d e e f g

Bohrův model atomu (1913)
Bohrův model atomu
Základy kvantové mechaniky
Kvantová teorie světla (Planck, Einstein)
Volný elektron
foton
Elektron v nekonečné potenciálové jámě
kvantum světla – částice
energie fotonu
Kvantový model atomu
E = hν =
Rutherford 1918
Chadwick 1932
hc
λ
Thomson 1897
Elektron v poli periodického potenciálu
h = 6.63x10-34 Js Planckova konstanta
ν [s-1] kmitočet
c [ms-1] rychlost světla λ [m] vlnová délka
Pásová struktura
Snaha vysvětlit excitační spektra pozorovaná při výboji v plynech
Atom křemíku, kovalentní vazba
Přímý a nepřímý polovodič
1
1H
Elektron v krystalu - efektivní hmotnost
Hustota stavů
Statistika elektronů
λ [ x100 nm]
Bohrův (planetární) model atomu - postuláty
1. Elektrony obíhají okolo jádra po stabilních kruhových drahách (orbitech).
2. Elektrony mohou přeskočit na orbit s vyšší/nižší energii pouze
získáním/vyzářením energie rovné rozdílu těchto energií (tj. absorpcí/emisí
fotonu o energii hν )
E2
Spektrální série sledovaných přechodů:
Lymanova:
⎛ 1
1 ⎞
ν = cR ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟, n = 2 , 3 , 4 ,....
n
1
⎝
⎠
Balmerova:
1
1
ν = cR ⎜⎜
− 2 ⎟⎟, n = 3 , 4 , 5 ,....
n ⎠
⎝ 2
⎛
E 2 − E1 = hν
E1
⎞
2
⎛ 1
1 ⎞
Paschenova: ν = cR ⎜⎜ 3 − n 2 ⎟⎟, n = 4, 5, 6,....
⎠
⎝
2
hν
R (Rydbergova konstanta) = 10967,8 m-1
c (rychlost světla) = 3x108 ms-1
ν (kmitočet) [s-1]
3. Moment hybnosti elektronu na orbitu je vždy roven celočíselnému násobku
Planckovy konstanty dělené 2π.
pθ = nh
n = 1, 2, 3, 4,.....
h = h / 2π
pθ
Bohrův model atomu
pθ = mvr = nh
(1)
−
e2
4πε 0 r
2
=−
-e
Fe
Fe = Fodst
Fodst
vakuum
Bohrův model atomu
Ep
0
rn
potenciální energie elektronu
mv 2
(2)
r
r
+e
Ep = −
e2
4πε 0 rn
=−
vzdálenost
me 4
(4πε 0 )2 n2h 2
(6)
jádro
celková energie elektronu na n-tém orbitu
m 2v 2 =
(1) v n =
n2 h 2
rn2
nh
mrn
−
+ (3)
kinetická energie
elektronu
e2
4πε r
2
0 n
rn = 4πε 0
=−
n2 h 2
mrn3
n2 h 2
me 2
vn =
me 4
1
E k = mv 2 =
2
2
2 (4πε 0 ) n2h 2
Experiment (Lymanova série)
⎛ 1
rn = 4πε 0
1 ⎞
ν 21 =
2
1
1H
• existenci jemnějších
spektrálních struktur
• spektra složítějších atomů
• jak atomy interagují mezi sebou
2 (4πε 0 )
2
En = Ek + E p =
me 4
2 (4πε 0 ) n2h 2
2
E n 2 − E n1 =
(5)
me 4
(3)
⎛ 1
1⎞
⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟
h h ⎝ n1 n2 ⎠
2
−
me 4
me 4
=−
2 2 2
2
(4πε 0 ) n h
2 (4πε 0 ) n2h 2
(7)
(4)
Bohrův model
− 2 ⎟⎟, n = 2 , 3 , 4 ,....
