canadelle

Výpočty pásových struktur
• reciproký prostor k-vektorů, Brillouinovy zóny
• sekulární rovnice, variační metoda
• pásová struktura, periodický
potenciál
Title
page
• hustota stavů, Fermiho energie
• metoda téměř volných elektronů
• metoda těsné vazby, MO-LCAO, Blochovy funkce
1
Literatura
Pásové struktury
• E. Canadell , M.-H. Whangbo, Chem. Rev. 91 (1991) 965–1034, Conceptual aspects of
structure-property correlations and electronic instabilities, with applications to lowdimensional transition-metal oxides, http://dx.doi.org/10.1021/cr00005a015.
•
J. K. Burdett, Progress in Solid State Chemistry 15 (1984) 173–255, From Bonds to Bands
and Molecules to Solids, http://dx.doi.org/10.1016/0079-6786(84)90002-5.
2
Reciproký prostor – prostor k-vektorů
Pásové struktury
prostor čísel k - reciproký prostor, k – prostor
Reálný (přímý) prostor:
Vr
r  xa1  ya2  za3
Reciproký prostor:
R  n1a1  n2a2  n3a3
Vc
g  ub1  vb 2  wb 3
b1  2
a2  a3
Vr
krystalová mříž
b 2  2
Vr  a1  a 2  a 3 
Vc  b1  b2  b3 
reciproká mříž
G  hb1  kb 2  lb 3
a 3  a1
Vr
b 3  2
a1  a 2
Vr
8 3
Vc 
Vr
3
Brillouinovy zóny
platí:
Pásové struktury
- E(k) = E(- k)
- pro každé k v rámci jednoho pásu je jedna hodnota E
- E(k) je periodickou funkcí k, stačí prezentovat v intervalu
(-/a ; /a) - první Brillouinova zóna v jednom rozměru
první Brillouinova zóna – Wignerova-Seitzova buňka v reciproké mříži
Wignerova-Seitzova buňka je primitivní a má vždy stejnou symetrii jako mříž
(primitivní krystalografická buňka může mít nižší symetrii než mříž)
konstrukce: roviny kolmé k b1, b2, b3 vedené v bodech ± b1, ± b2, ± b3
4
Brillouinovy zóny
Pásové struktury
5
Brillouinovy zóny
Pásové struktury
sc
R
G
M
X
simple
cubic
bcc
• bcc v přímém prostoru
odpovídá fcc v
reciprokém prostoru
• rombický dodekaedr
fcc
• fcc v přímém prostoru
odpovídá bcc v
reciprokém prostoru
• komolý oktaedr
6
Brillouinovy zóny
Pásové struktury
Brillouinovy zóny vyššího řádu:
• mají stejný objem jako 1. Brillouinova zóna.
• mají stejnou symetrii jako 1. Brillouinova zóna.
• posunem o mřížový reciproký vektor se mohou přesunout do 1. Brillouinovy zóny.
1. Brillouinova zóna
2. Brillouinova zóna
3. Brillouinova zóna
7
Schrödingerova rovnice
Pásové struktury
2
ˆ ( r ) ( r )  E( r )
 2m  ( r )  V


Schrödingerova rovnice
potenciální E.
kinetickáE.

Vodíkový atom:
Vˆ 
2
x 2

2
y 2

m: hmotnost elektronu
o: permitivita vakua
2
z 2
: vlastní funkce
m: hmotnost elektronu
e2
e: náboj elektronu
4 o r
E: energie
 ve sférických souřadnicích:
n,l ,m  Rn,l ( r )  Yl ,m ( , )
2
R: radiální funkce
Y: angulární funkce
  r 2   2   2
2
h: Planckova konstanta
2
l: orbitální moment hybnosti
Hˆ n ,l ,m  En n ,l ,m
Hˆ  Tˆ  Vˆ
m: průmět do osy z
Lˆ2Yl ,m  l (l  1)2Yl ,m
LˆzYl ,m  mYl ,m
8
Téměř volné elektrony | Těsná vazba
Pásové struktury
: přesná vlnová funkce
: přibližná vlnová funkce vyjádřená v bázi 
Ĥ  E
Ĥ  E
=  pro N  
N
     cii
: např. atomové orbitaly, rovinné vlny, ...
i
Téměř volné elektrony:
Kinetická energie převažuje nad potenciální
Báze = rovinné vlny

