tady - Pavel Stránský

Transkript

Cvičenı́ k přednášce Kvantová mechanika II
(2015-2016)
Pavel Stránský
19. května 2016
1
Mionium
1.1
Volné mionium
Mionium je vázaný stav (anti-)mionu µ+ s elektronem, podobný např. atomu vodı́ku.
Vznikne při ozařovánı́ vzorku svazkem µ+ . Miony se interakcı́ s látkou zpomalujı́ a při
dostatečně malé rychlosti zachytı́ elektron. S nı́m vytvořı́ vázaný stav, který se velmi
rychle (řádově za 10−9 s, pro srovnánı́ střednı́ doba života µ+ je τµ+ = 2.2µs) dostane
do základnı́ho stavu. Důležité je, že jsme schopni připravit miony s konkrétnı́ orientacı́
spinu a že se během deexcitace orientace spinu neměnı́.
Při ozařovánı́ slabé fólie kovu je mionium po záchytu elektronu elektricky neutrálnı́
a volné a dı́ky tomu může difundovat ven ze vzorku.
Nacházı́-li se mionium v základnı́m stavu, lze interakci spinu mionu a spinu elektronu
popsat Hamiltoniánem1
A
Ĥ = E0 + σ̂ µ ⊗ σ̂ e ,
(1.1.2)
4
kde E0 = −mr c2 α2 /2 (mr ≡ me mµ /(me + mµ ) je redukovaná hmotnost elektronu a
mionu, α je konstanta jemné struktury), A je vazebná konstanta (jejı́ hodnotu lze určit
teoreticky) a
σ̂ µ ⊗ σ̂ e ≡ σ̂µ1 ⊗ σ̂e1 + σ̂µ2 ⊗ σ̂e2 + σ̂µ3 ⊗ σ̂e3 ,
(1.1.3)
přičemž σ̂ µ je operátor spinu přı́slušejı́cı́ mionu, σ̂ e elektronu2 .
1
Obecný tvar interakčnı́ho Hamiltoniánu dvou částic se spinem je (viz [9], kapitola 8.6.1.2)
HI = V0 (r) + 4Vσ (r) (ŝ1 · ŝ2 ) + VT (r)T̂ + · · · ,
přičemž zbývajı́cı́ tři členy nejsou invariantnı́ vůči prostorové inverzi.
2
Hamiltonián se také dá zapsat ekvivalentně ve tvaru
Ĥ = E0 + A ŝµ · ŝe ,
kde ŝµ,e jsou definovány vztahy
1
σ̂ e ⊗ 1̂µ
2
1
ŝe = 1̂e ⊗ σ̂ µ .
2
ŝµ =
1
(1.1.1)
1. Nalezněte, čemu je rovno σ µ ⊗ σ e , kde σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) jsou Pauliho matice.
Spočı́tejte vlastnı́ stavy a vlastnı́ vektory výsledné matice. Tyto vlastnı́ stavy
označte |S, Sz i, kde Sz je projekce spinu složeného systému do směru osy z.
2. Vyjádřete matici Hamiltoniánu v bázı́ch
B1 = {|sµ , se i , sµ,e ∈ {+, −}} = {|++i , |+−i , |−+i , |−−i} ,
B2 = {|S, Sz i} = {|0, 0i , |1, 1i , |1, 0i , |1, −1i} .
(1.1.4)
Nalezněte vlastnı́ hodnoty Hamiltoniánu (pomocı́ výsledku předchozı́ho kroku).
3. Uvažujte, že spin mionu, kterým ozařujeme vzorek, má orientaci + ve směru osy z,
tj. |ψµ i = |+iµ , spin elektronu má libovolně orientovaný spin |ψe i = α |+ie +β |−ie ,
|α|2 + |β|2 = 1. Napište vlnovou funkci ψ složeného systému, a to v obou bázı́ch z
předchozı́ho bodu.
4. Nalezněte |ψ(t)i, tj. stav systému v čase t.
5. Určete pravděpodobnost p+ (t), že v čase t změřı́te projekci spinu mionu ve směru
osy z. Využijte k tomu projektor
P̂µ+ = |+iµ h+|µ .
(1.1.5)
6. Zopakujte celý výpočet pro přı́pad, že stav elektronu na počátku je ve smı́šeném
stavu daném operátorem hustoty
ρ̂e = a |+ie h+|e + b |−ie h−|e ,
(1.1.6)
kde a + b = 1 (nalezněte matici hustoty složeného systému mion-elektron v čase
t = 0, následně v čase t, udělejte parciálnı́ stopu přes elektronové stavy, které
neměřı́te, a poté užijte projektoru (1.1.5)).
Řešenı́:
1. Tenzorový součin σ-matic je
1
0 −i
0 −i
0 1
0 1
+
⊗
+
⊗
σ̂ µ ⊗ σ̂ e =
0
i 0
i 0
1 0
1 0
 
 

1 0
0 0 0 −1
0 0 0 1
0 0 1 0  0 0 1 0  0 −1
 
 
=
0 1 0 0  +  0 1 0 0  + 0 0
0 0
−1 0 0 0
1 0 0 0


1 0
0 0
0 −1 2 0

=
0 2 −1 0 ,
0 0
0 1
1 0
0
⊗
0 −1
−1

0 0
0 0

−1 0
0 1
(1.1.7)
přičemž báze je {|++i , |+−i , |−+i , |−−i}.
Dvě vlastnı́ hodnoty lze uhodnout,
λ1,4 = 1 ,
2
(1.1.8)
a zbývajı́cı́ dvě jsou řešenı́m sekulárnı́ rovnice vnitřnı́ho bloku 2 × 2
−1 − λ
2
= (λ + 1)2 − 4 = 0 ,
det
2
−1 − λ
(1.1.9)
která jsou
λ2 = 1
λ3 = −3 .
(1.1.10)
Dostáváme tedy třikrát degenerovanou vlastnı́ hodnotu (tripletnı́ stav)
|ψ1 i = |1, 1i ≡ |++i
|ψ2 i = |1, 0i ≡ √12 (|+−i + |−+i)
|ψ4 i = |1, −1i ≡ |−−i
λ1,2,4 = 1
(1.1.11)
a jednou degenerovanou vlastnı́ hodnotu (singletnı́ stav)
1
|ψ3 i = |0, 0i ≡ √ (|+−i − |−+i) .
2
λ3 = −3
2. Hamiltonián v bázi B1 znı́

E0 +
 0
H=
 0
0
a v bázi B2
A
4
0
E0 −
A
2
0
0
A
4
A
2
E0 −
0
A
4
(1.1.12)

0
0 

0 
E0 + A4
(1.1.13)


E0 − 43 A
0
0
0


0
E0 + 14 A
0
0
,
H=
1


0
0
E0 + 4 A
0
1
0
0
0
E0 + 4 A
(1.1.14)
přičemž v této bázi je Hamiltonián diagonálnı́ (na diagonále jsou vlastnı́ stavy).
3. Vlnová funkce v bázi B1 je
|ψi = |+iµ ⊗ (α |+ie + β |−ie ) = α |++i + β |+−i .
(1.1.15)
√
Jelikož |+−i = 1/ 2 (|0, 0i + |1, 0i), vlnová funkce v bázi B2 je
β
|ψi = α |1, 1i + √ (|0, 0i + |1, 0i) .
2
(1.1.16)
4. Ze znalosti vlastnı́ch hodnot systému určı́me
i
|ψ(t)i = e− ~ Ĥt
=e
− ~i (E0 + A
t
4)
β i
β
α |1, 1i + √ |1, 0i + √ e ~ At |0, 0i
2
2
3
.
(1.1.17)
5. Pravděpodobnost nalezenı́ mionu ve stavu |+iµ v čase t je
2
E D
p(t) = ψ(t)P̂µ+ ψ(t) = P̂µ+ |ψ(t)i
(1.1.18)
Platı́
P̂µ+ |1, 1i = P̂µ+ |++i = |++i
1
P̂µ+ |1, 0i = P̂µ+ |0, 0i = √ |+−i ,
2
(1.1.19)
takže
P̂µ+ |ψ(t)i = e
− ~i (E0 + A
t
4)
a hledaná pravděpodobnost je
i
β
At
~
α |++i +
1+e
|+−i
2
At
.
2~
Tento výsledek lze interpretovat jako rotaci spinu mionu s frekvencı́
p(t) = |α|2 + |β|2 cos2
ω=
A
.
2~
(1.1.20)
(1.1.21)
(1.1.22)
Pokud je na počátku elektron ve stavu |ψe i = |+ie , k žádné rotaci nedocházı́.
Modulace spinu důsledkem rotace je naopak nejsilnějšı́, pokud |ψe i = |−ie .
6. Matice hustoty v čase t = 0 je
ρ̂(0) = a |++i h++| + b |+−i h+−|
(1.1.23)
b
= a |1, 1i h1, 1| + (|1, 0i h1, 0| + |1, 0i h0, 0| + |0, 0i h1, 0| + |0, 0i h0, 0|) .
2
(1.1.24)
V obecném čase t dostaneme
ρ̂(t) = Û(t)ρ̂(0)Û−1 (t)
= a |1, 1i h1, 1|
i
i
b
|1, 0i h1, 0| + e− ~ At |1, 0i h0, 0| + e ~ At |0, 0i h1, 0| + |0, 0i h0, 0|
+
2
(1.1.25)
h
b
= a |++i h++| +
|+−i h+−| + |−+i h−+|
2
At
(|+−i h+−| − |−+i h−+|)
+ cos
~
i
At
+ i sin
(|+−i h−+| − |−+i h+−|)
~
Parciálnı́ stopa přes elektronové stavy je
ρ̂µ (t) = Tre ρ̂(t) = h+|e ρ̂(t) |+ie + h−|e ρ̂(t) |−ie
(1.1.26)
b
At = a |+iµ h+|µ +
|+iµ h+|µ + |−iµ h−|µ + cos
|+iµ h+|µ + |−iµ h−|µ
2
~
(1.1.27)
4
a pravděpodobnost nalezenı́ mionu ve stavu |+iµ je
p′ (t) = Tr P̂µ+ ρ̂µ (t) = h+|µ ρ̂µ (t) |+iµ
At
At
b
1 + cos
= a + b cos2
.
=a+
2
~
2~
(1.1.28)
Dostáváme tedy stejný výraz pro pravděpodobnost jako v přı́padě, kdy elektron
je v obecném čistém
√ stavu. Pokud máme zcela nekoherentnı́ směs, je a = b = 1
(nebo α = β = 1/ 2) a pravděpodobnost, že naměřı́me spin mionu mı́řı́cı́ vzhůru,
je
3 1
At
At
1 1
= + cos
.
(1.1.29)
p0 (t) = + cos2
2 2
2~
4 4
~
Poznámka:
Přı́klad je převzat ze sbı́rky [11], kapitola 19.
1.2
Domácı́ úkol
(Mionium v křemı́ku) Pokud se dostatečně silná vrstva krystalu křemı́ku bombarduje (anti-)miony µ+ , vznikne mionium a naváže se uvnitř krystalové mřı́že za tvorby
šesterečné struktury s okolnı́mi atomy. Interakce mionia s krystalem se dá modelovat
Hamiltoniánem
A′
Ĥ′ = E0 +
σ̂ µ ⊗ σ̂ e + Dσ̂µ3 ⊗ σ̂e3 ,
4
což je rozšı́řený Hamiltonián volného mionia. Interakce s mřı́žı́ je popsána druhým a
třetı́m členem, proto je v obecném přı́padě konstanta A′ odlišná od konstanty A pro
volné mionium3 .
Konstanty A′ > 0, D < 0 se určujı́ experimentálně, jejich znaménko je dané.
1. Napište matici Hamiltoniánu a určete jejı́ vlastnı́ hodnoty a vlastnı́ stavy.
2. Předpokládejte, že dopadajı́cı́ miony jsou polarizovány do kladného směru osy x,
tj. |ψµ1 i = |x+iµ . Určete |ψµ3 i, což je počátečnı́ stav mionu vyjádřený v bázi spinu
orientovaného ve směru osy z.
3. Předpokládejte, že elektrony jsou před vznikem mionia polarizovány v kladném,
resp. záporném směru osy z, tj. uvažujeme dva přı́pady |ψe+ i = |+ie , |ψe− i =
|−ie . Nalezněte stav složeného systému elektron-mion v čase t = 0, v čase t a
pravděpodobnost, že v čase t naměřı́te spin mionuorientovaný ve směru osy x pro
obě dvě počátečnı́ orientace spinu elektronu.
4. Spočı́tejte totéž jako v předchozı́m bodu pro přı́pad, že jsou elektrony na počátku
ve smı́šeném stavu
1
1
ρ̂e = |+ie h+|e + |−ie h−|e .
(1.2.1)
2
2
Tuto pravděpodobnost označte p0 (t).
3
Poslednı́ člen v Hamiltoniánu narušuje sférické symetrie interakce. Rotačnı́ symetrie okolo osy z
však zůstane zachována.
5
(Srovnánı́ s experimentem) Experimentálně se neměřı́ přı́mo pravděpodobnost p0 (t),
nýbrž tzv. charakteristická funkce g(ω) = Re f (ω), kde
Z
t
1 ∞
p0 (t) e− τ eiωt dt
(1.2.2)
f (ω) =
τ 0
t
t
je Fourierova transformace funkce p0τ(t) e− τ (faktor τ1 e− τ ve výrazu postihuje konečnou
dobu života mionu, τ ≈ 2, 2µs). Přı́klad naměřené funkce g(ω) je na obrázku 1.
5. Nalezněte explicitnı́ výraz pro f (ω) pomocı́ f0 (ω), kde
Z
1 ∞ − t iωt
f0 (ω) ≡
e τ e dt
τ 0
(1.2.3)
6. Ze zadaných hodnot čı́selně určete, jaká by měla být pološı́řka pı́ků.
7. Z měřenı́ zobrazeném na obrázku 1(a) nalezněte hodnoty parametrů A′ a D.
8. Na obrázku 1(b) je totéž měřenı́, jen uspořádánı́ měřı́cı́ho zařı́zenı́ bylo lehce
pozměněno. Diskutujte, k jaké změně v zapojenı́ experimentu došlo.
Obrázek 1: Naměřená funkce g(ω) = Re f (ω).
6
2
WKB aproximace
WKB4 je kvaziklasická aproximace jednorozměrné Schrödingerovy rovnice
−
~2 ′′
ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) .
2M
Rovnici přepı́šeme do tvaru
ψ ′′ (x) = −
kde
p=±
(2.0.4)
p2
ψ(x) ,
~2
(2.0.5)
p
2M [E − V (x)]
(2.0.6)
je hybnost částice. Vlnovou funkci hledáme ve tvaru
i
ψ(x) = A(x) e ~ S(x) ,
(2.0.7)
kde obě funkce A(x), S(x) jsou reálné. Dosadı́me-li do Schrödingerovy rovnice (2.0.5),
dostaneme dvě rovnice (pro reálnou a imaginárnı́ část)
A′′ (x)
2
− [S ′ (x)] = −p2 ,
A(x)
′
′
2A (x)S (x) + A(x)S ′′ (x) = 0 .
~2
(2.0.8)
Řešenı́ druhé rovnice je
′
A2 (x)S ′ (x) = 0
=⇒
A(x) =
C
S ′ (x)
.
(2.0.9)
V prvnı́ rovnici zanedbáme člen úměrný ~2 (navı́c předpokládáme, že oscilace“ amlitudy
”
A(x) jsou mnohem menšı́ než amplituda sama), čı́mž dostaneme
Z x
2
′
2
′
|p(x′ )| dx′ , (2.0.10)
[S (x)] = p
=⇒ S (x) = ± |p(x)|
=⇒ S(x) = ±
x0
což je výraz pro klasickou akci.
Vlnová funkce tedy je
i
h
Rx
R
i
′
′
1
− ~i xx |p(x′ )|dx′
x0 |p(x )|dx
~
0
p
ψ(x) =
+D e
,
Ce
|p(x)|
(2.0.11)
kde x0 je nějaký bod, od kterého integrujeme, a C, D jsou normalizačnı́ konstanty.
Pokud jsme v kinematicky nedostupné oblasti, kde E < V (x), vlnová funkce znı́
i
h 1 Rx ′ ′
R
1
|p(x )|dx
− ~1 xx |p(x′ )|dx′
x
~
0
0
+F e
,
(2.0.12)
ψ(x) = p
Ee
|p(x)|
Sešı́vánı́ vlnové funkce v bodech obratu
V bodech obratu p(x0 ) = 0, které oddělujı́ kinematicky dostupnou oblast, vlnová
funkce WKB aproximace diverguje. Navázánı́ lze provést bud’ přes komplexnı́ rozšı́řenı́
souřadnice [1], nebo přes aproximaci potenciálu v okolı́ bodu obratu pomocı́ lineárnı́
funkce a nalezenı́ přesného řešenı́ Schrödingerovy rovnice dané Airyho funkcemi [9].
4
Gregor Wentzel, Hendrik Kramers, Léon Brillouin
7
(a)
(b)
V(x)
II2
I2
I1
II1
V(x)
E
E
x1
x2
x
x
Obrázek 2: Body obratu pro navazovánı́ WKB vlnových funkcı́.
• Pokud máme bod obratu x1 v mı́stě, kde potenciál klesá, V ′ (x1 ) < 0, viz
obrázek 2(a), vlnová funkce je
nebo
R
1 x1
C1
′
′
ψII1 (x) = p
e− ~ x |p(x )|dx ,
|p(x)|
Z x
π
1
2C1
′
′
p(x )dx +
sin
ψI1 (x) = p
~ x1
4
|p(x)|
R
1 x1
C1
′
′
ψII1 (x) = p
e ~ x |p(x )|dx ,
|p(x)|
Z x
C1
π
1
′
′
ψI1 (x) = p
p(x )dx +
cos
~ x1
4
|p(x)|
(2.0.13)
(2.0.14)
kde oblast II1 odpovı́dá x < x1 a oblast I1 odpovı́dá x > x1 . Integračnı́ meze v
integrálech jsou zvoleny tak, aby vždy spodnı́ mez byla menšı́ než hornı́ mez.
• Pro bod obratu x2 v mı́stě rostoucı́ho potenciálu, V ′ (x2 ) > 0, viz obrázek 2(b), je
Z x2
2C2
π
1
′
′
,
ψI2 (x) = p
p(x )dx +
sin
~ x
4
|p(x)|
R
C2
− 1 x |p(x′ )|dx′
,
(2.0.15)
ψII2 (x) = p
e ~ x2
|p(x)|
nebo
Z x2
π
1
′
′
ψI2 (x) = p
,
p(x )dx +
cos
~ x
4
|p(x)|
R
1 x
C2
|p(x′ )|dx′
,
ψII2 (x) = p
e ~ x2
|p(x)|
C2
kde oblast I2 odpovı́dá x < x2 a oblast II2 odpovı́dá x > x2 .
8
(2.0.16)
Bohrovo-Sommerfeldovo kvantovánı́
Pokud máme na dané energii jen dva body obratu, pak musı́ platit ψI1 (x) = ψI2 (x), což
je splněno, pokud
• C1 = C2 a zároveň
Z x2
Z x
π
π
1
1
′
′
′
′
= sin
,
p(x )dx +
p(x )dx +
sin
~ x1
4
~ x
4
(2.0.17)
neboli
Z
Z
1 x
1 x2
π
π
′
′
p(x )dx + + nπ =
p(x′ )dx′ + ,
~ x1
4
~ x
4
nebo vhodněji pokud
• C1 = −C2 a zároveň
Z x
Z x2
1
1
π
π
′
′
′
′
sin
= − sin
,
p(x )dx +
p(x )dx +
~ x1
4
~ x
4
neboli
1
~
Z
x
1
π
p(x )dx + + nπ = −
4
~
′
x1
′
Z
x2
x
p(x′ )dx′ −
π
.
4
Z poslednı́ rovnosti plyne Bohrova-Sommerfeldova kvantovacı́ podmı́nka
I
Z x2
1
′
′
′
′
,
p(x )dx = 2π~ n +
p(x )dx = 2
2
x1
(2.0.18)
(2.0.19)
(2.0.20)
(2.0.21)
kde n ∈ N0 . Tento výraz platı́ jen pro měkké“ body obratu. Za každý tvrdý“ bod
”
”
obratu (obrat o nekonečně vysokou bariéru) je nutné do závorky přidat ještě 14 .
Značenı́
Pro usnadněnı́ značenı́ zavedeme zjednodušenou notaci, kterou budeme v následujı́cı́ch
přı́kladech využı́vat:
λ≡ p
C
|p(x)|
Z b
1
Iab ≡
|p(x′ )| dx′ .
~ a
(2.0.22)
Navazovacı́ podmı́nky (2.0.13) se pak dajı́ zapsat jako
x1
ψII1 (x) = λ1 e−Ix
2.1
h
πi
.
ψI1 (x) = 2λ2 sin Ixx1 +
4
(2.0.23)
Nekonečně hluboká pravoúhlá jáma se schodem
Částice o hmotnosti M se pohybuje v potenciálu

