1´Uvod - WikiSkripta

1
1
ÚVOD
Úvod
V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice,
jejich shluky či částice podléhajı́cı́ vlivu okolnı́ho silového pole. Celý systém částice spolu s
působı́cı́m polem šlo přitom považovat za izolovaný, nevyměňujı́cı́ si hmotu či energii s nějakým
jiným systémem. Ve skutečnosti samozřejmě žádný takový, dokonale izolovaný, systém neexistuje. Pojem izolovaného systému sloužı́ spı́še jako idealizace skutečnosti, se kterou lze
rozumně počı́tat a ke které se reálně můžeme pouze vı́ce či méně přiblı́žit. U dostatečně izolovaných systémů bude tato aproximace vı́ce než dostatečná. Pro vývoj takovýchto systémů
se v úvodnı́ch kurzech odvozovali různé rovnice – Schrödingerova rovnice, Klein-Gordonova
rovnice, Diracova rovnice atd. Napřı́klad v přı́padě Schrödingerovy rovnice jsme mohli vývoj
systému popsat pomocı́ evolučnı́ho operátoru, unitárnı́ho operátoru působı́cı́ho na stav systému. Skutečnost, že daný operátor je unitárnı́, zapřı́čiňuje časovou reverzibilitu vývoje daného
systému. Během evoluce se tedy informace o stavu systému neztrácı́ a mezi každými dvěma
časovými okamžiky existuje invertibilnı́ operátor převádějı́cı́ stav systému v jednom okamžiku
na stav v okamžiku druhém.
Co ale když vývoj zkoumaného systému nelze popsat bez současného vlivu okolı́? Pod okolı́m
daného systému rozumı́me nějaký jiný systém, jehož vývoj nejsme schopni plně zachytit a
jevı́ se nám jako narušitel, se kterým zkoumaný systém nevyhnutelně interaguje. V reálném
světě může jı́t napřı́klad o zbytkové magnetické pole, které nevhodně působı́ na zkoumaný
spin a jehož vliv přitom nenı́ experimentátor s to potlačit ani nijak kontrolovaně ovládat.
Podobným narušitelem mohou být i částice, které se uvolňujı́ z měřı́cı́ aparatury a interagujı́
se zkoumanou částicı́. Přı́kladů by šlo samozřejmě najı́t mnoho a to nejen těch z laboratornı́ho
prostředı́. Vývoj takovéhoto systému vystaveného vlivům prostředı́ již nelze popsat jednoduše
pomocı́ evolučnı́ho operátoru. Časový vývoj již nenı́ obecně reverzibilnı́, část informace o
počátečnı́m stavu se vytrácı́ do okolı́. Pokud máme na začátku napřı́klad vzorek částic se
spinem mı́řı́cı́m ve stejném směru, po dostatečně dlouhé době budou tyto spiny vlivem okolnı́ch
polı́ a okolnı́ch interagujı́cı́ch částic namı́řeny zcela nahodile. Informace uložená na počátku,
spiny namı́řené stejným směrem, byla vlivem okolı́ odnešena ze zkoumaného systému. Tato
informace o počátečnı́m rozloženı́ spinů je sice stále přı́tomna, je ale ukryta ve stavu okolı́,
s nı́mž nelze dobře manipulovat a jenž nelze dobře měřit.
Právě popsaným systémům, které jsou vystaveny všetečným a neodstranitelným vlivům okolı́,
budeme řı́kat otevřené (kvantové) systémy. Jejich časový vývoj budeme označovat jako vývoj
otevřeného systému, otevřený vývoj, otevřená evoluce či otevřená dynamika. Pokud budeme
uvažovat složený systém skládajı́cı́ se ze studovaného systému a jeho okolı́, nazveme tento
složený systém, celý systém či prostě jen systém. Studovaný systém budeme nazývat též zkoumaný systém a konečně okolı́ budeme označovat též jako prostředı́. Vedle okolı́ se při studiu
kvantových systémů uvažujı́ i pomocné systémy, které nelze označit za okolı́ a které jsou do
úlohy zavedeny vı́ce méně uměle, aby zjednodušili manipulaci se zkoumaným systémem. Pro
systém takto přidaný budeme užı́vat bud’ název pomocný systém či anglický název ancilla.
