnotě vyšší než aktuální mez kluzu!
Zbytková napětí však nikdy nemohou být vyšší než aktuální mez kluzu!
Kde je chyba??
Plasticita I
41/43
Př.6: Ohyb přímého nosníku s profilem s jednou
osou symetrie v elastoplastické oblasti 4/4
zbytková napětí (odlehčování „neelastické“)
el − pl
σ zb = σ − σ fic
σk
fiktivní „elastoplastické“
napětí
σk
σk
σk
Plasticita I
42/43
Zpětná plastizace při odlehčování (2 o.s., Wopl >2Wo)
nastává i u profilů se dvěma osami symetrie, pokud:
Wopl > 2Wo
el − pl
σ zb = σ − σ fic
fiktivní elastoplastické
napětí s mezí kluzu 2σk
zatížení na Moel a
odlehčení z Moel
σk
σk
σk
σk
Plasticita I
43/43
Zpětná plastizace při odlehčování (2 o.s., Wopl >2Wo)
zatížení na Moep a
odlehčení z Moep
(Moel<Moep<Mopl)
σk
σk
σk
σk
σk
σk
σk
σk
σk
zatížení na Mopl a
odlehčení z Mopl
σk