3 Linearita Fourierovy transformace a Babinetův princip

3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
3
1
Linearita Fourierovy transformace a Babinetův princip
Linearita Fourierovy transformace je samozřejmostí, jíž používáme při výpočtech, aniž si uvědomujeme,
že aplikujeme nějakou matematickou větu. A přece právě linearita Fourierovy transformace může posloužit jako příklad toho, že evidentní matematická věta může mít netriviální fyzikální aplikace (tzv. Babinetův princip, viz 3.4). Také využití linearity k vyjádření Fourierovy transformace Fourierových řad
(viz 3.3) přináší zajímavé výsledky.
3.1
Linearita Fourierovy transformace
Linearitu vyjadřuje rovnice
FT

X

j

 X
αj fj (~x) =
αj FT {fj (~x)} ,

(1)
j
kde αj jsou konstanty (mohou být komplexní). Důkaz vztahu (1) je založen na záměně pořadí integrace
a sčítání.
3.2
Příklady
V příkladech tohoto odstavce vypočteme Fourierovy transformace trigonometrických funkcí sinus a kosinus a jejich mocnin.
3.2.1
Příklad: f (x) = cos(ax)
Fourierova transformace kosinu vyplývá z Eulerovy věty a linearity:
cos(ax) =
1
[exp(iax) + exp(−iax)]
2
a podle 1.3(5) tedy je
FT{cos(ax)} =
1 h a
a i
δ X−
+δ X +
2B
k
k
(1)
(viz obr. 1)
FT{ cos(ax )}
1
2B
a
k
0
a
k
X
Obrázek 1: Graf funkce FT{cos(ax)}
3.2.2
Příklad: f (x) = sin(ax)
S funkcí sinus je tomu obdobně:
1
[exp(iax) − exp(−iax)] ,
2i
i h a
a i
FT{sin(ax)} =
−δ X −
+δ X +
2B
k
k
sin(ax) =
(viz obr. 2)
(2)
2
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
FT{sin(ax ) }
1
2B
a
k
a
k
0
X
Obrázek 2: Graf funkce FT{sin(ax)}
3.2.3
Příklad: f (x) = cosn (ax)
Z Eulerovy věty plyne
cosn (ax)
=
=
=
=
1
n
[exp(iax) + exp(−iax)] =
2n
n 1 X n
exp[i(n − l)ax] exp(−ilax) =
2n
l
l=0
n 1 X n
exp[i(n − 2l)ax] =
l
2n
l=0
n 1 X n
exp[i(2l − n)ax].
l
2n
(3)
l=0
Z linearity Fourierovy transformace pak plyne
n 1 1 X n
2l − n
FT {cos (ax)} =
a .
δ X−
B 2n
l
k
n
(4)
l=0
Speciálně pro n = 2, 3 a 4 dostáváme ze (4):
3.2.4
FT cos2 (ax)
=
FT cos3 (ax)
=
FT cos4 (ax)
=
1 h
a
a i
2δ(X) + δ X − 2
+δ X +2
,
4B
k
k
1 h a
a
a
a i
3δ X −
+ 3δ X +
+δ X −3
+δ X +3
,
8B
k
k
k
k
a
a
1 h
6δ(X) + 4δ X − 2
+ 4δ X + 2
+
16B
k
k
i
a
a
+δ X −4
+δ X +4
.
k
k
(5)
(6)
(7)
Příklad: f (x) = sinn (ax)
sinn (ax)
1
n
[exp(iax) − exp(−iax)] =
(2i)n
n X
n
−i
l n
=
(−1)
exp[i(n − 2l)ax] =
2
l
l=0
n X
n
i
n
=
(−1)l
exp[i(2l − n)ax].
l
2
=
l=0
(8)
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
3
n X
n
i
2l − n
l n
(−1)
δ X−
a .