∞ x<0



V0 0 < x < a2
V (x) =
0 a2 < x < a



∞ x>a
viz obrázek 3. Nalezněte WKB vlnovou funkci a spektrum pro E > V0 .
9
(2.1.1)
E
I
II V(x)
ψ14(x)
V0
0
a/2
a x
Obrázek 3: Nekonečně hluboká pravoúhlá jáma se schodem. Potenciál červeně. Modře
zobrazena 14. vlnová funkce pro hodnoty parametrů a = V0 = 2, M = 1, ~ = 0.1.
Přı́slušná energie je E14 = 3, 52.
Řešenı́:
Kinematicky dostupné oblasti označı́me
a
I: 0 < x < ,
2
a
< x < a.
II:
2
Klasická hybnost v těchto oblastech pak je
p
pI = 2M (E − V0 ) ,
√
pII = 2M E
(2.1.2)
(hybnost je v uvedených intervalech konstantnı́, nezávisı́ na souřadnici). Zintegrovánı́m
v mezı́ch (0, x) dostaneme akci
Z x
SI (x) =
pI dx′ = xpI ,
0
Z a
Z x
2
a
a
′
pII dx′ = pI + x −
SII (x) =
pII .
(2.1.3)
pI dx +
a
2
2
0
2
Vlnová funkce tedy je
SI (x)
1
SI (x)
C sin
ψI (x) = p
,
+ D cos
~
~
|pI |
SII (x)
SII (x)
1
C sin
+ D cos
ψII (x) = p
~
~
|pII |
(2.1.4)
(od komplexnı́ch exponenciál jsme přešli k funkcı́m sin, cos). Dı́ky tomu, že jsme obě akce
vyjádřili od stejného počátečnı́ho bodu x0 = 0, jsou konstanty C, D v obou rovnicı́ch
stejné.
10
V dalšı́m kroku aplikujeme okrajové podmı́nky:
ψI (0) = 0
=⇒
ψII (a) = 0
=⇒
D = 0,
SII (x)
= 0.
sin
~
(2.1.5)
Z druhé rovnice vyplývá postupně
SII (x) = πn
i
h
p
√
a
2M (E − V0 ) + 2M E = πn
2~
V0 p
π 2 ~ 2 n2
E−
+ E(E − V0 ) = 2
2
2
{za }
|2M
(0)
En
V0 p
= E(E − V0 )
2
V0
V02
En ≡ E = En(0) +
,
+
(0)
2
16En
En(0) − E +
(2.1.6)
(0)
kde jsme označili En n-tou hladinu pravoúhlé jámy, n ∈ N. Pro energie dostatečně
vysoko nad V0 vymizı́ poslednı́ člen, což znamená, že částice cı́tı́ schod o polovičnı́ výčce
rozprostřený po celém dnu jámy.
Explicitně vyjádřená vlnová funkce je
)
(p
2M (En − V0 )
c
ψI,n (x) = p
x ,
sin
4
~
2M (En − V0 )
(p
√
)
2M (En − V0 ) a
2M En
1
c
,
(2.1.7)
x−
sin
ψII,n (x) = √
+
4
~
2
~
2
2M En
kde energie jsou dány vzorcem (2.1.6).
WKB vlnová funkce nenı́ spojitá v bodě x = a2 , což je patrné z přı́kladu na obrázku 3.
2.2
Harmonický oscilátor
1. Použitı́m WKB metody odvod’te spektrum a vlnové funkce jednorozměrného harmonického oscilátoru popsaného (již známým) Hamiltoniánem
Ĥ =
1 2 1
p̂ + M Ω2 x̂2
2M
2
(M je hmotnost částice, která se v potenciálu pohybuje, Ω úhlová frekvence kmitů).
2. Nakreslete graf vlnové funkce pro dvacátou energetickou hladinu (n = 20) a porovnejte s přesnou vlnovou funkcı́, která je řešenı́m Schrödingerovy rovnice a která
je určena Hermitovými polynomy
r
r
MΩ
1
2
4 MΩ
√
φn (x) =
x.
(2.2.1)
Hn (ξ) e−ξ , ξ =
n
π~ n!2
~
3. Na základě tohoto srovnánı́ diskutujte přesnost WKB metody.
11
V(x)
I
II
E
III
-a
x
a
Obrázek 4: Potenciál harmonického oscilátoru s vyznačenými oblastmi pro WKB řešenı́.
Řešenı́:
Potenciál harmonického oscilátoru je znázorněn na obrázku 4. Body obratu jsou ±a,
kde
r
2E
a=
.
(2.2.2)
M Ω2
Vlnová funkce v oblasti I (III) musı́ být WKB vlna, která ubývá pro x → −∞ (x → ∞),
takže
ψI (x) = p
C
1
|p(x)|
′ −Iax
ψIII (x) = λ e
e− ~
R −a
x
|p(x′ )|dx′
−a
≡ λ e−Ix ,
,
(2.2.3)
kde jsme použili značenı́ (2.0.22). Klasická hybnost je
s
1
p(x) = 2M E − M Ω2 x2 .
2
Pomocı́ sešı́vacı́ch vztahů (2.0.13) navážeme vlnu v oblasti II:
h
h
πi
πi
x
′
a
ψII (x) = 2λ sin I−a +
= 2λ sin Ix +
.
4
4
(2.2.4)
(2.2.5)
Dostáváme tedy, že λ = −λ′ a
a
I−a
1
=π n+
2
,
což jsou Bohrovy-Sommerfeldovy kvantovacı́ podmı́nky.
12
(2.2.6)
Zbývá spočı́tat integrál
Ixx12
1
=
~
√
=
s
1
1
2
2
p(x)dx =
2M E − M Ω x
~ x1
2
x1
Z x2 v
u
2
x
2M E
u1 − M Ω x2 dx = y = a u
dx = ady ~
x1 t
{z }
| 2E
Z
Z
x2
x2
1
a2
2E
=
~Ω
Z
x2
a
x1
a
p
1 − y 2 dy ,
(2.2.7)
přičemž primitivnı́ funkce k poslednı́mu integrálu je
Z p
Z p
y = sin z 2
=
1 − y dy = 1 − sin2 z cos z dz
dy = cos zdz Z
Z
1 + cos 2z
1
1
2
= cos dz =
z + sin 2z
dz =
2
2
2
p
1
1
arcsin y + y 1 − y 2 ,
= (z + sin z cos z) =
2
2
takže
(2.2.8)
x
Ixx12
i a2
p
E h
=
arcsin y + y 1 − y 2 x1 .
~Ω
a
(2.2.9)
Právě vypočtený integrál dosadı́me do kvantovacı́ch podmı́nek (2.2.6), čı́mž zı́skáme
E
1
1
a
I−a =
=⇒
En = ~Ω n +
,
(2.2.10)
π =π n+
~Ω
2
2
což je přesné spektrum harmonického oscilátoru.
Dopočı́táme ještě vlnové funkce. Vlnová funkce v oblasti II je
i aa =1 π p
E h
2
ψII (x) = 2λ sin
arcsin y + y 1 − y x +
~Ω
4
a




r
2

 E π
 − arcsin x − x 1 − x  + π 
= 2λ sin 
 ~Ω  2
a} a
a2  4 
|
{z
arccos
"
2C
E
=p
sin
~Ω
p(x)
x
a
x x
arccos −
a a
r
x2
1− 2
a
!
π
+
4
#
(2.2.11)
V klasicky zakázaných oblastech I a III je integrál
Ixx12
Z
x2
a
x
i a2
p
E h
− 1 dy =
− arccosh y + y y 2 − 1 x1
x1
~Ω
a
a
x2
i
h
p
p
E
a
=
− ln y + y 2 − 1 + y y 2 − 1 x1 ,
~Ω
a
2E
=
~Ω
p
y2
13
(2.2.12)
takže

ψI (x) = (−1)n λ e
n


E 
− ~Ω
− ln

|
C
= (−1) p
e
|p(x)|
a
ψIII (x) = λ e
ix
h
√
a
E
− ~Ω
− arccosh y+x y 2 −1
1
E
~Ω
y+

p
√

y 2 − 1 +y y2 −1

{z
}
ln(−z)=ln |z|+iπ
−1
x
a
q
q
2
x2
+ x2 −1 + x
ln − x
2 −1
a
a
a
C
=p
e
|p(x)|
a
E
− arccosh
− ~Ω
x
+x
a
a
(2.2.13)
q
x2
−1
a2
(2.2.14)
Konstanta C se určı́
√ z normalizace, přičemž pro n velké a ~ = Ω = M = 1 konverguje k
hodnotě C → 1/ 2π.
E
ψ15(x)
V(x)
15
ψ10(x)
10
ψ5(x)
5
ψ0(x)
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Obrázek 5: Vlnové funkce harmonického oscilátoru s Ω = M = ~ = 1 pro energie
, E10 = 21
, E15 = 31
. Přesné vlnové funkce dané Hermitovými polynomy
E0 = 12 , E5 = 11
2
2
2
jsou zobrazeny černými plnými čarami, odpovı́dajı́cı́ WKB aproximace jsou zobrazeny
modrými plnými čarami (WKB vlnové funkce divergujı́ v klasických bodech obratu,
√ tj.
v bodech, kde En = V (x)). WKB vlnové funkce jsou normalizované faktorem 1/ 2π.
Několik vlnových funkcı́ je znázorněno na obrázku 5. Je vidět, že kromě bodu obratu
WKB vlnová funkce velmi přesně aproximuje přesnou vlnovou funkci harmonickému
oscilátoru.
14
2.3
α rozpad
α rozpad, napřı́klad rozpad radia na radon5
224
88 Ra
T1/2 =3.6 dnı́
−→
220
86 Rn
+ 42 He
(2.3.1)
lze modelovat velmi jednoduchým modelem, který i přes svoji jednoduchost dává kvalitativnı́ souhlas s experimentem. Budeme si představovat, že α částice vázaná v jádře
tuneluje Coulombickou bariérou. Celý problém popı́šeme jednorozměrným potenciálem
(viz obrázek 6)
(
−V0 pro |x| < a
V (x) = Zα Zγ
pro |x| > a,
x
přičemž Z je protonové čı́slo jádra, Zα = 2 protonové čı́slo α částice, V0 je kladný
e2
parametr, γ = α~c = 4πǫ
a α je konstanta jemné struktury.
0
E
I
II
III
Eα
V(x)
-V0
0
a
x
b
Obrázek 6: Tunelovánı́ α částice o energii Eα z jádra přes Coulombickou bariéru.
1. Ve WKB přiblı́ženı́ odvod’te tzv. Gammovův koeficient průniku
2
T = exp −
~
Z
b
a
|p(x)| dx ,
(2.3.2)
kde |p(x)| je absolutnı́ hodnota hybnosti“ částice v klasicky nedostupné oblasti
”
vymezené body a, b, které ohraničujı́ bariéru.
2. Nalezněte T pro uvažovaný model α rozpadu.
3. Střednı́ dobu života lze aproximovat vztahem τ = Pα1RT , kde Pα je
pravděpodobnost, že se v jádře vydělı́ α částice (budeme předpokládat, že tato
5
Použitá notace je A
Z X, kde A = N + Z je celkový počet nukeonů izotopu X, N je počet neutronů a
Z počet protonů = náboj jádra.
15
pravděpodobnost bude pro uvažovaná jádra ≈ 1) a R je počet nárazů“ α částice
”
na bariéru za sekundu. Odhadněte R a spočı́tejte τ a poločas rozpadu T1/2 .
√
Pro poloměr atomu použijte přibližný vztah a = a0 3 A, A je atomové čı́slo a
.
a0 = 1.2 fm.
4. Porovnejte čı́selně s hodnotami třı́ izotopů
izotop
144
60 Nd
224
88 Ra
212
84 Po
E (MeV)
1.8
5.7
8.8
T1/2
2 · 1015 let
3.6 dne
0.3 µs
5. Určete de Broglieovy vlnové délky α částic v jádrech z tabulky a porovnejte je s
rozměry jádra. Je WKB aproximace oprávněná?
Řešenı́:
1. Tunelovánı́ rozdělı́me na tři oblasti:
• Oblast I: x < a, E > V (x), vnitřek jádra.
• Oblast II: a < x < b, E < V (x), oblast v bariéře.
• Oblast III: b < x, E > V (x), oblast vně jádra.
V oblasti III vně jádra budeme uvažovat jen prošlou vlnu,
ψIII (x) = p
C
i
e~
Rx
b
|p(x′ )|dx′ +i π4
= λ ei(Ib + 4 )
x
π
|p(x)|
h
h
πi
πi
+ iλ sin Ibx +
,
= λ cos Ibx +
4
4
(2.3.3)
přičemž v zápise využı́váme značenı́ (2.0.22) a rovnou jsme přidali fázi π/4, kterou
budeme potřebovat v dalšı́m kroku při navazovánı́. Vlnovou funkci navážeme do
oblasti II pomocı́ vztahů (2.0.13)—(2.0.14),
i
b
b
ψII (x) = λ eIx + λ e−Ix .
2
Nynı́ rozepı́šeme integrál
Z b Z b Z x
−
=
x
a
⇐⇒
a
a označı́me
b
1
E ≡ e−Ia = e− ~
takže
ψII (x) =
Rb
a |p(x)|dx
Ixb = Iab − Iax
(2.3.5)
,
(2.3.6)
λ −Iax i
x
e
+ λE eIa .
E
2
16
(2.3.4)
(2.3.7)
Aplikacı́ sešı́vacı́ch podmı́nek (2.0.15)—(2.0.16) navážeme na vlnovou funkci v
oblasti I:
h
h
πi i
πi
2λ
x
x
sin I +
+ λE cos Ia +
ψI (x) =
E a
4
2
4 1
1
1
1
E iπ
E −i π
a
a
iIx
4
e + iC
= −C
e p
e 4 p
−
+
e−iIx .
E
4
E
4
|
|
{z
} |p(x)|
{z
} |p(x)|
A
B
(2.3.8)
Transmisnı́ koeficient je
2
C T = =
A
1
1
E
−
E 2
4
≈ E2 ,
(2.3.9)
přičemž poslednı́ rovnost platı́ za předpokladu E ≪ 1, což musı́ být splněno, aby
bylo vůbec možné pro tento typ úlohy WKB aproximaci použı́t. Dosazenı́m za E
dostaneme hledaný Gammovův faktor (2.3.2).
2. Využijeme právě odvozený vztah pro pravděpodobnost průniku bariérou (2.3.2).
Klasická hybnost α částice o energii Eα v oblasti Coulombické části potenciálu je
s
Zα Zγ
,
(2.3.10)
p(x) = 2M Eα −
x
a druhý bod obratu zı́skáme z rovnice
V (x) = Eα
takže
Iab
1
=
~
Z
b
a
=⇒
b=
Zα Zγ
,
Eα
(2.3.11)
√
Z r
u= x 2M Eα b Zα Zγ
b − 1 dx = |p(x)| dx =
dx = b du
~
Eα x
a
r
r
Z
u = y2 Zα Zγ 2M x=b 1
=
− 1 du = du = 2ydy ~
Eα x=a
u
|
{z
}
κ
Z x=b p
= 2κ
1 − y 2 dy ,
(2.3.12)
x=a
což je integrál, který jsme počı́tali u harmonického oscilátoru (2.2.8). Dosadı́me li,
dostaneme
h p
iy=b
b
2
Ia = κ y 1 − y + arcsin y
x=a
√ √
√ 1
= κ u 1 − u + arcsin u u= a =
b
r r
a
a
a
= κ arccos
−
(2.3.13)
1−
b
b
b
a pravděpodobnost průniku je
(
r
r r
)
a
a
2Zα Zγ 2M
a
arccos
−
1−
T = exp
~
Eα
b
b
b
17
(2.3.14)
kde b je dáno vzorcem (2.3.11) a a je poloměr jádra spočtený pomocı́ vztahu
uvedeného v zadánı́.
3. Počet nárazů“ α částice na bariéru odhadneme jako
”
vα
,
R=
2a
(2.3.15)
kde vα je rychlost α částice v jádře. Tu určı́me z kinetické energie (počı́táme
klasicky—rychlost vylétávajı́cı́ch α částic je malá ve srovnánı́ s rychlostı́ světla,
viz tabulka nı́že)
Eα = vα2 /2M ,
(2.3.16)
přičemž energie je dána jako rozdı́l klidové hmotnosti MAZ X jádra vstupujı́cı́ho do
reakce a klidové hmotnosti produktů (jádro MA−4 Y + jádro helia M42 He )
Z−2
Rychlost je tedy
1 Eα = 2 MAZ X − MA−4 Y − M42 He .
Z−2
c
r
2 (Eα + V0 )
.
M
s
2a
M
τ=
T 2 (Eα + V0 )
vα =
takže
(2.3.17)
(2.3.18)
(2.3.19)
a poločas rozpadu je T1/2 = τ ln 2.
4. Výsledky pro zadané izotopy jsou v následujı́cı́ tabulce:
izotop
144
60 Nd
224
88 Ra
212
84 Po
Eα
(MeV)
1.8
5.7
8.8
a
(fm)
6.3
7.3
7.2
b
(fm)
96
45
28
vα
c
Iab
T
0.17
0.17
0.18
120
73
43
7.2 · 10−53
2.3 · 10−32
3.1 · 10−19
T1/2
(s)
2.4 · 1030
8.5 · 109
5.9 · 10−4
T1/2
7.6 · 1022 let
98000 dnı́
590 µs
Tento velmi zjednodušený výpočet tedy dává o několik řádů delšı́ poločasy rozpadu, než jsou naměřené hodnoty ze zadánı́ přı́kladu. Mnohem lepšı́ shody se
dosáhne, pokud se uvažuje a0 = 1.6 fm, což v sobě může zahrnout difuzivitu
jaderného povrchu.
5. De Broglieovy vlnové délky α částic jsou
λα =
pα
M vα
=
.
~
~
Čı́selně
izotop
144
60 Nd
224
88 Ra
212
84 Po
λα (fm)
0.32
0.31
0.30
tedy asi 40 krát menšı́ než je rozměr jádra.
18
(2.3.20)
Poznámka:
Pro a ≪ b lze aproximovat
r
r
r
r
r
a
a a2
a
a
a
π
π
−
− 2 ≈ −
−
= −2
.
arccos
b
b
b
2
b
b
2
b
(2.3.21)
Pak
2a
+ 2Iab
vα
√
r
r
1
1
2Zα Zγ 2M π
2a0 3 A
a0 p
−
−2
+
Eα A 6 Z 2
= ln p
~
Eα 2
Zα γ
2 (Eα + V0 ) M
ln τ = ln
(2.3.22)
a pro těžká jádra, pro která platı́ A ≈ 2Z, dostaneme
√
√
2
2Zα γa0 M √
1
2a0
2Zα γ 2M π Z
1
6
√ −4
+
2Z 3
ln τ = ln Z + ln 2 + ln q
3
3
~
2 E
~
2(Eα −V0 )
M
(2.3.23)
To je v souladu s experimentálně pozorovanou závislostı́
2
Z
3
− C2 .
−Z
(ln τ )exp = C1 √
Eα
2.4
(2.3.24)
Dvojitá symetrická jáma
E
I
III
II
-b
V(x)
-a
0
IV V
a
b x
Obrázek 7: Potenciál dvojité symetrické jámy.
Částice o hmotnosti M se pohybuje v sudém dvoujámovém potenciálu V (x) =
V (−x), viz obrázek 7. Kdyby byly obě jámy oddělené nekonečně vysokou bariérou,
všechny energetické hladiny by byly dvakrát degenerované a odpovı́dajı́cı́ vlnové funkce
by byly sudé a liché. Důsledkem nenulové pravděpodobnosti tunelovánı́ přes bariéru,
která je v obrázku označena jako oblast III, však dojde k rozštěpenı́ těchto degenerovaných hladin.
19
1. Určete vzdálenost ∆E mezi hladinami v dubletu pro obecný symetrický
dvoujámový potenciál.
2. Určete tuto vzdálenost pro potenciál ve tvaru
2
g2 a
x − x20 ,
(2.4.1)
8
kde x0 určuje x-ové souřadnice minim, g je konstanta. Předpokládejte, že energie
je dostatečně hluboko v jamách, kde lze potenciál V (x) aproximovat potenciálem
harmonického oscilátoru.
V (x) =
3. Srovnejte čı́selně s výsledkem úkolu ze 3. cvičenı́ zimnı́ho semestru.
Řešenı́:
1. Systém rozdělı́me na pět oblastı́ podle obrázku 7. Ve výpočtech budeme použı́vat
notaci (2.0.22) a navazovacı́ podmı́nky (2.0.13)—(2.0.16).
• V oblasti I musı́ vlnová funkce exponenciálně ubývat pro x → −∞, takže
musı́ mı́t tvar
R
−b
1 −b
C
′
′
ψI (x) = p
e− ~ x |p(x )|dx = λ e−Ix .
(2.4.2)
|p(x)|
• Do oblasti II vlnovou funkci navážeme pomocı́ vztahů (2.0.13)—(2.0.14):
h
πi
x
(2.4.3)
ψII (x) = 2λ sin I−b +
4
Vlnovou funkci budeme nynı́ upravovat do takové formy, abychom mohli pro
navázánı́ do oblasti III použı́t vztahů (2.0.15)—(2.0.16):
h
πi
−a
−a
ψII (x) = 2λ sin I−b − Ix +
4}
{z
|
sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b


