dx2 spektrum

1
2
Význam Fourierovy transformace v teorii difrakce
Studium struktury látek založené na difrakci nějakého záření se většinou provádí tak, že na zkoumanou
látku dopadá rovnoběžný svazek záření a ve vzdálenosti R — velké ve srovnání s rozměry objektu — se
registruje difraktované záření. Z něho, de facto tedy ze směrového rozložení difraktovaného záření, se pak
usuzuje na strukturu zkoumané látky. Jestliže se přitom předpokládá, že difrakce je slabá v tom smyslu,
že neovlivní („neoslabíÿ) primární záření a že difrakce nastává pouze jednorázově, tj. že difraktuje pouze
primární záření, tj. že difrakce už jednou difraktovaného záření je zanedbatelná, mluvíme o kinematické
teorii difrakce. (Max v. Laue [1], str. XX, [2], str. 123, používal názvu geometrická teorie. Tento název je
asi výstižnější, avšak neujal se.) Bere-li se v úvahu zeslabení primární vlny v důsledku difrakce a difrakce
záření už difraktovaného, mluvíme o dynamické teorii difrakce.
Matematickým základem kinematické teorie difrakce je Fourierova transformace v EN . Ať už nás
zajímá kterákoli oblast teorie difrakce — difrakce na jednorozměrných mřížkách (E1 ), Fraunhoferova
difrakce v optice (E2 ), strukturní analýza pevných látek (E3 ) včetně kvazikrystalů (EN ), difrakce vlnění
nejrůznějšího druhu (zvuk, elektromagnetické vlnění, elektrony, neutrony, protony, atomy, ionty, molekuly) a nejrůznějších energií, resp. vlnových délek — vždycky používáme aparátu a výsledků Fourierovy
transformace.
2.1
Difrakce rovinné vlny na trojrozměrném objektu, Ewaldova kulová plocha
Předpokládejme, že trojrozměrný objekt charakterizuje funkce f (~x) (funkce propustnosti v optice, elektronová hustota v rentgenové difraktografii, elektrostatický potenciál v elektronové difraktografii atd.),
která představuje schopnost objektu rozptylovat záření. Na objekt dopadá kolimovaný svazek, tj. rovinná vlna charakterizovaná výrazem exp (ik~n0 · ~x), v němž ~n0 značí jednotkový vektor ve směru šíření
a k = 2π/λ je vlnové číslo. Každý bod M objektu působí pružný rozptyl, jímž vzniká kulová vlna,
exp(ikr)
,
kr
jejíž amplituda je úměrná jednak rozptylové schopnosti f (~x) objektu, jednak — a to je výrazem kinematické teorie — dopadající vlně. Vzdálenost r mezi bodem M s průvodičem ~x a bodem pozorování P s
~ je r = |R
~ − ~x| (viz obr. 1). Záření difraktované celým objektem je pak v bodě pozorování
průvodičem R
~
R charakterizováno integrálem
ZZZ ∞
~ − ~x|
exp ik|R
~
Ψd (R) =
f (~x) exp(ik~n0 · ~x)
d3 ~x.
(1)
~ − ~x|
k|R
−∞
f (~x) exp(ik~n0 · ~x)
exp(i kn0·x )
M
x
r
P
R
0
Obrázek 1: K aproximaci (2).
Nyní se využije toho, že bod pozorování P je velmi vzdálený od objektu. Míní se tím, že funkce f (~x)
nabývá fyzikálně významných hodnot jen pro x R a jinde je rovna nule. Jinými slovy předpokládá
se, že lineární rozměr rozptylujícího objektu je velmi malý ve srovnání se vzdáleností mezi objektem
a bodem pozorování P . Všeobecně se má za to, že tento předpoklad ospravedlňuje v integrandu (1)
aproximaci
~ − ~x|)
exp(ik|R
exp(ikR)
≈
exp(−ik~n · ~x),
~
kR
k|R − ~x|
(2)
2
~
kde ~n = R/R.
Obyčejně se aproximace (2) zdůvodňuje takto: Z rozvoje
s
q
2
~
~ · ~x + x2 = R 1 − 2R · ~x − x = R − ~n · ~x + ε,
~ − ~x| = R2 − 2R
|R
2
R
(3)
kde
ε
=
x2
2R
("
""
2 # 2
4
~n · ~x
~n · ~x
x2
~n · ~x
~n · ~x
1−
1
−
6
−
+
5
+
1+
x
R
4R2
x
x
"
)
2
4 ###
~n · ~x
~n · ~x
~n · ~x
+7
3 − 10
± · · · ≥ 0,
+
R
x
x
(4)
můžeme ve jmenovateli výrazu na levé straně (2) použít jen první člen, neboť |~n · ~x| R i ε R.
Naproti tomu v argumentu exponenciální funkce v čitateli levé strany (2) použijeme prvních dvou členů
rozvoje (3) předpokládajíce, že zanedbávaná část rozvoje, tj. kε, je malá proti periodě exponenciální
funkce, tedy
kε 2π,
tj.
x2
λ.