ν = cR ⎜⎜
n ⎠
⎝1
Bohrův model nevysvětluje:
e2
4πε 0nh
n2 h 2
me 2
me 4
2
2 (4πε 0 ) h 2
⎛ 1
1⎞
⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟
⎝ n1 n2 ⎠
Klasická (newtonovská) mechanika
Studuje pohyb částic pod vlivem působící síly. Předpokládá, že veličiny
typu poloha, hmota, rychlost a zrychlení, je možné přesně měřit. Platí pro
makroskopický svět, kde sledujeme objekty složené z velkého množství
částic a odchylky od průměrného chování nelze zjistit.
Kvantová mechanika
Vzhledem k tomu, že hodnotu polohy, hybnosti, resp. energie
mikročástice nelze jednoznačně zjistit, zkoumá kvantová mechanika
vztahy mezi jejich pravděpodobnostmi ( poloha → pravděpodobná
poloha). Jednoznačně je možné určit pouze střední hodnoty veličin.
Dualismus vlna-částice (de Broglie 1924)
Princip neurčitosti (Heisenberg 1927)
Schrödingerova rovnice (Schrödinger
1926)
Dualismus vlna-částice (de Broglie 1924)
světlo
částice - foton
elektromagnetické
vlnění
hc
energie fotonu
E = hν =
hybnost fotonu
hν h
p=
=
λ
c
λ
E = mc 2
p = mc
z teorie relativity
de Broglieho vlna
částice
Δx Δpx ≥ h / 2
ΔE Δt ≥ h / 2
Důsledky
Polohu a hybnost jedné libovolné částice tak nelze stanovit s libovolnou
přesností.
Poloha → pravděpodobnost výskytu částice → hustota pravděpodobnosti P(x)
∞
pravděpodobnost výskytu v intervalu x až x+dx je P(x)dx →
h
h
=
p mv
λ=
vlnová délka
Při současném měření polohy ve směru x a hybnosti částice px nemůže
být součin neurčitosti v určení polohy Δx a hybnosti Δpx menší než ћ/2.
h = 6.63x10-34 Js Planckova konstanta
ν [s-1] kmitočet
c [ms-1] rychlost světla
λ [m] vlnová délka
m0 [kg] klidová hmotnost
E = pc
elektron
Heisenbergův princip neurčitosti (Heisenberg 1927)
m [kg] hmotnost částice
v [ms-1] rychlost
∫ P ( x ) dx
−∞
chceme-li zjistit střední hodnotu funkce f(x) závisící na poloze x
< f ( x) > =
∞
∫ f ( x ) P ( x )dx
−∞
Kvantová mechanika základní postuláty
1. Každá částice je popsána komplexní vlnovou funkcí Ψ (x,y,z,t)
vlastnosti:
význam:
Ψ (x,y,z,t) a její prostorové derivace (∂Ψ/∂x+∂Ψ/∂y+∂Ψ/∂z)
jsou spojité, konečné a jednoznačné
sama o sobě nemá, |Ψ|2 = Ψ*Ψ je hustota pravděpodobnosti
výskytu částice
2. Každé pozorovatelné veličině je přiřazen její operátor působící na vlnovou fci
fyzikální veličina
souřadnice
x
hybnost
celková energie
operátor
x
h ∂
j ∂x
p(x )
−
E
h ∂
j ∂t
3. Pravděpodobnost, že nalezneme částici v objemu dx dy dz je Ψ*Ψ dx dy dz
∞
∫Ψ
*
Ψ dx dy dz = 1
−∞
Střední hodnota veličiny <Q> popsané operátorem Qop
∞
<Q > =
∫Ψ Q
*
−∞
op
Ψ dx dy dz
Schrödingerova rovnice
klasická rovnice pro celkovou energii částice
1
p2
+
V
=
2m
E