( x )   ck exp[ik x ]
kovová vazba, elektronový plyn
k
Těsná vazba:
Potenciální energie převažuje nad kinetickou
Báze = atomové orbitaly
Kovalentní a iontová vazba
9
Rovinná vlna

( x )   ck exp[ik x ]
Rovinná vlna:
• konstantní frekvence
• síří se jako nekonečné rovnoběžné roviny
kolmé k vektoru pohybu.
k

10
Atomové orbitaly – sférické harmonické funkce (angulární část)
Pásové struktury
d z 2  Y20
d x2  y2 
Y00
d xy 
i
2
d xz 
1
2
d yz 
i
2
1
2
Y
Y
Y
Y
2
2
1
2
1
2
2
2
 Y2 2 
 Y2 2 
 Y21 
 Y21 
s:
Y111 px py pz :
Y222
dxz dxy dz2 dx2-y2 dyz :
Y333
f:
11
Atomové orbitaly
Pásové struktury
Sekulární rovnice
Pásové struktury
rovnici (3) vynásobíme postupně zleva funkcemi 1, 2,..., n, a vytvoříme soustavu rovnic:
1 Hˆ c11  1 Hˆ c2 2    1 Hˆ cn n
 2 Hˆ c11   2 Hˆ c2 2     2 Hˆ cn n
 1 Ec11  1 Ec 2 2    1 Ec n n
  2 Ec11   2 Ec 2 2     2 Ec n n



 n Hˆ c11   n Hˆ c2 2     n Hˆ cn n   n Ec11   n Ec 2 2     n Ec n n
Převedeme na maticový zápis, pro konstantu E plati iEj = Eij:
n
(1) Hˆ   E ( 2)    ci i
i 1
dosazením (2) do (1)  (3)
(3) Hˆ ( c11  c2 2    cn n ) 
 1 Hˆ 1 1 Hˆ  2  1 Hˆ  n  c1   E11 E1 2  E1 n  c1 

  
 
  2 Hˆ 1  2 Hˆ  2   2 Hˆ  n  c2   E 21 E 2 2  E 2 n  c2 

    
  



  
 
 Hˆ   Hˆ    Hˆ   c   E  E   E   c 
n
n
1
n
2
n
n



 n 
2
n
n
 n 1 n
E ( c11  c2 2    cn n )
Neznámé : E , ci
Převedeme na 1 stranu a spojíme do 1 matice:
 1 Hˆ 1 1 Hˆ  2  1 Hˆ  n  c1   E11 E1 2  E1 n  c1   0 

  
   
  2 Hˆ 1  2 Hˆ  2   2 Hˆ  n  c2   E 21 E 2 2  E 2 n  c2   0 

    
      



  
   
 Hˆ   Hˆ    Hˆ   c   E  E   E   c   0 
n
n
1
n
2
n
n



 n   
2
n
n
 n 1 n
Obecně - vlastní vektory matice :
Symetrie - vektor osy
 
Av  1v
Vlastní funkce :
 1 Hˆ 1  E11 1 Hˆ  2  E1 2  1 Hˆ  n  E1 n  c1   0 

   
  2 Hˆ 1  E 21  2 Hˆ  2  E 2 2   2 Hˆ  n  E 2 n  c2   0 

      


   
 Hˆ   E   Hˆ   E    Hˆ   E   c   0 
 
n 1
n
2
n 2
n
n
n n  n 
 n 1
ĤΦ  EΦ
Soustava rovnic má netriviální řešení, jen pokud je determinant matice = 0:
 i Hˆ  j  H ij  i j  S ij  i i  1
H 12  ES12  H 1n  ES1n  c1   0 
 H 11  E

   
 H 21  ES 21 H 22  E  H 2 n  ES 2 n  c2   0 

      


   
 H n1  ES n1 H n 2  ES n 2  H nn  E  cn   0 
det H ij  ES ij
H 11  E
H 12  ES12  H 1n  ES1n
H 21  ES 21 H 22  E  H 2 n  ES 2 n

0

H n1  ES n1 H n 2  ES n 2  H nn  E
13
Nalezení vlastních čísel a vektorů


HckH  EkH ckH k  1 n

 

B  P 1HP : EkB  EkH ckB  P 1ckH ckH  PckB
Jacobiho m etoda, Giv ensovy matice P 
 E1 0  0 


