Kapitola 5 Vlnová optika

Kapitola 5
Vlnová optika
Názory na podstatu světla se v průběhu staletı́ postupně vyvı́jely . Řečtı́ filozofové již
v 5. stoletı́ před Kristem znali lineárnı́ šı́řenı́ světla, jeho odraz a lom. Zákon lomu experimentálně objevil W.Snell v r. 1621. Poznánı́ podstaty světla ovlivnil na dlouhou
dobu Isaac Newton (1642-1727), podle kterého se světlo šı́řı́ ze svı́tı́cı́ho tělesa
jako proud miniaturnı́ch částic. Postupné objevovánı́ ohybových a interferenčnı́ch
jevů vedlo posléze k představě, že světlo je vlněnı́m, které se šı́řı́ ”étherem” jako
prostředı́m, prostupujı́cı́m celý vesmı́r. Tato teorie byla dovršena zobecněnı́m elektrických a magnetických jevů, představovaným Maxwellovými rovnicemi. Maxwellovy
rovnice dovolujı́ řešenı́ ve tvaru elektromagnetických vln, které se šı́řı́ rychlostı́,
shodnou s rychlostı́ světla. Bylo proto přirozené uvažovat světlo jako elektromagnetickou vlnu, šı́řı́cı́ se prostorem, přičemž koncepce étheru byla postupně opuštěna
jako zbytečná. Studium atomových spekter a vnějšı́ho fotoefektu potom vedlo k
poznánı́, že interakce světla s látkou se neděje spojitě, ale po určitých ”kvantech”
energie, kterým se nynı́ řı́ká fotony. Tı́m se na přelomu 19. a 20. stoletı́ vyvinula
představa o duálnı́ podstatě světla a mikroskopických částic, která je základem kvantové mechaniky.
5.1
Odraz a lom na rovinném rozhranı́
Fermatův princip (Fermat 1601 - 1665)
”Světlo se šı́řı́ podél takové dráhy, kterou proběhne v nejkratšı́m čase.”
Vzdálenost ∆` proběhne světlo za časový interval ∆t = ∆`/v, kde v je rychlost,
se kterou se světlo šı́řı́ daným prostředı́m. Zavedeme-li podle (4.54) index lomu
n = c/v, kde c je rychlost šı́řenı́ světla ve vakuu, potom
∆`
c ∆`
1
1
=
= n ∆` = ∆ ,
v
c v
c
c
kde ∆ označuje t.zv. optickou dráhu. Fermatův princip potom můžeme formulovat
tak, že světlo se šı́řı́ z bodu A do bodu B tak, aby optická dráha byla minimálnı́:
∆t =
∆=
Z B
A
n(~r) ds
163
Optická dráha
(5.1)
A
a
h
a
x
0
a'
d
C
b b
x
h'
B
Obrázek 5.1: Odraz a lom paprsku na rozhranı́
Zákon odrazu a zákon lomu nynı́ můžeme odvodit z Fermatova principu a pomocı́
obr. 5.1 následovně: hledejme polohu bodu C na rozhranı́, aby splňoval podmı́nku
danou Fermatovým principem.
∆ = n1 AC + n2 CB
q
√
h 2 + x2
CB = h02 + (d − x)2
q
√
2
2
∆ = n1 h + x + n2 h02 + (d − x)2
AC =
Podmı́nkou pro extrém je nulová hodnota derivace ∂∆/∂x = 0:
n1
2x
2(d − x)
n2
q
√
−
=0.
2 h 2 + x2
2 h02 + (d − x)2
Jelikož, jak je patrno z obrázku,
sin α = √
x
h 2 + x2
a
d−x
sin β = q
,
h02 + (d − x)2
dostaneme t.zv. Snelliův zákon lomu
nebo
n1 sin α = n2 sin β
(5.2)
n2
sin α
=
= n12 = n ,
sin β
n1
(5.3)
kde n12 , přı́padně n označuje relativnı́ index lomu.
164
Zákon odrazu, podle kterého se úhel dopadu α rovná úhlu odrazu α0 , dostaneme
obdobným postupem
α = α0
(5.4)
Rovinou dopadu nazýváme rovinu, tvořenou paprskem a kolmicı́ v mı́stě dopadu
paprsku na rozhranı́.
Fresnelovy vzorce
Použijme na vyšetřovánı́ odrazu a lomu na rozhranı́ dvou dielektrických prostředı́
zákony elektromagnetického pole. Předpokládejme rovinné rozhranı́ nemagnetických
materiálů, na němž nejsou ani volné náboje, ani tam netečou proudy, t.j.
σ = 0 j~S = 0 µ1 = µ2 = µ0
n21 = ²r1
n22 = ²r2
n=
n2
n1
(5.5)
Zde n označuje relativnı́ index lomu. Obecné podmı́nky (4.26) a (4.27), které platı́
pro elektromagnetické pole na rozhranı́ dvou prostředı́, budou mı́t v tomto přı́padě
tvar:
~1 − D
~ 2 ) = D1n − D2n = 0;
~n (D
~1 − B
~ 2 ) = B1n − B2n = 0;
~n (B
~1 − E
~ 2 ) = E1t − E2t = 0
~n × (E
~1 − B
~ 2 ) = B1t − B2t = 0
~n × (B
(5.6)
(5.7)
Dále použijeme vztahy (4.56) a (4.57), které platı́ obecně pro rovinnou monochromatickou vlnu
~ = µr µ0 H
~ = µ0 H
~ = 1 (~s × E)
~ = 2 π T (~s × E)
~ = 1 (~k × E)
~
B
v
2πvT
ω
(4.56)
~ = −v (~s × B)
~ = −µ0 v (~s × H)
~ = − µ0 2 π T v (~s × H)
~ = −µ0 ω (~s × H)
~ . (4.57)
E
2πT
k
Indexy i budeme označovat veličiny v dopadajı́cı́, indexy r v odražené a indexy t v
procházejı́cı́ vlně. Přı́slušné vlnové vektory budou ~k, ~k 0 , ~k 00 .
Rovinnou monochromatickou vlnu popı́šeme vztahem (viz(4.70)):
~ (~r , t) = E~0 cos(~k ~r − ω t + α)
E
(4.70)
přı́padně komplexnı́m vztahem (4.71).
~ (~r , t) = E
~ 0 cos(~k ~r − ω t + α) = Re E
~ 0 ej (~k ~r−ω t+α)
E
(4.71)
Dopadajı́cı́, odraženou a procházejı́cı́ vlnu budeme tedy popisovat vztahy:
~ i (~r , t) = Re E
~ 0i ej (~k ~r−ω t)
E
~ r (~r , t) = Re E
~ 0r ej (~k0 ~r−ω t)
E
~ t (~r , t) = Re E
~ 0t ej (~k00 ~r−ω t)
E
165
(5.8)
Rovnice (4.56) tedy pro tyto tři vlny budou:
~ i (~r , t) =
H
1
µ0 ω
1
~ r (~r , t) =
H
µ0 ω
1
~ t (~r , t) =
H
µ0 ω
~ i (~r , t))
(~k × E
~ r (~r , t))
(~k 0 × E
(5.9)
~ t (~r , t))
(~k 00 × E
Nadále budeme uvažovat dvě polarizace:
a) Mód transversálně elektrický, TE : vektor elektrického pole je kolmý k rovině
dopadu; E⊥
b) Mód transversálně magnetický, TM : vektor elektrického pole ležı́ v rovině dopadu,
vektor magnetického pole je kolmý k rovině dopadu: Ek .
Každý jiný polarizačnı́ stav je možno na tyto dva stavy rozložit. Zákon odrazu
a lomu platı́ bez ohledu na polarizaci vlny.
Uvažujme přı́pad polarizace TE:
k'
Ei
a
Er
k
a
Hi
Hr
a'
a
b
b
Ht
Et
k''
~ je kolmý na rovinu
Obrázek 5.2: Odraz a lom TE polarizované vlny. Vektor E
dopadu.
~ H
~ jsou vzhledem ke vztahům (4.56) a (4.57) vázány pravidlem
Vektory ~k, E,
pravotočivého šroubu. Protože na rozhranı́ jsou fáze stejné pro všechny tři vlny,
~ a H
~ na
pı́šeme podmı́nky (5.6) a (5.7) pro spojitost tečných složek vektorů E
rozhranı́ pouze pro amplitudy vlněnı́:
Ei + Er = Et
(5.10)
−Hi cos α + Hr cos α = −Ht cos β .
(5.11)
166
~ jsou na sebe kolmé,
Za H dosadı́me z (4.56) H = 1/(µ0 ω) k E (vektory ~k a E
takže velikost jejich vektorového součinu se rovná součinu velikostı́ obou vektorů) a
dostaneme:
−
1
µ0 ω
k Ei cos α +
1
µ0 ω
k 0 Er cos α =
1
µ0 ω
k 00 Et cos β
tedy
−k Ei cos α + k 0 Er cos α = −k 00 Et cos β
(5.12)
Z rovnic (5.10) a (5.12) spočteme nejprve Er :
−k Ei cos α + k 0 Er cos α = −k 00 (Ei + Er ) cos β
Er =
⇒
k cos α − k 00 cos β
Ei
k 0 cos α + k 00 cos β
Užijeme-li vztahy
k 00
= n,
k
kde n označuje relativnı́ index lomu, nakonec dostaneme
k = k0
r⊥ =
Er ⊥
cos α − n cos β
=
Ei ⊥
cos α + n cos β
(5.13)
Zde koeficient odrazu r⊥ označuje poměr amplitudy vektoru elektrického pole v
odražené vlně k amplitudě vlny dopadajı́cı́.
Nynı́ vyjádřı́me ze vztahů (5.10) a (5.12) Et :
−k Ei cos α + k 0 (Et − Ei ) cos α = −k 00 Et cos β
⇒
Et ⊥
2 cos α
=
(5.14)
Ei ⊥
cos α + n cos β
Zde opět koeficient propustnosti t⊥ označuje poměr amplitudy vektoru elektrického pole v procházejı́cı́ vlně k amplitudě vlny dopadajı́cı́.
t⊥ =
Nynı́ uvažujme přı́pad polarizace TM:
Volı́me opačný směr intenzity magnetického pole v odražené vlně Hr proti dopadajı́cı́
vlně Hi . Při této volbě majı́ všechny tři vektory pro úhel dopadu konvergujı́cı́ k nule
(α → 0) stejný směr jako v přı́padě polarizace TE. Aplikace vztahů (5.6) a (5.7),
~ aH
~ na rozhranı́, vede k rovnicı́m
vyjadřujı́cı́ch spojitost tečných složek vektorů E
Ei cos α + Er cos α = Et cos β
(5.15)
Hi − Hr = Ht
(5.16)
Využijeme opět vztah H = 1/(µ0 ω) k E a k 00 /k = n a z druhé rovnice dostaneme
Ei − Er = n Et
167
Ei
a
k'
Hr
k
Hi
a
a
a'
Er
b
b
Et
Ht
k''
~ je kolmý na rovinu
Obrázek 5.3: Odraz a lom TM polarizované vlny. Vektor H
dopadu, po odrazu změnı́ směr na opačný.
S pomocı́ této rovnice vyloučı́me ze vztahu (5.15) postupně Et a Er , takže dostaneme
n (Ei cos α + Er cos α) = (Ei − Er ) cos β
a z toho
rk =
Erk
k
Ei
=
cos β − n cos α
cos β + n cos α
(5.17)
=
2 cos α
cos β + n cos α
(5.18)
k
tk =
Et
k
Ei
Rovnice (5.13), (5.14), (5.17) a (5.18) jsou označovány jako Fresnelovy vzorce.
Využijeme-li Snelliova zákona lomu, lze je přepsat na tvar
sin(α − β)
sin(α + β)
2 cos α sin β
=
sin(α + β)
tan (α − β)
= −
tan (α + β)
2 cos α sin β
=
sin(α + β) cos(α − β)
r⊥ = −
t⊥
rk
tk
(5.19)
Jelikož normálně neměřı́me amplitudu, ale intenzitu (výkon) světla, zavádı́ se poměr
výkonu světla odraženého z jednotkové plochy na rozhranı́ prostředı́ k výkonu dopadajı́cı́ho
světla. Tento poměr se označuje jako odrazivost R. Podobně jako propustnost
T se označuje poměr výkonu procházejı́cı́ho světla k výkonu světla dopadajı́cı́ho.
~ (viz (4.43)) a při
Výkon elektromagnetické vlny je dán Poyntingovým vektorem S
výpočtu dopadajı́cı́, odražené a procházejı́cı́ energie je nutno uvažovat tok energie ve
směru kolmém k rozhranı́, t.j. vzı́t průmět Poyntingova vektoru do směru kolmého
k rozhranı́. Dostaneme tedy
168
Sr cos α0
E2
= r2 = r2
Si cos α
Ei
(5.20)
St cos β
n2 cos β Et2
cos β 2
=
= n1 2
t .
2
Si cos α
n1 cos α Ei
cos α
(5.21)
R=
T=
Platı́ R + T = 1 (zákon zachovánı́ energie).
Poznámka k odvozenı́: podle vztahu (4.43) a (5.9) je
~=E
~ ×H
~;
S
⇒S =EH =E
kE
1
=
n E2
µ0 ω
µ0 c
a velikost Poyntingova vektoru je úměrná součinu indexu lomu prostředı́ a čtverce
intenzity vektoru elektrického pole.
Průběh koeficientu odrazu r a odrazivosti R v závislosti na úhlu dopadu α, jak
vycházı́ z Fresnelovývh vzorců, je pro obě polarizace TE i TM znázorněn schematicky
Er
n
12
Ei
Er
1
n
12
Ei
1
1
TE
TM
0
1
90 o
r
r
r
90 o
0
TM
TE
r
-1
a
-1
a
B
B
am
R
1
R
1
TE
TE
TM
TM
0
a
o
B 90
0
a
B
am
90 o
Obrázek 5.4: Závislost poměru amplitud r a odrazivosti R na úhlu dopadu pro
polarizace TE a TM.
169
na obr.5.4. Vlevo je situace, kdy docházı́ k odrazu na opticky hustšı́m prostředı́,
vpravo je odraz na prostředı́ opticky řidšı́m.
Při kolmém dopadu se rušı́ rozdı́l mezi polarizacemi TE a TM a z Fresnelových
vzorců (např. (5.17)) dostaneme
r=
1−n
1+n
µ
R=
1−n
1+n
¶2
(5.22)
Pro úhel dopadu konvergujı́cı́ k 900 , t.j. α → π/2 se odrazivost blı́žı́ jednotce pro
obě polarizace.
Při odrazu na opticky hustšı́m prostředı́, kdy n1 2 > 1, je koeficient odrazu pro
polarizaci TE záporný, r⊥ < 0, docházı́ tedy ke změně fáze o π. Naopak, r⊥ > 0 pro
opticky řidšı́ prostředı́, kdy n1 2 < 1.
V TM módu rk měnı́ znaménko v obou přı́padech pro úhel dopadu, při kterém
je rk = 0. Z Fresnelova vztahu (5.19) vidı́me, že je to tam, kde
tan (αB + βB ) → ∞
tedy tam, kde
αB + βB = 900 .
(5.23)
Tento úhel dopadu se označuje jako Brewsterův úhel αB .
Ze zákona lomu dostaneme
sin αB = n1 2 sin βB = n1 2 sin(900 − αB ) = n1 2 cos αB
Z toho plyne podmı́nka pro Brewsterův úhel:
n1 2 = tan αB
(5.24)
Při dopadu přirozeného světla na rozhranı́ pod Brewsterovým úhlem pozorujeme v
odraženém světle pouze kmity kolmé k rovině dopadu, odražené světlo je lineárně
polarizováno. Tento jev se užı́vá ke konstrukci polarizátorů zejména v infračervené
oblasti, kde se nedajı́ najı́t vhodné propustné dvojlomé krystaly.
Úplný odraz na opticky řidšı́m prostředı́ (n1 2 = n < 1).
Označme αm jako meznı́ úhel. Je definován tak, že úhel lomu βm = 900 , takže lomený
paprsek se šı́řı́ podél rozhranı́. Pro většı́ úhel dopadu než je meznı́ úhel, tedy pro
α ≥ αm , si ukážeme, že R⊥ = Rk = 1. Platı́ vztahy:
q
√
cos α − n 1 − sin2 β
cos α − n2 − sin2 α
cos α − n cos β
q
√
=
=
r⊥ =
cos α + n cos β
cos α + n2 − sin2 α
cos α + n 1 − sin2 β
q
√
1 − sin2 β − n cos α
cos β − n cos α
n2 − sin2 α − n2 cos α
=q
rk =
=√
=
cos β + n cos α
n2 − sin2 α + n2 cos α
1 − sin2 β + n cos α
√
−n2 cos α + n2 − sin2 α
√
=
n2 cos α + n2 − sin2 α
170
Z definice meznı́ho úhlu vı́me, že
βm = 900 ;
⇒ sin βm = 1;
sin αm = n sin βm
⇒ sin αm = n .
Pro α > αm je tedy výraz pod odmocninami záporný a vztahy můžeme přepsat s
použitı́m komplexnı́ jednotky j 2 = −1 na tvar
√
√
cos α − j sin2 α − n2 ∧
−n2 cos α + j sin2 α − n2
∧
√
√
r⊥ =
rk =
cos α + j sin2 α − n2
n2 cos α + j sin2 α − n2
V obou přı́padech majı́ reflexnı́ koeficienty obecný tvar
∧
Z
∧
r= ±
∧?
Z
∧?
∧
kde Z označuje komplexnı́ čı́slo a Z k němu čı́slo komplexně sdružené. Pro odrazivost
tedy dostaneme
∧ ∧?
∧ ∧?
R =r r =
ZZ
= 1.
∧? ∧
Z Z
Vidı́me, že nastává úplný odraz pro α > αm .
Do druhého prostředı́ nicméně světlo proniká do nejbližšı́ blı́zkosti rozhranı́,
řádově na vzdálenost vlnové délky. Hovořı́me v tomto přı́padě o evanescentnı́ vlně.