kinetická energie + potenciální energie = celková energie
přepsaná do operátorové formy aplikované na vlnovou funkci Ψ(x,t) v 1-D
Schrödingerova rovnice 1D
2
⎛ h ∂⎞
1 ⎛h ∂ ⎞
⎜
⎟ Ψ( x, t ) + V Ψ( x, t ) = ⎜⎜ −
⎟⎟Ψ( x, t )
2m ⎜⎝ j ∂x ⎟⎠
⎝ j ∂t ⎠
Schrödingerova rovnice 3D
Ψ = Ψ ( x, y, z, t)
−
h2 ∂2
∂2
∂2
h ∂Ψ
( 2 +
+
)Ψ + V Ψ = −
2
2
2m ∂x
∂y
∂z
j ∂t
h2 2
h ∂Ψ
−
∇ Ψ +V Ψ = −
2m
j ∂t
=1
Schrödingerova rovnice
−
Schrödingerova rovnice
separace proměnných 1D
h 2 ∂ 2 Ψ ( x, t )
h ∂Ψ ( x, t )
+ V Ψ ( x, t ) = −
2m
∂x 2
j
∂t
−
operátorový tvar
h 2 d 2ψ ( x )
+ V ( x )ψ ( x ) = E ψ ( x )
2 m dx 2
separace vlnové funkce Ψ(x,t) na prostorově a časově závislou část ψ(x)φ(t)
−
h 2 ∂ 2ψ ( x ) φ ( t )
h ∂ψ ( x ) φ (t )
+ V ( x ) ψ ( x ) φ (t ) = −
2m
∂x 2
j
∂t
−
∂ 2ψ ( x )
∂φ (t )
h2
h
+ V ( x ) ψ ( x ) φ (t ) = − ψ ( x )
φ (t )
2m
∂x 2
j
∂t
podělení levé a pravé strany ψ(x)φ(t)
separační konstanta E odpovídá energii částice
En v n-tém stavu popsaném vlnovou funkcí ψn
h 2 1 ∂ 2ψ ( x )
h 1 ∂φ ( t )
−
+ V (x) = −
=E
2
2m ψ ( x ) ∂x
j φ (t ) ∂t
h 2 d 2ψ ( x )
+ V ( x )ψ ( x ) = E ψ ( x )
2 m dx 2
−
případě energie E částice)
h d φ (t )
= E φ (t )
j dt
fyzikální veličina
měřitelná hodnota veličiny
stav částice
Volný elektron ve vakuu V=0
h 2 d 2ψ ( x )
= Eψ ( x )
2 m dx 2
ψ k = A exp( jkx )
E =
h2 2
k
2m
ω=
představuje rovinnou vlnu pohybující se
doprava pro kladné hodnoty k a doleva
pro záporné hodnoty k
1
h2 2
E = mv 2 =
k
energie elektronu
2
2m
hybnost elektronu
−
k [m-1] vlnové číslo
Ψ ( x , t ) = ψ k exp( − jω t ) = A exp[ j ( kx − ω t )]
h 2 d 2ψ ( x )
+ V ( x )ψ ( x ) = E ψ ( x )
2 m dx 2
uvnitř jámy
E 2π hν
=
= 2πν
h
h
d 2ψ ( x ) 2 m
+ 2 Eψ ( x ) = 0
dx 2
h
ψ ( x ) = A sin(kx ) + B cos(kx )
vně jámy
k=
ψ =0
2mE
h
ψ ( x = 0) = A sin(k ⋅ 0) + B cos(k ⋅ 0) = 0 ⇒
výsledné spektrum energií je spojité
-8
-6
-4
-2
0
z okrajových podmínek – spojitost ψ
1
-10
a
b
0
2
4
6
8
9
10
-1
k [10 m ]
ψ ( x = L ) = A sin( kL ) = 0
b
x
obecné řešení
3
2
p = mv = hk
V(x)
V(x) = ∞, x ≤ 0, x ≥ L vně jámy (b)
k = 2π / λ
časově závislé řešení
operátor
vlastní číslo operátoru
vlastní funkce operátoru
Elektron v nekonečné potenciálové jámě
∞
∞
uvnitř jámy (a)
V(x) = 0, 0 < x < L
d 2ψ ( x ) 2 m
+ 2 Eψ ( x ) = 0
dx 2
h
řešení pro ustálený stav
• vlastním řešením (funkcí) operátorové rovnice jsou příslušné vlnové funkce Ψ
časově závislé řešení
stacionární (časově nezávislé) řešení
−
operátor celkové energie
(Hamiltonův operátor)
• vlastními hodnotami (čísly) operátoru jsou hodnoty příslušné veličiny (v tomto
E [ev]
−
2
ˆ = − h d + V (x )
H
2m dx
Ĥψ = Eψ
⇒
kL = n π
B=0
( n = 1,2,3,..)