2R
Přísně vzato, místo (2) bychom měli psát
~ − ~x|)
exp(ik|R
exp(ikR)
exp(ikε)
=
exp(−ik~n · ~x) ·
.
~
kR
1 − ~n·~xR−ε
k|R − ~x|
Aproximace (2) pak znamená, že klademe
exp(ikε)
1 − ~nR·~x + Rε
=
.
=
"
2 #
~n · ~x
x2
~n · ~x
1+
+ ik
1−
×
R
2R
x
(
2 )
~n · ~x
i
~n · ~x
~n · ~x
1+
1+
+2
± ···
×
1+2
R
kR
R
R
1.
To jistě lze, když
~n · ~x R
(5)
a současně
k
x2
πx2
=
1,
2R
λR
tj.
π
x2
λ.
R
(6)
Podmínky (5) a (6) bývají dobře splněny při rozptylu záření na objektech atomových rozměrů (Bornova
aproximace, viz např. [3], [4], kap. 5, §5, [5], §77, [6]). Jejich splnění v teorii difrakce však nemusí být
samozřejmostí. Zejména podmínka (6) může být velmi přísnou podmínkou v difrakčních experimentech,
kdy se nepoužívá nebo nelze používat čoček. Např. při difrakci rentgenového záření na krystalech bývá
.
.
R = 1 · 10−1 m, λ = 1 · 10−10 m takže z podmínky (6) vyplývá
r
λR .
x
= 2 · 10−6 m.
π
Velikost krystalů, na nichž dochází k difrakci rentgenového záření, by tedy měla být v oblasti nejvýše
desetin mikrometru! Při difrakci světla nebo elektronů lze použít čočku a pozorovat difrakční obrazec v
její obrazové ohniskové rovině. Tím se dosáhne toho, že vzdálenost R = ∞, takže podmínky (5) a (6)
jsou splněny.
Použijeme-li aproximace (2) a označení
3
~ = ~n − ~n0
X
(7)
pro tzv. vektor rozptylu, lze integrál (1) přepsat do tvaru
exp (ikR)
Ψd =
kR
ZZZ
∞
~ · ~x d3 ~x.
f (~x) exp −ik X
(8)
−∞
Integrál v tomto výrazu má už formálně tvar Fourierova integrálu.
~ nenabývá všech možných hodnot v E3 — jak je tomu u FourieSe skutečností, že proměnná X
rovy transformace —, ale že je omezena podmínkou (7), se teorie difrakce vyrovnává tzv. Ewaldovou
konstrukcí. Využívá Fourierovy transformace, ale dodává, že experimentálně přístupné jsou pouze ty
~ které splňují podmínku (7), tj. které jsou rozdílem dvou jednotkových vektorů.
hodnoty proměnné X,
Q
ρ
n
C
X
n0
O
~ (viz (7)).
Obrázek 2: Vektor rozptylu X
~ Fourierovy transPodstatou Ewaldovy konstrukce je tedy toto (viz obr. 2): V prostoru proměnné X
formace sestrojíme kulovou plochu ρ o jednotkovém poloměru tak, že prochází počátkem O a její střed
C leží ve směru opačném ke směru šíření primární vlny, tj. CO = ~n0 (Ewaldova (též reflexní) kulová
~ je úměrná Fourierově transplocha). Pak amplituda záření difraktovaného ve směru CQ = ~n = ~n0 + X
~
formaci F (X) (funkce f (~x) charakterizující preparát) v bodě Q Ewaldovy kulové plochy, jehož průvodič
~ tj. X
~ = OQ.
je roven vektoru rozptylu X,
~ není, bohužel, jediným
Skutečnost, že experimentálně dostupná je jen část prostoru proměnné X,
problémem, s nímž se musí strukturní analýza vyrovnávat. Druhou závažnou skutečností je, že experimentálně se registruje nikoli amplituda difraktovaného záření, tedy veličina úměrná Fourierově transfor~ ale intenzita, tedy veličina úměrná |F (X)|
~ 2 . Tím se ztrácí informace o fázi komplexní funkce
maci F (X),
~ Zde má původ známý fázový problém strukturní analýzy. Existuje totiž nekonečné množství funkcí
F (X).
~ 2.
f (~x), jejichž Fourierova transformace má týž čtverec modulu |F (X)|
Na funkci f (~x) musíme tedy usuzovat pouze na základě čtverce modulu její Fourierovy transformace
v konečné oblasti prostoru. Za těchto omezujících podmínek vnucených experimentem je užitečné mít
na paměti matematické věty o Fourierově transformaci a s jejich pomocí se snažit vyčíst z difrakčního
obrazce co nejvíce informací o funkci f (~x), tj. o struktuře studovaného objektu. Těmto matematickým
větám je věnována převážná část těchto přednášek.