 0 E2  0 
B



 


 0 0  En 
Pásové struktury
n
(1) Hˆ   E ( 2)    ci i
i 1
dosazením (2) do (1)  (3)
(3) Hˆ ( c11  c2 2    cn n ) 
E ( c11  c2 2    cn n )
Neznámé : E , ci
0

0  ckB1   0 
 E1  Ek

 B   
E2  Ek 
0  ck 2   0 
 0

 


      

 B   
0
 En  Ek  ckn   0 
 0


c1B  (1,0,,0), c2B  (0,1,,0),


HckH  EkH ckH
HckH  EkH ckH  0
H  IEkH ckH  0
I : jednotková matice
1  2   n
E1
E2

En
 c11 c12  c1n 
c
c22  c2 n 
21





 


c
c

c
nn 
 n1 n 2
2
c
 i1  1
2
c
 i2  1 
2
c
 1j  1
 c22 j  1
c

14
2
nj
2
c
 in  1
1
Variační metoda – sekulární rovnice
N
Soustava rovnic pro i = 1, 2, ..., N
 c [H
i 1
j
ij
Pásové struktury
 ESij ]  0
Sii = 1
c1[ H11  E ]
 c2 [ H12  ES12 ]   cn [ H1n  ES1n ]  0
c1[ H 21  ES 21]
 c2 [ H 22  E ]   cn [ H 2 n  ES 2 n ]  0



c1[ H n1  ES n1 ]  c2 [ H n 2  ES n 2 ]   cn [ H nn  E ]  0
Soustava rovnic má řešení, pokud je determinant matice Hij – ESij = 0:
det H ij  ES ij
H 11  E
H 21  ES 21


H n1  ES n1
H ij    *j Hˆ i d

Sij    *ji d

H 12  ES12  H 1n  ES1n
H 22  E
 H 2 n  ES 2 n
0


H n 2  ES n 2 
H nn  E
Výpočet determinantu  sekulární
rovnice N.řádu, řešením je N
vlastních čísel Ei (energie)
pro každé Ei, dostaneme N
koeficientů cij (vlastních vektorů)
vyřešením soustavy rovnic.
Ei: energie funkce i = j cij i
Závisí-li potenciál na funkcích i,
tzn. na hledaných koeficientech cij,
musí se sekulární rovnice řešit
iteračně, tzv. metodou SCF
(self-consistent field)
Hij: přeskokový (rezonanční) integrál
Hii (i=j): ”on-site” energie jednotlivých bázových stavů.
Sij: překryvový integrál. Sii (i=j) = 1, Sij (ij)  0.
15
Variační metoda
Pásové struktury
: přesná vlnová funkce
Ĥ  E
: přibližná vlnová funkce vyjádřená v bázi 
N
     cii
Ĥ  E
=  pro N  
: např. atomové orbitaly, rovinné vlny, ...
i
 Hˆ d  E  d
 Hˆ d   c  Hˆ  c  d  c c H

E 
 


 d   c   c  d  c c S
 c c H  E c c S  0
Hˆ   E  * Hˆ   * E 
N
*
*
j
j
N
*
j
N
i, j
*
j i
N
ij
i, j
*
j i
N
*
j
*
j
*
N
i
j
*
j
i
N
j
*
i
i
i, j
N
i, j
*
j i
ij
*
j i
ij
ij
H ij    *j Hˆ i d
Hij: přeskokový (rezonanční) integrál
Sij    *ji d
Sij: překryvový integrál. Sii (i=j) = 1


Hii (i=j): ”on-site” energie jednotlivých bázových stavů.
16
Téměř volné elektrony
Pásové struktury


2
4
V ( x )   VG exp[iGx ]  V0  V1 exp[ i a x ]  V 2 exp[ i a x ]   G 
G

*
Potenciál
je
reálný
VG  VG :
j : mřížové vektory. Pro 1D j = 0, 1, 2, ...
2
a

j
Skutečný potenciál:
v okolí jádra je obrovská přitažlivá síla
Zajímá-li nás potenciál, ve kterém se
pohybují elektrony (především valenční),
můžeme okolí jádra zanedbat.
Funkce:
 