L
Elektron v nekonečné potenciálové jámě
ψ ( x ) = A sin kx = A sin(
nπ
k =
=
L
En =
nπ
)x
L
Elektron v potenciálovém poli jádra vodíku
úloha má řešení pouze pro diskrétní hodnoty k
řešením je stojatá vlna
2 mE n
h
|ψ|2
ψ
elektron může nabývat pouze
diskrétních hodnot energie v
závislosti na kvantovém čísle n
L
∫ψ ψ dx = A ∫ sin
*
−∞
A=
2
2
L
0
2
kx dx =
Rovnici lze řešit separací na tři nezávislé rovnice
E3
Určení amplitudy A
∞
V(x,y,z) → V(r,θ,φ)
neboť coulombovský potenciál je závislý pouze na
vzdálenosti od jádra
q2
V ( r ,θ ,φ ) = V ( r ) = −
4πε 0 r
E
n 2π 2 h 2
2mL 2
Pro řešení Schrödingerovy rovnice je vhodné užít
sférický systém souřadnic
A 2L
=1
2
2
nπ
ψ n ( x) = A sinkx =
sin( )x
L
L
Každá z funkcí R(r), Θ(θ) a Φ(φ) je kvantována dle vlastních výběrových pravidel.
E2
E1
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ
ψ (r ,θ ,φ ) = R(r )Θ(θ )Φ(φ )
R(r)
Θ(θ)
Φ(φ)
0
hlavní kvantové číslo
orbitální (vedlejší) kvantové číslo
magnetické kvantové číslo
Symbolické označení stavů atomů vodíku
Každý povolený stav elektronu v atomu vodíku je jednoznačně popsán kvantovými
čísly n, m, l doplněnými o spinové kvantové číslo s uvažující vnitřní magnetický
moment elektronu ( s = ± ћ/2 ).
Kvantování energie elektronu je dáno
hlavním kvantovým číslem n
Elektrony se stejným hlavním kvantovým číslem mají
podobnou energii a nacházejí se v průměru ve
shodné vzdálenosti od jádra (slupce).
Orbitální (vedlejší) kvantové číslo l udává
kvantování momentu hybnosti L
Magnetické kvantové číslo m udává směr
vektoru L ve směru pole
ψ nlm(r ,θ,φ) = Rn (r ) Θl (θ ) Φm(φ)
Vlnová funkce elektronu je pak
Závěr
n = 1, 2, 3,…
l = 0, 1, 2, 3,…(n-1)
m = 0,±1,±2, ±3, ….,± l
En = −
me 4
2 (4πε 0 ) n2h 2
slupka
diffuse
fundamental
sharp
principal
p
d
f
g
h
l=0
l=1
l=2
l=3
l=4
l=5
s
2
L = [l (l + 1)] h
L// = mh
Elektron v atomu vodíku může mimo základní stav Ψ100 obsadit libovolný
excitovaný stav. Energetické vzdálenosti mezi jednotlivými stavy pak
určují vlnové délky přechodů ve vodíkovém spektru.
K
n=1
1s
L
n=2
2s
2p
M
n=3
3s
3p
3d
N
n=4
4s
4p
4d
4f
O
n=5
5s
5p
5d
5f
5g
P
n=6
6s
6p
6d
6f
6g
počet stavů
2
6
10
14
18
6h
22
Žádné dva elektrony v atomu nemohou existovat ve stejném kvantovém stavu.
