01FIMA - Slovníček finanční matematiky

01FIMA - Slovnı́ček finančnı́ matematiky
Jan Mareš
podle přednášky Mgr. Jana Hory
12. řı́jna 2016
Obsah
1 Životnı́ pojištěnı́
1.0.1 Druhy životnı́ho pojištěnı́ . . . . . . . . .
1.1 Demografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Časová hodnota peněz (”Všichni jistě znáte...”) .
1.3 ”Spravedlivé”pojištěnı́ . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Motivačnı́ přı́klad . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Deterministický a statistický přı́stup . . .
1.3.3 Druhy plateb pojistného . . . . . . . . . .
1.3.4 Přı́klady životnı́ho pojištěnı́ . . . . . . . .
1.3.5 Pojištěnı́ s nekonstantnı́ pojistnou částkou
1.3.6 Valorizace důchodu . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Běžně placené pojištěnı́ . . . . . . . . . .
1.3.8 Netto rezervy . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Brutto pojistné . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Brutto rezervy . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Dalšı́ střı́pky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Změny smlouvy . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Zajištěnı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Troj-stavový model . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Úprava neceloročnı́ch výrazů . . . . . . .
1.5.5 Komutačnı́ čı́sla . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
7
8
9
11
12
12
14
14
15
16
18
19
20
20
20
22
22
23
2 Neživotnı́ pojištěnı́
2.1 Srovnánı́ s životnı́m pojištěnı́m . . . . .
2.2 Určenı́ pojistného . . . . . . . . . . . . .
2.3 Teorie určenı́ počtu pojistných událostı́ .
2.4 Statistický přı́stup . . . . . . . . . . . .
2.5 Rezervy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Rezervy na nezasloužené pojistné
2.5.2 Rezervy na pojistné plněnı́ . . .
2.5.3 Dalšı́ malé rezervy . . . . . . . .
2.5.4 IBNR rezervy . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
(UPR)
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
26
27
29
30
30
30
30
31
3 Finančnı́ matematika
3.1 Kapitálový trh . . . . . . . . . .
3.1.1 Uloženı́ peněz v zahraničı́
3.1.2 Dluhopisy (obligace) . . .
3.1.3 Akcie . . . . . . . . . . .
3.1.4 Opce . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
34
34
35
37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Obsah
3.1.5
Black-Sholesova formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatura
38
39
3
Předmluva
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek Mgr. Jana Hory k předmětu Finančnı́ a pojistná
matematika pro 1. ročnı́k navazujı́cı́ho magisterského studia na FJFI ČVUT v Praze v zimnı́m
semestru roku 2012.
4
1 Životnı́ pojištěnı́
1.0.1 Druhy životnı́ho pojištěnı́
Podle druhu pojistné události můžeme rozdělit životnı́ pojištěnı́ na:
Pojištěnı́ pro přı́pad smrti: Klient platı́ pojistné a v přı́padě smrti je jeho pozůstalým
vyplacena předem stanovená částka.
Pojištěnı́ pro přı́pad dožitı́: Klient platı́ pojistné a po předem určené době je mu vyplacena
předem stanovená částka. To však jen v přı́padě, že se konce pojištěnı́ dožil.
Pojištěnı́ důchodové: Klient platı́ pojistné a pojišt’ovna mu průběžně vyplácı́ stanovené
částky do konce pojištěnı́ nebo do klientovy smrti.
Kromě těchto třı́ základnı́ch typů existujı́ i různé kombinace, jako napřı́klad pojištěnı́ pro
přı́pad dožitı́ s výhradou vrácenı́ pojistného v přı́padě smrti.
Druhy pojištěnı́:
• tradičnı́ (TR) - investičnı́ riziko nese pojišt’ovna
• investičnı́ (INV) - investičnı́ riziko nese klient, nenı́ sjednáno rizikové pojištěnı́
• investičnı́ s rizikem (INS) - investičnı́ riziko nese klient, je sjednáno rizikové pojištěnı́
1.1 Demografie
Základnı́m zdrojem informacı́ pro navrhovánı́ životnı́ho pojištěnı́ jsou úmrtnostnı́ tabulky.
Cı́lem těchto tabulek je určit pravděpodobnost úmrtı́ člověka v daném věku. Přı́klad části
tabulky je na Obr. 1.1 a data ve formě grafu na Obr. 1.2 a Obr. 1.3. Tabulky se dajı́ stáhnout
na: http://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/umrtnostni_tabulky (16. 10. 2012).
Označenı́ veličin:
Přednáška
lx
dx
qx
px
Tabulka
Px
Dx
qx
∅
Popis
Počet žijı́cı́ch lidı́ ve věku x
Počet lidı́, kteřı́ zemřeli ve věku x
dx /lx = (lx − lx+1 )/lx - odhad pravděpodobnosti úmrtı́ ve věku x
1 − qx - odhad pravděpodobnosti přežitı́ od x do x + 1
Někdy se použı́vá vzorec pro aproximaci lx :
5
1 Životnı́ pojištěnı́
Obrázek 1.1: Začátek úmrtnostnı́ tabulky.
Obrázek 1.2: Graf úmrtnosti v celém rozsahu - je zde vidět exponenciálnı́ nárůst
pravděpodobnosti úmrtı́.
Obrázek 1.3: Graf úmrtnosti do 50 let - pro znázorněnı́ zajı́mavého průběhu v nižšı́m věku.
6
1 Životnı́ pojištěnı́
x
lx = Csx k g ,
(1.1)
kde C, s, k a g jsou nějaké parametry. Celková populace tedy exponenciálně roste.
Dalšı́ značenı́ je: u qx je pravděpodobnost úmrtı́ v intervalu délky u. U časových úseků u
kratšı́ch než jeden rok se často použı́vá aproximace u qx = uqx . Dále n px je pravděpodobnost
přežitı́ n let po věku x.
Ve výpočtech se použı́vá takzvané pravidlo nezávislosti (dva ekvivalentnı́ zápisy):
=m px ·n−m px+m ,
a+b px =a px ·b px+a ,
n px
(1.2)
(1.3)
kde obecně m, n, a, b ∈ R (typicky N), m < n. Pro pravděpodobnost úmrtı́ platı́:
2 qx
= qx + px .qx+1
(1.4)
1.2 Časová hodnota peněz (”Všichni jistě znáte...”)
Penı́ze, které v daném okamžiku vlastnı́me můžeme v principu vždy nějak investovat a tı́m
zhodnotit. Pokud provádı́me nějaké výpočty (odhady do budoucnosti), musı́me vždy zařı́dit,
aby všechny uvažované částky odpovı́daly stejnému časovému okamžiku. Proto zvolı́me jistou
mı́ru časového zhodnocenı́ peněz a částky, které jsou k dispozici dřı́ve patřičně zúročı́me.
(1000 Kč ted’ má většı́ hodnotu, než 1000 Kč za rok.)
Zavádı́me pojem technická úroková mı́ra (úroková sazba) (značenı́ i nebo j). Udává zhodnocenı́ jistiny po jednom roce: pro i=2% se zhodnotı́ 1000 Kč → 1020 Kč.
Pro oceněnı́ peněz v transakcı́ch před uvažovaným časem se hodı́ zavést veličinu diskont
1
(úročitel): v = 1+i
. Za jeden rok dojde ke zhodnocenı́ 1 → 1 + i nebo v → 1. (Zaváděnı́
všemožného značenı́ je zřejmě v pojišt’ovnictvı́ velmi oblı́benou činnostı́ ;-).)
Nacházı́me-li se na konci roku t, pak 1000 Kč, které jsme dostali před n lety má dnes hodnotu
1000 ∗ (1 + i)n a 1000 Kč, které dostaneme ze m let, má pro nás dnes hodnotu 1000 ∗ v m =
1000/(1 + i)m .
Přı́klad 1.1. Uložı́me si do banky 1000 Kč na 3 roky s úrokem i = 10% = 0.1, a tedy diskont
v = 1/(1 + 0.1) = 0.909.
7
1 Životnı́ pojištěnı́
Doba
vklad
konec 1. roku
konec 2. roku
konec 3. roku
s úročenı́m
výpočet
hodnota
1000
1000
1000 ∗ (1 + i)
1100
1000 ∗ (1 + i)2
1210
3
1000 ∗ (1 + i)
1331
s diskontem
výpočet
1000 ∗ d3
1000 ∗ d3 ∗ (1 + i) = 1000 ∗ d2
1000 ∗ d3 ∗ (1 + i)2 = 1000 ∗ d1
1000 ∗ d3 ∗ (1 + i)3 = 1000 ∗ d0
hodnota
751.31
826.45
909.09
1000
Popsaný způsob připisovánı́ úroku se nazývá polhůtnı́. Druhou možnostı́ je předlhůtnı́ úročenı́,
kde se úroky vyplácejı́ hned na začátku daného obdobı́, ale v přednášce to nebude potřeba.
Dalšı́m rozdělenı́m je na úročenı́ jednoduché a složené. Výše jsme uvedli variantu složeného
úročenı́, kde se vždy dělajı́ úroky nejen z jistiny, ale i z předešlých úroků. (Nárůst je tedy exponenciálnı́.) Budoucı́ hodnota peněz (F V - ”future value”) po n časových úsecı́ch (třeba letech,
měsı́cı́ch, dnech,...) s úrokem i na jeden časový úsek se pak počı́tá ze současné hodnoty(P V
- ”present value”) jako:
F V = P V ∗ (1 + i)n .