( x )  ( x  La)   ck exp[ik x ] k 
2
La

l
Pro 1D l = 0, 1, 2, ..., L/2
k
Potenciál se opakuje po periodě a, funkce se opakuje po periodě La.
V reciprokém prostoru je 1.Brillouinova zóna 2/a, funkce se počítá po 2/La.
a
a a
La
 a

a
0
2
La
2
La
2
La
17
Téměř volné elektrony
Pásové struktury
Vlnovou funkci a potenciál
dosadíme do

( x )   ck exp[ik x ]

V ( x )   VG exp[iGx ]
G
k
Schrödingerovy rovnice

2 2
 k
2m
k
2
 2m   Vˆ  E
ck e

ik x
  ckVG e
k
  
i ( k G ) x
 E  ck e
G

ik x
k

  
 
ik x
k   k  G   ck GVG e , k   k
k

k 


2k 2
2m
2k 2
2m

G
 ikx
 Ek ck   ck GVG  e  0
G


 Ek ck   ck GVG  0
G
Aby byla tato suma =0, musí být každý
člen v [] =0.
Master equation: soustava L rovnic, formulace
sekulární rovnice pro bázi rovinných vln.
různá řešení ck v rámci 1. Brillouinovy zóny
-G/2  k  G/2 (- /a  l(2/La) /a)
18
Téměř volné elektrony

2k 2
2m
Pásové struktury

 Ek ck   ck GVG  0
G
master equation – tvoří soustavu L rovnic: různá řešení ck
v rámci 1. Brillouinovy zóny - /a  k  /a
VG  V*G : VG  AG  iBG , VG  AG  iBG
V ( x )  V0   AG cos(Gx)  BG sin(Gx)
G
k G  ( Ek  Vo )
V1
V 2
V1
V2
k  ( Ek  Vo )
V1
V1
k G  ( Ek  Vo )
k  2 mk
2 2
V0  0, VG  0 pro G  0
E
k
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
19
k, šířka pásu, zakázané pásy
k
-
Pásové struktury
kvantové číslo
vlnový vektor
k
2
p  mv 

h

 k
počet dovolených hodnot k = počet elementárních buněk v krystalu
G
ka
-2/a
e(ka)
e(ka)
e (ka)
volné elektrony:
mv2 p2 2k 2
E


2
2m 2m
-/a
G
/a
2/a
-/a
G
/a
ka
šířka pásu: dána překryvem interagujících orbitalů (jako u MO)
20
Hustota stavů
Pásové struktury
DOS(E), g(E) - počet dovolených energetických hladin na jednotkový
energetický interval
g(E)*dE = počet hladin v intervalu (E ; E+dE)
platí:
e(ka)
jeden rozměr:
a  E 
g E   2
 
2  k 
1
obecně:
g E  
2
VBZ

n
Sk
dS k
 k En , k
E
s
s
-/a
0
0.0
G
ka
numericky:
/a
g E  
DOS(E)
2
e

2
  n k
 E  E n ,k

 



2
21
Hustota stavů
Pásové struktury
2-D
e (ka)
e (ka)
3-D
G
X
G
M
N(e)
G
X
G
R
M
N(e)
sc
M
G
X
R
G
M
X
22
Fermiho hladina
Pásové struktury
Fermiho hladina (mez) - nejvyšší zaplněná hladina při T=0 K
T>0:
platí Fermi-Diracova statistika:
1
zaplněné stavy DOS(E)*f(E)
f E  
exp ( E  EF ) / k BT   1
Fermiho plocha - množina k v k-prostoru, pro kterou platí E(k) = EF
23
ChemPot.exe
MO-LCAO = Molekulové orbitaly – lineární kombinace atomových orbitalů
buňka obsahující
2 identické orbitaly
Pásové struktury
N
i   ci  

 A B
i: molekulový orbital, : atomový orbital
N
 c [H
i 1
j
ij
 ESij ]  0
 A  B ,
H AA    *A ( R A ) Hˆ  A ( R A )  H BB  
*
H AB    *A ( R A ) Hˆ  B ( RB )    B ( RB ) Hˆ *  *A ( R A )  H BA

*
S AB    *A ( R A ) B ( RB )    B ( RB ) *A ( R A )  S BA
S
 H AA  E

 H BA  ES BA
H AB  ES AB     E
   *
H BB  E     ES *
  ES 

E 
24
MO-LCAO = Molekulové orbitaly – lineární kombinace atomových orbitalů
 E
det 
*