2
l
k
(9)
1
FT {sin (ax)} =
B
n
l=0
Pro n = 2, 3 a 4 dostáváme z (9):
FT sin2 (ax)
=
FT sin3 (ax)
=
FT sin4 (ax)
=
a
a i
1 h
2δ(X) − δ X − 2
−δ X +2
,
4B
k
k
h
i
a
a
a
a i
−3δ X −
+ 3δ X +
+δ X −3
−δ X +3
,
8B
k
k
k
k
h
1
a
a
6δ(X) − 4δ X − 2
− 4δ X + 2
+
16B
k
k
i
a
a
+δ X −4
+δ X +4
.
k
k
(10)
(11)
(12)
Ze vztahu (9) lze nahlédnout (a vztahy (2), (10),(11) a (12) to ilustrují), že Fourierova transformace
funkce sinn (ax) je reálná a sudá, když n je sudé číslo a ryze imaginární a lichá, když n je liché číslo. To
souvisí s tím, že sinn (ax) je reálná a sudá funkce, když n je sudé, a reálná a lichá funkce, když n je liché
číslo (srv. odst. 6.2.2).
3.3
Fourierova transformace Fourierovy řady funkcí jedné proměnné
Fourierova řada periodické funkce f (x) s periodou a má – jak známo – tvar
∞
X
f (x) =
cn exp (i2πnx/a) ,
(1)
f (x) exp(−i2πnx/a) dx
(2)
n=−∞
kde
1
cn =
a
Z
x0 +a
x0
a x0 je libovolné reálné číslo. Použitím vztahu 1.3(5) a linearity 3.1(1) dostaneme z (1) Fourierovu
transformaci periodické funkce f (x) ve tvaru
F (X) =
∞
1 X
2π
cn δ X −
n .
B n=−∞
ka
(3)
Je z něj vidět, že Fourierova transformace periodické funkce je nenulová pouze v bodech
Xn =
2π
n.
ka
Periodickou funkci f (x) můžeme považovat za pravidelné opakování motivu
x − x0 − a/2
f0 (x) = f (x) rect
.
a
(4)
(5)
Vztah (5) vyjadřuje skutečnost, že motiv f0 (x) charakterizujeme funkcí, jež je rovna nule vně intervalu
hx0 , x0 + ai a uvnitř tohoto intervalu je rovna funkci f (x). Přitom interval může být situován libovolně
(x0 je libovolné reálné číslo), jen musí mít délku rovnu periodě a. Platí ovšem také
" ∞
#
X
x
x − x0 − a/2
f0 (x) =
cn exp i2πn
rect
.
a
a
n=−∞
Integrál (2), jenž specifikuje koeficienty cn , je však úměrný Fourierově transformaci
Z
x0 +a
F0 (X) = A
f0 (x) exp (−ikxX) dx
x0
motivu f0 (x) v bodech Xn :
(6)
4
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
F0
2π
n
ka
Z
x0 +a
=A
x0
2π
f0 (x) exp −ikx n
ka
dx.
(7)
Porovnáním integrálů (2) a (7) dostáváme (vzhledem k (5)) vyjádření koeficientů cn hodnotami Fourierovy transformace motivu v bodech Xn :
2π
1
F0
n .
(8)
cn =
Aa
ka
Fourierovu řadu (1) periodické funkce pak můžeme napsat ve tvaru
∞
1 X
2π
F0
n exp(i2πnx/a)
Aa n=−∞
ka
(9)
∞
2π 1 X
2π
2π
F0
n δ X−
n .
|k| a n=−∞
ka
ka
(10)
f (x) =
a její Fourierovu transformaci (3)
F (X) =
Ve výrazech (9) a (10) je periodická funkce a její Fourierova transformace určena hodnotami Fourierovy transformace motivu v bodech Xn . S obdobou těchto výrazů u funkcí více proměnných se setkáme
později, v kapitole 16. Příslušné výrazy jsou komplikovanější, neboť koeficienty Fourierovy řady souvisejí
s hodnotami Fourierovy transformace motivu v bodech tzv. reciproké mřížky a nazývají se strukturní
amplitudou nebo strukturním faktorem. Fourierovy řady funkcí tří proměnných ve tvaru obdobnému k
(9) se používá v rentgenové krystalografii k vyjádření elektronové hustoty.