(1.5)
Varianta jednoduchého úročenı́, kde se počı́tajı́ vždy jen úroky z jistiny (lineárnı́ nárůst), se
použı́vá předevšı́m pro časové periody kratšı́, než jedno úrokové obdobı́. Výpočet pak má
tvar:
F V = P V ∗ (1 + n ∗ i) = P V ∗ (1 + i
t
),
360
(1.6)
kde t je počet dnı́ od začátku úročenı́ a i je úrok za 360 dnı́.
V přı́padě, že máme smlouvu třeba na 5 let a 3 měsı́ce, použı́vá se tzv. smı́šené úročenı́, tedy
pro celé roky složené a zbylou část jednoduché.
1.3 ”Spravedlivé”pojištěnı́
V této části se budeme zabývat pojištěnı́m, které podléhá takzvanému principu spravedlnosti (principu ekvivalence). Tento princip je popsán rovnostı́:
E(platby klienta) = E(platby pojistovny),
(1.7)
kde E() značı́ střednı́ hodnotu. Jedná se o model, ve kterém se neuvažujı́ administračnı́ a
dalšı́ výdaje pojišt’ovny (platy zaměstnanců, lékařské prohlı́dky,...) a pojišt’ovna nemá žádný
zisk. Vše, co od klientů vybere jim zase rozdá zpět.
8
1 Životnı́ pojištěnı́
1.3.1 Motivačnı́ přı́klad
Uvažujme nejprve situaci, kdy je klient pojištěn na n let, platı́ pojistné P ročně a zatı́m
předpokládáme, že během této doby nezemře. Na začátku tedy zaplatı́ P . Na začátku dalšı́ho
roku pojišt’ovna dostane znovu částku P a navı́c má prvnı́ platbu, která se zatı́m zhodnotila na
P (1+i), tedy celkem P (1+(1+i)).
Na konci druhého roku má pojišt’ovna P (1+(1+i)+(1+i)2 )
Pn−1
atd. až na konci n-tého roku P k=0 (1+i)k . Tı́m jsme určili celkovou hodnotu peněz, kterými
pojišt’ovna disponuje na konci pojištěnı́, tedy takzvanou koncovou hodnotu.
Naopak vyjádřı́me celkovou hodnotu těchto plateb v okamžiku začátku pojištěnı́ (počátečnı́
hodnotu. Prvnı́ platba má tedy hodnotu P . Druhá platba (na začátku druhého roku) má
naP
začátku prvnı́ho roku hodnotu P v, třetı́ platba P v 2 atd. Celkově dostáváme výraz výraz
k
P n−1
k=0 v .
Pro zjednodušenı́ vzorců zavádı́me následujı́cı́ označenı́. Symbolem s̈n̄ značı́me koncovou
hodnotu a än̄ počátečnı́ hodnotu n ročnı́ch plateb (z jednotky peněz, tedy 1Kč, 1$,...) při
polhůtnı́m úročenı́ (to značı́ ta ”přehláska”). Tedy konkrétně:
s̈n̄ =
n−1
X
(1 + i)k = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n−1 ,
(1.8)
k=0
än̄ =
n−1
X
v k = 1 + v + v 2 + . . . + v n−1 .
(1.9)
k=0
Nynı́ stačı́ pro určenı́ koncové hodnoty n ročnı́ch plateb po částkách P vynásobit P s̈n̄ a pro
počátečnı́ hodnotu P än̄ . Zřejmě platı́ rovnost än̄ (1 + i)n−1 = s̈n̄ . Graf pro různé hodnoty n
je na Obr. 1.4.
V reálu však klient pochopitelně platı́ pouze, pokud je naživu, a proto musı́me požı́t formule
s̈x,n̄ =
n−1
X
k px (1
+ i)k ,
(1.10)
k=0
äx,n̄ =
n−1
X
k px v
k
.
(1.11)
k=0
Zde k px je pravděpodobnost, že člověk, který byl na začátku ve věku x, bude žı́t ještě k let.
9
1 Životnı́ pojištěnı́
Obrázek 1.4: Závislost s̈n̄ a än̄ na n.
Dalšı́ skutečnostı́ je to, že v přı́padě smrti musı́ pojišt’ovna vyplatit plněnı́ ve výši K. Předpokládejme
nynı́, že pojišt’ovna pojišt’uje celou populaci, potom jejı́ finančnı́ bilance bude následujı́cı́ (prvnı́
tři roky):
Rok
1. rok
2. rok
3. rok
přı́jmy (na
zač. roku)
lx P
lx+1 P
lx+2 P
výdaje (na
konci roku)
dx K
dx+1 K
dx+1 K
finance poj. na konci roku
P lx (1 + i) − Kdx
P (lx (1 + i)2 + lx+1 (1 + i)) − K(dx (1 + i) + dx+1 )
P (lx (1 + i)3 + lx+1 (1 + i)2 + lx+2 (1 + i)) −
K(dx (1 + i)2 + dx+1 (1 + i) + dx+2 )
Jelikož chceme, aby finance pojišt’ovny na konci pojištěnı́ byly rovny nule, musı́ platit rovnost
(pro pojištěnı́ na n let):
P
n−1
X
n−k
lx+k (1 + i)
=K
k=0
n−1
X
dx+k (1 + i)n−k−1 .
(1.12)
k=0
Nynı́ celý vztah převedeme do hodnot na začátku pojištěnı́ vynásobenı́m celé rovnice výrazem
dn a dostaneme:
P
n−1
X
k=0
k
lx+k d = K
n−1
X
k=0
10
dx+k dk+1 .
(1.13)
1 Životnı́ pojištěnı́
Obrázek 1.5: Závislost P na x pro n = 5 a K = 1000000 a graf úmrtnosti pro srovnánı́.
Ze zı́skaného vzorce můžeme napřı́klad jednoduše určit výši pojistného P ve tvaru:
Pn−1
Pn−1
k+1
k+1
k px qx+k d
k=0 dx+k d
= K k=0
P = K Pn−1
,
P
n−1
k
k
k=0 lx+k d
k=0 k px d
(1.14)
kde jsme pro odvozenı́ druhé rovnosti rozšı́řili zlomek výrazem 1/lx a použili vztahy:
dx+k
dx+k lx+k
=
= (qx+k )(k px ).
lx
lx+k lx
(1.15)
Pro ilustraci je na Obr. 1.5 znázorněna hodnota pojistného pro různý počátečnı́ věk klienta
(ženy) pro pojištěnı́ na n = 5 let a pojistnou částku K = 1000000 Kč. Jak je vidět tato
závislost kopı́ruje pravděpodobnost úmrtı́, jen ji určitým způsobem vyhladı́ (sčı́tánı́m přes 5
let).
1.3.2 Deterministický a statistický přı́stup
Dosud jsme použı́vali veličiny jako lx a px intuitivně. Nynı́ vyjasnı́me dva možné přı́stupy.
Deterministický přı́stup použı́vá přı́mo skutečná data z předchozı́ch let popsaná veličinami
lx , dx a podobně. Každý výpočet nám dává přesný deterministický výsledek, ale pochopitelně
máme k dispozici pouze historická data. Následně předpokládáme, že v budoucnu bude situace
podobná.
Ve statistickém přı́stupu pracujeme s hodnotami px a qx a náhodnými veličinami. Hodnoty
pravděpodobnostı́ px a qx určujeme opět předevšı́m z dat z minulých obdobı́. Můžeme ale
11
1 Životnı́ pojištěnı́
zohlednit i jiné okolnosti, které se oproti minulému roku změnily. Základem však stále je
vztah:
px =
dx
.
lx
(1.16)
1.3.3 Druhy plateb pojistného
Pojistné může být zaplaceno jednorázově, tedy celé na začátku pojištěnı́. Poté již klient
jen využı́vá služeb pojišt’ovny (důchod, penı́ze v přı́padě smrti,...). Častějšı́ variantou je pak
placenı́ pojistného běžně, kdy klient platı́ průběžně (nejčastěji ročně). Běžné placenı́ se dále
dělı́ na dvě varianty:
• Po celou dobu pojištěnı́
• Po zkrácenou dobu trvánı́ pojištěnı́ - Počet plateb klienta je omezen a ten poté třeba
jen přijı́má důchod.
1.3.4 Přı́klady životnı́ho pojištěnı́
Nynı́ uvedeme několik přı́kladů různých kombinacı́ pojištěnı́ a plateb a zavedeme přitom
označenı́ několika veličin. Ve všech přı́kladech označujeme symbolem K pojistnou částku, D
výši ročnı́ho důchodu, P pojistné (placené jednorázově nebo ročně), n délku pojištěnı́.
Přı́klad 1.2. Pojištěnı́ pro přı́pad dožitı́ placené jednorázově: Hodnotu peněz budeme
vztahovat k začátku pojištěnı́, a tedy přı́jem pojišt’ovny je přı́mo roven P . Z hlediska výdajů
mohou nastat dvě situace. Klient do n let zemře, a tedy nedostane nic. Druhá možnost je,
že se dožije konce pojištěnı́, což nastane s pravděpodobnostı́ n px . Částka, kterou pojišt’ovna
zaplatı́ je K a jejı́ hodnota je Kv n . Z principu spravedlnosti tedy dostáváme vztah:
P = E(platby klienta) = E(platby poj.) = K n px v n .
