criterio de Tresca

Plasticita II
PLASTICITA A CREEP
PLASTICITA II
Zbyněk Hrubý
[email protected]
1/41
Plasticita II
Deviátorový rozklad tenzoru napětí,
spektrální rozklad, invarianty,
charakteristické rovnice
2/41
Plasticita II
3/41
Tenzor napětí, tenzor deviátoru napětí, kulový
tenzor napětí
σ = S + σ mI
σ ij = Sij +
σ kk
3
δ ij
σ xx + σ yy + σ zz


σ xy
σ xz
σ xx −

3


σ xx + σ yy + σ zz


σ xy
σ yy −
σ yz
S=

3

σ xx + σ yy + σ zz 

σ xz
σ yz
σ zz −


3
 σ xx + σ yy + σ zz

3

σ mI = 
0


0

Fyzikální význam:
0
σ xx + σ yy + σ zz
3
0




0

+ σ yy + σ zz 

3
0
σ xx
deviátorová část se podílí na tvarové změně
kulová část na objemové změně
Plasticita II
4/41
Tenzor napětí – hlavní hodnoty, hlavní směry
spektrální rozklad tenzoru napětí σ (tenzoru 2. řádu):
σ = ΦΛΦT
Λ = ΦT σΦ
spektrální matice
(tenzor 2. řádu má max. tři
nezávislé hlavní hodnoty) :
0
σ 1 0
Λ =  0 σ 2 0 
 0 0 σ 3 
modální matice
(tenzor 2. řádu má max. tři
nezávislé hlavní směry):

 cos α1 cos α 2 cos α 3 

 

Φ = ϕ1 ϕ2 ϕ3  = cos β1 cos β 2 cos β 3 

  cos γ 1 cos γ 2 cos γ 3 


Φ−1 = ΦT
Plasticita II
5/41
Charakteristická rovnice tenzoru napětí
σ 3 − I1σ 2 + I2σ − I 3 = 0
invarianty charakteristické rovnice
tenzoru napětí:
I1 = tr (σ )
I1 = σ xx + σ yy + σ zz
I2 =
σ xx
σ xy
σ xx
I3 = σ xy
σ xz
σ xy σ yy
+
σ yy σ yz
σ xy
σ yy
σ yz
σ xz
σ yz
σ zz
mocninné invarianty tenzoru napětí:
σ yz σ xx σ xz
+
σ zz σ xz σ zz
( )
I2 = 12 tr σ 2
( )
I3 = 31 tr σ 3
Plasticita II
6/41
Charakteristická rovnice tenzoru deviátoru napětí
S 3 − J1S 2 − J 2S − J 3 = 0
invarianty charakteristické rovnice
tenzoru deviátoru napětí:
mocninné invarianty tenzoru deviátoru
napětí:
J1 = tr (S )
J1 = S xx + S yy + Szz = 0
J2 = −
S xx
S xy
S xy S yy
−
S yy S yz
S xx
J 3 = S xy
S xy
S yy
S xz
S yz
S xz
S yz
S zz
S yz S xx
−
Szz S xz
S xz
S zz
J2 =
1 tr
2
(S )
2
( )
J 3 = 31 tr S 3
J2 = J 2
Plasticita II
Podmínky plasticity
7/41
Plasticita II
8/41
Podmínka plasticity (prvotní plastizace)
plochové modely: (podmínka je vyjádřena jako plocha v prostoru napětí)
matematicky vyjádřená funkce:
F (K) ≤ 0
F (K) < 0
F (K ) = 0
F (K ) > 0
nevznikají plastické deformace
mohou, ale nutně nemusí, vznikat plastické
deformace
nemožné
Plasticita II
Podmínky plasticity pro houževnaté
materiály
9/41
Plasticita II
10/41
Tresca (Guest, τmax)
τ
τ max
σ3
σ2
σ1
σ
τ max =
σ1 − σ 3
2
≤ τ krit = ??
τ
kalibrace τkrit díky 1D tahovému testu:
τ max
σ2 ≡ σ3
σ1 = σ k
σ
τ max =
σ1 − σ 3
2
=
σk − 0
σ1 − σ 3 ≤ σ k
2
=
σk
2
Plasticita II
11/41
Tresca (Guest, τmax)
Při algoritmizaci je často třídění hlavních hodnot podle vylikosti zdržující proces
σ1 − σ 2 ≤ σ k σ 2 − σ 1 ≤ σ k
(σ1 − σ 2 )2 − σ k 2 ≤ 0
σ 2 − σ3 ≤ σ k σ 3 − σ 2 ≤ σ k
(σ 2 − σ 3 )2 − σ k 2 ≤ 0
σ1 − σ 3 ≤ σ k σ 3 − σ 1 ≤ σ k
(σ1 − σ 3 )2 − σ k 2 ≤ 0
((σ
1 −σ2) −σk
2
2
)((σ
2 −σ3) −σk
2
2
)((σ
1 −σ3) −σk
2
2
)≤ 0
F = 4J 23 − 27J 32 − 9σ k2J 22 + 6σ k4 J 2 − σ k6 ≤ 0
F = max (σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 1 − σ 3 ) − σ k ≤ 0
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
Plasticita II
12/41
von Mises (Maxwell, HMH)
S ≤ σ krit = ??
kalibrace σkrit díky 1D tahovému testu:
τ
τ max
σ2 ≡ σ3
σ1 = σ k
σ1 = σ k
σ2 = 0
σ3 = 0
2σ
3 k
0
−1 σ
3 k
0