Lambertův - Beerův zákon
Mějmě bodový zdroj světla, který vyzařuje každou sekundu energii W watů (J/s)
do celého prostoru. Ve vzdálenosti R bude mı́t plocha koule, na kterou se světlo
v homogennı́m prostředı́ dostane, velikost 4 π R2 . Intenzita světla J, daná časovou
střednı́ hodnotou Poyntingova vektoru a představujı́cı́ energii, procházejı́cı́ za jednu
sekundu jednotkovou plochou kolmou na směr šı́řenı́, bude
J=
W
1
=
ε0 E02
2
4πR
2
⇒
E0 ∼
1
R
(5.25)
Vidı́me, že intenzita světla klesá se čtvercem vzdálenosti, kdežto amplituda vektoru
elektrického pole světelné vlny klesá pouze úměrně se vzdálenostı́.
Rovinná vlna, šı́řı́cı́ se homogennı́m absorbujı́cı́m prostředı́m, bude ztrácet svou
intenzitu. Dá se předpokládat, že úbytek intenzity na velmi malém intervalu ∆ x
bude úměrný této vzdálenosti a bude také úměrný intenzitě vlny v daném mı́stě,
tedy
∆ J = −α J ∆ x
kde znaménko minus vyjadřuje, že se jedná o úbytek intenzity. Koeficient úměrnosti
α se nazývá absorpčnı́ koeficient, je funkcı́ vlnové délky světla a charakterizuje
dané prostředı́. Jestliže přejdeme v limitě k diferenciálům, můžeme vztah integrovat
a dostaneme t.zv. Lambertův - Beerův zákon:
J = J0 e− α x
171
(5.26)
V přı́padě měřenı́ absorpce roztoků bývá absorpčnı́ koeficient v určitém rozmezı́
přı́mo úměrný koncentraci aktivnı́ látky c v roztoku, α = α0 c, takže Lambertův Beerův zákon můžeme napsat ve tvaru
J = J0 e− α
0
cl
(5.27)
kde l je délka kyvety s roztokem. Spektrálnı́ absorpčnı́ koeficient na jednotkovou
koncentraci α0 závisı́ vedle rozpouštěné látky také na rozpouštědle. Odchylky od
Lambertova - Beerova zákona se pozorujı́ pouze pro velmi zředěné nebo naopak
velmi husté roztoky.
5.2
Interference vlněnı́
Lineárnı́ kombinace dvou řešenı́ vlnové rovnice (4.51) je rovněž jejı́m řešenı́m. To je
podstatou principu superpozice.
Důsledkem superpozice je pozorovánı́ světlých a tmavých proužků, jestliže se
v prostoru šı́řı́ vı́ce vln současně. Mezi tyto jevy patřı́ barvy, které se objevujı́ na
vyfukovaných mýdlových bublinách nebo na olejových skvrnách na silnici .
Světlý proužek odpovı́dá sčı́tánı́ vln - hovořı́me o konstruktivnı́ interferenci.
Tmavý proužek odpovı́dá odečtu vln, vytvořı́ se minimum a hovořı́me o destruktivnı́ interferenci.
Pozorované rozloženı́ světlých a tmavých proužků v prostoru se nazývá interferenčnı́ obraz.
y
1
x,t
y
2
x,t
y
3
x,t
Obrázek 5.5: Skládánı́ vlněnı́
Na obr.5.5 je jednoduché znázorněnı́ rozloženı́ výchylky harmonické vlny v čase,
resp. v prostoru podél osy x. Výchylky ve vlnách 1 + 2 se skládajı́ konstruktivně,
ve vlnách 1 + 3 nebo 2 + 3 se odečı́tajı́, dojde k destruktivnı́ interferenci. Ta
nastane, jestliže je druhá vlna posunuta v čase o lichý násobek poloviny periody,
172
nebo v prostoru o lichý násobek poloviny vlnové délky. Konstruktivnı́ interferenci
pozorujeme tehdy, když jsou vlny vůči sobě posunuty o celistvý násobek periody
nebo vlnové délky.
5.2.1
Skládánı́ dvou vln
Skládánı́ trigonometrické
Mějme dvě harmonické, monochromatické a ve stejném směru lineárně polarizované vlny, které se šı́řı́ podél osy x.
y1 = Y1 cos(k1 x − ω t + α1 ) = Y1 cos(ϕ1 − ω t)
y2 = Y2 cos(k2 x − ω t + α2 ) = Y2 cos(ϕ2 − ω t)
(5.28)
Zde ϕ1 = k1 x + α1 a α1 představuje počátečnı́ fázi (fázi vlny v x = 0 a t = 0).
Analogicky je označeno ϕ2 . Jejich superpozici upravı́me s pomocı́ součtových vzorců
pro goniometrické funkce.
y = y1 +y2 = Y1 cos ϕ1 cos ω t+Y1 sin ϕ1 sin ω t+Y2 cos ϕ2 cos ω t+Y2 sin ϕ2 sin ω t =
= (Y1 cos ϕ1 + Y2 cos ϕ2 ) cos ωt + (Y1 sin ϕ1 + Y2 sin ϕ2 ) sin ωt
Označı́me
Y cos ϕ = Y1 cos ϕ1 + Y2 cos ϕ2
Y sin ϕ = Y1 sin ϕ1 + Y2 sin ϕ2
(5.29)
Potom
y = Y cos ϕ cos ωt + Y sin ϕ sin ωt =
y = Y cos(ϕ − ωt)
(5.30)
přičemž
Y 2 = (Y1 cos ϕ1 + Y2 cos ϕ2 )2 + (Y1 sin ϕ1 + Y2 sin ϕ2 )2
Y 2 = Y12 + Y22 + 2 Y1 Y2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
Y1 sin ϕ1 + Y2 sin ϕ2
tan ϕ =
Y1 cos ϕ1 + Y2 cos ϕ2
(5.31)
(5.32)
Vidı́me, že výsledné vlněnı́ dané vztahem (5.30) se opět šı́řı́ ve směru osy x s
kruhovou frekvencı́ ω a s amplitudou, která je podle vztahu (5.31) závislá na fázovém
rozdı́lu ϕ2 − ϕ1 = k2 x − k1 x + α2 − α1 . Jelikož intenzita světla je úměrná čtverci
amplitudy elektromagnetické vlny, můžeme tento vztah převést na intenzitu (tok
energie)
q
(5.33)
J = J1 + J2 + 2 J1 J2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
173
Jestliže se fázový rozdı́l (ϕ2 − ϕ1 ) s časem rychle měnı́, bude časová střednı́ hodnota
výrazu cos(ϕ2 − ϕ1 ) rovna nule. Řı́káme, že vlny nejsou koherentnı́, výsledná
intenzita se dostane jako prostý algebraický součet intenzit obou vln
J = J1 + J2
(5.34)
Pokud zůstává časová střednı́ hodnota výrazu cos(ϕ2 − ϕ1 ) po dobu mnohonásobně
převyšujı́cı́ periodu vlněnı́ neproměnná, t.j. fázový rozdı́l mezi vlnami je konstantnı́,
hovořı́me o skládánı́, neboli interferenci koherentnı́ho vlněnı́.
V přı́padě koherentnı́ch vln závisı́ interferenčnı́ člen ve vztahu (5.31) a (5.33) na
velikosti fázového rozdı́lu δ = (ϕ2 − ϕ1 ). Zvolme pro jednoduchost stejné amplitudy
Y1 = Y2 = Y0 a tı́m i stejné intenzity vlněnı́ J1 = J2 = J0 .
q
J = J1 + J2 + 2
J1 J2 cos δ = 2 J0 (1 + cos δ) =
δ
J = 4 J0 cos2 ,
2
(5.35)
nebot’
δ
δ
δ
− sin2 = 2 cos2 − 1.
2
2
2
Průběh výsledné intenzity vlněnı́ v závislosti na velikosti fázového rozdı́lu δ je
znázorněn na obr. 5.6. Vidı́me, že maxima interference dostaneme pro
cos δ = cos2
J
4J 0
0
p
3p
2p
4p
d
Obrázek 5.6: Závislost interference na fázovém rozdı́lu δ = ϕ2 − ϕ1
174
maxima: δ = 2 m π
(sudé násobky π),
kdy
Y = Y1 + Y2 = 2 Y0 ,
J = 4 J0 cos2
(5.36)
δ
= 4 J0
2
a minima pro
minima: δ = (2 m + 1) π
(liché násobky π),
(5.37)
kdy
δ
= 0.
2
V uvedených vztazı́ch je m celé čı́slo. V prvnı́m přı́padě, jak bylo uvedeno v úvodu
tohoto odstavce, hovořı́me o konstruktivnı́ interferenci, ve druhém přı́padě o
destruktivnı́ interferenci.
Zákon zachovánı́ energie zůstává v platnosti, energie se v prostoru přerozdělı́ do
světlých a tmavých proužků mı́sto rovnoměrného osvětlenı́ plochy. Středovánı́ přes
vlnoplochu výsledného vlněnı́ dá opět hodnotu 2J0 .
J = 4 J0 cos2
Y = |Y1 − Y2 | = 0,
Fázový rozdı́l
Fázový rozdı́l δ = ϕ2 − ϕ1 pro dvě rovinné, monochromatické a harmonické vlny
je obecně dán vztahem
δ = ~k2 ~r2 − ~k1 ~r1 + α2 − α1
(5.38)
kde αi , i = 1, 2 jsou počátečnı́ fáze, ~k1 , ~k2 a ~r1 , ~r2 jsou vlnové vektory a přı́slušné
dráhy interferujı́cı́ch vln. Nadále nebudeme uvažovat počátečnı́ rozdı́l fázı́ α2 − α1 .
Vlnový vektor je podle (4.63) dán vztahem
~ki = 2 π ~si
λi
kde ~si je jednotkový vektor ve směru šı́řenı́. Provedeme úpravy:
2π
2π c
2π c
2π
=
=
=
= k0 n
λ
vT
cT v
λ0 v
kde λ0 je vlnová délka a k0 velikost vlnového vektoru daného vlněnı́ ve vakuu a n je
index lomu prostředı́, kterým se vlněnı́ šı́řı́ . Vztah (5.38) upravı́me
δ = k0 n2 ~s2 ~r2 − k0 n1 ~s1 ~r1 = k0 (n2 ~s2 ~r2 − n1 ~s1 ~r1 ) = k0 ∆
(5.39)
kde ∆ označuje t.zv. rozdı́l optických drah. Jako optickou dráhu označujeme
výraz
n d = optická dráha
(5.40)
kde d = ~si ~ri je vzdálenost, o kterou se posune vlnoplocha v daném prostředı́, protože
skalárnı́ součin ~si ~ri představuje průmět dráhy do směru šı́řenı́ vlněnı́, určeného právě
175
vektorem ~si . Šı́řı́-li se vlněnı́ ve směru osy x, je rozdı́l optických drah ∆ ve vztahu
(5.39) dán výrazem
∆ = n2 x2 − n1 x1 ;
přı́slušný fázový rozdı́l δ = k0 ∆ =
2π
∆.
λ0
(5.41)
Fázový rozdı́l tedy v přı́padě stejné počátečnı́ fáze vlněnı́ vzniká jako důsledek
rozdı́lu optických drah, které paprsky urazily před tı́m, než v daném mı́stě dojde
k jejich interferenci. Dostaneme ho vynásobenı́m rozdı́lu optických drah činitelem
2 π/λ0 . Ke změně fázového rozdı́lu o π může ovšem dojı́t také tehdy, jestliže se
paprsek odrážı́ na opticky hustšı́m prostředı́ (viz odstavec o Fresnelových vzorcı́ch).
Uvážı́me-li, že při stejné počátečnı́ fázi a tehdy, jestliže nedojde ke změně fáze
jednoho paprsku kvůli odrazu na opticky hustšı́m prostředı́, je
δ=
2π
∆,
λ0
pozorujeme maxima a minima tehdy, je-li
maxima: δ =
2π
∆ = 2mπ ⇒
λ0
∆ = m λ0
(5.42)
(celistvé násobky vlnové délky)
minima: δ =
2π
∆ = (2 m + 1) π ⇒
λ0
∆ = (2 m + 1)
λ0
2
(5.43)
(liché násobky poloviny vlnové délky)
Intenzita světla kolı́sá mezi hodnotou 4J0 při konstruktivnı́ interferenci pro δ = 2 m π
a nulou pro δ = (2 m + 1) π v přı́padě destruktivnı́ interference.
Komplexnı́ přı́stup (fázory)
V třetı́ kapitole jsme u obvodů střı́davého proudu zavedli popis pomocı́ komplexnı́ch funkcı́, kdy fyzikálnı́ význam má pouze reálná část přı́slušné komplexnı́
funkce. Střı́davé proudy nebo napětı́ jsou v komplexnı́ rovině zobrazeny t.zv. fázorem,
(”vektorem”), který má délku odpovı́dajı́cı́ velikosti amplitudy přı́slušné veličiny a
svı́rá s reálnou osou x úhel, odpovı́dajı́cı́ jeho fázi (hodnotě fáze v čase t = 0).
Jeho průmět do osy reálných čı́sel odpovı́dá potom reálné části komplexnı́ funkce,
tedy skutečné fyzikálnı́ veličině. Průmět do směru imaginárnı́ osy dává komplexnı́
část přı́slušné funkce. Jestliže necháme běžet čas, fázory se začnou otáčet směrem
doprava, ve směru hodinových ručiček.
Na obr. 5.7 máme fázorový diagram pro interferenci dvou vln, popisovanou výše.
Interferujı́cı́ vlny, vyjádřené vztahy (5.28), převedeme do komplexnı́ho tvaru
∧
y1 = Y1 cos(ϕ1 − ω t) = Re y 1 = Re Y1 ej (ϕ1 −ω t)
∧
y2 = Y2 cos(ϕ2 − ω t) = Re y 2 = Re Y2 ej (ϕ2 −ω t)
176
(5.44)
jy
Y
Y2
Y2
Y sin j
1
1
j
2
j
2
Y sin j
Y sin j
2
2
Y1
j
Y1
j
1
Y cos j
1
1
Y cos j
2
2
x
Y cos j
Obrázek 5.7: Zobrazenı́ interference pomocı́ fázorů
∧
∧
Výsledek interference dostaneme jako součet komplexnı́ch funkcı́ y 1 a y 2 . Komplexnı́ funkce sčı́táme tak, že sečteme reálné a imaginárnı́ části obou funkcı́, abychom dostali reálnou a imaginárnı́ část výsledné funkce. Na fázorovém diagramu
sečteme fázory, zobrazujı́cı́ prvnı́ a druhou vlnu podobně, jako bychom sčı́tali vektory v rovině. Posuneme fázor Y2 tak, aby se jeho počátek ztotožnil s koncem fázoru
Y1 , nebo posuneme fázor Y1 tak, aby se jeho počátek ztotožnil s koncem fázoru Y2 .
Výsledný fázor Y pak bude mı́řit od počátku souřadnic do koncového bodu součtu
obou fázorů. Vidı́me, že jeho průměty do osy x a y odpovı́dajı́ vztahu (5.29), jak
jsme odvodili výše. Přednostı́ komplexnı́ho přı́stupu je snadná možnost jeho rozšı́řenı́
na interferenci většı́ho počtu koherentnı́ch vlněnı́ a to, že výsledek interference je
názorně vidět. Výsledný fázor najdeme jako ”vektorový” součet fázorů, popisujı́cı́ch
jednotlivá vlněnı́.
Youngův pokus (Thomas Young, 1773 - 1829)
Uspořádánı́ pokusu je na obr. 5.8. Prvnı́ štěrbina vymezı́ velmi úzkou oblast
zdroje. Dvojice následujı́cı́ch štěrbin vymezı́ z vlnoplochy, vycházejı́cı́ z prvnı́ štěrbiny,
opět jenom úzké proužky. Interferenci pozorujeme na vzdáleném stı́nı́tku, přı́padně
použijeme spojnou čočku. Na štěrbinách s1 , s2 se fáze paprsků lišı́ v důsledku nestejné
vzdálenosti od štěrbiny s (nenı́ možno nastavit s přesnostı́ na zlomek vlnové délky).
To se projevı́ určitým posuvem proužků vůči optické ose. V dalšı́m rozboru budeme
tento fázový rozdı́l zanedbávat.
Je-li vzdálenost stı́nı́tka D mnohem většı́ než vzdálenost štěrbin h, t.j. D À h,
můžeme dráhový rozdı́l paprsků r2 − r1 spočı́tat přibližně tak, že vedeme kolmici ke
177
P
r1
x
s1
s
_
h
2
_
h q
2
q
r2
s2
D
Obrázek 5.8: Schematické znázorněnı́ Youngova pokusu
druhému paprsku ze štěrbiny s1 :
.
r2 − r1 = h sin θ
(5.45)
Za uvedených předpokladů bude úhel θ malý, takže bude platit
.
. x
sin θ = tan θ ⇒ r2 − r1 = h
(5.46)
D
Průsečı́k paprsku r2 s optickou osou je prakticky těsně u roviny štěrbin, nebot’ h ∼
1 mm a D ∼ 1 m. Fázový rozdı́l, odpovı́dajı́cı́ tomuto dráhovému rozdı́lu, bude
(zanedbáváme počátečnı́ fázový rozdı́l na štěrbinách s1 , s2 )
2π
2π x
(r2 − r1 ) =
h
(5.47)
λ0
λ0 D
Mezi dvěma světlými proužky x1 , x2 na stı́nı́tku se musı́ fázový rozdı́l změnit o 2 π,
tedy
2 π x1 2 π x2
h
−
h
= 2π
λ0 D
λ0 D
takže poloha sousednı́ch proužků se bude lišit o
δ=
λ0 D
(5.48)
h
Vidı́me, že vzdálenost proužků od optické osy je úměrná vlnové délce světla a poměru
D/h.