(1.17)
Zavádı́me veličinu:
Ex,n̄ = n px v n .
(1.18)
S jejı́ pomocı́ můžeme výsledek předchozı́ho přı́kladu napsat jako: P = KEx,n̄ . Alternativnı́
označenı́ této veličiny je Ax 1n̄ . Zde se A použı́vá pro pojištěnı́ pro přı́pad smrti respektive
dožitı́, což se rozlišuje umı́stěnı́m jednotky nad x respektive nad n.
12
1 Životnı́ pojištěnı́
Přı́klad 1.3. Pojištěnı́ pro přı́pad smrti placené jednorázově: Přı́jem pojišt’ovny je
opět P a jejı́ výdaje jsou uvedeny v následujı́cı́ tabulce.
Rok
1. rok
2. rok
3. rok
...
n-tý rok
Pravd. že klient zemře (v tomto roce)
qx
px qx+1
2 px qx+2
...
n px qx+n
Přı́padné výdaje (na konci roku)
Kv
Kv 2
Kv 3
...
Kv n+1
Nynı́ opět použijeme princip ekvivalence a dostaneme rovnost
P = E(platby klienta) = E(platby poj.) = K
n−1
X
k px qx+k v
k+1
.
(1.19)
k=0
Můžeme použı́t značenı́ zavedené v předešlém přı́padě a pomocı́ veličiny A1x n̄ =
a psát pojistné jako P = KA1x n̄
Pn−1
k=0 k px qx+k v
Přı́klad 1.4. Důchodové pojištěnı́ placené jednorázově: Přı́jem pojišt’ovny je opět P
a jejı́ výdaje jsou uvedeny v následujı́cı́ tabulce.
Rok
1. rok
2. rok
3. rok
...
n-tý rok
Pravd. že klient žije (v tomto roce)
0 px = 1
1 px
2 px
...
n px
Výdaje (na začátku roku)
D
Dv 1
Dv 2
...
Dv n
Nynı́ opět použijeme princip ekvivalence a dostaneme rovnost
P = E(platby klienta) = E(platby poj.) = D
n−1
X
k px v
k
.
(1.20)
k=0
Nynı́ můžeme využı́t již dřı́ve zavedeného značenı́ a psát P = Däx,n̄ . Smysluplnějšı́ variantou
tohoto přı́kladu je takzvaný odložený důchod, kde klient začne dostávat penı́ze
až po uplyPn+m−1
nutı́ určitého počtu let m. Pro odložený důchod použijeme značenı́ m äx,n̄ = k=m k px v k a
střednı́ hodnota plateb pojišt’ovny pak je Dm äx,n̄ .
Důchodové pojištěnı́ se také uzavı́rá až do konce života. Pak použı́váme značenı́ äx,ω−x , což
značı́ výpočet do konce úmrtnostnı́ch tabulek.
Pro kombinované pojištěnı́ pro přı́pad smrti nebo dožitı́ se použı́vá značenı́ Ax n̄ = A1x n̄ +Ax 1n̄ =
A1x n̄ + Ex n̄ .
13
k+1
1 Životnı́ pojištěnı́
1.3.5 Pojištěnı́ s nekonstantnı́ pojistnou částkou
Pro pojištěnı́, kde platby pojišt’ovny nejsou v čase konstantnı́ nebo i v jiné situaci (viz
dále: pojištěnı́ s výhradou vrácenı́ pojistného) se vetšinou pro jednoduchost použı́vá lineárnı́
závislost. Jako obvykle si tedy zavedeme nějaké označenı́. Pro rostoucı́ (increasing) hodnoty
použı́váme (pojištěnı́ pro přı́pad smrti):
(IA)1x n̄
n−1
X
=
(k + 1)k px qx+k v k+1 .
(1.21)
k=0
Někdy se však stejné označenı́ použı́vá i pro ”normalizovaný”výraz
Dále pro čı́slovánı́ od nuly (prvnı́ člen je nulový):
(iA)1x n̄
n−1
X
(k)k px qx+k v k+1 .
=
Pn−1
k=0
k+1
k+1 .
n k px qx+k v
(1.22)
k=0
Obdobně pro klesajı́cı́ (decreasing) hodnoty máme:
(DA)1x n̄ =
n−1
X
(n − k)k px qx+k v k+1 .
(1.23)
k=0
1.3.6 Valorizace důchodu
Valorizace je způsob náhrady negativnı́ho vlivu inflace na hodnotu peněz v budoucnu. Může
probı́hat tak, že se vyplácená částka každým rokem vynásobı́ hodnotou (1 + g), kde g určuje
výši valorizace a může mı́t napřı́klad hodnotu g = 0, 02. Pro střednı́ hodnotu peněz vyplacených na doživotnı́ důchod pak dostáváme výraz:
∞
X
k=0
k
k
(1 + g) k px v =
∞
X
k=0
k px
1+g
1+i
k
,
(1.24)
kde suma je ve skutečnosti konečná, jelikož pravděpodobnost dožitı́ je od určitého věku nulová.
Můžeme si všimnout, že se jedná o stejný výraz jako bez valorizace, kde však použijeme jinou
1+i
hodnotu technické úrokové mı́ry z = 1+g
− 1.
14
1 Životnı́ pojištěnı́
1.3.7 Běžně placené pojištěnı́
Výrazy pro běžně placené pojištěnı́ jsou stejné jako ty pro důchody, jen je nynı́ platı́ klient
pojišt’ovně. Tak napřı́klad pro pojištěnı́ pro přı́pad smrti placené běžně máme:
KA1x n̄ = P äx,n̄ ,
(1.25)
a tedy
P =K
A1x n̄
.
äx,n̄
(1.26)
P =K
Ex n̄
,
äx,n̄
(1.27)
P =D
äx,n̄
,
ax,n̄
(1.28)
Obdobně pro přı́pad dožitı́:
pro důchodové pojištěnı́
které moc nemá smysl, ale můžeme použı́t odložený důchod:
P =D
m äx,n̄
äx,m̄
(1.29)
a pro přı́pad smrti nebo dožitı́:
A1x n̄ + Ex n̄
P =K
.
äx,n̄
(1.30)
Existuje i pojištěnı́ pro přı́pad dožitı́ s výhradou vrácenı́ pojistného v přı́padě smrti, kde
dostáváme:
15
1 Životnı́ pojištěnı́
KEx n̄ + P (IA)1x n̄ = P äx,n̄ ,
(1.31)
tedy
P =K
Ex n̄
.
äx,n̄ − (IA)1x n̄
(1.32)
1.3.8 Netto rezervy
Označenı́ ”netto”značı́, že se stále pohybujeme v oblasti ”spravedlivého”pojištěnı́, a tedy
neuvažujeme výdaje pojišt’ovny ani jejı́ záměr zisku.
Pro pojištěnı́ jako celek tedy platı́:
E(platby klienta) = E(platby poj.).
(1.33)
Pokud celé trvánı́ pojištěnı́ rozdělı́me v čase T (pochopitelně typicky v čase, ve kterém se
zrovna nacházı́me) dostaneme:
E(p. kl. do T ) + E(p. kl. od T ) = E(p. poj. do T ) + E(p. poj. od T ),
(1.34)
a tedy můžeme zavést označenı́ rezervy
V ≡ E(p. kl. do T ) − E(p. poj. do T ) = E(p. poj. od T ) − E(p. kl. od T ). (1.35)
Pokud použijeme rozdı́l ”do T ”, mluvı́me o retrospektivně počı́tané rezervě a jedná
se o hodnotu peněz, kterou by měla mı́t pojišt’ovna v čase T u sebe. v druhém přı́padě je
rezerva počı́taná prospektivně a jde o penı́ze, které by měla pojišt’ovna mı́t připravené pro
vyplácenı́ plněnı́ v dalšı́ části pojištěnı́. Pokud by bylo pojištěnı́ ”stacionárnı́”, tedy v každém
časovém úseku by pojišt’ovna dostala tolik, kolik musı́ dát klientovi, byla by pochopitelně
rezerva nulová. To však většinou nenastává. Nejvýraznějšı́ rozdı́l je u jednorázově placeného
pojištěnı́. Dále může rozdı́l vznikat napřı́klad v důsledku toho, že pojistné se platı́ stále stejně,
ale pravděpodobnost úmrtı́ s časem roste.
16
1 Životnı́ pojištěnı́
Obrázek 1.6: Netto rezerva pro pojištěnı́ pro přı́pad dožitı́ placené jednorázově.
Přı́klad 1.5. Mějme jednorázově placené pojištěnı́ pro přı́pad dožitı́. Vı́me, že zde platı́
rovnost:
P = E(platby klienta)0 = E(platby poj.)0 = K n px v n = KEx,n ,
(1.36)
kde index 0 značı́ hodnoty vztažené k začátku pojištěnı́. V libovolném okamžiku t < n platı́
E(platby poj.)t = 0 a
E(platby klienta)t = P (1 + i)t = KEx,n
1
= K n px v n−t .
vt
(1.37)
Pokud za t dosadı́me n, dostaneme K n px , což přesně odpovı́dá tomu, že je nynı́ potřeba s
pravděpodobnostı́ n px vyplatit částku K.
Mějme napřı́klad hodnoty K = 1000000 Kč, n = 20, x = 40, i = 2%. Potom z úmrtnostnı́ch
tabulek dostaneme 20 p40 = 0, 9539, vypočı́táme P = 6.4197e5 Kč a časový průběh hodnoty
rezervy vidı́me na Obr. 1.6.
