Matematická analýza KMI/MA2AI 8. p°edná²ka Diferenciální po£et

Matematická analýza KMI/MA2AI
8. p°edná²ka
Diferenciální po£et funkcí více prom¥nných
7. 4. 2009
Na minulé p°edná²ce jsme se seznámili s pojmy parciální derivace a derivace
ve sm¥ru. Motivovali jsme je pot°ebou analogie derivace funkce jedné prom¥nné
(t°eba kv·li vy²et°ování lokálních extrém· funkcí více prom¥nných).
Minule jsme ov²em vid¥li, ºe derivace ve sm¥ru (a tedy i parciální derivace)
nejsou plnohodnotnou analogií k derivaci funkce jedné prom¥nné. Nap°íklad
funkce (více prom¥nných) mající v²echny sm¥rové derivace nemusí být v·bec
spojitá (zatímco z 1. semestru víme, ºe existence vlastní derivace funkce
jedné prom¥nné v bod¥ implikuje spojitost v tomto bod¥). Zavedeme si siln¥j²í
pojem neº parciální derivace totální diferenciál (nebo jen krátce diferenciál).
Název diferenciál by m¥l být známý z 1. semestru tam tento pojem byl
ekvivalentní s existencí vlastní derivace.
1
Totální diferenciál
1.1 Trocha lineární algebry
Nech´ V , W jsou reálné vektorové prostory. Zobrazení f : V → W nazveme
lineární zobrazení, jestliºe
∀α, β ∈ R ∀x, y ∈ V :
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Lineární zobrazení f : Rr → R (resp. f : Vr → R) budeme nazývat lineární
formou. M¥li bychom z algebry v¥d¥t, ºe lineární formy jsou reprezentovány
vektorem z Rr (resp Vr ).
V¥ta 1
Nech´ f : Rr → R je lineární zobrazení. Pak existuje práv¥ jedno
α ∈ R takové, ºe
r
f (x) = (α, x)
pro v²echna x ∈ Rr
( (·, ·) je standardní skalární sou£in tak, jak jsme ho denovali v jedné z
p°edchozích p°edná²ek).
1
D·kaz.
Z°ejm¥ pro kaºdé x ∈ Rr platí
x=
r
X
xi e[i] ,
i=1
kde e jsou prvky standardní báze, xi ∈ R jsou sou°adnice x vzhledem k této
bázi jsou ur£eny jednozna£n¥. Pak z linearity plyne
[i]
r
r
r
X
X
X
f (x) = f (
xi e[i] ) =
xi f (e[i] ) =
xi αi = (α, x),
i=1
i=1
i=1
kde αi = f (e[i] ), α = (α1 , . . . , αr ).
P°íklad 2
Uvaºujme lineární formu f : R2 → R denovanou p°edpisem
f (x) = x1 − x2 .
Její reprezentant je z°ejm¥ α = (1, −1).
1.2 Denice totálního diferenciálu
Z 1. semestru známe pojem diferenciálu funkce jedné prom¥nné. Nech´ f : D ⊂
R → R, U(a) ⊂ D. Lineární formu df (a) jsme nazývali diferenciálem funkce f
v bod¥ a, jestliºe platilo
f (a + h) − f (a) = df (a)(h) + o(h)
kde limh→0
o(h)
h
= 0. V tomto p°ípad¥
df (a) : R → R,
tedy existuje reprezentant α ∈ R takový, ºe
df (a)(h) = αh pro h ∈ R.
Také jsme dokázali, ºe funkce má v bod¥ a diferenciál práv¥ tehdy, kdyº existuje
vlastní f 0 (a) a v tomto p°ípad¥ platí
α = f 0 (a).
Tedy f 0 (a) je reprezentantem diferenciálu funkce jedné prom¥nné
Nyní se podívejme na funkci více prom¥nných.