Připomeneme ještě jednoduchý geometrický způsob, jímž lze nahlédnout, že difraktované vlnění je
charakterizováno integrálem (8). Představme si opět, že na objekt dopadá ve směru ~n0 rovinná vlna
exp(ik~n0 · ~x) a zajímejme se o vlnění rozptýlené ve směru ~n. Z vlnoploch OL0 a OL na obrázku 3 je
zřejmé, že dráhový rozdíl paprsků A0 OA a A0 M A je délka L0 M L, tj. (~n0 − ~n) · ~x. Vlnění rozptýlené do
směru ~n částí objektu v infinitezimálním okolí bodu M má tedy oproti vlnění rozptýlenému do téhož
směru okolím počátku O fázové zpoždění −k(~n −~n0 ) ·~x. Vezmeme-li v úvahu ještě rozptylovou schopnost
f (~x), je zřejmé, že vlnová funkce charakterizující záření difraktované celým objektem ve směru ~n je
ZZZ
∞
ψd (~n − ~n0 ) ∼
−∞
f (~x) exp −ik(~n − ~n0 ) · ~x d3 ~x,
(9)
4
L0 n0·x M
-n·x
A0
x
n0
L
0
n
A
Obrázek 3: K odvození vztahu (9).
což je ve shodě s (8).
Tím, že jsme v tomto odstavci zvolili za parametr k v definici Fourierovy transformace vlnové číslo k =
~ 1 , X2 , X3 ) významu rozdílu jednotkových vektorů ve směru difraktovaného
2π/λ, nabyla proměnná X(X
~ rozdíly
a dopadajícího záření (viz (7)). V kartézské soustavě souřadnic jsou tedy souřadnicemi vektoru X
směrových kosinů
X1 = cos α1 − cos α01 ,
X2 = cos α2 − cos α02 ,
X3 = cos α3 − cos α03
(10)
vektorů ~n(cos α1 , cos α2 , cos α3 ) a ~n0 (cos α01 , cos α02 , cos α03 ) a Ewaldovu kulovou plochu pak bylo účelné
konstruovat s jednotkovým poloměrem.
V krystalografii a ve strukturní analýze se vektor rozptylu definuje nikoli vztahem (7), ale podílem
~ f = ~n − ~n0 /λ
X
(11)
(viz např. [7], str. 7, [8], § 8.4). Souvisí to s tím, že v těchto disciplínách se za parametr k ve Fourierově
transformaci volí hodnota ±2π, jak jsme uvedli v odst. 1.1. Ewaldovu kulovou plochu je pak účelné
konstruovat o poloměru 1/λ.
Ve fyzice pevných látek a ve fyzice povrchů se v definici Fourierovy transformace volí k = ±1, vektor
rozptylu se definuje vztahem
~ ω = 2π ~n − ~n0 /λ
X
(12)
a Ewaldovu kulovou plochu je třeba konstruovat s poloměrem 2π/λ (viz např. [9], str. 64, 65, [10], § 4.2).
(Reflexní kouli o tomto poloměru původně používal i Ewald [11]).
2.2
Fraunhoferova difrakce jako Fourierova transformace funkce propustnosti
V laboratorním žargonu se často říká, že Fraunhoferova difrakce je Fourierovou transformací. Nebývá
však zvykem precizovat, čeho že je Fraunhoferova difrakce Fourierovou transformací. Této otázce budeme
věnovat tento odstavec.
Onu zatím nespecifikovanou Fraunhoferovu difrakci charakterizuje Fourierova transformace, jež je
funkcí dvou proměnných. Je tedy Fourierovou transformací nějaké funkce dvou proměnných f (x1 , x2 ).
V optické praxi máme často co činit s objekty, jež lze považovat za dvojrozměrné, např. clony, různé
transparenty (např. fotografické filmy, řezy biologickými objekty představující preparáty pro mikroskopické pozorování) a pod. Tyto dvojrozměrné objekty lze charakterizovat tzv. funkcí propustnosti t(x1 , x2 ).
Budeme tedy v odst. 2.2 zkoumat, jak souvisí Fraunhoferova difrakce s Fourierovou transformací funkce
propustnosti t(x1 , x2 ), tj. jak spolu souvisejí funkce f (x1 , x2 ) a t(x1 , x2 ).
5
V odst. 2.2.1 budeme precizovat pojem funkce propustnosti t(x1 , x2 ), v odst. 2.2.2 představíme
Fraunhoferovu difrakci jako rozklad vlnové funkce do rovinných vln a ukážeme, že Fourierova transformace funkce f (x1 , x2 ) je amplituda těchto rovinných vln. V odst. 2.2.3 podáme návod, jak to experimentálně zařídit, aby Fraunhoferova difrakce byla Fourierovou transformací funkce propustnosti, tj. aby
platilo f (x1 , x2 ) = t(x1 , x2 ).
2.2.1
Funkce propustnosti
Představme si nějaký objekt dvojrozměrného charakteru (to znamená dostatečně tenký). Např. obraz registrovaný zpracovanou fotografickou emulzí, textilie, otisky prstů na podložním mikroskopickém sklíčku,
maska na výrobu integrovaných obvodů apod. Takový objekt je vhodné charakterizovat funkcí propustnosti t(x1 , x2 ), kterou lze zavést takto: Vycházíme ze samozřejmého předpokladu, že objekt je aspoň
v některých místech transparentní pro nějaké vlnění. Předpokládejme, že toto vlnění dopadá na objekt,
prochází jím a těsně za ním (tj. v rovině zadní strany objektu) je charakterizováno funkcí ψ(x1 , x2 ). Nechť
ψ0 (x1 , x2 ) charakterizuje totéž vlnění v téže rovině za nepřítomnosti jakéhokoliv objektu. Utvořme nyní
podíl
t(x1 , x2 ) =
ψ(x1 , x2 )
.