Přı́klad 1.6. Nynı́ vezmeme pojištěnı́ pro přı́pad smrti placené běžně. Vı́me, že zde platı́
rovnost:
P =K
A1x n̄
,
äx,n̄
17
(1.38)
1 Životnı́ pojištěnı́
Obrázek 1.7: Netto rezerva pro pojištěnı́ pro přı́pad smrti placené běžně.
V libovolném okamžiku t < n platı́
Vt =
P äx,t̄ − KA1x t̄
,
vt
(1.39)
Kde je hodnota vztažena k okamžiku t.
Mějme napřı́klad hodnoty K = 1e6 Kč, n = 20, x = 40, i = 2%. Potom z úmrtnostnı́ch
tabulek dostaneme P = 2130 Kč a časový průběh hodnoty rezervy vidı́me na Obr. 1.7.
1.4 Brutto pojistné
Nynı́ již začneme brát v úvahu fakt, že pojišt’ovna má nějaké výdaje na svůj běh. Výdaje
pojišt’ovny se dělı́ na:
• α - počátečnı́ (sjednatel, doktor, formuláře, vývoj produktu ...)
• β - správnı́ (nájem budovy, mzdy, reklama, likvidace smlouvy, ...)
• γ - inkasnı́ (složenky, poplatky na účtech, ...)
Toto rozdělenı́ je spı́še historické, jelikož dı́ky bezhotovostnı́ internetové manipulaci s penězi
může být napřı́klad třetı́ skupina velmi zanedbatelná.
Pro určenı́ brutto pojistného placeného běžně použijeme vztah:
18
1 Životnı́ pojištěnı́
Bäx,n̄ = P + αK + βKäx,n̄ + γBäx,n̄ ,
(1.40)
a tedy
1
B=
1−γ
αK
P
+ βK +
äx,n̄
äx,n̄
.
(1.41)
P je hodnota netto pojistného, dále ji budeme často značit N . Zde si můžeme všimnout, že
výdaje pojišt’ovny jsou mezi klienty rozděleny poměrově v závislosti na výši jejich pojistky.
Tento vzorec můžeme použı́t napřı́klad pokud máme jen pojištěnı́ pro přı́pad smrti.
Pro α se použı́vá historicky zavedená hodnota α ' 3, 5%. Dále β ' 0, 5%. Ohledně γ záležı́ na
způsobu placenı́ pojistného. Pro pojišt’ovnu je výhodné, aby klient zaplatil pojistné na celý
rok dopředu. V takovém přı́padě dostává klient výhodu. Ještě jsou zde dva přı́stupy, které se
však lišı́ jen ”kosmeticky”. Většinou bývá γ ' 7% − 10% a za placenı́ celoročně je sleva 5%,
nebo je γ ' 2% a za placenı́ měsı́čně je přirážka 5%, takže to vyjde nastejno.
1.4.1 Brutto rezervy
Přı́klad 1.7. Mějme běžně placené pojištěnı́ pro přı́pad dožitı́. Nejprve si spočteme netto
pojistné:
N =K
Ex n̄
.
äx,n̄
(1.42)
Nynı́ můžeme vyjádřit brutto pojistné jako:
K
B=
1−γ
α
N
+β+
äx,n̄
K
.
(1.43)
Pokud budeme uvažovat variantu, kdy klient platı́ inkasnı́ náklady γ měsı́čně, pak γ i β
můžeme z výpočtu rezervy úplně vypustit, protože je prostě každý měsı́c klient zaplatı́ a
pojišt’ovna rovnou použije. Dostáváme tedy nový vztah pro brutto pojistné:
B̃ = K
α
N
+
äx,n̄ K
19
.
(1.44)
1 Životnı́ pojištěnı́
Zde však již B̃ neodpovı́dá částce, kterou klient měsı́čně platı́, ale je to jen jistá pomocná
hodnota pro výpočet rezervy. Skutečnému pojistnému by odpovı́dala, pokud by byly správnı́
i inkasnı́ náklady pojišt’ovny nulové.
Na Obr. 1.8(a) je klasický přı́klad pro hodnoty K = 1e6 Kč, n = 20, x = 40, i = 2% a
α = 3.5%. Kvůli zvýrazněnı́ počátečnı́ platby a exponenciálnı́ho zhodnocovánı́ peněz (a většı́
analogii k obrázku z přednášky) je na Obr. 1.8(b) ještě uveden stejný přı́klad pro i = 15% a
α = 15%.
1.5 Dalšı́ střı́pky
1.5.1 Změny smlouvy
Pojistnou smlouvu může klient i v průběhu změnit, přı́padně zrušit. V ČR je přibližně zrušeno
8% smluv ročně (v prvnı́ch letech dané smlouvy i 20%). Zde je několik nejčastějšı́ch druhů
změny smlouvy (je uveden důvod změny a v závorce následek):
• konec pojištěnı́ a vyrovnánı́ (pojišt’ovna klientovi něco vrátı́)
• konec placenı́ pojistného (redukce pojistné částky, nebo hlavně u pojištěnı́ pro přı́pad
smrti, redukce pojistné doby)
• změna parametrů smlouvy
– pojistné částky (a pojistného)
– pojistné doby (a pojistného)
– pojistného (a pojistné částky)
– a libovolné jiné kombinace....
Při změně pojištěnı́ se postupuje tak, že se standardně určı́ nová výše pojistného (nebo
jiného parametru), ale navı́c se započı́tá rezerva v okamžiku změny jako jednorázová platba
pojistného. (Ve vzácných přı́padech, kdy by byla rezerva v okamžiku změny záporná, se
nepřipočte ani neodečte nic.)
1.5.2 Zajištěnı́
Nad pojišt’ovnami jsou ještě organizace zvané zajišt’ovny (cca 100 významných na světě),
jejichž hlavnı́m úkolem je pokrytı́ zásadnı́ch (nečekaných) událostı́, které by mohly ohrozit
chod jednotlivé pojišt’ovny. Máte totiž k dispozici jen údaje o pravděpodobnosti úmrtı́ lidı́
obecně a ne pro jednotlivce. Pokud se stane, že vı́ce zemřelých v jednom roce jsou právě ti
s velmi vysokými pojistkami, může se pojišt’ovna dostat do problémů. I zajišt’ovny si riziko
vzájemně distribuujı́, čı́mž se zmenšuje možnost zásadnı́ch problémů ”jednotlivců”.
Zajišt’ovna v principu funguje tak, že přebı́rá část rizika pojišt’ovny. Tedy bere si část pojistného od klientů a pokrývá část plněnı́ mı́sto pojišt’ovny. Jsou dva hlavnı́ modely: proporčnı́
a neproporčnı́.
20
1 Životnı́ pojištěnı́
(a) i = 2%, α = 3.5%
(b) i = 15%, α = 15%
Obrázek 1.8: Brutto rezerva pro pojištěnı́ pro přı́pad dožitı́ placené běžně s parametry K =
1e6 Kč, n = 20, x = 40.
21
1 Životnı́ pojištěnı́
Obrázek 1.9: Troj-stavový model.
V proporčnı́m modelu zajišt’ovna přebı́rá X% z každé smlouvy. To však v podstatě znamená,
že pojišt’ovna jen odevzdává (částečně) své klienty zajišt’ovně. Proto je tato varianta volena
spı́še napřı́klad jako ústupek zajišt’ovně za poskytnutı́ jiné služby výhodné pro pojišt’ovnu.
Jsou zde dvě možnosti, jak určit X.
• QS (kvóta) - z každé smlouvy se bere stejné procento.
• surplus (excedent) - je stanovena částka - třeba 200 000 Kč a vše nad tuto částku přebı́rá
zajišt’ovna. (Třeba smlouvu na 100k si pojišt’ovna nechá celou, ale ze smlouvy na 500k
si nechá jen 40%.)
Neproporčnı́ zajištěnı́ může mı́t mnoho podob. Napřı́klad se spočte průměrná výše plněnı́, kterou by měla pojišt’ovna v budoucnu platit a co je v reálu nad tuto částku zaplatı́ zajišt’ovna
(”škodnı́ nadměrek”). Pokud je plněnı́ nižšı́, pojišt’ovna na tom vydělá, takže takováto smlouva
by pro ni byla extrémně výhodná. Jiné varianty jsou, že zajišt’ovna zaplatı́ dvě nejvyššı́ pojistné částky z daného roku, zaplatı́ prvnı́ plněnı́, o které si pojišt’ovna řekne, a tak podobně.
Podle zákona však musı́ celé krytı́ dělat pojišt’ovna. Klient tedy vymáhá své penı́ze u pojišt’ovny
a ta ho nemůže odkázat na zajišt’ovnu. Nicméně až 50% tohoto krytı́ může být ve formě pohledávky u zajistitele.
1.5.3 Troj-stavový model
V této přednášce se zabýváme jen nejjednoduššı́m modelem, kde je člověk živý, nebo mrtvý.
Komplexnějšı́ model může zahrnovat možnost invalidnı́ch lidı́. Potom rozlišujeme stavy aktivnı́, invalidnı́ a mrtvý. Situace je znázorněna na Obr. 1.9. Může zde docházet k úmrtı́m
aktivnı́ch i invalidnı́ch lidı́, invaliditě aktivnı́ch a přı́padně reaktivaci invalidnı́ch na aktivnı́.