Interferenčnı́ obraz vzniká vymezenı́m úzkých proužků z původnı́ vlnoplochy,
hovořı́me proto o interferenci dělenı́m vlnoplochy.
x1 − x2 =
178
5.2.2
Interference na tenké dielektrické vrstvě
Tento typ interferenčnı́ch jevů známe ze zabarvenı́, které se pozoruje na mýdlové
bublině nebo olejové skvrně, přı́padně na objektivech modernı́ch fotoaparátů nebo
triedrů. Na rozdı́l od Youngova pokusu a podobných jevů zde zı́skáváme koherentnı́
vlny dělenı́m amplitudy. Obě interferujı́cı́ vlny vznikajı́ ve stejném mı́stě vlnoplochy.
a
n1
D
a
A
C
b
n2
d
b
E
B
n3
Obrázek 5.9: Interference na tenké dielektrické vrstvě
Výpočet fázového rozdı́lu:
V bodě A se paprsek částečně odrážı́ a částečně lomı́ do druhého prostředı́,
takže zde oba paprsky ještě majı́ shodnou fázi. Fázový rozdı́l je důsledkem rozdı́lu
optických drah a přı́padně změny fáze o π při odrazu na opticky hustšı́m prostředı́.
Rozdı́l optických drah odražených paprsků je roven n2 × (AB + BC) − n1 × AD,
nebot’ od polohy vlnoplochy v mı́stě CD probı́hajı́ oba paprsky opět shodnou dráhu.
Z geometrie úlohy na obr. 5.9 dostaneme:
AB =
d
cos β
1
AC = AB sin β
2
AD = AC sin α
AB = BC
S využitı́m těchto vztahů a Snelliova zákona lomu
n1 sin α = n2 sin β
upravı́me postupně rozdı́l optických drah:
∆ = n2 2 AB − n1 AD = 2 n2 AB − n1 AC sin α = 2 n2 AB − 2 n1 AB sin β sin α =
179
= 2 AB (n2 − n1
n2
sin2 β) = 2 n2 AB (1 − sin2 β) = 2 n2 AB cos2 β
n1
S využitı́m výrazu pro úsečku AB nahoře dostaneme pro rozdı́l optických drah
∆ = 2 n2 d cos β
(5.49)
a odpovı́dajı́cı́ fázový posuv mezi interferujı́cı́mi paprsky (viz (5.39)) bude
δ=
4 π n2 d
2π
∆=
cos β
λ0
λ0
(5.50)
Stejným postupem lze ukázat, že fázový rozdı́l procházejı́cı́ch paprsků bude shodný,
rovný opět vztahu (5.50).
Při odrazu jednoho paprsku na opticky hustšı́m prostředı́ docházı́ k dalšı́mu
posuvu fáze o π. K tomu dojde např. tehdy, když budou indexy lomu prostředı́ vůči
sobě ve vztahu
n1 < n2 > n3 ,
je-li tedy třeba dielektrická vrstva obklopena z obou stran vzduchem. Světlé proužky
v odraženém světle budeme v takovém přı́padě pozorovat tehdy, jestliže
δ = 2mπ =
4 π n2 d
cos β + π.
λ0
(5.51)
Převedeme-li podmı́nku pro světlé proužky na rozdı́l optických drah, pak světlé
proužky vidı́me tehdy, rovná-li se rozdı́l optických drah (5.49) lichému násobku
poloviny vlnové délky:
λ0
2 n2 d cos β = (2 m − 1)
.
(5.52)
2
Posuv fáze o π v důsledku odrazu na opticky hustšı́m prostředı́ se projevı́ dodatečnou
změnou drahového rozdı́lu o polovinu vlnové délky. Všimněme si, že v procházejı́cı́m
světle k odrazu paprsků na opticky hustšı́m prostředı́ nedojde, takže dodatečný posuv fáze o π se neuplatnı́. Proužky v procházejı́cı́m světle jsou tedy komplementárnı́
k proužkům ve světle odraženém: jestliže vidı́me na odraz maximum interference, je
v procházejı́cı́m světle minimum a naopak. Fázový rozdı́l, určujı́cı́ výsledek interference, tedy závisı́ na čtyřech parametrech: tlouštce vrstvy d, jejı́m indexu lomu n2 ,
vlnové délce světla λ0 a úhlu lomu β.
Proužky stejné tloušt’ky (Fizeauovy)
Mı́rně klı́novitou dielektrickou vrstvu osvětlı́me rovinnou monochromatickou vlnou. Potom je cos β konstantnı́ a světlé proužky pozorujeme tam, kde
d=
λ0 (2 m − 1)
4 n2 cos β
180
(5.53)
2
d
1
d
Obrázek 5.10: Proužky stejné tloušt’ky. Rozdı́l v tloušt’ce destičky pro dva sousednı́
proužky je d2 − d1 = λ/2.
Pozn.: rozdı́l tloušt’ky vrstvy v mı́stech pozorovánı́ sousednı́ch proužků bude
d2 − d1 =
λ0
λ0
(2 m + 1 − (2 m − 1)) = 2
4 n2 cos β
4 n2 cos β
λ 0 v2
λ
. λ0
d = d2 − d1 =
=
=
2 n2
2c
2
kde jsme předpokládali téměř kolmý dopad světla na vrstvu (cos β ≈ 1). Na vzdálenosti sousednı́ch proužků se tedy tloušt’ka vrstvy změnı́ o polovinu vlnové délky
světla v materiálu vrstvy. Proužky stejné tloušt’ky vidı́me lokalizované přı́mo na
tenké vrstvě (olej, mýdlové bubliny, Newtonovy proužky atd.), protože, jak je znázorněno
na obr. 5.10, interferujı́cı́ paprsky se setkajı́ pouze ve vyšrafovaném proužku na
povrchu destičky, potom se ihned rozcházejı́. Když svı́tı́me bı́lým světlem, pozorujeme barevné proužky. Stejné barvy se opakujı́ ve vzdálenosti, na které se změnı́
tloušt’ka vrstvy o polovinu přı́slušné vlnové délky λ. Vlnová délka světlého proužku
bude
4 n2 cos β
.
(5.54)
λ0 =
(2 m − 1)
Interference na klı́novité destičce lze využı́t k měřenı́ velmi malých úhlů, nebot’
sinus úhlu klı́novitosti destičky se dostane jako poměr λ/2 ke vzdálenosti sousednı́ch
proužků d.
181
Kroužky stejného sklonu (Haidingerovy)
Pozorujı́ se tehdy, je-li d a λ0 konstantnı́, tedy na dokonale planparalelnı́ destičce.
Jsou to koncentrické kroužky lokalizované v nekonečnu, dı́váme-li se kolmo na destičku
a světlo dopadá téměř rovnoběžně s osou pohledu, jak je znázorněno na obr. 5.11.
Pokud destičku naklonı́me, bude střed kroužků mimo zorné pole a kroužky se změnı́ v
téměř přı́mkové proužky stejného sklonu. V odraženém světle budeme světlé proužky
Obrázek 5.11: Proužky stejného sklonu. Paprsky dopadajı́cı́ do oka jsou téměř
rovnoběžné a oko si je promı́tne do nekonečna.
pozorovat pod úhly, splňujı́cı́mi podmı́nku
cos β =
(2 m − 1) λ0
.
4 n2 d
(5.55)
Využijeme-li Snelliova zákona lomu, odpovı́dajı́ tomu úhly dopadu
v
"
#2
u
1 u
(2 m − 1) λ0
t 2
sin α =
n2 −
n1
4d
(5.56)
Při pozorovánı́ na průchod vidı́me maxima pro ty úhly, pro které v odraženém
světle vidı́me minima a naopak, tedy maxima nastanou pro úhly
m λ0
4 π n2 d cos β
= 2 m π ⇒ cos β =
.
λ0
2 n2 d
182
Využitı́m zákona lomu výraz upravı́me na tvar
v
"
u
1 u
2 m λ0
t 2
n2 −
sin α =
n1
4d
#2
(5.57)
Je-li tlouštka destičky d À λ0 (např. 5 mm), je m vysoké čı́slo, řádově 104 ,
takže i velmi malé změně úhlu dopadu odpovı́dá velká změna dráhového rozdı́lu.
Interferenčnı́ obrazec je proto možno pozorovat pouze v téměř rovnoběžných svazcı́ch
a oko si ho zdánlivě lokalizuje do nekonečna.
Antireflexnı́ vrstva
Dielektrická vrstva se dá užı́t ke snı́ženı́ odrazivosti substrátu, na kterém je nanesena.
To se hodı́ pro mnohaprvkové objektivy modernı́ch fotoaparátů nebo dalekohledů,
které by jinak v důsledku odrazů na jednotlivých plochách optických členů objektivu
ztratily 80% a vı́ce procházejı́cı́ energie (tak zvaná prosvětlená optika).
Předpokládejme, že indexy lomu vrstvičky a okolnı́ho prostředı́ splňujı́ nerovnost
n 1 < n 2 < n3 ,
kde n1 je index lomu vzduchu před objektivem, n2 je index lomu antireflexnı́ vrstvy
a n3 je index lomu substrátu (prvnı́ho optického členu objektivu). Jak je zřejmé z
obr. 5.12, oba paprsky se odrážejı́ na opticky hustšı́m prostředı́, takže oba odrazem
změnı́ fázi o π. Aby se interferencı́ zrušily, musı́ být proto fázový rozdı́l, vzniklý v
důsledku rozdı́lu optických drah, podle vztahu (5.37) roven lichému násobku π, tedy
δ=
2π
2 n2 d cos β = (2 m + 1) π
λ0
(5.58)
Předpokládejme nynı́ skoro kolmý dopad na vrstvu, takže cos β ≈ 1. Tloušt’ka
vrstvy, která vede k destruktivnı́ interferenci paprsků, dopadajı́cı́ch kolmo, bude
d=
λ
2 m + 1 λ0
= (2 m + 1) ,
4
n2
4
(5.59)
kde λ je vlnová délka světla v materiálu antireflexnı́ vrstvy. Musı́ být lichým násobkem
čtvrtiny vlnové délky.
Aby došlo k úplnému zrušenı́ odraženého světla, musı́ být intenzita světla, odražená
od přednı́ho i zadnı́ho povrchu vrstvy shodná. Z Fresnelovývh vztahů (5.13) a (5.17)
vyplývá, že v přı́padě kolmého dopadu to nastane tehdy, je-li
n3 − n2
n2 − n1
=
.
n2 + n1
n3 + n2
(5.60)
Když je prvnı́m prostředı́m vzduch, je n1 = 1 a dostaneme
n2 =
√
183
n3 .
(5.61)
1
2
n1
p
n2
p
n3
Obrázek 5.12: Antireflexnı́ vrstva.
Prakticky jsou antireflexnı́ vrstvy mnohem komlikovanějšı́, jsou tvořeny několika
vrstvičkami materiálů s odlišnými indexy lomu tak, aby se dosáhlo odstraněnı́ reflexe
v široké spektrálnı́ oblasti, nikoliv jenom pro jednu vlnovou délku.
Newtonovy kroužky
R
R
d
0
r
Obrázek 5.13: Newtonovy kroužky.
184
Kroužky vznikajı́ interferencı́ na vzduchové vrstvě mezi povrchem čočky a vybroušenou
rovinnou skleněnou deskou.
R2 = %2 + (R − d)2
(5.62)
R2 = %2 + R2 − 2 R d + d2 ⇒ %2 = d (2 R − d)
Jelikož je d ¿ R, lze psát přibližně
d=
%2
2R
(5.63)
Při odrazu se jeden paprsek odrážı́ od opticky hustšı́ho prostředı́, takže podmı́nka
pro tmavý kroužek bude (viz (5.51))
δ=
4 π n2 d
cos β + π = (2 m + 1) π .
λ0
(5.64)
Při geometrii nakreslené na obr. 5.13 dostaneme přibližně (cos β ≈ 1)
4 n2 d
2 m λ0
m λ0
+ 1 = 2m + 1 ⇒ d =
=
.
λ0
4 n2
2 n2
Po těchto úpravách vidı́me, že poloměr tmavých kroužků splňuje rovnici
%2 = 2 R d =
m λ0 R
n2
kde m = 0, 1, 2 . . .
(5.65)
Poloměr světlých kroužků bude analogicky
%2 =
(m + 12 ) λ0 R
n2
kde m = 0, 1, 2 . . .
(5.66)
Při pozorovánı́ v procházejı́cı́m světle platı́ podmı́nky pro světlé a tmavé proužky
opačně. Newtonovy kroužky se užı́vajı́ ke kontrole kvality broušenı́ optických ploch.
Změřenı́m % lze kontrolovat poloměr čočky R, odchylky kroužků od kruhového tvaru
svědčı́ o odchylkách od symetrie broušenı́ čočky.
Michelsonův interferometr
Albert Abraham Michelson (1852 - 1931) navrhnul interferometr, který může pracovat se širokým plošným zdrojem světla, takže dává mnohem jasnějšı́ interferenčnı́
proužky, než se pozorujı́ v Youngově experimentu. Dı́ky tomu má interferometr
rozsáhlé použitı́ v optice. Schema interferometru je na obr. 5.14. Paprsek ze zdroje
dopadá pod úhlem 45o na t.zv. dělič svazku, představovaný planparalelnı́ destičkou
s pokovenou spodnı́ plochou, takže polovina intezity světla se odrážı́ a polovina
procházı́. Odražený paprsek dopadá na pohyblivé zrcadlo M1 , od kterého se odrážı́,
procházı́ znovu děličem svazku a dopadá na detektor. Druhý paprsek se po průchodu
děličem svazku odrážı́ na pevném zrcadle M2 a po odrazu na pokovené spodnı́ ploše
185
M1
d
M 2'
M2
zdroj
kov
detektor
Obrázek 5.14: Michelsonův interferometr.
děliče svazku dopadá rovněž na detektor. Do cesty tomuto paprsku je vložena planparalelnı́ destička stejné tlouštky jako má dělič svazku, aby vykompenzovala drahový
rozdı́l, který vzniká trojnásobným průchodem prvnı́ho svazku děličem.
K interferenci docházı́ na vzduchové vrstvě tloušt’ky d, která je tvořena zrcadlem M1 a obrazem zrcadla M20 , vytvořeným polopropustnou zrcadlovou vrstvou
na spodnı́ straně děliče svazku. Když je drahový rozdı́l nulový, tedy když prvnı́ i
druhý paprsek urazı́ v obou ramenech interferometru od bodu rozdělenı́ k zrcadlům
a zpět stejnou vzdálenost, řı́káme, že zrcadla jsou v optickém kontaktu. V interferometru pozorujeme bud’ Heidingerovy kroužky stejného sklonu, pokud je tloušt’ka d
konstantnı́, nebo proužky stejné tloušt’ky, pokud tvořı́ zrcadlo M1 a obraz zrcadla
M20 klı́novitou vrstvičku.
Jelikož paprsek urazı́ vzdálenost d dvakrát, budeme světlý proužek pozorovat
tehdy, jestliže fázový rozdı́l
δ=
2π
2 d cos β = 2 m π
λ0
kde m = 0, 1, 2 . . ..
(5.67)
Nejvyššı́ hodnota m, t.zv. řád kroužku, bude ve středu, kde má cos β = 1 nejvyššı́
hodnotu.
2d
mmax =
.
(5.68)
λ0
Je to vlastně drahový rozdı́l měřený ve vlnových délkách světla.
Řád kroužků klesá směrem od středu k okraji interferenčnı́ho obrazce. Když d
poroste, t.j. když začneme plynule vzdalovat zrcadlo M1 , začne se světlý proužek
vzdalovat od středu a postupně se ve středu objevı́ nový světlý proužek vyššı́ho
186
řádu. Když dáme do směru paprsku, vystupujı́cı́ho z interferometru detektor světla,
budeme pozorovat v závislosti na fázovém posuvu paprsků vůči sobě intenzitu (viz
(5.35))
q
J = J1 + J2 + 2 J1 J2 cos δ
kde
Ã
2 π 2 d cos β
cos δ = cos
λ0
!
µ
2π
= cos
2d
λ0
¶
Ã
2ωd
= cos
c
!
nebot’
2π
2π
ω
=
= .
λ0
cT
c
Jestliže dělič svazku vytvářı́ dva svazky stejné intenzity, bude J1 = J2 = J0
a výsledná intenzita
Ã
Ã
!!
2ωd
J = 2 J0 1 + cos
.
(5.69)
c
Zde 2 d/c je čas τ , o který se zpozdı́ světlo, které musı́ proběhnout dráhu v delšı́m
rameni interferometru. Nazývá se retardačnı́ čas.
J = 2 J0 (1 + cos ω τ ) .
(5.70)
Signál z detektoru světla bude v závislosti na τ kolı́sat mezi nulou a maximem 4 J0 .
Jestliže budeme zrcadlem M1 pohybovat konstantnı́ rychlostı́ v, bude vzdálenost
d = v t s časem plynule narůstat. Tı́m bude narůstat i odpovı́dajı́cı́ fázový rozdı́l
δ = 2d
2 π cos β
4 π v cos β
=
· t = 4 π v ν̄ cos β · t
λ0
λ0
kde ν̄ = 1/λ0 označuje vlnočet světla. Jelikož d plynule vzrůstá, bude plynule růst
i fázový rozdı́l δ = ω τ a elektrický signál z detektoru bude časově periodický s
frekvencı́ f . Perioda kolı́sánı́ signálu bude dána časovým intervalem T , za který se
fáze δ změnı́ o 2 π, tedy
∆ δ = 2 π = 4 π v ν̄ cos β · T
f = 1/T = 2 v ν̄ cos β .
