Úlohy z výrokové logiky

Úlohy - výroková logika (přepis)
Martin Všetička
20.11.2008
1
Značenı́ a některé pojmy
• |X | značı́ velikost množiny X
• P označuje množinu prvovýroků.
•
x
2 je množina všech zobrazenı́ z X do 2 t0, 1u.
– P 2 je množina všech pravdivostnı́ch ohodnocenı́ prvovýroků čili všech modelů výrokové logiky
nad P.
– M pT q je množina všech modelů teorie T ; je-li T tvaru tAu, pı́šeme M pAq
– Zřejmě je M pT q „ P 2.
– Množina K „ P 2 je [konečně] axiomatizovaná, existuje-li [konečná] teorie T
K M pT q.
„ F mP P tak, že
• N je množina všech přirozených čı́sel.
• Symbol A1 značı́ A, A0 značı́
A
• P P je jazyk výrokové logiky s množinou všech prvovýroků P (F mP P je množina všech výroků
jazyka P P ).
• p, q, r, p1 , p0 , . . . značı́ prvovýroky
• A, B, C, D, . . . značı́ výroky
• ConpT q tA; T
$ Au je množina všech teorému neboli dokazatelných výroku teorie T.
– Teorie T a S (v témže jazyce) jsou ekvivalentnı́, majı́-li stejné množiny teorému (tj. tA|T
Au tA|S $ Au, tj. ConpT q ConpS q)
$
– Teorie T je slabšı́ než S a S je silnejšı́ než T, když platı́ ConpT q „ ConpS q.
• pA B q je zkratka za výrok pA& B q _ pB& Aq, zvaný výlučná disjunkce (XOR)
P.1.1 Logika s konečně prvovýroky
P.1.1.1 Bud’ |P| l konečné nenulové
1. Zadánı́: |P|
teoriı́ v P P .
l P N. Existuje 22
l
neekvivalentnı́ch teoriı́ a právě 2l kompletnı́ch neekvivalentnı́ch
Pojmy:
• Kompletnı́ teorie jsou právě ty, které majı́ jediný model.
• Teorie T a S (v témže jazyce) jsou ekvivalentnı́, majı́-li stejné množiny teorémů (tj. tA|T
Au tA|S $ Au, tj. ConpT q ConpS q)
1
$
Řešenı́: Máme dvě tvrzenı́, takže postupně:
1. část:
Lemma 1 T je ekvivalentnı́ s S ô M pT q M pS q
ñ TODO
ð TODO
Tedy neekvivalentnı́ch teoriı́ je právě tolik, kolik je podmnožin P 2, nebot’ každá taková podmnožina
je třı́dou všech modelů nějaké teorie.
Řečeno čı́sly: Mám l prvovýroků a každému prvovýroku můžu přiřadit hodnotu 1 nebo 0, tj.
2l možnostı́, resp. 2l pravdivostnı́ch ohodnocenı́ (funkce) - tı́m jsem dostal |P 2|. Nynı́ spočı́tám
počet podmnožin P 2, což se počı́tá pomocı́ vzorečku na mohutnost potenčnı́ množiny - tj. 2n ,
kde n je počet prvků množiny. V našem přı́padě je prvkem množiny nějaká ohodnocovacı́
l
funkce v. Dostáváme tedy 22 .
2. část: Kompletnı́ teorie jsou právě ty, které majı́ jediný model 1 . Pro každý prvovýrok se tedy
mužeme rozhodnout, zda mu přiřadı́me 1 nebo 0. Voleb máme l |P|. Možnostı́ je tedy 2l .
