E - Katedra optiky

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
KATEDRA OPTIKY
KVANTOVÁ FYZIKA
Zdeněk Hradil
Programem LATEX zpracoval:
Miroslav Kovařı́k
Sylabus přednášky Kvantová fyzika
1. Experimenty, které stály u zrodu kvantové teorie: fotoefekt, Comptonův rozptyl,
Ritzův kombinačnı́ princip, Franck–Hertzův experiment, zářenı́ absolutně černého
tělesa a Planckův zákon, Stern–Gerlachův experiment, difrakce a interference částic.
Vysvětlenı́ na základě nových postulátů (částicová povaha světla, vlnové chovánı́
částic, existence diskretnı́ch energetických hladin látky, spin jako kvantovánı́ impulsmomentu).
2. Stern–Gerlachův experiment jako základ pro zavedenı́ kvantového stavu. Analogie
s polarizacı́ v klasické optice, analýza sekvenčnı́ch měřenı́, filtrace stavů. Diracova symbolika bra a ket stavů, skalárnı́ součin. Operátory a operace s nimi (komutátor, stopa, reprezentace v Diracově symbolice), vlastnı́ stavy samosdružených
operátorů, maticové reprezentace v různých bazı́ch, unitárnı́ ekvivalence, diagonalizace. Měřenı́ a jeho kvantový popis, pravěpodobnost a střednı́ hodnota měřitelných
veličin, relace úplnosti, kompatibilnı́ a nekompatibilnı́ měřenı́, relace neurčitosti.
3. Pozorovatelné se spojitým spektrem, X-P reprezentace, vlnová funkce, generátor
translace, Heisenbergovy relace neurčitosti, gaussovský “vlnový balı́k”, kanonické
komutačnı́ relace a jejich vztah ke klasickým Poissonovským závorkám.
4. Dynamika kvantových systémů, Hamiltonián jako generátor posunutı́ v čase, Schrödingerova rovnice pro stav a evolučnı́ operátor, řešenı́ pro Hamiltonián nezávislý
na čase. Vlastnı́ stavy Hamiltoniánu (stacionárnı́ stavy) a nestacionárnı́ stavy.
Schrödingerova a Heisenbergova reprezentace časového vývoje, aplikace na částici
v potenciálnı́m poli, souvislost s klasickou mechanikou, Ehrenfestův teorém.
5. Schrödingerova vlnová rovnice, rovnice kontinuiy, semiklasické přiblı́ženı́, WKB
aproximace, kvalitativnı́ popis vlastnostı́ stacionárnı́ch řešenı́ Schrödingerovy rovnice v 1D, oscilačnı́ věta. Harmonický oscilátor a formálnı́ řešenı́, zavedenı́ anihilačnı́ch a kreačnı́ch operátorů, operátor počtu částic, evoluce, koherentnı́ stavy.
6. Propagátor, Greenova funkce, Feynmanův drahový integrál, kalibračnı́ transformace pro skalárnı́ a vektorový potenciál, interference indukovaná gravitačnı́m polem, Hamiltonián nabité částice v elektromagnetickém poli.
1
7. Kvantová teorie impulsmomentu (úhlového momentu). Generátory grupy rotacı́,
rotace pro částici se spinem 1/2, vlastnı́ hodnoty a vlastnı́ stavy impulsmomentu,
ireducibilnı́ reprezentace grupy rotacı́, orbitálnı́ úhlový moment, kulové funkce jako
x-p reprezentace vlastnı́ch stavů impulsmomentu.
8. Symetrie v kvantové mechanice. Operátor parity. Využitı́ symetrie pro řešenı́ úloh
kvantové mechaniky: atom vodı́ku.
9. Poruchová teorie s časově nezávislou poruchou pro nedegenerované a degenerované
spektrum vlastnı́ch stavů neporušeného systému. Časově závislá poruchová teorie,
Fermiho zlaté pravidlo. Přı́klady: maser, fotoefekt.
10. Identické částice v kvantové teorii. Princip nerozlišitelnosti, operátor permutace,
vztah mezi spinem a statistikou. Stacionárnı́ stavy dvou identických částic v centrálnı́m
poli, výměnná interakce.
Doporučená literatura
1. Sakurai, J.J. : Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley (1994)
2. Greiner, W. : Quantum Mechanics I, Springer (1989)
3. Formánek, J. : Úvod do kvantové teorie
4. Landau - Lifšic :Quantum Mechanics
5. Ballentine, L. E. : Quantum Mechanics: A Modern Development, (World Scientific
1998)
6. skripta : PřF UP, MFF UK Praha
2
Lekce 1: Základnı́ experimenty
kvantové mechaniky
Koncepčnı́ otázky kvantové teorie:
Fyzika zavádı́ nové teorie tehdy, když experimentálnı́ technika umožňuje
natolik přesné experimenty, že je možné překonat úroveň přesnosti předcházejı́cı́
teorie.
• Klasická fyzika: makroskopické jevy (běžná zkušenost ∼ Vesmı́r)
• Mikroskopická teorie: nesoulad klasického vysvětlenı́ s realitou (stabilita stomu, šı́řenı́ světla)
Přı́čina odlišnosti kvantové a klasické teorie:
• diskrétnı́ struktura hmoty (atomy)
• náhodnost jevů (statistická fyzika)
Spojitý vs. diskrétnı́ pohled (dualita)
Kodaňská interpretace kvantové mechaniky (N. Bohr)
Důsledky:
-nemožnost individuálnı́ch předpovědı́
-nekompatibilita meřenı́, princip komplementarity
-kauzalita ano, determinismus ne
-Bellovy nerovnosti: kvantová mechanika nenı́ lokálnı́ realistická teorie se
skrytými parametry = základ kvantové informatiky
3
Historické experimenty kvantové teorie:
Počáte 20. stoletı́: finálnı́ formulace klasické elektrodynamiky, termodynamiky a statistické fyziky
1) Fotoelektrický jev:
H.Hertz 1887 (objev), Philipp Lenard 1902 (měřenı́ energie eV), A.
Einstein 1905 (teoretické objasněnı́) - závislost energie E na frekvenci
ω
ν
E =a + bω
[eV]
h
,
b=~≡
2π
h = 6.6 · 10−34 [J · s]
e
ω
E
111
000
000
111
000
111
000
111
kov
111
000
000
111
000
111
000
111
00
11
000
111
000
111
00
11
000
111
000
111
00
11
000
111
000
111
00
00011
111
E
e
A
K
ω0
Zvláštnosti, které nevysvětluje klasická teorie:
- E nezávisı́ na I
- E závisı́ na ω
4
ω
Kvantové vysvětlenı́ fotoelektrického jevu - Einstein (1905)
světlo je tvořeno fotony, které představujı́ diskrétnı́ kvanta energie,
klidová hmotnost fotonu je nulová, jeho energie je daná disperznı́mi relacemi
E 2 = (m0 c2 ) + p2c2 = ~2ω 2
ω
p~ = ~~k ; p = ~
c
de Brogliho materiálové vlny, de Brogli (1923)
Materiálové vlny představujı́ jev, který je inverznı́ vůči fotoefektu, tj.
jestliže se světlo chová jako částice, částice se mohou chovat jako vlny
Experiment: Davison, Germer 1927 - difrakce elektronů na krystalu Ni
2) Comptonův efekt
- 1923 Compton (+ Debye), = závislost frekvence rozptýleného Roentgenova zářenı́ na úhlu rozptylu −→ rozpor s vlnovou teoriı́
Vysvětlenı́ kvantové teorie: zářenı́ se chová jako částice
hk
θ
hk
ϕ
e
p
m0 c2
~ω + m0 c = ~ω + p
1 − ( vc )2
2
′
5
⇐⇒
Pak
m0~v
~~k = ~~k ′ = p
1 − ( vc )2
m0~v
m0~v
′
′
p
~k = ~k ′ cos θ′ + p
cos
ϕ
a
~k
sin
θ
=
sin ϕ
1 − ( vc )2
1 − ( vc )2
1 (m0~v )2
2
(k − k cos θ ) = 2
2 cos ϕ
v
~ 1−
′
′ 2
c










1 (m0~v )2
2
2 ′

′2

sin
ϕ
k sin θ = 2

2
v
~ 1−
c
⊕
..
.
Tedy,
θ′
λ − λ = 2λc sin , kde
2
2π~
h
=
. . . Comptonova vlnová délka
λc =
m0 c m0 c
m0 = me = 9 · 10−31kg
′
2
6 · 10−34
λc =
≃ 2 · 10−12m = 0.02 Å
8
−31
3 · 10 · 9 · 10
změna energie:
∆T = ~ω = ~ω ′ = 2π~c
1
1
− ′
λ λ
efekt nastává pro Röntgenovo a γ zářenı́.
6
θ′
2λc sin
2
2
= ~ω ·
λ + 2λc sin2
θ′
2
3) Ritzův kombinačnı́ princip, 1908
Empirické pravidlo pro hledánı́ čar ve spektrech
• Nové spektrálnı́ čáry jsou dány jako součet (rozdı́l) frekvencı́ již
známých čar!
E1
∆E12 = E1 − E2
E2
E3
∆E23 = E2 − E3
=⇒ ∆E13 = ∆E12 + ∆E23
E = ~ω
=⇒ ω13 = ω12 + ω23
4) Franck - Hertzův experiment, (1913)
nepružný rozptyl ē na atomech Hg v triodě
volt–ampérová charakteristika vykazuje rezonance
Z
K - katoda
A
U
A - anoda
páry Hg
Z - třetı́ elektroda
K
7
I
4.9 V - ionizace Hg
4.9
U
5) Zářenı́ absolutně černého tělesa,
M. Planck, ”oficiálnı́”datum vzniku kvantové teorie 14.12.1900
Planckův zákon ≡ geniálnı́ interpolace mezi Rayleigh - Jeansovým a Wienovým zákonem
K objasněnı́ zářenı́ černého tělesa je třeba vyjasnit základnı́ mechanismy interakce zářenı́ a hmoty:
Regulárnı́ odraz (Maxwell. elmag. teorie)
θ θ
θ = θ′
Snellův zákon
Difuznı́ odraz −→ ”odražené”zářenı́ nezávisı́ na směru dopadu
”šedý” zářič
bı́lý zářič . . . nic se neztratı́
černý zářič . . . vše je absorbováno.
8
Lambertovský zářič:
zářivý tok dΦ
na frekvenčnı́ úhel dω
=
J(ω, T ) cos θ dSdΩdω
dS cos θ
θ
dS
dS . . . elementárnı́ plocha, kterou dΦ procházı́
dΩ . . . prostorový úhel, pod nı́mž vidı́me dS od zdroje zářenı́
dω . . . velikost změny frekvence zářenı́, které procházı́ dS
J(ω, T ) . . . svı́tivost
pro lambertovský zářič je J(ω, T ) konstantnı́
zářenı́ v dutině ≡ termodynamická rovnováha procesů absorbce
a emise!
ρ(ω, T ) . . .
ρ=
S
c
...
hustota energie vytažená na objem a interval frekvencı́
(ω, ω + dω)
(~j = ~v · ρ)
−
analogie
Z
2J(ω, T )dω
c
8π
· J(ω, T )
=⇒ ρ(ω, T ) =
c
využito izotropie a homogenity zářenı́ absolutně černého tělesa a jeho
nazávislosti na složenı́ látky,
ρ(ω, T )dω =
dΩ ·
9
Kirchhoffův teorém:
E
=
V
Z
ρ(ω, T )dω
Modely pro spektrálnı́ hustotu:
2 kroky:
1) spočı́tat ”počet řešenı́ vlnové rovnice”
2) sečı́st jejich energiı́
~=0
A
~=0
div A
a
a
△−
1 ∂2
c2 ∂t2
a
~ r, t) = A(~
~ r)eiωt
A(~
~ r) = A
~ 0 · sin ~k~r
A(~
~ 0~k = 0
A
···
podmı́nka pro stojaté vlny
sin(kx a) = sin(ky a) = sin(kz a) = 0
nx π
ny π
nz π
; ky =
; kz =
a
a
a
dnx dny dnz ≡ d3n · · · infinitezimálnı́ počet řešenı́
!
1
π
a
d3 n = 4πn2dn = ·
k 2dk =
3
8
2 π
kx =
V
1 1V 2
· 2 3 ω dω · 2 = 2 3 ω 2 dω ,
2 π c
π c
kde 2 v rámečku značı́ počet polarizovaných stavů.
=
1 dE
1 dN
=
· ε , přičemž
V dω
V dω
ε
. . . energie odpovı́dajı́cı́ danému modu čili řešenı́
10
ε = kB T
...
platı́ pro termodynamickou rovnováhu a nı́zké teploty T,
tzv. ekvipartičnı́ teorém
Pro vysoké energie (vzhledem k kB T ) platı́:
!
~ω
ε = ~ω exp −
. . . baromertická formule, Boltzmanovo rozdělenı́
kB T