⇒
(5.71)
Vidı́me, že ze znalosti rychlosti pohybu zrcadla interferometru můžeme změřenı́m
frekvence signálu f spočı́tat vlnočet a tı́m i vlnovou délku dopadajı́cı́ho světla ν̄ =
1/λ0 . To je principem t.tv. fourierovské spektroskopie. Obsahuje-li světlo dopadajı́cı́
na interferometr široký spektrálnı́ interval, bude mı́t signál z detektoru při jednom
dopředném pohybu (skenu) zrcátka, t.zv. interferogram, maximum pro nulový drahový rozdı́l, nebot’ v tomto přı́padě interferujı́ všechny vlnové dělky konstruktivně. S
rostoucı́m drahovým rozdı́lem signál rychle klesá a vytvořı́ přı́padně několik dalšı́ch
slabých maxim. Aplikujeme-li na interferogram matematickou inversnı́ fourierovskou
transformaci, dostaneme rozloženı́ dopadajı́cı́ intenzity světla v závislosti na vlnové
délce, tedy spektrum dopadajı́cı́ho signálu. Zrcátkem se v interferometru periodicky
pohybuje vpřed a vzad po určité vzdálenosti a signál se průměruje, aby se dosáhlo
zlepšenı́ poměru mezi signálem a šumem z detektoru. Fourierovské spektrometry
187
majı́ řadu přednostı́ ve srovnánı́ s dispersnı́mi spektrálnı́mi přı́stroji a v současné
době představujı́ nejdokonalejšı́ přı́stroje pro studium spekter zářenı́.
Michelsonův spektrometr sehrál významnou roli při budovánı́ teorie relativity.
Pokus o změřenı́ změny rychlosti šı́řenı́ světla ve směru pohybu Země kolem Slunce a
proti tomuto pohybu (Michelson - Morleyův experiment v r. 1887) vedl k postulátu
maximálnı́ rychlosti světla c a posléze k vybudovánı́ speciálnı́ teorie relativity.
5.2.3
Interference mnoha svazků
Dopadajı́cı́ elektromagnetickou (světelnou) vlnu můžeme analogicky ke vztahu (4.71)
popsat závislostı́ intenzity elektrického pole vlny na čase a prostorové souřadnici
~ (~r , t) = A
~ cos(~k ~r − ω t) = Re A
~ ej (~k ~r−ω t)
E
~ (~r , t) vlny je dán vztahem (4.72). Při vyšetřovánı́ interference na tenké
Vektor B
dielektrické vrstvě jsme zatı́m uvažovali pouze interferenci dvou svazků: svazku
odraženého na prvnı́m rozhranı́ se svazkem prošlým vrstvou a odraženým zpět na
jejı́ spodnı́ ploše; v procházejı́cı́m světle pak interferenci svazku prošlého vrstvou se
svazkem, který se odrazil na jejı́m spodnı́m a potom ještě na jejı́m hornı́m rozhranı́
před tı́m, než vyšel ven. Ve skutečnosti se při každém dopadu na rozhranı́ dvou
Ar1
3
At 2 r 1 t 3 At 2 r 1 t 3
5
At 2 r 1 t 3
A
n1
a
At 2
At 2r 2
1
At 2r 4
1
n2
b
d
At 2 r 1
At 2 r 3
1
At 2 r 5
1
n1
At 2 t 3
At 2 t 3 r 2 At 2 t 3 r 4
1
1
Obrázek 5.15: Interference mnoha svazků na dielektrické vrstvě.
188
prostředı́ světlo vždy částečně odrážı́ a částečně procházı́, takže uvnitř vrstvy světlo
procházı́ tam a zpět, jak je znázorněno na obr. 5.15. Jak v odraženém, tak i v
procházejı́cı́m světle je proto třeba vzı́t v úvahu interferenci mnoha svazků.
Výrazy r1 , t2 a t3 na obr. 5.15 označujı́ koeficienty odrazu, respektive koeficienty
propustnosti na hornı́ a spodnı́ ploše dielektrické vrstvy, tedy poměr amplitudy
odražené, resp. procházejı́cı́ vlny k amplitudě vlny dopadajı́cı́. Jejich velikost je dána
Fresnelovými vzorci (5.19), které se pro kolmý dopad světla, který budeme nadále
předpokládat, zjednodušı́ na tvar
r1 =
∓ (n2 − n1 )
;
n1 + n2
t2 =
2 n1
;
n1 + n2
t3 =
2 n2
.
n1 + n2
(5.72)
Znaménko minus v prvnı́m vzorci zajišt’uje změnu fáze o π při odrazu na hornı́ ploše,
tedy na opticky hustšı́m prostředı́ (n2 > n1 ).
V dalšı́m postupu spočteme výsledek interference svazků procházejı́cı́ch vrstvou s
pomocı́ komplexnı́ho popisu, využı́vajı́cı́ho fázorů. K tomu musı́me určit amplitudu
a fázový posuv každého interferujı́cı́ho svazku. Amplitudy prvnı́ch svazků jsou na
obr. 5.15, přičemž každá následujı́cı́ vlna bude vůči předcházejı́cı́ fázově posunuta o
úhel, daný vztahem (5.50)
2π
4 π n2 d
∆=
cos β ,
λ0
λ0
δ=
(5.50)
spočteným výše při vyšetřovánı́ interference dvou svazků na tenké vrstvě. Z obr.
(5.15) je vidět, že amplitudy procházejı́cı́ch vln
E1 ,
E1 r12 ,
E1 r14 ,
E1 r16 , . . .
(E1 = A t2 t3 )
tvořı́ geometrickou posloupnost s kvocientem r12 . Prvnı́ propuštěná vlna bude popsána
funkcı́
∧
~
j (~k ~
r−ω t)
= E1 ej (k ~r−ω t)
E 1 (~r, t) = A t2 t3 e
a obecně n - tá propuštěná vlna bude mı́t tvar
∧
2 (n−1) j(n−1) δ
E n (~r, t) = E1 r1
e
~
2 (n−1) j(n−1) δ
ej (k ~r−ω t) = A t2 t3 r1
e
~
ej (k ~r−ω t)
(5.73)
kde ( n = 1, 2, 3 . . . N ).
∧
Výsledná komplexnı́ amplituda procházejı́cı́ho zářenı́ E t bude dána součtem
fázorů, popisujı́cı́ch jednotlivé svazky. Fázory se sčı́tajı́ jako komplexnı́ čı́sla, takže
výsledná amplituda bude dána vztahem
∧
2 jδ
E t = E1 (1 + r1 e
2(N −1) j(N −1) δ
+ r14 e2 j δ + . . . r1
e
).
(5.74)
To je N členů geometrické posloupnosti s kvocientem q = r12 ej δ . Jejı́ součet bude
∧
E t = E1
(r12 ej δ )N − 1
.
r12 ej δ − 1
(5.75)
Pokud je počet interferujı́cı́ch svazků N velký, můžeme prvnı́ člen v čitateli zanedbat,
nebot’ r12 < 1 a člen limituje k nule pro N → ∞.
189
Výsledná amplituda procházejı́cı́ho světla tedy bude
∧
E t=
E1
.
1 − r12 ej δ
(5.76)
Tento výraz dále upravı́me vynásobenı́m a vydělenı́m zlomku komplexně sdruženým
čı́slem k jeho jmenovateli
∧
E t=
E1 (1 − r12 e−j δ )
E1 (1 − r12 e−j δ )
=
.
(1 − r12 ej δ )(1 − r12 e−j δ )
1 − 2 r12 cos δ + r14
Reálná část výsledné komplexnı́ amplitudy bude
∧
1 − r21 cos δ
1 − 2 r21 cos δ + r41
(5.77)
∧
r21 sin δ
1 − 2 r21 cos δ + r41
(5.78)
Re Et = E1
a jejı́ imaginárnı́ část
Im Et = E1
Intenzita procházejı́cı́ho světla, t.j. tok energie v elektromagnetické vlně, je dána
Poyntingovým vektorem a je podle vztahu (4.62) úměrná čtverci amplitudy vlněnı́,
tedy
∧ ∧
1
1
E12
∗
2
J ∼ E t Et = E1
=
.
(5.79)
1 − r12 ej δ 1 − r12 e−j δ
1 − 2 r12 cos δ + r14
Jmenovatele zlomku upravı́me na jiný tvar:
(1−2 r12 cos δ +r14 )−2 r12 +2 r12 = (1−r12 )2 +2 r12 (1−cos δ) = (1−r12 )2 +4 r12 sin2 δ/2 ,
kde jsme využili vztah
h
i
1 − cos δ = 1 − (cos2 δ/2 − sin2 δ/2) = 1 − (1 − sin2 δ/2) − sin2 δ/2 = 2 sin2 δ/2 .
Intenzita procházejı́cı́ho světla bude tedy úměrná výrazu
J∼
E12
.
(1 − r12 )2 + 4 r12 sin2 δ/2
(5.80)
V našem přı́padě po dosazenı́ dostaneme
J=
1
A2 | t2 |2 | t3 |2
.
2 µ0 c (1 − r12 )2 + 4 r12 sin2 δ/2
(5.81)
Vidı́me, že pro fázový rozdı́l δ = 0 , 2 π , 4 π, . . . tedy pro δ = 2 m π kde m je celé
čı́slo, dostaneme maximum
E12
Jmax ∼
(5.82)
(1 − r12 )2
a když bude δ = π, 3 π, 5 π . . . tedy pro δ = (2 m + 1) π dostaneme minimum
Jmin ∼
E12
.
(1 + r12 )2
190
(5.83)
Poznámka:
maxima propustnosti dostaneme při splněnı́ podmı́nky
δ=
2π
2 n2 d cos β = 2 m π
λ0
po úpravě a pro kolmý dopad
2 n2 d = m λ 0
m λ0
m v2 T c
λ
d=
=
=m
2 n2
2c
2
kde λ0 je vlnová délka světla ve vakuu a λ v materiálu dielektrické vrstvy. Tloušt’ka
vrstvy musı́ být tedy celistvým násobkem poloviny vlnové délky světla v materiálu
destičky. To je podmı́nka pro vznik stojatého vlněnı́, podobně jako je tomu v mechanice při kmitánı́ struny nebo pro pı́št’aly.
Definujme t.zv. viditelnost proužků jako poměr
v=
Jmax − Jmin
.
Jmax + Jmin
(5.84)
Čı́m je viditelnost v vyššı́, tı́m jsou interferenčnı́ proužky zřetelnějšı́. Viditelnost je
největšı́ pro Jmin = 0, kdy v = 1. Naopak, pro Jmax = Jmin je v = 0 a proužky se
nepozorujı́. Když do definice (5.84) dosadı́me výrazy (5.82) a (5.83), dostaneme
v=
2 r12
2R
=
,
4
1 + r1
1 + R2
(5.85)
kde R = r12 představuje odrazivost rozhranı́, poměr odražené a dopadajı́cı́ intenzity
světla. Je zřejmé, že pro odrazivost konvergujı́cı́ k jedné (R → 1) bude se viditelnost
proužků rovněž blı́žit k jednotce (v → 1).
Intenzitu procházejı́cı́ho světla můžeme vyjádřit pomocı́ Jmax takto:
J=
Jmax (1 − r12 )
=
(1 − r12 )2 + 4 r12 sin2 δ/2
J=
Faktor
F=
Jmax
4 r12
sin2
(1−r12 )2
.
(5.86)
4 r12
4R
=
2 2
(1 − r1 )
(1 − R)2
(5.87)
1+
δ/2
se nazývá kontrastem. Relativnı́ propustnost dielektrické vrstvy s uváženı́m mnohonásobných odrazů se potom vyjádřı́ vztahem
J
Jmax
=
1
1 + F sin2 δ/2
191
Airyho funkce
(5.88)
Výraz na pravé straně rovnice se nazývá Airyho funkce.
Analogickým postupem můžeme odvodit i velikost intenzity odraženého světla
při započı́tánı́ mnohonásobných odrazů uvnitř dielektrické vrstvy. Dostaneme
JR
JRmax
=
F sin2 δ/2
1 + F sin2 δ/2
(5.89)
Průběh Airyho funkce, t.j. relativnı́ propustnosti dielektrické vrstvy, je na obr.
5.16. Vidı́me, že s rostoucı́ odrazivostı́ rozhranı́ R se interferenčnı́ maxima zužujı́ a
signál v minimech klesá. Tı́m se podstatně zvýrazňuje interferenčnı́ obraz a roste
jeho viditelnost. Pro velká R a mnoho interferujı́cı́ch svazků pozorujeme velice ostré
a jasné proužky, oddělené prakticky temnými mezerami.
1.0
Propustnost
R = 0.1
R = 0.3
R = 0.7
R = 0.9
0.5
0.0
π
2π
3π
4π δ
Obrázek 5.16: Airyho funkce.
Vı́cenásobné reflexe v dielektrické vrstvě se dajı́ využı́t v řadě optických prvků
a zařı́zenı́, jako jsou interferenčnı́ filtry nebo interferometry, které jsou schopny
vysokého spektrálnı́ho rozlišenı́. Některé z těchto prvků si stručně probereme v
dalšı́m.
Fabryův - Perotův interferometr
Marie Paul Auguste Charles Fabry, 1867 - 1945;
Jean Baptiste Gaspard Gustave Alfred Perot, 1863 - 1925
Interferometr na obr. 5.17 je představován dvěma skleněnými destičkami, které
majı́ plochy otočené k sobě dokonale rovinné a pokovené tak, aby jejich odrazivost
192
byla R > 0, 9. Vzduchová vrstva mezi destičkami představuje dielektrickou vrstvu o
tloušt’ce d, na nı́ž docházı́ k interferenci vı́ce svazků. Vnějšı́ plochy jsou skloněné o
malý úhel, aby interference na těchto plochách nerušila interferenci, ke které docházı́
na vzduchové mezeře. Pokud je vzdálenost destiček d fixnı́, hovořı́me o Fabryově
- Perotově etalonu. V interferometru pozorujeme Haidingerovy kroužky stejného
sklonu. Kroužky jsou opravdu kruhové, pokud je osvětlenı́ symetrické vůči optické
ose interferometru.
d
Obrázek 5.17: Fabryův - Perotův interferometr.
Důležité parametry optických přı́strojů s hlediska jejich využitı́ ke spektrálnı́mu
rozkladu světla představujı́ rozlišovacı́ schopnost, disperse a spektrálnı́ (dispersnı́)
oblast.
Rozlišovacı́ schopnost interferometru
Světlé proužky v interferometru pozorujeme, je-li splněna podmı́nka
δ=
2π
2 n2 d cos β = 2 m π ,
λ0
kde m je celé čı́slo,
(5.90)
nebo pro dráhový rozdı́l podmı́nka
∆ = 2 n2 d cos β = m λ0 .
(5.91)
Jako rozlišovacı́ schopnost R spektrálnı́ho přı́stroje označujeme poměr
R=
λ
∆λ
193
(5.92)
mezi střednı́ vlnovou délkou λ a ∆ λ, kde ∆ λ je nejmenšı́ vzdálenost dvou čar
ve spektru, které je možno rozlišit. Tento interval se v přı́padě Fabryova-Perotova
interferometru definuje tak, aby 1/2 maximálnı́ intenzity proužku tvořeného čarou λ1
spadala do mı́sta, kde je 1/2 maxima proužku tvořeného čarou λ2 , jak je znázorněno
na obr. 5.18.
∆δ
I/I0
1.0
0.5
0.0
0 δ1/2
δ
Obrázek 5.18: Rozlišovacı́ schopnost interferometru.
Jestliže označı́me ∆ δ = 2 δ1/2 fázový posuv mezi maximy intenzity pro λ1 a λ2
a δ1/2 představuje rozdı́l mezi fázı́, při které má čára maximum a fázı́, kdy intenzita
klesne na jednu polovinu, pak ze vztahu (5.88) pro δ1/2 dostaneme
1
1
= ⇒ 1 + F sin2 δ1/2 = 2
2
2
1 + F sin δ1/2
(5.93)
1
1 − r12
1−R
δ1/2 = 2 arcsin √ = 2 arcsin
= 2 arcsin √ .
F
2 r1
2 R
(5.94)
Protože úhel δ1/2 je malý, můžeme sinus nahradit přı́mo jeho velikostı́, takže platı́
sin
⇒
δ1/2 . δ1/2
=
2
2
a ∆ δ = 2 δ1/2
δ1/2
∆δ
1
1 − r12
1−R
=
=√ =
= √ .
2
4
F
2 r1
2 R
(5.95)
V interferometru pozorujeme proužky stejného sklonu, protože fázový rozdı́l je možno
měnit pouze změnou úhlu dopadu a tı́m i úhlu lomu (vzdálenost desek interferometru
d je konstantnı́ a index lomu vzduchu n2 = 1 je rovněž konstantnı́). Vztah mezi
malou změnou fázového rozdı́lu ∆ δ a malou změnou úhlu lomu ∆β dostaneme tedy
diferencovánı́m výrazu (5.90) pro fázový posun:
δ=
∆β
2π
2 n2 d cos β ⇒ ∆δ = −4 π n2 d sin β
λ0
λ0
194
(5.96)
Obdobně diferencovánı́m vztahu (5.91) pro drahový rozdı́l v přı́padě maxima interference zı́skáme relaci mezi ∆β a ∆λ0 :
∆ = 2 n2 d cos β = m λ0 ⇒ −2 n2 d sin β ∆β = m ∆λ0
− sin β∆β =
(5.97)
m ∆λ0
2 n2 d
(5.98)
Dosazenı́m (5.98) do (5.96) máme
∆δ = −4 π n2 d sin β
m ∆λ0
∆β
= 4 π n2 d
λ0
2 n2 d λ 0
a s pomocı́ (5.95)
∆δ = 2 m π
∆λ0
4
2 (1 − R)
2 (1 − r12 )
√
=√ =
=
.
λ0
F
r1
R
(5.99)
Z toho dostaneme pro rozlišovacı́ schopnost výraz
√
λ0
m π r1
mπ R
mπ √
R=
=
=
=
F.
2
∆λ0
(1 − r1 )
(1 − R)
2
(5.100)
Je vidět, že rozlišovacı́ schopnost interferometru roste s rostoucı́ odrazivostı́ rozhranı́
R a tı́m i s vysokým kontrastem F. Dále roste s řádem interference m.
St ed koužk
I/I0
m 2π
(m − 2) 2π
(m − 1) 2π
δ
Obrázek 5.19: Interferenčnı́ obraz pro dvě velmi blı́zké spektrálnı́ čáry.