2. Zadánı́: |P| l P N. Teorie T má 22 |M pT q| neekvivalentnı́ch teorémů a vyvratitelných formulı́ a
l
l
dále p2|M pT q| 2q 22 |M pT q| p 22 p1 21 |M pT q| qq neekvivalentnı́ch nezávislých výroků.
l
Pojmy:
• ekvivalentnı́ teorémy - teorémy, které majı́ stejné množiny modelů (viz lemma v P.1.1.1.1)
• vyvratitelná formule - formule A je vyvratitelná, je-li
• nezávislá formule - nelze dokázat ani A, ani
A dokazatelná
A
O Přı́klad:
Vezměme si třeba P tp, q u (logika se dvěma prvovýroky) a teorii T
vı́me: T $ q ô T ( q. Formule q je nezávislá formule, jelikož neplatı́:
tpu.
Z věty o úplnosti
( q (protipřı́klad: v tp Ñ 1, q Ñ 0u je modelem T , ale nenı́ modelem q)
( q (protipřı́klad: v tp Ñ 1, q Ñ 1u je modelem T , ale nenı́ modelem q)
Podle vzorečku ze zadánı́ přı́kladu je nezávislých formulı́: p22 2q 22 2 p4 2q 4 8
– ani T
– ani T
2
Vypišme si nejdřı́ve dokazatelné2 formule v T :
(a) p
(b) q Ñ p (což je q _ p)
(c) q Ñ p (což je q _ p)
(d) q Ñ q
Vyvratitelné3 jsou právě negace formulı́ výše.
Nezávislé4 formule jsou ty, které zbývajı́:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
q (v1,1 , v0,1 )
q (v1,0 , v0,0 )
p & q (v1,1 )
p & q (v1,0 )
??
??
??
??
Řešenı́:
jeden model má teorie T
pvppq ; p P , modelem je pravdivostnı́ ohodnocenı́ v, tj. M T
formule jsou pravdivé pro každý model T
každá formule je nepravdivé pro každý model T
alespoň jednou je formule pravdivá a alespoň jednou je formule nepravdivá v rámci modelů T
1 Právě
2
3
4
t
P u
p q tvu
2
Lemma 2 T
$ A ô M pT q „ M pAq
Důkaz. Dokazujeme obě implikace:
”ñ” Stačı́ se odvolat na větu o úplnosti, která řı́ká, že T $ A ô T ( A.
T ( A však znamená, že A je tautologickým důsledkem množiny formulı́ T a formule A je
pravdivá při každém ohodnocenı́, které je modelem množiny T . Tı́m jsme ukázali, že platı́
M pT q „ M pAq.
Stojı́ za to si však uvědomit, kdy nastane M pT q € M pAq. Vezměme si teoriı́ T takto:
T tp, p Ñ q u. Pomocı́ pravidla modus ponens dostáváme:
T $ q. Podı́vejme se nynı́ podı́váme na modely M pq q a M pT q.
M pT q má jediný model: v1 tp Ñ 1, q Ñ 1u
M pq q má však modely dva: v1 tp Ñ 1, q Ñ 1u, v2 tp Ñ 0, q Ñ 1u !!
”ð” M pT q „ M pAq ñ T
(A
větahk
okik
úplnosti
kj
ñ
T
$A
Tudı́ž neekvivalentnı́ch teorémů teorie T je tolik, kolik je množin M takových, že M pT q „ M „ P 2,
l
l
l
tj. právě 22 |M pT q| . Tolik je i vyvratitelných formulı́ a tedy nezávislých je 22 2 22 |M pT q| .
Podstata tohoto důkazu tkvı́ v myšlence, že převedeme důkaz na důkaz prvnı́ho přı́kladu.
3. Zadánı́: |P| l P N. Teorie T má |M pT q| neekvivalentnı́ch kompletnı́ch rozšı́renı́ a 2|M pT q| neekvivalentnı́ch rozšı́renı́ (z nichž jediné je sporné).
Pojmy:
• T 1 je rozšı́renı́ (je silnějšı́ než) T
ContpT 1 q ô M pT 1 q „ M pT q
ô
ContpT q
„
ConpT 1 q, z toho plyne: ContpT q
„
• T 1 je kompletnı́ rozšı́renı́ T - pokud M pT 1 q obsahuje právě jeden prvek.