Denice 3
Nech´ f : D ⊂ Rr → R, a ∈ U(a) ⊂ D. Lineární formu df (a)
nazveme totálním diferenciálem funkce f v bod¥ a, jestliºe
f (a + h) − f (a) = df (a)(h) + o(h)
kde
lim
h→0
o(h)
= 0.
khk
2
V tomto p°ípad¥ je diferenciálem lineární forma, tzn. je jednozna£n¥ ur£ena
svým reprezentantem α ∈ Rr , tzn. platí
df (a)(h) = (α, h) =
r
X
αi hi .
i=1
Bude nás zajímat, jestli lze (podobn¥ jako u funkce jedné prom¥nné) ur£it koecienty αi pomocí sm¥rových derivací.
P°íklad 4
Uvaºujme funkci f : Rr → R denovanou p°edpisem
f (x1 , x2 ) = x21 + x32 ,
a = (a1 , a2 ), h = (h1 , h2 ). Pak platí
f (a + h) − f (a) = f (a1 + h1 , a2 + h2 ) − f (a1 , a2 )
= (a1 + h1 )2 + (a2 + h2 )3 − a21 − a32
= 2a1 h1 + 3a22 h2 + h21 + 3a2 h22 + h32 .
Výraz 2a1 h1 + 3a22 h2 by mohl být diferenciálem df (a)(h). Tedy reprezentant v
tom p°ípad¥ by byl ur£en takto
α2 = 3a22 .
α1 = 2a1 ,
V na²em p°ípad¥ tedy platí
α1 =
∂f
(a),
∂x1
α2 =
∂f
(a).
∂x2
Musíme ale je²t¥ dokázat, ºe
h21 + 3a2 h22 + h32 = o(h),
tzn.
pro h → 0
h21 + 3a2 h22 + h32
= 0.
h→0
khk
lim
Snadno odhadneme (pouºijeme nerovností h2i ≤ khk2 , |hi | ≤ khk pro i = 1, 2)
2
h21 + 3|a2 |h22 + |h2 |h22
h1 + 3a2 h22 + h32
≤
−
0
khk
khk
2
khk + 3|a2 |khk2 + khk3
≤
= khk + 3|a2 |khk + khk2
khk
Limitním p°echodem h → 0 (neboli khk → 0) dostáváme to co jsme cht¥li...
Z tohoto p°íkladu bychom mohli usoudit, ºe diferenciál funkce f v bod¥ a je
lineární forma reprezentovaná vektorem
∂f
∂f
∇f (a) =
(a), . . . ,
(a) ,
∂x1
∂xr
který budeme nazývat gradientem funkce f v bod¥ a. To ale musíme dokázat
obecn¥.
3
V¥ta 5 Nech´ má funkce f v bod¥ a totální diferenciál. Pak je funkce f v bod¥
a spojitá, existují fxi (a) pro i = 1, . . . , r a platí
df (a)(h) = (∇f (a), h)
pro h ∈ Rr .
D·kaz.
(a) spojitost: P°edpokládejme, ºe funkce f má v bod¥ a diferenciál,
tzn. existuje α = (α1 , . . . , αr ) tak, ºe
f (a + h) − f (a) = df (a)(h) + o(h) = (α, h) + o(h)
kde limh→0
o(h)
khk
= 0 (z £ehoº plyne
lim o(h) = lim
h→0
h→0
o(h)
khk = 0).
khk
Pak podle CauchySchwarzovy nerovnosti platí
|f (a + h) − f (a)| ≤ |(α, h)| + |o(h)| ≤ kαkkhk + |o(h)|.
Pravá strana jde k nule pro h → 0. Tedy f je spojitá v bod¥ a.
(b) reprezentace diferenciálu: V denici diferenciálu poloºme h = te[i] , kde t ∈
R \ {0}. Pak platí
f (a + te[i] ) − f (a) = (α, te[i] ) + o(te[i] ) = tαi + o(te[i] ).
Pod¥líme t a p°ejdeme t → 0 a dostáváme
∂f
o(te[i] )
f (a + te[i] ) − f (a)
= αi + lim
.
(a) = lim
t→0
t→0
∂xi
t
t
Z faktu
o(te[i] ) o(te[i] ) =
t kte[i] k → 0 pro t → 0
plyne existence parciálních derivací i reprezentace diferenciálu.