Z −a
π
−a
−a
= 2λ sin I−b
+ cos I−b
(2.4.4)
+
cos −Ix−a +
sin −
| {z }
4
4 
| {z }
x


S
πi
h
C
Ještě nám vadı́ znaménko − před integrály v argumentech sinu a cosinu. Platı́
h
h
h
π i cos sudá
π πi
πi
cos −I +
=
cos I + −
= cos I −
4
4
2}
{z4
|
cos (a+b)=cos a cos b−sin a sin b
h
a analogicky
πi
π
π
h
πi
= cos I +
cos −
sin −
− sin I +
4 | {z 2 }
4 | {z 2 }
0
−1
h
πi
,
(2.4.5)
= sin I +
4
h
h
πi
πi
sin −I +
= cos I +
.
4
4
Vlnovou funkci v oblasti II lze tedy vyjádřit ve tvaru
h
n
h
π io
πi
+ C cos Ix−a +
.
ψII (x) = 2λ S sin Ix−a +
4
4
20
(2.4.6)
(2.4.7)
• Do oblasti III vlnovou funkci navážeme pomocı́ vztahů (2.0.15)—(2.0.16) a
ihned ji upravı́me pro navázánı́ do následujı́cı́ oblasti:
x
x
ψIII (x) = λS e−I−a +2λC eI−a
a
a
a
a
I−a −Ix
−a Ix
= λS e|−I
{z } e +2λC e e
E
a
= λSE eIx +
2λC −Ixa
e
E
(2.4.8)
• Pokračujeme do oblasti IV pomocı́ vztahů (2.0.13)—(2.0.14):
h
h
πi
π i 4λC
x
x
sin Ia +
ψIV (x) = λSE cos Ia +
+
4
E
4
h
h
i 4λC
πi
π
sin Iab − Ixb +
= λSE cos Iab − Ixb +
+
4
Eh
4
n
h
πi
π io
b
b
= λSE C sin Ix +
− S cos Ix +
4
4
h
i
h
4λC n
π
π io
+
S sin Ixb +
+ C cos Ixb +
(2.4.9)
E
4
4
h
h
4
πi
πi
4C 2
b
2
sin Ix +
cos Ixb +
= λSC E +
+ λ −S E +
.
E
4
E
4
Využili jsme sudosti potenciálu, z nı́ž plyne
V (x) = V (−x)
=⇒
p(x) = p(−x)
=⇒
−a
I−b
= Iab .
• Poslednı́ navazovánı́ provedeme pomocı́ vztahů (2.0.15)—(2.0.16):
4
4C 2 Ibx
λSC
−Ibx
2
E+
e
+ λ −S E +
e
ψV (x) =
2
E
E
|
{z
}
(2.4.10)
(2.4.11)
Z
Abychom dostali normovatelnou funkci, která nediverguje pro x → ∞, musı́ být
Z = 0, tj.
4C 2
2
λ −S E +
=0
E
4C 2
S2 = 2
E
C
1
=± E
(2.4.12)
S
2
a po dosazenı́ za S, C a E dostáváme rovnici
Z
1 b
1 1 Ra
cotg
p(x)dx = ± e− ~ −a |p(x)|dx .
~ a
2
(2.4.13)
Následovat bude několik aproximacı́. Předně předpokládáme, že prostupnost
bariéry III je malá, takže E ≈ 0 a můžeme psát
1
,
(2.4.14)
E ≈ cotg E + π n +
2
21
kde n ∈ N0 . To vede k rovnici (kvantovacı́ podmı́nce)
Z
1 1 Ra
1
1 b
± e− ~ −a |p(x)|dx
p(x)dx = π n +
~ a
2
2
(2.4.15)
(0)
Kdyby nebylo tunelovánı́ mezi dvěma jamami, spektrum En by na základě BohrSommerfeldova kvantovánı́ (2.0.21) bylo dáno rovnicı́
Z br
h
i
1
(0)
2M En − V (x) dx = π~ n +
(2.4.16)
2
a
Ve skutečnosti však docházı́ k tunelovánı́ a spektrum je dáno rovnicı́ (2.4.15).
Označı́me
En = En(0) + ǫ
(2.4.17)
(0)
a rozvineme levou stranu rovnice (2.4.15) okolo En :
Z
Z
Z
1 b
ǫ b ∂p
1 bp
(0)
(x; En(0) )dx + · · ·
p(x; En )dx +
2M [En − V (x)] dx =
{z
}
~ a |
~ a
~ a ∂E
p(x;En )
1
≈π n+
2
ǫ
+ 2M
~
Z
|
a
dx
r
Rb
(0)
h
(0)
En
2M
{z
dx
1
a v(x) = 2
kde T je perioda klasické trajektorie na energii En
2π/T ). Dosadı́me-li nynı́ do (2.4.15), dostaneme
ǫ=±
b
H
− V (x)
dx
= T2
v(x)
i,
}
(2.4.18)
(úhlová frekvence je Ω =
~Ω
E
2π
(2.4.19)
a rozštěpenı́ hladin je
∆En =
a
~Ω − 1 R−a
e ~ |p(x)|dx .
π
(2.4.20)
2. Využijeme předpoklad, že částice se nacházı́ na energii dostatečně blı́zko dnu jámy
a potenciál (2.4.1) rozvineme okolo x0 :
V (x) =
g2
g2
(x + x0 )2 (x − x0 )2 =
(y + 2x0 )2 y 2
| {z }
8
8
y
1
1
≈ g 2 x20 y 2 = M Ω2 y 2 ,
2
2
(2.4.21)
takže pohyb hluboko v jámě lze aproximovat periodickým pohybem harmonického
oscilátoru s frekvencı́
gx0
(2.4.22)
Ω= √
M
a spektrem
1
(2.4.23)
En = ~Ω n +
2
22
Body obratu (řešenı́ rovnice V (x) = En ) pak jsou
s
~
1
a
n+
= x0 ∓
b
MΩ
2
a speciálně pro základnı́ stav n = 0
r
~
a = x0 −
MΩ
(2.4.24)
b = x0 +
r
~
.
MΩ
(2.4.25)
Spočtěme integrál
a
~I−a
=
=
Z
a
0
s
g2 2
1
2
2M
=2
(x − x2 ) − ~Ω dx
8 0
2
0
s
√
4~Ω
g
M x20 − x2
1−
2 dx
|{z}
g 2 (x20 − x2 )
√
2~I0a
Z
Ω
x0
a
M
Z a
~x0
M Ω (x20 − x2 )
dx
dx − 2
≈
2
2
x0
0 x0 − x
0
Z a
M Ωx2
~
~
2
=
M Ωx0 −
dx
−
−
x0
x0 − x x0 + x
0
a
M Ωx3
2
+ ~ ln (x0 − x) − ~ ln (x0 + x)
= M Ωx0 x −
3x0
0
!
!3
r
r
r
~
~
~
MΩ
−
x0 −
= M Ωx0 x0 −
+ ~ ln
MΩ
3x0
MΩ
Ω}
| {zM√
{z
}
|
√ ~ 3 ~ ~ ln x0 +~ ln x10 M~Ω
M Ωx2
3
0
Z
a
≈
r
~ ln x0 +~ ln 2− x
≈
1− x
0
MΩ
+
MΩ
x2
0
~
MΩ
{z
}
√ ~ 1
− ~ ln 2x0 −
|
3
!
MΩ
0
2M Ωx20
− ~ + ~ ln
3
s
2
~
+
O
~3 ,
4M Ωx20
(2.4.26)
kde jsme předpokládali, že Planckova konstanta ~ je malý parametr.
Nynı́ dosadı́me do (2.4.20) a dostaneme
s
r
√
Ω~ 4M Ωx20 − 2M Ωx20 +1
Ω~ −I−a
2 ~g 3 x50 − 2 M gx30 +1
a
3~
√
e
e
≈
e 3~
∆E0 =
=
. (2.4.27)
π
π
~
π
M
Sbı́rka [12] uvádı́ výsledek odlišně
∆E0′
=2
r
~g 3 x50 − 2
e
M
√
M gx3
0
3~
,
(2.4.28)
a
a to i přesto, že integrál I−a
v nı́ vycházı́ stejně jako zde. Tento výraz ∆E0′ nicméně
lépe souhlası́ s přesnějšı́mi metodami, viz např. následujı́cı́ bod.
23
3. Potenciál, se kterým srovnáváme, je
1
1
1
V (x) = − x2 + x4 =
2
2
2
1
x −
2
2
2
−
1
,
2
(2.4.29)
takže se jedná o potenciál (2.4.1) s
g = 2,
a spektrum je posunuté o
1
8
x0 =
r
1
8
(2.4.30)
dolů.
Pro dostatečně malé hodnoty ~ (v úloze se mělo počı́tat s ~ = 0.03) dostaneme
pro základnı́ stav
√
gx0
Ω = √ = 2 ≈ 1.4142
M
1
1
E0 = ~Ω − ≈ −0.1038
2
8
∆E0′ = 6.2 · 10−8
(2.4.31)
Naproti tomu na základě numerické diagonalizace jsme dostali
∆E = 6.5 · 10−8 .
E0 = −0.1043
(2.4.32)
Pro menšı́ hodnoty ~ bychom dostali lepšı́ shodu.
2.5
Domácı́ úkol
(Coulombické pole) WKB metodu lze aplikovat také na problémy se sféricky symetrickým polem. Schrödingerova rovnice pro radiálnı́ část vlnové funkce R(r) obecného
sféricky symetrického problému má tvar
2m
1 d 2d
r
R(r)
+
(E − Vef (r)) R(r) = 0,
r2 dr dr
~2
kde
~2 l(l + 1)
2mr2
je efektivnı́ potenciál, zahrnujı́cı́ v sobě centrifugálnı́ člen.
Zavedenı́m substituce R(r) = u(r)/r dostaneme rovnici
Vef (r) ≡ V (r) +
d2
u(r) + k 2 (r)u(r) = 0,
dr2
kde k 2 (r) = 2m/~2 (E − Vef ).
WKB metoda pro sféricky symetrické potenciály dává dobré výsledky jedině v
přı́padě, aplikujeme-li tzv. Langerovu korekci, která spočı́vá v nahrazenı́
1
l(l + 1) → (l + )2
2
24
(dá se odvodit z asymptotiky vlnových funkcı́, původnı́ práci Rudolpha E. Langera lze
nalézt v Phys. Rev. 51, 669 (1937)). Vázané stavy lze pak nalézt z rovnice ekvivalentnı́
Bohr-Sommerfeldově kvantovacı́ podmı́nce
Z r2
1
k ′ (r)dr = (nr + )π,
2
r1
přičemž k ′ (r) zahrnuje Langerovu korekci, nr = 0, 1, . . . je radiálnı́ kvantové čı́slo, r1,2
jsou body obratu klasické trajektorie s hybnostı́ p′ (r) = ~k ′ (r).
Uvažujte konkrétnı́ přı́pad pohybu částice v Coulombickém poli
γ
V (r) = − .
r
2
kde γ = e /(4πǫ0 ).
1. Nalezněte body obratu r1,2 trajektorie s energiı́ E (počı́tejte s Langerovou korekcı́).
2. Pomocı́ WKB přiblı́ženı́ nalezněte spektrum, tj. stavy s energiı́ E < 0.
3. Porovnejte toto spektrum se spektrem zı́skaným přesným řešenı́m Schrödingerovy
rovnice.
4
Hustota kvantových hladin
Hustota kvantových hladin ρ(E) na energii E souvisı́ s objemem fázového prostoru
Z
Ω(E) = δ(E − H(x, p))dn xdn p
(4.0.1)
(H(x, p) je Hamiltonova funkce systému) vztahem
ρ(E) =
Ω(E)
Ω(E)
=
n
h
(2π~)n
(4.0.2)
V jednorozměrném přı́padě lze vztah přepsat na tvar, kde již neintegrujeme δ funkci.
Využijeme toho, že pro δ funkci platı́
X
1
δ(f (x)) =
δ(x − xj )
′
|f (xj )|
(4.0.3)
xj
f (xj ) = 0 (xj jsou všechny jednoduché kořeny).
Rozepı́šeme Hamiltonovy funkci pomocı́ potenciálu, který závisı́ jen na souřadnici
1 2
p + V (x).
H(x, p) =
2m
Pak
Z
1 2
Ω(E) = δ(E −
p − V (x))dxdp =
2m
m
1 2
δ(E − 2m
p
−
V
(x))
=
[δ(p
−
P
(x))
+
δ(p
+
P
(x))]
P
(x)
=
p
= P (x) = 2m(E − V (x))
Z
(4.0.4)
1
dx =
= 2m p
2m(E − V (x))
Z
√
1
= 2m p
dx,
E − V (x)
25
kde se integruje přes veškeráRdostupná x (napřı́klad v přı́padě systému se dvěma body
xmax
řešenı́m rovnice V (xmin,max ) = E).
obratu jsou integračnı́ meze xmin
4.1
Hustota hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru
Spočı́tejte hustotu hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru.
Řešenı́:
Klasická Hamiltonova funkce harmonického oscilátoru je
H(x, p) =
1 2 1 2
p + kx .
2m
2
Hustota kvantových hladin podle (4.0.1) je
Z
1 2 1 2
Ω(E) = δ(E −
p − kx )dxdp =
2m
2
q
√
1
p dp = 2mdπ π = 2m
=
q
q
= k
2
ξ = 2 x dx = k dξ r
Z
4m
=
δ(E − π 2 − ξ 2 )dξdπ
k
Polárnı́ souřadnice
= r2 = π 2 + ξ 2 =
dξdπ = rdrdϕ Z
Z ∞
2 2π
dϕ
δ(E − r2 ) rdr =
=
ω 0
0
√ √
1
2
√
= δ(E − r ) = 2 E δ(r − E) + δ(r + E) =
Z ∞
√ √
2π
= √
δ(r − E) + δ(r + E) rdr =
ω E 0
2π
=
.
ω
q
k
.
Využili jsme vlastnostı́ δ funkce (4.0.3) a zavedli ω = m
Hustota kvantových hladin tedy je konstantnı́, nezávisı́ na energii:
ρ(E) =
(4.1.1)
2π
1
=
hω
~ω
To je v souladu se skutečnostı́ a s dřı́ve zı́skaným výsledkem, že jednorozměrný harmonický oscilátor má ekvidistantnı́ spektrum.
Jiný způsob řešenı́:
Využijeme relace (4.0.4). Body obratu jsou
r
r
2E
2E
xmax =
,
xmin = −
k
k
26
takže
√
Z √ 2E
k
1
dx =
√ 2E q
1
2
−
E − 2 kx
k
q
q
k
k
= a = 2E x da = 2E dx
r
Z
1
4m 1
√
da =
=
k −1 1 − a2
2
= [arcsin a]1−1 =
ω
2π
.
=
ω
Ω(E) =
2m
To je ve shodě s řešenı́m (4.1.1).
Využijeme vlastnosti
δ(E − H(x, p)) =
∂
θ(E − H(x, p))
∂E
která po dosazenı́ do vztahu (4.0.1) dá
Z
∂
Ω(E) =
θ(E − H(x, p))dxdp =
∂E
Z
∂
(E − H(x, p)) dxdp
=
∂E H(x,p)<E
V našem přı́padě 1D harmonického oscilátoru dává integrál povrch elipsy S = πab s
poloosami
r
√
2E
b = 2mE,
a=
k
takže po dosazenı́
!
r
∂
4m
2π
Ω(E) =
E =
,
π
∂E
k
ω
což je opět ve shodě s (4.1.1).
Vyjdeme z Fourierovy transformace δ-funkce:
Z ∞
1
eiκx dκ
δ(x) =
2π −∞
27
Po dosazenı́ do vztahu (4.0.1) a pro náš jednorozměrný harmonický oscilátor dostáváme
ZZZ
1 2 1
2
1
eiκ(E− 2m p − 2 kx ) dκdxdp =
Ω(E) =
2π
Z
Z
Z
2
p2
1
−iκ 2m
−iκ kx
e
=
dp e 2m dx eiκE dk =
2π
! r
!
Z r
2πm
2π
1
=
eiκE dκ =
2π
iκ
iκk
Z iκE
e
1
dκ =
=
ω
iκ
2π
.
=
ω
4.2
Obrácený oscilátor v jámě
Uvažujte jednorozměrný potenciál daný předpisem
(
− 12 kx2 −a ≤ x ≤ a
V (x) =
∞
|x| > a
(obrácený harmonický oscilátor v nekonečně hluboké
obrázek 4.2(a)). Spočı́tejte hustotu kvantových hladin.
(4.2.1)
pravoúhlé
jámě,
viz
Řešenı́:
K řešenı́ vyjdeme ze vztahu (4.0.4).
1. E < 0
V tomto přı́padě dostáváme (potenciál je sudý, počı́táme jen v oblasti x > 0 a
výsledek zdvojnásobı́me):
Z a
√
1
q
Ω(E) = 2 2m q
dx =
2|E|
− |E| + 12 kx2
k
s
Z
2m a
1
q
=2
dx =
q
2|E|
k
|E|
2
x −1
k
2|E|
q
q
k
= b = 2|E|
=
x dx = 2|E|
db
k
Z q k a
2|E|
4
1
√
=
db =
2−1
ω 1
b
= b = cosh z db = sinh zdz =
q
k
Z
sinh z
4 arccosh 2|E| a
p
dz =
=
ω 0
cosh2 z − 1
s
!
4
k
= arccosh
a ,
ω
2 |E|
28
kde − 21 ka2 ≤ E ≤ 0.
Hustota hladin je tedy
2
ρ(E) =
arccosh
π~ω
s
!
k
a .
2 |E|
2. E > 0
Podobným postupem jako v přı́padě záporné energie dostaneme
s
!
k
2
arcsinh
a .
ρ(E) =
π~ω
2 |E|
(a)
E
V(x)
ρ(E)
(b)
4
3
-a
0
2
a x
1
E0
0
E0= -0.5
E
0.0
0.5
Obrázek 8: (a) Schéma potenciálu (4.2.1). (b) Hustota kvantových hladin při volbě
a = ~ = m = k = 1.
Výsledná hustota hladin je znázorněna na obrázku 4.2(b). Je vidět, že pro E = 0
hustota diverguje. To souvisı́ s tı́m, že v klasickém přı́padě je bod obratu při této energii
v bodě x = 0 patologický, V ′′ (x = 0) = 0, a patologická je i jediná možná trajektorie
při této energii. Částice na této trajektorii dostihne bod x = 0 až v nekonečném čase.
4.3
Domácı́ úkol
1. Spočı́tejte hustotu hladin ρ0 (E) izotropnı́ho f -rozměrného harmonického oscilátoru.
2. Částice se pohybuje v potenciálu podle obrázku: jedná se o dvě f -rozměrné izotropnı́ kvadratické jámy, jejichž minima se nacházı́ na souřadnicı́ch
M 1 = (x = 0, E = 0) ,
M 2 = (x(0) , E (0) ) ,
E (0) > 0 .
Určete hustotu hladin ρ(E) v intervalu energiı́ E ∈ (0; E (1) ), přičemž
předpokládejte, že E (1) > E (0) a že obě jámy jsou pod energiı́ E (1) oddělené.
29
3. Funkce ρ(E) bude neanalytická v bodě E (0) . Určete, v kolikáté derivaci se poprvé
objevı́ nespojitost.
V(x)
E(1)
E(0)
M2
x(0)
i
M1 0
xi
Obrázek 9: Dvoujámový potenciál: řez podél jedné ze souřadných os xi , i ∈ {1, 2, . . . , f }.
5
Skládánı́ momentu hybnosti
(1)
(2)
h
(1)
Máme dva nezávislé operátory impulsmomentů L̂ , L̂ , L̂ , L̂
(1)
(2)
(2)
i
= 0, které působı́
na Hilbertových prostorech H , H . Operátor celkového impulsmomentu označı́me
L̂ = L̂
(1)
+ L̂
(2)
(jeho složky jsou L̂j , j = 1, 2, 3) a působı́ na Hilbertově prostoru H = H(1) ⊗ H(2) . Mezi
jednotlivými operátory platı́ komutačnı́ relace
i
h
L̂j , L̂k = iǫjkl L̂l ,
i
h
2
L̂j , L̂ = 0 ,
h 2 (1)2 i h 2 (2)2 i
= 0,
= L̂ , L̂
L̂ , L̂
i
i
h
h
(2)2
(1)2
= 0.
= L̂j , L̂
L̂j , L̂
Z toho vyplývá, že na prostoru H můžeme volit za ÚMP tyto množiny operátorů se
svými bázemi:
(2)2
(1)2
(1)
(2)
L̂ , L̂3 , L̂ , L̂3 −→ {|l1 m1 i ⊗ |l2 m2 i}
L̂
(1)2
, L̂
(2)2
2
, L̂ , L̂3
−→ {|l1 l2 l mi}
30
(dále budeme užı́vat zjednodušené značenı́ |l1 m1 i ⊗ |l2 m2 i ≡ |l1 m1 i |l2 m2 i). Platı́ tedy
L̂
L̂
(1)2
(2)2
2
|l1 l2 lmi = l1 (l1 + 1) |l1 l2 l mi ,
|l1 l2 l mi = l2 (l2 + 1) |l1 l2 l mi ,
L̂ |l1 l2 l mi = l(l + 1) |l1 l2 l mi ,
L̂3 |l1 l2 l mi = m |l1 l2 l mi ,
přičemž kvantová čı́sla musejı́ splňovat
|l1 − l2 | ≤ l ≤ l1 + l2 ,
m1 + m2 = m .
(5.0.1)
Mezi oběma bázemi platı́ vztah
|l1 l2 l mi =
X
m1 m2
(l1 m1 l2 m2 |l m) |l1 m1 i |l2 m2 i
kde (l1 m1 l2 m2 |l m) jsou Clebsch-Gordanovy koeficienty 6 .
5.1
Explicitnı́ výpočet C-G koeficientů
Explicitnı́m výpočtem pomocı́ posunovacı́ch operátorů L̂± = L̂1 ± iL̂2 nalezněte ClebschGordanovy koeficienty pro skládánı́ impulsmomentů l1 = l2 = 1.
Řešenı́:
Budeme užı́vat zkrácený zápis
|l1 l2 l mi = |1 1 l mi → |l mi
|l1,2 m1,2 i = |1 m1,2 i → |m1,2 i
Na základě vztahů (5.0.1) vı́me, že l ∈ {0, 1, 2}.
• Začı́ná se s vektory s nejvyššı́ váhou:
|2 2i = |1i |1i
(fázi můžeme volit obecně libovolně, jednička je v tzv. Condon-Shortleyově fázové
konvenci ), neboli
(1 1 1 1|2 2) = 1.
• Využijeme posunovacı́ch operátorů L̂± , které splňujı́ vztahy
6
L̂± |l mi = α(±) (l, m) |l m ± 1i ,
p
α(±) (l, m) = l(l + 1) − m(m ± 1)
Jiné způsoby zápisu Clebsch-Gordanových koeficientů jsou
(l1 m1 l2 m2 |l m) = Cllm
= (l1 l2 l|m1 m2 m)
1 m 1 l2 m 2
31
(5.1.1)
(analogické vztahy platı́ pro jednotlivé impulsmomenty L̂
(2)
L̂± ) a aplikujeme L̂− na vektor |2 2i:
L̂− |2 2i = 2 |2 1i ,
(1)
(1,2)
(1)
, přičemž L̂± = L̂± +
(2)
L̂− |1i |1i = L̂− |1i |1i + L̂− |1i |1i
√
= 2 (|0i |1i + |1i |0i) .
Srovnánı́m dostaneme
1
|2 1i = √ (|1i |0i + |0i |1i) ,
2
a tedy
1
(1 0 1 1|2 1) = (1 1 1 0|2 1) = √ .
2
• Jelikož musı́ platit m = m1 + m2 , viz (5.0.1) dostáváme
(1 1 1 1|2 1) = (1 0 1 0|2 1) = (1 − 1 1 0|2 1) =
= (1 0 1 − 1|2 1) = (1 − 1 1 − 1|2 1) = 0 .
• Dalšı́ použitı́ posunovacı́ho operátoru dá
√
L̂− |2 1i = 6 |2 0i ,
√
√
√
1
1 √
L̂− √ (|0i |1i + |1i |0i) = √
2 |−1i |1i + 2 |0i |0i + 2 |0i |0i + 2 |1i |−1i =
2
2
= |−1i |1i + 2 |0i |0i + |1i |−1i ,
neboli
1
|2 0i = √ (|−1i |1i + 2 |0i |0i + |1i |−1i) .
6
Dostáváme tedy Clebsch-Gordanovy koeficienty
1
(1 − 1 1 1|2 0) = (1 1 1 − 1|2 0) = √
6
2
(1 0 1 0|2 0) = √ .
6
Všechny ostatnı́ koeficienty s l = 2, m = 0 jsou nulové.
• Opakovanými aplikacemi L̂− dostaneme
1
|2 − 1i = √ (|0i |−1i + |−1i |0i)
2
|2 − 2i = |−1i |−1i ,
a tedy
1
(1 0 1 − 1|2 − 1) = (1 − 1 1 0|2 − 1) = √
2
(1 − 1 1 − 1|2 − 2) = 1.
32
• Hledejme nynı́ vektor |1 1i. Tento vektor musı́ být kolmý na |2 1i. Označı́me-li
|1 1i = c1 |0i |1i + c2 |1i |0i ,
musı́ být
h2 1|1 1i = 0 ,
c
c
√1 + √2 = 0 .
2
2
Volme c1 , c2 reálné, |c1 |2 +|c2 |2 = 1 a koeficient u |1i |0i kladný (Condon-Shortley).
Pak
1
|1 1i = √ (|1i |0i − |0i |1i)
2
a C-G koeficienty jsou
1
(1 1 1 0|1 1) = √ ,
2
1
(1 0 1 1|1 1) = − √ .
2
• Opět použijeme L̂− , čı́mž dostaneme
1
|1 0i = √ (|1i |−1i − |−1i |1i) ,
2
1
|1 − 1i = √ (|0i |−1i − |−1i |0i) ,
2
takže
1
(1 1 1 − 1|1 0) = √ ,
2
1
(1 − 1 1 1|1 0) = − √ ,
2
1
(1 0 1 − 1|1 − 1) = √ ,
2
1
(1 − 1 1 0|1 − 1) = − √ .
2
• Zbývá poslednı́ stav
|0 0i = d1 |1i |−1i + d2 |0i |0i + d3 |−1i |1i .
Z podmı́nek
dostáváme soustavu rovnic
h2 0|0 0i = h1 0|0 0i = 0
2d
d
√1 + √ 2 +
6
6
d1
√ −
2
33
d
√3 = 0
6
d3
√ = 0,
2
z které vyplývajı́ vztahy
d1 = d3 = −d2 .
Volme
1
|0 0i = √ (|1i |−1i − |0i |0i + |−1i |1i) ,
3
a tedy
1
(1 1 1 − 1|0 0) = (1 − 1 1 1|0 0) = √
3
1
(1 0 1 0|0 0) = − √ .
3
m1
+1
+1
0
+1
0
-1
0
-1
-1
J
M
m2
+1
0
+1
-1
0
+1
-1
0
-1
2
+2
2
+1
1
+1
√1
2
√1
2
√1
2
− √12
2
0
1
0
0
0
√1
6
√2
6
√1
6
√1
2
√1
3
− √13
√1
3
2
-1
1
-1
√1
2
√1
2
√1
2
− √12
2
-2
1
0
− √12
1
Tabulka 1: Clebsch-Gordanovy koeficienty pro impulsmomenty l1 = l2 = 1. Pokud v tabulce
nenı́ uvedeno žádné čı́slo, je přı́slušný C-G koeficient nulový.
Všechny vypočı́tané Clebsch-Gordanovy koeficienty pro impulsmomenty l1 = l2 = 1
jsou shrnuty v tabulce 5.1.
Shrnutı́
Obecný postup výpočtu Clebsch-Gordanových koeficientů je tedy následujı́cı́:
1. Vezmeme vektor s nejvyššı́ váhou
|l1 , l2 , l = l1 + l2 , m = l1 + l2 i = |l1 l1 i |l2 m2 i
2. Opakovaně zapůsobı́me posunovacı́m operátorem L̂− na obě strany rovnice. Tı́m
nalezneme všechny vektory |l1 , l2 , l = l1 + l2 , mi, kde m ∈ {−(l1 + l2 ), . . . , l1 + l2 }.
3. Vektor s o jedničku nižšı́m l = l1 + l2 − 1 a m = l1 + l2 − 1 najdeme z podmı́nky
ortogonality
hl1 , l2 , l = l1 + l2 − 1, m = l1 + l2 − 1|l1 , l2 , l = l1 + l2 , m = l1 + l2 − 1i = 0 ,
V Condon-Shortleyově fázová konvenci je pak koeficient u členu s nejvyššı́m m1
kladný a reálný.
4. Postupně opakujeme aplikovánı́ posunovacı́ho operátoru L̂− a ortogonality do té
doby, než zı́skáme všechny možné vektory |l1 l2 l mi.
34
5.2
Maticová realizace operátoru momentu hybnosti
Nalezněte maticovou realizaci operátoru L̂ pro částici se spinem l = 23 .
Řešenı́:
Hilbertův prostor všech stavů je čtyřrozměrný a jeho bázi tvořı́ vektory 32 m , kde
m ∈ − 23 , − 12 , 21 , 23 . Operátory L̂j budou tedy realizovány
4 × 4.
maticemi
Přiřad’me si bázi v maticovém prostoru k vektorům 32 m následujı́cı́m způsobem
 