Řešenı́: Každá množina M „ M pT q představuje až na ekvivalenci právě jednu teorii rozšiřujı́cı́
T ; jednoprvkové M jsou pak právě modely kompletnı́ch rozšı́řenı́ T .
Přı́pisek: Nynı́ řešı́me, dalo by se řı́ci, opačný přı́klad k 1. a 2. přı́kladu. Nehledáme nadmnožiny
M pT q, ale podmnožiny.
Teoriı́ rozšiřujı́cı́ch teorii T máme 2|M pT q| , jelikož z množiny modelů M pT q vybı́ráme všechny možné
podmnožiny. Opět jsme tedy použili vzorec pro výpočet potenčnı́ množiny. Čı́slo 2|M pT q| však
zahrnuje i prázdnou množinu a samotnou množinu M pT q, zatı́mco druhá jmenovaná nám nevadı́
(viz definice rozšı́řenı́ teorie), tak prvnı́ ano. Prázdná množina modelů značı́ kontradikce, které nás
obecně přı́liš nezajı́majı́, navı́c bychom takto teorii T nijak nerozšı́řili (v přirozeném slova smyslu).
Teoriı́ kompletně rozšiřujı́cı́ch T je pouze M pT q, jelikož vybı́ráme jednoprvkové podmnožiny množiny
M pT q (proč viz definice)
P.1.1.2 Bud’ |P| l konečné nenulové
1. Zadánı́: |P| l
nebo A ( B?
P N. Necht’ A je výrok. Kolik je neekvivalentnı́ch výroků B takových, že B ( A
Návod: Pomocı́ l a M pAq spočtěte, kolik je množin M pB q pro uvažovaná B.
Řešenı́: Podle předchozı́ch přı́kladů máme obdobně: 2|M pAq| 22 |M pAq| 1. Výsledkem je počet
množin K „ P 2 takových, že K „ M pAq nebo M pAq „ K a vynecháváme K tHu
l
3
( A” se podı́vejte na lemma v druhém přı́kladu
Přı́pisek: Pro objasněnı́ výpočtu pro část ”B
P.1.1.1.
”A ( B” odpovı́dá počtu neekvivalentnı́ch teorémů ze zadánı́ druhého přı́kladu P.1.1.1.
2. Zadánı́: |P|
tA _ B u?
lP
N. Necht’ tA, B u je sporná teorie. Kolik je neekvivalentnı́ch teorémů teorie
Návod: Vyjádřete výsledek pomocı́ l, M pAq, M pB q.
Řešenı́: Výsledek je 22 p|M pAq| |M pB q|q . Platı́ totiž |M pA _ B q| |M pAq Y M pB q|
|M pB q|. Poslednı́ rovnost plyne z M pAq X M pB q M pA & B q H
l
|M pAq|
Přı́pisek: Spornost teorie tA, B u nám dovoluje tvrdit: tA, B u $ p & p, pro libovolné p P P,
pro takovou teorii však nemůže existovat žádný model! Toto přesně vyjadřuje poslednı́ rovnice v
řešenı́ výše.
3. Zadánı́: |P| l P N. Bud’ A výrok, M pAq H
(a)
(b)
š
™
™
v ppq
je disjunktivně normálnı́ tvar A.
P p
v ppq
je konjuntivně normálnı́ tvar A.