Pauli 1925
Kdykoli je to možné, elektrony zůstávají nespárované.
Hund 1926
Atom vodíku – orbitály elektronů
K
L
M
N
Inertní plyny
Alkalické kovy
O
P
Q
Halogeny
Kovy alkalických zemin
Přechodové kovy
Polokovy
s2
p6
d10
Elektron v periodickém potenciálovém poli
Krystal křemíku 14Si28
konfigurace 1s22s22p63s23p2 - 4 valenční elektrony
Si
Si
elektron
V(r)
Si
Si
Si
Si
Si
●●
●●
Si
Si
●●
●●
Schrödingerova rovnice pro jeden elektron v krystalu
⎡ h2 2
⎤
⎢ − 2 m ∇ + V (r ) ⎥ ψ (r , k ) = E ψ (r , k )
⎣
⎦
periodický potenciál krystalu
●●
●●
●●
●●
●●
sdílený pár elektronů
●●
význačná je směrovost
daná úhly hybridizace sp3
atomová jádra
●●
doplnění valenční slupky
sdílením 8 elektronů se 4
atomy
●●
kovalentní vazba :
periodický potenciál
krystalu
V(r + R) = V( r)
R
vektor krystalické mříže
Elektron v periodickém potenciálovém poli
aproximace
Elektron v periodickém potenciálovém poli
a
V (eV)
∞
6
∞
Vmin
b
volný elektron
elektron v periodickém
potenciálovém poli
E [eV]
Vmax
5
počet dovolených hodnot k je roven
početu elementárních buněk v krystalu
x
4
model Kroning-Penney
původní potenciál krystalu
Řešení Schrödingerovy rovnice má tvar Blochovy funkce
3
ψ(r,k) = e j k⋅r u k (r,k)
2
hybnost elektronu
h
p = mv = = hk
λ
E =
roviná vlna
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
k [π/a]
Redukovaná zóna
Elektron v periodickém potenciálovém poli
e jk⋅R = 1
E [eV]
E
E
−2
π
a
−
π
a
0
π
a
2
π
a
3
π
a
k
−
π
a
≤k ≤
a
k
π
a
=1
e
E [eV]
6
a
⎝a⎠
vektor reciproké mříže
jG⋅R
pokud použijeme místo k souřadnice G reciproké mříže
lze závislost E(k) studovat pouze v redukované zóně reciproké mříže
(Brillouinova zóna).
e j G⋅R = 1
π
pásy zakázaných energií
⎛π ⎞
nespojiost pro k = ± n⎜ ⎟
vektor krystalové mříže
řešení je periodické pokud platí
v prostoru reciproké mříže G lze závislost
E(k) studovat pouze v redukované zóně
0
neplatí
ψ(r + R,k) = e j k⋅(r +R ) u k (r + R,k) = e j k⋅R e j k⋅r u k (r,k)
v prostoru reálné mříže R je energie elektronu
periodickou funkcí k
2π
k' = k +
n
a
π
h2 2
k
2m
1
funkce vyjadřující periodicitu krystalové mříže
−
vlnové číslo
kvantové číslo
2π
k=
λ
-4
-3
-2
-1
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
k [ π /a]
-1
0
1
k [π/a]
Brillouinova zóna
První Brillouinova zóna (PBZ) je WiegnerovaSeitzova buňka reciproké mřížky.