1.5.4 Úprava neceloročnı́ch výrazů
n px · 1 q
n , tedy pravděpodobnost, že člověk, který na začátku
Budeme upravovat výraz 12
x+ 12
12
roku x žije, zemře právě v n-tém měsı́ci. Využijeme zde vztah
22
1 Životnı́ pojištěnı́
u qx
= uqx ,
(1.45)
který se uvažuje pro u ∈ (0, 1). Jedná se o určitou aproximaci, která je přı́činou do jisté mı́ry
překvapivého výsledku.
n
12
px · 1 qx+ 12n = (1 − 12n qx )(1 − 1 px+ 12n ) = ⊗.
12
12
(1.46)
Dále použijeme vzorec n px ·m px+n =m+n px a dostáváme:
⊗ = (1 − 12n qx ) 1 −
n+1
12
n
12
px
!
= 1 − 12n qx − n+1 px =
(1.47)
n+1
1
n
qx +
qx = q x ,
12
12
12
(1.48)
px
= 1 − 12n qx − (1 − n+1 qx ) = −
12
12
tedy pravděpodobnost úmrtı́ je v každém měsı́ci daného roku stejná.
1.5.5 Komutačnı́ čı́sla
Komutačnı́ čı́sla jsou hodnoty určitých výrazů, které jsou tabelovány a je možné z nich
skládat výše použı́vané výrazy. Dřı́ve bez použitı́ počı́tačů byl jejich význam zásadnı́, ale i
dnes umožňujı́ zjednodušit skripty počı́tačových simulacı́ a zrychlit výpočet. Konkrétně jsou
definována jako:
Cx = dx v x+1
P
Mx = ∞
k=0 Cx+k
P∞
Rx = k=0 Mx+k
Dx = lx v x
P
Nx = ∞
k=0 Dx+k
P∞
Sx = k=0 Nx+k
Nynı́ můžeme napřı́klad psát:
äx,n̄ =
n−1
X
k px v
k
=
k=0
A1x n̄
=
n−1
X
k px qx+k v
k+1
k=0
23
Nx − Nx+n
,
Dx
=
Mx − Mx+n
,
Dx
(1.49)
(1.50)
1 Životnı́ pojištěnı́
Ex n̄ =
Dx+n
.
Dx
24
(1.51)
2 Neživotnı́ pojištěnı́
Neživotnı́ pojištěnı́ zahrnuje vše, co nepatřı́ do životnı́ho pojištěnı́, a proto se pochopitelně
dělı́ do mnoha kategoriı́:
• Zdravotnı́ rizika (ZDR) - úraz, hospitalizace, zdravotnı́ neschopnost, ...
• Havarijnı́ pojištěnı́ (HAV) - aut, ale i letadel, lodı́, ...
• Pojištěnı́ majetku (MAJ) - přeprava, živelné pohromy, krádež ...
• Odpovědnostnı́ pojištěnı́
– Odpovědnost z provozu vozidla (POV) (”povinné ručenı́”) - Existuje takzvaná
Česká kancelář pojistitelů, jejı́mž členem musı́ být každá pojišt’ovna, která poskytuje povinné ručenı́. Pojišt’ovny odvádı́ část peněz do společného fondu, ze kterého
se zaplatı́ škoda v přı́padě, že je vinı́k neznámý (jen zdravotnı́ škody) nebo je vinı́k
bez pojištěnı́ (od něj je následně částka vymáhána).
– Obecná odpovědnost (ODP) - občanská odpovědnost (rozbiji něco v obchodě),
odpovědnost vlastnı́ka nemovitosti (vytopı́m souseda), ...
• Finančnı́ ztráty (FNR) - pojištěnı́ úvěru, cestovnı́ pojištěnı́ (budu nečekaně potřebovat
překladatele) ...
2.1 Srovnánı́ s životnı́m pojištěnı́m
Neživotnı́ pojištěnı́ je většinou uzavı́ráno na krátkou dobu (rok nebo méně) s výjimkou
některých zdravotnı́ch pojištěnı́ (invalidita, pracovnı́ neschopnost).
Věk klienta většinou nehraje zásadnı́ roli. (Napřı́klad u havarijnı́ho pojištěnı́ se často dělajı́
jen 3 kategorie: do 23, 23-65, 65+)
Jinak se měnı́ rezerva v průběhu pojištěnı́. Napřı́klad nevzniká stejný jev jako u pojištěnı́ pro
přı́pad smrti, kdy je nejprve rezerva vysoká - člověk platı́ konstantnı́ pojistné, ale v nižšı́m
věku má nižšı́ pravděpodobnost smrti.
Vzniká potřeba mı́t rezervy na plněnı́ za události nahlášené až zpětně (někomu vykradou
chatu přes zimu a on to zjistı́ a nahlásı́ až na jaře) nebo nahlášené chybně či nepřesně (někdo
nahlásı́ nehodu a škodu na autě, ale nenahlásı́ zraněné, kterým se pak platı́ vysoké zdravotnı́
škody).
Nemáme zde tak dobrý odhad pravděpodobnosti výskytu pojistné události a navı́c ani předem
nevı́me výši plněnı́.
25
2 Neživotnı́ pojištěnı́
V životnı́m pojištěnı́ se může člověk pojistit na téměř libovolnou částku (nemůžeme stanovit
cenu jeho života), ale věc je možné pojistit maximálně na jejı́ skutečnou hodnotu. (Nemohu
auto za 800k pojistit na 2M, zbořit ho a chtı́t pak 2M od pojišt’ovny.)
Pojišt’ovny někdy zneužı́vajı́ klesánı́ ceny věcı́: Uzavřou smlouvu na 5 let na auto v hodnotě
800k a výši pojistného určı́ jako 5% z této ceny. Klient platı́ stále stejné pojistné, ale když
auto úplně zničı́ třeba ve třetı́m roce, dostane od pojišt’ovny jen současnou cenu (třeba 400k),
přestože pojistné platı́ na věc v původnı́ hodnotě. Proto je potřeba se každý rok přepojistit
podle současné hodnoty věci.
Chceme-li se pojistit na menšı́ částku, než je cena věci (auto za 800k pojistı́me na 400k), plněnı́
vetšinou probı́há jen poměrově. Tedy pokud na autě vznikne škoda za 200k, dostaneme jen
100k.
Klient má často ve smlouvě spoluúčast na plněnı́ v přı́padě pojistné události. Konkrétnı́
podoba samozřejmě závisı́ na smlouvě. Napřı́klad to může být prostě 10% škody; vždy 5 000
Kč; jen škody do 5 000 Kč; 10 % ceny, ale minimálně 5 000 Kč (aby klient neotravoval s
plněnı́m za 200 Kč).
2.2 Určenı́ pojistného
Opět se použı́vá pravděpodobnostnı́ model.
Napřı́klad u povinného ručenı́ je škodnı́ frekvence (š.f.) cca 5-6 %, průměrné pojistné plněnı́
(PP) na plechové (na autě) škody 30 000 Kč a zdravotnı́ 200 000 Kč. Ve velké většině přı́padů
jsou však jen plechové škody. Pokud zanedbáme zdravotnı́ výlohy (hrubý odhad), dostaneme
tedy pro netto pojištěnı́ 0, 06 ∗ 30000 Kč = 1800 Kč (ročně). Pojišt’ovna má však dalšı́ výdaje
a tak se snažı́ držet škodný (někdy se řı́ká škodnı́) poměr
SP =
vyplaceno
∼ 0, 5 − 0, 7%.
pojistne
(2.1)
Dále se zavádı́ kombinovaný škodný poměr (CR - compact ratio), kde chceme, aby:
CR =
veskere naklady
∈ (0.95, 1.02).
pojistne
(2.2)
To, že pojišt’ovna může vydělávat i při CR > 1 je dáno zúročenı́m peněz, které se zde jinak
obecně zanedbává (bere se jako skrytá rezerva). Dlouhodobě se však snažı́ mı́t CR > 1.
Správně bychom při výpočtu škodného poměru měli zahrnout výše zmı́něné rezervy:
SP =
plneni + ∆RBN S + ∆IBN R
,
zaslouzene pojistne
26
(2.3)
2 Neživotnı́ pojištěnı́
kde RBNS (Reported But Not Settled) je rezerva na škody nahlášené, ale ještě nezaplacené
(čeká se na nějaké dalšı́ úkony), IBNR (Incurred But Not Reported) rezerva na zatı́m nenahlášené škody a zasloužené plněnı́ znamená, že napřı́klad z pojistného za celý rok započteme
jen poměrnou část podle toho, v jaké části roku se nacházı́me.
Pozn.: V neživotnı́m pojištěnı́ se termı́n netto pojištěnı́ použı́vá pro část pojištěnı́, která
zůstane pojišt’ovně a nejde do zajišt’ovny. Na přednášce však budeme tento termı́n použı́vat ve
stejném významu, jako u životnı́ho pojištěnı́ (tedy pojistné bez započtenı́ výdajů pojišt’ovny).
2.3 Teorie určenı́ počtu pojistných událostı́
Tato teorie je postavena na několika základnı́ch předpokladech:
1. t ≥ 0
2. Pro disjunktnı́ časové intervaly A a B jsou počty škod N (A) a N (B) nezávislé.
3.