v PP 2M pAq
pPP p pq
P p q
v M A
p P
š
P.1.1.3
1. Bud’ P tp, q, ru množina všech prvovýroků
(a) Ekvivalentnı́mi úpravami najděte disjunktivně normálnı́ tvar následujı́cı́ho výroku D:
pp Ñ qq
&
p
p Ñ qq & r
(1)
Řešenı́: Upravujeme ekvivalentnı́mi úpravami na DNF:
pp Ñ qq
Použijeme zkratky:
&
p p _ qq
p
p Ñ qq & r
(2)
& pp _ q q & r
(3)
Použijeme zákon o distributivitě:
ppp p _ qq _ pq
ppploooomoooon
p & pq _p
&
pp p _ qq _ qqq
& r
q & pqq _ pp p & q q _ ploooomoooon
q & q qq & r
vyškrtneme
(4)
(5)
vyškrtneme
Znovu zákon o distributivitě:
pp
Výsledek:
p
q & pq _ p p & q qq & r
(6)
q & p & rq _ p p & q & rq
(7)
(b) Uved’te počet neekvivalentnı́ch nezávislých výroků teorie tDu
Řešenı́: 22
3
2 p22 2q 27 128
Přı́pisek: Použijeme vzorec z druhého přı́kladu P.1.1.1 pro výpočet nezávislých výroků a
pouze do něj dosadı́me:
p2|M pDq| 2q 22l |M pDq| p22 2q 282 2 26 27 128
4
• l 3 . . . plyne ze zadánı́ P.1.1.3 - 1
• |M pDq| 2 . . . stačı́ se podı́vat na formuli D v DNF tvaru (řešenı́ přı́kladu a)) a vidı́me,
jak musı́me ohodnotit prvovýroky, aby toto ohodnocenı́ bylo modelem D
(c) Uved’te počet neekvivalentnı́ch výroků D1 takových, že ConpD1 q „ ConpDq.
Řešenı́: 22 2
l
26
Přı́pisek: Znovu podle druhého přı́kladu P.1.1.1.
2. Bud’ P tp, q, ru množina všech prvovýroků.
(a) Ekvivalentnı́mi úpravami najděte disjunktně normálnı́ tvar následujı́cı́ho výroku D:
pp
& q q & pp _ q q & r
(1)
Řešenı́: Zákon o distributivitě:
pp
& qq &
ppp
& rq _ pq & rqq
(2)
Zákon o distributivitě (na celou formuli)
pp p _ qq
& pr & pqq _ pp p _
q q & pr & q qq
(3)
Zákon o distributivitě:
pp
p & p &
pq _ pr &
q & pqq _ ppr & q &
q q _ pr & q &
pqq
(4)
Zákon o distributivitě:
ploooooooooomoooooooooon
p & p & pq _pr
&
q & pq _ ploooooooomoooooooon
r & q & q q _pr & q &
můžeme škrtnout
Výsledek:
pr
&
pq
(5)
můžeme škrtnout
q & pq _ pr & q &
q q _ pr & q &
pq
(6)
Přı́pisek: Mathematica má funkci LogicalExpand pro hledánı́ DNF tvaru.
(b) Uved’te počet neekvivalentnı́ch logických důsledků výroku tDu
Řešenı́: 22
3
2 26 64
Pozn: logický důsledek nějaký theorém A ô T $ A; takže opět dle př. P.1.1.1.2
(c) Uved’te počet neekvivalentnı́ch kompletnı́ch teoriı́, rozšiřujı́cı́ch tDu
Řešenı́: 2
Přı́pisek: Teorie D má dva modely (viz řešenı́ a)). Podle definice5 je kompletnı́ teorie
rozšiřujı́cı́ jinou teorii taková, která má jediný model. Tedy výsledek je 2.
P.1.2 Sémantická kompaktnost
P.1.2.1
1. Zadánı́: Bud’ T maximálnı́ množina výroků taková, že každá jejı́ konečná část má model. Pak platı́
pro výroky A, B:
5 Pro
definici viz přı́klad P.1.1.1.3
5
(a) A P T, A Ñ B
Řešenı́:
PT ñBPT
Pro T 1 „ T Y tB u konečnou existuje model. Tedy dı́ky maximalitě T
je B
PT
Přı́pisek: Věta ”Maximálnı́ množina výroků taková, že každá jejı́ konečná část má model”
by se dala také řı́ci tak, že neexistuje teorie T 1 různá od T , která jednak splňuje, že každá jejı́
konečná část má model a zároveň obsahuje T (tj. neexistuje T 1  T ).