0 
−1 σ 
3 k
0
σ
σ krit = S =
S ≤
 23 σ k

S= 0
 0
(2 3 σ k )2 + (−13 σ k )2 + (−13 σ k )2
σ ef = 3 J 2 ≤ σ k
=
2σ
3 k
Plasticita II
13/41
von Mises (Maxwell, HMH)
F = σ ef − σ k ≤ 0
F = 3J 2 − σ k2 ≤ 0
F = J 2 − 31 σ k2 ≤ 0
F = Sij Sij − 32 σ k2 ≤ 0
J 2 = 12 S ij S ij
V prostoru deviátoru má von Misesova
podmínka tvar koule o poloměru 2
3
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
σk
Plasticita II
14/41
Tresca vs. von Mises
σ2
+σk
−σk
−σk
+σk
−σk
σ1
σk
σk
−σk
−σk
σk
π
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/metal-forming-1/figures/tresca.jpg
Plasticita II
Tresca vs. von Mises
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Yield_surfaces.png
15/41
Plasticita II
16/41
Tresca vs. von Mises
(kombinace normálového a smykového namáhání)
σ
Tresca
ef (von Mises)
α = 2 Tresca
= σ 2 + (ατ )2 ≤ σ k
α= 3
τ
σk
von Mises
σ 2 + (ατ )2 ≤ σ k
σ + (ατ )
2
2
σ
τ
+
σ k2 σ
2
2
( )
k
α
≤ σ k2
2
≤1
Tresca
von Mises
3
σk
2
σk
σ
Plasticita II
17/41
Nádaiův-Lodeův součinitel
νσ =
σ 2 − 21 (σ1 + σ 3 )
1
2
(σ1 − σ 3 )
=
2σ 2 − σ 1 − σ 3
σ1 − σ 3
maximální rozdíl obou podmínek pro: σ 2 =
σ1 − σ 3
σk
1
2
(σ 1 + σ 3 )
nulový rozdíl obou podmínek pro: σ 2 = σ 1 ∨ σ 2 = σ 3
(viz následující příklady 7 a 8)
2
3
experimenty
νσ
Taylor & Quinney
1931
Khan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995.
Plasticita II
18/41
Nádaiův-Lodeův součinitel (geometrický vyznam)
tg β = ν σ
β ∈ − 45°;+ 45°
ν σ ∈ − 1;+1
Plasticita II
19/41
Konvexnost plochy plasticity, symetrie v π-rovině
konvexnost = všechny tečné roviny
k ploše plasticity musí nutně ležet
vně plochy plasticity
π-rovina
(deviátorová rovina)
osy symetrie vyplývající z
isotropie
osy symetrie vyplývající z
rovnosti meze kluzu v tahu a
tlaku (houževnaté materiály)
pro houževnaté materiály tedy
celkem 6 os symetrie; celkem
tedy 12 identických segmentů
plochy; experimentálně stačí
proměřit jeden
Khan, A.S., Huang, S. Continuum Theory of Plasticity. Wiley & Sons, 1995.
Plasticita II
Příklady na podmínky plasticity pro
houževnaté materiály
20/41
Plasticita II
21/41
Př.7: Válcová skořepina 1/2
Určit mezní přetlak uvnitř válcové skořepiny, aby byla splněna podmínka plasticity.
D: mez kluzu σk, tloušťka skořepiny t, poloměr skořepiny R
U: pmez
Laplaceova rovnice
pro skořepiny:
σ1
R1
+
σ2
R2
=
R1 = R
p
R2 → ∞
⇓
t
σ2
R2
σ1 =
pR
t
σ2 =
pπR 2
2πRt
=
pR
2t
→0
σ3 = 0
Plasticita II
22/41
Př.7: Válcová skořepina 2/2
Trescova podmínka plasticity:
σ1 − σ3 = σ k
pmez R
t
− 0 = σk
pmez =
von Misesova podmínka
plasticity:
σ ef =
2
2
σkt
R
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 1 − σ 3 )2
2
2
2
= σk
 pmez R   pmez R   pmez R 