V¥ta 6
a platí
D·kaz.
Máli funkce f v bod¥ a diferenciál, pak pro kaºdé ν 6= o existuje fν (a)
∂f
(a) = (∇f (a), ν).
∂ν
Pro ν 6= o platí
f (a + tν) − f (a)
∂f
(a) = lim
t→0
∂ν
t
(∇f (a), tν) + o(tν)
o(tν)
= lim
= (∇f (a), ν) + lim
.
t→0
t→0
t
t
Podobn¥ jako v d·kazu p°ede²lé v¥ty dokáºeme, ºe limita napravo je rovna nule.
4
Uv¥domímeli si geometrický význam skalárního sou£inu, m·ºeme odvodit
následující.
Poznámka 7 (Geometrický význam gradientu) P°edpokládejme, ºe f je denována na okolí U(a) bodu a a má v n¥m totální diferenciál. Jeli ∇f (a) 6= o,
pak udává sm¥r nejv¥t²ího r·stu funkce f (podobn¥ vektor −∇f (a) udává sm¥r
nejv¥t²ího úbytku/poklesu).
Vyplývá to z následujících dvou fakt·:
(i) Uvaºujme vektor kνk = 1 (protoºe jen pro takový má fν geometrický
význam rychlosti r·stu funkce). Pak platí
∂f
(a) = (∇f (a), ν) ≤ k∇f (a)kkνk = k∇f (a)k.
∂ν
Tedy funkce v ºádném sm¥ru nemá r·st vy²²í neº k∇f (a)k.
(ii) Poloºme
ν=
∇f (a)
k∇f (a)k
(jde o normovaný vektor ov¥°te!, který ur£uje stejný sm¥r jako gradient
∇f (a)). Pak
∂f
∇f (a)
1
(a) = (∇f (a),
)=
(∇f (a), ∇f (a)) = k∇f (a)k.
∂ν
k∇f (a)k
k∇f (a)k
Z toho plyne, ºe sm¥rová derivace ve sm¥ru normovaného vektoru ν majícího
stejný sm¥r jako ∇f (a) nabývá maximální hodnoty.
Poznámka 8
Existence v²ech parciálních derivací fxi (a) pro i = 1, . . . , r nesta£í k existenci totálního diferenciálu df (a).
Uvaºujme funkci

 x1 0 ≤ x1 ≤ x2 ,
x2 0 ≤ x2 ≤ x1 ,
f (x1 , x2 ) =

0
jinak.
Dokaºte, ºe neexistuje df (0, 0), p°itom
∂f
∂f
(0, 0) =
(0, 0) = 0
∂x1
∂x2
Zatím jsme se bavili o tom, co v²echno platí pro funkci mající v bod¥ totální
diferenciál, ale neukázali jsme si, jak efektivn¥ zjistit zda diferenciál v·bec existuje.
V¥ta 9
Máli funkce f v bod¥ a spojité parciální derivace podle v²ech prom¥nných, pak má f v bod¥ a diferenciál.
D·kaz.
viz Kopá£ek, str. 95
5
Poznámka 10 (geometrický význam diferenciálu) Vzpomeneme si op¥t na funkci
jedné prom¥nné. Existence diferenciálu funkce f v bod¥ x0 ∈ R (ozna£me
df (a)(h) = αh) byla ekvivalentní s existencí vlastní derivace α = f 0 (x0 ). Ta
m¥la geometrický význam ten, ºe p°ímka
y − f (x0 ) = α(x − x0 )
udávala rovnici te£ny ke grafu funkce f v bod¥ (x0 , f (x0 )). Vra´me se op¥t k
funkcím více prom¥nných konkrétn¥ k funkci f dvou prom¥nných x, y . Pak
se dá dokázat, ºe existence diferenciálu funkce f v bod¥ (x0 , y0 )
df (x0 , y0 )(h, k) = αh + βk =
∂f
∂f
(x0 , y0 )h +
(x0 , y0 )k
∂x
∂y
je ekvivalentní existenci te£né roviny ke grafu funkce f v bod¥ (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Te£ná rovina je pak daná rovnicí
z − f (x0 , y0 ) =
P°íklad 11
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ).