• P (jedna poj. událost v (t, t + h)) = qh + o(h) (obecněji qt h + o(h))
• P (2 a vı́ce poj. událostı́ v (t, t + h)) = o(h)
Použité značenı́ o(h) znamená členy řádu vyššı́ho, než h. (Jelikož h bude malé, budeme tyto
členy zanedbávat.)
Nynı́ si zavedeme označenı́: pk (t) = P (Nt = k) (pravděpodobnost, že v čase od 0 do t nastane
k pojistných událostı́). Zřejmě platı́ P (N0 = 0) = 1 a P (N0 6= 0) = 0. S využitı́m předpokladu
si můžeme odvodit následujı́cı́ vztah:
p0 (t + h) = P (Nt = 0) · P (Nt+h − Nt = 0) = p0 (t) · (1 − qh + o(h))
(2.4)
a tedy
d
p0 (t + h) − p0 (t)
p0 (t)(1 − qh + o(h)) − p0 (t)
p0 (t) = lim
= lim
= −qp0 (t). (2.5)
h→0+
h→0+
dt
h
h
Řešenı́m této jednoduché diferenciálnı́ rovnice je
p0 (t) = e−qt .
(2.6)
Nynı́ si můžeme určit napřı́klad pravděpodobnost, že du času t nenastala alespoň jedna pojistná událost:
27
2 Neživotnı́ pojištěnı́
P (τ1 < t) = 1 − P (Nt = 0) = 1 − p0 (t) = 1 − e−qt ,
(2.7)
kde prvnı́ člen je poměrně nestandardně zapsán: τ1 je čas do prvnı́ události, a tedy se jedná
o pravděpodobnost, že čas t je většı́, než čas do prvnı́ události.
Dále odvodı́me:
pk (t + h) =
k
X
P (Nt = k − j) · P (Nt+h − Nt = j) =
(2.8)
j=0
= {P (Nt = k − j) = o(h) pro k − j > 1} =
=
1
X
P (Nt = k − j) · P (Nt+h − Nt = j) + o(h) =
(2.9)
(2.10)
j=0
= P (Nt = k) · P (Nt+h − Nt = 0) + P (Nt = k − 1) · P (Nt+h − Nt = 1) + o(h) =
(2.11)
= pk (t)(1 − qh + o(h)) + pk−1 (t)(qh + o(h)) + o(h).
(2.12)
Odtud dostaneme analogickým limitnı́m přechodem jako v předchozı́m přı́padě vztah:
d
pk (t) = q(pk−1 (t) − pk (t)).
dt
(2.13)
Z této rovnice vidı́me, že se jedná o Poissonův proces, jehož řešenı́ je:
pk (t) =
(qt)k −qt
e .
k!
(2.14)
Pro určenı́ parametrů z reálných dat se nám ještě bude hodit určit průměrný počet pojistných
událostı́ za dobu t. (Na přednášce se to nedělalo. Nevı́m, jestli to nejde nějak jednodušeji...)
< Nt > =
∞
X
k · pk (t) =
∞
X
k=0
k=1
k·
(qt)k −qt
e =
k!
∞
∞
X
X
(qt)k−1
(qt)k−1
−qt
−qt
= e qt
=
= e qt
(k − 1)!
(k − 1)!
k=1
k=1
=e
−qt
qt
∞
X
(qt)k
k=0
(k)!
= e−qt qteqt = qt.
28
(2.15)
(2.16)
(2.17)
2 Neživotnı́ pojištěnı́
Dalšı́ vlastnostı́ Poissonova procesu je to, že i rozptyl σ 2 je qt.
Přı́klad 2.1. V ČR bylo v roce 1993 celkem 6 000 000 aut a z toho bylo 26 500 odcizeno.
Tedy bylo ukradeno 0,442%. Pojišt’ovna pojistila 83 000 aut z celkového počtu a z nich tedy
bylo s nejspı́še ukradeno 366,6=qt auta. (Dělenı́ aut nám nevadı́.) Nynı́ nás zajı́má, jaká je
pravděpodobnost, že ve skutečnosti bylo ukradeno 416 aut pojištěných touto pojišt’ovnou (416
aby to hezky vyšlo). Pro jednoduchost použijeme aproximaci pomocı́ normálnı́ho rozdělenı́ se
střednı́ hodnotou qt a variancı́ σ 2 = qt. Adekvátnost tohoto přiblı́ženı́ je vidět na obrázcı́ch
2.1 a 2.2. I pro přı́pad qt = 100 jsou rozdělenı́ téměř identická a my zde máme dokonce 366.
Pak tedy dostáváme:
N1 − 366, 5
416 − 366, 5
.
P (N1 > 416) = P ( √
< √
) = 1 − Φ(2, 5856) = 0, 5%.
366, 5
366, 5
(2.18)
2.4 Statistický přı́stup
Pro začátek uvedeme přı́klad pěti let pojištěnı́.
Rok
1
2
3
4
5
poč. Kl
50000
48000
47000
51000
50000
poč. PU
60
50
55
45
55
Pl celkem
65 000 000
52 000 000
53 000 000
44 000 000
57 000 000
Pl/PU
1 083 333
1 040 000
963 636
977 778
1 036 364
Pl/Kl
1 300
1 083
1 128
863
1 140
V této tabulce ”poč. Kl”značı́ počet klientů, ”poč. PU”počet pojistných událostı́, ”Pl celkem”
celkové platby pojišt’ovny, ”Pl/PU”platba na jednu PU, ”Pl/Kl”platba na jednoho klienta.
Pro určenı́ pojistného můžeme použı́t výdaje na jednoho klienta za rok průměrovaný přes 5
let. Va našem přı́padě to je 1103 Kč. Určit výši pojistného na tuto částku by však bylo velmi
naivnı́. V praxi se často použı́vá jiná metoda: ”Kouknu, za kolik to má konkurence a odečtu
2 Kč.”
Pro dalšı́ statistický popis si zaveden označenı́:
• N : celkový počet let
• ni : počet klientů v i-tém roce
• xi : průměrné pojistné plněnı́ na jednoho klienta v i-tém roce
• n: předpokládaný počet klientů v dalšı́m roce
V modelu budeme předpokládat, že náhodná veličina Xi má normálnı́ rozdělenı́:
29
2 Neživotnı́ pojištěnı́
Xi ∼ N
σ2
µ,
ni
.
(2.19)
Nynı́ potřebujeme odhadnout parametr µ hodnotou µ̂ určenou na základě historických dat.
Budeme hledat nejlepšı́ (s nejmenšı́ variancı́) nestranný (E µ̂ = µ) lineárnı́ (lineárnı́ funkce
dat) odhad. V našem přı́padě je to prostě průměr
PN
µ̂ = Pi=1
N
n i xi
i=1
ni
.
(2.20)
2.5 Rezervy
2.5.1 Rezervy na nezasloužené pojistné (UPR)
Tato rezerva je nudná kvůli tomu, že klient zaplatı́ pojistné na určitou dobu dopředu (napřı́klad
na rok) a my musı́me do výpočtů zahrnout pouze tu část těchto peněz, která odpovı́dá již
uplynulé části doby pojištěnı́. (Tedy část, kterou už jsme si zasloužili.) Většinou se jednoduše
vezme počet uplynulých dnı́ děleno celkový počet dnı́. (Někdy se použı́vá počı́tánı́ po většı́ch
časových úsecı́ch, třeba po týdnech.)
2.5.2 Rezervy na pojistné plněnı́
• RBNS (reported but not settled) Rezerva určená na základě odhadu likvidátora. Je
konkrétně přiřazena ke každé smlouvě.
• IBNR (incurred but not reported) Rezerva na pojistné události již vzniklé, ale zatı́m
nenahlášené. Můžeme pouze odhadovat na základě historických dat.
• Rezerva na souvisejı́cı́ náklady (likvidátor, doktor pojišt’ovny,...)
2.5.3 Dalšı́ malé rezervy
• Rezerva neživotnı́ho pojištěnı́ jako už životnı́ho. (pracovnı́ neschopnost)
• Výkyvová rezerva - pro přı́pad, že nastane nějaká velká událost (povodeň, ... ). Pokud
je v daném roce méně událostı́, než je očekávaný průměr, uložı́ se část peněz na konto,
ze kterého je možno je opět čerpat v roce s nadprůměrným množstvı́m PU. Tato rezerva
je stanovena zákonem.
• Rezerva na prémie a slevy - Napřı́klad pokud člověk nemá 4 roky žádnou PU, má pátý
rok zdarma. Musı́me tedy počı́tat s tı́m, že pátý rok nezaplatı́, ale riziko vzniku PU
zůstává.
30
2 Neživotnı́ pojištěnı́
• Závazky české kanceláře pojistitelů - viz výše. (Placenı́ povinného ručenı́ v přı́padě, že
vinı́k nenı́ znám nebo nenı́ pojištěn.)
• Jiná technická rezerva. Vymyšlený přı́klad: Na konci roku pršı́ a tak uděláme rezervu
na to, že v novém roce budou povodně. Tı́m škodu částečně převedeme do předchozı́ho
roku.
2.5.4 IBNR rezervy
31
2 Neživotnı́ pojištěnı́
Obrázek 2.1: Poissonovo rozdělenı́ pro různé hodnoty qt. Je zde vidět, jak se blı́žı́ normálnı́mu.
Obrázek 2.2: Srovnánı́ Poissonova a normálnı́ho rozdělenı́ pro qt = µ = σ 2 = 100.