 
1
0
3 3
 0
 1
3 1
,
 
 
,
2 2 ≡  0
2 2 ≡  0
0
0
 
 
0
0
3 3
 0
 0
3 1
,−
,−
 
 
2 2 ≡  0 .
2 2 ≡  1
0
1
Jelikož L̂3 |l mi = m |l mi, matice L3 bude diagonálnı́, přičemž na diagonále budou vlastnı́
hodnoty m:
3

0
0
0
2
0 1 0
0 

.
L3 =  2
1
0 0 −2 0 
0 0 0 − 23
Pro výpočet L1 a L2 využijeme vlastnostı́ posunovacı́ch operátorů L̂± ≡ L̂1 ± iL̂2 (5.1.1).
Platı́
 
 
 
 
0
0
0
1
s
√






0
 = α(−) 3 , 3 1 = 3 3 + 1 − 3 3 − 1 1 = 3 1 ,
L− 
0
 0
0
2 2  0
2 2
2 2
0
0
0
0
a podobně
 
 
 
0
0
0

1



 = α(−) 3 , 1 0 = 2 0 ,
L− 
0
 1
2 2  1
0
0
0
 
 
 
0
0
0
√
0




3
1
0
(−)

  = 3 0 ,
L− 
,−
1 = α



0
0
2 2
0
1
1
takže

√0
 3
L− = 
 0
0
0 0
0 0
2 √0
0
3
 √

0
3 0 0
0 0 2 0 
√ ,
L+ = L†− = 
0 0 0
3
0 0 0 0

0
0
,
0
0
35
a z inverznı́ch vztahů k definici L̂± dostaneme
√


3 0
0
√0
1 3 0
L+ + L−
2 √0 
,
= 
L1 =
3
2 √0
2
2 0
0
0
3 0
√


0
−
3
0
0
√
i
L+ − L−
3
0
−2
0 
.

√
= 
L2 =

0
2
0
−
3
2i
2
√
3
0
0
0
Přı́mým výpočtem se lze přesvědčit, že tyto matice splňujı́ komutačnı́ relace pro impulsmoment [Lj , Lk ] = iǫjkl Ll . Jedná se o čtyřrozměrnou reprezentaci rotačnı́ grupy SO(3).
5.3
Atom vodı́ku
Atom vodı́ku (proton) má jaderný spin sp = 21 , spin obı́hajı́cı́ho elektronu je se = 21 .
Atom se nacházı́ ve stavu, že jeho orbitálnı́ úhlový moment je l = 2. Operátor celkového
momentu hybnosti je tedy
Ĵ = Ŝp + Ŝe + L̂ .
1. Určete celkový počet kvantových stavů, které může systém nabývat.
2. Určete, jaké hodnoty může mı́t celkový spin j a kolik stavů přı́slušı́ každé jeho
hodnotě.
3. Určete normalizované stavy