Reálná pásová struktura křemíku
vodivostní pás
Wiegnerova-Seitzova buňka je geometrické místo
bodů, kterým je daný bod mříže nejbližší.
zakázaný pás
Brillouinova zóna
Energie [eV]
PBZ plošně centrované mříže (fcc)
Význačné body symetrie
Γ -bod: kx = 0 = ky = kz
X -bod: ky = 2π/a; kx = kz = 0
L -bod: kx = ky = kz = π/a
valenční pás
Izolovaný atom Si
Vznik pásové struktury
velký počet atomů v krystalu křemíku (5⋅1022 atomů v cm3) vede k rozštěpení
diskrétních hladin a vzniku pásů dovolených a zakázaných hodnot energií
3 atomy Si
v mřížce
vlivem vzájemné interakce
dochází k rozštěpení hladin
a vzniku pásové struktury
pás dovolených hodnot energií
pás zakázaných hodnot energií
pás dovolených hodnot energií
pás zakázaných hodnot energií
pás dovolených hodnot energií
pás zakázaných hodnot energií
Pásová struktura křemíku
Vznik pásové struktury
podslupka
vzdálenost atomů
krystal křemíku
atom křemíku
stavů/elektronů
3s3p
4N/0
3s3p
4N/4N
2p
6N/6N
2s
2N/2N
1s
2N/2N
vodivostní pás
valenční pás
se zmenšující se vzdáleností atomů se
Vnější valenční slupka (n=3) obsahuje
2N elektronů z 3s a 2N elektronů z 3p
stavů. Vlivem sp3 hybridizace se štěpí na
dva pásy (každý obsahuje po 4N stavech)
oddělené zakázaným pásem. Spodní
(valenční pás) je zcela zaplněn 4N
elektrony, horní (vodivostní) je prázdný.
Střední slupka (n=2) je plně obsazena
2N elektrony z 2s a 6N elektrony z 2p
stavů, které jsou pevně vázány k jádru.
Vnitřní slupka (n=1) je plně obsazena
2N elektrony z původních 1s stavů, které
jsou pevně vázány k jádru.
jednotlivé hladiny se spojují v pásy
N ... počet atomů v krystalu
Reálná pásová struktura křemíku
vodivostní pás
zakázaný pás
34
Pásový diagram Si a GaAs
GaAs
Energie [eV]
Si
valenční pás
vlnový vektor k
Přímý polovodič
GaAs, GaP, GaN, GaAlAs
Elektrony v krystalu
Nepřímý polovodič
Si, Ge
volný elektron
E
p = mv = hk
libovolná hybnost
E=
libovolná energie
elektron v krystalu
y
Δk
h 2k 2
2m
k
k=0
krystal představuje trojrozměrnou kvantovou jámu
hybnost i energie elektronu jsou kvantovány
x
z
V=0
Ly
Minimum vodivostního a maximum
valenčního pásu nastává pro shodná
k (při přechodu není nutná změna
hybnosti Δk=0). Přechod je možný
interakcí s fotonem (k≈0).
y
x
0
k [π/a]
1
⎛ 2π
⎞
⎟⎟, k y = ± n y ⎜
⎜L
⎠
⎝ y
⎞
⎛
⎟, k z = ± nz ⎜ 2π
⎜L
⎟
⎝ z
⎠
⎞
⎟⎟,
⎠
3
1 * 2
1 p2
h2
k2
m v =
=
*
2
2m
2m *
V=0
jeden stav pak zaujímá objem
Lx
Lz
-1
0
1
k [π/a]
• aproximace okraje pásu parabolou
• efektivní hmotnost je nepřímo úměrná
zakřivení grafu E(k) - pásu
• závisí na orientaci (k-prostoru, krystalu)
většinou se udává v poměru ke klidové hmotnosti volného elektronu m0
mn* = 0.98 m0
⎛ 2π
k x = ± n x ⎜⎜
⎝ LX
p = hk
1
−1
E [eV]
2
⎞
⎟
⎟
⎠
vlivem periodicity potenciálu vzniká pásová struktura
Ly
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟,
⎠
1
z
p = m *v = h k
⎛ d 2E
m * = h 2 ⎜⎜
2
⎝ dk
⎛ n x2 n y2 nz2
⎜ 2 + 2 + 2
⎜L
⎝ x Ly Lz
⎞
⎛
⎟, k z = ± nz ⎜ 2π
⎜L
⎟
⎝ z
⎠
Hustota stavů v dovolených pásech 3D
E [eV]
2
aproximace pohybu v periodickém potenciálovém
poli vztahem pro volný elektron s tzv. efektivní
hmotností m*
d 2E
h2
= *
2
dk
m
h 2π 2
=
2m
⎛ 2π
⎞
⎟⎟, k y = ± n y ⎜
⎜L
⎠
⎝ y
-1
Efektivní hmotnost elektronu
E =
E x , y ,z
Lx
Lz
Minimum vodivostního a maximum
valenčního pásu nastává pro různá k
(při přechodu je nutné změnit
hybnost Δk≠0). Pro přechod je nutná
interakce s fononem (kmitem mříže).