ES

  ES 
    E 2    ES 2  0
E 

  E    ES 
E12 
1 S
1   2
  0, S  1
E2     ,
1
2
1  2 
E1     ,
1
2
1  2 
Pásové struktury
, β  0  E1  E2
0 
 1  E
  1  E  2  E   0
det 
0


E
2


E1  1 E2   2
  0,
S  0
E2: c1        c2   0  c1  c2   0  c1  c2
E1: c1        c2   0  c1  c2   0  c1  c2
c12  c22  1
 =  : coulombická energie (energie AO)
 (<0) = t : přeskoková energie (míra vazebné energie)
S (0-1) : překryvový integrál
    A* ( RA ) Hˆ  A ( RA )
    A* ( RA ) Hˆ  B ( RB )
S    A* ( RA ) B ( RB )
25
Pásová struktura – Blochovy orbitaly
A
A
n=0
A
n=1
Pásové struktury
A
...
n=2
N
 BO ( r, k ) 
N
1
N
   (r  na ) exp(ikna)
n
BO : Blochův orbital, : atomový orbital
exp(ikna)  cos(kna)  i sin(kna)
BO = (r) + (r-a)eika + (r-2a)eik2a + ... + (r-na)eikNa
k=0 (G)
e0 = 1
a
E(1-2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
k=/2a
cos(n/2) = 1,0,-1,0, ... sin(n/2) = 0,1,0,-1, ...
E()
E(1+2)
k=/a (X)
ein = (-1)n = 1,-1,...
0
G
a
ka
/a
X
26
-3
-2
-1
0
1
2
3
Symetrie orbitalů
Pásové struktury
-3
-2
-1
e(ka)
a
0
1
2
s
3
/a
x
s
a
-3
-2
-1
0
1
2
3
G
-/a
-2
-1
G
ka
/a
x
0
e(ka)
a
-3
0.0
1
2
G
px
3
x
p
a
-3
-2
-1
0
/a
1
2
3
-/a
0.0
G
ka
/a
x
27
Symetrie orbitalů
Pásové struktury
e(ka)
  2 cosk xa   0
G
pys
s
X
-/a
0.0
G
ka
/a
x
e(ka)
  2 cosk xa   0
dxy
G
p
X
-/a
0.0
G
ka
/a
28
Vznik pásu
Pásové struktury
29
Šířka pásu
Pásové struktury
Šířka pásu W
Wp > W s
p orbitaly dosáhnou blíž k sobě, větší překryv
z
Wz > Wx,Wy
-vazba > -vazba
valenční > vnitřní
30
Metoda těsné vazby (CO-LCBO)
Blochovy orbitaly:
(BO)
Krystalové orbitaly:
(CO)
Pásové struktury
 j (k , r ) 
1
N
  (r  R
j
- báze
 i (k , r )   cij (k )  j (k , r )
j
H
H jl (k )  Ei (k )S jl (k )  0
parametry:
) exp(ikRn )
n
Hˆ  i (k )  Ei (k ) i (k )
maticové
elementy:
n
jl
H jl (k )   j (k ) Hˆ l (k )
E j   j Hˆ  j


(k )  Ei (k )S jl (k ) c ji (k )  0
S jl (k )   j (k ) l (k )
t jl   j Hˆ l
 j Hˆ l    *j Hˆ l d

cij(k) , Ei (k) = ?
 jl   j l
 j l    *j l d

31
Metoda těsné vazby (CO-LCBO)
Pásové struktury
Uvažujeme jen interakce s nejblizšími sousedy:
jen překryvový integrál  s nejblizšímim sousedem
(E~, t~,S<<1)

H (k )    eikxa  eikxa    2 cosk xa

ik a
 ik a
H (k )    eik x a  e ik x a  e y  e y  eikz a  e ikz a 
   2 (cosk x a  cosk y a  cosk z a )
  2 cosk x a
(a,0)
y

x
(0,a)

(0,0)
 