 |3 3i
|3 2i ,
|j mi =

|3 1i
kde m jsme označili projekci celkového spinu Ĵ na třetı́ souřadnou osu.
4. Určete střednı́ hodnotu
Řešenı́:
E
D 3 2Ŝe · Ŝp 3 2 .
1. Pro obecnou hodnotu momentu hybnosti l máme 2l + 1 odlišných stavů, takže
• pro sp =
• pro se =
1
2
1
2
máme 2 možné stavy,
máme také 2 možné stavy a
• pro l = 2 máme 5 možných stavů,
celkem tedy 2 × 2 × 5 = 20 stavů.
2. Skládáme-li dva momenty hybnosti l1 a l2 , celkový moment hybnosti může nabývat
hodnot od |l1 − l2 | do l1 +l2 . Složı́me-li tedy spiny sp a se , výsledek může být s = 0
a s = 1. Přidáme-li nynı́ k mezivýsledku s = 0 orbitálnı́ moment hybnosti l = 2,
36
dostaneme jedinou možnou hodnotu j = 2 (5 možných stavů). Přidáme-li orbitálnı́
moment hybnosti k mezivýsledku s = 1, dostaneme tři možné hodnoty j = 1 (3
možné stavy), j = 2 (5 možných stavů) a j = 3 (7 možných stavů). Shrneme-li,
máme
• pro j = 1 3 možné stavy,
• pro j = 2 10 možných stavů a
• pro j = 3 7 možných stavů,
celkem tedy 3 + 10 + 7 = 20 stavů, což souhlası́ s výsledkem předchozı́ho bodu.
3. Stav |j mi = |3 3i je jedinečný (je to stav s nejvyššı́ váhou), který má v bázi
jednotlivých momentů hybnosti vyjádřenı́
1 1
1 1
⊗
⊗ |2 2iL .
|3 3i = 2 2 p 2 2 e
Stav |3 2i obdržı́me působenı́m posunovacı́ho operátoru Ĵ− = Ŝp− + Ŝe− + L̂− na
obě strany rovnosti, přičemž využijeme vztahy (5.1.1) (pro zjednodušenı́ zápisu
vynecháváme znak tenzorového součinu):
√
1
1 1 1
1 1 1
1
6 |3 2i = −
−
|2 2iL + |2 2iL
2
2 p 2 2 e
2 2 p 2
2 e
1 1 1 1
|2 1iL ,
+ 2 2 2 p 2 2 e
z čehož stav |3 2i zı́skáme vydělenı́m
√
6.
Opakovaným zapůsobenı́m Ĵ− dostaneme
1
1
1 1
1
1 1 1
1
−
−
|3 1i = √
|2 2iL + 2 −
|2 1iL
2 p 2
2 e
2
2 p 2 2 e
2 15 2
1
1
1 1 1
1
1
1
−
−
+ −
|2 2iL + 2 |2 1iL
2
2 p 2
2 e
2 2 p 2
2 e
1
1 1
1 1 1
1
1
−
+ 2 −
|2 1iL + 2 |2 1iL
2
2 p 2 2 e
2 2 p 2
2 e
√ 1 1 1 1
|2 0iL
+ 2 6
2 2 p 2 2 e
1
1
1
1 1
1
1
1
1
=√
−
−
|2 2iL + 2 −
|2 1iL
2 p 2
2 e
2
2 p 2 2 e
15 2
√ 1 1 1 1
1 1 1
1
−
+ 2 |2 1iL + 6 |2 0iL .
2 2 p 2
2 e
2 2 p 2 2 e
4. Pro dva obecné momenty hybnosti Â, B̂ platı́
1
Â+ B̂− + Â− B̂+ + Â3 B̂3 ,
Â · B̂ = Â1 B̂1 + Â2 B̂2 + Â3 B̂3 =
2
37
takže speciálně pro Â = Ŝp a B̂ = Ŝe dostaneme
1 1
1 1 1
1
1
1 1 1 1
− −
−
Ŝp3 Ŝe3 |3 2i = √
|2 2iL − |2 2iL
4 2
2 p 2 2 e
4 2 2 p 2
2 e
6
1 1 1 1 1
|2 1iL ,
+ 2 2 2 p 2 2 e
1 1 1 1
1
Ŝp+ Ŝe− |3 2i = √ −
|2, 2iL ,
2 e
6 2 2 p 2
1 1
1 1 1
Ŝp− Ŝe+ |3 2i = √ −
|2, 2iL ,
2 p 2 2 e
6 2
E 1 1 1
1
,
− − +1 =
3 2Ŝp3 Ŝe3 3 2 =
6
4 4
12
E 1
E D D 3 2Ŝp+ Ŝe− 3 2 = 3 2Ŝp− Ŝe+ 3 2 = ,
6
D
a výsledný maticový element je tedy
D
Poznámka:
E 1 1 1
1
1
+
+
= .
3 2Ŝp · Ŝe 3 2 =
2 6 6
12
4
Přı́klad je převzat ze sbı́rky [12], přı́klad 3.12.
5.4
Domácı́ úkol
Soustava dvou vázaných částic se spiny l1 a l2 se pohybuje v jednorozměrném potenciálu
V (x) = V0 Θ(x) L(1) · L(2) ,
kde L(1,2) jsou spinové operátory jednotlivých částic, Θ(x) je Heavisideova skoková
funkce a V0 > 0.
Pro energii E > V0 (l1 + l2 )2 určete pravděpodobnost odrazu na tomto potenciálu
• pro obecné hodnoty spinů jednotlivých částic l1 , l2 ,
• pro singletnı́ stav částic se spiny l1 = l2 = 21 ,
• pro singletnı́ stav částic se spiny l1 = l2 = 1.
38
6
Wigner-Eckartův teorém
Ireducibilnı́ tenzorový operátor
(λ)
Složky T̂µ libovolného ireducibilnı́ho 7 tenzorového operátoru 8 T̂(λ) , λ = 0, 1, . . . 9 , µ =
−λ, . . . , λ splňujı́ komutačnı́ relace
i
h
= q T̂(λ)
Ĵ3 , T̂(λ)
µ
µ
h
i
(6.0.1)
(λ)
(±)
Ĵ± , T̂(λ)
=
α
(λ,
µ)
T̂
,
µ±1
µ
kde Ĵ je operátor impulsmomentu, Ĵ± = Ĵ1 ± iĴ2 a
p
α(±) (λ, µ) ≡ λ(λ + 1) − µ(µ ± 1).
Wigner-Eckartův teorém
D
E
a, J M T̂(λ)
b,
j
m
=
µ
(−1)J+λ−j
(λ µ j m|J M ) a, JkT̂(λ) kb, j ,
= √
2J + 1
J
λ j J−M
a, JkT̂(λ) kb, j
= (−1)
−M µ m
přičemž:
(6.0.2)
J+λ−j
√
• Zlomek (−1)
je jen záležitost konvence. Zde je použita stejná konvence jako v
2J+1
knize J. Formánka [9].
• a, JkT̂(λ) kb, j je redukovaný maticový element.
7
• a, b jsou dalšı́ vlastnı́ čı́sla (může jich být i vı́ce) operátoru (operátorů) Â, které
spolu s impulsmomentem Ĵ tvořı́ úplnou množinu pozorovatelných:
i
h
Â, Ĵ = 0.
Ireducibilnı́ho proto, že se transformuje podle přı́slušné ireducibilnı́ reprezentace grupy SO(3) pomocı́ Wignerových D-funkcı́
X
′
(λ)
Dµλ′ µ (φ, θ, ψ)T̂µ′ ,
T̂(λ)
=
µ
µ′
Dµλ′ µ (φ, θ, ψ)
E
′
≡ λµ′ R̂3 (ψ)R̂2 (θ)R̂3 (φ)λµ = e−i(µ ψ+µφ) dλµ′ µ (θ) ,
D
narozdı́l např. od tenzoru vzniklého vzniklého dyadickým součinem dvou vektorů, který se transformuje
běžnými rotačnı́mi maticemi
X
T̂j ′ k′ l′ ... =
R̂j ′ j (ψ, θ, φ)R̂k′ k (ψ, θ, φ)R̂l′ l (ψ, θ, φ)T̂jkl... .
jkl...
8
Nazývá se také sférický tenzor.
Lze zavést ireducibilnı́ tenzorový operátor také poločı́selného řádu λ = 21 , 32 , . . . . Jelikož jeho střednı́
hodnota je dvojznačná, nemůže odpovı́dat žádné pozorovatelné.
9
39
(λ)
• T̂µ jsou komponenty ireducibilnı́ho tenzorového operátoru T̂(λ) λ-tého řádu.
• Mezi 3j symbolem a Clebsch-Gordanovými koeficienty platı́ relace
j1 j2 j3
=
m1 m2 m3
(j2 m2 j3 m3 |j1 − m1 )
√
= (−1)j2 −j3 −m1
2j1 + 1
(j3 m3 j1 m1 |j2 − m2 )
√
= (−1)j3 −j1 −m2
2j2 + 1
(j1 m1 j2 m2 |j3 − m3 )
√
= (−1)j1 −j2 −m3
,
2j3 + 1
přičemž uvedené tři rovnosti plynou ze symetrie 3j symbolů:

!

j
j
j

1
2
3
j1 +j2 +j3
sign σ = −1


(−1)
m1 m2 m3
jσ1 jσ2 jσ3
!
=
m σ1 m σ2 m σ3

j
j
j

1
2
3

sign σ = 1

 m m m
1
2
3
Dalšı́ symetrie 3j symbolů:
j1 j2 j3
j1
j2
j3
j1 +j2 +j3
= (−1)
m1 m2 m3
−m1 −m2 −m3
(6.0.3)
(6.0.4)
(6.0.5)
Wigner-Eckartův teorém je užitečný zejména proto, že k výpočtu všech n = (2J +
1)(2λ + 1)(2j + 1) maticových elementů stačı́ znát jediný z nich, zbytek se dopočte
pomocı́ běžně tabulovaných Clebsch-Gordanových koeficientů. Z oněch n elementů jsou
navı́c všechny, které nesplňujı́ výběrová pravidla pro hodnoty J, M, λ, µ, j, m,
m+µ=M
|j − λ| ≤J ≤ j + λ
(trojúhelnı́ková nerovnost)
nulové.
Tenzorový součin
Tenzorový součin dvou ireducibilnı́ch tenzorových operátorů
Ŵ(λ) = [Û(λ1 ) ⊗ V̂(λ2 ) ](λ)
je definován vztahem pro komponenty
X
Ŵµ(λ) =
(λ1 µ1 λ2 µ2 |λ µ) Ûµ(λ11 ) V̂µ(λ22 ) .
µ1 ,µ2
Pro tenzor nultého řádu pak vyplývá
X
(0)
Ŵ0 =
(λ1 µ1 λ2 µ2 |0 0) Ûµ(λ11 ) V̂µ(λ22 )
µ1 ,µ2
(−1)λ1 X
1 ) (λ1 )
=√
(−1)µ1 Û(λ
µ1 V̂−µ1
2λ1 + 1 µ1
40
,
(6.0.6)
a na základě této rovnosti se definuje skalárnı́ součin ireducibilnı́ch tenzorových
operátorů
X
√
(0)
(λ)
Û(λ) · V̂(λ) ≡ (−1)−λ 2λ + 1 Ŵ0 =
(−1)µ Û(λ)
(6.0.7)
µ V̂−µ .
µ
6.1
Vektorový operátor jako ireducibilnı́ tenzor
Ukažte, že libovolnému vektorovém operátoru V̂ s kartézskými složkami (V̂1 , V̂2 , V̂3 ) se
dá přiřadit ireducibilnı́ tenzorový operátor 1. řádu pomocı́ předpisu
1 (1)
√
V̂−1 =
V̂1 − iV̂2
2
(1)
(6.1.1)
V̂0 = V̂3
1
(1)
V̂1 = − √ V̂1 + iV̂2
2
(1)
(V̂µ jsou sférické složky vektoru).
Řešenı́:
Libovolný vektorový operátor V̂ splňuje komutačnı́ relace s operátorem momentu hybnosti10
h
i
V̂j , Ĵk = iǫjkl Vl .
Důkaz se provede přı́mým dosazenı́m do vztahů (6.0.1):
i
h
1 1 (1)
(1)
Ĵ3 , V̂−1 = − √ V̂x − iV̂y , Ĵ3 = − √ −iV̂y + V̂x = −V̂−1 ,
2
2
i
h
i
h
(1)
Ĵ3 , V̂0 = − V̂3 , Ĵ3 = 0 ,
i 1 h
1 (1)
(1)
Ĵ3 , V̂1 = √ V̂x + iV̂y , Ĵ3 = √ −iV̂y − V̂x = +V̂1 ,
2
2
(
(1)
h
i
α+ (1, −1)V̂0
1
1
(1)
Ĵ± , V̂−1 = − √ V̂1 − iV̂2 , Ĵ1 ± iĴ2 = − √ ∓V̂3 − V̂3 =
0
2
2
i
h
i
h
(1)
(1)
Ĵ± , V̂0 = − V̂3 , Ĵ1 ± iĴ2 = ±Ĵ1 − iĴ2 = α± (1, 0)V̂±1 ,
(
h
i
i
h
0
1
1
(1)
.
Ĵ± , V̂1 = √ V̂1 + iV̂2 , Ĵ1 ± iĴ2 = √ ∓V̂3 + V̂3 =
(1)
α− (1, 1)V̂0
2
2
h
6.2
i
,
Skalárnı́ součin vektorových operátorů
Ukažte, že definice skalárnı́ho součinu dvou tenzorových operátorů 1. řádu je identická se
skalárnı́m součinem vektorového operátoru vyjádřeného v kartézských komponentách:
Û(1) · V̂(1) = Û · V̂ =
10
Jsou to napřı́klad operátory X̂, P̂, L̂, . . . .
41
3
X
j=1
Ûj V̂j .
Řešenı́:
Důkaz se provede přı́mým dosazenı́m (6.1.1) do definice skalárnı́ho součinu tenzorových
operátorů:
X
(1) (1)
(1) (1)
(1) (1)
(1)
Û(1) · V̂(1) =
(−1)µ Û(1)
µ V̂−µ = −Û−1 V̂1 + Û0 V̂0 − Û1 V̂−1
µ
1
1
=
Û1 − iÛ2 V̂1 + iV̂2 +Û3 V̂3 +
Û1 + iÛ2 V̂1 − iV̂2
2|
2|
{z
}
{z
}
Û1 Û2 +i(Û1 V̂2 −Û2 V̂1 )+Û2 V̂2
Û1 Û2 +i(−Û1 V̂2 +Û2 V̂1 )+Û2 V̂2
= Û1 V̂1 + Û2 V̂2 + Û3 V̂3 = Û · V̂ .
6.3
Využitı́ symetriı́ 3j symbolů
Pomocı́ symetriı́ 3j symbolů a znalosti Clebsch-Gordanova koeficientu
(j m 0 0|J M ) = δjJ δmM
(plyne z volby |j1 j1 i |0 0i = |j1 j1 0 j1 i, což je vlastně Condon-Shortleyova fázová konvence) spočı́tejte Clebsch-Gordanovy koeficienty
(0 0 j m|J M )
a
(j1 m1 j2 m2 |0 0) .
Řešenı́:
Pomocı́ vztahu mezi Clebsch-Gordanovými koeficienty a 3j symboly (6.0.3) vyjádřı́me
(−1)j+M
j 0 J
= √
(j m 0 0|J M ) ,
m 0 −M
2J + 1
přičemž na základě výběrových pravidel pro skládánı́ momentů hybnosti (5.0.1) vı́me, že
jediné nenulové koeficienty jsou ty s j = J a m = −M . Využitı́m permutačnı́ch symetriı́
3j symbolů (6.0.4) dostaneme
J
j 0
0 j
J
j 0 J
j+J
,
=
= (−1)
−M m 0
0 m −M
m 0 −M
což zpětně převedeno na Clebsch-Gordanovy koeficienty definičnı́m vztahem (6.0.3) dá
(−1)J+M
0 j
J
j+J
= √
(−1)
(0 0 j m|J M ) ,
0 m −M
2J + 1
J
j 0
= (−1)J−j (J − M j m|0 0) ,
−M m 0
takže
(0 0 j m|J M ) = (j m 0 0|J M ) = δjJ δmM ,
(J − M j m|0 0) = (−1)
√
j+M
(−1)J+M
(0 0 j m|J M ) = √
δjJ δmM .
2J + 1
2J + 1
J−j (−1)
Druhý vztah přeznačenı́m J 7→ j1 , −M →
7 m1 , j 7→ j2 , m 7→ m2 vede na hledaný
koeficient
(−1)j1 −m1
(j1 m1 j2 m2 |0 0) = √
(6.3.1)
δj j δm −m .
2j1 + 1 1 2 1 2
42
6.4
Redukovaný maticový element skalárnı́ho operátoru
Určete redukovaný maticový element operátoru Ŝ(0) .
Řešenı́:
Pomocı́ Wigner-Eckartova teorému (6.0.2) nalezneme
D
E
(−1)J−j
(0) a, J M Ŝ0 b, j m = √
2J + 1
(0 0 j m|J M )
|
{z
}
δjJ δmM podle výsledku předchozı́ úlohy
(0)
a, JkŜ kb, j .
Skalárnı́ operátor komutuje s Ĵ, takže na levé straně rovnosti dostaneme
E
D
(0) a, J M Ŝ0 b, j m = f (a, b)δjJ δmM ,
(6.4.1)
D E
(0) kde f (a, b) ≡ aŜ0 b je funkce nerotačnı́ch“ kvantových čı́sel a, b. Srovnánı́m obou
”
rovnostı́ dostaneme
√
a, JkŜ(0) kb, j = f (a, b)δJj 2J + 1 .
6.5
Redukovaný maticový element skalárnı́ho součinu
Nalezněte
vztah mezi
redukovaným maticovým elementem skalárnı́ho součinu
(λ)
(λ)
a, JkÛ · V̂ kb, j a redukovanými maticovými elementy jednotlivých činitelů
a, JkÛ(λ) kb, j a a, JkV̂(λ) kb, j .
Řešenı́:
Wigner-Eckartův (6.0.2) na jednu stranu dává
D
E
1
a, J M Û(λ) · V̂(λ) b, j m = √
(0 0 j m|J M ) a, JkÛ(λ) · V̂(λ) kb, j
2J + 1
δJj δM m a, JkÛ(λ) · V̂(λ) kb, j ,
=√
2J + 1
(6.5.1)
(Û(λ) · V̂(λ) je skalárnı́ operátor).
V dalšı́m stačı́ počı́tat jen maticový element diagonálnı́ v J, M , ostatnı́ jsou nulové.
Rozepsánı́m skalárnı́ho součinu dostaneme
E
D
(λ) (λ) a, J M Û · V̂ b, J M
*
+
X
µ (λ) (λ) = a, J M (−1) Ûµ V̂−µ b, J M
µ
D
E
D
E
X
′ ′
′
′ (λ) a, J M Û(λ)
(−1)µ
c,
j
m
=
.
c,
j
m
V̂
b,
J
M
−µ µ ′
′
|
|
{z
}
{z
}
µcj m