3.4
Babinetův princip
Netriviální aplikací linearity 3.1(1) je tzv. Babinetův princip pro Fraunhoferovu difrakci. Uvažujeme
o dvou komplementárních objektech f1 (~x) a f2 (~x). Takovými objekty se obvykle rozumí dvojice difrakčních stínítek, z nichž jedno má nepropustné oblasti právě tam, kde druhé je dokonale propustné (např.
štěrbina a proužek stejné šířky, kruhový otvor a kruhová překážka stejného průměru apod.). Budeme
však definovat komplementární objekty obecněji, a to jako objekty, které pro všechna ~x splňují podmínku
α1 f1 (~x) + α2 f2 (~x) = const.
(1)
Fourierovou transformací levé a pravé strany rovnice (1) dostáváme rovnici
~ + α2 F2 (X)
~ = const. δ(X).
~
α1 F1 (X)
BN
(2)
~ = − α2 F2 (X).
~
F1 (X)
α1
(3)
~ =
Pro X
6 ~0 tedy platí
To znamená, že pro čtverec modulu Fourierovy transformace komplementárních objektů platí
2 α 2 2
2
~
~ .
F1 (X) = F2 (X)
α1
(4)
V optice to znamená, že Fraunhoferova difrakce na komplementárních stínítkách (např. na transparentech
s pozitivem a negativem fotografického snímku) je prakticky (koeficient |α1 /α2 |2 je v této souvislosti
nepodstatný) stejná. Tato skutečnost bývá označována jako Babinetův princip.
Jako ilustraci uvádíme na obr. 3 pozitiv a negativ rozostřeného obrazu uhlíkové blány pořízeného
prozařovacím elektronovým mikroskopem a jejich Fraunhoferovy difrakční obrazce. Pozitiv byl získán
kontaktní kopií snímku. Proto jsou difrakční obrazce navzájem zrcadlově symetrické.
V literatuře se často diskutuje o platnosti Babinetova principu (viz např. [1]). Z našeho pohledu jde
o diskuse o míře platnosti Babinetova principu (4) za přibližně splněných podmínek platnosti vztahu (1),
například bereme-li hodnoty ~x pouze z konečné oblasti.
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
5
Obrázek 3: Fraunhoferova difrakce na pozitivu a negativu rozostřeného astigmatického elektronově
mikroskopického snímku uhlíkové blány.
3.5
Příklady: cimbuří
Vypočteme nyní Fourierovy řady a Fourierovy transformace čtyř funkcí, které spolu souvisejí lineárními
vztahy a které představují dvě dvojice komplementárních funkcí. Jde o známá „cimbuříÿ. Tyto funkce
jsou důležité v mnoha oborech. Představují sekvence pravoúhlých pulsů, nebo – v optice – mřížky s
propustnostmi 1 a 0 resp. 1 a −1.
Bylo by přirozené počítat Fourierovy řady obvyklým způsobem, tj. podle vztahů 3.3(1) a 3.3(2).
Využijeme však výsledků odst. 3.3 a použijeme vztahu 3.3(9).
3.5.1
Příklad: f1 (x) =
P∞
j=−∞
rect
x−ja
d
, a > d > 0 (obr. 4)
Jde zřejmě o periodickou funkci s periodou a vzniklou opakováním motivu f0 = rect
1.3.5). Fourierova transformace motivu je (srov. 1.3(16))
sin k d2 X
F0 (X) = Ad
.
k d2 X
Dosadíme-li za X hodnoty Xn podle 3.3(4), dostaneme
sin nπ ad
2π
Aa 1
d
F0
n = Ad
=
sin nπ
,
ka
π n
a
nπ ad
přičemž pro n = 0 je
F0 (0) = Ad.
Fourierova řada funkce f1 (x) je pak podle 3.3(9) tvaru
x
d
(viz odst.
6
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
f1(x)
1
0
d
Obrázek 4: Graf funkce f1 (x) =
f1 (x) =
x
a
P∞
j=−∞
rect
x−ja
d
, a > d > 0.