ω2

~ω

→
0)
k
T
(Rayleigh - Jeans zákon)
nı́zké
energie
,
(

B

kB T
2 c3

π



libovolné energie
?
ρ(ω, T ) =






~ω 3
~ω
~ω

 vysoké energie, ( k T → ∞)
exp(−
) (Wienův zákon)
B
π 2 c3
kB T
Odvozenı́ Planckova zákona I : Einsteinova teorie A,B koeficientů, 1916
Podmı́nky mikroskopické rovnováhy:
Em
...
Nm . . . počet atomů v tomto stavu
En
...
Nn . . . počet atomů v tomto stavu
dWe
...
pravděpodobnost emise fotonu do prostorového úhlu dΩ
dWa
...
absorbce
dWe
anm dΩ
=
+
samovolná
emise
dWa
=
bnm ρ(ω, T ) dΩ
indukovaná
emise
bm
n ρ(ω, T )dΩ
11
Rovnováha:
počet ↑ =
Nn (bm
n ρ) dΩ
Nn
Nm
=
Nm (anm + bnm ρ) dΩ , pak
En
−
e kB T
Em
−
e kB T
=
počet ↓
=
~ω
e kB T , kde
~ω = Em − En
T →∞
=⇒
bnm = bm
n
ρ(ω, T ) =
~ω
kB T
1
a
b e k~ω
BT − 1
→0
ρ(ω, T ) =
a kB T
b ~ω
integracı́ přes prostorový úhel
→
=⇒
a
b
=
a kB T
(8π)
b ~ω
R.J.
−−→
ω2
kB T 2 3
π c
1 ~ω 3
8π 3 c2
Pak
ρ(ω, T )
=
1 ~ω 3
1
8π 3 c2 e k~ω
BT − 1
Odvozenı́ Planckova zákona II:
12
,,Planckova geniálnı́ interpolace”→ je použit evidentnı́ předpoklad kvantové teorie pro diskretnı́ energie
εn
=
n · ~ω
;
− kεnT
obsazeno s pravděpodobnostı́ ∼
ε̄
Necht’ β =
Pak
ε̄
Z
=
=
=⇒
=
1
kB T
−
n = 0, 1, 2, . . .
e
B
X
−
εn
εn e kB T
X − εn
e kB T
∂
ln Z , kde
∂β
(tzv. partičnı́ suma)
P
e−βεn
Z
=
1
1 − e−β~ω
ε̄
=
∂
ln (1 − e−β~ω )
∂β
=
− (−)~ω e−β~ω
1 − e−β~ω
=
~ω
!
eβ~ω − 1
;
Tedy,
ε̄
ε̄
1
= β~ω
...
~ω
e
−1
”počet fotonů”v daném stavu
13
Lekce 2: Spin elektronu a
formalismus kvantové mechaniky
Goudsmit, Uhlenbeck, 1925
• ē má vnitřnı́ moment hybnosti, jevı́ magnetický moment (≡ spin)
µ =
e~
2me
=
[SI] − Bohrův magneton
e~
[CGS]
2me c
Stern - Gerlach
1922
detektor
S
pec
Ag
atomy
B
~
F~ = −grad (−~µ · B)
Fz = µ ·
∂B
∂z
1~ ~
H ·B ;
2
~ + M)
~
B = µ0 (H
(interakčnı́ energie) U =
N
měřenı́ spinu → klasické očekávánı́: S ∈ (− | µ | , + | µ |)
kvantový výsledek: ± | µ |
14
Einstein - de Haas (1915)
určenı́ gyromagnetického poměru
~ = 0
N · ~j + L
⇔ zachovánı́ úhlového momentu
N . . . počet ē
~j . . . elementárnı́ úhlový moment ē
~ = N ·M
~e = N · g ·
M
= g
!
e
e
~ =
· ~j = g L
2m
2m
!
~
~
− e~ L
L
= g · µB
2m
~
~
~, L
~ jsou měřitelné veličiny
M
m2
−2
, což rozměrově odpovı́dá veličině p × r
J · s = kg m s m s = kg
s
Z
M
1 q
1
1
~ =
~
~ =
(~r × I)
(~r × p~) = gµL
~r × ~j dV =
M
2
2
2 m
elektron: g = 2 . . . tzv. anomálnı́ gyromagnetický faktor
Sekvenčnı́ SG analýza:
z+
1)
zdroj
SG
z−
2)
zdroj
SGz
z+
z+
SGz
···
x+
SG z
x−
15
zdroj
3)
z+
SGz
SGx
x+
z+
SG z
z−
Nemožnost současné detekce x, y, z
~ = J · ~ω
Srovnej L
Polarizace světla:
Sz ±
...
~ x = E0 ~x cos φ
E
~ y = E0 ~y cos φ
E
φ = ωt − ~k~r
x, y polarizace
y
y
Sx ±
θ
1
Ex′ = √ (~x cos φ + ~y cos φ)
2
1
Ey′ = √ (−~x cos φ + ~y cos φ)
2
x
x
1
|Sx ± i = √ (|Sz +i ± |Sz −i)
2
1
|Sy ± i = √ (|Sz + i ± i|Sz − i)
2
Kvantová teorie
• Stav = kompletnı́ znalost systému
• Lineárnı́ vektorový komplexnı́ prostor
a|αi + b|βi = c|γi , 0 . . . nulový vektor
stav je určen paprskem ve vektorovém prostoru
16
• duálnı́ báze
|αi
...
hα| (sloupce vs. řádky)
• skalárnı́ součin
hα|βi = (hβ|αi)∗
)
h∗| . . . bra vektor
Diracova notace
|∗i . . . ket vektor
analogie s Eukleidovským vektorovým prostorem ~a · ~b = ha|bi
• norma kαk2 = hα|αi ≥ 0 !!
• operátory → stavu přiřazujı́ opět stav
lineárnı́ operátor X(a|αi + b|βi) = aX|αi + bX|βi
hermitovské združenı́ X|αi → hα|X+
hβ|X|αi = hα|X+ |βi∗
∀ α, β
násobenı́ operátorů XY 6= YX ! ale (XY)Z = X(YZ)
(XY)+ = Y+ X+
protože XY|αi → hα|Y+ X+
Vlastnosti skalárnı́ho součinu:
1.
hϕ| (|ψ1 i + |ψ2i) = hϕ|ψ1 i + hϕ|ψ2 i
2.
hϕ|αψi = αhϕ|ψi
3.
hϕ|ψi = hψ|ϕi∗
4.
hψ|ψi ≥ 0
• Vektorový prostor se skalárnı́m součinem nazýváme unitárnı́ prostor.
• Prostor je úplný, jestliže každá Cauchyova posloupnost konverguje,
tzn. tento prostor obsahuje i svoji hranici.
17
• Silná konvergence:
|ψn i −→ |ψi, jestliže k |ψi − |ψn i k −→ 0 pro n → ∞
• Slabá konvergence:
|ψn i konverguje k |ψi ve slabém smyslu, jestliže
∀ϕ ∈ V;
hϕ| (|ψi − |ψn i) −→ 0
• Hilbertův prostor = úplný unitárnı́ prostor stavů
• Separabilnı́ Hilbertův prostor = úplný unitárnı́ prostor stavů se
spočetnou ortogonálnı́ bázı́
• Vnějšı́ součin |αihβ|
Zakázané výrazy:
|αi|βi
Xhα|
)
nedefinované !
Asociativnı́ zákon: (|αihβ|)|γi = |αi(hβ|γi)
dále platı́: (|αihβ|)+ = |βihα|
Hermitovský operátor: X = X+
Vlastnı́ hodnoty hermitovského operátoru jsou reálná čı́sla a
vlastnı́ stavy jsou ortogonálnı́!, nebot’:
Necht’
∗
A|a′ i = a′ |a′ i ; ha′′ |A+ = a′′ ha′′ |
Pak
ha′′ |A|a′ i = a′ ha′′ |a′ i
proč? ′′∗ ′′ ′
= a ha |a i
)
18
⇒ (a′ − a′′∗ )ha′′ |a′ i = 0
=⇒ obecně a′ − a′′∗ 6= 0, pak nutně ha′′ |a′ i = 0
Tedy |a′i i tvořı́ úplnou ortogonálnı́ bazi,
X
pak pro libovolný stav (vektor) |αi platı́: |αi =
ca′i |a′i i,
i
kde ca′i = ha′i |αi
Dále, necht’
hα|αi = 1 (normalizace skalárnı́ho součinu) −→
X
X
hα|a′i iha′i |αi =
−→
|ca′i |2 =
i
i
= hα|
=⇒
X
i
|a′i iha′i | = 1̂ ;
⇒
X
i
(|a′i iha′i |) |αi = 1
Λa′i = |a′i iha′i | . . .
X
projektor
Λa′i = 1 ; Λ2a′i = Λa′i
i
Maticová reprezentace operátorů a stavů:
X
X̂ ≡
|a′j iha′j | X̂ |a′i iha′i | ,
| {z }
i,j
čı́slo
X
dále |αi =
|a′i iha′i |αi,
| {z }
i
čı́slo


′
ai1


′
vektoru |ai i odpovı́dá sloupec  a′i2 
..
.
′
′
′
vektoru ha | odpovı́dá řádek (ai1 , ai2 , . . . ), tedy
 




β1
α1
······



..   β 
|αi = X̂|βi ⇐⇒  α2  =  ...
.  2
..
..
······
.
.
Fyzikálnı́ interpretace:
19
• redukce stavu do některé z hodnot spektra měřeného operátoru
• pravděpodobnostnı́ přiřazenı́
X
|αi =
ca′i |a′i i
měřenı́ −→ |a′i i
i
pa′i = |hα|a′i i|2
X
střednı́ hodnota hα|A|αi =
a′i |hα|a′i i|2
i
měřenı́ ≡ filtrace !
Spin 1/2:
1
|Sx ± = √ (|+i ± eiδ1 |−i)
2
1
|Sy ± = √ (|+i ± eiδ1 |−i)
2
1
1
|hSx |Sy i|2 −→ |1 ± ei(δ1 −δ2 ) | = √
2
2
Kompatibilnı́ měřenı́, degenerace:
pro komutátor platı́: [A, B] ≡ AB − BA = 0
Jestliže je spektrum A nedegenerované, pak B je diagonálnı́, tedy
ha′ |[A, B]|a′′i = 0
=⇒
(a′ − a′′ )ha′ |B|a′′ i = 0.
Pak ha′ |B|a′′ i = 0 = bha′ |a′′ i = bha′i |a′j i = δi,j ,
což znamená, že B je diagonálnı́ (ověř dosazenı́m!) a navı́c
X
B =
|a′i iha′i |
i
|a′ , b′, c′ , . . . i
...
úplná množina pozorovatelných veličin = komutujı́,
sejmutı́ degenerace
(L2, Lz) . . . kompatibilita ≡ neovlivňovánı́ se při měřenı́
{a′ , b′ , c′, . . . } . . . multiindex
A měřenı́
B
A
|αi −−−−−−−→ |a′ i −−→ |a′ , b′i −−→ opět |a′ i!!
20
Nekompatibilnı́ měřenı́:
[A, B] 6= 0
...
neexistuje kompletnı́ množina vlastnı́ch stavů a′ , b′
A
B
C
a
b
pa′ ,c′ = |ha′ |c′ i|2 = |
p̃a′ ,c′ =
X
i
pa′ ,c′ 6= p̃a′ ,c′
X
i
ha′ |b′iihb′i |c′ i|2
|ha′ |b′i i|2 |hb′i |c′ i|2
pokud [A, B] 6= 0 nebo [B, C] 6= 0
nekompatibilita =⇒ relace neurčitosti:
∆A = A − hAi ; (∆A)2 = hA2 i − hAi2 .
Pokud jsou (A, B) hermitovské, pak
(∆A)2(∆B)2 ≥
1
|h[A, B]i|2
4
Důkaz:
−→ Schwartzova nerovnost
hα|αi hβ|βi ≥ |hα|βi|2 ,
protože
(hα| + λ∗ hβ|)(|αi + λ|βi) ≥ 0
pak
pro λ = −
c
hβ|αi
,
hβ|βi
|αi = ∆A|∗i ; |βi = ∆B|∗i
(∆A)2(∆B)2 ≥ |h∆A · ∆Bi|2 ,
21
1
1
[∆A, ∆B] + {∆A, ∆B} ,
2
2
kde [∗, ∗] . . . komutátor
{A, B} = AB + BA . . . antikomutátor
a
1
1
|h∆A · ∆Bi|2 = |h[A, B]i|2 + |h{∆A, ∆B}i|2 .
4
4
∆A · ∆B =
Reprezentace - změna baze:
Pokud |ai i, |bi i jsou dvě úplné ortogonálnı́ baze, kde |bi i = U|ai i pak U
je unitárnı́
Unitarita:
U+ U = UU+ = 1,
pak U+ = U−1
Důkaz:
U =
X
i
|bi ihai |
U|aj i = |bj i a U+ U = UU+ = 1
Maticová reprezentace U:
hai |U|aj i = hai |bj i
X
hbi |αi =
hai |U+ |aj ihaj |αi
j
Stopa: Tr(X) =
P
′
′
i hai |X|ai i
Necht’ X = U+ XU, pak
Tr(X) = Tr(X′)
22
Diagonalizace operátoru:
B|b′i = b′ |b′ i
det(B − λE) = 0
UAU−1
má stejné vlastnosti jako A.
23
Lekce 3: Operátory se spojitým
spektrem, vlnová reprezentace
Operátory polohy a impulzu
ξ|ξ ′ i = ξ ′ |ξ ′ i ;
ξ . . . operátor ,
ξ ′ . . . komplexnı́ čı́slo
pak
−→
hai |aj i = δi,j
{z
}
|
diskrétnı́ spektrum
analogicky,
X
i
|αi =
X
|a′i iha′i |
X
i
−→
|ai iha′i |αi
|ha′i |αi|2
i
′
haj |A|a′i i
= 1
= 1
= a′i δi,j
hξi′ |ξj′ i = δ(ξi′ − ξj′ )
|
{z
}
spojité spektrum
Z
dξ ′ |ξ ′ ihξ ′ | = 1
−→
|αi =
−→
Z
Z
dξ ′ |ξ ′ ihξ ′ |αi
dξ ′ |hξ ′ |αi|2 = 1
hξj′ |ξ|ξi′ i = ξi′ δ(ξi′ − ξj′ )
−→
Pod operátorem ξ si představme operátory souřadnice nebo hybnosti.
Tedy
|αi =
+∞
Z
dx′ |x′ihx′ |αi
−∞
měřenı́
−→
x+∆/2
Z
dx′ |x′ ihx′ |αi
x′ −∆/2
24
∆
...
interval, který určuje přesnost měřenı́
+∞
R
dx′ |hx′ |αi|2 = 1 . . . částice určitě někde v prostoru
normalizace:
−∞
je!
3D zobecněnı́: x −→ ~x(x, y, z)
[xi, xj ] = 0,
Translace
=
kde i 6= j, i, j ∈ {1, 2, 3}
posun v prostoru:
T(∆x′) |x′ i = |x′ + ∆x′i ;
|αi
−→
′
|x′ i nenı́ vlastnı́ stav operátoru T
Z
′
T(∆x ) |x i =
dx′ |x′ + ∆x′ ihx′ |αi =
Z
=
dx′ |x′′ihx′′ − ∆x′|αi
Vlastnosti operátoru translace:
1. hα|αi = 1
−→
hα|TT+ αi
⇒
TT+ = 1
(unitarita)
2. T(∆x′′) T(∆x′) = T(∆x′ + ∆x′′) (skládánı́)
3. T(−∆x′) = T−1(∆x′) (inverze)
4. lim T(∆x) = 1 (neutrálnı́ prvek)
∆x−→0
⇒ translace tvořı́ grupu
Infinitezimálnı́ reprezentace grupy:
T(∆x′) = 1 − i∆x′K ; K . . . hermitovský operátor
−→ splňje čtyři grupové vlastnosti translace
xT(∆x′)|x′i = x|x′ + ∆x′i = (x′ + ∆x′ )|x′ + ∆x′i
Tx|x′i = x′ T|x′i = x′|x′ + ∆x′i
25
⇒ [x, T]|x′i = ∆x′|x′ + ∆x′i = ∆x′|x′′ i
⇒
[x, T] = ∆x′
⇒
[xi, Ki] = iδij , kde
K = (K1 , K2, K3 ) a x = ~x = (x1, x2 , x3)
pak je součin ∆x′K bezrozměrný a necht’ K =
p
, kde
konst
p = ~p = (p1, p2, p3) ,
∆~x′p
′
tedy T(∆~x ) = 1 − i
~
analogie
=⇒
p
2π
=
λ
~
!
[xi, pj ] = i~δij .
Heisenbergova relace neurčitosti:
~2
h(∆x) i h(∆p) i ≥
4
2
2
Konečná translace:
T(~x′)|~x′′i = |~x′ + ~x′′i neboli konečnou translaci lze složit z nekonečně
mnoha infinitezimálnı́ch translaci, t.j.
!N
!
′
′
~x p
~x p
T(~x′) = lim
1−i
= exp −i
N −→∞
N~
~
dále platı́, že
[p, T(∆~x′)] = 0 ,
T je unitárnı́ , T(∆~x′)|pi =
!
∆~x p
|pi
1−i
~
Kanonické komutačnı́ relace:
[xi, xj ] = 0 ,
[pi, pj ] = 0 ,
26
[xi, pj] = i~δij
′
Kvantovánı́: (zavedl Dirac, 1925)
přechod od { , }klas
{ , }klas
...
−→
[, ]
, kde
i~
Poissonovy závorky
např.:
{A(p, q), B(p, q)}klas =
∂A ∂B
∂A ∂B
−
∂p ∂q
∂q ∂p
nebo {xi, pj }klas = δij
a platı́:
{A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0
(Jacobiho identita)
Klasické zavedenı́:
d ∂L
∂L
−
= 0 , kde L = L(q, q̇)
dt ∂ q̇i
∂qi
∂L
= pi .
a
∂ q̇i
Transformace L(q, q̇) −→ H(q, p) ,
X
kde H =
piq̇i − L (Hamiltonian)
Lagrange - Eulerova rovnice −→
i
a q̇i =
∂H
∂pi
,
ṗi = −
∂H
∂qi
,
dA
= {A, H}
dt
Vlnová funkce a vlnová mechanika:
−→
x, p − reprezentace kvantové mechaniky
hx′ |αi = ψα (x′) , pak
+∞
Z
|ψα (x′)|2 dx′
−∞
−→
27
ψα (x′) ∈ L2(−∞,+∞)
hβ|αi =
Platı́
R
dx′ ψβ∗ (x′)ψα (x′).
hβ|f (x′)|αi =
Z
dx′ ψβ∗ (x′ ) f (x′) ψα (x′)
Operátor p v x − bazi (reprezentaci)
=
ip∆x′
(1 −
) |αi =
~
Z
Z
dx′ T(∆x′)|x′ihx′ |αi =
Z
′
′
′
′
dx |x + ∆x ihx |αi =
dx′ |x′′ ihx′′ − ∆x′|αi ≈
≈
Z
dx′ |x′′i (hx′′|αi + ∆x′
∂ ′′
hx |αi)
∂x′′
Srovnánı́m
Z obou stran dostaneme:
∂
p|αi =
dx′ |x′′ i (−i~ ′′hx′′ |αi)
∂x
=⇒
∂ ′
hx |αi
∂x′
∂
hx′ |p|x′′i = −i~
δ(x′ − x′′)
′
∂x
∂ (n)
′ n ′′
n
hx |p |x i = (−i~)
δ(x′ − x′′).
′n
∂x
p − reprezentace:
hx′ |p|αi = −i~
hp′ |αi = Φα (p′) ,
Přechod:
atd.
hx′ |p|p′ i = −i~
∂ ′ ′
hx |p i = p′ hx′ |p′ i ,
′
∂x
což je diferenciálnı́ rovnice. !
ip′ x′
1
′ ′
⇒ hx |p i = N · exp
, kde N = √
.
~
2π~
28
Gaussovský balı́k (vlnové klubko):
−→ v podstatě kopı́ruje statistiku Gaussova rozdělenı́:
!
′2
1
x
√ exp ikx′ − 2
hx′ |p′ i =
3/4
2d
π
d
=⇒
a
d2
= h(∆x)2i
hxi = 0 , hx i =
2
~2
2
+ ~2 k 2
hpi = ~k , h(p) i =
2d2
~2
2
2
!
⇒ (∆p) (∆x) =
4
2
3D:
x, p
→
~x, ~p
~p = −i~∇ = −i~
29
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
!
Lekce 4: Dynamika kvantových
systémů
|α, t0 ; ti t > t0 (čas nemůže běžet pozpátku) . . . popisuje časový vývoj
lim |α, t0 ; ti = |αi
t−→t0
a platı́
|α, t0 ; ti = U(t, t0) |α, t0 i , kde
U ...
operátor časového vývoje čili evolučnı́ operátor.
V libovolné bazi pak platı́:
X
X
′
|α, t0 i =
ci (t0 )|ai i , |α, t0 ; ti =
ci (t)|a′i i.
i
i
Časový vývoj má za následek, že |ci (t0)| 6= |ci (t)|, ale
X
X
2
|ci (t0 )| =
|ci (t)|2.
i
i
Dále platı́:
1. hα, t0 |α, t0 i = 1 −→ hα, t0 |α, t0i = 1,
U+ (t0, t) U(t0 , t) = 1 . . . unitarita
2. skládánı́
U(t2 , t0) = U(t2 , t1) U(t1 , t0) ;
3. lim U(t0 + ∆t, t0 ) = 1
∆t−→0
30
t2 > t1 > t0
Infinitezimálnı́ transformace:
U(t0 + dt, t0 ) = 1 − i Ω dt , kde Ω+ = Ω . . . hermitovský operátor
Necht’ dále platı́:
Ω=
H
(analogie s E = ~ω), kde H
~
Pak
U(t + dt, t0 ) = U(t + dt, t)U(t, t0) =
⇐⇒
U(t + dt, t0) − U(t, t0 ) = −i
|
{z
}
∂
U(t, t0) dt
∂t
∂
U(t, t0) = H U(t, t0 )
i~
∂t
⇐⇒
...
Hamiltonián
!
H
dt U(t, t0)
1−i
~
H dt
U(t, t0)
~
∂
|α, t0 ; ti = H |α, t0 ; ti , což je
∂t
Schrödingerova rovnice pro časový vývoj.
=⇒
i~
Řešenı́:
1.
H nezávisı́ na čase
H
(t − t0 )
U(t, t0 ) = exp −i
~
2.
H závisı́ na čase, ale [H(t), H(t′)] = 0 ∀t, t′