′
λ J  ′ (λ)
λ j′ 
J−M  J
j ′ −m′  j
(λ)
′
(−1)
(c,j kV̂ kb,J )
(a,JkÛ kc,j ) (−1)
−m′ −µ M
−M µ m′
43
V druhém 3j symbolu prohodı́me prvnı́ a třetı́ sloupec pomocı́ permutačnı́ch
vztahů (6.0.4) a zároveň vyměnı́me znaménka v druhé řádce u projekcı́ pomocı́
vztahu (6.0.5):
′
J
λ j′
J
λ j′
j
λ J
2(j ′ +λ+J)
.
=
= (−1)
−M µ m′
−m′ −µ M
|
{z
} −M µ m′
1
Co se týče znaménka −, v upravovaném výrazu máme
′
′
′
′
(−1)µ+J−M +j −m = (−1)J+j +µ−M −m .
(6.5.2)
Na základě výběrových pravidel (6.0.6) je m′ + µ = M , takže zbývá
′
′
(−1)J+j (−1)−2m .
(6.5.3)
Faktor −2m′ je vždy sudý, pokud
m′ je celé′ čı́slo, a vždy lichý, pokud m′ je polocelé
−2m′
čı́slo, takže lze nahradit (−1)
7→ (−1)−2j a toto znaménko neovlivnı́ sumu přes m′ .
Dále využijeme relacı́ ortogonality pro 3j symboly, které v obecném přı́padě znějı́
X j1 j2 j3 j ′ j2 j3 1
1
=
δj j ′ δm m′ δ(j1 , j2 , j3 ) ,
′
m1 m2 m3
m1 m2 m3
2j1 + 1 1 1 1 1
m2 m3
kde δ(j1 , j2 , j3 ) = 1, pokud j1 , j2 , j3 splňujı́ trojúhelnı́kovou nerovnost |j1 − j2 | ≤ j3 ≤
j1 + j2 , a 0 v opačném přı́padě.
Pro 3j symboly v úloze dostaneme
X J
1
J
λ j′
λ j′
=
δ(J, λ, j ′ ) ,
(6.5.4)
′
′
−M
µ
m
−M
µ
m
2J
+
1
µm′
takže
D
E
(λ) (λ) a, J M Û · V̂ b, J M
′
(−1)J X
(−1)−j a, JkÛ(λ) kc, j ′ c, j ′ kV̂(λ) kb, J
=
2J + 1 cj ′
a srovnánı́m s výrazem (6.5.1) dostaneme
a, JkÛ(λ) · V̂(λ) kb, j =
.
X
′
1
(−1)−j a, JkÛ(λ) kc, j ′ c, j ′ kV̂(λ) kb, j
= δJj (−1)J √
2J + 1 cj ′
(6.5.5)
Poznámka:
V zı́skaném výrazu probı́há sčı́tánı́ přes j ′ jen přes konečný počet hodnot splňujı́ch
společně s J a λ trojúhelnı́kovou nerovnost |J − λ| ≤ j ′ ≤ J + λ. Suma přes c′ je však
obecně nekonečná, pokud nezvolı́me v konkrétnı́m přı́padě operátor Ĉ speciálně.
6.6
Redukovaný maticový element impulsmomentu
Nalezněte redukovaný maticový element operátoru impulsmomentu Ĵ.
44
Řešenı́:
Redukovaný maticový element stačı́ počı́tat pro jednu sférickou komponentu tenzoru
(1)
Ĵ(1) . Je výhodné zvolit si Ĵ0 = Ĵz . Pak
E
D
a, J M Ĵ3 b, j m = m f (a, b)δJj δM m .
Na druhou stranu (uvažujeme již J = j)
D
E
a, J M Ĵ3 b, J m =
(−1)J+1−J
(1)
(1 0 J M |J M ) a, JkĴ kb, J =
= δM m √
2J + 1
1
a, JkĴ(1) kb, J ,
= δM m p
J(J + 1)(2J + 1)
nebot’
(1 0 J M |J M ) = −m/
p
J(J + 1) ,
(6.6.1)
viz napřı́klad [9].
Srovnánı́m dostáváme
p
a, JkĴ(1) kb, j = f (a, b)δJj J(J + 1)(2J + 1) ,
kde f (a, b) = ha|bi.
Poznámka:
Vektor Ĵ lze realizovat pomocı́ Pauliho σ matic:
ŝ =
σ
.
2
Pak napřı́klad
6.7
1
1
kσk
2
2
=2
1 (1) 1
kŝ k
2
2
s √
1 1
1
=2
+1
2 × + 1 = 6.
2 2
2
Projekce vektoru na impulsmoment
Nalezněte redukovaný maticový element skalárnı́ho součinu libovolného vektorového
operátoru V̂ s impulsmomentem Ĵ.
45
Řešenı́:
Využijeme vztahu pro skalárnı́ součin tenzorových operátorů (6.5.5). Podle něj
a, JkĴ · V̂kb, j = a, JkĴ(1) · V̂(1) kb, j =
(−1)J δJj X
−j ′
′
(1)
(1)
′
= √
c, j kV̂ kb, J =
a, JkĴ kc, j
(−1)
2J + 1 cj ′
X
p
(−1)J δJj
= √
(−1)−J J(J + 1)(2J + 1)
ha|ci c, JkV̂(1) kb, J =
2J + 1
{z
}
|
c
hc|(JkV̂(1) kJ )|bi
δJj p
(1)
√
=
J(J + 1)(2J + 1) a, JkV̂ kb, J =
2J + 1
p
(1)
= δJj J(J + 1) a, JkV̂ kb, J .
6.8
Projekčnı́ teorém
Dokažte, že pro maticové elementy diagonálnı́ v J a pro libovolný vektorový operátor
V̂ platı́ rovnost
*
+
Ĵ · V̂ E
D
a, J M V̂b, J m = a, J M 2 Ĵb, J m .
(6.8.1)
Ĵ
Řešenı́:
Na obou stranách jsou maticové elementy tenzorových operátorů, můžeme tedy využı́t
Wigner-Eckartův teorém a dokázat jen pro jednu komponentu operátorů.
Levá strana (využijeme znalosti Clebsch-Gordanova koeficientu (6.6.1)).:
E
D
a, J M V̂3 b, J m =
(−1)J+1−J
= δM m √
(1 0 J M |J M ) a, JkV̂(1) kb, J =
2J + 1
M
(1)
a, JkV̂ kb, J
= δM m p
J(J + 1)(2J + 1)
Pravá strana (využijeme výsledku předchozı́ho přı́kladu):
+
*
Ĵ · V̂ a, J M 2 Ĵ3 b, J m =
Ĵ
E
D
M
= δM m
a, J M Ĵ · V̂b, J M =
J(J + 1)
(0 0 J M |J M ) M
√
a, JkV̂(1) · Ĵ(1) kb, J =
(−1)J+0−J
= δM m
J(J + 1)
2J + 1
p
M
(1)
√
= δM m
J(J + 1) a, JkV̂ kb, J =
J(J + 1) 2J + 1
M
a, JkV̂(1) kb, J .
= δM m p
J(J + 1)(2J + 1)
46
Obě strany se rovnajı́.
6.9
Magnetický moment
Mějme dvah nezávislé
impulsmomenty L̂ (orbitálnı́ moment hybnosti), Ŝ (vnitřnı́ spin
i
systému), L̂, Ŝ = 0, které složı́me na celkový impulsmoment
Ĵ = L̂ + Ŝ.
2
2
2
Necht’ |(ls)jmi jsou vlastnı́ vektory operátorů L̂ , Ŝ , Ĵ , Ĵ3 :
2
L̂ |(ls)jmi = l(l + 1) |(ls)jmi ,
2
Ŝ |(ls)jmi = s(s + 1) |(ls)jmi ,
2
(6.9.1)
Ĵ |(ls)jmi = j(j + 1) |(ls)jmi ,
Ĵ3 |(ls)jmi = m |(ls)jmi .
Definujme operátor (magnetický moment)11
µ̂ = gL L̂ + gS Ŝ,
přičemž gL , gS jsou reálné parametry, které se nazývajı́ gyromagnetické faktory (gfaktory)12
Spočı́tejte diagonálnı́ maticový element13
h(ls)jm|µ̂|(ls)jmi .
Řešenı́:
Předně z výběrových pravidel pro projekci impulsmomentu Wigner-Eckartova teorému
vyplývá, že
h(ls)jm|µ̂x |(ls)jmi = h(ls)jm|µ̂y |(ls)jmi = 0,
11
Magnetický moment je vyjádřen v jednotkách Bohrova (jaderného) magnetonu
µ0 =
q~
,
2M
kde e je elementárnı́ náboj, M je hmotnost elektronu (nukleonu). Uvedený výraz platı́ v jednotkách SI,
v Gaussovských elektromagnetických jednotkách se objevuje ještě rychlost světla c ve jmenovateli.
12
gelektron = −2.00231930419922 ≈ 2
gmion = −2.0023318414 ≈ 2
gneutron = −3.82608545
gproton = 5.585694702
(znaménka bývajı́ občas definována obráceně).
13
Veličina s největšı́ projekcı́ se nazývá magnetický moment částice,
µ ≡ h(ls)jj|µz |(ls)jji .
47
(1)
nebot’ µ̂x,y jsou zapsané ve sférických komponentách pomocı́ lineárnı́ kombinace µ̂±1 a
m ± 1 6= m.
K výpočtu maticového elementu µ̂z užijeme projekčnı́ teorém (6.8.1):
h(ls)jm|µ̂z |(ls)jmi =
*
+
Ĵ · µ̂ = (ls)jm 2 Ĵz (ls)jm =
Ĵ
E
D
m
(ls)jmĴ · µ̂(ls)jm
=
j(j + 1)
Dále
Ĵ · µ̂ = (L̂ + Ŝ) · (gL L̂ + gS Ŝ) =
2
2
= gL L̂ + gS Ŝ + (gL + gS ) L̂ · Ŝ
a k vyjádřenı́ L̂ · Ŝ využijeme standardnı́ trik (spin-orbitálnı́ vazba)
2
2
2
Ĵ = (L̂ + Ŝ) · (L̂ + Ŝ) = L̂ + Ŝ + 2 L̂ · Ŝ,
takže
1 2
2
2
L̂ · Ŝ = (Ĵ − L̂ − Ŝ ).
2
Po dosazenı́ a využitı́ relacı́ (6.9.1) dostaneme
2
1
2
2
(gL + gS ) Ĵ − L̂ − Ŝ
2
1
1
2
2
2
2
2
= (gL + gS ) Ĵ +
gL L̂ + gS Ŝ − gL Ŝ − gS L̂
2
2
2
1
1
2
2
= (gL + gS ) Ĵ + (gL − gS ) L̂ − Ŝ ,
2
2
2
2
Ĵ · µ̂ = gL L̂ + gS Ŝ +
takže výsledek je
m
h(ls)jm|µ̂z |(ls)jmi =
2
gL − gS
gL + gS +
[l (l + 1) − s (s + 1)]
j(j + 1)
≡ gJ m ,
kde gJ se nazývá Landéův g-faktor.
6.10
Domácı́ úkol
Uvažujte dva libovolné vektorové operátory R̂, Ŝ s kartézskými komponentami R̂j , Ŝk .
Kartézské složky tenzoru vzniklého jejich dyadickým součinem označme T̂jk = R̂j Ŝk .
1. Pomocı́ vztahu pro tenzorový součin tenzorových operátorů
X
T̂(λ)
(λ1 µ1 λ2 µ2 |λ µ) R̂µ(λ11 ) Ŝµ(λ22 )
µ ≡
µ1 ,µ2
nalezněte sférické komponenty tenzorů T̂(0) , T̂(1) , T̂(2) a vyjádřete je pomocı́ T̂jk .
48
2. Ukažte, že rozepı́šeme-li kartézské komponenty tenzoru T̂jk (což je libovolný tenzor
2. řádu) jako
T̂jk = Ĵjk + Âjk + B̂jk ,
kde
1
Ĵjk ≡ (T̂11 + T̂22 + T̂33 )δjk
3
1
Âjk ≡ (T̂jk − T̂kj )
2
1
B̂jk ≡ (T̂jk + T̂kj ) − Ĵjk
2
(Ĵ je násobek jednotkového tenzoru, Â je antisymetrický tenzor a B̂ je symetrický
tenzor s nulovou stopou), pak Ĵ, Â, resp. B̂ tvořı́ právě kartézské komponenty
tenzorového operátoru nultého řádu T̂(0) , prvnı́ho řádu T̂(1) , resp. druhého řádu
T̂(2) .
7
Přibližné metody I
Variačnı́ metoda14
Necht’ E0 je přesná energie základnı́ho stavu systému popsaného Hamiltoniánem Ĥ. Pak
pro libovolný (normalizovatelný) vektor |ψi z Hilbertova prostoru H tohoto systému
platı́
D E
ψ Ĥψ
.
E0 ≤
hψ|ψi
Pokud máme nějakou množinu testovacı́ch funkcı́ |θi ∈ M ⊂ H, pak nám základnı́ stav
nejlépe aproximuje minumum funkcionálu
D E
θĤθ
Emin = min E[|θi] =
.
|θi∈M
hθ|θi
V praxi se užı́vá takové množiny vektorů |θ(λ)i, která je zcela parametrizována sadou
čı́sel λ. Pak
E
D
θ(λ)Ĥθ(λ)
Emin = min E(λ) =
.
(7.0.1)
λ
hθ(λ)|θ(λ)i
7.1
Aproximace základnı́ho stavu nekonečně hluboké potenciálové jámy
Pomocı́ variačnı́ho principu nalezněte nejlepšı́ aproximaci základnı́ho stavu nekonečně
hluboké potenciálové jámy pološı́řky a
(
0 |x| < a
V (x) =
∞ |x| > a
14
Běžně se označuje jako Ritzova variačnı́ metoda.
49
s testovacı́ funkcı́
θλ (x) = hx|θ(λ)i = aλ − |x|λ
a srovnejte s přesným řešenı́m
~2 π 2
2m 4a2
1
πx
φ1 (x) = √ cos
2a
a
E1 =
Řešenı́:
K řešenı́ užijeme vztahu (7.0.1), přičemž minimalizaci budeme provádět přes jediný
parametr λ. Výpočet spočı́vá ve dvou krocı́ch:
1. Výpočet střednı́ hodnoty Hamiltoniánu pro vlnovou funkci θλ (x):
E
D
Ra ∗
d2
~2
θ(λ)Ĥθ(λ)
θ (x) dx
− 2m
2 θλ (x)dx
−a λ
=
Ra
H̄(λ) ≡
=
hθ(λ)|θ(λ)i
|θ (x)|2 dx
−a λ
v čitateli i jmenovateli integrujeme sudé funkce
=
= – stačı́ počı́tat na intervalu (0; a)
Ra λ
2
d
aλ − xλ dx
~2 0 a − xλ dx
2
=
=−
Ra
2m
(aλ − xλ )2 dx
0
λ−2
Ra λ
λ
a
−
x
x dx
~2
=
λ(λ − 1) R a 0 2λ
=
λ
λ
2m
(a − 2x a + x2λ ) dx
0
λ
1 λ λ−1
1
a x
− 2λ−1
x2λ−1 0
~2
λ−1
=
=
λ(λ − 1) 2λ
1
2
2m
aλ xλ+1 + 2λ+1
x2λ+1
a x − λ+1
1
1
− 2λ−1
~2
λ−1
=
=
λ(λ − 1)
1
2
2ma2
+ 2λ+1
1 − λ+1
2λ−1−λ+1
~2
(λ−1)(2λ−1)
=
λ(λ − 1) (λ+1)(2λ+1)−2(2λ+1)+λ+1 =
2
2ma
(λ+1)(2λ+1)
2
=
~ (λ + 1)(2λ + 1)
.
4ma2
(2λ − 1)
2. Výpočet minima funkce H̄(λ):
∂ H̄(λ)
= 0,
∂λ
(2λ + 2 + 2λ + 1)(2λ − 1) − 2(λ + 1)(2λ + 1) = 0 ,
4λ2 − 4λ − 5 = 0 .
Minimum je dáno kladným kořenem
λmin
√
1+ 6
≈ 1.723
=
2
50
a po dosazenı́ dostáváme
Emin
√
~2 2 6 + 5
=
≡ H̄(λmin ) =
2
8ma
2
√
2 6+5
=
E0 ≈
π2
≈ 1.00298E0
Vidı́me, že i s velice jednoduchou testovacı́ funkcı́, závislou jen na jednom parametru,
jsme dostali velice přesný odhad energie základnı́ho stavu.
7.2
Domácı́ úkol
Částice o hmotnosti M (hopı́k) skáče v homogennı́m (např. gravitačnı́m) poli, přičemž
od podložky se odrážı́ bez ztráty energie. Potenciál se tedy dá vyjádřit jako
(
mgz z > 0
V (z) =
∞
z<0
1. Řešenı́ pomocı́ WKB metody:
• Nalezněte body obratu, má-li částice energii E.
• Pomocı́ WKB přiblı́ženı́ vypočı́tejte energetické spektrum.
• Nalezněte WKB vlnové funkce v klasicky dostupné i nedostupné oblasti. Vlnové funkce nemusı́te normovat.
2. Hledánı́ základnı́ho stavu variačnı́ metodou:
• Podle chovánı́ potenciálu navrhněte vhodnou testovacı́ funkci s jednı́m parametrem (dodatečný parametr bude fixovat normalizaci).
• Nalezněte optimálnı́ hodnotu parametru a jemu odpovı́dajı́cı́ přibližnou energii základnı́ho stavu.
3. Srovnánı́m energiı́ základnı́ho stavu zı́skaných oběma metodami určete, která metoda dává základnı́ stav přesněji.
8
Přibližné metody II
Stacionárnı́ poruchová metoda
Mějme Hamiltonián Ĥ, který lze rozložit na součet
Ĥ = Ĥ0 + λĤI
tak, že spektrum Ĥ0 je známé a nedegenerované,
X
m
(0)
Ĥ0 |φm i = Em
|φm i
hφm |φn i = δmn
|φm i hφm | = 1̂ ,
51
a ĤI je malá porucha (interakce) řı́zená parametrem λ (λ = 0 v neporušeném přı́padě,
řešenı́ pro λ = 1 hledáme; mocnina λ ve výsledku koresponduje s řádem opravy).
Předpokládáme, že vlastnı́ vektor Hamiltoniánu Ĥ a přı́slušné vlastnı́ energie lze
vyjádřit ve tvaru součtu
|χm (λ)i =
Em (λ) =
∞
X
n=0
∞
X
λn χ(n)
m
(n)
λn E m
,
n=0
Ĥ |χm (λ)i = Em (λ) |χm (λ)i
E
(0)
přičemž platı́ χm ≡ |φm i), kde n udává řád opravy. Upustili jsme od normalizace
E
(n)
vektorů χm , avšak požadujeme, aby
hφm |χm (λ)i = 1 .
V tomto označenı́ platı́ pro prvnı́ opravu
D E
(1)
Em
= φm ĤI φm
D E
(1) X φn ĤI φm
χm =
|φn i
(0)
(0)
n6=m Em − En
a pro druhou opravu
(2)
Em
=
D E
|
X φn ĤI φm |2
(0)
n6=m
(0)
Em − En
.
(8.0.1)
(8.0.2)
Druhá oprava k základnı́mu stavu je vždy záporná. Výsledné stavy vyjádřené do daného
řádu N lze následně nanormovat.
Pokud je spektrum H0 degenerované, pak uvedenou metodu nelze použı́t (to lze
triviálně nahlédnout napřı́klad z toho, že v prvnı́m z výrazů v (8.0.1) by byla nejednoznačnost ve volbě vlastnı́ho vektoru |φm i, a také že ve jmenovatelı́ch výrazů (8.0.1) a
(8.0.2) bychom dostávali nuly). Předpokládejme, že platı́
Ĥ0 |φmj i = Em |φmj i
hφmj |φmk i = δjk .
Všechny vlastnı́ vektory v charakteristickém podprostoru operátoru Ĥ0 přı́slušejı́cı́m k
(1)
vlastnı́ hodnotě Em jsou indexovány druhým indexem. Prvnı́ opravu Emj a přı́slušné
vlastnı́ vektory na tomto podprostoru zı́skáme diagonalizacı́
D