Spektrálnı́ (dispersnı́) oblast interferometru
Ze vztahu (5.91) a obr. 5.19 je zřejmé, že řád interference m je maximálnı́ pro
cos β = 1, tedy ve středu interferenčnı́ch kroužků:
mmax =
2 n2 d
.
λ0
195
(5.101)
Je to vlastně rozdı́l optických drah dvou sousednı́ch interferujı́cı́ch svazků, změřený
vlnovou délkou světla. Maxima procházejı́cı́ intenzity světla pozorujeme tehdy, když
se tloušt’ka ”destičky” interferometru d rovná násobku poloviny vlnové délky λ/2.
Jestliže se vlnová délka světla poněkud změnı́, objevı́ se ve středu následujı́cı́ maximum intenzity světla. Rozdı́l vlnových délek ∆λSR , odpovı́dajı́cı́ změně řádu interference m o jednotku, se nazývá spektrálnı́ nebo dispersnı́ oblastı́ interferometru. Je
to největšı́ rozdı́l vlnových délek, který může být jednoznačně měřen interferometrem, protože určenı́ řádu interference m pro daný interferenčnı́ proužek nenı́ možné,
m je typicky ∼ 10000.
Když se řád m změnı́ o jednotku, změnı́ se fázový rozdı́l δ o 2 π. Ze vztahu (5.99)
vidı́me, že změna fáze o 2 π nastane na intervalu vlnových délek
∆λSR =
λ
m
(5.102)
Dosazenı́m nejvyššı́ možné hodnoty mmax ze vztahu (5.101) dostaneme výraz pro
nejmenšı́ spektrálnı́ oblast interferometru
∆λSR =
λ2
2 n2 d
(5.103)
Porovnánı́m vztahů (5.100) a (5.103) vidı́me, že zvýšenı́ tloušt’ky ”destičky” interferometru d a tı́m i zvýšenı́ řádu interference m pro danou vlnovou délku světla zvyšuje
rozlišovacı́ schopnost R, ovšem současně snižuje šı́řku spektrálnı́ oblasti ∆λSR .
Spektrálnı́ oblast interferometru můžeme také názorně určit s pomocı́ obr. 5.20,
na kterém jsou znázorněny čtyři proužky pro dvě velmi blı́zké spektrálnı́ čáry s
m+2
l2
m+1
l2
m
l2
m-1
l2
l2
l1
m+2
l1
m+1
l1
m
l1
l1
m-1
Obrázek 5.20: Interferenčnı́ proužky pro dvě velmi blı́zké vlnové délky.
196
vlnovými délkami λ1 a λ2 , přičemž λ2 < λ1 . Když budeme vlnovou délku λ2 postupně
zmenšovat, bude se jejı́ čára pro stejný řád interference m postupně vzdalovat od
čáry, odpovı́dajı́cı́ λ1 až do okamžiku, kdy se překryje s čárou λ1 ovšem pro řád m−1.
Tı́m je právě určen největšı́ rozdı́l vlnových délek, který je možno jednoznačně určit,
tedy spektrálnı́ oblast ∆λSR . Popı́šeme-li znázorněnou situaci přı́slušnými vztahy,
dostaneme
2 n2 d cos β = m λ1 = (m + 1) λ2 ⇒
µ
λ1 − λ2 = ∆λ = ∆λSR = 2 n2 d cos β
⇒ ∆λSR =
¶
1
1
2 n2 d cos β
−
=
⇒
m m+1
m (m + 1)
λ1
λ1 λ2
=
.
(m + 1)
2 n2 d cos β
Přı́klad:
Tlouštka interferometru je d = 1cm, vlnová délka λ0 = 500 nm = 5 × 10−5 cm.
Řád interference:
mmax =
2 n2 d
2
=
= 4 × 104 = 40000.
λ0
5 × 10−5
Spektrálnı́ oblast:
∆λSR ≈
5 × 10−5
= 1, 25 × 10−9 cm = 1, 25 × 10−11 m = 1, 25 × 10−2 nm = 0, 125Å
4 × 104
Rozlišovacı́ schopnost: pro r12 = 0, 9 máme
R=
4 × 104 π 0, 95
m π r1
≈
= 1, 12 × 106
(1 − r12 )
0, 1
Nejmenšı́ rozlišitelná vzdálenost spektrálnı́ch čar bude:
λ0
5 × 102
.
∆λ =
=
nm = 4 × 10−4 nm = 0, 004 Å.
6
R
1, 12 × 10
Vidı́me, že s pomocı́ Fabryova-Perotova interferometru je možno studovat jemnou a
hyperjemnou strukturu spektrálnı́ch čar, přı́padně posuvy a štěpenı́ čar vlivem magnetického nebo elektrického pole. Nevýhodou je ovšem extrémně úzká spektrálnı́
oblast, takže vlnovou délku čáry je třeba určit jiným způsobem. Různé typy a
modifikace interferometrů se v současné době vedle oblasti spektroskopie využı́vajı́
předevšı́m ke kontrole kvality vybroušenı́ optických ploch a normálů délek ve strojı́renstvı́.
197
5.3
Ohyb světla (difrakce)
Historický vývoj:
• Zmı́nka o pozorovánı́ ohybu světla je již v práci Leonarda da Vinci (1452 1519).
• 0hybové jevy přesně popsal Grimaldi (1665)
• Pomocı́ vlnové podstaty světla vysvětlil Fresnel (1818)
• Spojenı́m Huyghensova principu a interference matematicky popsal Kirchhoff
(1882)
• Prvnı́ přesné řešenı́ (ohyb na hraně) podal Sommerfeld (1896)
Zákon přı́močarého šı́řenı́ světla neplatı́, vyšetřujeme-li podrobně rozhranı́ mezi
osvětleným prostorem a geometrickým stı́nem. V této oblasti docházı́ k nerovnoměrnému rozloženı́ intenzity - k ohybu světla. Ohybové jevy patřı́ k jednomu z teoreticky
nejobtı́žnějšı́ch problémů optiky. Přesně řešitelné úlohy jsou vyjı́mečné. V zásadě se
jedná o vzájemné působenı́ elektromagnetické vlny a stı́nı́tka, je tedy třeba uvažovat
materiálové charakteristiky stı́nı́tka a geometrické uspořádánı́. Při řešenı́ se vycházı́
z Maxwellových rovnic.
Z historických důvodů se ohybové jevy dělı́ na
• Fresnelovy - divergentnı́ svazek, kulová vlnoplocha, zdroj světla je v konečné
vzdálenosti
• Fraunhoferovy - rovnoběžný svazek, rovinná vlnoplocha, zdroj světla je v
nekonečnu.
Mezi nimi nenı́ podstatného rozdı́lu.
5.3.1
Fresnelův ohyb
Augustin Jean Fresnel 1788 - 1827
Christian Huyghens 1629 - 1695
Uvedeme Fresnelův postup, který kombinuje Huyghensův princip s postulátem, že
sekundárnı́ vlny navzájem interferujı́.
198
t
t +Dt
Obrázek 5.21: Huyghensův princip. Konstrukce vlnoplochy jako tečné plochy k elementárnı́m vlnoplochám.
Huyghensův princip:
každý bod vlnoplochy je zdrojem sekundárnı́ kulové vlnoplochy. Výsledná vlnoplocha
v následujı́cı́m časovém okamžiku je tečnou plochou k těmto sekundárnı́m vlnoplochám.
Přı́klad vytvořenı́ nové vlnoplochy je znázorněn na obr. 5.21.
Ohyb na kruhovém otvoru
Na obr. 5.22 je znázorněn postup vyšetřovánı́ ohybu v přı́padě kulové vlnoplochy.
Světlo je emitováno z bodu P0 , takže vytvářı́ kulovou vlnoplochu. Amplituda v bodě
P je dána součtem přı́spěvků od jednotlivých elementů vlnoplochy ∆S. Protože
plošky ∆S jsou částı́ jedné vlnoplochy, představujı́ koherentnı́ zdroje světla (všechny
body vlnoplochy majı́ shodnou fázi), pro které platı́ vztahy, odvozené při vyšetřovánı́
interference vlněnı́. Amplituda každého přı́spěvku je úměrná ploše elementu ∆S a
klesá s rostoucı́m úhlem odkloněnı́ ϕ od původnı́ho směru šı́řenı́ světla, přičemž je
třeba přihlédnout k jeho fázi. Volba elementů ∆S je do značné mı́ry libovolná a s
výhodou se využı́vá geometrie dané úlohy.
Sčı́tánı́ amplitud s přihlédnutı́m k fázi představuje obecně dosti složitou úlohu,
ovšem v nejjednoduššı́ch přı́padech je lze nahradit obyčejným sčı́tánı́m. Amlitudu v
199
j
B
3
3
j
2
B
2
j
1
B1
B0
P0
b
P
Obrázek 5.22: Fresnelovy zóny na kulové vlnoploše.
bodě P dostaneme tak, že rozdělı́me vlnoplochu na vhodné zóny, kterým se dnes řı́ká
Fresnelovy zóny nebo Fresnelova pásma. Nynı́ budeme zjišt’ovat výsledek interference
přı́spěvků od jednotlivých zón v bodě P . Zóny vytvořı́me tak, aby vzdálenost od
bodu P k okraji každé následujı́cı́ zóny vzrostla o polovinu vlnové délky světla.
B0 P = b
B1 P = B0 P + λ/2
B2 P = B1 P + λ/2 = B0 P + 2 × λ/2
B3 P = B2 P + λ/2 = B0 P + 3 × λ/2
..
.
Bj P = Bj−1 P + λ/2 = B0 P + j × λ/2
Vidı́me, že prvnı́ zóna má tvar kruhu a ostatnı́ zóny majı́ tvar kruhových mezikružı́
na kulovém vrchlı́ku vlnoplochy. Přı́spěvek k amplitudě v bodě P bude úměrný
velikosti plochy přı́slušné Fresnelovy zóny. Spočtěme proto velikost Fresnelových zón.
Podle označenı́ na obrázku 5.23 s využitı́m pravoúhlých trojúhelnı́ků dostaneme:
Ã
%2j
=
r02
λ
− (r0 − xj ) = b + j
2
2
2 r0 xj − x2j = j b λ + j 2
200
!2
− (b + xj )2
λ2
− 2 b xj − x2j
4
Bj
r0
P0
r
j
x
j
B0
b
P
Obrázek 5.23: Poloměr j−té Fresnelovy zóny na kulové vlnoploše.
λ2
4
Poslednı́ člen na pravé straně rovnice zanedbáme vůči ostatnı́m členům a z rovnice
spočteme xj
j bλ
.
.
xj =
2 (r0 + b)
2 r 0 xj = j b λ − 2 b x j + j 2
Velikost xj je řádově j λ/2, takže x2j bude mnohem menšı́ než člen 2 r0 xj . Potom
čtverec poloměru j−té zóny bude
j r0 b λ
.
%2j = 2 r0 xj =
r0 + b
(5.104)
Plocha Sj j−té zóny bude přibližně dána výrazem
r0 b λ
.
.
Sj = π%2j+1 − π%2j = π
r0 + b
(5.105)
Všechny zóny majı́ tedy v tomto přiblı́ženı́ stejnou plochu.
Jelikož se s růstem čı́sla zóny zvětšuje úhel odklonu od původnı́ho směru šı́řenı́
paprsku ϕj , budou amplitudy přı́spěvků postupně klesat,
E1 > E2 > E3 > . . . > Ej−1 > Ej .
(5.106)
Protože každá dalšı́ zóna má střednı́ vzdálenost od bodu P většı́ o polovinu vlnové
délky, budou se přı́spěvky v důsledku interference střı́davě odčı́tat a sčı́tat (přı́spěvky
od sousednı́ch zón přidou v opačné fázi):
E = E1 − E2 + E3 − . . . Ej .
201
(5.107)
Tuto řadu lze zjednodušeně upravit na tvar
µ
¶
µ
¶
µ
E1
E1
E3
E3
E5
E5
E=
+
− E2 +
+
− E4 +
+
− ...
2
2
2
2
2
2
¶
(5.108)
Výrazy v závorkách budou vzhledem ke vztahu (5.106) téměř nulové. Máme-li celkem
n zón, bude výsledná amplituda, daná součtem řady (5.108) rovna
. E1 En
E=
+
2
2
(5.109)
pro n liché a
. E1 En
E=
−
(5.110)
2
2
pro n sudé, nebot’ ve druhém přı́padě bude poslednı́ závorka v součtové řadě
µ
¶
µ
¶
En−1
En−1 En
En
−
− En =
−
.
2
2
| 2 {z 2 }
≈0
Výsledná amplituda interferujı́cı́ch přı́spěvků od Fresnelových zón bude tedy v bodě
P dána vztahy
+ pro n- liché
. E1 En
±
E=
2
2
(5.111)
- pro n- sudé
Nynı́ si rozeberme důsledky vztahu (5.111) pro některé typické přı́pady.
• Ničı́m neomezená kulová nebo rovinná vlnoplocha (rovinnou vlnoplochu dostaneme
z kulové jako limitu pro r0 → ∞)
V tomto přı́padě bude n → ∞, ϕn → π/2 a En → 0.
1
E1
2
Amplituda v bodě P na ose šı́řenı́ vlněnı́ bude polovičnı́ než činı́ přı́spěvek
prvnı́ Fresnelovy zóny. Intenzita světla v přı́padě, že žádnou clonku do cesty
nepostavı́me, bude čtyřikrát menšı́ než intenzita světla, které projde otvorem
o průměru prvnı́ Fresnelovy zóny.
E∞ =
• Postupně zvětšujme otvor clonky a odkrývejme jednotlivé Fresnelovy zóny:
n=1
n=2
n=3
E = E1 = 2 E∞
.
E = E1 − E2 = 0
. E1 E3
.
E = E1 − E2 + E3 = 2 E∞ =
+
2
2
..
.
V bodě P budeme pozorovat střı́davě světlý nebo tmavý proužek (kroužek),
podle toho, zda otvor clonky propustı́ lichý nebo sudý počet Fresnelových zón.
202
• Zakryjme kruhovým stı́nı́tkem prvnı́ Fresnelovu zónu. Výslednou amplitudu
světla ve shodě s (5.107) dostaneme jako součet řady
. 1
.
E = −E2 + E3 − E4 + . . . = − E2 = −E∞ ,
2
t.j. mı́sto očekávaného stı́nu pozorujeme téměř stejnou intenzitu světla, jako
by tam byla při nezakrytém čelu vlny. Podobný výsledek dostaneme i při
zakrytı́ dvou, třı́ nebo i vı́ce Fresnelových zón. Teprve při zakrytı́ většı́ části čela
vlny intenzita zeslábne, nebot’ přı́spěvky zón s vysokým n jsou kvůli velkému
odkloněnı́ od směru šı́řenı́ velmi slabé.
Výsledek, že intenzita světla za stı́nı́tkem, zakrývajı́cı́m prvnı́ Fresnelovu zónu
je téměř stejná jako při nezakrytém čelu vlny byl odvozen Poissonem roku 1818 a
experimentálně jej potvrdil později Arago.
r
j
P
b
Obrázek 5.24: Geometrie Fresnelova ohybu.
Pozorovánı́ Fresnelova ohybového jevu závisı́ na geometrii uspořádánı́ (Obr.
5.24). Vyjděme ze vztahu (5.104) pro čtverec poloměru j−té zóny a spočtěme j:
%2 (r0 + b)
. j r0 b λ
⇒j=
%2j =
r0 + b
λ r0 b
(5.112)
Zde j určuje počet zón, které se vejdou do otvoru ve stı́nı́tku s poloměrem %.
Pro rovinnou vlnoplochu (r0 → ∞) dostaneme
jr0 →∞
%2
%
=
= tan ϕ
λb
λ
203
(5.113)
kde ϕ je úhel, pod kterým vidı́me poloměr otvoru z bodu P .
Výrazné ohybové jevy pozorujeme, pokud je j malé, nebot’ podle (5.111) změna o
jedno pásmo vlivem posuvu bodu P vede ke kolı́sánı́ výsledné amplitudy téměř mezi
nulou a hodnotou E1 . Podle právě odvozeného vztahu bude v přı́padě % ≈ λ j malé
i pro velká tan ϕ, takže pro otvory o průměru srovnatelném s vlnovou délkou světla
pozorujeme výraznou difrakci. Pokud má clona makroskopické rozměry, t.j. % À λ,
musı́ být tan ϕ ≈ 0, abychom dostali j malé. Výrazné ohybové jevy pozorujeme
jenom ve velké vzdálenosti za překážkou, na které k ohybu docházı́.
• Přı́klad 1:
Jaký poloměr má prvnı́ Fresnelova zóna, jestliže otvor pozorujeme ze vzdálenosti
50 m ve světle s vlnovou délkou 500 nm?
r →∞
0
j b λ ⇒ %21 = 1 × 50 × 500 × 10−9 m2 = 25 × 10−6 m2
%2j −→
%1 = 5 × 10−3 m = 5 mm.
Na otvoru s makroskopickými rozměry (průměr 1 cm) budeme ve velké vzdálenosti
pozorovat výrazný ohybový jev.
• Přı́klad 2:
Kolik pásem se vejde do otvoru o poloměru % = 5 mm, pozorujeme-li jej ze
vzdálenosti b = 50 cm ve světle s vlnovou délkou λ = 500 nm?
j=
%2
25 × 10−6
25 × 10−6
=
=
= 100.
bλ
0, 5 × 500 × 10−9
25 × 10−8
V malé vzdálenosti za otvorem makroskopických rozměrů ohybové jevy pozorovat nebudeme, protože přı́spěvky od zón s velkým čı́slem jsou malé. Budemeli se s bodem P od clony postupně vzdalovat, bude se postupně počet zón, které
se vejdou do otvoru v cloně zmenšovat ze sta na 99, 98, 97, atd. Výsledná amplituda bude podle vztahu (5.111) kolı́sat o polovinu přı́spěvku poslednı́ zóny,
který je právě pro zóny s vysokým čı́slem velmi malý, takže kolı́sánı́ se téměř
neprojevı́ a ohybový jev je prakticky nepozorovatelný.