∂x
∂y
Uvaºujme funkci
f (x, y) = x2 + y 2
a bod (x0 , y0 ) = (1, 2). Najdeme rovnici te£né roviny ke grafu funkce f v bod¥
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
e²ení. Platí
∂f
∂f
= 2x,
= 2y.
∂x
∂y
Pak rovnice te£né roviny je
z − f (1, 2) =
∂f
∂f
(1, 2)(x − 1) +
(1, 2)(y − 2),
∂x
∂y
tedy
z − 5 = 2(x − 1) + 4(y − 2).
6
2
Diferenciály vy²²ích °ád·
Podobn¥ jako se daly denovat parciální a sm¥rové derivace libovolného °ádu,
m·ºeme to samé provést s diferenciálem. Nap°íklad diferenciál 2. °ádu bychom
mohli nadenovat podobným zp·sobem jako totální diferenciál a posléze odvodit
jeho reprezentanta. My zvolíme opa£ný a pohodln¥j²í postup (nebude ov²em z
n¥j úpln¥ jasná motivace coº nám aº tak moc vadit nebude diferenciály
vy²²ích °ád· jsou stejn¥ t¥ºko uchopitelné podobn¥ jako derivace vy²²ích °ád·
umíme s nimi jednodu²e pracovat, ale jejich geometrický význam uº není v·bec
z°ejmý).
Následující úvahy provedeme nejprve pro diferenciál 2. °ádu, protoºe je
nejjednodu²²í a budeme ho pouºívat p°i vy²et°ování lokálních extrém· funkcí
více prom¥nných.
Podobn¥ jako totální diferenciál byl lineární forma, bude diferenciál 2. °ádu
tzv. kvadratická forma. Pro úplnost si zopakujeme n¥které pojmy z algebry.
2.1 Trocha algebry
Zobrazení f : Rr × Rr → R (resp. f : Vr × Vr → R) budeme nazývat bilineární
forma, jestliºe je lineární v obou prom¥nných, tzn. pro kaºdé x ∈ Rr je f (x, ·)
lineární forma a pro kaºdé y ∈ Rr je f (·, y) lineární forma.
Bilineární formy mají také svého reprezentanta tentokrát to je matice:
V¥ta 12
tak, ºe
D·kaz.
Nech´ f : Rr ×Rr → R je bilineární forma. Pak existuje B ∈ Mr×r (R)
pro x, y ∈ Rr .
f (x, y) = xBy T
Doma...
Denice 13
Bilineární formu nazveme symetrickou, jestliºe její reprezentant
je symetrická matice.
Zobrazení Q : Rr → R nazveme kvadratická forma, jestliºe existuje symetrická bilineární forma f : Rr × Rr → R tak, ºe
Q(x) = f (x, x) pro v²echna x ∈ Rr .
Poznámka 14
Jeli B reprezentantem f , pak
Q(x) = xBxT = (Bx, x) pro v²echna x ∈ Rr .
Kvadratické formy rozd¥lujeme na pozitivn¥ (negativn¥) denitní (semidenitní)
a indenitní. dod¥lat!!!
7
2.2 Denice diferenciálu druhého °ádu
Denice 15
Nech´ má funkce f v bod¥ a spojité v²echny parciální derivace aº
do druhého °ádu v£etn¥. Diferenciálem 2. °ádu funkce f v bod¥ a rozumíme
kvadratickou formu
r X
r
X
∂2f
d2 f (a)(h) =
(a)hi hj = (∇2 f (a)h, h).
∂x
∂x
i
j
i=1 j=1
Poznámka 16
Reprezentantem diferenciálu druhého °ádu je tedy £tvercová
symetrická matice

 2
∂2f
∂ f
∂2f
(a)
·
·
·
(a)
(a)
2
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂xr

 ∂∂x2 f1
∂2f
∂2f


(a)
(a)
·
·
·
2
2
∂x2 ∂x1
∂x2 ∂xr (a)
∂x2
∇ f (a) = 


···


2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
(a)
(a)
·
·
·
(a)
2
∂xr ∂x1
∂xr ∂x2
∂x
r
tzv. Hessova matice (determinant této matice se nazývá hessián).