∞
1 X 1
d
x
.
sin nπ
exp i2πn
π n=−∞ n
a
a
(1)
Funkce f1 (x) je sudá, a proto může být vhodné ji vyjádřit prostřednictví kosinů:
f1 (x) =
∞
d
2X1
d
x
+
sin nπ
cos 2πn
.
a π n=1 n
a
a
(2)
Fourierova transformace funkce f1 (x) má podle 3.3(10) tvar
F1 (X)
=
=
∞
1 1 X 1
d
2π n
sin nπ
δ X−
=
B π n=−∞ n
a
k a
(
)
∞
1 d
1X1
d
2π n
2π n
δ(X) +
sin nπ
δ X−
+δ X +
.
B a
π n=1 n
a
k a
k a
(3)
Z výrazů (1) až (3) je zřejmé, že tyto řady mají nulové členy, kdykoli n ad je celé číslo různé od nuly.
Konkrétně, je-li d = a2 , jsou nulové všechny sudé členy (s výjimkou n = 0). Označíme-li tedy n = 2l+1, je
sin (2l + 1) π2
1
d
(−1)l
sin nπ
=
=
(4)
n
a
2l + 1
2l + 1
a
2
a řady (1) až (3) nabudou pro případ d =
f1 (x)
∞
h
1
1 X (−1)l
xi
+
exp i2π(2l + 1)
=
2 π
2l + 1
a
=
1
2
+
2 π
=
1
F1 (X) =
B
3.5.2
Příklad: f2 (x) =
P∞
"
j=−∞
tvaru
l=−∞
∞
X
l=0
h
(−1)l
xi
cos 2π(2l + 1) ,
2l + 1
a
#
∞
1
1 X (−1)l
2π 2l + 1
δ(X) +
δ X−
.
2
π
2l + 1
k
a
(5)
(6)
(7)
l=−∞
rect
x−(j+ 12 )a
a−d
, a > d > 0 (obr. 5)
Funkce f2 (x) je komplementární funkcí k f1 (x), neboť platí
f1 (x) + f2 (x) = 1.
Fourierova řada funkce f2 (x) má tedy tvar
(8)
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
7
f2(x)
1
0
d
Obrázek 5: Graf funkce f2 (x) =
f2 (x)
=
=
x
a
P∞
j=−∞
rect
x−(j+ 12 )a
a−d
, a > d > 0.
∞
d
x
1 X 1
=
sin nπ
exp i2πn
π n=−∞ n
a
a
∞
a−d
2X1
d
x
−
sin nπ
cos 2πn
.
a
π n=1 n
a
a
1−
(9)
(10)
Fourierova transformace funkce f2 (x) pak je
F2 (X)
=
=
"
#
∞
1
1 X 1
d
2π n
δ(X) −
sin nπ
δ X−
=
B
π n=−∞ n
a
k a
(
)
∞
1 a−d
1X1
d
2π n
2π n
δ(X) −
sin nπ
δ X−
+δ X +
.
B
a
π n=1 n
a
k a
k a
(11)
(12)
Z výrazů (3) a (11) je zřejmé, že pokud je X 6= 0, je F1 (X) = −F2 (X), takže Babinetův princip 3.4(4)
je splněn ve tvaru |F1 (X)|2 = |F2 (X)|2 , a to nezávisle na hodnotě poměru d/a < 1, tj. na poměru šířky
propustných štěrbin a nepropustných proužků mezi štěrbinami. To znamená, že Fraunhoferův difrakční
obrazec od mřížky s úzkými štěrbinami je týž jako od komplementární mřížky se širokými štěrbinami.
Tato skutečnost je z pohledu příkladů 3.5.1 a 3.5.2 samozřejmostí. Z jiného pohledu se však může jevit
téměř paradoxní. Vrátíme se k problému v příkladu (X.X.X).
V následujících příkladech uvedeme Fourierovy řady a Fourierovy transformace funkcí, které charakterizují propustnost fázových mřížek tvořených střídajícími se proužky s propustností 1 a −1.
3.5.3
Příklad: f3 (x) = 2
P∞
j=−∞
rect
x−ja
d
− 1, a > d > 0 (obr. 6)
f3(x)
1
0
d
x
-1
Obrázek 6: Graf funkce f3 (x) = 2
a
P∞
j=−∞
rect
x−ja
d
− 1, a > d > 0.