ψ0 (x1 , x2 )
(1)
Je-li tento podíl v rozumných mezích nezávislý na dopadající vlně (tj. na tom, zda dopadající vlna je
rovinná nebo kulová vlna, na úhlu pod nímž dopadá rovinná vlna apod.), můžeme příslušný objekt
považovat za dvojrozměrný a charakterizovat jej funkcí propustnosti t(x1 , x2 ). (Rozumné meze vylučují
případy jako téměř tečný dopad rovinné vlny, kulovou vlnu se středem velmi blízko objektu apod.)
Je zřejmé, že funkce propustnosti je v obecném případě komplexní funkcí. V praxi však bývají důležité
dva zvláštní případy:
(i) Amplitudové objekty. Mají funkci propustnosti ve tvaru
t(x1 , x2 ) = τ (x1 , x2 ) exp(iε0 ),
(2)
kde τ (x1 , x2 ) je reálná funkce a ε0 reálná konstanta. Např. funkci propustnosti objektu tvořeného
prázdnými otvory v nepropustné kovové fólii (např. štěrbina nebo naopak nepropustný proužek)
modelujeme charakteristickou funkcí otvorů, tj. funkcí, jež je rovna jedné v bodech otvorů a nule
v bodech nepropustné části stínítka. Složitějším případem jsou obrazy registrované fotografickou
emulzí, kdy nositelem informace je míra zčernání filmu. Pro optické zpracování takových obrazů
by tedy bylo žádoucí, aby světlo procházející emulzí bylo absorbováno tak, jak to odpovídá zčernání filmu, a nedocházelo přitom k posuvu fáze, jenž by závisel na poloze v rovině filmu. Funkce
propustnosti by pak měla tvar (2). Jenže při běžném vyvolávání filmu přísluší různému zčernání
různá tloušťka emulze a různé tloušťce emulze nežádoucí fázový posuv prošlého vlnění. Pak je
třeba vkládat film do imerzního oleje mezi dvě planparalelní desky a celá věc se komplikuje a stává
pracnou.
(ii) Fázové objekty. Mají v propustných částech funkci propustnosti ve tvaru
t(x1 , x2 ) = τ0 exp[iε(x1 , x2 )],
(3)
kde τ0 je konstanta a ε(x1 , x2 ) je reálná funkce polohy. V nepropustných částech je t(x1 , x2 ) = 0.
Příkladem mohou být ideálně propustné optické elementy, jež absorbují světlo jen nepatrně, avšak
velmi podstatně ovlivňují fázi vlnění (např. tenká čočka, fázová mřížka apod.)
Pojem funkce propustnosti je užitečný do té míry, že se jej někteří autoři s vynaložením značného
úsilí snaží uchovat i v případech objektů, které nejsou tenké, tj. kdy hodnota podílu na pravé straně
vztahu (1) závisí na dopadajícím vlnění [12], [13].
6
2.2.2
Rozklad vlnové funkce do rovinných vln
V tomto odstavci odhlédneme od toho, že naší snahou je, aby Fraunhoferova difrakce byla popsána
Fourierovou transformací funkce propustnosti. Budeme vycházet z toho, že známe vlnovou funkci ψ
v rovině x3 = 0, jíž vlnění prochází, zvolíme f (x1 , x2 ) = ψ(x1 , x2 , 0) a budeme hledat vztah mezi
Fourierovou transformací této funkce a amplitudou rovinných vln do nichž rozložíme vlnění, které naší
rovinou (tj. rovinou x3 = 0) prošlo.
Předpokládejme tedy, že máme co činit s monochromatickým vlněním, že známe vlnovou funkci ψ
v bodech M nějaké roviny a že všechny zdroje vlnění jsou v jednom z poloprostorů, které tato rovina
vymezuje. Zvolíme tuto rovinu za rovinu x3 = 0 v soustavě souřadnic (0, x1 , x2 , x3 ) s kladnými hodnotami souřadnice x3 v poloprostoru, který neobsahuje zdroje vlnění. (Jde prostě o to, abychom mohli
používat Helmholtzovy rovnice ∇2 ψ + p
k 2 ψ = 0 k popisu
vlnění šířícího se ve směrech ~n(n1 , n2 , n3 ), pro
něž je n3 > 0, tj. ve směrech ~n n1 , n2 , 1 − n21 − n22 .)
Vlnovou funkci ψ(x1 , x2 , x3 ) vyjádříme Fourierovým integrálem, a to poněkud zvláštním způsobem.
Nikoli trojným integrálem, jak bychom u funkce tří proměnných očekávali, ale pouze dvojným Fourierovým integrálem
Z∞
Z
ψ(x1 , x2 , x3 ) =
Ψ(X1 , X2 ; x3 ) exp[ik(X1 x1 + X2 x2 )] dX1 dX2 .