E
E
D
(1)
...
φ ĤI φm1 − Em
φm1 ĤI φm2
 m1

E
E
D
D


(1)
det 
(8.0.3)
φm2 ĤI φm2 − Em . . . = 0 .
φm2 ĤI φm1


..
..
...
.
.
Porucha může degeneraci sejmout bud’ úplně, nebo jen částečně.
52
8.1
Porucha harmonického oscilátoru
Částice hmotnosti M se pohybuje v potenciálu jednorozměrného lineárnı́ho harmonického oscilátoru
1
V̂0 = M Ω2 x̂2
2
s malou poruchou
V̂I = λ cos (κx̂ + ϕ) .
1. Spočı́tejte 1. řád opravy energie základnı́ho stavu.
2. Vyjádřete střednı́ hodnotu operátoru souřadnice x̂ a střednı́ hodnotu kvadrátu
operátoru souřadnice x̂2 v tomto stavu.
Řešenı́:
1. Oprava k energii je podle (8.0.1)
(1)
E0 = h0|λ cos (κx̂ + ϕ)|0i = λℜ 0eiκx̂ eiϕ 0 = λℜ eiϕ 0eiκx̂ 0
(neporušenou bázi harmonického oscilátoru značı́me v souladu s dřı́ve užı́vanou
konvencı́ |φk i ≡ |ki, k = 0, 1, 2, . . . ). Operátor souřadnice vyjádřı́me pomocı́ posunovacı́ch operátorů â, â† (viz 3. cvičenı́ zimnı́ho semestru)
r
~
â† + â
x̂ =
2M Ω
a použijeme Baker-Campbell-Hausdorffovu formuli (viz domácı́ úkol 2. cvičenı́
zimnı́ho semestru)
eÂ+B̂ = eÂ eB̂ e− 2 [Â,B̂] ,
r
~ †
â ,
Â ≡ iκ
r 2M Ω
~
B̂ ≡ iκ
â ,
2M Ω
i
h
~ † Â, B̂ = −κ2
â , â ,
2M Ω | {z }
1
−1
takže
eiκx̂ = eiκ
a
(1)
E0
√
~
â†
2M Ω
eiκ
√
~
â
2M Ω
e−κ
2
~
4M Ω
(8.1.1)
D √ ~ † √ ~ Ei
= λℜ e e
0eiκ 2M Ω â eiκ 2M Ω â 0
!
! +#
"
* r
r
~
~ †
~
iϕ −κ2 4M
Ω
1̂ + iκ
â + · · ·
â + · · · 0
= λℜ e e
0 1̂ + iκ
2M Ω
2M Ω
h
= λ e−κ
~
iϕ −κ2 4M
Ω
2
~
4M Ω
cos ϕ .
Pokud je φ = kπ, k ∈ Z je prvnı́ oprava k energii základnı́ho stavu nejvyššı́
(porucha je sudá funkce), pokud naopak φ = kπ + π/2, je oprava nulová (porucha
je lichá funkce).
53
5
5
5
j=p
j=p/2
j=0
V(x)
0
0
0
-3
0
3
-3
0
3
-3
0
3
x
Obrázek 10: Potenciál V (x) = V0 (x) + VI (x) pro tři hodnoty fáze ϕ (silnou barevnou
čarou) a neporušený potenciál V0 (x) (čárkovanou černou čarou). Hodnoty parametrů
jsou M = Ω = 1, κ = 10, λ = 0.1. Při volbě ~ = 0.1 je energie neporušeného základnı́ho
(0)
(1)
stavu E0 = 0,05 a poruchy v jednotlivých přı́padech E0 = {0,0082; 0; −0,0082}.
Střednı́ hodnota souřadnice se posune o 0,082 v přı́padě ϕ = π/2, ve zbylých dvou
přı́padech zůstane nulová.
2. Oprava k vlastnı́mu vektoru základnı́ho stavu je podle (8.0.1)
∞
∞
E X
λ X 1 iϕ iκx̂ hn|λ cos (κx̂ + ϕ)|0i
(1)
ℜ e n e 0 |ni .
|ni = −
χ0 =
(0)
(0)
~Ω n=1 n
E0 − En
n=1
Využijeme vztahu (8.1.1), a maticový element v sumě vyjádřı́me jako
D √ ~ † √ ~ E
iκx̂ 2 ~
ne 0 = e−κ 4M Ω neiκ 2M Ω â eiκ 2M Ω â 0
D √ ~ † E
~
−κ2 4M
Ω
=e
neiκ 2M Ω â 0
!k +
* ∞
r
X
1
~
2 ~
â†k 0
iκ
= e−κ 4M Ω n
2M Ω
k=0 k!
!
r
n
2 ~
e−κ 4M Ω
~
= √
,
iκ
2M Ω
n!
takže
!n #
"
r
~
∞
E
−κ2 4M
X
Ω
λ
e
1
~
(1)
√
|ni
ℜ eiϕ iκ
χ0 = −
~Ω n=1 n
2M Ω
n!
!n #
"
r
∞
~
λ −κ2 ~ X 1
√ ℜ (cos ϕ + i sin ϕ) iκ
=−
e 4M Ω
|ni
~Ω
2M
Ω
n
n!
n=1
"
n
∞
X
(−1)n
~
λ −κ2 ~
2n
p
κ
|2ni
e 4M Ω cos ϕ
=−
~Ω
2M
Ω
2n
(2n)!
n=1
#
r
n
∞
X
~
(−1)n
~
p
− sin ϕ
|2n + 1i .
κ2n+1
2M Ω n=0 (2n + 1) (2n + 1)!
2M Ω
54
Střednı́ hodnota operátoru souřadnice je tedy (do prvnı́ho řádu v λ)
r
i
h
D
Ei
~ h
(1)
(1) †
h0| + χ0 â + â |0i + χ0
hχ0 |x̂|χ0 i =
r 2M Ω hD Ei
E D
~
(1)
(1) ≈
0âχ0 + χ0 â† 0
r2M Ω D
E
~
(1) χ0 â† 0
=2
r
r 2M Ω
~ λ −κ2 ~
~
=2
e 4M Ω sin ϕ
κ
2M Ω ~Ω
2M Ω
λκ −κ2 ~
=
e 4M Ω sin ϕ
M Ω2
a střednı́ hodnota kvadrátu operátoru souřadnice (opět do prvnı́ho řádu v λ)
Ei
D
2 ~ h
† (1) †2 χ0 x̂ χ0 ≈
0 ââ 0 + 2 χ0 â 0
2M Ω λκ2 −κ2 ~
~
e 4M Ω cos ϕ .
1+
=
2M Ω
2M Ω2
Výsledky jsou zobrazeny na obrázku 10.
8.2
Van der Waalsova interakce
Uvažujte dva atomy vodı́ku, přičemž vektor vzájemné polohy jejich jader R mı́řı́ od
prvnı́ho atomu k druhému, polohy elektronů vůči přı́slušným atomům jsou udány vektory r 1 , r 2 .
Pro dostatečně velkou vzájemnou vzdálenost atomů vůči vzdálenostem jejich elek(0)
tronů a při hrubé aproximaci En≥2 ≈ 0 (to značı́, že všechny energie jednotlivých atomů
vodı́ku kromě základnı́ch stavů berte jako nulové) nalezněte opravu k energii základnı́ho
stavu systému a rozhodněte, zda uvažovaná interakce bude přitažlivá či odpudivá.
Výpočet provádějte v adiabatické aproximaci, tj. předpokládejte, že atomy se vůči
sobě nepohybujı́.
Řešenı́:
Jako neporušený Hamiltonián budeme uvažovat Hamiltonián dvou neinteragujı́cı́ch
atomů vodı́ku. Jeho spektrum známe. Oprava (porucha) pak bude dána interakcemi
konstituentů jednoho atomu s konstituenty atomu druhého:
Ĥ = Ĥ0 + ĤI ,
p̂21
p̂2
γ
γ
+ 2 − − ,
2m 2m r̂1 r̂2
γ γ
γ
γ
−
.
ĤI = + − r̂
R̂
R̂ + r̂2 R̂ − r̂1 Ĥ0 =
V interakčnı́m Hamiltoniánu souvisı́ jednotlivé členy postupně s interakcı́ kladně na
bitých jader, interakcı́ elektronů (r̂ = R̂ + r̂2 − r̂1 ), interakcı́ prvnı́ho jádra s elektronem
druhého atomu a interakcı́ druhého jádra s elektronem prvnı́ho atomu.
55
Za předpokladu, že rozměry atomů jsou mnohem menšı́ než jejich vzájemná
vzdálenost, můžeme vzı́t jen nejnižšı́ členy multipólového rozvoje
1
1
∂ 1
1
∂2
1
= − ri
+ ri rj
− ··· =
|R − r|
R
∂Ri R 2
∂Ri ∂Rj R
Ri Rj
1
R i ri
1
3 2 − δij ri rj + · · · =
= + 3 +
R
R
2R3
R
1
(R · r)2
R·r
1
2
= +
3
+
− r + ··· .
R
R3
2R3
R2
(R·r)2
R·r
2
Dalšı́ člen multipólového rozvoje je 2R5 5 R2 − 3r . Užitı́m rozvoje pro HI dostaneme pro jednotlivé řády:
(0)
ĤI = 0 ,
i
γ h
(1)
ĤI =
R̂ · (r̂1 − r̂2 ) + R̂ · r̂2 − R̂ · r̂1 = 0 ,
R̂3 
2
R̂
·
(r̂
−
r̂
)
1
2
γ 
(2)
− (r̂1 − r̂2 )2 −
3
ĤI =

2
3
R̂
2R̂

2
2
R̂ · r̂2
R̂ · r̂1

−3
+ r̂22 − 3
+ r̂12  =
2
2
R̂
R̂


R̂ · r̂1 R̂ · r̂2
γ 
.
r̂1 · r̂2 − 3
=
R̂3
R̂2
(2)
Budeme nadále uvažovat ĤI ≈ ĤI 15 .
Zvolme souřadnou soustavu speciálně tak, aby osa z směřovala ve směru spojnice
jader atomů od prvnı́ho jádra ke druhému. Označme složky r̂1 = (x̂1 , ŷ1 , ẑ1 ), stejně pro
vektor r̂2 . Pak
"
#
γ
(R̂ẑ1 )(R̂ẑ2 )
ĤI =
x̂1 x̂2 + ŷ1 ŷ2 + ẑ1 ẑ2 − 3
=
R̂3
R̂2
γ
=
[x̂1 x̂2 + ŷ1 ŷ2 − 2ẑ1 ẑ2 ] .
R̂3
Hledáme opravu k základnı́mu stavu dvou volných atomů vodı́ku
|φ1 i = |n = 1 l = 0 m = 0i1 |n = 1 l = 0 m = 0i2 ≡ |1i |2i
(zavedli jsme zjednodušené označenı́ |1, 2i ≡ |n = 1 l = 0 m = 0i1,2 ). Atomy jsou nerozlišitelné, vlnový vektor tudı́ž musı́ být symetrický vůči záměně částic. To je splněno.
15
To je vlastně interakčnı́ energie dvou dipólových momentů d̂1,2 = −er̂1,2 :