U(t, t0 ) = exp −
3.
!
i
~
Zt
t0

H(t′ )dt′
H závisı́ na čase a v různých časech tento operátor nekomutuje !
31
U(t, t0 ) = 1+
∞
X
n=1
i
−
~
!n Zt
dt1
t0
Zt1
t0
dt2 . . .
tZ
n−1
t0
dtn H(t1) · H(t2 ) · . . . · H(tn )
tzv. Dysonova řada
Časová změna baze:
[A, H] = 0,
H|a′j i = Ei|a′j i,
pak
i
exp(− Ht) =
~
=
X
j
X
j
!
i
exp − Ht
~
|a′j iha′j | =
!
i
|a′j iha′j | exp − Ej t .
~
Dále, pokud chceme vyjádřit časovou závislost nějakého stavu |α, t0 ; ti,
platı́
!
X
i
|α, t0 ; ti =
|a′j iha′j |α, t0 i exp − Ej t ,
~
j
!
i
ci (t = 0) −→ cj (t) = cj (t = 0) · exp − Ej t ,
~
speciálně pro stav |a′j i odvodı́me
!
i
|a′j , t0i −→ |a′j , t0 i · exp − Ej t = |a′j , ti.
~
Můžeme sestrojit množinu všech vzájemně kompatibilnı́ch operátorů komutujı́cı́ch s H. Necht’ A, B jsou některé z nich, pak střednı́ hodnota
operátoru hBi stacionárnı́ch stavů nezávisı́ na čase.
V opačném přı́padě, u nestacionárnı́ch stavů, tato střednı́ hodnota už na
32
čase záviset bude, konkrétně takto:
hBi =
X
j,k
!
i
c∗j ck ha′j |B|a′k i exp − (Ej − Ek )t
~
Přı́klad časového vývoje:
−→ precese spinu
Uvažujme magnetické pole a necht’ pro vektor magnetické indukce platı́:
~ = (0, 0, B).
B
Pak
!
e
~ , kde
H = −
· ~S · B
me
~S = (Sx , Sy , Sz)
tedy
...
vektorový spinový operátor
e
H = −
B · Sz , e < 0 ;
me
Jelikož [H, Sz] = 0,
⇒
Definujme dále ω =
|e|B
, pak
me
1
Sz =
~
2
1 0
0 −1
!
.
|+i, |−i jsou vlastnı́ stavy s energiı́ ∓
H = ω · Sz
eB~
.
2me
!
iωSz
a U = exp −
t
~
Pro libovolný stacionárnı́ spinový stav plati
|αi = c+ |+i + c− |−i
−→
iωt
|α, ti = c+ exp −
~
!
iωt
|+i + c− exp −
~
!
|−i.
Např.:
1
necht’ c+ = c− = √ a necht’ se pozorovánı́ uskutečňuje ve smeru osy x,
2
pak
33


ωt


 cos2
2
|hSx± |α, ti|2 =

ωt


 sin2
2
tedy
~
cos ωt,
2
hSx i =
hSy i =
ve směru x+
,
ve směru x−
~
sin ωt,
2
hSz i = 0,
což je precese spinu.
Relace neurčitosti pro energii a čas:
Korelačnı́ amplituda
c(t) = hα|α, t0 ; ti = hα|U(t0 , t)|αi.
Rozvoj do vlastnı́ch stavů energie:
c(t) =
X
j
!
i
|cj |2 · exp − Ej t .
~
Přechod ke spojitému spektru:
Z
X
−→
dE ρ(E)
, kde ρ(E) . . . hustota energetických stavů .
j
cj
−→
g(E)
!
Z
i
dE ρ(E) · |g(E)|2 exp − Et .
~
R
Normalizace:
dE ρ(E) · |g(E)|2 = 1.
Dále
! Z
!
i
i
c(t) = exp − E0t · dE ρ(E) · |g(E)|2 exp − ∆Et
~
~
=⇒
c(t) =
34
pak c(t) 6= 0 ∀t a ∆E · t ≡ ~ !
Schrödingerova vs. Heisenbergova reprezentace:
−→ přechod k nestacionárnı́m stavům
|αi → U|αi ; |βi = U|βi,
pak
hβ|αi −→ hβ|U+ U|αi ≡ hβ|αi a
hβ|X|αi −→ hβ U+ |X|U αi ≡ hβ|U+ XU|αi.
1.
|αi → U|αi a neměnı́ se operátory
2.
X → U+ XU a neměnı́ se stavy
Př.:
translace
1. |αi →
x = x
!
d~x~p
1−i
|αi, ale
~
2. |αi → |αi, ale !
d~x~p
x → 1+i
x
~
!
d~x~p
1−i
= ~x + d~x
~
1.
≡
Schrödingerův obraz (pro časový vývoj)
2.
≡
Heisenbergův obraz
Platı́:
AH (0) = AS ,
|α, tiH = |α, t0 iS
35
Heisenbergovy pohybové zákony:
Necht’ AS 6= AS (t)
∂ + S
∂ +
∂
dAH
=
(U A U) =
U · AS U + U+ AS · U =
dt
∂t
∂t
∂t
∂
1
dosad’ Sch.r. 1
=
[AH , H] ; použito
U =
HU.
i~
∂t
i~
Souvisı́ s klasickými pohybovými zákony.
dA
= [A, H]Pois ! formálnı́ kvantovánı́
dt
Ehrefestův teorém: (1927)
−→
−→ klasické pohybové zákony obdržı́me jako vývoj střendnı́ch hodnot!
Volná částice:
∂F
∂pj
∂G
[pk , G(x)] = −i~
∂xk
Pak
[xj , F(p)] = i~
1
pj
dxj
=
[xj , H] =
dt
i~
m
p2
H =
2m
;
pj (t) = pj (0)
Řešenı́:
xj (t) = x0 (0) +
pj (0)
m
−→
[xj (t), xj(0)] =
=⇒
"
pj (0)
t, xj
m
#
= −
~2t2
(∆xj(t)) (∆xj) ≥
!!
4m2
2
36
i~t
m
s
~τ
. . . standardnı́ kvantová limita
m
pohyb částice v potenciálovém poli:
∆xSQ ∼
p2
H =
+ V(x)
2m
dpj
1
∂
=
[pj , H] = − V(x)
dt
i~
∂x
dxj
dpj
=
dt
m
−→
d 2 xj
=
dt2
1
i~
"
#
1 dpj
dxj
,H =
dt
m dt
d2 x
m 2 = − grad V(x)
dt
−→
⇐⇒
*
+
d2 x
m
= − h∇ V(x)i
dt2
...
Newtonův zákon
Matice hustoty:
|αi = c+ |+i + c− |−i
...
čistý stav, principiálně neurčitelný
−→ studujme náhodný stav (viz analogie: polarizovaný vs. nepolarizovaný stav)
⇒ středovánı́ přes náhodné soubory
X
[A] =
wihαi |A|αi i ,
i
tj. s pravděpodobnostı́ wi nalézáme stav |αi i.
37
[A] =
X
i,j
aj wi |hαi |aj i|2
⇐⇒
Matice hustoty −→
XX
r,s
i
ρ =
vyjádřeno v diagonálnı́ bazi |aj i
wi hβr |A|βs i hβs |αi ihαi |βr i
P
i wi |αi ihαi |
[A] = T r(ρA) !!
X
X
T r(ρ) =
wi hαi |αi i =
wi = 1 .
i
i
Pro čistý stav
|αi ihαi | platı́:
ρ2 = ρ , T r(ρ2 ) = 1 ;
jinak je T r(ρ2) ≤ 1
Časový vývoj statistického souboru
ρ(t0) =
X
i
Přechod |αi i = |αi , ti
=⇒
⇐⇒
i~
wi |αi ihαi |.
X
∂ρ
=
wj (H |αj , tihαj , t| − |αj , tihαj , t| H) = − [ρ, H]
∂t
j
∂ρ
1
= −
[ρ, H]
∂t
i~
...
Liouvillova rovnice kontinuity ve fázovém prostor
Vlastnosti ρ:
T r(ρ) = 1 ; ρ ≥ 0 ,
X
v diagonálnı́ bazi lze psát ρ =
λi | λi ihλi | ,
i
kde λi ≥ 0 jsou vlastnı́ hodnoty odpovı́dajı́cı́ ortogonálnı́m stavům |λi i.
Ve statistické fyzice matice hustoty definuje entropii σ = − T r(ρ ln ρ).
38
Lekce 5: Řešenı́ Schrödingerovy
rovnice
Harmonický oscilátor
p2
1
k
H =
+ mωx2 , kde ω =
2m
2
m
Řešenı́:
zavedeme substituci;
s
s
!
p
mω
mω
x + i
, a+ =
a =
2~
mω
2~
kde
a†
a
...
...
kreačnı́ operátor
anihilačnı́ operátor
p
x − i
mω
!
,
a [a, a+] = 1.
Pak
a+ a =
Baze:
1
H
− ;
~ω
2
N = a+ a
operátor počtu částic
!
1
N|ni = n|ni ; H|ni = ~ω n +
|ni
2
[N, a+ ] = a+
[N, a] = −a ;
⇒
...
Na+ |ni = (n + 1)a+|ni
Na|ni = (n − 1)a|ni
tj. a+ |ni je také vlastnı́ stav a|ni
39
a|ni =
n
...
√
n|n − 1i , a+ |ni =
√
n + 1|n + 1i , kde
nezáporná celá čı́sla, n ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }
hNi = ha+ ai ≥ 0 (norma!)
|0i
...
základnı́ stav (vakuum)
n
a+
|1i = a |0i , |ni = √ |0i
n!
√
√
hn′ a ni = n δn′ n−1 , hn′ a+ ni = n + 1 δn′ n+1
s
s
~
m~ω
x =
(a + a+ ) , p = i
(−a + a+ )
2mω
2
†
x - reprezentace:
a|0i = 0
⇐⇒
=⇒
s
mω
hx|
2~
!
d
x + x20
dx
=⇒ hx|0i =
x +
hx|0i = 0 ,
1
1√
π 4 x0

exp −
1
2
ip
mω
!
|0i = 0
r
x0 =
x
x0
~
mω
!2 

dále,
!
d
x − x20
hx|0i
dx
..
.

!n
d
1
x − x20
exp −
dx
2
1 1
hx|1i = √
2 x0
hx|ni =
1
1
√
· n+ 1
π 2nn! x 2
0
1
4
40
x
x0
!2 
 hx|0i.
Pak
Časový vývoj:

~ 



h0|x2|0i =
2mω
~mω 

2


h0|p |0i =
2
⇒
∆x ∆p =
~
.
2
dx
p
dp
= − mω 2 x ,
=
dt
dt
m
+
nebo také pomocı́ operátorů a, a
s
!
da
mω
p
=
− iωx = −i ωa
dt
2~
m
s
!
+
p
da
mω
=
+ iωx = iωa+
dt
2~
m
a(t) = a(0) e−
=⇒
iωt
a+ (t) = a+ (0) eiωt
,
a také
p(0)
sin ωt
mω
p(t) = − mωx(0) sin ωt + p(0) cos ωt
x(t) = x(0) cos ωt +
Matematický doplněk:
Vlastnı́ stavy harmonického oscilátoru
−→
Ψn (ξ) = √
ξ =
x
=
x0
a
n
ξ2
Hn (ξ) = (−1) e
s
mω
π~
1
2n n!
mω
x,
~
dn −ξ 2
e
dξ n
! 41
En
...
41
e−
ξ2
2
Hn (ξ) , kde
!
1
= ~ω n +
2
Hermitovy polynomy ,
navı́c
+∞
Z
2
1
Hn′ (ξ) Hn (ξ) dξ e−ξ = π 2 2n δnn′
−∞
Baker - Hausdorffova identita:
exp (iGλ) A exp (−iGλ) =
i2 λ2
[G, [G, A]] + . . .
= A + iλ [G, A] +
2!
Schrödingerova vlnová rovnice:
p2
+ V (x);
H =
2m
Ψ(x′, t) = hx′ |α, t0 ; ti
p, x
...
operátory
hx′′ |V (x)|x′i = V (x′) δ(x′′ − x′ )
(obecně je však V = V (t) nebo v elektrodynamice je
V ∼ pA + Ap)
∂ ′
hx |α, t0 ; ti = hx′ |H|α, t0 ; ti
∂t
~2 ′2
∂
′
∇ Ψ(x′, t) + V (x′) Ψ(x′ , t)
i~ Ψ(x , t) = −
∂t
2m
⇒
⇐⇒
i~
kde Ψ(x′, t) ∈ L2 (−∞, ∞)
−→ S.vl. rce - základ vlnové mechniky (Schrödinger 1926)
Časově nezávislá vlnová rovnice:
!
iE
α
hx′ |α, t0 ; ti = hx′ |α, t0i exp −
t ,
~
42
pak
~2 ′2
−
∇ uE (x′) + V (x′) uE (x′) = E uE (x′)
2m
2
2m
d
Ψ(x)
=
f
(x)Ψ(x
,
kde
f
(x)
=
(V (x) − E)
dx2
~2
−→ Diskrétnı́ vs. spojité spektrum
Obecné vlastnosti stacionárnı́ch stavů v 1D
Asymptotické chovánı́:
−→
Předpoklad :
d2 Ψ
= Ψ′′(x) = f (x)Ψ(x)
dx2
necht’ f (x) ≥ κ 2 pro x ≥ a
kde κ, a ≥ 0
...
reálné konstanty
dvě nezávislá řešenı́: Ψ1 , Ψ2
Ψ1 (a) = Ψ′2(a) = 1
Ψ′1 (a)
= Ψ2(a) = 0
)
⇒
Ψ1,2 , Ψ′1,2 > 0
Wronskián
W (u, v, x) = uv ′ − u′v ,
pokud u′′ = f1u, v ′′ = f2 v , pak
d
W = (f2 − f1) uv , pak
dx
W (Ψ1, Ψ2, x) = 1.
Protože
1
> 0 , platı́
Ψ2 (x)Ψ′2(x)
ϕ(x) − ρ(x) =
1
Ψ1 (x)
>
0
,
kde
ϕ(x)
=
,
Ψ2Ψ′2
Ψ2 (x)
43
ρ=
Ψ′1(x)
.
Ψ′2(x)
Uvažme rovnici:
w1 = cosh κ(x − a)
w′′ = κ 2w , pak
W (u, v, x2) − W (u, v, x1) =
Necht’
Z
w2 = sinh κ(x − a)
x2
x1
(f2(x′) − f1 (x′)) u(x′)v(x′)dx′ .
x1 = a , x2 = x > a
a f1 (x′) = f (x) , f2 (x′) = κ 2
a u = Ψ1 , v = cosh κ(x − a).
Pak
Ψ1 (x) κ sinh κ(x − a) − Ψ′1 (x) cosh κ(x − a) =
Z x
= −
(f (x′) − κ 2) Ψ1 (x′) cosh κ(x − a)dx′
{z
} | {z } |
{z
}
a |
> 0
> 0
> 0
sinh κ(x − a)
Ψ′1(x)
>κ
,
=⇒
Ψ1(x)
cosh κ(x − a)
pak po integraci a odstraněnı́ přirozeného logaritmu dostaneme:
Ψ1 (x) > cosh κ(x − a) !
Analogicky: u = Ψ2 ,
⇒
v = sinh κ(x − a)
cosh κ(x − a)
Ψ′2 (x)
≥ κ
Ψ2 (x)
sinh κ(x − a)
pak po integraci v určitých mezı́ch obdržı́me:
sinh κ(x − a)
Ψ2 (x)
≥ ln
Ψ2(x1)
sinh κ(x1 − a)
Ψ2 (x1)
Ψ2 (x) ≥
sinh κ(x − a).
sinh κ(x1 − a)
ln
⇐⇒
44
Pokud bychom uvážili limitu x1 −→ a , pak hodnoty
Ψ2 (a) = sinh κ(0) = 0.
Užijeme-li L’Hospitalovo pravidlo o limitnı́m podı́lu 00 , pak
Ψ′2 (a)
sinh κ(x1 − a)
Ψ2 (x) ≥
κ cosh κ(0)
sinh κ(x − a)
⇐⇒ Ψ2 (x) ≥
κ
Závěr 1:
pro x −→ ∞ Ψ1 , Ψ2
divergujı́ jako
∼ exp(κx)
Závěr 2:
existuje právě jedno lineárně nezávislé řešenı́, které
pro x −→ ∞ je shora omezeno funkcı́ A · exp(− κx)
Důkaz:
1
W (Ψ1, Ψ2, x)
= − 2 < 0
2
Ψ2 (x)
Ψ2
2
f (x) · W
κ
ρ′ (x) =
≥
> 0.
(Ψ′2)2
(Ψ′2)2
ϕ′(x) = −
Tedy ϕ > 0 a klesá ⇒ existuje limita:
lim
x−→∞
Protože 0 ≤ ϕ − ρ =
=⇒
1
Ψ2Ψ′2
1
≤
x−→∞ Ψ2 Ψ′
2
lim
a
= α > 0.
Ψ2 ≥
sinh κ(x − a)
κ
1
lim
x−→∞
sinh κ(x − a)
cosh κ(x − a)
κ
pak v limitě x −→ ∞ , ϕ = ρ.
ρ stále roste
−→
45
0 ≤ ρ(x) ≤ α.
= 0,
Uvažme:
Ψ− = Ψ1 (x) − αΨ2(x) je opět řešenı́m !! , pak
lim = 0 , protože ϕ =
x−→∞
Jelikož je ρ ≤ α, můžeme psát
Ψ− ≤ Ψ1 − ρΨ2 =
≤
a také
Ψ1
−→ α.
Ψ2
1 sinh κ(x − a)
1
≤
≤
Ψ′2
κΨ2 cosh κ(x − a)
1
< 2 exp[− κ(x − a)] !!,
cosh κ(x − a)
α
) < 0 pro x > a
ρ
Ψ− (x) klesá k 0 pro x −→ ∞ ,
Ψ′− (x) = Ψ′1 (1 −
Tedy:
0 < Ψ− (x) < 2 exp[− κ(x − a)]
Závěr 3:
Necht’ Ψ′′x = f (x)Ψ(x) , f (x) = − k 2 + ∆(x) , lim ∆(x) = 0 ;
x−→∞
má řešenı́
Ψ(x) ∼ A · sin(kx + ω0 ) ,
které je normovatelné na δ - funkci.
Obecné řešenı́ Schrödingerovy rovnice:
Necht’ V (x) je po částech spojitá na (−∞, +∞) a lim = V±
x−→±∞
p
2m(V± − E)
Necht’ V+ ≥ V− ; κ+ =
≥ 0.
~
Pak pro E < V− existuje právě jedno řešenı́, které konverguje
Ψ(1) (x) −→ exp(−κ+x) ,
Ψ(2) (x) −→ exp(−κ−x) ,
Ostatnı́ řešenı́ divergujı́ jako exp(+ κ±x)
46
x −→ +∞
x −→ +∞.
(konstanty)
1. Pro E < V− ≤ V+ mohou existovat pouze negenerované řešenı́
třı́dy L2 , tj. diskrétnı́ spektrum (vázaný stav)
2. Pro V− < E ≤ V+ a x −→ − ∞ je řešenı́m periodická funkce,
pro x −→ + ∞ je řešenı́m funkce ∼ exp(−κ+x) obdržı́me nedegenerované vlastnı́ hodnoty spojitého spektra.
3. Pro x −→ ± ∞ je řešenı́m periodická funkce.
Řešenı́ odpovı́dá 2-krát degenerovanému stavu spojité části spektra(částice se může pohybovat jak doleva tak doprava).
Souvislost s klasickým popisem:
Jestliže E patřı́ do diskrétnı́ části spektra, částice může klasicky vykonávat pouze finitnı́ (prostorově omezený) pohyb.
Důsledek 1:
Nedegenerovanost diskrétnı́ho spektra ≡ vlnová funkce je reálná.
Důkaz:
Ψ′′ = f (x)Ψ, kde Ψ je reálná funkce, pak Ψ a Ψ∗ jsou řešenı́, tedy musı́
být lineárně závislé.
⇒ Ψ∗ = e2iγ Ψ , Ψ = ϕ + iχ, tedy
ϕ − iχ = e2iγ (ϕ + iχ)
Důsledek 2:
Reálné řešenı́ je konvexnı́ (konkávnı́), pokud
f (x)Ψ > 0 ( f (x)Ψ < 0 ).
Oscilačnı́ věta:
Necht’ diskrétnı́ spektrum je tvořeno energiemi
E1 < E2 < · · · < En ,
pak Ψn (x) popisujı́cı́ stacionárnı́ řešenı́ s energiı́ En má právě (n − 1)
nulových bodů.
Silnějšı́ věta:
47
Mezi libovolnými dvěma body funkce Ψn (x) ležı́ právě jeden nulový bod
funkce Ψn+1(x)
Důkaz: → sporem
Necht’ u = Ψn (x) , v = Ψn+1(x) , f2 − f1 = En − En+1 < 0
Ψ′n (x1)Ψn+1(x1) − Ψ′n (x2)Ψn+1(x2) =
= (En − En+1)
Z
x2
Ψn (x)Ψn+1(x) dx ,
(∗)
x1
kde x1, x2 jsou nulové body a x1 < x2.
Necht’ Ψn > 0 na intervalu (x1, x2), pak Ψ′n (x1) ≥ 0 ,
Ψ′n (x2) ≤ 0. Necht’ Ψn+1 > 0 na intervalu (x1, x2), tj. nemá na tomto
intervalu nulové body, pak z (∗) plyne
L>0,
P <0
→ spor !!
Interpretace vlnové funkce:
ρ(x′, t) = |hx′ |α, t0 , ti|2
Z
ρ(x′, t) d3 x′
...
hustota pravděpodobnosti
...
pravděpodobnost
∂ρ
+ div~j = 0 (rovnice kontinuity)
∂t
~j = − i~ [Ψ∗ gradΨ − (gradΨ∗ )Ψ] = ~ Im(Ψ∗ ∇Ψ).
2m
m
Hermitovskost V − potenciálnı́ energie ve Sch. rci . . . důležité !!
Z
h~pi
. . . ∼ dynamika kapalin
m
Historická interpretace ρ jako hustota látky. Tato představa byla neudržitelná z důvodu kolapsu vlnové funkce.
Klasický význam vlnové funkce:
i
√
Ψ = ρ exp
S(x, t)
. . . polárnı́ rozklad
~
i √
ρ
√
√
∇S
ρ ∇S , ~j =
Ψ∗ ∇Ψ = ρ ∇ ρ +
~
m
~j(x, t) d3 x =
48
Ψ(~x, t) = exp
∇S ∼ p~ ,
!
i~p~x iEt
−
~
~
∇S
∼ ~v
m
⇒
∂ρ
+ div(ρ · ~v ) = 0
∂t
Klasické přiblı́ženı́: WKB řešenı́ (Wentzel, Kramers, Brillouin)
i
~2 2
√
−
∇ Ψ + V Ψ = EΨ , Ψ = ρ · e ~ S(x,t)
2m
~2
2i √
1 √
2√
2
−
∇ ρ + ∇ ρ ∇S − 2 ρ |∇S| +
2m
~
~
√
∂ ρ i √ ∂S
√
ρ
+
+ ρ V = i~
∂t
~
∂t
~ malé → aproximace ~ ∇2S ≪ |∇S|2
∂S
1
|∇S(x, t)|2 + V (x) +
=0,
2m
∂t
což je Hamiltonova - Jacobiho rovnice pro akci
∂S
∂S
+ H( , qi) = 0
∂t
∂qi
Stacionárnı́ řešenı́
S(x, t) = W (x) − Et , ~pclas = ∇ · w
analogie: geometrická optika ∼ klasická mechanika
vlnová optika ∼ kvantová mechanika
1 D řešenı́:
Z p
p
dW
= ± 2m(E − V (x)) , W (x) = ±
2m(E − V (x′))dx′
dt
x
∂ρ
∂ρ
1 ∂
∂S
=0,
+
ρ
= 0 (rovnice kontinuity)
∂t
∂t m ∂x ∂x
p
dW
= ± ρ 2m(E − V (x)) = const
ρ
dx
49
1
const
√
∼
ρ= p
4
v
E − V (x)
Z
p
iE
i
const
t
exp ±
dx′ 2m(E − V (x)) −
Ψ(x, t) = p
4
~ x
~
E − V (x)
což je WKB řešenı́
√
Srovnej:
→ pravděpodobnostnı́ interpretace řešenı́ harmonického oscilátoru
Podmı́nka platnosti WKB:
2 d W dW 2
~ 2 ≪ dx
dx 2(E − V )
~
≪
λ= p
dV
2m(E − V )
dx
∼ charakteristická vzdálenost změny V
⇒ λ → 0!
E > V (x)
E < V (x)
→ klasicky dovolená oblast
→ komplexnı́ rozšı́řenı́
Z
p
const
iE
i
ψ(x, t) ∼ √
t
exp ±
dx′ 2m(E − V (x)) −
4
~
~
V −E
x
neplatı́ pro E = V !, protože λ → ∞
v okolı́ bodů x1, x2 je E = V (x)
dV tj. V (x) = E −
(x − x0) + . . . , x = x1, x2
dx x0
d2 u 2m dV − 2
(x − x0)u = 0
dx2
~ dx x=x0
tj. řešit Schrödingerovu rovnici pro konstantnı́ sı́lu (např. gravitačnı́ potenciál,...)
oblast I → II:
50

1
 1
exp
Ψ∼ p
−
4
~
E − V (x)
Z

}|
{
z
x1
p

′
dx 2m(V − E) −→
p(x′ )
x

 1 Z x1
2

−→ p
dx′ p(x′) −
cos

4
~ x
E − V (x)
{z
}
|
arg(1)
oblast III → II:
1
exp
−
Ψ∼ p
4
~
E − V (x)
1
Z
x
dx
x2
′
p
2m(V − E) −→

 1 Z x2

−→ p
cos
dx′ p(x′) −

4
~ x
E − V (x)
{z
}
|
arg(2)
2
pak
tedy
arg(1) − arg(2) = nπ
Z
x2
x1
dx′
p
(jednoznačnost v oblasti II)
2m(V − E) = (n + 1/2)π ~
(Sommerfeldova kvantová podmı́nka
argument π4 :
H
pdq=n~)
dV
(x − x0 )
dx
V (x) − E → E − V (x) = (−1)(V (x) − E) = eiπ (V (x) − E)
r
π
4 dV
(x − x0 ) −→ změna o ei 4
dx
V (x) − E ∼
51