(1)
−∞
V tomto integrálu jsou X1 , X2 fourierovské proměnné, o jejichž fyzikálním významu bude ještě řeč. Konstantě k dáme význam vlnového čísla, k = 2π/λ, takže nepřekvapí, když se ukáže, že X1 , X2 mají význam
směrových kosinů (pokud X12 + X22 ≤ 1). Funkci Ψ(X1 , X2 ; x3 ) zatím ovšem neznáme. Poněvadž však
integrál (1) má tvar inverzní Fourierovy transformace, můžeme funkci Ψ(X1 , X2 ; x3 ) vyjádřit dvojnou
Fourierovou transformací vlnové funkce ψ(x1 , x2 , x3 ) podle proměnných x1 , x2
Ψ(X1 , X2 ; x3 ) =
k
2π
2 Z∞
Z
ψ(x1 , x2 , x3 ) exp[−ik(X1 x1 + X2 x2 )] dx1 dx2 .
(2)
−∞
Funkci ψ(x1 , x2 , x3 ) však známe v rovině x3 = 0, takže můžeme vypočítat Fourierovu transformaci
Ψ(X1 , X2 ; 0) =
k
2π
2 Z∞
Z
ψ(x1 , x2 , 0) exp[−ik(X1 x1 + X2 x2 )] dx1 dx2 .
(3)
−∞
Nalezneme nyní funkci Ψ(X1 , X2 ; x3 ) pro všechna x3 ≥ 0. V poloprostoru x3 ≥ 0 nejsou žádné
zdroje vlnění, takže funkce ψ(x1 , x2 , x3 ) vyhovuje Helmholtzově rovnici. Dosadíme tedy výraz (1) do
Helmholtzovy rovnice. Za tím účelem vypočteme derivace výrazu na pravé straně rovnice (1),
∂2ψ
∂x21
∂2ψ
∂x22
∂2ψ
∂x23
= −k
2
Z∞
Z
X12 Ψ(X1 , X2 ; x3 ) exp[ik(X1 x1 + X2 x2 )] dX1 dX2 ,
−∞
= −k 2
Z∞
Z
X22 Ψ(X1 , X2 ; x3 ) exp[ik(X1 x1 + X2 x2 )] dX1 dX2 ,
−∞
Z∞
Z
=
−∞
∂ 2 Ψ(X1 , X2 ; x3 )
exp[ik(X1 x1 + X2 x2 )] dX1 dX2
∂x23
a dosadíme je do Helmholtzovy rovnice ∇2 ψ +k 2 ψ = 0. Zaměníme pořadí sčítání a integrace a dostaneme
Z∞
Z ∂ 2 Ψ(X1 , X2 ; x3 )
k 2 1 − X12 − X22 Ψ(X1 , X2 ; x3 ) +
exp[ik(X1 x1 + X2 x2 )] dX1 dX2 = 0.
∂x23
−∞
Rovnice (4) platí pro všechny body x1 , x2 , x3 ≥ 0. Musí tedy být
(4)
7
∂ 2 Ψ(X1 , X2 ; x3 )
+ k 2 1 − X12 − X22 Ψ(X1 , X2 ; x3 ) = 0.
2
∂x3
(5)
To je obyčejná lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Její
řešení splňující okrajovou podmínku (3) je
q
(6)
Ψ(X1 , X2 ; x3 ) = Ψ(X1 , X2 ; 0) exp ikx3 1 − X12 − X22 .
Toto je velmi důležitý výsledek, k němuž se budeme v dalších semestrech vracet. (Chápeme-li totiž
Fresnelovu
p difrakci jako přenos lineárním prostorově invariantním systémem, vyplývá z rov. (6), že fázor
exp(ikx3 1 − X12 − X22 ) je přenosovou funkcí homogenního izotropního prostředí.)
Dosadíme-li pravou stranu rovnice (6) do integrálu (1), dostaneme vlnovou funkci ve tvaru
Z∞
Z
ψ(x1 , x2 , x3 ) =
q
Ψ(X1 , X2 ; 0) exp ik X1 x1 + X2 x2 + x3 1 − X12 − X22
dX1 dX2 .
(7)
−∞
Věnujme se nyní interpretaci tohoto výrazu.
Především je pozoruhodné, že rovnice (7) vyjadřuje vlnovou funkci ψ(x1 , x2 , x3 ) v obecném bodě se
souřadnicí x3 > 0 prostřednictvím známé vlnové funkce ψ(x1 , x2 , 0) v rovině x3 = 0. Rovnici (7) lze tedy
chápat jako matematický popis Fresnelovy difrakce. (V příštím semestru odvodíme difrakční integrál pro
Fresnelovu difrakci mimo jiné také tak, že do pravé strany rov. (7) dosadíme za Ψ(X1 , X2 ; 0) výraz (3)
a zintegrujeme podle X1 a X2 .)
Dále je zřejmé, že pokud je X12 + X22 ≤ 1, představuje fázor
q
2
2
exp ik X1 x1 + X2 x2 + x3 1 − X1 − X2
(8)
p
rovinnou vlnu šířící se ve směru ~n X1 , X2 , 1 − X12 − X22 . Je-li však X12 + X22 > 1, upravíme fázor
v integrálu (7) do tvaru
q
2
2
(9)
exp −kx3 X1 + X2 − 1 exp[ik(X1 x1 + X2 x2 )].