A P T, A Ñ B
(b)
PT
APT ô ART
Modus
ponens
hkkik
kj
ñ
T
$ B ñ Uvažme T 1 „ T Y tB u
maximalita
hkkikkj T
ñ
T1
T ñBPT
Řešenı́: Dokazujeme postupně obě implikace:
”ñ” Když A P T , nenı́ A P T , nebot’ by tA, Au měla model.
”ð” Necht’ A R T 6 . Pak existuje konečné T 1 „ T tak, že T 1 Y A nemá model. Pro každé
S „ T konečné existuje model S Y T 1 ; v něm ovšem platı́ A. Tudı́ž T, A „ T dı́ky
maximalitě T , tudı́ž A P T .
Přı́pisek: Důkaz těžı́ ze skutečnosti, že každá konečná podmnožina T má model. V důkazu
je velmi podstatný moment, že existuje model pro libovolnou konečnou podmnožinu S „ T .
(c) A Ñ B
PT ô
A P T nebo B
PT
Řešenı́: Dokazujeme postupně obě implikace:
”ñ” Když A R T , tak A P T dle b) a B P T dle a), tedy i A Ñ B P T .
”ð” Když A P T , pro nějakou T 1 „ T konečnou existuje model v ( T 1 Y t Au; pak
v pA Ñ B q 1 (neplatı́ premisa, proto implikace platı́ vždy), tj. v ( T 1 , A Ñ B. Dı́ky
maximalitě T je tedy A Ñ B. Stejně je tomu, když B P T .
Přı́pisek: ”ñ” Technika důkazu je uvedena v poznámce 6.
(d) Bud’ T maximálnı́ ohodnocenı́ v PP 2 definováno takto: v ppq 1 ô p P T . Pak v
(T
Návod: Indukcı́ podle složitosti formule A dokažte, že v pAq 1 ô A P T .
Řešenı́: Indukcı́ podle složitosti formule A plyne užitı́m b) a c), že v pAq 1 ô A P T .
2. Když každá konečná část teorie T má model, existuje maximálnı́ T 1
část teorie T 1 má model.
… T , taková, že každá konečná
Návod: Užijte princip maximality na uspořádánı́ T, „¡, kde T je množina všech teoriı́ S
takových, že každá konečná část teorie S má model.
…T
Přı́pisek: Pro princip maximality viz: http://cs.wikipedia.org/wiki/Princip_maximality
P.1.3 Vlastnosti Con(T)
P.1.3.1 Bud’te T, S teorie a A, B výroky v jazyce P P
Úvod:
Definice: Množinu všech formulı́ dokazatelných z T označı́me ConpT q, tedy ConpT q tA | T
Věta: Platı́ následujı́cı́ tvrzenı́:
„ ConpT q
Je-li T „ S potom ConpT q „ ConpS q
1. T
2.
6 Technika
důkazu: X
ÑY ô
Y
Ñ
X
6
$ Au .
3. Con(Con(T)) = Con(T)
4. Je-li T bezesporná, potom také ConpT q je bezesporná.
Tato tvrzenı́ jsou ve slidech prof. Štěpánka k dokázánı́ jako cvičenı́.
Přı́klady:
1. (a) ConpCon
pT q Y ConpS qq loooooomoooooon
ConpT Y S q.
loooooooooomoooooooooon
ozn.A
ozn.B
Řešenı́: loooooooooomoooooooooon
ConpT q Y ConpS qq loomo
„ on loooooomoooooon
ConpT Y S q loomo
„ on Conploooooooooomoooooooooon
ConpT q Y ConpS qqq;
A
„
A B
B
„
B A
A
aplikacı́ Con() dostaneme požadované.
(b) ConpConpT q X ConpS qq ConpT q X ConpS q.