π


4

π


4
Přı́klad: ”volný pád”
V =
(
mgh , x > 0
∞ , x<0
−→ modifikujme
V = mg|x| , x ∈ (−∞, ∞)
E
E
lichá řešenı́ Ψ = 0 , pak x1 = − mg
, x2 = mg
Z E
p
mg
dx 2m(E − mg|x|) = (2k − 1 + 1/2)π~ , k = 1, 2, . . .
⇒
E
− mg
⇔
Z
E
mg
0
p
dx 2m(E − mgx) = (k − 1/4)π~
Pak
[3(n − 1/4)π]2/3
· (mg 2 ~2)1/3
Ek =
2
→ souhlası́ s přesným řešenı́m
Model pro vazbu quark - antiquark mg = F ∼ 105N
Viriálový teorém:
V rovnovážném stavu je potenciálnı́ a kinetická energie rozdělena následujı́cı́m
způsobem
2hT i = h~r∇V i
Důkaz:
1
h [~r~p, H] iE = 0
i~
E
"
#
p2j
~p
pi pi
H=
+ V (~x) , přitom
xi p i ,
=
2m
2m
m
d
(~r · ~p)
dt
=
[xipi , V ] = −i~xi
52
∂V
∂xi
Propagátor a Feymanův dráhový integrál
X
iE
′ ′
′
hx |a iha |α, t0 i exp − (t − t0 )
hx |α, t0 , ti =
~
′
a
Z
ha′ |α, t0 i = d3 x′ha′ |x′ ihx′ |α, t0 i
′
tj. baze |x′i . . . vlnová funkce
|a′ i . . . dynamika
pak
Z
Ψ(x′′, t) = d3 x′K(x′′, t, x′, t0)Ψ(x′, t0)
D
E X
iH(t−t0 )
iE(t−t0 )
′′
′
′′ −
′
~
K(x , t, x , t0 ) = x e
|x =
hx′′ |a′ iha′ |x′ i e− ~
Princip kauzality v integrálnı́ rovnici → propagátor K
1. K splňuje Schrödingerovu rovnici
2. počátečnı́ podmı́nka
lim K(x′′, t, x′, t0 ) = δ 3 (x′′ − x′)
t→t0
⇒ K je Greenova funkce !!
Z
1
ρ(x′)
3 ′
→ srovnej Φ(x) =
dx
4πǫ
|x − x′|
∂
~2 ′′2
∇ + V (x′′) − i~
K(x′′, t, x′, t0) = −i~δ 3 (x′′ − x′)δ(t − t0 )
−
2m
∂t
Důvod proč δ(t − t0 ) vystupuje ve vyše zmı́něné rovnici je diskontinuita,
nebot’ pro t < t0 je K ≡ 0, tj K = K̃ · Θ(t − t0 ) (kauzalita).
Propagátor volné částice:
p2
H=
,
2m
′ ′′
Z +∞
p (x − x′)
1
′
′′
′
.
dp exp i
K(x , t, x , t0) =
2π~ −∞
~
53
ip′2
(t − t0 )
exp −
2m~
=
r
im(x′′ − x′)2
m
exp
.
2πi~(t − t0 )
2~(t − t0 )
Propagátor a statistická fyzika:
G(t) =
Z
3 ′
′
′
d x K(x , t, x , 0) =
e−i
Et
~
=
X
XZ
a′
e−i
Ea t
~
d3x′ |hx′ |a′ i|2 ,
,
a′
β=
it
; G → z(β) =
~
X
e−βEa
(partičnı́ suma) .
a′
Propagátor = amplituda přechodu
K(x′′, t, x′, t0) = hx′′ , t′ |x′ , t0i ,
Z
relace úplnosti:
∀t;
|x, tihx, t|d3 x = 1 .
pak
hx(3) , t(3) |x(1) , t(1) i =
=
t(3) ≤ t(2) ≤ t(1)
Z
dx(3) hx(3) , t(3) |x(2) , t(2) ihx(2) , t(2)|x(1) , t(1) i.
atd.
Zákon skládánı́ amplitud přechodu
tj.
Z
K(xn, tn, x0, t0) = dxn−1K(xn, tn , xn−1, tn−1) ,
Z
dxn−2K(xn−1, tn−1, xn−2, tn−2) . . . K(x1, t1 , x0, t0 ) .
→
základ pro dráhový integrál
54
akce
S=
Z
t2
L(q, q̇t)dt
t1
Klasická mechanika → δS = 0 → odpovı́dá jediná dráha.
−→ Princip minimálnı́ akce
Kvantová mechanika → všechny dráhy interferujı́
hx2 , t2, x1, t1i ∼ exp i
R t2
t1
L(q, q̇t)dt′
~
. . . je váhový faktor dráhy (q, q̇)
Z
Z xN
hxN , tN , x1, t1 i =
D(x(t)) exp i
x1
tN
t1
!
L
dt
~
Feymmanův dráhový integrál
hxN , tN , x1, t1i =
=
Z
Z
dxN −1hxN , tN , xN −1, tN −1i
hxN −1, tN −1, x1, t1i =
r
m
im (xN − xN −1)2 iV dt
dxN −1
exp
−
K(xN −1, tN −1, x1, t1)
2πi~∆t
2~
∆t
~
55
Necht’ xN − xN −1 = ξ → malé ; tN − tN −1 = ∆t, pak
r
Z +∞
m
iV dt
imξ 2
hx, t+∆t, x1, t1 i =
−
hx−ξ, t, x1, t1i .
dξ exp
2πi~∆t −∞
2~∆t
~
Potom
∂
hx, t|x1, t1i
∂t
Z +∞
imξ 2
iV dt
dξ exp
p ∼
+ ... ·
1−
2~∆t
~
−∞ ∂
1 2 ∂2
· hx, t, x1, t1i − ξ hx, t, x1, t1i + ξ 2 hx, t, x1, t1 i − . . .
∂x
2 ∂t
L ∼ ∆t
→ v daném rozvoji do úvahy zahrneme pouze členy do řádu (∆t)1, pak
∂
~2 ∂ 2
i~ hx, t, x1, t1i = −
+ V hx, t, x1, t1 i ,
∂t
2m ∂x2
protože
Z
+∞
−∞
imξ 2
dξ ξ 2 exp
2~∆t
56
√
= 2π
i~∆t
m
3/2
.
Lekce 6: Kalibračnı́ invariance v
kvantové mechanice
Potenciál a kalibračnı́ transformace:
Ṽ (x) = V (x) + V0
−→
nezměnı́ sı́lu F = − grad Ṽ (x) = − grad V (x)
i
|α, t0; ti = e ~
= e
i
~
H (t−t0 )
V0 (t−t0 )
|α, t0 i =
|α, t0 ; ti
Kalibračnı́ teorie:
E −→ E + V0
−→ změna fáze kvantového stavu −→ interference.
∆Φ
z }| {
V0 (t − t0 )
Interference ∼ cos (Φ1 − Φ2) , ∆Φ ∼
~
lim ~ → 0 =⇒ interference vymizı́.
Experiment: → gravitačnı́ sı́la
klasicky
m ẍ = m ∇ Φgm = − mg~z
kvantově
~2 2
−
∇ + m Φgm
2m
−→ závisı́ na
57
Ψ = i~
~
m
!!
∂Ψ
∂t
Feynmanův integrál:
r
hxn , tn ; xn−1, tn−1i =
závisı́ na
m
exp
2π~∆t
Z
i
tn
tn−1
m
~
1 2
ẋ − g~z dt
2
m
, ale
~
d2
hxi = − g~z
dt2
Kvantová předpověd’:
nezávisı́ na m (Ehrenfestův teorém)
−→ netriviálnı́ závislost dynamiky na
m
.
~
Gravitace je přı́liš slabá na mikroskopické úrovni!
Př.:
Bohrův poloměr atomu:
mv 2
1 e2
=
a mrv = n~ ⇔ nλ = 2πr , kde n ∈ N
r
4πǫ0 r2
4πǫ0 ~2
, a0 = 10−10m ≈ 1øA
2
e me
Gravitačnı́ působenı́ mezi neutronem a elektronem:
=⇒
a0 =
aG
~2
,
=
GN m2e mN
FE
≈ 1039
FG
Interference indukovaná gravitačnı́m polem(Werner 1975)
−→ neutronový interferometr
V0
rozdı́l fázı́: ∆Φ = − ∆t
~
l1
∆t = ; V0 = mn gl2 sin δ
v
mn gl2 sin δ l1
~
m2n gl1 l2λ sin δ
=⇒ −
, λ =
=−
2
~
v
~
mn v
Mechanické vysvětlenı́:
změna výšky z
−→
p2
+ mgz = E
2m
změna impulzu p −→
58
změna vlnové délky λ
→ efekt je pozorovatelný !
pro λ0 = 1.42Å , l1l2 = 10cm2
⇒
∆Φ ∼ 55.6 ≈ 9 · 2π
Kalibračnı́ invariance a elmag. pole:
~ = − gradΦ ,
E
~ = rotA
~
B
1
H =
(p − eA)2 + eΦ , kde
2m
~ 2 = p2 − eA~
~ p − e~pA
~ + e2 A2
(~p − eA)
Dynamika:
~
~p − eA
1
d~x
=
[d~x, H] =
,
dt
i~
m
d~x
· m 6= ~p ! , ~p . . . kanonický impuls
dt
d~x
~ . . . kinematický impuls
~ = m
= ~p − eA
π
dt
[pi, pj] = 0 ale [π i, π j ] = i~εijk Bk
π2
=⇒ H =
+ eΦ
2m
Ehrenfestův teorém → definice Lorentzovy sı́ly:
d~
x
d~
π
1
d~
x
d2~x
~+
~ − B
~ ×
= e E
× B
m 2 =
dt
dt
2 dt
dt
tedy
Shrödingerova vlnová rovnice:
1
[− i~∇′ − eA(x′)] [− i~∇′ − eA(x′ )] hx′ |α, t0 , ti +
2m
+ eΨ(x′)hx′ |α, t0 , ti = i~
Rovnice kontinuity:
∂ρ
+ div~j = 0, kde
∂t
~j =
e
~
Im (Ψ∗∇′Ψ) − A|Ψ|2
m
m
59
∂ ′
hx |α, t0 , ti
∂t
∇′ −→ ∇′ −
(formálně však platı́ přechod
Z
~j(x′) d3x′ =
ie
A)
~
hπi
m
Kalibračnı́ transformace
~ −→ A
~ + grad Λ
φ −→ φ , A


∂Λ
~ −→ A
~ + grad Λ ,

, A

∂t

~

∂A
~
~
~
pro E = − grad φ −
, B = rot A
∂t
!
B B
~ = (0, 0, B) dostaneme pro A
~ = − y , x , 0 nebo (By , 0, 0)
Např.: B
2 2
~p nenı́ kalibračně ekvivalentnı́, ~
π však je.




obecně ale platı́
φ −→ φ −
Je-li à = A + grad Λ , pak
|αi −→ |α̃i = ?
Požadujme:
hα|x|αi = hα̃|x|α̃i pro libovolný operátor x
hα|αi = hα̃|α̃i
|α̃i = G |αi
~ − e grad Λ) G = ~p − eA
~
G+ (~p − eA
!
e
=⇒ G = exp i Λ , protože
~
tj.: G+ ~x G = ~x ,
!
!
!"
!#
e
e
e
e
exp −i Λ p exp i Λ = exp −i Λ
p, exp i Λ
+
~
~
~
~
!
!!
e
e
+ p = p + e grad Λ
+ p = − exp −i Λ i~∇ exp −i Λ
~
~
60
tj. při kalibračnı́ transformaci platı́:
e |α, t, t0i −→ |α̃, t, t0i = exp i Λ |α, t, t0i
e ~
Ψ̃(x′, t) = exp i Λ Ψ(x′, t)
~
S −→ S + eΛ , A −→ A + g , protože
~j = ρ (∇S + eΛ) −→ invariant
m
Bohm - Aharonovův efekt (1959)
~ + ~v × B)
~ ;
F~ = e(E
~ = B
~ = 0 −→ F~ = 0
E
∆φ = (~k1 − ~k2) · ~r ≈ ∆k · x ,
∆k =
2π d
2π
·θ =
λ
λ L
2π d
λ L
I = I0 (1 + cos ∆φ) ∆Φ = 2πn . . . maximum
= (2n + 1)π . . . minimum
=⇒
∆φ =
Bohm - Aharonov
−→ elektronový rozptyl na dvojštěrbině ovlivněný solenoidem magnetického pole
vně cı́vky:
Ar = Az = 0
BR2
Aφ =
2r
uvnitř cı́vky:
Ar = Az = 0
Br
Aφ =
2
~ = rot A
~,
B
uvnitř cı́vky:
1 ∂(rAφ) ∂Ar
Bz =
−
r
∂r
∂φ
Br = Bφ = 0 , Bz = B
61
vně cı́vky:
Br = Bφ = Bz = 0
elektron ē jako volná částice ∼ vlna v elmag. poli
Ψ = |Ψ| · ei~p~r = |Ψ| eiα
~ · ~r
~ , α −→ α − e A
p −→ p~ − eA
~
Z
e
~ d~r
celkem ∆α = −
A
~ (dráha)
Z
Z
e
e
~ d~r , ∆α2 = −
~ d~r
A
A
tj. ∆α1 = −
~ (1)
~ (2)
Z
e
věta
~ d~r Stokesova
δϕ = ∆α1 − ∆α2 =
A
=
~ (2)−(1)
Z
Z
e
e
~ d~r =
~ dS
~ = e Φ
=
rot A
B
~ (S)
~ (S)
~
=⇒
Φ
...
magnetický tok
Magnetické pole neovlivňuje směr dráhy elektronu ē, nicméně Φ 6= 0
a dojde k posunu interferenčnı́ch proužků.
Závislost gravitačně indukovaného posuvu fáze na úhlu rotace:
62
Lekce 7: Rotace a impulsmoment



rotace
RR
T
T
= R R = 1,
vx′
vy′
vz′




 = 
q
vx′2
+
vy′2
R
+
vz′2


vx


  vy 
vz
q
=
vx2 + vy2 + vz2
Rotace −→ nekomutujı́cı́ operace
π
π
π
π
Rz ( )Rx ( ) 6= Rx ( )Rz ( )
2
2
2
2


cos φ − sin φ 0


Rz (φ) =  sin φ cos φ 0 
0
0
1

Rx , Ry
1−

Rz (ǫ) =  ǫ
0
...
ǫ2
2

−ǫ 0
2

1 − ǫ2 0 
0
1
konečná rotace
infinitezimálnı́ rotace
cyklicky x −→ y, y −→ z, z −→ x