⎛ 2π
k x = ± n x ⎜⎜
⎝ LX
p = hk
2 elektrony v jednom stavu
g (E ) dE = g (k ) dk =
2
8π 3
8π 3
⎛ 2π ⎞
⎜
⎟ =
V
⎝ L ⎠
přírustek objemu kulového k-prostoru
s dk
4 π k 2dk
k=
substituce
2m *
(E − EC )
h2
objem 1 stavu
E
g(E) =
1 mk
π
2
1
=
2
2π2
h
3/2
⎛ 2m ⎞
⎜ 2 ⎟
⎝ h ⎠
1/2
(E − E c )
EC
k=0
hustota stavů narůstá s odmocninou energetické vzdálenosti od hrany pásu
k
Hustota stavů a kvantové omezení
Hustota stavů a kvantové omezení
objem
objem
3D
3D
Ec
Ec
QWell
QWire
2D
1D
Ec
Ec
QDot
0D
Ec
e2
e
e1
g(Ec)
g(Ev)
g(Ec)
g(Ec)
g(Ec)
g(Ec)
g(Ev)
g(Ev)
g(Ev)
g(Ev)
h1
h2
h
h3
Ev
Ev
g(E) ~ √ E
g(E) ~ √ E
Pravděpodobnost obsazení energetických stavů
elektrony musí splňovat Pauliho vylučovací princip (v jednom kvantovém stavu
může být pouze jeden elektron) => Fermi-Diracovo statistika
Fermi-Diracova rozdělovací funkce
1
fFD (E ) =
⎛ E − EF ⎞
1 + exp ⎜
⎟
⎝ kT ⎠
je-li E-EF > 4kT
E .... energie elektronu
EF ... Fermiho hladina
k ... Boltzmannova konstanta
k = 1.38x10-23 JK-1
T ... absolutní teplota
Fermiho hladina = energie, kde fFD=1/2
význam chemický potenciál
Maxwell-Boltzmannova rozdělovací funkce
fFD ≈ fMB (E ) = exp
EF − E
kT
Pravděpodobnost obsazení dané energetické hladiny E elektronem exponenciálně klesá s
rostoucí hodnotou energie E této hladiny.
Pravděpodobnost obsazení dané energetické hladiny E exponenciálně roste
s rostoucí teplotou T.
Ev
Ev
Ev
g(E) ~ konst
g(E) ~ 1/√ E
g(E) ~ δ(E)
Fermi-Diracova rozdělovací funkce
pro T = 0K
f (E ) =
1
1 + e ( E − E F ) / kT
1
= 1
1 + e −∞
1
: f (E ) =
= 0
1+ e∞
Při T = 0K jsou všechny stavy pod
Fermiho hladinou EF obsazeny a
stavy nad ní jsou prázdné.
E < E F : f (E ) =
E > EF
Při T > 0K existuje nenulová
pravděpodobnost fFD(E) toho, že stav
nad EF je zaplněn, a odpovídající
pravděpodobnost [1-fFD(E)], že stav
pod EF je prázdný.
Pravděpodobnost toho, že stav s
energií EF+ΔE je zaplněn je shodná
s pravděpodobností toho, že hladina
EF-ΔE je prázdná, tj. fFD je
symetrická okolo EF.
fFD(EF+ΔE) = [ 1-fFD(EF- ΔE) ]
Obsazení energetických hladin v polovodiči