Řešenı́: Podobně jako u minulého přı́kladu:
i. ConpConpT q X ConpS qq „ ConpConpT qq „ ConpT q
ii. ConpConpT q X ConpS qq „ ConpConpS qq „ ConpS q
iii. Z předchozı́ch dvou plyne:
věta
hk
kikk1.j
ConpConpT q X ConpS qq „ ConpT q X ConpS q „ ConpConpT q X ConpS qq a odtud
dostaneme požadovanou rovnost. ”Prvnı́ znak „”plyne z průniku levých a pravých stran
prvnı́ch dvou formulı́.
2. ConpT, A _ B q ConpT, Aq X ConpT, B q.
Řešenı́: Tvrzenı́ plyne z lemma o rozboru přı́padů, řı́kajı́cı́: T, A _ B
Pozn: ConpT, A _ B q je zkratka za ConpT
3. (a) M pT q M pConpT qq
$ C ô T, A $ C a T, B $ C.
Y tA _ B uq
větahk
okik
úplnosti
kj
M ptA | T ( Auq.
Řešenı́: ”ñ” M pT q „ M pConpT qq M ptA | T $ Auq
Protože T ( A znamená, že formule A je pravdivá při každém ohodnocenı́, které je
modelem množiny T , máme tı́m dokázanou dopřednou implikaci.
”ð” Chceme dokázat: M pT q … M ptA | T ( Auq. Pro libovolné B P T platı́: T ( B, tedy
každý model ConpT q musı́ být zároveň modelem T .
(b) ConpT q „ ConpS q ô M pT q … M pS q.
Přı́pisek: Hospodsky: ”Když mám menšı́ množinu modelů, tak se Con může vı́c rozmáchnout,
protože je svázaný méně podmı́nkami.”
(c) ConpT q je maximálnı́ bezesporná
ô |M pT q| 1
Řešenı́: Dokazujeme obě implikace:
”ñ” Protože je množina maximálnı́ bezesporná, tak jistě obsahuje formuli ve tvaru: &tq v1 pqq |
q P Pu, ta však má pouze jeden model.
”ð” (sporem) Necht’ |M pT q| ¡ 1.
Existuje tedy nějaká dvě pravdivostnı́ ohodnocenı́ v1 , v2 ( T , která se lišı́ minimálně
ohodnocenı́m nějakého prvovýroku p.
Definujme formuli D takto: D &tq v1 pqq | q P Pu
Necht’ T 1 T Y tDu, pak T 1 je bezesporná a různá od T (jelikož v1 , v2 jsou modely T
lišı́cı́ se v ohodnocenı́ p, tak formule D R T ), tedy T nemůže být maximálnı́ bezesporná.
7
P.1.3.2 Bud’te T, S teorie v jazyce P P
1. (a) ConpT q Y ConpS q „ ConpT
Řešenı́: TODO
(b) ConpT q Y ConpS q ConpT
Y S q.
Y S q ô ConpT q Y ConpS q je uzavřeno na
&.
Pozn: Uzavřenost na & (konjunkci) znamená, že mohu vzı́t libovolné dvě formule z množiny
a jejich konjunkce opět bude v množině.
Řešenı́: Dokazujeme obě implikace:
”ñ” Necht’ platı́ rovnost. Protože ConpT Y S q je uzavřeno na &, ConpT qY ConpS q je uzavřeno
na & .
”ð” Bud’ ConpT q Y ConpS q uzavřeno na & .
Dokazujeme ConpT q Y ConpS q … ConpT Y S q 7 .
Necht’ T Y S $ A, tedy musı́me dokázat T $ A nebo S $ A.
O Přı́klad:
Situaci, která je důležitá, demonstrujme na přı́kladu:
Vezměme napřı́klad T tp & q u, S ts & tu. Podle známého lemma8 dostáváme, že
T Y S $ p & q & s & t - tato formule ležı́ v ConpT Y S q, ale neležı́ v ConpT q Y ConpS q!
™
™
Je T 1 &
S 1 $ A (pozn. 9 ) pro jisté T 1 „ T, S 1 „ S konečné.