0 −ǫ2 0


Rx (ǫ)Ry (ǫ) − Ry (ǫ)Rx (ǫ) =  ǫ2 0 0  = Rz (ǫ2 ) − 1
0 0 0
Rotace v 3D prostoru:
Reprezentace: |αiR = D(R) |αi
63
D = 1 − iGǫ
(Drehung = rotace)
Je to unitárnı́ reprezentace, kde G je hermitovský operátor
G
−→
Jk
, k = 1, 2, 3
~
obecně
D(~n, φ) = 1 − i
Př.:
Dz (φ) =
Vlastnosti R
(matice 3×3)
lim
N −→∞
−→
J3 φ
1−i
~ N
N
~J~n
φ
~
iJ 3
= exp −
φ
~
Vlastnosti D
(unitárnı́ reprezentace grupy rotacı́)
Identita R · 1 = R −→ D(R) · 1 = D
Skládánı́ R1 · R2 = R3 −→ D(R1 ) · D(R2) = D(R3 )
Inverze R · R−1 = R−1 · R = 1 −→ D(R) · D−1 (R1) = 1
Komutativnı́ zákon neplatı́!
Asociativnı́ zákon R1 (R2R3 ) = (R1R2 ) R3 = R1R2 R3
podobně
D(R1 ) [D(R2)D(R3)] = [D(R1)D(R2)] D(R3) = D(R1)D(R2)D(R3)
Z komutačnı́ho zákona pro Rx,y,z vyplývá:
[J x , J y ] = i~J z
−→
obecně [J i , J j ] = i~ǫijk J z
komutačnı́ pravidla pro úhlový moment
Přı́klad: spin 1/2
S x = ~2 ( |+ih−| + |−ih+| )
S y = i ~2 ( − |+ih−| + |−ih+| ) je realizace ~j na 2-dimenzionálnı́m
64
prostoru
Sz =
~
2
( |+ih+| − |−ih−| )
i
Dz = exp − S z φ .
~
|αiR = Dz (φ) |αi ,
Pak např.:
=⇒
ei
hS x i =
Sz
~
φ
R hα|
S x |αiR = hα| D+
z S x Dz |αi
( |+ih−| + |−ih+| ) e−
Sz
~
φ
= S x cos φ + S y sin φ.
Analogicky
hS y i
Tedy
hS k i =
Ale
e−i
−→
−→
hS z i
X
l
Sz
~
hS y i cos φ + hS x i sin φ
−→
hS z i.
Rkl hS l i (vektorová transformace).
|αi = |+ih+|αi + |−ih−|αi
φ
|αi = e−i
=⇒
φ
2
|+ih+|αi + ei
φ
2
|αiRz (2π) = − |αi !
|−ih−|αi
Transformace = precese spinu !!
e
~ ·B
~ = ω z Sz
H = −
S
me
iωt
|e|B
, pak U (t, 0) = e ~ ;
ω =
me
−
t=2·
2π 4π
=
ω
ω
t=
2π
ω
...
perioda precese
perioda vývoje stavu spinoru
Experiment: Neutronová interferometrie, (Rauch 1975)
Precese spinu neutronu v magnetickém poli
ω = gn ·
|e|B
,
mp
µ =
e~
mp
magnetický moment,
65
gn = −1.91
Interference I ∼ cos ± ωT
2 +δ
Podmı́nka pro maximum:
∆φ = 2π
−→
∆B =
4π~
egn lλ
Pauliho formalizmus: (1926)
1
0
|+i =
!
= χ+ ,
|−i =
h+| = (1, 0) = χ†+ ,
0
1
!
= χ−
h−| = (0, 1) = χ†−
vektory = spinory
~
· σk ;
2
!
0 −i
, σ1 =
i 0
Sk =
σ1 =
0 1
1 0
!
, σ2 =
σ 2i = 1 ,
σ 1σ 2 = − σ 2σ 1 ,
!
i = 1, 2, 3
{σ i, σ j } = 2δij ,
=⇒
1 0
0 −1
[σ i , σ j ] = 2iεijk σ k
σ i σ j = δij + iεijk σ k
σ †i = σ i ,
3
X
~ · ~a =
σ
det σ i = −1 ,
Tr σ i = 0
σ k ak
k=1
~ ~n
σ
φ
φ
exp −i
φ = cos − i~
σ~n sin
2
2
2
SU (2) , SO(3) , Eulerovy úhly
Rotace v euklidovském prostoru je dána ~n , ϕ . . . 3 volné parametry (vı́me proč? pochopı́me z analýzy volných parametrů... )
RRT = 1
⇒
9 − 6 = 3 parametry
66
Zobecnı́me-li rotaci v euklidovském prostoru, obdržı́me nejprve rotaci
na dvojdimenzionálnı́m vektorovém prostoru (tj. prostor spinorů - zobecněných vektorů (c+, c− )), kterou popisuje grupa SU (2). Zobecněnou
rotaci na třı́dimenzionálnı́m prostoru pak popisujeme grupou SO(3).
|c+ |2 + |c− |2 = 1 (norma)
Transformace na prostoru spinorů je unitárnı́ a det A = 1.
Tedy transformačnı́ matice A má nutně v SU (2) tvar
!
a b
A =
−b∗ a∗
A−1 = A†
tj.
a
−b∗
det A = 1 , tj. a2 + b2 = 1 ;
!
!
∗
a −b
a b
= 1
∗
b a
−b∗ a∗
!
!
~
σ
~
n
b
φ
= exp −i
2
a∗
a
Robec = R(α, β, γ) = Rz ′ (γ) Ry′ (β) Rz (α) ,
α, β, γ
...
Eulerovy úhly
Dále platı́:
R(α, β, γ) = Rz (α) Ry (β) Rz (γ)
Důkaz:
Ry′ (β) = Rz (α) Ry (β) Rz−1(α) , pak
Rz ′ (γ) Ry′ (β) Rz (α) = Ry′ (β) Rz (γ) Ry−1
′ (β) Ry ′ (β) Rz (α) =
= Ry′ (β) Rz (γ) Rz (α) = Rz (α) Ry (β) Rz−1(α) Rz (γ) =
= Rz (α) Ry (β) Rz (γ) .
Pak
D(α, β, γ) = Dz (α) Dy (β) Dz (γ) =
67
= e−
σ3 α
2
e−
σ2 β
2
e−
σ3 γ
2
,
což je ireducibilnı́ reprezentace grupy rotacı́
1/2
Dm′ ,m (α, β, γ) = hj = 1/2, m′| D(α, β, γ) |m, j = 1/2i
Ireducibilnı́ reprezentace operátoru úhlového momentu (Born,
Heisenberg, Jordan 1926)
J2 = Ji Ji = J2x + J2y + J2z
[J2, J2k ] = 0
Studujme J2 , J3
Necht’ J± = J1 ± iJ2
...
⇒
existuje společná osa
posunovacı́ operátory , pak
[J2 , J± ] = 0 ,
[J3, J± ] = ±~J± .
Označme J2 |a, bi = a|a, bi , J2 |a, bi = J2 |a, bi
pak
J3 (J± |a, bi) = (b + ~)(J± |a, bi)
J2 (J± |a, bi) = J± (J2 |a, bi) = a(J± |a, bi)
=⇒
J± |a, bi = c± |a, b + ~i .
Platı́
1
(J+J− − J− J+ ) ≥ 0 ;
2
proto existuje bmax tak, že J+ |a, bmax i = 0
−→ J− J+ |a, bmax i = 0
J2 − J23 =
(J2 − ~J3 − J23 ) |a, bmaxi = 0 ,
=⇒
a = bmax(bmax + ~)
Podobně:
J− |a, bmin i = 0
−→
J+ J− = J2 − J23 + ~J3 ,
68
J+ J− |a, bmin i = 0
a = bmin (bmin − ~)
=⇒
bmax = − bmin
a
− bmax ≤ b ≤ bmax ,
bmax = bmin + n~ . . . konečný počet kroků ⇔
bmax
n
Necht’ j =
, potom j = .
~
2
pak
2bmax = n~ .
Maximálnı́ hodnota J3 je celé nebo polovinové čı́slo.
a = bmax(bmax + ~)
Necht’ b = m · ~ ,
Potom
−→
a = ~2 j(j + 1) .
m ∈ {−j, −j + 1, . . . , 0, . . . , j − 1, j } .
|
{z
}
2j+1 stavů
J2 |j, mi = ~2 j(j + 1) |j, mi
J3 |j, mi = m~ |j, mi
69
Lekce 8: Orbitálnı́ impulsmoment,
Schrödingerova rovnice pro atom
vodı́ku
~ = ~r × ~p ;
L
[Li, Lj ] = iεijk ~Lk
1−i
δφ
δφ
Lz = 1 − i
(xpy − ypx ) , t.j.
~
~
px
py
δφ
′
′
′ ′ ′
δφ x + i
δφ y |x′ , y ′, z ′ i =
|x , y , z i = 1 − i
1 − iLz
~
~
~
= |x′ − y ′ δϕ, y ′ + x′ δϕ, z ′ i .
Proto
hx′ , y ′ , z ′ |
δϕ
Lz
1−i
~
|αi = hx′ + y ′ δϕ, y ′ − x′δϕ, z ′ |αi =
= hr, θ, ϕ − δϕ|αi = hr, θ, ϕ|αi − δϕ
∂
hr, θ, ϕ|αi.
∂ϕ
∂
h~x′ |Lz |αi = −i~
hx′ , αi,
∂ϕ
∂
∂
h~x′ |Lx |αi = −i~ − sin φ
− cotg θ cos φ
,
∂θ
∂θ
∂
∂
′
− cotg θ sin φ
h~x |Ly |αi = −i~ cos φ
h~x′ , αi,
∂θ
∂θ
2
1
∂
∂
∂
1
+
sin φ
.
h~x′ |L2 |αi = − ~2
∂θ
sin2 θ ∂φ2 sin θ ∂θ
70
Kinetická energie vs. L2 :
L2 = x2p2 − (~x · ~p)2 + i~~x · ~p
Důkaz:
L2 = εijk xipj εlmk xl pm = (δil δjm − δimδjl )xipj xl pm =
= δil δjm xi(xl pj − i~δjk )pm − δim δjl xipj (pmxl + i~δml ) =
= x2p2 − i~(~x~p) − δim δjl xi pm(xl pj − i~δlj ) − i~(~x~p =
= x2p2 − (~x~p)2 + i~(~x~p)
Platı́:
hx′ |(~x~p)|αi = ~x′ · (−i~)∇′)hx′ |αi =
= −i~ r′
∂ ′
hx |αi ,
∂r′
protože
~s · grad φ =
=⇒
∂
h(~x~p) i = −~ r ′
∂r
2
2 ′
1
~2
′ 2
hx |p |αi = −
2m
2m
φ(r + ~s · ε) − φ
, kde φ = hx′ |αi
ε
∂
2
′2 ∂
′ ∂
r
φ + r ′φ .
r φ = −~
∂r
∂r′2
∂r
′
2 ∂ ′
1
∂
′
′ 2
hx |αi +
hx |αi − 2 2 hx |L |αi .
∂r2
r ∂r
~r
Schrödingerova rovnice v centrálně symetrickém poli:
~2
1 ∂ 2∂
L2
−
r
−
φ + V (r)φ = Eφ
2m r2 ∂r ∂r ~2r2
L2
2mr2
...
centrifugálnı́ potenciál
ē2
e
Keplerova úloha V (r) = −
, kde ē =
r
(4πε0)1/2
71
Necht’
R(r)
Y (θ, ϕ)
r
2mE 2m ē2 l(l + 1)
∂ 2Rl
+
+ 2
−
Rl (r) = 0 ,
∂r2
~2
~ r
r2
φ(r, θ, ϕ) =
=⇒
dále
L2 Ylm(θ, phi) = ~2l(l + 1)Ylm(θ, phi) , kde
l ∈ {0, 1, 2, . . . } , −l ≤ m ≤ l
1. Úhlová část Ylm (θ, ϕ) , resp. Ylm (θ, ϕ)
−→ kulové harmonické funkce
2. Radiálnı́ část Rl (r)
ad 1) Ylm (θ, ϕ) = h~n, l, mi
=⇒
−i~
Lz |l, mi = m~|l, mi / h~n|
∂ m
Yl (θ, ϕ) = m · ~Ylm (θ, ϕ)
∂Φ
Ylm ∼ eimφ
Vlastnosti: hl′ , m′ |l, mi = δll′ δmm′
Z 1
Z 2π
m
⇐⇒
d(cos θ)
dφ Y ∗ m
l (θ, ϕ)Yl = δll′ δmm′
−1
tzn.: Yll
0
řešı́ rovnici
∂
∂
L+|l, li = 0 =⇒ −i~e
i − cotg θ
Yl l = 0
∂θ
∂θ
r
(2l + 1)(2l)!
(−1)l
.
=⇒ Yll = cl · eilφ sinl θ ; cl = l
2 l!
4π
iφ
Obecně:
Ylm (φ, ϕ) = (−1)m
r
2l + 1 (l − m)! m
Pl (cos θ) eimϕ , kde
4π (l + m)!
72
Plm
. . . Legendreovy polynomy a platı́
X
dm
1
√
Pl (x)tl ; Plm = (1 − x2)m/2 m Pl
=
dx
1 − 2xt + t2
l
l − celočı́selné, musı́ odrážet 2π periodicitu R3
ad 2) Radiálnı́ část řešenı́
2m
2m ē2 l(l + 1)
d2 R
+
E+ 2
−
Rl = 0
dr2
~2
~ r
r2
R∞
hledáme vázaný stav 0 Rl R∗ ldr = 1 E < 0!!
E > 0 . . . rozptylové stavy ∼ jako volná částice
dominantnı́ členy:
r −→ 0 platı́ R′′ − l(l + 1)/r2R ≈ 0
=⇒ R ∼ rα −→ α(α − 1) = l(l + 1) ⇒ α = l + 1
r −→ ∞ platı́ R′′ +
=⇒ R ∼ e−γr .
Hledáme řešenı́ ve tvaru:
2m
2m
2
ER
≈
0
;
γ
=
−
E , E<0
~2
~2
Rl (r) = rl+1e−γr F (r)
mē2
, pak
necht’ z = 2γr, k =
γ~2
z
d2 F
dF
+
(2l
+
2
−
z)
− (l + 1 − k)F = 0.
dz 2
dz
(∗)
Kummerova diferenciálnı́ rovnice:
Poznámka:
hypergeometrické funkce a Gaussova rovnice
dφ
d2 φ
− abφ = 0.
z(1 − z) 2 + [c − (a + b − 1)z]
dz
dz
73
Hledáme řešenı́ ve tvaru:
φ=z
∞
X
σ
cν z ν
ν=0
Rekurentnı́ relace:
X
z(1 − z)z σ
cν (ν + σ)(ν + σ − 1)z ν−2 +
ν=0
+ [c − (a + b − 1)z]z σ
dále
c0 σ(c + σ − 1)z
σ−1
X
ν=0
cν (ν + σ)z ν−1 − abz σ
X
cν σ ν = 0,
ν=0
∞
X
+
[cν+1 (ν + σ + 1)(ν + c + σ)−
ν=0
− cν (ν + a + σ)(ν + b + σ)]z ν+σ = 0,
σ(c − 1 + σ) = 0 a také cν+1 =
Řešenı́:
φ(z) = z
σ
(ν + a + σ)(ν + b + σ)
.
(ν + 1 + σ)(ν + c + σ)
∞
X
(a + σ)ν (b + σ)ν
ν=0
(1 + σ)ν (c + σ)ν
(a)ν = a(a + 1) · · · · · (a + ν − 1)
σ . . . index řešenı́
...
z ν , kde
(Pochammerův symbol) ;
1) σ = 0
=⇒
φ1 (z) = 2 F1(a, b, c, z) =
∞
X
(a)ν (b)ν
ν=0
(c)ν ν!
zν
...
hypergeometrická řada
2. řešenı́ σ = 1 − c . . .
Degenerovaná hyperbolická funkce:
x
z=
b
"
#
x d2 φ
x
dφ
=⇒ x(1 − ) 2 + c − (a − 1) − x
− aφ = 0,
b dx
b
dx
74
necht’ b −→ ∞
xφ′′ + (c − x)φ′ − aφ = 0 (Kummer)
=⇒
Řešenı́: φ(x) = 1 F1(a, c, x) =
∞
X
(a)ν xν
(c)ν ν!
Asymptotika: φ ∼ φ , φ ∼ e diverguje!
Řešenı́ je polynomiálnı́ rozvoj −→ pokud
a = −n pak můžeme rozvoj useknout
(a)ν = a(a + 1) · · · · · (a + ν + 1) . . . (Laguenovy polynomy)
Necht’ a = l + 1 − k, c = 2l + 2 (viz (∗)), pak řešenı́ můžeme hledat ve
tvaru
F = c · 1 F1(l + 1 − k, 2l + 2, 2γr)
ν=0
x
′′
Podmı́nka normovatelnosti:
l + 1 − k = −nr ,
n
nr = 0, 1, . . . , tj. k = nr + l + 1 = n , kde
. . . hlavnı́ kvantové čı́slo, n ∈ {1, 2, . . . }
=⇒
mē2
2m
k=
, γ2 = − 2 E
2
γ~
~
4
mē 1
1 ē2
En = −
=−
, kde
2~2 n2
2 a0 n2
~2
∼ 0.5Å Bohrův poloměr
a0 =
mē2
1 ē2
E0 = −
= −13.6eV . . . vazebná energie atomu vodı́ku v základnı́m stavu.
2 a0
Obecný tvar vlnové funkce:
φnlm(r) = Nnl rl e−γn r 1 F1(−nr , 2l + 2, 2γnr) · Ylm (θ, ϕ).
Pro danou hladinu En existuje
l
n−1 X
X
l=0 m=−l
n−1
X
(2l + 1) = n2 stavů
m=
l=0
75
Degenerace:
pravděpodobnost nalezenı́ ē v dV
wnlm = |Ψnlm|2 r2 d(cos θ)dϕdr.
atomy vodı́kového typu (He+,Li++,. . . )
ē2 −→ Z · ē2 , Z− počet protonů v jádře
Spektrum (emisnı́, absorbčnı́):
Vnm
R
1
1
mē4
−
~ωnm = En − Em =
2~3
m2 n2
1
mē4
1
− 2 , R=
≈ 3 · 10−15s−1
=R
2
3
m
n
4π~
. . . Rydbergova konstanta
Přechody do m = 1 . . . tzv. Lymanova serie
m = 2, 3, 4 . . . Balmerova serie (viditelné spektum), Ritzova - Pashenova, Bracketova serie)
n ∼ 100 Rydbergovy atomy (∼ 106a0 )
E > 0 ionizovaný atom
Matematický model struktury atomů vycházı́ z aproximace nezávislých
částic v centrálnı́m poli
Elektrony jsou uspořádány v energetických slupkách charakterizovaných
kvantovými čı́sly ∼ n, l
Spektroskopické značenı́:
n = 1 2 3 4 5 ...
K L M N O ...
l = 0 1 2 3 ...
s p d f ...
Elektronové konfigurace:
76
V prvnı́m sloupci jsou periody Mendělejevovy tabulky.
Energetické hladiny atomů:
Atomy vodı́kového typu, jemná struktura a LS interakce:
−→ prvky alkalických kovů (Na, K,...)
~ ,
~ ef = − ~v × E
~ = − 1 grad Vc (r) , B
E
e
c2
µ
~=
e ~
·S
me
~ · 1 =
MLS = − µBef = µ · (~v × E)
c2
!
~
~x 1 dV
p~
e·S
×
=
=
me c
me c r −e dr
=
1 1 dV ~ ~
(L · S)
m2e c2 r dr
1
je pak v relativistické korekci
2
Dimenze:
h
1 dV
ē2
,
i ∼
r dr
a0 · a20
a0 =
~2
me ē2
2
~2 ē2
2 ē
∼ λc · 3
hMLS i ∼
m2e c2 a30
a0
hMLS i
λ2c
ē2
, pak
∼ 2 ∼ α2 , kde
hMi ∼
a0
hMi
a0
ē2
1
α=
=
~c 137
p
p2
p4
m2 c4 + p2c2 ∼
−
,
2m 8m3c2
což je stejný řád jako relativistické efekty.
Typické rozměry atomu, elektronu a jádra:
77
• Bohrův poloměr, určuje typickou velikost atomu a0 =
0.5 · 10−10m, kvantová mechanika
λc
α
∼
• Comptonova vlnová délka, určuje ,,velikost”volného elektronu jako vlny λc = m~ec ∼ 3.8 · 10−13m, kvantová elektrodynamika
• Klasický poloměr elektronu, charakterizuje elektron jako
nabitou kuličkou vážicı́ na sebe relativistickou energii re =
ē2
−15
m, kvantová chromodynamika
me c2 ≈ 2 · 10
• všechny tyto konstatnty mikrosvěta jsou v poměru kon1
ē2
= 137
, je bezrozměrná!!!
statnty jemné struktury α = ~c
Symetrie v kvantové mechanice
Klasicky:
qi −→ qi + δqi
∂L
=0
∂qi
=⇒
...
L konst.


