příklady
Transkript
9 Přibližné metody III Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz Mějme systém popsaný Hamiltoniánem Ĥ, který lze rozložit na část Ĥ0 nezávisejı́cı́ na čase a na časově závislou poruchu ĤI : Ĥ(t) = Ĥ0 + ĤI (t). Dále mějme v čase t0 vektor |ψ(t0 )i popisujı́cı́ stav systému, libovolný časově nezávislý operátor  a časově závislý operátor B̂(t). Fyzikálnı́ závěry se nezměnı́, pokud provedeme unitárnı́ transformaci současně stavového vektoru a operátorů, danou unitárnı́m operátorem Û: |ψ ′ i = Û |ψi , Â′ = ÛÂÛ† . Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užı́vajı́ tři takovéto tranformace (fyzikálně ekvivalentnı́ obrazy). 1. Schrödingerův obraz |ψ(t)i = Û(t, t0 ) |ψ(t0 )i Â, B̂(t) Operátor  zůstává v čase konstantnı́, operátor B̂(t) se měnı́ v čase podle svého funkčnı́ho předpisu. Diferenciálnı́ rovnice (spolu s počátečnı́ podmı́nkou) pro evolučnı́ operátor Û(t, t0 ): i~ ∂ Û(t, t0 ) = Ĥ(t) Û(t, t0 ) , ∂t Û(t0 , t0 ) = 1̂ , která má v přı́padě, že celkový Hamiltonián Ĥ nezávisı́ na čase, řešenı́ i Û(t, t0 ) = e− ~ Ĥ(t−t0 ) . Z evolučnı́ rovnice pro evolučnı́ operátor plyne rovnice pro stavový vektor (časová Schrödingerova rovnice) i~ ∂ |ψ(t)i = Ĥ(t) |ψ(t)i . ∂t 2. Heisenbergův obraz H ψ (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) |ψ(t)i = |ψ(t1 )i = konst. , ÂH (t; t1 ) = Û† (t, t1 )  Û(t, t1 ) , B̂H (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) B̂(t) Û(t, t1 ) . (t1 je vnějšı́ parametr). Stavový vektor |ψi se s časem neměnı́. Diferenciálnı́ rovnice pro stavový vektor a pro operátory: H ∂ ψ H (t; t1 ) ψ (t1 ; t1 ) = |ψ(t1 )i =0 ∂t i ∂ ÂH (t; t1 ) 1 h H ÂH (t1 ; t1 ) =   (t; t1 ), ĤH (t) = ∂t i~ i ∂ H B̂(t) ∂ B̂H (t; t1 ) 1 h H  (t; t1 ), ĤH (t) + t1 B̂H (t1 ; t1 ) = B̂(t1 ) , = ∂t i~ ∂t kde jsme definovali ∂tH1 B̂(t) ∂ B̂(t) Û(t, t1 ) . ≡ Û† (t, t1 ) ∂t ∂t h i Pokud máme systém v časově neproměnném vnějšı́m poli, tj. Ĥ, Û(t; t1 ) = 0, pak ĤH (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) Ĥ Û(t, t1 ) = Ĥ . 3. Diracův (interakčnı́) obraz D ψ (t; t1 ) = Û†0 (t; t1 ) |ψ(t)i ÂD (t; t1 ) = Û†0 (t, t1 )  Û0 (t, t1 ) B̂D (t; t1 ) = Û†0 (t, t1 ) B̂(t) Û0 (t, t1 ) Zde i Û0 (t, t1 ) = e− ~ H0 (t−t1 ) je evolučnı́ operátor Hamiltoniánu Ĥ0 , tj. řešenı́ diferenciálnı́ rovnice i~ ∂ Û0 (t, t1 ) = Ĥ0 Û0 (t, t1 ) ∂t Û0 (t1 , t1 ) = 1̂, Bez újmy na obecnosti volı́me čas t1 stejný jako v přı́padě obrazu Heisenbergova. Diferenciálnı́ rovnice pro stavový vektor a pro operátory: D D ∂ ψ D (t; t1 ) ψ (t1 ; t1 ) = |ψ(t1 )i = ĤD i~ I (t; t1 ) ψ (t; t1 ) ∂t i 1 h D ∂ ÂD (t; t1 ) ÂD (t1 ; t1 ) =   (t; t1 ), ĤD (t; t ) = 1 I ∂t i~ i ∂ D B̂(t) ∂ B̂D (t; t1 ) 1 h D B̂D (t1 ; t1 ) = B̂(t1 ), = B̂ (t; t1 ), ĤD (t; t ) + t1 1 I ∂t i~ ∂t kde (podobně jako u obrazu Heisenbergova) ∂tD1 B̂(t) ∂ B̂(t) ≡ Û†0 (t, t1 ) Û0 (t, t1 ). ∂t ∂t Řešenı́ prvnı́ rovnice lze psát ve tvaru