(0,a)
(a,0)
-1

a
-0.5
0
G
0.5
1
32 a
Lineární krystal s dvouatomovou bází
Pásové struktury
 = 1 = 2 , t = t1 = t2
1(G)
2(G)
a
0
-1
1
a
1
0
-1
x
1(X)
2(X)
a
0
-1
x
1
a
1
0
-1
x
x
G
X
MO ~ G(k=0)
X
2
E2    
2 
1
2
1  2 
E1    
1 
1
2
1  2 
1
33
Lineární krystal s dvouatomovou bází
Pásové struktury
 = 1 = 2 , t = t1 = t2
1(G)
2(G)
a
0
-1
1
a
0
-1
x
2(X)
1
1
0
-1
x
1(X)
a
a
1
0
-1
x
x
G
X
MO ~ G(k=0)
X
1
E1    
1 
1
2
1  2 
E2    
2 
1
2
1  2 
2
34
Lineární krystal s dvouatomovou bází – obecné vztahy
t1
-2
pa
t2
Pásové struktury
(1-p)a
-1
0
1
2
x
a  pa  (1  p)a
H12  1eikpa   2 e ik (1 p ) a  1eikpa   2 e ika eikpa  eikpa ( 1   2 e ika )
*
H 21  e ikpa ( 1   2 eika )  H12
35
Lineární krystal s dvouatomovou bází – obecné vztahy
a
t1
t2
-2
-1
0
0
1
x
a
-1
Pásové struktury
1
2
a
-1
x
0
1
x
BO
CO
 = c1  1 + c2  2
E(k)=
? E, c1 , c2
36
Lineární krystal s dvouatomovou bází
 = 1 = 2 , t1 < t2 < 0
w = 2t2
eg = 2(t2–t1)
Pásové struktury
1 < 2 , t = t1 = t2 < 0
w = 2t
eg = 2– 1
37
Metoda těsné vazby – s, pz, dz2
Pásové struktury
Lineární řetěz ve směru z, poloha A: s, pz; poloha B: dz2;
a
-a/2
sd
pd
a/2
H ds   sd e ik x a / 2   sd eikz a / 2  2 cos k x a / 2
sd
-pd
-a/2
sd
-pd
s
H dp   pd e ik x a / 2   pd eikz a / 2  i 2 sin k x a / 2
a/2
H sd   sd e ik x a / 2   sd eikz a / 2  2 cos k x a / 2
sd
pd
H pd    pd e ik x a / 2   pd eikz a / 2  i 2 sin k x a / 2
0
0
p
2 cos k x a / 2  i 2 sin k x a / 2
2 cos k x a / 2
i 2  sin k x a / 2
d
38
Rovina CuO22-
Pásové struktury
vazba
(b1g)
p = - 4.3
3
2
1
tpp= -0.2
0
-1
d = - 1.9
E [eV]
p
-5
3
-6
-7
tot
n = 0.15
dx -y
px
py
2
-8
2
-9
G
G
M
X
-1
DOS [eV ]
-3
-4
tpd = -1.15
2
-2
M
1
G
X
0
-8
-6
-4
-2
E [eV]
0
2
39
Rovina CuO22-
Pásové struktury
X
G
X
M
G
40
Rovina CuO22-
Pásové struktury
M
G
X
M
G
41
Vznik zakázaného pásu
Pásové struktury
NaCl
8
• iontové izolátory
Cl - 3p
Cl - 3s
-1
DOS(E) [eV ]
6
Na-3s
Cl-3p
4
Na - 3s
2
0
-10
5
10
C - diamant
1.5
1.0
C - 2p
C - 2s
-1
DOS(E) [eV ]
C-2s
0
E [eV]
• kovalentní izolátory
C-2p
-5
0.5
0.0
-20
-15
-10
-5
E [eV]
0
5
42
KM – základní vztahy
Oˆ ( f1  f 2 )  Oˆ f1  Oˆ f 2 ; Oˆ cf  cOˆ f
Aˆ , Bˆ   Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ  0
Lˆ , Lˆ   0 Lˆ , Lˆ   iLˆ
2
x
x
y
z
komutující operátory
xˆ, pˆ x   i
* ˆ
* *
ˆ

H

d



H
 1 2  2 1 d

lineární operátor
  
E  F l  pv
 
F  am

 
p  mv  F t
H je Hermitovský operátor

K  aij  ibij ; K *  aij  ibij
K  K T *  K H ; aij  ibij  a ji  ib ji
K*: komplexně sdružená
Hermitovská matice
K  K H  K H  K  1, tj. K H  K 1
K  K T  K T  K  1, tj. K T  K 1
unitární matice
Sij   *d
Sii = 1: normované funkce
Sij = 0: ortogonální funkce
Sij = ij : ortonormální funkce

pˆ x  i x
ortogonální matice
43