32
3 Finančnı́ matematika
Finančnı́ matematiku začneme jednoduchým popisem rozdělenı́ pojišt’ovny na jednotlivé subjekty:
• ŽP - životnı́ pojišt’ovna
• NP - neživotnı́ pojišt’ovna
• PF - penzijnı́ fond
• IS - investičnı́ společnost
• B - banka
Každý z těchto subjektů má nějaký úkol a nějaké své klienty. Napřı́klad u ŽP a NP se mohou
klienti překrývat - třeba pojištěnı́ schopnosti platit úvěr, která může být narušena jak smrtı́,
tak napřı́klad ztrátou zaměstnánı́, a proto jsou na takové pojištěnı́ třeba obě licence.
Životnı́ pojišt’ovnou a neživotnı́ pojišt’ovnou jsme se zabývali v předchozı́ch kapitolách.
Penzijnı́ fond je v podstatě dalšı́ pojištěnı́, které však nabı́zı́ pouze jeden produkt.
Úkolem investičnı́ společnosti je hospodařit s volnými finančnı́mi prostředky tak, aby z
nich měla pojišt’ovna nějaký zisk. Předevšı́m nakupuje dluhopisy a akcie, o kterých bude řeč
později.
Banka se vyznačuje předevšı́m tı́m, že může na rozdı́l od pojišt’ovny i poskytovat klientům
úvěry a vztahujı́ se na nı́ přı́snějšı́ regulace.
Dále má pojišt’ovna servisnı́ společnost, která se stará o minimalizaci provoznı́ch nákladů.
Napřı́klad zpravuje počı́tače nebo budovy, které pak pronajı́má ostatnı́m subjektům. A navı́c
má pojišt’ovna agenty, kteřı́ shánějı́ nové klienty.
Každá z těchto dı́lčı́ch institucı́ musı́ držet určité množstvı́ financı́. Typicky nejvı́ce je to u
penzijnı́ho fondu (napřı́klad řádově 30 MLD Kč), dále životnı́ pojišt’ovna (5 MLD), u neživotnı́
pojišt’ovny záležı́ na tom, zda poskytuje povinné ručenı́, které má velké rezervy (0,5 MLD
respektive 3-5 MLD) a investičnı́ společnost má poměrně málo (1 MLD).
3.1 Kapitálový trh
Kapitálový trh je trh s penězi. Pochopitelně má smysl jen pokud operujeme s časovou hodnotou peněz a ne v jednom okamžiku.
33
3 Finančnı́ matematika
3.1.1 Uloženı́ peněz v zahraničı́
Někdy můžeme chtı́t uložit své penı́ze v zahraničı́. Potom je však uložı́me v cizı́ měně,
napřı́klad ve švýcarských francı́ch (CHF). Potom zde začne hrát roli pohyb vzájemné hodnoty
měn. Napřı́klad si ve Švýcarsku uložı́me 1000 Kč, za které při kurzu 1:20 dostaneme na účet
50 CHF. Na účtu máme 2% úrok ročně, a tedy po jednom roce máme na účtu 51 CHF. Může
se však stát, že se mezi tı́m změnil kurz na 1:25 (v reálu to nebude tak výrazné) a my tedy za
uložené franky dostaneme ne 1020 Kč, ale 1275 Kč, což je obrovské zhodnocenı́. Může se stát,
že se podobný trend dá předpovı́dat dopředu. Švýcarská banka se může bránit tı́m, že změnı́
výši úroku (typicky jen pro zahraničnı́ korporátnı́ klienty - ti si ukládajı́ značné částky). Tento
nový úrok může být dokonce i záporný, ale i tak můžeme na uloženı́ peněz vydělat.
Nynı́ se podı́váme na tři základnı́ formy cenných papı́rů, se kterými se na kapitálovém trhu
obchoduje.
3.1.2 Dluhopisy (obligace)
Dluhopis je vlastně způsob zı́skánı́ kapitálu (alternativa napřı́klad k půjčce z banky). Funguje
tak, že emitent vydá dluhopis a stanovı́ nominálnı́ hodnotu a dobu, na kterou je dluhopis
vydán. Po uplynutı́ této doby majiteli dluhopisu vyplatı́ emitent stanovenou částku. Dluhopisy
mohou navı́c být takzvaně kuponové, což znamená, že je určitá částka vlastnı́kovi vyplacena
již v průběhu. (Napřı́klad dluhopis na 5 let, u kterého se vlastnı́kovi vyplatı́ na konci každého
roku 2% nominálnı́ hodnoty.)
Nynı́ je otázka, za kolik se takový dluhopis prodá (tedy jaká je jeho hodnota). Určitě to bude
částka nižšı́, než jeho nominálnı́ hodnota, jelikož penı́ze v současnosti majı́ většı́ hodnotu, než
penı́ze v době vyplacenı́. Dále záležı́ na věrohodnosti emitenta. Je-li napřı́klad emitentem stát,
je téměř jisté, že do doby vyplacenı́ peněz nezkrachuje, a tak může mı́t napřı́klad dluhopis
na 100 000 Kč na jeden rok hodnotu 98 000 Kč. Naopak u firmy, u které je nebezpečı́ krachu
nebo u soukromé osoby (i ta může vydávat dluhopis) to může být napřı́klad jen 80 000
Kč. Věřitel tedy podstupuje velké riziko a chce za to velký zisk v přı́padě úspěchu. Existujı́
takzvané ratingové agentury, které se zabývajı́ odhadem důvěryhodnosti různých institucı́,
podle kterých je možné se řı́dit.
Kromě modelu: ”koupı́m dluhopis, počkám, dostanu předen danou částku”se s dluhopisy často
obchoduje průběžně. Cena dluhopisu typicky s časem roste. Mohu si napřı́klad nějaký dluhopis
koupit jen na měsı́c a pak ho s určitým (malým) ziskem prodat. (Chci na měsı́c uložit penı́ze a
poté je zase potřebuji použı́t jinde.) Počátečnı́ hodnota dluhopisu bez započtenı́ dalšı́ch vlivů
se určı́ podle vzorce:
n
V =F
X
1
r
+
k
(1 + i)
(1 + i)k
k=1
!
,
(3.1)
kde V je počátečnı́ hodnota, F nominálnı́ hodnota, n počet let do vyplacenı́, r kuponová
sazba (část nominálnı́ hodnoty vyplacená v každém roce), i rizikovost (u většı́ho rizika chci
lepšı́ časové zhodnocenı́). Hodnota i však závisı́ i na tom, s jakým úrokem je možné zhodnotit
34
3 Finančnı́ matematika
Obrázek 3.1: Vývoj hodnoty dluhopisu při změně úroku bank.
penı́ze jiným způsobem - napřı́klad v bance. Pokud tedy napřı́klad centrálnı́ banka oznámı́,
že zvýšı́ úrok, klesnou v důsledku toho nárazově ceny dluhopisů. Pochopitelně člověk, který
dluhopis chce nechat doběhnout se tı́m nemusı́ trápit, ale ten, kdo ho chtěl právě prodávat,
má problém. Situace je znázorněna na OBR. 3.1. Přesto, že se tedy ceny dluhopisů stále
vyvı́jı́, rozdı́ly nejsou dramatické a investice do dluhopisů nese malé riziko (u důvěryhodného
emitenta).
3.1.3 Akcie
Akcie jsou podı́ly na majetku, tedy vlastnı́k akcie částečně vlastnı́ společnost, která akci
vydala. Přesto, že akcie majı́ určitou nominálnı́ hodnotu (ty, které jsou tištěné na papı́r), tato
hodnota nemá žádný vliv na skutečnou hodnotu akcie. Ta závisı́ na tom, jaká je hodnota
firmy a na tom, kolik je akciı́ celkem (tedy jakou část hodnoty firmy představuje jedna akcie).
Konkrétnı́ cena akcie v daném okamžiku je dána poptávkou a nabı́dkou na burze.
Některé firmy navı́c vyplácejı́ akcionářům takzvané dividendy. V přı́padě, že firma vykazuje
zisk, rozdělı́ část tohoto zisku mezi vlastnı́ky akciı́. (Napřı́klad na každou akcii vyplatı́ na konci
každého roku 10 Kč.) Vyplácenı́ dividend je na rozhodnutı́ firmy a většinou je vyplácejı́ velké
zaběhnuté společnosti se stálým ziskem, které již minimálně rostou. (U malých dynamicky
rostoucı́ch firem akcionář zı́ská dı́ky rostoucı́ hodnotě firmy.)
Firma může také vydat nové akcie za účelem zisku peněz na určitý podnikatelský záměr
(stavba elektrárny v Albánii). Tyto nové akcie přednostně nabı́dne stávajı́cı́m akcionářům a
zbytek umı́stı́ volně na trh.
Akcie většinou také opravňujı́ k částečnému rozhodovánı́ o dané firmě. Akcionáři tedy majı́
nějaké hlasovacı́ právo, pomocı́ kterého se mohou vyjádřit. (Existujı́ i mechanismy ochrany minoritnı́ch akcionářů.) Jedna společnost může vydat vı́ce druhů akciı́. Napřı́klad akcie bez hlasovacı́ práva. Ty pak mohou mı́t nižšı́ hodnotu nebo napřı́klad zase majı́ výhodu přednostnı́ho
vyplácenı́ dividend.
Určenı́ ceny akcie na základě nabı́dky a poptávky je znázorněno na Obr. 3.2.