Výše uvedený postup zı́skánı́ výsledné amplitudy ohybového jevu můžeme zpřesnit s pomocı́ fázorů. Čelo vlny rozdělı́me na libovolně úzká pásma a postupujeme
opět podle Fresnelova předpokladu. Každé pásmo přispı́vá svou amplitudou Aj
s ohledem na fázi δj . Rozdělı́me-li např. každou Fresnelovu zónu na šest pásem,
dostaneme fázorové diagramy podle obr. 5.25. Přı́spěvek od 1. Fresnelovy zóny
složı́me z přı́spěvků od šesti pásem, přı́spěvek prvnı́ch dvou zón z přı́spěvků od
12 pásem atd. V limitě, kdy šı́řka pásem bude konvergovat k nule, přejde diagram v
plynulou spirálovitou křivku na obr. vpravo. Výsledná amplituda E ohybového jevu
na otvoru, jehož průměr se nerovná celému násobku Fresnelových zón, se dostane
jako spojnice počátku s bodem Q na křivce, odpovı́dajı́cı́m přı́spěvku od pásma
těsně u okraje otvoru. Ve znázorněném přı́padě by otvor částečně odkrýval pouze
prvnı́ Fresnelovu zónu. Pokud by střed clonky byl neprůhledný a otvor by měl tvar
204
Q
E2 E1
E1
Aj d
j
E
0
0
0
Obrázek 5.25: Jemnějšı́ dělenı́ Fresnelových zón.
prstence, byl by počátek fázoru výsledné amplitudy v tom bodě křivky, který by
odpovı́dal přı́spěvku od pásma nejbližšı́ho k vnitřnı́mu okraji prstencového otvoru
clony. Na pravém diagramu je též znázorněna amplituda E∞ zcela odkrytého čela
vlny v bodě P .
Při ohybu na kruhovém otvoru budeme vzhledem k symetrii pozorovat světlé a
tmavé ohybové kroužku se středem na optické ose. V bodech P 0 mimo osu zjistı́me
amplitudu analogickým postupem jako v bodě na ose, Fresnelova pásma jsou ovšem
excentrická. Ohybové obrázky pro Fresnelův ohyb na kruhovém otvoru nebo kruhové
cloně jsou na obr.5.26. V přı́padě otvoru je střednı́ kroužek bud’ světlý nebo tmavý,
podle toho, zda otvor pozorovaný z bodu P obsáhne lichý nebo sudý počet Fresnelových zón. V přı́padě kruhového stı́nı́tka je střednı́ kroužek vždy světlý (viz výše).
Jestliže má stı́nı́tko velký průměr, zakryje mnoho Fresnelových zón a světlý kroužek
v bodě P na ose bude slabý a těžko pozorovatelný.
Závěrem je možno shrnout, že k ohybovým jevům docházı́ vždy. Nakolik výrazně
se projevı́ je dáno geometriı́ uspořádánı́, tedy parametry r0 , b a λ. Nedostatkem
Fresnelova přı́stupu je nespecifikovaná závislost intensity na úhlu odklonu ϕ a nerespektovánı́ ”zadnı́ho čela” vlny, tedy přı́spěvků od zón na opačné straně vlnoplochy.
Ohyb na hraně
Pro jednoduchost budeme podle obr. 5.27 uvažovat přı́pad rovinné vlny. Protože
zde nenı́ kulová symetrie, vytvořı́me pásma jako úzké proužky o šı́řce ∆, rovnoběžné
s hranou, na které docházı́ k ohybu. Proužky jsou stejně široké a majı́ proto i stejnou
plochu. Přı́spěvek k amplitudě světla v bodě P na stı́nı́tku bude záviset na úhlu α,
205
a)
P'
r
b
P0
P
b)
P'
r
b
P0
P
Obrázek 5.26: Fresnelův ohyb na kruhovém otvoru (a), na kruhovém stı́nı́tku (b).
D
D
a
D
sj
a
D
P
b
geom. stín
Obrázek 5.27: Fresnelův ohyb na hraně.
který představuje odklon paprsku od původnı́ho směru šı́řenı́ a který ovlivnı́ jak
amplitudu, tak i jeho fázi. Fáze přı́spěvku od prvnı́ho pásma bude vůči přı́spěvku
206
od základnı́ho pásma posunuta o úhel, který dostaneme z dráhového rozdı́lu:
s21 = b2 + ∆2
s22 = b2 + (2 ∆)2
..
.
2
sj = b2 + (j ∆)2
Prakticky je ∆ ¿ b, takže vzdálenost k počátku j−tého pásma můžeme napsat
přibližně
1 2 2
.
sj = b +
j ∆.
2b
Vidı́me, že dráhový rozdı́l sj − b narůstá kvadraticky s rostoucı́m čı́slem pásma,
takže i fáze přı́spěvků od jednotlivých pásem, 2 π/λ0 × (sj − b), se bude kvadraticky
zvětšovat. V limitě ∆ → 0 dostaneme z fázorového diagramu tak zvanou Cornuovu
spirálu, znázorněnou schematicky na obr. 5.28. Pravá polovina spirály odpovı́dá
přı́spěvkům od hornı́ poloroviny, levá přı́spěvkům od dolnı́ poloroviny dopadajı́cı́
vlny. Levá polovina spirály by se správně měla překrývat s pravou polovinou, nebot’
přı́spěvky od j−tého pásma z hornı́ i dolnı́ poloroviny vůči patě kolmice vedené
z bodu P na rovinu hrany urazı́ stejnou dráhu a tı́m majı́ i stejnou fázi. Když
levou polovinu spirály kvůli přehlednosti na obrázku zrcadlově otočı́me, dostane se
výsledná amplituda jako spojnice dvou bodů na spirále a nikoliv jako součet dvou
fázorů.
Jestliže bude bod P ležet právě na geometrickém rozhranı́ světla a stı́nu, bude
výsledná amplituda dána fázorem, spojujı́cı́m počátek souřadnic s koncovým bodem spirály vpravo. Jestliže se posune do osvětlené části nad hranici geometrického
stı́nu (to je znázorněno na obr. 5.27), začı́najı́ přispı́vat i pásma ležı́cı́ v dolnı́
polorovině a amplitudu výsledného vlněnı́ dostaneme jako spojnici bodu na levé
spirále, odpovı́dajı́cı́ho přı́spěvku od nejvdálenějšı́ho odkrytého pásma dolnı́ poloroviny
vlnoplochy a koncového bodu pravé poloviny Cornuovy spirály (E∞ + Ej0 na obr.
5.28). Vidı́me, že s posuvem bodu na stı́nı́tku z hranice geometrického stı́nu do
osvětlené části se zvětšuje počet přı́spı́vajı́cı́ch pásem ze spodnı́ poloroviny, takže
počátečnı́ bod se pohybuje po spirálách levé křivky. Velikost výsledné amplitudy tak
bude kolı́sat podle toho, zda bude na vzdálenějšı́ či blı́žšı́ části spirály k počátku. Intenzita světla ohybového jevu tedy bude v blı́zkosti rozhranı́ osvětlené a neosvětlené
části stı́nı́tka periodicky kolı́sat, přičemž rozdı́ly mezi maximy a minimy se postupně zmenšujı́, jak se počátečnı́ bod blı́žı́ ke středu levé spirály, t.j. čı́m dále se bod
P vzdaluje od hranice stı́nu do osvětlené části stı́nı́tka. Jestliže se posouváme od
rozhranı́ světla a stı́nu do neosvětlené části, bude intenzita světla plynule a rychle
klesat. Odpovı́dá to tomu, že počátečnı́ bod výsledného fázoru se na Cornuově spirále
posouvá z počátku souřadnic doprava a konečný zůstává na konci pravé spirály
(E∞ − Ej0 na obr. 5.28). Délka výsledného fázoru tedy plynule klesá.
Speciálnı́m přı́padem Fresnelova ohybu na hraně je ohyb na lineárnı́ štěrbině.
Výsledek je znázorněn na obr. 5.29. Kolı́sánı́ intenzity světla uvnitř štěrbiny je
samozřejmě symetrické vůči ose štěrbiny.
207
Im E
E - E 'j
'
svìtlo
Re E
stín
J
Obrázek 5.28: Cornuova spirála.Vpravo je znázorněn průběh intenzity světla na
rozhranı́ světla a stı́nu.
J
Obrázek 5.29: Fresnelův ohyb na štěrbině.
208
5.3.2
Fraunhoferův ohyb
Joseph Fraunhofer 1787 - 1826
V přı́padě Fraunhoferovy difrakce uvažujeme rovnoběžné paprsky, tedy rovinnou
vlnoplochu. Zdroj světla se nacházı́ v nekonečnu. Výsledek difrakce pozorujeme na
stı́nı́tku v ohniskové rovině spojné čočky. V přı́padě rovnoběžných paprsků lze užı́t
jednoduše interferenčnı́ princip, nenı́ třeba konstruovat Fresnelovy zóny.
Ohyb na štěrbině
Na obr. 30 máme znázorněný Fraunhoferův ohyb na lineárnı́ štěrbině. Paprsky
dopadajı́ na rovinu štěrbiny shora a jsou rovnoběžné. V rovině štěrbiny majı́ shodnou
fázi, nebot’ jsou částı́ jediné rovinné vlnoplochy. Ptáme se, jaké bude v důsledku ohybového jevu rozdělenı́ intenzity světla ve směru odkloněném o úhel ϕ od původnı́ho
směru šı́řenı́.
b
0
x
dx
j
j
D(x)
x
Obrázek 5.30: Fraunhoferův ohyb na štěrbině.
Výslednou amplitudu ohybového jevu dostaneme opět s pomocı́ fázorů. Položı́me
osu x do směru kolmého na štěrbinu a podle obr. 5.30 rozdělı́me šı́řku štěrbiny na
pásma dx. Přı́spěvky dE od těchto pásem k výsledné amplitudě budou úměrné
nějaké funkci K(ϕ) úhlu odkloněnı́ ϕ a šı́řce pásma dx:
dE = K(ϕ) dx .
209
Dále musı́me vzhledem k interferenci uvážit fázový posun jednotlivých přı́spěvků.
Přı́spěvek ve vzdálenosti x od okraje štěrbiny bude mı́t oproti přı́spěvku z okraje
(x = 0) štěrbiny dráhový posuv
∆(x) = x sin ϕ
a tomu odpovı́dajı́cı́ fázový posuv
δ(x) =
2π
x sin ϕ = k x sin ϕ
λ
kde k je velikost vlnového vektoru světla.
Přı́spěvek od pásma dx bude tedy kompletně popsán fázorem
∧
dE= K(ϕ)ej (k x sin ϕ−ω t) dx .
(5.114)
Výslednou amplitudu vektoru elektrického pole světelné vlny, odkloněné vlivem
ohybového jevu o úhel ϕ vůči dopadajı́cı́ vlně, dostaneme podle (5.44) bud’ jako
”vektorový” součet fázorů ve fázorovém diagramu, nebo jako součet komplexnı́ch
přı́spěvků typu (5.114), kde x proběhne celou šı́řku štěrbiny. Když necháme dx → 0,
přejde sumace v integraci, takže výsledná amplituda bude dána integrálem
∧
−j ω t
K(ϕ)
E ϕ= e
Z b
0
ej k x sin ϕ dx
(5.115)
Integrál přes šı́řku štěrbiny postupně upravı́me:
Z b
0
j k x sin ϕ
e
1
i
1
ej k b sin ϕ − 1
e 2 j k b sin ϕ h 1 j k b sin ϕ
dx =
=
e2
− e − 2 j k b sin ϕ
j k sin ϕ
j k sin ϕ
Výraz v hranatých závorkách je podle Eulerova vzorce roven
h
1
µ
i
1
e 2 j k b sin ϕ − e − 2 j k b sin ϕ = 2 j sin
¶
1
k b sin ϕ .
2
Výsledná amplituda tedy bude
µ
¶
1
2 K(ϕ)
1
sin
k b sin ϕ e j ( 2 k b sin ϕ−ω t)
E ϕ=
k sin ϕ
2
∧
(5.116)
Jejı́ reálná a komplexnı́ část budou
∧
Re Eϕ
∧
Im Eϕ
µ
¶
µ
¶
2 K(ϕ)
1
1
sin
k b sin ϕ cos
k b sin ϕ − ω t
=
k sin ϕ
2
2
µ
¶
µ
¶
1
1
2 K(ϕ)
sin
k b sin ϕ sin
k b sin ϕ − ω t
=
k sin ϕ
2
2
(5.117)
(5.118)
Velikost výsledné amplitudy bude
µ
¶
2 K(ϕ)
1
sin
k b sin ϕ .
|E ϕ | = Eϕ =
k sin ϕ
2
∧
210
(5.119)
Tento výraz dále upravı́me na tvar:
Eϕ = b K(ϕ)
³
sin
1
2
1
2
k b sin ϕ
´
k b sin ϕ
.
.
Jestliže se omezı́me pouze na malé úhly odklonu ϕ, můžeme položit K(ϕ) = 1 a
jestliže dále označı́me b K(ϕ) = A, dostaneme výslednou amplitudu ve tvaru
Eϕ = A
sin
³
1
2
1
2
k b sin ϕ
k b sin ϕ
´
=A
sin α
α
kde α =
1
k b sin ϕ .
2
(5.120)
Intenzita světla, odkloněného vlivem ohybového jevu na štěrbině do směru určeného
úhlemϕ, bude tedy úměrná čtverci amplitudy:
Jϕ = J0
sin2 α
α2
(5.121)
kde J0 je jejı́ maximálnı́ hodnota a jejı́ závislost na úhlu α je schematicky znázorněna
na obr. 5.31.
Rozeberme si nynı́ průběh intenzity světla v závislosti na úhlu odkloněnı́ paprsků
od původnı́ho směru šı́řenı́:
J
l
- 3_
b
l
-2_
b
l
-_
b
l
_
b
0
l
2_
b
l
3_
b
Obrázek 5.31: Intenzita světla za štěrbinou.
211
sin j
• α = 0. Limita výrazu sin2 α/α2 pro α → 0 je rovna jedné, takže dostáváme
maximum Jϕ = J0 . Platı́, že α = 0 pro ϕ = 0. V původnı́m směru šı́řenı́
dostáváme t.zv. hlavnı́ maximum.
• α = ± m π, kde m = 1, 2, . . . je přirozené čı́slo. Pro tyto úhly odklonu je
sin α = 0 a proto i Jϕ = 0, dostáváme tedy minima intenzity. Nastanou pro
úhly odklonu dané vztahy
α=
1
k b sin ϕ = ± m π
2
⇒
sin ϕ = ± m
λ
.
b
(5.122)
• Mezi minimy intenzity ležı́ t.zv. vedlejšı́ maxima. Úhly odkloněnı́ pro tato
maxima dostaneme z podmı́nky pro extrém funkce, dJϕ /dα = 0, která vede
na řešenı́ transcendentnı́ rovnice
tan α = α
Vedlejšı́ maxima ležı́ přibližně v polovině vzdálenosti mezi minimy, tedy
3π
5π
7π
.
α=±
; ±
; ±
; ...
2
2
2
nebo
3λ
5λ
7λ
.
sin ϕ = ±
; ±
; ±
;...
2b
2b
2b
Vypočtená poloha a relativnı́ intenzita maxim je v následujı́cı́ tabulce:
±α [rad]
J/J0
0
4,493
7,725
10,90
14,07
..
.
1
0,04718
0,01694
0,00834
0,00503
..
.
Z tabulky a obr. 5.31 je zřejmé, že největšı́ část dopadajı́cı́ intenzity světla je
důsledkem ohybového jevu soustředěna ve středovém proužku mezi úhly ±λ/b.
Nejsilnějšı́ vedlejšı́ maximum představuje méně než 5% výšky hlavnı́ho maxima.
Poloha maxim a minim závisı́ na vlnové délce světla λ a na šı́řce štěrbiny b. Protože
| sin ϕ | ≤ 1, musı́ vzhledem k (5.122) platit vztahy
|m
λ
|≤ 1
b
⇒ | m |≤
b
λ
Vidı́me, že pro široké štěrbiny makroskopických rozměrů máme velký počet vedlejšı́ch
maxim, která jsou blı́zko sebe. Protože λ/b je velmi malé, bude šı́řka hlavnı́ho ma.
xima ∆ϕ = ∆ sin ϕ = 2 λ/b rovněž velmi malá a dostáváme vlastně paprsek, geometrické šı́řenı́ světla, kdy se ohybový jev prakticky neprojevı́. Naopak, když bude
šı́řka štěrbiny srovnatelná s vlnovou délkou světla, b → λ, počet vedlejšı́ch maxim
212
m se bude snižovat a maxima se budou rozšiřovat. Jejich intenzita se relativně vůči
centrálnı́mu maximu nebude měnit, ovšem absolutně poroste, nebot’ dopadajı́cı́ intenzita se rozdělı́ na menšı́ počet maxim. Současně převládne hlavnı́ maximum, které
se podstatně rozšı́řı́, takže pozorujeme výrazný ohybový jev. Pro λ = b nastane prvnı́
minimum pro paprsky, odkloněné o úhel 90o proti směru dopadu. Středové hlavnı́
maximum se tedy rozšı́řı́ na celý poloprostor za štěrbinou, intenzita osvětlenı́ stı́nı́tka
bude slabá (štěrbina je extrémně úzká, takže projde jen nepatrná část vlnoplochy)
a bude klesat směrem ke krajům. V přı́padě, že b < λ se uvedený postup již nedá
použı́t.
V přı́padě Fraunhoferova ohybu na kruhovém otvoru je odvozenı́ rozdělenı́ intenzity v ohybovém jevu obtı́žnějšı́. Na stı́nı́tku pozorujeme vzhledem k symetrii
systému světlé a tmavé ohybové kroužky. Úhel odklonu prvnı́ho minima bude
λ
λ
.