 + 
 + 
 = 2σ k2
 2t   2t   t

2
3 pmez
R2
2t 2
pmez =
= 2σ k2
2 σ kt
3 R
Plasticita II
23/41
Př.8: Kulová skořepina 1/2
Určit mezní přetlak uvnitř kulové skořepiny, aby byla splněna podmínka plasticity.
D: mez kluzu σk, tloušťka skořepiny t, poloměr skořepiny R
U: pmez
Laplaceova rovnice
pro skořepiny:
σ1
R1
σ1 =
+
pR
2t
σ2
R2
=
p
σ1 = σ 2
t
σ2 =
pR
2t
symetrie koule
σ3 = 0
Plasticita II
24/41
Př.8: Kulová skořepina 2/2
Trescova podmínka plasticity:
σ1 − σ3 = σ k
pmez R
2t
− 0 = σk
pmez =
von Misesova podmínka
plasticity:
σ ef =
2
2
2σ k t
R
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 1 − σ 3 )2
2
2
(0) +  pmez R  +  pmez R  = 2σ k2
 2t   2t 
2
2
pmez
R2
2t 2
pmez =
= 2σ k2
2σ k t
R
= σk
Plasticita II
25/41
Př.9: Silnostěnná nádoba 1/4
Určit mezní vnitřní přetlak uzavřené válcové silnostěnné nádoby, aby byla splněna
podmínka plasticity. Určit zbytková napětí.
D: mez kluzu σk, vnitřní a vnější poloměry skořepiny r1 a r2.
U: ∆pmez=p1-p2
elastické řešení:
σr −σt + r
dσ r
dr
=0
σ t (r ) =
p1r12 − p2 r22
σ r (r ) =
p1r12 − p2r22
σ o (r ) =
p1r12 − p2 r22
r22 − r12
r22 − r12
r22
− r12
+ (p1 − p2 )
− (p1 − p2 )
r12 r22
1
r22 − r12 r 2
r12r22
1
r22 − r12 r 2
σ t (r ) > σ o (r ) > σ r (r )
Plasticita II
26/41
Př.9: Silnostěnná nádoba 2/4
Trescova podmínka plasticity:
σ t (r ) − σ r (r ) = σ k ⇒ r
dσ r
dr
σk
dr
r
= σk
= dσ r
⇓
σ r = σ k ln r + C
okrajové podmínky:
r = r1 σ r (r1 ) = − p1
− p1 = σ k ln r1 + C
C = − p1 − σ k ln r1
r = r2
r 
σ r (r ) = − p1 + σ k ln 
r 
 1
σ r (r2 ) = − p2
r 
− p2 = − p1 + σ k ln 2 
r 
 1
∆pmez = ( p1 − p2 )mez
 r2 
= σ k ln  = konst
r 
 1
Plasticita II
Př.9: Silnostěnná nádoba 3/4
zbytková napětí:
σ t (r )zb = σ t (r ) − σ t (r )el
fic
σ r (r )zb = σ r (r ) − σ r (r )el
fic
27/41
Plasticita II
28/41
Př.9: Silnostěnná nádoba 4/4
kdy dojde k první plastizaci,
pokud je p2=0?
plastizovat bude vždy nejprve
vnitřní poloměr
σ t (r1 ) − σ r (r1 ) = σ k
2(p1 − p2 )
p1 =
i pro nekonečně velkou
nádobu r2→∞ tak bude moci
být maximální vnitřní přetlak
pouze polovina meze kluzu
p1 =
r12r22
r22 − r12 r12
r22 − r12 σ k
r22
2
r22 − r12 σ k
r22
1
2
=σk
= r2 → ∞ =
σk
2
Plasticita II
Podmínky plasticity pro ideální plasticitu a
kombinovaná namáhání
(schematické přístupy)
29/41
Plasticita II
30/41
Podmínky plasticity (ideální plasticita),
kombinace namáhání Mo + N
h
b
σk
M o < M oel
σk
M opl = 41 σ k bh 2
σk
N < Nel ≡ N pl
σk
N pl = σ k bh
Plasticita II
31/41
Podmínky plasticity (ideální plasticita),
kombinace namáhání Mo + N
a
h
a
σk
b
(M o
σk
(
< M oel ) + N < N pl
elastické i v
superpozici
)
σk
(Mopl ) + (N pl )
nemožné
(Prandtl)!!!
σk
σk
(Mopl ) + (N pl )
Plasticita II
32/41
Podmínky plasticity (ideální plasticita),
kombinace namáhání Mo + N
M o + σ k ba 2 = M opl
Mo
M opl
a
h
Mo
a
M opl
b
N = σ k 2ab
σk
+
σk
+
4σ k ba 2
σ k bh
2
=1
4σ k ba 2 σ k b
Mo
Mopl
σ k bh
2
 N
+
N
 pl
σkb
=1
2