™ 1
™ 1
10
’
Dı́ky uzavřenosti
T &
S ; pak T
™ 1 Con
™ pT1 q Y ConpS q na & máme bud T $
nebo S $ T &
S ; pak S $ A.
(c) ConpT q Y ConpS q je uzavřeno na & ô T „ ConpS q nebo S „ ConpT q
$ A,
Řešenı́: Dokazujeme obě implikace:
”ñ” Necht’ ConpT q Y ConpS q je uzavřeno na &. Když T † ConpS q, existuje A P T, S & A.
Pro B P S máme nutně A & B P T , tedy T $ B, tudı́ž S „ ConpT q.
”ð” Když T „ ConpS q, tak ConpS q „ ConpS q Y ConpT q „ ConpS q a ConpS q Y ConpT q je
uzavřeno na &, nebot’ ConpS q je. Dı́ky symetrii v T, S z S „ ConpT q plyne uzavřenost
ConpS q Y ConpT q na &.
2. (a) ConpAq Y ConpB q ConpA & B q ô A $ B nebo B
$ A, jsou-li A, B výroky.
Řešenı́: Dokazujeme obě implikace:
”ñ” Necht’ platı́ uvažovaná rovnost. Když A & B, nenı́ A $ A & B 11 , tedy je B $ A & B
a tedy B $ A.
”ð” BÚNO: A $ B (1)
A & B $ C looñ
A $ B Ñ C (2), pomocı́ Modus ponens z (1) a (2) máme A $ C
moon
věta o dedukci
(b) Conppq Y Conpq q „ Conpp & q q pro různé prvovýroky p, q.
Řešenı́: p & q
R Conppq Y Conpqq
P.1.4 Axiomatizovatelnost
P.1.4.1 Vlastnosti axiomatizovatelnosti
1. (a) Bud’ v
7 druhou
P P 2. Pak existuje teorie T
v P P tak, že M pT q tv u
implikaci máme z přı́kladu a)
& B
T
AaT
B
9 Výrokovou logiku jsme si založili na dvou log. spojkách: implikaci a negaci. Ale jde to i pomocı́ konjunkce a negace!
™ 1
™ 1
™ 1
™
10 Jistě T
T aS
S , podle předpokladu musı́ být dokazatelná i konjunkce: Con T
Con S
T &
S
11 Jedna ze základnı́ch vlastnostı́ konjunkce, viz skripta prof. Štěpánka
8T
$A
ô $
$
$
$
p qY
8
p q$
Řešenı́: T tpvppq : p P Pu
(b) Bud’ K „ P 2 konečná. Pak existuje teorie T v P P tak, že M pT q K
2.
Řešenı́: Bud’ K tv0 , . . . , vn1 u. Pro i n existuje Ti tak, že M pTi q tvi u. Pak T tA0 _ . . . _ An1 : Ai P Ti u splňuje M pT q tv0 , . . . , vn1 u.
Bud’te™T, S takové teorie, že M pT q P 2 M pS q. Pak existuje S 1 „ S konečné tak, že M pT q Mp
S 1 q; T je tedy konečně axiomatizovatelná.
Návod: Dokažte sporem a užitı́m věty o kompaktnosti, že M pT q P 2 M pS 1 q pro jisté S 1 „ S
konečné.
Řešenı́: Je M pT q P 2 M pS q … P 2 M pS 1 q pro každé konečné S 1 „ S. Kdyby uvedená inkluze
(tj. inkluze S 1 „ S) byla vždy ostrá, bylo by vždy M pT q X M pS 1 q H, tj. T Y S 1 by měla pro
každé S 1 „ S konečný model, tedy dle věty o kompaktnosti by měla T Y S model, tj. bylo by
P
1
H M pT Y S q M pT q X M pS q. Avšak
™ 1 M pT q X M pS q H. Tudı́ž M pT q 2 M pS q pro jisté
1
S „ S konečné; pak M pT q M p
S q.
3. Necht’ množina P prvovýroků je nekonečná.
(a) Bud’ T bezesporná teorie, která má jen konečně mnoho modelů. Pak neexistuje konečná teorie
S, tak že M pS q M pT q.