D ψ (t; t1 ) = Ŝ(t, t0 ; t1 ) ψ D (t0 ; t1 ) , kde evolučnı́ operátor v Diracově obraze Ŝ(t, t0 ; t1 ) = Û†0 (t, t1 )Û(t, t0 )Û0 (t0 , t1 ) je řešenı́m diferenciálnı́ rovnice i~ ∂ Ŝ(t, t0 ; t1 ) = ĤD I (t; t1 )Ŝ(t, t0 ; t1 ) ∂t Ŝ(t0 , t0 ; t1 ) = 1̂ (9.0.1) V Heisenbergově i Diracově obrazu se objevuje vnějšı́ parametr t1 , který vlastně udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech třı́ uvedených obrazů rovnajı́. Můžeme volit t1 = 0 a pak nebudeme tento parametr ve vzorcı́ch explicitně vypisovat. Pokud H0 představuje volný Hamiltonián, pak se zavádějı́ ještě Møllerovy operátory Ω(±) = lim Ŝ(0, t0 ) t0 →∓∞ a operátor S-matice Ŝ = lim Ŝ(t, t0 ). t→+∞ t0 →−∞ Řešenı́ rovnice (9.0.1) lze hledat ve tvaru integrálnı́ rovnice, kterou lze vyjádřit ve formě řady19 Z i t D Ŝ(t, t0 ) = 1̂ − Ĥ (t1 )Ŝ(t1 , t0 )dt1 = ~ t0 I Z Z i t D i t1 D Ĥ (t1 ) 1̂ − = 1̂ − Ĥ (t2 )Ŝ(t2 , t0 )dt2 dt1 = (9.0.2) ~ t0 I ~ t0 I ∞ X = Ŝ(n) (t, t0 ), n=0 kde Ŝ(0) = 1̂ Ŝ (1) Ŝ(n) Z i t D Ĥ (t1 )dt1 = ~ t0 I .. . n Z t Z t1 Z tn−1 i D D ĤD = − ĤI (t1 ) ĤI (t2 ) · · · I (tn )dtn · · · dt2 dt1 ~ t0 t0 t0 (9.0.3) Rozvoj (9.0.2) lze formálně sečı́st. Jelikož všakh Diracovy obrazy i Hamiltoniánu v D různých časech mezi sebou navzájem nekomutujı́, ĤD I (tj ), ĤI (tk ) 6= 0 pro tj 6= tk , musı́me užı́t T-součin, definovaný následujı́cı́m způsobem: Necht’ operátory Âj (t) ve stejném čase komutujı́, tj. necht’ [Aj (t), Ak (t)] = 0. Pak T ÂN (tN ) · · · Â1 (t1 ) ≡ ÂiN (tiN ) · · · Âi1 (ti1 ) tiN ≥ tiN −1 ≥ · · · ≥ ti1 Užitı́m T-součinu můžeme psát i Ŝ(t, t0 ) = T exp − ~ 19 Dysonova řada Z t ′ ′ ĤD I (t )dt t0 Poznámka: Diferenciálnı́ rovnici (9.0.1) můžeme také zkoušet v bázi |φm i řešit přı́mo. Označı́me-li E D Sf i (t, t0 ) ≡ φf Ŝ(t, t0 )φi , pak dostaneme i~ ∂Sf i (t, t0 ) X = ĤIf m (t) eiωf m t Smi (t, t0 ) ∂t m Sf i (t0 , t0 ) = δf i což je soustava vázaných obyčejných diferenciálnı́ch rovnic 1. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit napřı́klad pro dvouhladinový systém. Nestacionárnı́ poruchová teorie Stejně jako u stacionárnı́ poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum Hamiltoniánu Ĥ0 známe: X m (0) Ĥ0 |φm i = Em |φm i hφm |φn i = δmn |φm i hφm | = 1̂. Maticové elementy rozvoje evolučnı́ho operátoru v Diracově obraze (9.0.2) v této bázi označı́me jako E D (n) (n) Sf i (t, t0 ) ≡ φf Ŝ (t, t0 )φi a pro jednotlivé členy (9.0.3) dostaneme (0) Sf i (t, t0 ) = δf i Z i t ĤIf i (t1 ) eiωf i t1 dt1 =− ~ t0 2 X Z t Z t 1 i (2) Sf i (t, t0 ) = − ĤIf m (t1 ) eiωf m t1 ĤImi (t2 ) eiωmi t2 dt1 dt2 ~ t0 t0 m (1) Sf i (t, t0 ) kde jsme zavedli 20 E D HIf i (t) ≡ φf ĤI (t)φi ωf i ≡ 1 (0) (0) Ef − Ei ~ Pravděpodobnost přechodu z počátečnı́ho stavu |φi i připraveného v čase t0 do koncového stavu |φf i v čase t je 20 Pi→f (t0 → t) ≡ |hφf (t)|φi (t0 )i|2 D 2 = φD f (t) φi (t0 ) E2 D = φf Ŝ(t, t0 )φi E D Pro zjednodušenı́ zápisu budeme někdy psát také HIf i (t) = f ĤI (t)i . a v poruchové teorii dostáváme 2 (1) (1) (2) Pi→f (t0 → t) = Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + · · · Pro časově neproměnnou poruchu zapnutou v čase t0 dostaneme do 1. řádu poruchové teorie 2π Pi→f (t0 → t) = |HIf i |2 δ∆t (ωf i )∆t (9.0.4) ~ kde ∆t = t − t0 a ω ∆t 1 sin2 f 2i ∆t→∞ δ∆t (ωf i ) ≡ −−−−→ δ(ωkj ) 2 ∆t ω fi π 2 je funkce, která má v okolı́ nuly ostré maximum pološı́řky ≃ 2π∆t a výšky ∆t/2π. Za dobu ∆t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj. ωf i . 2π ∆t (0) (0) a označı́me-li ∆E (0) ≡ Ef − Ei , dostaneme ∆E (0) ∆t . 2π~ Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energiı́. (0) Pokud lze na okolı́ Ei pohlı́žet jako na kontinuum hladin (jedná se o přechod do spojité části spektra, nebo je v tomto okolı́ velké množstvı́ diskrétnı́ch hladin), pak se (9.0.4) pı́še ve tvaru Fermiho zlatého pravidla Pi→F (t0 → t) 2π 2 = |HIf i | ρf (E) wi→F (t0 → t) ≡ (0) ∆t ~ E≃Ei (9.0.5) což je rychost přechodu z počátečnı́ho stavu i do celého jeho okolı́ f ∈ F , na kterém je |HIf i |2 přibližně konstantı́. Hustotu hladin ρf (E) lze spočı́tat napřı́klad pomocı́ postupu uvedeném v sekci 4. Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω (−) −iωt ĤI = |ĥ(+){zeiωt} + ĥ e } | {z emise (9.0.6) absorpce dostaneme užitı́m podobného postupu jako v přı́padě konstantnı́ poruchy vztah ωf i ≃ ±ω, (0) (0) tj. Ef ≃ Ei ± ~ω (9.0.7) platı́cı́ za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas. Fermiho zlaté pravidlo v tomto přı́padě znı́ 2π ~ 2π = ~ wi→F (t0 → t) = (+) 2 h (stimulovaná emise) , ρ (E) fi f (0) E≃Ei −~ω (−) 2 (stimulovaná absorpce) . hf i ρf (E) (0) E≃Ei +~ω (9.0.8) Pokud máme periodickou poruchu, která nenı́ harmonická, můžeme ji pomocı́ Fourierovy tranformace na periodickou rozložit a počı́tat pravděpodobnost přechodu pro každou složku zvlášt’. Dı́ky rovnosti ih(+) f = f h(−) i , platı́ princip detailnı́ rovnováhy, který se dá slovně vyjádřit jako rychlost absorpce f → [i] rychlost emise i → [f ] = . hustota kvantových stavů [f ] hustota kvantových stavů [i] 9.1 Nabitý harmonický oscilátor Jednorozměrný harmonický oscilátor s nábojem q, popsaný Hamiltoniánem 1 2 1 p̂ + M Ω2 x̂2 2M 2 vložı́me do homogennı́ho časově proměnného elektrického pole s intenzitou Ĥ0 = t 2 A E(t) = √ e−( τ ) τ π (A, τ jsou reálné parametry). 1. Jak vypadá Hamiltonián interakce oscilátoru s elektrickým polem? 2. Určete hybnost, která se klasicky přenese mezi časy ti → −∞ a tf → ∞? 3. Spočı́tejte pravděpodobnost přechodu ze základnı́ho stavu v čase ti → −∞ do prvnı́ho excitovaného stavu v čase tf → ∞ v rámci 1. řádu nestacionárnı́ poruchové teorie. Řešenı́: 1. Zadaná intenzita elektrického pole odpovı́dá potenciálu V (x, t) = −qE(t)x , takže operátor časově závislé opravy k Hamiltoniánu Ĥ0 je ĤtiI (t) = −qE(t)x̂ . 