V praxi to ve zjednodušené podobě funguje tak, že je na burze ”tabulka”nabı́dek a poptávek.
Lidé dávajı́ nabı́dky, za kolik jsou ochotni danou akcii prodat a jinı́ lidé dávajı́ nabı́dky, za
kolik jsou ochotni ji koupit. Většinou je mezi těmito hodnotami určitá mezera. Jakmile dojde
k průniku (někdo nabı́dne dost levně nebo někdo za akcii nabı́dne dost) provede se patřičná
35
3 Finančnı́ matematika
Obrázek 3.2: Diagram znázorňujı́cı́ protnutı́ poptávky a nabı́dky, které určı́ cenu akcie.
transakce.
Pro určenı́ toho, jaké akcie si koupı́me, je možné použı́t nějakou užitkovou funkci. Jedná se
o funkci parametrů akcie, která měřı́, jak je pro nás akcie výhodná. Jednı́m typem užitkové
funkce je
EX + αV ar(X),
(3.2)
kde X je cena akcie v závislosti na čase a α parametr závislý na daném investorovi. Investor,
který je ochoten riskovat za cenu zisku bude mı́t α malé, opatrný investor zase velké. Mějme
napřı́klad dvě akcie s hodnotami EX1 = 10, EX2 = 12, V ar(X1 ) = 1 a V ar(X2 ) = 4.
Dále máme dva investory s hodnotami α1 = 1 a α2 = 4. Prvnı́ akcionář dá přednost prvnı́
akcii, jelikož hodnota užitkové funkce je zde 9, zatı́mco u druhé akcie 8. Naproti tomu druhý
akcionář upřednostnı́ druhou akcii, jelikož má hodnoty 9,9 a 11,6. Existujı́ pochopitelně i
složitějšı́ užitkové funkce a dalšı́ vlivy, které mohou rozhodnutı́ ovlivnit.
Ve skutečnosti však bez ohledu na to, jaké jsou naše preference, nenı́ nejvýhodnějšı́ prostě
vybrat jeden druh akciı́ a ty nakoupit. Proto pak přijdou do hry portfolia. Portfolio je
soubor akciı́, do kterých máme rozloženy naše finance (poměrové zastoupenı́ akciı́ jednotlivých
firem). (Pojem portfolio je obecnějšı́. Na přednášce se také zmiňuje portfolio pojistných smluv
pojišt’ovny, tedy rozdělenı́ celého objemu smluv mezi jednotlivé typy.) Mı́sto jediné akcie tedy
chceme optimalizovat celé portfolio. Napřı́klad se snažı́me, aby naše portfolio bylo takzvaně
diverzifikované. To znamená, že máme napřı́klad akcie firem z různých oblastı́ produkce, a
tedy nás nezrujnuje propad jednoho oboru průmyslu. Dále se dá využı́t korelace mezi cenami
akciı́. Pokud najdeme dva druhy akciı́, které dlouhodobě vykazujı́ negativnı́ korelaci (jedna
klesá, když druhá stoupá a naopak), můžeme jejich společným nákupem ve výsledku snı́žit
varianci (a tedy rizikovost) portfolia. Firmy (napřı́klad pojišt’ovny) majı́ takzvané portfolio
manažery, kteřı́ právě tuto problematiku řešı́.
Zajı́mavostı́ z oblasti kapitálových trhů je fakt, že v průměru majı́ lepšı́ výsledky v investovánı́
ženy. Je to tı́m, že jsou ”lı́nějšı́”, tedy provádějı́ méně transakcı́. Naproti tomu muži se snažı́
36
3 Finančnı́ matematika
z každé změny něco zı́skat. A bývalo by se jim to asi i podařilo, nebýt všemožných poplatků
za prováděnı́ přı́kazů, které nakonec způsobı́ vı́tězstvı́ žen.
Zvláštnı́ oblastı́, ve které se některým lidem podařilo zbohatnout, jsou automatické obchody
na burze. Člověk si vymyslı́ nějaký algoritmus a nechá za sebe obchodovat počı́tač. Tento
přı́stup má předevšı́m výhodu v tom, že může extrémně rychle vyhodnocovat změny na burze
a reagovat na ně.
3.1.4 Opce
Opce je právo něco v budoucnu koupit nebo prodat na předem stanovenou cenu. Může to
být libovolné rizikové aktivum (akcie, zlato, káva), tedy něco, co v průběhu času měnı́
hodnotu a tento vývoj nenı́ předem stanoven. My tedy na začátku za opci něco zaplatı́me a
po určité době ji můžeme využı́t k nákupu/prodeji aktiva za cenu stanovenou opcı́ bez ohledu
na skutečnou cenu aktiva. Jedná se pouze o právo, nikoli povinnost. Pokud tedy napřı́klad
máme opci na nákup aktiva a nakonec je jeho cena nižšı́, než cena stanovená opcı́, koupı́me
aktivum za tržnı́ cenu. (Samozřejmě pak nevyužijeme opci, za kterou jsme na začátku něco
zaplatili.) S opcemi se také průběžně obchoduje, jako napřı́klad s dluhopisy.
Existujı́ dva druhy opcı́ co se týče možnosti použitı́ v čase:
• americká - právo je vázáno na konkrétnı́ termı́n,
• evropská - právo je možné uplatnit kdykoli do daného termı́nu.
Přı́klad 3.1. Mějme napřı́klad akcii, jejı́ž cena je v čase 0 rovna 100 Kč. Můžeme si koupit
opci na nákup této akcie v čase 1 za 100 Kč. Řekněme že tato opce bude stát 3 Kč. Pokud
nakonec bude cena akcie v čase 1 rovna 105 Kč, tak si ji s použitı́m opce koupı́me za 100 Kč
a tı́m 2 Kč vyděláme. Bude-li naopak cena akcie v čase 1 třeba 98 Kč, pak si ji nekoupı́me a
prodělali jsme 3 Kč, které jsme utratili za opci.
V dalšı́ch úvahách uděláme dva předpoklady:
• Pohybujeme se na bezarbitrážnı́m trhu. To znamená, že nenı́ možné z nulového kapitálu udělat zisk bez rizika. (Napřı́klad si někde půjčit a na většı́ úrok to dát do banky.)
Také to znamená, že stejně riziková aktiva majı́ stejný střednı́ výnos.
• Existuje bezriziková úroková mı́ra, tedy mı́ra, se kterou je možno zhodnotit penı́ze s
jistotou napřı́klad uloženı́m do banky.
• Akcie nevyplácı́ dividendy.
Budeme popisovat jen nejjednoduššı́ model, ve kterém se pohybujeme z časového bodu 0
skokem do bodu 1 a aktivum v čase 1 může nabývat jedné z jen dvou možnostı́. Necht’ tedy je
hodnota aktiva na začátku S. Tato hodnota přejde s pravděpodobnostı́ p na (1 + u)S (”up”,
tedy v přı́znivém přı́padě) a s pravděpodobnostı́ 1 − p na hodnotu (1 + d)S, kde hodnoty u a
d mohou být i záporné. Dále označı́me jako K = (1 + o)S hodnotu, za kterou můžeme koupit
akcii dı́ky opci, kde o se nazývá opčnı́ sazba. Uvažujeme, že d ≤ −1 a dále by mělo platit
d < r < u, kde r je bezriziková úroková mı́ra. V pozitivnı́m přı́padě má tedy vlastně opce
hodnotu Cu = max[(1 + u)S − K, 0] a v negativnı́m Cd = max[(1 + d)S − K, 0], kde maximum
37
3 Finančnı́ matematika
je z důvodu toho, že opci v nejhoršı́m přı́padě nevyužijeme. (Nebudeme nakupovat pomocı́
opce za vı́ce, než bychom mohli bez nı́.)
Jelikož však nevı́me, který scénář nastane, je třeba nějak stanovit cenu opce v čase 0. Dřı́ve
se to dělal prostě nějak odhadem. Dnes se použı́vá Black-Sholesova formule, kterou si nynı́
odvodı́me.
3.1.5 Black-Sholesova formule
Odvozenı́ formule provedeme opět v nejzákladnějšı́m přı́padě popsaném výše. Myšlenka je
v tom, že si sestavı́me portfolio z akci, na kterou se opce vztahuje a bezrizikového aktiva.
Vezmeme D akciı́ (v hodnotě S za jednu) a bezrizikové aktivum v hodnotě B. Tı́m hned
vı́me, jaké je hodnota tohoto portfolia v čase 0, a to: SD + B.
Máme tedy dva stupně volnosti výběru portfolia a ty použijeme k tomu, aby jeho hodnota v
čase 1 byla stejná, jako hodnota opce v obou přı́padech, které mohou nastat.
(1 + u)SD + (1 + r)B = max[(1 + u)S − K, 0],
(1 + d)SD + (1 + r)B = max[(1 + d)S − K, 0].
Z této soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dostaneme hodnoty:
Cu − Cd
,
(u − d)S
(1 + u)Cd − (1 + d)Cu
.
B=
(u − d)(1 + r)
D=
Nynı́ už jednoduše vyjádřı́me hodnotu opce v čase 0 jako:
C = SD + B =
kde jsme označili q =
qCu + (1 − q)Cd
,
1+r
r−d
u−d .
38
Literatura
[1] Přednáška 01FIMA na ČVUT FJFI 2012.
[2] Wikipedie - Časová hodnota peněz: http://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8Casov%C3%
A1_hodnota_pen%C4%9Bz
39