Tento výraz představuje rovněž vlnu, neboť je řešením Helmholtzovy rovnice. Plochy konstantní amplitudy jsou roviny x3 = const. a amplituda vlny (9) exponenciálně klesá s rostoucím x3 , tj. se vzdáleností od roviny x3 = 0, v níž známe vlnovou funkci ψ(x1 , x2 , 0). Plochy konstantní fáze jsou roviny
X1 x1 + X2 x2 = const., tj.
X1
const.
x1 +
,
X2
X2
p
p
tedy roviny s normálou ~n(X1 / X12 + X22 , X2 / X12 + X22 , 0). Výraz (9) je nehomogenní vlnou, neboť
plochy konstantní amplitudy nejsou totožné s plochami konstantní fáze (jsou na sebe kolmé). Vzhledem
k exponenciálnímu poklesu amplitudy v závislosti na souřadnici x3 nazývají se vlny (9) evanescentními
vlnami (z latinského evanescere = mizet, zanikat, vytrácet se).
Výraz (7) tak představuje vyjádření vlnové funkce jako superpozice rovinných a evanescentních vln:
x2 = −


ZZ
ψ(x1 , x2 , x3 )

= 
ZZ
+

Ψ(X1 , X2 , 0) ×
X12 +X22 ≤1 X12 +X22 >1
q
2
2
× exp ik X1 x1 + X2 x2 + x3 1 − X1 − X2 dX1 dX2 .
(10)
Integrál přes obor X12 + X22 > 1, vztahující se k evanescentním vlnám, můžeme zanedbat, kdykoli je
x3 λ. (Už při x3 = λ a x21 + x22 = 2 klesne amplituda evanescentních vln (9) na 2 · 10−3 své hodnoty
v rovině x3 = 0.) Dostáváme tak vlnovou funkci ψ vyjádřenou superpozicí rovinných vln
8
ZZ
ψ(x1 , x2 , x3 ) =
q
2
2
Ψ(X1 , X2 ; 0) exp ikx3 1 − X1 − X2 exp ik(X1 x1 + X2 x2 ) dX1 dX2 . (11)
X12 +X22 ≤1
Toto je tedy aproximativní vyjádření rozkladu vlnění ψ(x1 , x2 , x3 ) prošlého rovinou x3 = 0 do rovinných vln.
Amplitudy rovinných vln představuje funkce Ψ(X1 , X2 ; 0), tedy Fourierova transformace (3) známé
vlnové funkce ψ(x1 , x2 , 0) v rovině x3 = 0. Aproximativnost spočívá pouze v tom, že jsme zandebali
evanescentní vlny.
2.2.3
Experimentální realizace Fraunhoferovy difrakce jako Fourierovy transformace funkce
propustnosti
θ
Obrázek 4:
θ
f
Obrázek 5:
θ
f
Obrázek 6:
f
9
Experimentální uspořádání, při nichž vlnová funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci
odpovídá Fourierově transformaci funkce propustnosti svým modulem i fází
f
Obrázek 7:
.
Obrázek 8:
f
Obrázek 9:
Experimentální uspořádání, při nichž vlnová funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci
odpovídá Fourierově transformaci funkce propustnosti pouze svým modulem
Modifikace obrazu funkce propustnosti ovlivněním spektra prostorových frekvencí
2.3
Významy proměnné ve Fourierově transformaci
V běžné mluvě se pojmů frekvence a spektrum používá příliš volně. Proto budeme tyto pojmy precizovat
~ a Fourierovou transformací F (X).
~
a uvedeme je do souvislosti s proměnnou X
10
f
f
f
f
Obrázek 10:
Obrázek 11:
2.3.1
Prostorová frekvence v E1
Pojem frekvence budeme vždy vztahovat k sinu, kosinu nebo ke komplexní exponenciální funkci reálných
proměnných, která s kosinem a sinem souvisí Eulerovým vzorcem. V jednorozměrném případě jsme
na pojem frekvence zvyklí, zejména když proměnná některé ze zmíněných goniometrických funkcí má
význam času. Má-li proměnná význam prostorové souřadnice, postupujeme stejně jako u času: Nazveme
základní periodou x0 funkce cos(2πXf x) nejmenší délku, pro kterou je
cos[2πXf (x + x0 )] = cos(2πXf x).
(1)
pro všechna x. Odtud je zřejmé, že prostorová frekvence Xf funkce cos(2πXf x) je reciprokou hodnotou
základní periody x0 :
1
.
(2)
x0
= 2πXf , nebývá zvykem v souvislosti s prostorovou
Xf =
(Veličinu analogickou úhlové frekvenci, tj. Xω
proměnnou x zavádět.)