8
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
Zřejmě platí
f3 (x) = 2f1 (x) − 1,
(13)
kde f1 (x) je funkce z příkladu 3.5.1. Dosadíme-li do (13) výrazy (1) resp. (2), dostaneme Fourierovy
řady:
∞
d
x
2 X 1
=
sin nπ
exp i2πn
f3 (x) = −1 +
π n=−∞ n
a
a
∞
2d − a
4X1
d
x
=
.
+
sin nπ
cos 2πn
a
π n=1 n
a
a
(14)
(15)
Obdobně, s použitím vztahu (3) dostaneme Fourierovu transformaci
F3 (X)
=
=
3.5.4
"
#
∞
1
2 X 1
d
2π n
−δ(X) +
sin nπ
δ X−
=
B
π n=−∞ n
a
k a
(
)
∞
1 2d − a
2X1
d
2π n
2π n
δ(X) +
sin nπ
δ X−
+δ X +
.
B
a
π n=1 n
a
k a
k a
Příklad: f4 (x) = 1 − 2
P∞
j=−∞
rect
x−ja
d
(16)
(17)
, a > d > 0 (obr. 7)
Komplementární funkcí k funkci f3 (x) je funkce
f4 (x) = −f3 (x) = 1 − 2
∞
X
rect
j=−∞
x − ja
d
(viz obr. 7). Fourierovu řadu a Fourierovu transformaci funkce f4 (x) představují pravé strany vztahů
(14) až (17) násobené −1.
f4(x)
1
0
d
-1
x
a
Obrázek 7: Graf funkce f4 (x) = −f3 (x) = 1 − 2
P∞
j=−∞
rect
x−ja
d
.
Zajímavý je opět speciální případ vztahů (14) až (16) pro d = a/2, tj. když propustné proužky
a proužky obracející fázi mají stejnou šířku (viz obr. 8). V řadách jsou opět všechny členy odpovídající
sudému n nulové, tentokrát však včetně členu n = 0:
f3 (x)
=
=
∞
h
2 X (−1)l
xi
exp i2π(2l + 1)
=
π
2l + 1
a
4
π
l=−∞
∞
X
l=0
h
(−1)l
xi
cos 2π(2l + 1) ,
2l + 1
a
(18)
(19)
3
LINEARITA FOURIEROVY TRANSFORMACE A BABINETŮV PRINCIP
9
f3(x)
1
0
d
x
-1
Obrázek 8: Graf funkce f3 (x) = 2
a
P∞
j=−∞
rect
x−ja
d
− 1 pro d = a/2.
∞
2π 2l + 1
1 2 X (−1)l
.
δ X−
F3 (X) =
Bπ
2l + 1
k
a
(20)
l=−∞
Z rovnice (20) vyplývá, že Fraunhoferova difrakce má nulovou intenzitu v primárním směru X = 0.
Taková mřížka pak může působit jako ideální dělič svazku, dosáhneme-li vhodným poměrem vlnové
délky λ = 2π/k a periody a mřížky, že Fraunhoferova difrakce je tvořena právě jen prvním (n = 1, tj.
l = (n − 1)/2 = 0, X = λ/a) a mínus prvním (n = −1, tj. l = 1, X = −λ/a) řádem difrakce. Uvážíme-li,
že proměnná X má při k = 2π
λ význam směrového kosinu, je zřejmé, že třetí (l = 1) a mínus třetí (l = −2)
maximum nemůže vzniknout, když λ/a > 1/3. Aby však první a mínus první maximum vůbec existovalo
musí být λ/a < 1. Má-li tedy difrakční obrazec obsahovat právě jen první a mínus první maximum, musí
platit
λ
λ
1
< =
< 1.
3
a
2d
(Přejeme-li
si dokonce, aby směry prvního a mínus prvního maxima byly na sebe kolmé, musí být
√
λ
2
=
.)
a
2
Reference
[1] Hosemann R., Bagchi S. N.: Direct Analysis of Diffraction by Matter. North-Holland Publishing
Co., Amsterdam 1962, kapitoly 12, 15, 16.