Návod: Zjistěte velikost množiny M pAq pro výrok A.
Řešenı́: Pro výrok A je M pAq nekonečná (kardinality 2|P| ).
(b) Bud’ K „ P 2 konečná neprázdná. Pak K „ P 2 K nenı́ axiomatizovatelná.
Návod: K je axiomatizovatelná, avšak nenı́ konečně axiomatizovatelná. Tedy K
nenı́ axiomatizovatelná, nebot’ jinak by byla K konečně axiomatizovatelná.
„ P2 K
Řešenı́: K je axiomatizovatelná, avšak nenı́ konečně axiomatizovatelná. Tedy P 2 K nenı́
axiomatizovatelná, nebot’ jinak by byla K konečně axiomatizovatelná.
P.1.4.2 Axiomatizovatelnost konkrétnı́ch
1. Necht’ A je výrok a v nějaké ohodnocenı́. Která z následujı́cı́ch teoriı́ Ti axiomatizuje M pAq Y tv u,
tj. splňuje M pTi q M pAq Y tv u ? (p0 je p, (p1 je p)
tpvppq ; p P Pu Y tAu
T2 tA _ pvppq ; p P Pu
T3 tA & pvppq ; p P Pu
T4 t ppvppq q Ñ A; p P Pu
T1
Řešenı́: T2 , T4
2. Bud’ p0
P P, v : P Ñ 2 takové, že vppq 1 ô p p0 .
(a) Bud’ P nekonečná. Která teorie axiomatizuje množinu P 2 tv u ?
Řešenı́: Žádná. Je totiž tv u axiomatizovatelná; kdyby byla T axiomatizovatelná, byla by tv u
konečně axiomatizovatelná, což nenı́.
(b) Bud’ P tp0 , . . . , pn1 konečná. Která teorie axiomatizuje množinu P tv u?
Řešenı́: T
tši 1
p qu
v i
pi
3. Která z následujı́cı́ch teoriı́ Ti axiomatizuje M ptA, B uq Y M pT q?
9
tpA & B q _ C; C P T u
T2 tA & C; C P T u Y tB &
T3 tpA _ B q & C; C P T u
T1
C; C
P Tu
Řešenı́: T1
Názorně: modely, ohodnocovacı́ funkce a vzájemné vztahy
Mějme množinu prvovýroků P tp, q u, l 2. Máme 4 možné ohodnocovacı́ funkce:
tp Ñ 0, q Ñ 0u
v2 tp Ñ 0, q Ñ 1u
v3 tp Ñ 1, q Ñ 0u
v4 tp Ñ 1, q Ñ 1u
• v1
•
•
•
V přı́kladu P.1.1.1.1 jsme si ukázali, že existuje 22 (v našem přı́padě 22 16) neekvivalentnı́ch
teoriı́. Napišme si všechny možné podmnožiny množiny tv1 , v2 , v3 , v4 u (tyto množiny modelů rozdělujı́
všechny možné teorie na třı́dy ekvivalence):
l
Množiny modelů s přı́klady teoriı́
T1 tp& pu, T2 t pp _ pqu
T t pp&q qu
T tp& q u
T tT ODOu
T tp&q u
T tT ODOu
T tT ODOu
T tT ODOu
T tT ODOu
T tT ODOu
T tT ODOu
T tT ODOu
T tp Ñ q u
T tT ODOu
T tp _ q u
T tA Ñ pB Ñ Aqu (axiom A1)
tHu
tv1 u
tv2 u
tv3 u
tv4 u
tv1 , v2 u
tv1 , v3 u
tv1 , v4 u
tv2 , v3 u
tv2 , v4 u
tv3 , v4 u
tv1 , v2 , v3 u
tv1 , v2 , v4 u
tv1 , v3 , v4 u
tv2 , v3 , v4 u
tv1 , v2 , v3 , v4 u
10
2