Euler − Lagrange
d ∂L 
∂L 
d ∂L
dt ∂ q̇i
=
dt ∂ q̇i
∂qi
d
pi = 0 zákon zachovánı́
dt
kvantová mechanika:
S=1−
iε
G
~
S . . . operátor symetrie
G . . . generátor
Invariance vůči S
−→
[G, H] = 0
S+ H S = H
−→
dG
= 0 (Heisenberg)
dt
78
Schrödingerův obraz:
|g ′ , t, t0i = U(t, t0) |g ′ i , pak
G (U |g ′ i) = UG |g ′ i = g ′ U(t, t0 )
Degenerace
[U, S] = 0,
jestliže H |ni = En |ni , pak
H S |ni = En (S |ni) ,
pokud |ni 6= S |ni =⇒ existuje degenerace.
Přı́klady:
[~J, H] = 0 [J2 , H] = 0
−→ (2j + 1) nezávislých stavů se stejnou energiı́
Operátor parity
−→ inverze souřadného systému
~x −→ − ~x ; |αi −→ π|αi ,
π + ~x π = − ~x ,
π . . . unitárnı́ operátor ,
Xπ + πX = 0 . . . antikomutuje.
Necht’
π |x′i = eiδ | − x′i, dále platı́
=⇒
eiδ = 1 ,
π −1 = π + = π ,
π 2 |x′ i = |x′ i
vlastnı́ čı́sla π jsou ± 1
d~x
−→ {π, ~p}
dt
~ = 0 , [π, ~J] = 0
[π, L]


−1 0 0

~ = ~x × ~p ; π = 
L
 0 −1 0 
0 0 −1
~p =
Vlastnı́ stavy operátoru parity, L2, L
~ π=−A
~
polárnı́ vektor π + A
79
~ π=A
~ (tzv. pseudovektor),
axiálnı́ vektor π + A
analogicky pro skalár:
~ · ~x π = − S
~ · ~x , ale
π −1 S
~ ·S
~ π= L
~ ·S
~
π −1 L
Vlnová funkce a operátor parity:
π|αi = ±|αi
Ψ(−x′) =
−→

′

 + Ψ(x )


.
− Ψ(x′)
Ne všechny stavy majı́ definovanou paritu! Např. |p′ i, ale
π|l, mi = (−1)l |l, mi
Ylm (−~n)
−→
(−1)l Ylm (~n).
Pokud [π, H] = 0 , |ni . . . nedegenerované spektrum, pak |ni je vlastnı́
stav π.
1
(1 ± π) |ni = ± |ni je vlastnı́ stav π a H
Důkaz:
2
Výběrová pravidla:
Necht’ π |αi = εα |αi , π |βi = εα |βi, pak
hβ|x|αi = 0, pokud εβ 6= − εα .
hβ|x|αi = hβ|π −1πxπ −1π|αi = − εβ εα hβ|x|αi .
Narušenı́ parity při slabých interakcı́ch:
−→ 1956 slabé interakce nejsou invariantnı́ vůči π
CPT teorém
P . . . π ~x → − ~x
T . . . ~t → − ~t
C . . . nábojové združenı́
80
Lekce 9: Poruchová teorie
H = H0 + λV
(H0 + λV) |ni = En |ni ,
H0 |n(0) i = E (0) |n(0) i
Poruchová (perturbačnı́) teorie
*
λ≪1
časově nezávislé V
* nedeg. spektrum
degen. spektrum
časově závislá porucha
1)
(0)
časově nezávislá porucha, nedegenerované spektrum En
(0)
∆n = En − En
(En(0) − H0) |ni = (λV − ∆n) |ni .
(0)
Pozor hn(0) |En − H0 |n(0) i = 0!
Definujme projektor Φn = 1 − |n(0) ihn(0) | =
1
(0)
En
− H0
Φn =
X
En(0)
k6=n
81
−
(0)
Ek
X
k6=n
−1
|k (0) ihk (0) |, pak
|k (0) ihk (0) | .
Protože hn(0) |λV − ∆n|ni = 0, platı́
(λV − ∆n) |ni = φn (λV − ∆n) |ni ,
1
|ni = (0)
+
cn |n(0) i
.
φn (λV − ∆n) |ni
|
{z
}
{z
}
|En − H0
homogennı́ řešenı́
inverze na prostoru
Iteračnı́ rovnice pro |ni, volme normalizaci takto:
hn(0) |ni = 1
|ni = |n(0) i +
−→ cn = 1
1
φn (λV − ∆n) |ni
(0)
En − H0
a také ∆n = λ hn(0) |V|ni .
Necht’
|ni = |n(0) i + λ |n(1) i + λ2 |n(2) i + . . .
2
(2)
∆n = λ ∆(1)
n + λ ∆n + . . .
a srovnáme členy podle λk
∆n = En −
En(0)
2
= λ Vnn + λ
X
|Vnk |2
(0)
En − Ek
X
X
|Vnk |
2
|k (0) i (0)
|ni = |n(0) i + λ
...
+
λ
(0)
En − Ek
k6=n
k6=n
k6=n
2
Přı́klad: Kvadratický Starkův jev
Vodı́kový atom (n = 1) v homogennı́m elektrickém poli.
~p2
+ V0(r) , V = − e |E| · z
=⇒ H0 =
2m
X
|zkj |2
, pak
∆k = − e |E|zkk + e2 |E|2
(0)
(0)
j6=k Ek − Ej
k = 1, což je jediná nedegenerovaná hladina,
zkk = 0, což je důsledek výběrového pravidla pro operátor parity.
82
2)
časově nezávislá perturbace: degenerované spektrum
Vnk
−→ diverguje =⇒ Vnk = 0
(0)
En − Ek
| {z }
→ 0
H = H0 + λV ,
|m(0) i . . . baze
Degenerace hladiny E
H0

m(0)
m(1)
=
..
.
m(g)
Pak [H0, V] = 0




E 0 ... 0
..
0 E
.
..
... 0
.
0 ... 0 E



 = E · 1g .

−→ existuje společná baze |l(1) i a platı́
(1)
∆l = hl(1) |V|l(1) i v nové bazi.
Přı́klad: Lineárnı́ Starkův jev
Atom vodı́ku v homogennı́m elektrickém poli: Uvažujme částici s hlavnı́m
kvantovým čı́slem n = 2 =⇒ 4×degenerovaná hladina
=⇒
(n, l, m) = (2, 0, 0); (2, 1, −1); (2, 1, 0), (2, −1, 1)
(2s)
(2p,m=−1)
(2p,m=0)
(2p,m=1)
jsou bazové vektory
V = − e|E|z
Výběrová pravidla ∆m = 0, |∆l| = 1.
Maticově:
2s 2p, m = 0 2p, m = −1 2p, m = 1


0
h2s|V|2p, 0i 0 0
 h2p, 0|V|2si
0
0 0


V= 


0
0
0 0
0
0
0 0
83
c = h2s|V|2p, m = 0i = h2p, m = 0|V|2si = 3ea0 |E|



V = c·

0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0





1
Nová baze |l(0) i = √ (|2s, m = 0i ± |2p, m = 0i)
2
∆1 = 3ea0 |E|
4 × degenerace→ 2 × degenerace + 2 × nedegenerované spektrum
Degenerované spektrum - formálnı́ matematické řešenı́
|m(0) i . . . baze na podprostoru degenerovaných stavů (obecná)
|l(0) i . . . vlastnı́ stavy pro λ −→ 0
X
(0)
|l i =
hm(0) |l(0) i|m(0) i
0 = (E − H0 − λV)|li =
0
= (E − ED
− λV)P0|li + (E − H0 − λV)P1|li
P0 = |m0 ihm0 | ;
P1 = 1 − P0 .
Pak
0
(E − ED
− λP0 V)P0|li = λP0 VP1|li,
−λP1 VP0|li + (E − H0 − λP1 V)P1|li = 0.
Z (2) na prostoru P1H
P1 |li = P1
λ
P1VP0 |li.
E − H0 − λP1 V
84
(1)
(2)
Po dosazenı́ do (1) dostaneme
0
(E − ED
− λP0 VP0 − λ2 P0 VP0−
− λ2 P0 VP1
1
P1 VP0) P0|li = 0
E − H0 − λV
~ ~S interakce
Přı́klad: L
1
V=
2m20c2
baze L2, S 2, J 2, Jz
;
1 dVc
r dr
~ ~S
L
~ +S
~
J~ = L
Ψnlm = Rnl (r) · Yl
j= 12 ,m
=l±
1
2
1 dVc ~2
1
(j(j + 1) −
∆n,l,j = hVi =
2m2e c2 r dr
2
!j=l+1/2
2
1
1 dVc ~
l
− l(l + 1) − 3/4) =
2m2e c2 r dr
2
−(l + 1)
j=l−1/2
protože
~ ~S =
L
1 2
(J − L2 − S2 )
2
Přı́klad: Zeemanův efekt
−→ Atom vodı́ku v homogennı́m magnetickém poli B
~ = − 1 (By; −Bx; 0)
A
2
~
~p −→ ~p − eA
2 2
p2
e
~ + A~
~ p) + e A =
+ Vc (r) −
(~pA
2m
2m
2m2e
e
p2
~ − e · 2 · 1 B(−ypx + xpy ) =
+ Vc(r) −
(div A)
=
2m
2m | {z } 2m
2
H=
0
2
=
p
e ~~
+ Vc(r) −
BL
2m
2m
85
,
Výsledný Hamiltonián (Pauli):
p2
e
H=
+ Vc (r) −
|B| (Lz + 2Sz )
2m
|2m{z }
ωL
ωL
...
baze
Larmorova frekvence
!
!
0
ψnlm
;
0
ψnlm
′
Energie: Enlm=E
nlm +ωL ~(m+1)
′′
Enlm=Enlm+ωL~(m−1)
Časově závislá poruchová teorie
H = H0 + V (t) −→ nestacionárnı́ problem
P
|αi =
c (0)|ni . . . počátečnı́ stav
Pn
i
|α, ti = cn (t) e− ~ En t |ni . . . časový vývoj
Volme reprezentaci:
i
|α, tiI = e ~ H0 t |α, t0 , tiS
H0
H0
Ai = ei ~ t AS ei ~ t
Pak
i~
i~
. . . interakčnı́ (Diracova)
i
i
∂
|α, t0 , tiS = − H0 e ~ H0t |α, t0, tiS + e ~ H0 t (H0 + V )|α, t0, tiS =
∂t
i
i
i
= e ~ H0 t V e− ~ H0 t e ~ H0t |α, t0, tiS = VI |α, t0 , tiS
∂
|α, tiI = VI |α, tiI
∂t
Schrödingerova rovnice v Diracově reprezentaci
Em − En
hn|α, t0 , ti = cn ; ωnm =
~
X
iωnmt
Vnm e
cm
i~ċn =
m
86
|ni
...
stavy neporušeného Hamiltoniánu,
Vnm = hn|Vs |mi
Přı́klad: Přesné řešenı́ pro 2-hladinový model
H0 = e1 |1ih1| + E2|2ih2|,
1
V = γeiωt |1ih2| + γe−iωt |2ih1| ; ω21 = E2 −E
~
!
!
i(ω−ω21 )t
0
γe
ċ1
=
i~
γe−i(ω−ω21)t
0
ċ2
c1
c2
!
Volme c1 (0) = 1 ; c2 (0) = 0
|c2 (t)|2 =
2
2
γ /~
· sin2 Ωt ; Ω =
2
Ω
r
γ 2 (ω − ω21)
+
~2
4
γ
(Rabiho relace) −→ rezonance při ω = ω21 ; Ω =
~
ω . . . frekvence potenciálu ,
ω21 . . . vnitřnı́ frekvence přechodu
−→ cykly absorbce a emise:
|c1 (t)|2 + |c2 (t)|2 = 1
spinová magnetická rezonance
−→ spin 1/2 v magnetickém poli
~ = B0~z + B1 (~x cos ωt + ~y sin ωt)
B
e~B0
( |+ih+| − |−ih−| )
H0 = −
2me
V (t) = −
ω21 =
|e|B0
me
e~B1
[cos ωt( |+ih−| + |−ih+| )+
2me
+ sin ωt( −i|+ih−| + i|−ih+| )]
...
frekvence spinové precese
87
|+i = |2i
|−i = |1i
;
|e|~B1
=γ
2me
Fyzikálnı́ interpretace:
2B1~x cos ωt = B1 (~x cos ωt + ~y sin ωt) + B1 (~x cos ωt − ~y sin ωt)
Maser: Microwave Amplification by Stimulated Emision of Radiation
→ medium - čpavek N H3
Zjednodušený model - částice v dvojité jámě:
)
→ symetrické řešenı́ |si
Ea > Es
→ asymetrické řešenı́ |ai
[H, π] = 0 → |si, |ai majı́ paritu ±
1
1
|Ri = √ (|si + |ai) ; |Li = √ (|si + |ai)
2
2
nejsou stacionárnı́ stavy!!!
1 −i E3 t st
−i Ea −E
~
~
|R, ti = √ e
|si + e
|ai
2
- oscilace = tunelový jev mezi jámami
- nekonečně hluboké jámy ⇒ degenerace
- |Ri, |Li jsou stacionárnı́ stavy, ale nejsou vlastnı́ stavy operátoru π =⇒
narušenı́ symetrie
Přibližné řešenı́ ve formě perturbačnı́ řady
i~
∂
|α, tiI = VI |α, tiI
∂t
|α, ti = UI |α, t0 i
88
i
UI (t, t0) = 1 −
~
Z
Z t
i
VI (t )U (t , t0 )dt = 1 −
VI (t′ )dt′ +
~ t0
t0
2 Z t
−i
VI (t′)dt′ + . . . (Dysonova řada)
+
~
t0
t
′
|ii . . . počátečnı́ stav ,
Pak
′
′
hn|U (t, t0 )|ii = cn .
c0n = hn|ii = δni
Z t
i
c1n = −
hn|VI |iidt′
~ 0
..
.
P(i→n) = |c0n + c1n + . . . |2
Model - po částech konstantnı́ potenciál
Z t
′
i
1 − eiωni t
i
0
1
iωni t′ ′
cn = δni ; cn = −
e
dt · Vni = Vni
~ 0
~
iωni
2
4|Vni|
2 ωni t
sin
|c1n |2 =
(En − Ei)2
2
spojitá reprezentace i −→ n , Ei ∼ En
Pi→n =
X
n
Ei ∼En
|c1n |2
−→
=4
lim
α→∞
Z
Z
dE ρ(E)|cn (E)|2 =
sin2
|Vni |2
Ei − En
t
ρ(En) dEn
2~
(En − Ei )2
1 sin2 αx
= δ(x) vede ve vztahu (∗) na
π αx2
...
2π
t |Vni |2 ρ(E)
~
2pi
P
2
|Vni | ρ(E) wi→n = =
t
~
En =Ei
časová hustota pravděpodobnosti přechodu z i → n
89
(∗)
w=
2pi
|Vni |2 δ(En − Ei) . . . Fermiho zlaté pravidlo
~
Harmonická porucha:
V (t) = V · eiωt + V ∗ · e−iωt ; V = V (~x)
i
c1n = −
~
Z
t
′
V (t′ )eiωnit dt′ =
0
i(ωni +ω)t
1
−
e
1 − ei(ω+ωni)t
1
+V∗
Vni
,
=
~
ω + ωni
ωni + ω
což vede na
wni =
=⇒
2pi
|Vni |2 δ(En = Ei ± ~ω)
~
2π
|Vni |2 g(En = Ei + ~ω) . . .
~
2π
= |Vni |2 g(En = Ei − ~ω) . . .
~
wni =
wni
absorbce
emise
wni(emise)
wni(absorbce)
=
g(hornı́ hladina) g(dolnı́ hladina)
(Podmı́nka rovnováhy → viz zářenı́ abs. č. tělesa)
−→
Interakce klasického elektromagnetického pole s elektronem
~p2
e ~
~=0
+ eφ −
A · ~p , div A
H=
2m
me
Elmag. pole → polarizovaná vlna
ω
~
~n~x − ωt
A = 2A0~ε cos
c
Pak
h
i
i~k~x−iωt
~
A~p = A0 (~ε p~) e
+ komplex. sdruž. ,
ω
e
V = − A0(~ε p~) ei c n~ek ~x . . . porucha
m
90
−→
2
ω
2π e 2
|A0 |2 hn|ei c n~ek ~x ~ε p~ |ii · δ(En − Ei − ~ω)
wi→n =
~ m
proces absorbce energie (nepružný rozptyl)
Účinný průřez:
energie absorbovánı́/jednotku času
tok energie
tok energie = energie/(jednotka času)(jednotka plochy)
σ=
σ=
~ω ·
4π 2 ~
= 2
me ω
2π
~
e2
m2e
e2
~c
hn|ei~k~x~ε ~p|ii2 |A0|2 · δ(En − Ei − ~ω)
1
2
2
2π cεω |A0 |
=
hn|ei~k~x~ε p~|ii2|A0 |2 δ(En − Ei − ~ω)
Fotoefekt - přechod 
elektronu ē od vázaného
k volnému stavu
!3/2
z