ϕ = 0, 61 = 1, 22
a
2a
(5.123)
kde a je poloměr otvoru. Je tedy poněkud většı́, než by byl v přı́padě lineárnı́ štěrbiny
o šı́řce b = 2 a. V centrálnı́m světlém kroužku je soustředěno 84% intenzity světla.
Ohyb a interference na optické mřı́žce
d
b
j
j
d sin j
Obrázek 5.32: Ohyb na optické mřı́žce.
Jako optická mřı́žka se označuje soustava rovnoběžných, stejně vzdálených a
stejně širokých štěrbin. Mřı́žka se vyrábı́ vyrytı́m soustavy rovnoběžných vrypů diamantovým hrotem do vhodné skleněné nebo kovové destičky, přı́padně se vyrábı́
s pomocı́ fotolitografických technik a holografie. Jako štěrbiny sloužı́ neporušené
213
proužky mezi vrypy. Originálnı́ mřı́žka sloužı́ k výrobě kopiı́, t.zv. replik, které jsou
podstatně levnějšı́. Mřı́žky určené pro spektroskopii v blı́zké infračervené, viditelné
a blı́zké ultrafialové části spektra majı́ typicky 300 - 2400 vrypů na 1 mm šı́řky.
Na obr. 5.32 je znázorněn chod paprsků mřı́žkou, jestliže dopadajı́cı́ paprsky jsou
kolmé na rovinu mřı́žky, takže vlnoplocha dopadajı́cı́ vlny je rovnoběžná s rovinou
mřı́žky. Vzdálenost štěrbin d se nazývá mřı́žková konstanta a šı́řka každé štěrbiny
je označena b. Na každé jednotlivé stěrbině bude docházet k ohybovému jevu a do
směru určenému úhlem ϕ bude odkláněna intenzita, daná vztahem (5.121). Paprsky
od jednotlivých štěrbin spolu budou dále interferovat. Máme zde tedy opět interferenci mnoha svazků, jako v přı́padě vı́cenásobných odrazů na dielektrické vrstvě,
probı́raném v odstavci 5.2.3. Výslednou amplitudu dostaneme opět nejsnadněji s pomocı́ fázorů. Přı́spěvek Eϕ každé štěrbiny bude stejně velký, ovšem bude posunutý o
fázový úhel δ, který dostaneme z dráhového rozdı́lu paprsků od sousednı́ch štěrbin.
Z obr. 5.25 je zřejmé, že dráhový rozdı́l ∆ dvou sousednı́ch paprsků bude
∆ = d sin ϕ ,
(5.124)
takže jejich fázový rozdı́l bude
δ=
2π
2π
∆=
d sin ϕ = k d sin ϕ ,
λ
λ
(5.125)
kde k je vlnočet světla. Jestliže označı́me N celkový počet štěrbin mřı́žky, dostaneme
výslednou amplitudu vlněnı́, odkloněného o úhel ϕ od původnı́ho směru, jako součet
∧
jδ
E = Eϕ + Eϕ e
+ Eϕ e2 j δ + . . . + Eϕ e(N −1) j δ .
(5.126)
To je součet N členů geometrické posloupnosti s kvocientem q = ej δ . Na rozdı́l od
interference na dielektrické vrstvě je nynı́ velikost kvocientu | q| = 1, takže součet
posloupnosti bude
∧
1 − qN
1 − eN j δ
= Eϕ
(5.127)
E = Eϕ
1−q
1 − ej δ
Označme nynı́ analogicky k výrazu (5.120)
β=
1
1
δ = k d sin ϕ
2
2
(5.128)
a upravme dále výraz pro výslednou amplitudu:
∧
E = Eϕ
1 − e2 N j β
ej N β e−j N β − ej N β
sin N β
=
E
= Eϕ ej (N −1) β
ϕ
2
j
β
jβ
−jβ
jβ
1−e
e
e
−e
sin β
kde jsme využili Eulerův vzorec k poslednı́ úpravě vpravo.
Reálná a imaginárnı́ část komplexnı́ výsledné amplitudy jsou dány vztahy:
sin N β
cos[(N − 1) β]
sin β
∧
sin N β
Im E = Eϕ
sin[(N − 1) β)]
sin β
∧
Re E = Eϕ
214
(5.129)
(5.130)
Velikost výsledné amplitudy bude po dosazenı́ za Eϕ ze vztahu (5.120) dána výrazem
∧
E=|E|=A
sin α sin N β
,
α
sin β
(5.131)
kde A = b K(ϕ) a
α =
1
π
k b sin ϕ = b sin ϕ
2
λ
(5.132)
β =
1
π
k d sin ϕ = d sin ϕ
2
λ
Intenzita světla, odkloněného mřı́žkou pod úhlem ϕ, bude úměrná čtverci amplitudy:
J = J0
sin2 α sin2 (N β)
= f (α) g(β) .
α2
sin2 β
(5.133)
Vidı́me, že výraz vyjadřujı́cı́ interferenci mnoha svazků (funkce g(β)) je modulován
rozloženı́m intenzity v ohybovém jevu na jedné štěrbině (funkce f (α)).
Nynı́ najdeme směry, ve kterých pozorujeme maxima a minima intenzity. K tomu
derivujeme funkce proměnných f (α) a g(β) ve vztahu (5.133) podle proměnných.
Rozloženı́ intenzity světla v ohybovém jevu na jedné štěrbině (funkce f (α)) jsme
si již odvodili výše a znázorněnı́ je na obr. 5.31:
• Hlavnı́ maximum pozorujeme pro α = 0, t.j. sin ϕ = 0.
• Minima nastanou pro α = ± m π, t.j. pro sin ϕ = ± m λ/b, kde m = 1, 2, . . .
je přirozené čı́slo.
.
• Vedlejšı́ maxima pozorujeme přibližně uprostřed mezi minimy, tedy pro α =
.
± (2 m + 1) π/2 nebo sin ϕ = ± (2 m + 1) λ/(2 b).
Funkce g(β), která popisuje interferenci svazků procházejı́cı́ch jednotlivými štěrbinami,
má extrémy v následujı́cı́ch směrech:
• Hlavnı́ maxima pozorujeme pro směry β = ± m π, t.j. pro sin ϕ = ± m λ/d,
kde m = 0, 1, 2, . . . označuje řád maxima.
• Minima nastanou pro β N = ± p π, kde p je přirozené čı́slo, a současně musı́
platit β 6= ± m π, aby nenastalo hlavnı́ maximum. Je to pro úhly, splňujı́cı́
vztah sin ϕ = ± p λ/(N d), kde musı́ platit p/N 6= m = 0, 1, 2, . . ..
• Vedlejšı́ maxima dostaneme z řešenı́ rovnice tan N β = N tan β. Budou opět
.
.
π
přibližně uprostřed mezi minimy, tedy ve směrech β = ± 2 p+1
nebo sin ϕ =
2
N
λ
, kde p = 1, 2, . . . jsou přirozená čı́sla.
± 2 p+1
2
Nd
V nultém řádu (v původnı́m směru šı́řenı́) nastane maximum pro všechny vlnové
délky světla. V prvnı́m a vyššı́ch řádech dojde k rozkladu světla podle vlnových
délek, různé vlnové délky majı́ maxima v poněkud jiných směrech. Hlavnı́ maxima
215
tedy pozorujeme tehdy, je-li dráhový rozdı́l mezi paprsky od sousednı́ch štěrbin ∆
roven celému násobku vlnové délky.
∆ = d sin ϕ = ± m λ .
Hlavnı́ maxima
(5.134)
Mezi hlavnı́mi maximy pozorujeme vždy N − 1 minim, ve kterých je nulová
intenzita a N − 2 vedlejšı́ch maxim. V přı́padě velkého počtu štěrbin N jsou hlavnı́
maxima velmi ostrá a vysoká, nebot’
lim g(β) = N 2
β→mπ
.
a jejich úhlová šı́řka, daná polohou nejbližšı́ch minim, 2 sin ϕ = 2 ϕ = 2 λ/(N d)
naopak konverguje k nule. Součin N d vlastně představuje celkovou šı́řku optické
mřı́žky. Závislost intenzity v maximu na N 2 je důsledkem interference, kdyby byly
štěrbiny rozloženy náhodně, byla by intenzita úměrná pouze prvnı́ mocnině N .
Odhadněme nynı́ intenzitu v prvnı́m vedlejšı́m maximu. To nastane přibližně pro
. 3 π
β = 2 N:
sin2 N β . sin2 32 π . 1
4 N2 .
J∼
=
= 2 =
= 0.045N 2
2
2
2
β
β
9π
sin β
Vidı́me, že ve vedlejšı́m maximu je intenzita světla rovna přibližně 4,5% velikosti
intenzity v hlavnı́m maximu. Jelikož je hodnota funkce sinus rovna nejvýše jednotce,
dostaneme omezenı́ pro nejvyššı́ řád interference na mřı́žce (paprsky se mohou odklonit nejvýše o 90◦ ):
sin ϕ ≤ 1
⇒
m
λ
≤1
d
⇒
mmax ≤
d
λ
(5.135)
V přı́padě velké mřı́žkové konstanty, d À λ, dostáváme velký počet řádů, světlo
se za mřı́žkou málo odklánı́ od původnı́ho směru a rozklad podle vlnových délek
je málo výrazný. Naopak, jestliže je vdálenost štěrbin mřı́žky srovnatelná s vlnovou
délkou, d ≥ λ, dostaneme za mřı́žkou pouze malý počet řádů a světlo se silně odklánı́
a rozkládá do širokého spektra podle vlnových délek.
Na obr. 5.33 je schematické znázorněnı́ ohybu na optické mřı́žce, která má 6
štěrbin, přičemž šı́řka štěrbin je shodná s šı́řkou nepropustné mezery mezi štěrbinami.
V hornı́ části obrázku je znázorněno rozloženı́ intenzity světla v důsledku interference
svazků od jednotlivých štěrbin. Mezi hlavnı́mi maximy je vždy pět minim a čtyři
vedlejšı́ maxima, jejichž intenzita je pro názornost relativně zvýšena. Uprostřed je
rozloženı́ intenzity Fraunhoferova ohybu na jedné štěrbině. Vidı́me, že ve směru
určeném úhlem sin ϕ = ±λ/b = ±2λ/d, kde bychom měli pozorovat druhý řád interference mnoha svazků, je minimum ohybu na štěrbině, takže do tohoto směru se
žádná intenzita světla nedostává. Mı́sto maxima tam pak pozorujeme nulové minimum, jak je znázorněno ve spodnı́ části obr. 5.33. Úhlové rozloženı́ intenzity světla
vyplývajı́cı́ z interference mnoha svazků je tedy modulováno úhlovým rozloženı́m
intenzity, které je důsledkem ohybu na štěrbině. Ve znázorněném přı́padě by se k
rozkladu světla dalo využı́t prvnı́ho řádu interference nebo přı́padně až 3. řádu,
který by byl ovšem silně oslaben ohybovým jevem na štěrbině. Pokud by byl poměr
mřı́žkové konstanty a šı́řky štěrbiny roven např. d:b = 5:1, nastane prvnı́ ohybové
minimum pro sin ϕ = λ/b = 5λ/d, takže vymizı́ až pátý řád interference mnoha
216
d = 2b
N=6
3. øád
3
l
d
2. øád
1. øád
l
d
l
d
2
0. øád
1. øád
l
d
0
2. øád
2
l
d
a)
l
b
b)
3. øád
3
l
d
2. øád
1. øád
l
d
l
d
2
l
b
0
0. øád
1. øád
l
d
0
c)
l
d
sin j
3
sin j
2. øád
2
3. øád
l
d
3. øád
l
d
sin j
3
Obrázek 5.33: Ohyb na optické mřı́žce v závislosti na sinu úhlu odkloněnı́ ϕ. Ohyb
je schematicky znázorněn pro mřı́žku, která má 6 štěrbin a šı́řka štěrbin je rovna
polovině mřı́žkové konstanty. Intenzita vedlejšı́ch maxim je pro většı́ názornost
zvýrazněna. a) Intenzita světla v interferenci mnoha svazků. b) Ohybový jev na
jedné štěrbině. c) Modulace interference mnoha svazků ohybem na štěrbině.
217
svazků a v prvnı́m ohybovém maximu budeme pozorovat prvnı́ až čtvrtý řád interference.
Základnı́ charakteristiky spektrálnı́ch přı́strojů.
Optická mřı́žká sehrála mimořádnou roli ve zlepšovánı́ parametrů spektrálnı́ch
přı́strojů. Základnı́m spektrálnı́m přı́strojem je monochromátor, který sloužı́ k rozkladu světla podle vlnových délek. Optické schéma klasického dispersnı́ho monochromátoru je na obr. 5.34 a,b. Zdroj světla (halogenová lampa, globar, vysokotlaká
výbojka) je čočkou nebo parabolickým zrcadlem fokusován na vstupnı́ štěrbinu (IS)
monochromátoru. Uvnitř monochromátoru vytvořı́ dalšı́ čočka kolimovaný svazek
(svazek rovnoběžných paprsků), který dopadá na dispersnı́ člen monochromátoru.
V přı́padě ad a) je to optický hranol, v přı́padě ad b) optická mřı́žka. Za dispresnı́m
členem se paprsky různých vlnových délek šı́řı́ poněkud různými směry. V přı́padě
hranolu je to důsledkem závislosti indexu lomu a tı́m i úhlu lomu na vlnové délce.
Tomuto jevu se řı́ká disperse. V přı́padě optické mřı́žky je to důsledek interference paprsků procházejı́cı́ch sousednı́mi štěrbinami (viz (5.134)). Dalšı́ čočka potom fokusuje svazek na výstupnı́ štěrbinu (OS) monochromátoru. Výstupnı́ štěrbina
vybı́rá ze spektra v ideálnı́m přı́padě monochromatický svazek (obsahujı́cı́ pouze
jedinou vlnovou délku). Dispersnı́ člen je umı́stěn na otočném optickém stolku,
takže je možno jeho otáčenı́m volit vlnovou délku, která projde výstupnı́ štěrbinou
monochromátoru.
Dispersnı́ monochromátory jsou dnes použı́vány v levnějšı́ch přı́strojı́ch, které
nevyžadujı́ špičkové technické parametry. Modernı́m přı́strojem jsou t.zv. fourierovské
spektrometry, které jsou založeny na využitı́ Michelsonova interferometru. Jednoduché
schéma Fourierova spektrometru s klasickým Michelsonovým interferometrem je na
obr. 5.34 c. Eliptické zrcadlo vytvářı́ z paprsků, emitovaných zdrojem Z, kolimovaný
svazek, který dopadá na dělič svazku (BS) interferometru. Dělič svazku obsahuje
kombinaci polopropustné destičky s kompenzačnı́ destičkou Michelsonova interferometru. Svazek je po průchodu interferometrem fokusován eliptickým zrcadlem na
vzorek Vz a dalšı́m zrcadlem na detektor spektrometru D. Zrcadlo Z2 je pohyblivé, pohybuje se periodicky konstantnı́ rychlostı́ po dráze určité délky. Jak bylo
vysvětleno v odstavci 5.2.2. v části týkajı́cı́ se Michelsonova interferometru, budeli interferometrem procházet světlo pouze jediné vlnové délky (např. světlo laseru),
bude se během pohybu zrcadla zvyšovat drahový rozdı́l mezi paprsky odraženými od
zrcadla Z1 a Z2 a tı́m bude intenzita svazku periodicky kolı́sat mezi maximem a minimem interference, podle vztahu (5.69). Výsledkem bude periodický elektrický signál
z detektoru světla, jehož frekvence bude záviset na vlnové délce světla a rychlosti
pohybu zrcadla podle vztahu (5.71). Jestliže bude interferometrem procházet světlo
obsahujı́cı́ široký spektrálnı́ interval, nastane maximum interference pro všechny
vlnové délky pouze pro nulový drahový rozdı́l, kdežto s posuvem pohyblivého zrcadla nastanou dalšı́ maxima pro různé vlnové délky v poněkud jiném okamžiku
(jiné poloze zrcadla), takže velikost následujı́cı́ch maxim se bude rychle zmenšovat.
Dostaneme t.zv. interferogram, z něhož je možno matematickou Fourierovou transformacı́ vypočı́tat rozloženı́ intenzity světla na vlnové délce v dopadajı́cı́m signálu.
He-Ne laser (L) sloužı́ k určenı́ přesné polohy zrcadla během jeho pohybu tı́m
způsobem, že jeho paprsek po průchodu interferometrem je měřen detektorem LD
218
Z
a)
IS
OS
Z
IS
b)
OS
Z1
E
Z2
LD
Z
D
E
L
BS
Vz
E
c)
Obrázek 5.34: Schematické znázorněnı́ dispersnı́ch monochromátorů a Fourierova
spektrometru. Z - zdroj světla; IS - vstupnı́ štěrbina; OS - výstupnı́ štěrbina; Z1 , Z2
- zrcadla interferometru; BS - dělič svazku; L - He-Ne laser; LD - detektor laseru; D
- detektor světla; Vz - vzorek v ohnisku; E - eliptická zrcadla.
219
a z počtu zaznamenaných maxim a minim se počı́tá přesná poloha zrcadla Z2 .
Ve srovnánı́ s klasickými dispersnı́mi monochromátory majı́ fourierovské spektrometry několik zásadnı́ch přednostı́, které se označujı́ následovně:
• Felgettova - všechny vlnové délky jsou měřeny současně (na detektor stále
dopadá veškeré zářenı́, které projde vzorkem), což se projevı́ v kratšı́ době
nutné na změřenı́ spektra s určitým poměrem signálu k šumu
• Jacquinotova - ve spektrometru nejsou v optické dráze žádné štěrbiny, které
by omezovaly procházejı́cı́ světlo. Na detektor dopadá vı́ce energie a je možno
měřit i silně absorbujı́cı́ materiály
• Conneova - využitı́ interference paprsku He-Ne laseru zajišt’uje velmi přesnou
kalibraci vlnových délek
Dalšı́ výhodou je propojenı́ s počı́tačem, které umožňuje rychlé a dokonalé zpracovánı́ výsledků měřenı́ a to, že měřenı́ nenı́ ovlivněno rozptýleným zářenı́m, nebot’
rozptýlené zářenı́ nenı́ modulováno průchodem interferometrem.