P°íklad 17
Uvaºujme funkci f (x, y) = x2 + y 2 . Pak
∂f
∂f
∂2f
= 2x,
= 2y,
= 2,
∂x
∂y
∂x2
Hessova matice v libovolném bod¥ je
2
0
∂2f
∂2f
∂2f
=
= 0,
= 2.
∂x∂y
∂y∂x
∂y 2
0
.
2
Nyní zadenujeme obecný diferenciál mtého °ádu.
Denice 18
Nech´ m ∈ N a funkce f má v bod¥ a spojité v²echny parciální
derivace aº do mtého °ádu v£etn¥. Diferenciálem mtého °ádu funkce f v bod¥
a rozumíme homogenní funkci (formu) stupn¥ m denovanou p°edpisem
r
X
dm f (a)(h) =
i1 ,i2 ,...,im
Poznámka 19
∂mf
(a)hi1 hi2 · him .
∂xi1 ∂xi2 · · · ∂xim
=1
Zobrazení
F : (Rr )m = Rr × Rr × · · · × Rr → R
nazveme mlineární formou jestliºe je F lineární v kaºdém svém argumentu.
Nap°íklad lineární forma je 1lineární forma a bilineární forma je 2lineární
forma dokaºte.
Jeli F mlineární forma, pak zobrazení
Q : Rr → R,
denované p°edpisem
Q(x) = F (x, x, . . . , x)
pro x ∈ Rr
nazýváme homogenní funkcí (formou) stupn¥ m. Nap°íklad kvadratická forma
je homogenní forma stupn¥ 2 dokaºte.
8
3
Taylor·v vzorec
U funkce více prom¥nných jsme schopni dokázat analogii Taylorova vzorce pro
funkci jedné prom¥nné.
V¥ta 20
Nech´ má funkce f : D ⊂ Rr → R (D je otev°ená) spojité parciální
derivace aº do °ádu m + 1 (m ∈ N ∪ {0}). Nech´ a, h ∈ Rr jsou takové, ºe
úse£ka
{x ∈ Rr : x = a + th : t ∈ h0, 1i}
je obsaºena v D. Pak existuje τ ∈ (0, 1) tak, ºe
f (a + h) = f (a) + df (a)(h) +
+
1 2
1 m
d f (a)(h) + . . . +
d f (a)(h)
2!
m!
1
dm+1 f (a + τ h)(h).
(m + 1)!
D·kaz. D·kaz najdete op¥t nap°. v Kopá£kovi je veden s pouºitím znalosti
derivování sloºené funkce více prom¥nných bylo by dobré to nastudovat kdyºtak ve cvi£ení...
Tuto v¥tu budeme pouºívat zejména p°i hledání extrém· funkcí více prom¥nných.
Doporu£ená literatura
KOPÁƒEK J. Matematická analýza pro fyziky II. Matfyzpress, Praha, 2005.
DO’LÁ, Z, DO’LÝ O.: Diferenciální po£et funkcí více prom¥nných, Masarykova
univerzita, Brno, 2003.
RACH—NKOVÁ I. RACH—NEK L.: Diferenciální po£et funkcí více prom¥nných, Univerzita Palackého, Olomouc, 2004.
Internetové odkazy:
http://www.math.muni.cz/~plch/mapm/hlavni.pdf
FAQ aneb £asto kladené otázky u zkou²ky
• Co je totální diferenciál a jaký má vztah ke sm¥rovým a parciálním derivacím.
Za jakých podmínek existuje. Co plyne z jeho existence?
• Jak se dají reprezentovat lineární, bilineární, kvadratické formy? (pop°,
jak lze reprezentovat homogenní formy stupn¥ m ∈ N)
• Co znamená o(h)?
• Jaký je geometrický význam gradientu (diferenciálu)?
• Co je Hessova matice jaký je její vztah k diferenciálu 2. °ádu?
9