|ii . . . vázaný stav ∼ e−zr/a0
a0
|ni . . . |kf i . . . volný elektron
~
eikf ~x
hx|kf i = 3/2
L
Existuje celkem n2 dΩ
dn
dE =
dE
2πnx
L
,
kx =
!3
me
kf dEdΩ stavů
~2
L
2π
k 2 ~2
s energiı́ E =
2me
2 me kf L3
4π 2 d ~ ~ i ω (~n~x)
dσ c
hkf |e
=
~ε ~p|ii · 2
dΩ fotoefekt
m2e ω
~ (2π)3
Fotoefekt pro atomy vodı́kového typu:
−→
dσ
1
(~ε~kf )2 z 5
= 32e2kf
4
dΩ
mcω a50 z 2 2
+ q2
a2
0
91
,
q~ = ~kf −
ω
~n
c
Výpočet maticového elementu:
Z
−i~kf ~x
z
a0
!3/2
ω
e
~ e
· ei c (~n~x) (−i~∇)
3/2
L
!3/2
" ~
#
Z
−ikf ~x
z
r
ω
e
~
,
= −~ε d3x (−i~∇)
ei c ~n~x e−z a0
3/2
a0
L
ω
h~kf |ei c (~n~x) ~ε p~ |ii = ~ε
d3 x
−z ar
0
~ ei ωc ~n~x = 0 [transverzalita ~ε~n = 0] , pak
protože ~ε ∇
i ωc (~n~x)
h~kf |e
1
~ε ~p |ii = (~ε~kf ) 3/2
L
z
a0
3/2 Z
92
=
r
ω
d3x e− a0 z−i~q~x , ~q = ~kf − ~n
c
Lekce 10: Identické částice
Nerozlišitelnost ≡ nemožnost obarvit různé dvě čáatice, tj. nenı́ možné
rozlišit vı́c než vlastnosti popsané úplnou množinou komutujı́cı́ch operátorů.
Nemožnost rozlišit trajektorie
→ superpozice → interference
|k ′ i(1) |k ′′ i(2)
nebo |k ′′ i(1) |k ′ i(2)
?
částice jsou nerozlišitelné, ale ket-vektory |k ′ i , |k ′′ i ano a platı́
hk ′ |k ′′ i = δk′ k′′
Obecná superpozice:
|Ψi = c1 |k ′ i|k ′′ i + c2 |k ′ i|k ′′ i
Výměnná degenerace - stav nenı́ určen!
Řešenı́: → symetrie (antisymetrie) stavu
Operátor permutace:
P12 |k ′ i|k ′′ i = |k ′′ i|k ′ i
...
záměna (1) za (2)
P12 = P21 , P212 = 1 , vlastnı́ hodnoty jsou ± 1
Aplikace na spin S (1) , S (2)
Pozorovatelé A1 , A2
A1 |a′ i|a′′ i = a′ |a′ i|a′′
A2 |a′ i|a′′ i = a′′ |a′ i|a′′
93
Pak
⇐⇒
P12A1 |a′ i|a′′ i = a′ |a′ i|a′′
′
′′
P12A1P−1
P12A1 P−1
|a′′ i|a′ i
12 P12 |a i|a i = |
12
{z }
A2
Hamiltonián dvou identických částic
p22
p21
+
+ V12(|x1 − x2) + V (x1) + V (x2)
H=
2m 2m
[H, P12] = 0 ⇒ P12HP−1
P12 je integál pohybu
12 = H ,
+1 . . . symetrické stavy ; −1 . . . antisymetrické stavy
1
|k ′ , k ′′i± = √ (|k ′i|k ′′ i ± |k ′′ i|k ′ i)
2
S12 = 12 (1 + P12) , resp. A12 = 12 (1 − P12)
. . . projektory do symetric., resp. antisymetrického podprostoru
Rozšı́řenı́ na mnoho identických částic:
Operátor permutace Pij |k 1 , . . . , k i . . . k j , . . . i = |k 1 , . . . , k j . . . k i , . . . i
Pij = 1 , ale [Pij , Pkl ] 6= 0 obecně
Přı́klad → 3 identické částice
|k ′ i|k ′′ i|k ′′′ i celkem 3! permutacı́ (k ′ 6= k ′′ 6= k ′′′ )
1
|k ′ , k ′′, k ′′′i± = √ [|k ′ i|k ′′ i|k ′′′ i ± |k ′′ i|k ′ i|k ′′′ i+
6
+ |k ′′ i|k ′′′ i|k ′ i ± |k ′′′ i|k ′ i|k ′′ i ± |k ′ i|k ′′ i|k ′′′ i ± |k ′ i|k ′′′ i|k ′′ i]
4 stavy . . . smı́šená statistika
Spin a statistika:
- systém N identických částic je popsán symetrickou vlnovou funkcı́, pokud majı́ celočı́selný spin (Bosony) nebo antisymetrickou, pokud spin
94
je poločı́selný (Fermiony)
Pij |N identických bosonů i = + |N bosonů i
Pij |N identických fermionů i = − |N fermionů i
Fermiony → Pauliho vylučovacı́ princip ⇒ 2 fermiony nemohou být ve
stejném stavu.
Porovnánı́ pro 2 částice ve stavech |k ′ i , |k ′′ i:
Fermiony: √12 (|k ′i|k ′′ i − |k ′′ i|k ′ i)
Bosony: |k ′ i|k ′ i ; |k ′′ i|k ′′ i ; √12 (|k ′ i|k ′′ i + |k ′′ i|k ′ i)
Klasické chovánı́ (Maxwell - Boltzman):
|k ′ i|k ′′ i ; |k ′′ i|k ′ i
|k ′ i|k ′ i ; |k ′′ i|k ′′ i
kdy mohou být částice ve stejném stavu?
F (0) ; B(2/3)
Klasické pravděpodobnost: (2/4 = 1/2)
Důsledek: - pro T → 0 bosony tvořı́ tzv. Bose - Einsteinovu kondenzaci
Přı́klad:
2-elektronový systém
→ antisymetrická vlnová funkce Ψ(x, ξ), kde
x . . . prostorová část ξ . . . spinová část
Obecně:
Ψ12 =
XX
ms1 ms2
Necht’
c(ms1 , ms2 ) hx1, ms1 , x2, ms2 |αi
[H, S2tot] = 0 ; [H, Sz ] = 0, pak
Ψ12 = Φ(x1, x2) χ12
95
Baze pro spinovou část:


χ


++







1


triplet l = 1, m = ±1, 0
 √ (χ+− + χ−+ )

2


χ12(ms1 , ms2 ) =


χ

−−




1

 √ (χ+− − χ−+ ) singlet l = 0, m = 0
2
Antisymetrie vlnové funkce:
hx1, ms1 , x2, ms2 |P12 |αi = − hx1 , ms1 , x2, ms2 |αi
prostor spin
P12
P12 = P12
(
+ 1 triplet
spin
Cvičenı́: P12 = 12 1 + ~42 S(1) · S(1) =
− 1 singlet
Pak
Ψ(x1, x2) symetrické ⇒ χ antisymetrické
Ψ(x1, x2) antisymetrické ⇒ χ symetrické
Důsledek pro řešenı́ Schrödingerovy rovnice:
p2
p1
+
+ V (x1) + V (x1) , V (x12) zanedbáno
H=
2m 2m
→ [H, S2rot] = [H, Sz ] = 0
HΨ = EΨ lze řešit jako
Ψ = ωA (x1) ωB (x2) · χ ; symetrizace ⇒ Ψ = Φ(x1, x2)χ
ωA,B
1
Φ(x1, x2) = √ (ωA (x1) ωB (x2)) ± ωA (x2) ωB (x1) , kde
2
. . . jednočásticová řešenı́
1
p12 = [ |ωA (x1)|2 |ωB (x2)|2 + |ωA (x2)|2 |ωB (x1)|2 ±
2
± 2Re(ωA (x1) ωB (x2) ωA∗ (x1) ωB2 (x2)) d3 x1d3x2 ]
|
{z
}
výměnná hustota
96
χ . . . triplet ⇒ p(x, x) = 0
Vliv klasické separace:
ωA (x1) 6= 0 a ωB (x2) 6= 0 → p12 = 12 |ωA (x1)|2 |ωB (x2)|2 →
→ klasická faktorizace
jestliže se vlnové funkce nepřekrývaji → netřeba symetrizovat
Reprezentace obsazovacı́ch čı́sel:
N identických částic
vektor
|{x1, ξ 1, . . . xN , ξ N }i = |x1 , ξ 1i . . . |xN , ξ N i
→ lze rozlišit 1. , 2., atd. index, nikoli částici!
Bosony |x1, ξ 1, . . . , Si = (N !)1/2 Ŝ |x1, ξ 1, . . . xN , ξ N i
N!
1 X
Pj . . . součet přes všechny permutace
S=
N ! j=1
N!
1 X
A=
εj Pj . . . antisymetrický projektor
N ! j=1
Rozvoj vlnové funkce:
Z
X
1
3 1
3 N
|Ψ, Si =
Ψ(xi, ξ i, S) · |x1, ξ 1, . . . , xN , ξ N , Si
d x ...d x
1/2
N!
ξ
Porovnat s N −dimenzionálnı́ vlnovou fukcı́ podobných částic:
Z
X
3 1
3 N
Ψ({xi, ξ i}) |x1 , ξ 1, . . . , xN , ξ N , Si
|Ψi = d x . . . d x
ξ
({x, ξ})2
. . . pravděpodobnost nalezenı́ 1. , 2. , . . . indexované částice
2
Ψ({x, ξ}, S) . . . pravděpodobnost nalezenı́ jedné
permutace
→ realizuje se skutečnost, kdy pořadı́ rozhoduje vs. kdy pořadı́ nerozhoduje
97
Např. analogicky např. u antisymetické vlnové funkci pro fermiony. . . změna
znaménka při permutaci
jiná reprezentace (obsazovacı́ čı́sla)
(2)
(N )
|c(1)
n1 i |cn2 i . . . |cnN i
(i)
- každé |cj i probı́há celé spektrum
- ve vektoru se čı́slo c(1) objevı́ N1 -krát, c(2) se objevı́ N2-krát, atd.
X
Ni = N , Ni ≥ 0
i
N!
kombinacı́, tj. vektorů,
N1 ! . . . Nm ! . . .
které generujı́ podprostor H(N1, N2, . . . , Nm , . . . ) a platı́
X
H=
H′ (N1, N2, . . . ) , Ni . . . obsazovacı́ čı́sla
⇒ celkem
N1 +N2 +···+Nm =N
|N1, N2, . . . , Si =
!
N!
N1 ! . . . Nm ! . . .
(2)
Ŝ |c(1)
n1 i |cn2 i . . .
(2)
|N1, N2, . . . , Ai = (N )1/2 Â |c(1)
n1 i |cn2 i . . .
N částicové stavy identických (nerozlišitelných) částic s definovanou symetriı́(antisymetriı́)
Efektivnı́ popis ≡ druhé kvantovánı́
→ popis stavů na HS (N částicové symetrické stavy).
Necht’
|N1 = 0, N2 = 0, . . . , Nn = 1, Nn+1 = 0, . . . i = |cn i , kde
|cn i . . . stavy jedné částice
98
|1, 0, 0, . . . , S, N = 1i = |c1 i
|0, 1, 0, . . . , S, N = 1i = |c2 i
)
čti jedna částice je ve stavu c1 , resp. c2
|0, 0, 0, . . . , S, N = 0i = |0i žádná částice
Definujme kreačnı́ operátor:
â†k |N1 , N2, . . . , Nk , . . . , S, N i = (N + 1)1/2 |N1, N2, . . . , Nk + 1i
[â†k , â†j ] = 0
anihilačnı́ operátor:
âk |N1 , N2, . . . , Nk , . . . , S, N i = (N )1/2 |N1 , N2, . . . , Nk − 1, . . . , S, N − 1i
Pak
â1†N1 . . . ak†Nk
|0i
|N1 , N2, . . . , Nk , . . . , S, N i =
(N1!)1/2 . . . (Nk !)1/2
[âj , â†k ] = δjk
Přechod mezi bazemi: |ci → |bi
X
|bi =
hcm |bn i |cm i
m
↠(bn) =
X
m
hcm |bn i ↠(cm ) vztah mezi kreačnı́mi operátory
Formálnı́ analogie s tvarem vlnové funkce v |x, ξi reprezentaci
X
Ψ(x, ξ) = hx, ξ|Ψi =
hx, ξ|cj ihcj |Ψi
| {z }
j
Ψ(cj )
a transformacı́ anihilačnı́ch operátorů
Ψ(x, ξ) → â′ (x) ; Ψ(cj ) → â,
X
Ψ(x, ξ) =
hx, ξ|cj i a(cj ).
j
→ ”Kvantovánı́”vlnové funkce spočı́vá v tom, že jı́ přiřazujeme operátorový
charakter. Popisuje mnohačásticové systémy identických částic).
99
Analogicky fermionům se přiřazuje komutátor, resp. antikomutátor.
Užitı́ druhého kvantovánı́:
→ kvantovánı́ pole
Elektromagnetické pole = bosonovské pole
~ t) . . . vektorový potenciál
A(x,
~ t) =
A(x,
2 Z
X
~ k,λ (x, t) . . . spektrálnı́ rozvoj
d3 k A
λ=1
~ k,λ (x, t) = ~ε(k, λ) [A(k, λ) exp (i~k~x − iωt) + exp (−i~k~x + iωt)]
A
~ε(k, λ)~ε(k, λ′) = δλλ′ ; ~ε~k = 0
(n)
Necht’ ki =
Diskretizace:
2π
ai n
; n = 0, 1 . . . ”kvantovánı́”
~ t) =
A(x,
2 X
X
λ=1
E=
ε0
2
Z
~ k,λ (x, t)
A
k
d3x(E 2 + c2 B 2 ), pak ze vztahu pro diskretizacı́ obržı́me
V
E = 2ε0V c2
2 X
X
λ=1
k 2 A(x, t)A∗(x, t)
k
Necht’ ~q = ~~k , E = ~ω = cq , kde
~q . . . impuls , ~k . . . vlnový vektor Pak
E → Ĥ
~
~ ~k, λ) →
A(
Â(~q, λ)
(2ε0cV q)1/2
Tedy
Ĥ =
2 X
X
λ=1
cq † (~q, λ)Â(~q, λ)
k
100
⇒ elmag. pole se chová jako systém oscilátorů rozlišených polarizacı́ a
vlnovým vektorem(frekvencı́).
Přechod ke spojitému rozdělenı́:
hatA(~q, λ)
V →∞ (∆q)1/2
2π~
(2π~)3
; ∆qi =
→0
∆q =
V
ai
â(q, λ) = lim
pak
[â(q, λ), â′(q ′ , λ′ )] = 0
[â(q, λ), â†(q ′ , λ′ )] = δλλ′ δ(~q − ~q′ )
2 Z
X
i
1
1
d3 q
† − ~i ~qλ
qλ
~~
+
â
]
Â(x) =
~
ε
(q,
λ)
[â
e
0
0 e
4π (πcε~)1/2
q 1/2
λ=1
Druhé kvantovánı́ → stavy elmag. pole(diskrétnı́ verze) →
→ j−tý mod.
†(qj , λj ) |N1 , . . . , N i = (nj + 1)1/2 |N1, . . . , Nj+1, . . . i
H = Hsystém ⊗ Hpole.
101