11
Takto definovaná prostorová frekvence je zřejmě kladnou veličinou. V jádru Fourierovy transformace,
exp(i2πXf x), se však vyskytují i záporné hodnoty prostorové frekvence Xf . Jaký je význam těchto záporných prostorových frekvencí? Celá záležitost se ozřejmí, uvědomíme-li si některé skutečnosti vyplývající
z alternativních vyjádření inverzní Fourierovy transformace v E1 , v nichž je funkce f (x) v celém rozsahu proměnné x ∈ (−∞, ∞) vyjádřena integrálními transformacemi funkcí proměnné X definovaných
v oboru X ∈ h0, ∞).
2.3.2
Alternativní vyjádření inverzní Fourierovy transformace v E1
Fourierovu transformaci funkce jedné proměnné jsme zavedli ve tvaru
Z ∞
F (X) = A
f (x) exp(−ikxX) dx,
(1)
−∞
Z
∞
f (x) = B
F (X) exp(ikxX) dX,
(2)
−∞
za podmínky
|k|
.
(3)
2π
Funkce f (x) je inverzní Fourierovou transformací (2) vyjádřena pro všechna x ∈ (−∞, ∞) prostřednictvím funkce F (X) definované rovněž na intervalu X ∈ (−∞, ∞). Úpravou výrazu (2) však můžeme
funkci f (x) vyjádřit ve tvarech
AB =
Z
f (x)
∞
= B
[C(X) cos(kxX) + S(X) sin(kxX)] dX
(4)
D(X) cos [kxX + Φ(X)] dX
(5)
D(X) sin [kxX + Θ(X)] dX.
(6)
0
Z
∞
= B
0
Z
∞
= B
0
Ve výrazech (4) až (6) je funkce f (x) vyjádřena v celém oboru x ∈ (−∞, ∞) dvojicemi funkcí C(X),
S(X), resp. D(X), Φ(X), resp. D(X), Θ(X), z nichž každá je definována v intervalu h0, ∞).
Že tomu tak skutečně je, nahlédneme, rozložíme-li funkci F (X) v inverzní Fourierově transformaci
(2) na sudou a lichou část
Fe (X) =
1
[F (X) + F (−X)] ,
2
Fo (X) =
1
[F (X) − F (−X)]
2
(7)
a upravíme-li integrál (2):
Z
f (x)
∞
= B
[Fe (X) exp(ikxX) + Fo (X) exp(ikxX)] dX
−∞
Z ∞
= B
[Fe (X) cos(kxX) + iFo (X) sin(kxX)] dX
−∞
Z ∞
=
2B
[Fe (X) cos(kxX) + iFo (X) sin(kxX)] dX.
0
S použitím (7) nabude poslední výraz tvaru
Z ∞
f (x) = B
{[F (X) + F (−X)] cos(kxX) + i [F (X) − F (−X)] sin(kxX)} dX.
(8)
0
Porovnáním (4) a (8) nahlédneme, že platí
C(X)
S(X)
= F (X) + F (−X),
= i [F (X) − F (−X)] .
(9)
(10)
12
Odtud
1
[C(X) − iS(X)]
2
= F (X),
pro X ≥ 0,
(11)
1
[C(|X|) + iS(|X|)]
2
= F (X),
pro X ≤ 0.
(12)
Úpravami trigonometrických funkcí v (5) a (6) a porovnáním s (8) shledáme, že
p
p
C 2 (X) + S 2 (X) = 2 F (X)F (−X),
S(X)
F (X) − F (−X)
tg Φ(X) = −
= −i
,
C(X)
F (X) + F (−X)
C(X)
F (X) + F (−X)
tg Θ(X) =
= −i
.
S(X)
F (X) − F (−X)
D(X)
=
(13)
(14)
(15)
Je-li funkce f (x) reálná, je F (−X) = F ∗ (X) (viz odst. 6.2 v dalším textu). Funkce (9), (10), (13) až
(15) jsou pak také reálné a zjednoduší se do tvaru
C(X) = 2ReF (X),
S(X) = −2ImF (X),
p
D(X) = 2 F (X)F ∗ (X),
ImF (X)
tg Φ(X) =
,
ReF (X)
ReF (X)
tg Θ(X) = −
.
ImF (X)
2.3.3
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Spektrum prostorových frekvencí
Zvolíme-li za proměnnou jednorozměrné Fourierovy transformace prostorové frekvence Xf , můžeme
funkci f (x) vyjádřit kterýmkoliv z těchto tvarů:
Z
f (x)
∞
=
F (Xf ) exp(i2πxXf ) dXf
(1)
[C(Xf ) cos(2πxXf ) + S(Xf ) sin(2πxXf )] dXf
(2)
D(Xf ) cos [2πxXf + Φ(Xf )] dXf
(3)
D(Xf ) sin [2πxXf + Θ(Xf )] dXf .
(4)
−∞
∞
Z
=
Z0 ∞
=
Z0 ∞
=
0
Chceme-li tedy nazvat spektrem prostorových frekvencí funkci, jež (až na nulovou funkci) jednoznačně
určuje funkci f (x) v intervalu x ∈ (−∞, ∞), máme dvě možnosti: Buď použijeme kladných i záporných
prostorových frekvencí Xf a ve shodě s výrazem (1) nazveme Fourierovu transformaci F (Xf ) spektrem
funkce f (x), nebo se omezíme jen na kladné prostorové frekvence Xf a spektrem funkce f (x) nazveme
dvojici funkcí C(Xf ), S(Xf ), resp. D(Xf ), Φ(Xf ), resp. D(Xf ), Θ(Xf ).