2. Přenesená hybnost je dána časovým integrálem elektrické sı́ly Z ∞ Z ∞ Z tf t 2 qA ∂V (x, t) e−( τ ) dt = qA . dt = √ F (t)dt = − P = ∂x τ π −∞ −∞ ti 3. Přı́slušné elementy S-matice jsou podle (9) (0) S10 = 0 (1) S10 q ~ † x̂ = 2M Ω â + â i =− h1|[−qE(t)x̂]|0i eiω10 t1 dt1 = (0) (0) ~ −∞ ω10 = E1 −E0 = Ω ~ Z ∞ t 2 Ωτ 2 iqA iqA dt e−( τ ) +iΩt e− ( 2 ) =√ =√ τ 2π~M Ω −∞ 2~M Ω {z } | 2 √ −( Ωτ 2 ) πe Z ∞ Pravděpodobnost přechodu je tedy do prvnı́ho řádu poruchové teorie rovna P0→1 Poznámka: 2 Ω2 τ 2 q 2 A2 − Ω2 τ 2 P2 (0) (1) = S10 + S11 = e 2 = e− 2 . 2~M Ω 2~M Ω Uvedená porucha v prvnı́m řádu poruchové teorie způsobı́ přechod nanejvýš na sousednı́ energetickou hladinu harmonického oscilátoru.
Podobné dokumenty
8 Dynamika Soustav Těles
kde F ix , F iy resp. Miz jsou souřadnice akčních sil resp. akčních momentů.
Ze složkových pohybových rovnic psaných do směru tečny k trajektorii pohybu středu
hmotnosti popř. z momentových rovnic ...
to get the file
Robertsonova zkouška
Teplota zastavenı́ trhliny
Zkušebnı́ vzorek s počátečnı́m
vrubem
Rázové zatı́ženı́ 80 GN
(8000t)
Ve směru zatı́ženı́ vytvořen
teplotnı́ gradient
na straně dopadu za...
E - Katedra optiky
3. Pozorovatelné se spojitým spektrem, X-P reprezentace, vlnová funkce, generátor
translace, Heisenbergovy relace neurčitosti, gaussovský “vlnový balı́k”, kanonické
komutačnı́ relace a jej...
Osnova
Tematické okruhy ke zkoušce z předmětu FYZIKA II
pro KYR
1. Zářenı́ těles. Zářenı́ absolutně černého tělesa.
2. Planckův zákon vyzařovánı́. Stefan-Boltzmanův zákon. Wienův posun...
Život ve vesmíru - Ústav teoretické fyziky a astrofyziky
Jak události na planetární úrovni ovlivňují život
a co se lze dozvědět z historie planety
Mění události typu výbuch blízké supernovy, dopad
asteroidu, proměnnost hvězdy rychlost vývoje přípa...
tady - Pavel Stránský
v bodech, kde En = V (x)). WKB vlnové funkce jsou normalizované faktorem 1/ 2π.
Několik vlnových funkcı́ je znázorněno na obrázku 5. Je vidět, že kromě bodu obratu
WKB vlnová funkce velm...
F1 - Natura
Podobně jako prostoročas, také metrika je konceptem, který platı́ pouze v přı́padě, že ve Vesmı́ru
převládá klasická hmota. Zde provedené nerelativistické úvahy nemohou vysvětlit lo...
PROLOG Kyron Gentai-Hann, synovec, který se do Vznešeného
provazela cely rok, od te doby, co ho Klingonska vojenska rada "poctila" vyslanım na slunec nı
soustavu Belennii, bezcennevlastnictvı R ıse, jehoz postavenı ve velmi odlehlem koutŽ klingonske
c ast...
1´Uvod - WikiSkripta
V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice,
jejich shluky či částice podléhajı́cı́ vlivu okolnı́ho silového pole. Celý systém částic...
Modelovani systemu a procesu
∆ m f [ n ] = ∆ 1 ∆ m −1 f [ n ]
platí tato věta o transformaci diferencí:
n
o
Z ∆1 f [ n ] = ( z − 1) F ( z ) − f [0] z
n
o
Z ∆2 f [ n ] = ( z − 1)2 F ( z ) − f [0] z ( z − 1) + ∆1 f [0] z
Podobn...