Pro porovnávánı́ vlastnostı́ spektrálnı́ch přı́strojů mezi sebou se využı́vá několika
základnı́ch charakteristik, které odvodı́me právě pro optickou mřı́žku.
• Úhlová disperse
Úhlová disperse je rozdı́l v úhlu odklonu paprsků, přı́slušejı́cı́ch dvěma blı́zkým
vlnovým délkám světla, vztažený na jednotkovou změnu vlnové délky:
∆ϕ
dϕ
=
.
∆λ→0 ∆λ
dλ
Dϕ = lim
(5.136)
V přı́padě mřı́žky dostaneme diferencovánı́m základnı́ podmı́nky pro hlavnı́
maxima interference mnoha svazků (5.134) vztah
d sin ϕ = m λ
⇒
d cos ϕ dϕ = m dλ .
Vidı́me, že úhlová disperse mřı́žky je určena vztahem
Dϕ =
dϕ
m
=
.
dλ
d cos ϕ
(5.137)
V přı́padě malých úhlů odklonu ϕ je možno vztah zjednodušit, cos ϕ ≈ 1 a
.
úhlová disperse bude Dϕ = m/d. Mřı́žka má přibližně konstantnı́ dispersi v
celém oboru spektra. Disperse roste s řádem spektra m, s úhlem odklonu ϕ a
je tı́m většı́, čı́m jsou štěrbiny užšı́, přičemž nezávisı́ na počtu stěrbin mřı́žky
N.
• Lineárnı́ disperse
Paprsky se za mřı́žkou podle obr. 5.34 fokusujı́ čočkou nebo parabolickým zrcadlem na výstupnı́ štěrbinu přı́stroje. Jestliže má čočka ohniskovou vzdálenost
f , potom paprsky, které se rozbı́hajı́ o malý úhel ∆ϕ, dopadnou na rovinu
220
výstupnı́ štěrbiny ve vzdálenosti ∆x = f × ∆ϕ od sebe. Jako lineárnı́ disperse
Dx se potom definuje poměr
∆ϕ
m
∆x
= f lim
=f
.
∆λ→0 ∆λ
∆λ→0 ∆λ
d cos ϕ
Dx = lim
(5.138)
Z praktických důvodů se obvykle uvádı́ jako lineárnı́ disperse D inverznı́
veličina
1
dλ
d cos ϕ
D=
=
=
.
(5.139)
Dx
dx
fm
Lineárnı́ disperse vyjadřuje, jak široký spektrálnı́ interval v nm připadá na
1 mm šı́řky výstupnı́ štěrbiny monochromátoru.
• Rozlišovacı́ schopnost mřı́žky
K rozlišenı́ dvou velmi blı́zkých spektrálnı́ch čar nepostačuje pouze velká disperse přı́stroje. V kapitole o Fabryově - Perotově interferometru jsme vztahem (5.92) zavedli t.zv. rozlišovacı́ schopnost jako poměr mezi střednı́ vlnovou
délkou λ a nejmenšı́m rozdı́lem vlnových délek ∆λ, který lze interferometrem
rozlišit.
λ
R=
(5.92)
∆λ
Kriteria pro rozlišenı́ dvou blı́zkých vlnových délek jsou poněkud libovolná a
lišı́ se pro ohybové a interferenčnı́ jevy. Vhodné kriterium stanovil Rayleigh:
dvě vlnové délky lze rozlišit, jestliže interferenčnı́ maximum čáry λ2 se kryje
s nejbližšı́m minimem čáry λ1 . Někdy se jako kriterium udává podmı́nka, aby
minimum oddělujı́cı́ maxima dvou čar činilo 80% intenzity maxima. Tato kriteria jsou vhodná pro srovnávánı́ různých přı́strojů, i když skutečná rozlišovacı́
schopnost závisı́ silně na způsobu detekce signálu a může se od takto zı́skaných
hodnot lišit.
Najděme výraz pro rozlišovacı́ schopnost optické mřı́žky podle Rayleighova
kriteria. Hlavnı́ maximum pro čáru o vlnové délce λ1 splňuje vztah
d sin ϕ1 = m λ1
a k němu nejbližšı́ minimum bude ve směru určeném úhlem ϕ2 , jehož sinus bude
o hodnotu λ1 /N d většı́ než sin ϕ1 . V tomto směru máme pozorovat maximum
čáry o vlnové délce λ2 , takže musı́ platit rovnost
sin ϕ2 = sin ϕ1 +
λ1
Nd
a po vynásobenı́ mřı́žkovou konstantou
d sin ϕ2 = m λ2 = d sin ϕ1 +
λ1
λ1
= m λ1 +
.
N
N
Po dalšı́ úpravě dostaneme
m (λ2 − λ1 ) = m ∆λ =
221
λ1
,
N
takže rozlišovacı́ schopnost optické mřı́žky je dána výrazem
R=
λ
= mN .
∆λ
(5.140)
Závisı́ na řádu spektra a počtu vrypů. Maximálnı́ dosažitelná rozlišovacı́ schopnost se dostane pro nejvyššı́ řád, t.j. pro (viz (5.135)) mmax = d/λ. Dosazenı́m
máme
Rmax = mmax N =
d×N
celková šı́řka mřı́žky
=
λ
λ
(5.141)
Vidı́me, že maximálnı́ rozlišovacı́ schopnost mřı́žky je daná poměrem geometrického rozměru mřı́žky a vlnové délky světla, takže dosahuje řádově hodnot
105 − 106 . Nezávisı́ zdánlivě na počtu vrypů, ovšem při malém počtu vrypů,
kterému odpovı́dá velká mřı́žková konstanta d, bychom museli využı́vat vysoký
řád spektra mmax , kde je velmi nı́zká intenzita světla. Nižšı́ řády majı́ malou
hodnotu disperse D a jejich rozlišovacı́ schopnost klesá.
• Spektrálnı́ (dispersnı́) oblast
Se spektrálnı́ oblastı́ jsme se setkali již u Fabryova-Perotova interferometru.
Dispersnı́ oblast ∆λSR spektrálnı́ch přı́strojů je taková oblast vlnových délek,
ve které nedocházı́ k překrývánı́ maxim různých řádů (nedocházı́ k překrývánı́
různých vlnových délek).
V přı́padě optické mřı́žky odvodı́me vztah pro dispersnı́ oblast následovně.
Mějme spektrálnı́ interval ∆λ = λ2 − λ1 . Aby se tento interval rovnal dispersnı́
m=1
m=2
0
l
_1
d
l
1
2 _
d
l
_2
d
2
l
_2
d
sinj
Obrázek 5.35: Překrývánı́ 1. a 2. řádu spektra optické mřı́žky.
222
oblasti, musı́ se (m + 1) řád vlnové délky λ1 právě překrývat s m-tým řádem
pro vlnovou délku λ2 :
d sin ϕ = (m + 1) λ1 = m λ2
⇒
λ2 − λ1 =
λ1
m
Vidı́me, že dispersnı́ oblast optické mřı́žky je dána vztahem
∆λSR =
λ
m
(5.142)
a je tedy vyjádřena shodně se vztahem (5.102). Šı́řka dispersnı́ oblasti klesá
s řádem spektra, ve kterém se pracuje. Obvykle se pracuje v prvnı́m nebo
nejvýše v druhém řádu spektra. Aby druhý řád nepřekrýval řád prvnı́, musı́
se použı́vat vhodné pásmové filtry, které nepropustı́ vlnové délky kratšı́ než je
meznı́ vlnová délka pro daný filtr. Situace je znázorněna na obr. 5.35.
Přı́klad
Porovnejme dvě optické mřı́žky, které majı́ teoreticky stejnou maximálnı́ rozlišovacı́ schopnost R = 200 000 pro vlnovou délku λ = 500 nm.
Mřı́žka A: šı́řka 10 cm, 1000 vrypů na 1mm, t.j. mřı́žková konstanta d = 1 µm,
šı́řka štěrbin b = 0, 8 µm, celkový počet štěrbin N = 100 000.
Mřı́žka B: šı́řka 10 cm, 2 vrypy na 1 mm, t.j. mřı́žková konstanta d = 2 mm,
šı́řka štěrbin b = 1, 6 mm, celkový počet štěrbin N = 50.
Mřı́žka
mmax
1. ohyb. min.
sin ϕ
m-tý řád interf.
sin ϕ
lin. disperse
[nm/mm]
A
B
2
4000
0,625
3,12 ×10−4
m× 0,5
m × 2, 2 × 10−4
1/m
2 × 103 /m
Hodnoty lineárnı́ disperse uvedené v tabulce jsou spočteny pro zobrazujı́cı́ čočku
s ohniskovou vzdálenostı́ 1 m. Vidı́me, že i když je teoretická maximálnı́ rozlišovacı́
schopnost obou mřı́žek shodná, dá se k nı́ přiblı́žit pouze v přı́padě mřı́žky A, kde
odpovı́dá práci v druhém řádu spektra. Ten se ještě vejde do prvnı́ho vedlejšı́ho ohybového maxima a má tak poměrně dostatek intenzity světla. V přı́padě mřı́žky B by
se muselo pracovat v řádu mmax = 4000, kde ovšem prakticky žádná intenzita světla
nebude. Jak vidı́me, do prvnı́ho ohybového maxima se vejde pouze 1. řád interference, všechny vyššı́ řády budou mı́t intenzitu světla téměř zanedbatelně nı́zkou.
Kdybychom pracovali s mřı́žkou B v 1. řádu, bude ovšem jejı́ rozlišovacı́ schopnost
pouze R = 50 a lineárnı́ disperse 103 nm/mm, tedy podstatně horšı́ oproti dispersi
0,5 nm/mm mřı́žky A.
223
V přı́padě Fabryova - Perotova interferometru jsme dostali rozlišovacı́ schopnost
R = 1,12×106 , tedy většı́ než pro naši mřı́žku, ovšem spektrálnı́ oblast interferometru činı́ ∆SR = 0,0125 nm oproti 500 nm v 1. řádu optické mřı́žky, což představuje
celé viditelné spektrum. Mřı́žka má tedy schopnost rozlišovat blı́zké vlnové délky a
přitom i tyto délky určit, kdežto měřenı́ vlnové délky interferometrem je vyloučeno,
ovšem k rozlišenı́ jemné struktury spektrálnı́ch čar se interferometr hodı́ nejlépe.
Monochromátor s optickým hranolem
Odvod’me si nynı́ základnı́ parametry dispersnı́ho monochromátoru s optickým
hranolem. S hranolem se pracuje v t.zv. minimálnı́ deviaci, kdy se paprsek uvnitř
hranolu šı́řı́ rovnoběžně se základnou hranolu, jak je zřejmé z obr. 5.36. Index lomu
materiálu hranolu označme n, jeho lámavý úhel φ, délku základny z a délku lámavé
stěny `. S pomocı́ Snelliova zákona lomu a geometrie úlohy postupně odvodı́me výraz
pro úhlovou dispersi hranolu Dϕ .
f
l
j
a
a
b
b
a
z
Obrázek 5.36: Disperse optického hranolu.
• Úhlová disperse hranolu
Úhlová disperse hranolu bude dána vztahem
dϕ
Dϕ =
dλ
kde ϕ je úhel mezi vystupujı́cı́m a dopadajı́cı́m paprskem. Jelikož úhel ϕ závisı́
na vlnové délce prostřednictvı́m indexu lomu, budeme dispersi počı́tat ze vztahu
dϕ dn
dϕ
=
(5.143)
Dϕ =
dλ
dn dλ
224
Závislost indexu lomu na vlnové délce je nutno zjistit pro daný materiál hranolu experimentem, z geometrie úlohy musı́me spočı́tat dϕ/dn. Index lomu
vyjádřený pomocı́ Snelliova zákona lomu bude
³
´
sin 12 (φ + ϕ)
sin α
=
n=
.
sin β
sin 12 φ
(5.144)
Zde jsme využili vztahy β = φ/2 a α = 1/2(φ + ϕ), které se dajı́ odvodit z
geometrie úlohy pro paprsek vyhovujı́cı́ podmı́nce minimálnı́ deviace. Tento
vztah převedeme na rovnici
µ
¶
1
1
n sin φ = sin
(φ + ϕ)
2
2
a budeme obě jejı́ strany derivovat podle indexu lomu n:
µ
sin
¶
1
1
φ = cos
(φ + ϕ)
2
2
1 dϕ
.
2 dn
(5.145)
Z této rovnice odvodı́me hledaný výraz pro dϕ/dn:
2 sin 12 φ
dϕ
³
´.
=
dn
cos 12 (φ + ϕ)
(5.146)
Nynı́ vyjádřı́me podle obr. 5.36 goniometrické funkce pomocı́ rozměrů hranolu
a úhlu dopadu:
φ
z/2
(z/2) cos α
z cos α
sin =
=
=
2
`
b
2b
kde jsme za ` dosadili ze vztahu b/` = cos α. Ve jmenovateli vztahu (5.146) je
vlastně cos α, takže dosazenı́m dostaneme
2 sin 12 φ
dϕ
z cos α
z
´ =
³
=
= .
1
dn
b cos α
b
cos 2 (φ + ϕ)
Výsledný výraz pro úhlovou dispersi hranolu bude
Dϕ =
z dn
.
b dλ
(5.147)
Lineárnı́ disperse hranolu bude v souladu s definicemi (5.138) a (5.139)
D=
b dλ
1
=
,
Dx
f z dn
(5.148)
kde opět f představuje ohniskovou vdálenost kolimátoru monochromátoru.
• Rozlišovacı́ schopnost
Rozlišovacı́ schopnost hranolového monochromátoru je limitována ohybem na
minimálnı́ apertuře, kterou tvořı́ kolmý průřez svazku b. Hranol vlastně představuje
štěrbinu o šı́řce b, na které docházı́ k Fraunhoferově ohybu světla. Jelikož má
225
hranol makroskopické rozměry, typicky několik centimetrů, bude ohybový jev
slabý a prvnı́ ohybové minimum bude nepatrně posunuto o úhel (viz (5.122))
∆ϕ =
λ
.
b
Využitı́m vztahu pro úhlovou dispersi zjistı́me, že ve směru prvnı́ho minima
budeme pozorovat spektrálnı́ čáru s vlnovou délkou posunutou o hodnotu
Dϕ = lim
∆λ→0
∆ϕ
dϕ
. ∆ϕ
.
=
⇒ ∆λ =
∆λ
dλ
Dϕ
Rozlišovacı́ schopnost hranolového monochromátoru tedy můžeme odhadnout
výrazem
λ
λ Dϕ
R=
=
∆λ
∆ϕ
a po dosazenı́ výrazů odvozených výše máme
R=λ
z dn b
dn
=z
.
b dλ λ
dλ
(5.149)
Rozlišovacı́ schopnost hranolového monochromátoru roste se šı́řkou základny
hranolu a s dispersı́ materiálu, ze kterého je hranol vyroben. Index lomu
optických materiálů v oblasti jejich propustnosti obvykle klesá s rostoucı́ vlnovou délkou, typická závislost se dá zhruba vyjádřit t.zv. Sellmaierovou formulı́
a λ2
n2 = 1 + 2
(5.150)
λ − λ20
kde a a λ0 jsou konstanty, charakterizujı́cı́ daný optický materiál.
• Dispersnı́ oblast hranolu
Při rozkladu světla lomem nemůže dojı́t k překryvu různých vlnových délek,
jako je tomu při interferenci, kde se překrývajı́ různé řády interference. Dispersnı́ oblast hranolu je tedy omezena pouze jeho propustnostı́, rovná se celému
spektrálnı́mu intervalu, který hranol propouštı́.
Přı́klad
Mějme hranolový monochromátor s rozměry hranolu z = b = 5 cm a ohniskovou
vzdálenostı́ čočky kolimátoru f = 100 cm. Disperse hranolu je |dn/dλ| = 103 cm−1 .
Dosazenı́m do odvozených vztahů dostaneme:
Úhlová disperse:
Dϕ = Dϕ =
z dn
= 103 cm−1 = 10−4 rad nm−1 = 0,00573 deg nm−1
b dλ
Lineárnı́ disperse:
D ==
b dλ
= 10−5 cm/cm = 10nm/mm
f z dn
226
Rozlišovacı́ schopnost:
dn
= 5 × 103
dλ
Spektrálnı́ (dispersnı́ oblast) je rovna oblasti propustnosti optického hranolu.
R=z
Porovnánı́m s parametry typického mřı́žkového monochromátoru nebo interferometru vidı́me, že hranolový monochromátor má o několik řádů nižšı́ rozlišovacı́
schopnost a lineárnı́ dispersi, hodı́ se proto pro aplikace, které nevyžadujı́ studium
jemné struktury spekter. Ovšem jeho hlavnı́ výhodou je široká spektrálnı́ oblast a
nižšı́ cena.
Závěr
Ohybové a interferenčnı́ jevy majı́ velmi závažné praktické důsledky. Na jednu
stranu ohyb omezuje rozlišovacı́ schopnost optických přı́strojů. Vzdálená hvězda,
která representuje bodový zdroj světla, se dalekohledem nezobrazı́ jako bod, ale jako
ohybový kroužek o průměru 1,22 × f × λ/r, kde f je ohnisková vzdálenost objektivu
dalekohledu a r je jeho poloměr. Dvě velmi blı́zké hvězdy se potom mohou překrývat.
Podobně je tomu při zobrazenı́ v mikroskopu nebo spektrometru, kde se spektrálnı́
čáry rozšiřujı́ vlivem ohybového jevu. Na druhou stranu jenom dı́ky existenci ohybu
je možno konstruovat optické mřı́žky a spektrálnı́ přı́stroje, které umožňujı́ studovat
optická spektra s vysokým rozlišenı́m.
227