2.3.4
Prostorová frekvence a spektrum prostorových frekvencí v EN
U N -rozměrné Fourierovy transformace nebývá zvykem vyjadřovat jádro transformace prostřednictvím
~ f ): Základní
funkcí sinus a kosinus. Pojem prostorové frekvence vztahujeme tedy vždy k funkci exp(i2π~x·X
periodou ~x0 této funkce nazveme nejkratší vektor, takový že pro všechna ~x platí
~ f ] = exp(2πi~x · X
~ f ).
exp[2πi(~x + ~x0 ) · X
13
Je zřejmé, že
~f = 1
~x0 · X
Poněvadž ~x0 je nejkratší vektor splňující tuto podmínku, musí být
Xf =
1
,
x0
~ f k ~x0 .
X
~ f funkce exp(i2π~x · X
~ f ) je tedy vektor, jenž je rovnoběžný se základní periodou
Prostorová frekvence X
~x0 této funkce a jehož velikost je rovna reciproké hodnotě velikosti základní periody.
Jde-li o obecnou funkci f (~x), x ∈ EN , vyjádříme ji Fourierovým integrálem
∞
Z
f (~x) =
Z
~ f ) exp(i2π~x · X
~ f ) dNX
~f
F (X
···
−∞
~ f (Xf 1 , Xf 2 , . . . , Xf N ) prostorovou frekvencí funkce f (~x). Funkci
a nazveme X
∞
~f) =
F (X
Z
Z
···
~ f ) dN~x
f (~x) exp(−i2π~x · X
−∞
říkáme spektrum prostorových frekvencí funkce f (~x).
Ze vztahu
∞
~ f 0) =
exp(i2π~x · X
Z
Z
···
~f − X
~ f 0 ) exp(i2π~x · X
~ f ) dNX
~f
δ(X
−∞
~ f 0 ) je Diracova distribuce δ(X
~f − X
~ f 0 ).
je zřejmé, že spektrum funkce exp(i2π~x · X
Viděli jsme, že při Fraunhoferově difrakci jde o rozklad funkce propustnosti t(x1 , x2 ) do rovinných
vln
ZZ ∞
2π
t(x1 , x2 ) =
T (X1 , X2 ) exp i (x1 X1 + x2 X2 ) dX1 dX2 ,
λ
−∞
p
kde X1 , X2 a 1 − X12 − X22 jsou směrové kosiny směru šíření rovinných vln, jejichž amplituda je
T (X1 , X2 ). Prostorové frekvence funkce t(x1 , x2 ) jsou tedy vektory
~ ~ f = X X1 , X2
X
λ
λ λ
a funkci propustnosti
t(x1 , x2 ) = λ2
ZZ
∞
T (λXf 1 , λXf 2 ) exp [i2π(x1 Xf 1 + x2 Xf 2 )] dXf 1 dXf 2
−∞
můžeme vyjádřit pomocí spektra prostorových frekvencí
Tf (Xf 1 , Xf 2 ) = T (λXf 1 , λXf 2 ).
2.4
Měřítka Fraunhoferových difrakčních obrazců
Reference
[1] Laue M. v.: Materiewellen und ihre Interferenzen. 2. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft,
Geest & Portig, Leipzig 1948.
[2] Laue M. v.: Röntgenstrahlinterferenzen. 3. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am
Main 1960.
[3] Born M.: Quantenmechanik der Stoßvorga̋nge. Zeitschrift fűr Physik 38 (1926), 803–827.
14
Obrázek 12:
[4] Sommerfeld A.: Atombau und Spektrallinien. II. Band. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1951.
[5] Blochincev D. I.: Základy kvantové mechaniky. Nakladatelství Československé akademie věd, Praha
1956.
[6] Landau L.D., Lifšic E.M.: Quantum Mechanics. Pergamon Press, Oxford 1965, §125.
[7] Guinier A.: X–Ray Diffraction In Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies. W. H. Freeman and Co., San Francisco 1963.
[8] Hammond Ch.: The Basis of Crystallography and Diffraction. International Union of Crystallography. Oxford University Press, Oxford 1997.
[9] Kittel Ch.: Úvod do fyziky pevných látek. Academia, Praha 1985.
[10] Lüth H.: Surfaces and Interfaces of Solid Materials. 3rd ed. Springer Verlag, Berlin 1995.
[11] Ewald P. P.: Zur Theorie der Interferenzen der Röntgenstrahlen in Kristallen. Physikalische Zeitschrift 14 (1913), 465 - 472.
[12] Richter I., Ryzí Z., Fiala P.: Analysis of binary diffraction gratings: comparison of different approaches. Journal of Modern Optics 45 (1998), 1335–1355.
[13] Fiala P., Richter I., Ryzí Z.: Analysis of diffraction process in gratings. SPIE Proc. 3820 (1999),
131–143.