Na rozdı́l od tradičnı́ch kurzů o kvantové fyzice provedeme ještě jednu změnu. Zatı́mco dosud se pracovalo s kvantovými systémy o nekonečněrozměrných stavových prostorech, jakým
1
1.1
Vývoj v uzavřeném kvantovém systému
1
ÚVOD
byl napřı́klad prostor vlnových funkcı́ volné částice, zde se omezı́me na Hilbertovy prostory
stavů, které majı́ dimenzi konečnou. Operátory řı́dı́cı́ vývoj otevřených systémů tak lze reprezentovat pomocı́ matic, což budeme i v mnoha důkazech využı́vat. Nejtypičtějšı́m přı́kladem
kvantového systému s konečněrozměrným stavovým prostorem je právě částice se spinem, kde
studujeme pouze spinové stupně volnosti. Dalšı́m přı́kladem může být polarizace fotonů, jejı́ž
stavový prostor je dvourozměrný. Konečněrozměrné Hilbertovy prostory můžeme obdržet i
v přı́padě, kdy uvažujeme elektrony vázané v orbitalech atomů. Pokud předpokládáme, že
excitace elektronu na přı́liš vysoké energetické hladiny jsou prakticky nemožné, je stavový
prostor takovýchto elektronů, alespoň co se jejich energie týče, též konečněrozměrný.
1.1
Vývoj v uzavřeném kvantovém systému
Jak již bylo předesláno v úvodu, vývoj otevřených systémů se od vývoje těch uzavřených
lišı́. Připomeňme si v krátkosti některé z výsledků kvantové teorie pro uzavřené systémy.
Tyto výsledky pak budeme moci konfrontovat s výsledky zı́skanými pro otevřené systémy.
Vývoj v uzavřeném systému je generován odpovı́dajı́cı́m Hamiltoniánem H prostřednictvı́m
Schrödingerovy rovnice
d ∣ψ(t)⟩
̵ = 1).
i
= H∣ψ(t)⟩ (h
(1)
dt
Předpokládáme-li nezávislost Hamiltoniánu na čase, můžeme zavést evolučnı́ operátor ve tvaru
U (t2 , t1 ) = U (t2 − t1 ). Časový vývoj systému, jehož stav v čase t znı́ ∣ψ(t)⟩, pak můžeme
vyjádřit pomocı́ evolučnı́ho operátoru v kompaktnı́m tvaru ∣ψ(t2 )⟩ = U (t2 , t1 )∣ψ(t1 )⟩. Norma
d
stavového vektoru přitom zůstává zachována, dt
⟨ψ(t)∣ψ(t)⟩ = 0, jak se lze snadno přesvědčit z
rovnice výše. Žádná informace o stavu systému tedy neproudı́ pryč. Z čistého stavu dostaneme
opět čistý stav (pro podrobnosti viz později). Navı́c evolučnı́ operátory U (t) tvořı́cı́ jednoparametrickou grupu transformacı́ popisujı́ časově reverzibilnı́ vývoj. Jak uvidı́me, u otevřených
systémů žádná z těchto věcı́ už nebude pravda.
Protože HH † = H † H, je Hamiltonián diagonalizovatelný v ortonormálnı́ bázi svých vlastnı́ch
vektorů. Opět, v přı́padě otevřených kvantových systémů už generátor časového vývoje obecně
diagonalizovat nepůjde.
V následujı́cı́ kapitole probereme ze všeho nejdřı́v způsob, jakým popisovat stav kvantového
systému. Jednou z dalšı́ch odlišnostı́ je totiž fakt, že při popisu otevřeného systému se již nelze
spolehnout na vektory z Hilbertova prostoru coby nositele informacı́ o daném stavu.
2