 =1


 h2

h
1h

M o = 2σ k b − a   + a  = σ k b 
− a 2  = M opl − σ k ba 2
 4

2
22



Plasticita II
33/41
Podmínky plasticity (ideální plasticita),
kombinace namáhání Mo + T
τstř
y
τmax
z
b
h
σ o (y ) =
Mo
y
Jz
h
1h

Tb  − y   + y 
TS odř (y )
22

τ (y ) =
= 2
Jzb
J zb
σk
τk
M o < M oel
T < Tel
σo
τ
τ stř =
T
hb
τ max =
3
2
τ stř =
3T
2hb
Plasticita II
34/41
Podmínky plasticity (ideální plasticita),
kombinace namáhání Mo + T
y
a=±
z
a
h
2
h
τ st ř =
a
σk
b
M oel < M o < M opl
σo
τk
T < Tel
τ
3−
2M oep
T
2ab
τ max =
3 T
2 2ab
M oel
Plasticita II
35/41
Podmínky plasticity (ideální plasticita),
kombinace namáhání Mo + T
σ o2
von Mises:
M opl =
1
4
σ k bh
2
+ 3τ
2
Mo =
τ max =
≤ σk
σ kb
6
(2a )
2
3 T
Tel =
2 2ab
σk 2
bh
3 3
Mo
M opl
M opl
σk
bh
3
h
bh
 σ kb
h2
2
+ 2σ k  − a   + a  =
(2a ) + σ k b − σ k ba 2
2
22

6
4

2
M o + σ k ba 2  1 −  = M opl

3
Mo
Tpl =
1  T
+
3  Tel
+
4σ k ba 2 σ k b
3σ k bh σ k b
2
2

 =1


Mo
Mopl
=1
3  T
+
4  Tpl
2

 =1


Plasticita II
Další podmínky plasticity pro křehké
materiály, zeminy apod.
(existuje celá řada dalších podmínek
zejména pro betony, lamináty a jiné
anisotropní materiály apod.)
36/41
Plasticita II
37/41
Rankine (σmax, maximum stress theory)
σ 1 − σ kt ≤ 0
σ 1 + σ kd ≤ 0
σ 2 − σ kt ≤ 0
σ 2 + σ kd ≤ 0
σ 3 − σ kt ≤ 0
σ 3 + σ kd ≤ 0
formálně σkt (mez kluzu v tahu)
i σkd (mez kluzu v tlaku) kladné
hodnoty
σ2
σ1
σ3
nesymetricky „uložená“ krychle
v prostoru souřadných os
(težiště krychle posunuto na
ose prvního oktantu do
záporných hodnot)
Plasticita II
38/41
Mohr-Coulomb
m=
σ kd
σ kt
K=
m −1
m +1
b = σ kd
1
m
= σ kt
m +1
m +1
 σ −σ2
σ +σ2 σ2 −σ3
σ + σ 3 σ1 − σ3
σ + σ 3 
max  1
−b+K 1
,
−b+K 2
,
−b+K 1
≤0
2
2
2
2
2
2


!plocha plasticity má tvar
nepravidelného
šestibokého jehlanu!
pokud K=0, tj. při m=1,
přechází podmínka v tomto
zápisu v podmínku
Trescovu
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
Plasticita II
39/41
Mohr-Coulomb
m=
σ kd
σ kt
sin ϕ =
m −1
m +1
cos ϕ =
2 m
c=
m +1
I1
J
sin ϕ + J 2 cos θ − 2 sinθ sin ϕ − c cos ϕ ≤ 0,
3
3
−
π
6
σ kd
2 m
≤θ ≤
π
6
!plocha plasticity má tvar
nepravidelného
šestibokého jehlanu!
pokud sinφ=0, cosφ=1 tj.
při m=1, přechází
podmínka v Trescovu
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
Plasticita II
40/41
Drucker-Prager (opsaný kužel)
m=
σ kd
σ kt
α (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) +
D=
6σ kd
2(m − 1)
α=
3 (2m + 4)
3 (2m + 4)
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 1 − σ 3 )2
6
−D≤0
αI1 + J 2 − D ≤ 0
pokud α=0, tj. při m=1,
přechází podmínka ve
von Misesovu
http://www.pisa.ab.ca/program/model/plastic/plastic.htm
Plasticita II
Rankine, Drucker-Prager, Mohr-Coulomb
Rankine
Drucker-Prager
Mohr-Coulomb
41/41