R̂
·
d̂
R̂
·
d̂
2
1
1 1 d̂
(2)
.
ĤI =
1 · d̂2 − 3
3
2
4πǫ0 R
R̂
56
1. oprava k energii je dle poruchové teorie
D E
(1)
E11 = φ1 ĤI φ1 =
i
γh
h1|x̂1 |1i h2|x̂2 |2i + h1|ŷ1 |1i h2|ŷ2 |2i − 2 h1|ẑ1 |1i h2|ẑ2 |2i .
=
R̂3
K určenı́ maticových elementů využijeme výběrová pravidla Wigner-Eckartova teorému
(6.0.6). Komponenty vektorových operátorů r̂1,2 lze vyjádřit pomocı́ komponent tenzorových operátorů 1. řádu, viz (6.1.1)), takže λ = 1, komponenty označme µ. Výběrová
pravidla pak dávajı́ J = j ± 1 a M = m + µ, kde v našem přı́padě J ≡ l = 0, j ≡ l = 0,
M = m = 0. To nenı́ splněno pro žádnou ze složek operátorů r̂1,2 , takže všechny maticové
elementy na pravé straně výrazu pro 1. opravu jsou nulové16 .
2. oprava k energii základnı́ho stavu dává
2
h2|
h1|
Ĥ
|n
l
m
i
|n
l
m
i
X
I
1 1
1
2 2
2 (2)
E11 =
≈
(0)
(0)
(0)
2E
−
E
−
E
n
n
1
2
1
n1 6=1
n2 6=1
l1 m 1 l2 m 2
≈
=
=
1
(0)
2E1
1
(0)
2E1
1
(0)
2E1
X
h2| h1| ĤI |n1 l1 m1 i |n2 l2 m2 i hn1 l1 m1 | hn2 l2 m2 | ĤI |1i |2i =
(8.2.1)
h2| h1| ĤI 1̂ − |1i |2i h2| h1| ĤI |1i |2i =
h2| h1| Ĥ2I |1i |2i ,
(0)
kde jsme využili aproximace En≥2 ≈ 0, relacı́ úplnosti a nulovosti maticových elementů
h2| h1| ĤI |1i |2i. Správně bychom měli počı́tat se symetrickými vlnovými vektory, nebot’
máme nerozlišitelné částice, avšak výsledek by byl stejný (dı́ky užitı́ relacı́ úplnosti).
Platı́
Ĥ2I =
γ2 R̂6
x̂21 x̂22 + ŷ12 ŷ22 + 4ẑ21 ẑ22 + 2x̂1 x̂2 ŷ1 ŷ2 − 4x̂1 x̂2 ẑ1 ẑ2 − 4ŷ1 ŷ2 ẑ1 ẑ2 .
Maticový element pro smı́šené členy (poslednı́ tři v závorce) je nulový dı́ky symetrii
základnı́ho stavu17 . Ze symetrie také vyplývá
2 2 2 1 2 1x̂1 1 = 1ŷ1 1 = 1ẑ1 1 =
1r̂1 1 ,
3
16
To úzce souvisı́ s tı́m, že dipólový moment atomů v základnı́m stavu je nulový.
Toto lze opět dokázat pomocı́ Wigner-Eckartova teorému. Na základě přı́kladu 6.10 vı́me, že dyadický součin dvou vektorových operátorů R̂, Ŝ lze vyjádřit pomocı́ tenzorových operátorů nultého,
prvnı́ho a druhého řádu. Speciálně pro R̂ = Ŝ a pro smı́šené složky Rj , Rk , j 6= k platı́
17
(2)
R̂1 R̂2 =
(2)
T̂2 − T̂−2
,
2i
(2)
R̂2 R̂3 = −
(2)
T̂1 + T̂−1
,
2i
(2)
R̂1 R̂3 = −
(2)
T̂1 − T̂−1
,
2
dajı́ se tedy vyjádřit pomocı́ tenzorového operátoru řádu λ = 2 s projekcı́ µ 6= 0. Nahradı́me-li nynı́
(R̂1 , R̂2 , R̂3 ) = (x̂1,2 , ŷ1,2 , ẑ1,2 ), dostaneme na základě výběrových pravidel Wigner-Eckartova teorému,
že libovolný maticový element h100|Rj Rk |100i = 0.
57
takže druhou opravu k energii lze nakonec vyjádřit jako
(2)
E11 =
γ2
(0)
2 2 2 2 1x̂1 1 2x̂2 2 + 1ŷ1 1 2ŷ2 2 + 4 1ẑ21 1 2ẑ22 2 =
2E1 R6
6 2 2 γ2
1 r̂1 1 2 r̂2 2
=
(0)
2E1 R6 9
Přejděme do x-reprezentace. Energetické hladiny atomu vodı́ku jsou
En(0) = −
γ 1
2a0 n2
a radiálnı́ část vlnové funkce základnı́ho stavu znı́18
R10 (r) = hr|100i =
2
3
2
e
− ar
0
,
(8.2.2)
a0
kde a0 = ~2 /γm je Bohrův poloměr. Maticový element je dán integrálem
Z
2 4 ∞ − ar 2 − ar 2
100 r̂ 100 = 3
e 0 r e 0 r dr =
a0 0
Z
4 ∞ 4 − a2r
r e 0 dr =
= 3
a0 0
Z
4 a0 ∞ 3 − a2r
r e 0 dr = · · · =
=− 34
a0 2 0
4 a0 5 h − a2r i∞
=
e 0
= − 3 4!
a0
2
0
a 5
4
0
= 3 24
=
a0
2
= 3a20 ,
a když ho dosadı́me do vztahu pro 2. opravu energie, zı́skáme konečný výsledek
(2)
E11 =
3γ 2 a40
(0)
E1 R 6
=−
6γa50
.
R6
Oprava je záporná, lze z nı́ tedy usuzovat na přitažlivost sil mezi atomy a na jejı́
rychlý pokles s narůstajı́cı́ vzdálenostı́.
Atomy nemusı́ být nutně vodı́kové, výsledek platı́ i pro jiné atomy nebo molekuly,
pouze musı́ dostatečně přesně platit, že na tento systém lze nahlı́žet jako na soustavu
kladně nabitého centra (jádro + elektrony z vnitřnı́ch slupek) a okolo obı́hajı́cı́ valenčnı́
elektron. Pak vidı́me, že Van der Waalsova sı́la je tı́m většı́, čı́m jsou většı́ rozměry
atomů.
Zatı́mco pro základnı́ stav je 1. oprava poruchové teorie k nulová, pro excitované
stavy již tomu tak být nemusı́. To znamená, že atomy v excitovaných stavech se budou
ovlivňovat silněji na velkých vzdálenostech, velikost opravy bude klesat jen jako ∼ 1/R3 .
√
Celá vlnová funkce základnı́ho stavu je hr, θ, φ|100i = R10 (r)Y00 (θ, φ), kde Y00 (θ, φ) = 1/ 4π.
Úhlovou a radiálnı́ část lze od sebe odseparovat a my budeme počı́tat maticový element operátoru,
který na úhlovou část nepůsobı́, proto nám stačı́ uvažovat pouze radiálnı́ část.
18
58
Navı́c excitované stavy mohou být degenerované a je nutné použı́t degenerovanou poruchovou teorii.
Ačkoliv jsou jednotlivé dipólové momenty atomů v základnı́m stavu nulové (dipólový
moment ≡ střednı́ hodnota operátoru dipólového momentu), jsou Van der Waalsovy sı́ly
projevem dipól-dipólové interakce. Je to důsledek toho, že záladnı́ stav nenı́ vlastnı́m
stavem dipólového operátoru d̂.
Detaily ohledně Van der Waalsovy sı́ly naleznete v přehledovém článku [13] či v
učebnici [9], kapitola 10.10.3.
8.3
Domácı́ úkol
Hamiltonián elektronu pohybujı́cı́ho se v blı́zkosti bodového atomového jádra se Z protony je
γZ
p̂2
−
,
Ĥ0 =
2m
r̂
kde m je hmotnost elektronu (předpokládáme, že je malá v porovnánı́ s hmotnostı́
jádra), γ = e2 /(4πǫ0 ), e je elementárnı́ náboj a ǫ0 permitivita vakua. Zanedbáváme
vliv ostatnı́ch přı́padných elektronů v atomovém obalu a neuvažujeme spin-orbitálnı́
vazbu. Energie základnı́ho stavu 1s elektronu a odpovı́dajı́cı́ vlnová funkce v tomto
zjednodušeném přı́padě jsou
mZ 2 γ 2
Z 2γ
=
−
,
2~2
2a0
32
1
Z
− Zr
ψ0 (r, θ, φ) = √
e a0 ,
π a0
(0)
E0 = −
kde a0 = ~2 /(γm) je Bohrův poloměr.
Ve skutečnosti však má jádro konečný poloměr, který lze v prvnı́m přiblı́ženı́ aproximovat vzorcem
√
3
R = r0 A ,
kde r0 = 1,2 fm a A je atomové čı́slo (celkový počet nukleonů).
Předpokládejte, že hustota náboje v jádře je konstantnı́.
1. Určete Hamiltonián Ĥ elektronu, který se pohybuje v okolı́ jádra konečného poloměru. Rozdı́l mezi Ĥ a Ĥ0 uvažujte jako malou poruchu ĤI .
2. V prvnı́m řádu poruchové teorie spočı́tejte opravu k energii základnı́ho stavu elektronu, způsobenou konečnostı́ poloměru atomového jádra.
3. Čı́selně určete isotopický posun energie základnı́ho stavu mezi v přı́rodě pozorovaným nejtěžšı́m A = 204 a nejlehčı́m A = 196 izotopem rtuti Hg (Z = 80).
9
Přibližné metody III
Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz
Mějme systém popsaný Hamiltoniánem Ĥ, který lze rozložit na část Ĥ0 nezávisejı́cı́ na
čase a na časově závislou poruchu ĤI :
Ĥ(t) = Ĥ0 + ĤI (t).
59
Dále mějme v čase t0 vektor |ψ(t0 )i popisujı́cı́ stav systému, libovolný časově
nezávislý operátor Â a časově závislý operátor B̂(t). Fyzikálnı́ závěry se nezměnı́, pokud provedeme unitárnı́ transformaci současně stavového vektoru a operátorů, danou
unitárnı́m operátorem Û:
|ψ ′ i = Û |ψi ,
Â′ = ÛÂÛ† .
Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užı́vajı́ tři
takovéto tranformace (fyzikálně ekvivalentnı́ obrazy).
1. Schrödingerův obraz
|ψ(t)i = Û(t, t0 ) |ψ(t0 )i
Â, B̂(t)
Operátor Â zůstává v čase konstantnı́, operátor B̂(t) se měnı́ v čase podle svého
funkčnı́ho předpisu.
Diferenciálnı́ rovnice (spolu s počátečnı́ podmı́nkou) pro evolučnı́ operátor Û(t, t0 ):
i~
∂ Û(t, t0 )
= Ĥ(t) Û(t, t0 ) ,
∂t
Û(t0 , t0 ) = 1̂ ,
která má v přı́padě, že celkový Hamiltonián Ĥ nezávisı́ na čase, řešenı́
i
Û(t, t0 ) = e− ~ Ĥ(t−t0 ) .
Z evolučnı́ rovnice pro evolučnı́ operátor plyne rovnice pro stavový vektor (časová
Schrödingerova rovnice)
i~
∂ |ψ(t)i
= Ĥ(t) |ψ(t)i .
∂t
2. Heisenbergův obraz
H
ψ (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) |ψ(t)i = |ψ(t1 )i = konst. ,
ÂH (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) Â Û(t, t1 ) ,
B̂H (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) B̂(t) Û(t, t1 ) .
(t1 je vnějšı́ parametr). Stavový vektor |ψi se s časem neměnı́.
Diferenciálnı́ rovnice pro stavový vektor a pro operátory:
H
∂ ψ H (t; t1 )
ψ (t1 ; t1 ) = |ψ(t1 )i
=0
∂t
i
∂ ÂH (t; t1 )
1 h H
ÂH (t1 ; t1 ) = Â
Â (t; t1 ), ĤH (t)
=
∂t
i~
i ∂ H B̂(t)
∂ B̂H (t; t1 )
1 h H
Â (t; t1 ), ĤH (t) + t1
B̂H (t1 ; t1 ) = B̂(t1 ) ,
=
∂t
i~
∂t
kde jsme definovali
∂tH1 B̂(t)
∂ B̂(t)
≡ Û† (t, t1 )
Û(t, t1 ) .
∂t
∂t
i
h
Pokud máme systém v časově neproměnném vnějšı́m poli, tj. Ĥ, Û(t; t1 ) = 0,
pak
ĤH (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) Ĥ Û(t, t1 ) = Ĥ .
60
3. Diracův (interakčnı́) obraz
D
ψ (t; t1 ) = Û†0 (t; t1 ) |ψ(t)i
ÂD (t; t1 ) = Û†0 (t, t1 ) Â Û0 (t, t1 )
B̂D (t; t1 ) = Û†0 (t, t1 ) B̂(t) Û0 (t, t1 )
Zde
i
Û0 (t, t1 ) = e− ~ H0 (t−t1 )
je evolučnı́ operátor Hamiltoniánu Ĥ0 , tj. řešenı́ diferenciálnı́ rovnice
i~
∂ Û0 (t, t1 )
= Ĥ0 Û0 (t, t1 )
∂t
Û0 (t1 , t1 ) = 1̂,
Bez újmy na obecnosti volı́me čas t1 stejný jako v přı́padě obrazu Heisenbergova.
Diferenciálnı́ rovnice pro stavový vektor a pro operátory:
D
D
∂ ψ D (t; t1 )
ψ (t1 ; t1 ) = |ψ(t1 )i
i~
= ĤD
I (t; t1 ) ψ (t; t1 )
∂t
i
1 h D
∂ ÂD (t; t1 )
=
ÂD (t1 ; t1 ) = Â
Â (t; t1 ), ĤD
(t;
t
)
1
I
∂t
i~
i ∂ D B̂(t)
∂ B̂D (t; t1 )
1 h D
=
B̂ (t; t1 ), ĤD
(t;
t
)
+ t1
B̂D (t1 ; t1 ) = B̂(t1 ),
1
I
∂t
i~
∂t
kde (podobně jako u obrazu Heisenbergova)
∂tD1 B̂(t)
∂ B̂(t)
≡ Û†0 (t, t1 )
Û0 (t, t1 ).
∂t
∂t
Řešenı́ prvnı́ rovnice lze psát ve tvaru
D
ψ (t; t1 ) = Ŝ(t, t0 ; t1 ) ψ D (t0 ; t1 ) ,
kde evolučnı́ operátor v Diracově obraze
Ŝ(t, t0 ; t1 ) = Û†0 (t, t1 )Û(t, t0 )Û0 (t0 , t1 )
je řešenı́m diferenciálnı́ rovnice
i~
∂ Ŝ(t, t0 ; t1 )
= ĤD
I (t; t1 )Ŝ(t, t0 ; t1 )
∂t
Ŝ(t0 , t0 ; t1 ) = 1̂
(9.0.1)
V Heisenbergově i Diracově obrazu se objevuje vnějšı́ parametr t1 , který vlastně
udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech třı́ uvedených obrazů rovnajı́.
Můžeme volit t1 = 0 a pak nebudeme tento parametr ve vzorcı́ch explicitně vypisovat.
Pokud H0 představuje volný Hamiltonián, pak se zavádějı́ ještě Møllerovy operátory
Ω(±) = lim Ŝ(0, t0 )
t0 →∓∞
a operátor S-matice
Ŝ = lim Ŝ(t, t0 ).
t→+∞
t0 →−∞
61
Řešenı́ rovnice (9.0.1) lze hledat ve tvaru integrálnı́ rovnice, kterou lze vyjádřit ve
formě řady19
Z
i t D
Ŝ(t, t0 ) = 1̂ −
Ĥ (t1 )Ŝ(t1 , t0 )dt1 =
~ t0 I
Z
Z
i t1 D
i t D
Ĥ (t1 ) 1̂ −
Ĥ (t2 )Ŝ(t2 , t0 )dt2 dt1 =
= 1̂ −
(9.0.2)
~ t0 I
~ t0 I
∞
X
=
Ŝ(n) (t, t0 ),
n=0
kde
Ŝ(0) = 1̂
Ŝ
(1)
Ŝ(n)
Z
i t D
Ĥ (t1 )dt1
=
~ t0 I
..
.
n Z t
Z t1
Z tn−1
i
D
D
ĤI (t1 )
ĤI (t2 ) · · ·
ĤD
= −
I (tn )dtn · · · dt2 dt1
~
t0
t0
t0
(9.0.3)
Rozvoj (9.0.2) lze formálně sečı́st. Jelikož všakh Diracovy obrazy
i Hamiltoniánu v
D
různých časech mezi sebou navzájem nekomutujı́, ĤD
I (tj ), ĤI (tk ) 6= 0 pro tj 6= tk ,
musı́me užı́t T-součin, definovaný následujı́cı́m způsobem: Necht’ operátory Âj (t) ve
stejném čase komutujı́, tj. necht’ [Aj (t), Ak (t)] = 0. Pak
T ÂN (tN ) · · · Â1 (t1 ) ≡ ÂiN (tiN ) · · · Âi1 (ti1 )
tiN ≥ tiN −1 ≥ · · · ≥ ti1
Užitı́m T-součinu můžeme psát
i
Ŝ(t, t0 ) = T exp −
~
Z
t
t0
′
′
ĤD
I (t )dt
Poznámka:
Diferenciálnı́ rovnici (9.0.1) můžeme také zkoušet v bázi |φm i řešit přı́mo. Označı́me-li
E
D Sf i (t, t0 ) ≡ φf Ŝ(t, t0 )φi ,
pak dostaneme
i~
∂Sf i (t, t0 ) X
=
ĤIf m (t) eiωf m t Smi (t, t0 )
∂t
m
Sf i (t0 , t0 ) = δf i
což je soustava vázaných obyčejných diferenciálnı́ch rovnic 1. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit napřı́klad pro dvouhladinový systém.
19
Dysonova řada
62
Nestacionárnı́ poruchová teorie
Stejně jako u stacionárnı́ poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum
Hamiltoniánu Ĥ0 známe:
X
m
(0)
Ĥ0 |φm i = Em
|φm i
hφm |φn i = δmn
|φm i hφm | = 1̂.
Maticové elementy rozvoje evolučnı́ho operátoru v Diracově obraze (9.0.2) v této bázi
označı́me jako
E
D (n)
(n)
Sf i (t, t0 ) ≡ φf Ŝ (t, t0 )φi
a pro jednotlivé členy (9.0.3) dostaneme
(0)
Sf i (t, t0 ) = δf i
Z
i t
ĤIf i (t1 ) eiωf i t1 dt1
=−
~ t0
2 X Z t Z t 1
i
(2)
ĤIf m (t1 ) eiωf m t1 ĤImi (t2 ) eiωmi t2 dt1 dt2
Sf i (t, t0 ) = −
~
t0 t0
m
(1)
Sf i (t, t0 )
kde jsme zavedli
20
E
D HIf i (t) ≡ φf ĤI (t)φi
ωf i ≡
1 (0)
(0)
Ef − Ei
~
Pravděpodobnost přechodu z počátečnı́ho stavu |φi i připraveného v čase t0 do koncového
stavu |φf i v čase t je
Pi→f (t0 → t) ≡ |hφf (t)|φi (t0 )i|2
D
2
= φD
f (t) φi (t0 )
E2
D = φf Ŝ(t, t0 )φi a v poruchové teorii dostáváme
2
(1)
(1)
(2)
Pi→f (t0 → t) = Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + · · ·
Pro časově neproměnnou poruchu zapnutou v čase t0 dostaneme do 1. řádu
poruchové teorie
2π
|HIf i |2 δ∆t (ωf i )∆t
(9.0.4)
Pi→f (t0 → t) =
~
kde ∆t = t − t0 a
ω ∆t
1 sin2 f 2i
∆t→∞
−−−−→ δ(ωkj )
δ∆t (ωf i ) ≡
π ωf2i ∆t
2
20
E
D Pro zjednodušenı́ zápisu budeme někdy psát také HIf i (t) = f ĤI (t)i .
63
je funkce, která má v okolı́ nuly ostré maximum pološı́řky ≃ 2π∆t a výšky ∆t/2π. Za
dobu ∆t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj.
ωf i .
a označı́me-li ∆E
(0)
2π
∆t
(0)
(0) ≡ Ef − Ei , dostaneme
∆E (0) ∆t . 2π~
Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energiı́.
(0)
Pokud lze na okolı́ Ei pohlı́žet jako na kontinuum hladin (jedná se o přechod do
spojité části spektra, nebo je v tomto okolı́ velké množstvı́ diskrétnı́ch hladin), pak se
(9.0.4) pı́še ve tvaru Fermiho zlatého pravidla
2π
Pi→F (t0 → t)
2
=
|HIf i | ρf (E)
wi→F (t0 → t) ≡
(0)
∆t
~
E≃Ei
(9.0.5)
což je rychost přechodu z počátečnı́ho stavu i do celého jeho okolı́ f ∈ F , na kterém je
|HIf i |2 přibližně konstantı́. Hustotu hladin ρf (E) lze spočı́tat napřı́klad pomocı́ postupu
uvedeném v sekci 4.
Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω
(−) −iωt
e }
ĤI = |ĥ(+){zeiωt} + ĥ
| {z
emise
(9.0.6)
absorpce
dostaneme užitı́m podobného postupu jako v přı́padě konstantnı́ poruchy vztah
ωf i ≃ ±ω,
(0)
(0)
tj. Ef ≃ Ei ± ~ω
(9.0.7)
platı́cı́ za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas.
Fermiho zlaté pravidlo v tomto přı́padě znı́
2π
~
2π
=
~
wi→F (t0 → t) =
(+) 2
(stimulovaná emise) ,
hf i ρf (E)
(0)
E≃Ei −~ω
(−) 2
(stimulovaná absorpce) .
hf i ρf (E)
(0)
(9.0.8)
E≃Ei +~ω
Pokud máme periodickou poruchu, která nenı́ harmonická, můžeme ji pomocı́ Fourierovy
tranformace na periodickou rozložit a počı́tat pravděpodobnost přechodu pro každou
složku zvlášt’.
Dı́ky rovnosti ih(+) f = f h(−) i , platı́ princip detailnı́ rovnováhy, který se dá
slovně vyjádřit jako
rychlost absorpce f → [i]
rychlost emise i → [f ]
=
.
hustota kvantových stavů [f ]
hustota kvantových stavů [i]
64
9.1
Nabitý harmonický oscilátor
Jednorozměrný harmonický oscilátor s nábojem q, popsaný Hamiltoniánem
Ĥ0 =
1 2 1
p̂ + M Ω2 x̂2
2M
2
vložı́me do homogennı́ho časově proměnného elektrického pole s intenzitou
t 2
A
E(t) = √ e−( τ )
τ π
(A, τ jsou reálné parametry).
1. Jak vypadá Hamiltonián interakce oscilátoru s elektrickým polem?
2. Určete hybnost, která se klasicky přenese mezi časy ti → −∞ a tf → ∞?
3. Spočı́tejte pravděpodobnost přechodu ze základnı́ho stavu v čase ti → −∞ do
prvnı́ho excitovaného stavu v čase tf → ∞ v rámci 1. řádu nestacionárnı́ poruchové
teorie.
Řešenı́:
1. Zadaná intenzita elektrického pole odpovı́dá potenciálu
V (x, t) = −qE(t)x ,
takže operátor časově závislé opravy k Hamiltoniánu Ĥ0 je
ĤtiI (t) = −qE(t)x̂ .
2. Přenesená hybnost je dána časovým integrálem elektrické sı́ly
Z tf
Z ∞
Z ∞
t 2
∂V (x, t)
qA
P =
−
F (t)dt =
dt = √
e−( τ ) dt = qA .
∂x
τ π −∞
ti
−∞
3. Přı́slušné elementy S-matice jsou podle (9)
(0)
S10 = 0
(1)
S10
q
~
†
x̂ = 2M Ω â + â i
=−
h1|[−qE(t)x̂]|0i eiω10 t1 dt1 = (0)
(0)
~ −∞
ω10 = E1 −E0 = Ω
~
Z ∞
t 2
Ωτ 2
iqA
dt
iqA
=√
e−( τ ) +iΩt
e− ( 2 )
=√
τ
2π~M Ω −∞
2~M Ω
{z
}
|
2
√ −( Ωτ
2 )
πe
Z
∞
Pravděpodobnost přechodu je tedy do prvnı́ho řádu poruchové teorie rovna
P0→1
2
Ω2 τ 2
q 2 A2 − Ω2 τ 2
P2
(0)
(1) e 2 =
e− 2 .
= S10 + S11 =
2~M Ω
2~M Ω
65
Poznámka:
Uvedená porucha v prvnı́m řádu poruchové teorie způsobı́ přechod nanejvýš na sousednı́
energetickou hladinu harmonického oscilátoru.
9.2
Domácı́ úkol
(Dvouhladinový systém s periodickou poruchou) Dvouhladinový systém je popsaný Hamiltoniánem
Ĥ(t) = Ĥ0 + ĤI (t) ,
(0)
Ĥ0 =
E1
0
0
(0)
E2
!
(0)
(0)
= E1 |φ1 i hφ1 | + E2 |φ2 i hφ2 | ,
0
γ eiωt
ĤI (t) = Θ(t)
γ e−iωt
0
= Θ(t) γ eiωt |φ1 i hφ2 | + γ e−iωt |φ2 i hφ1 | ,
přičemž operátor ĤI (t) představuje periodickou poruchu, která je zapnuta v čase t0 = 0
(formálně zapsáno pomocı́ funkce Θ), γ je reálný parametr, který určuje sı́lu poruchy, a
(0)
E1,2 jsou neporušené energie.
1
.
V čase t < 0 je systém ve stavu |φi i ≡ |φ1 i =
0
1. Spočı́tejte neporuchově (tj. řešenı́m soustavy diferenciálnı́ch rovnic pro přı́slušné
maticové elementy operátoru S-matice) pravděpodobnost P1→2 (t), se kterou se
bude systém nacházet ve stavu |φ2 i v čase t > 0. Vzorec, který dostanete, se
nazývá Rabiho formule.
2. Řešte totéž do druhého řádu nestacionárnı́ poruchové teorie a zı́skanou
pravděpodobnost srovnejte s přesným řešenı́m. Za jaké podmı́nky toto přibližné
řešenı́ dobře aproximuje přesný výsledek?
3. Za jaké podmı́nky můžeme v čase t > 0 naměřit, že se systém nacházı́ ve stavu
|φ2 i s pravděpodobnostı́ jedna?
10
10.1
Fotoelektrický jev
Fotoelektrický jev—plné řešenı́
Atom vodı́ku popsaný Hamiltoniánem
Ĥ0 =
1 2 γ
p̂ − ,
2m
r̂
je vystaven elektromagnetickému vlněnı́ s vektorovým potenciálem
A(r̂, t) = 2A0 ǫ cos (κ · r̂ − ωt)
(10.1.1)
(jednotkový vektor ǫ určuje polarizaci vln, κ = nω/c je vlnový vektor určujı́cı́ směr
postupu vlny) a skalárnı́m potenciálem
Φ(r̂, t) = 0.
66
1. Nalezněte interakčnı́ Hamiltonián.
2. Nalezněte hustotu pravděpodobnosti vztaženou na jednotku času (rychlost
přechodu) jevu, kdy kdy atom vodı́ku nacházejı́cı́ se v základnı́m stavu emituje
elektron do oblasti prostorového úhlu (Ω, Ω + dΩ) (fotoelektrický jev).
3. Určete diferenciálnı́ účinný průřez výše uvedeného jevu.
Řešenı́:
1. Interakčnı́ Hamiltonián
Hamiltonián atomu vodı́ku, popisujı́cı́ interakci jeho elektronu s elektromagnetickým polem, je
Ĥ(H↔EM) =
2
γ
1
p̂2 − eA(r̂, t) + e Φ(r̂) −
2m
r̂
Počı́táme ve speciálnı́ (Coulombické) kalibraci
∇ · A = 0,
Φ = 0.
Hamiltonián v nı́ lze přepsat do tvaru
e
e2
A(r̂, t) · p̂ + A(r̂, t) · A(r̂, t) ≈
m
m
e
≈ Ĥ0 − A(r̂, t) · p̂,
m
Ĥ(H↔EM) (t) = Ĥ0 −
kde jsme zanedbali člen úměrný |A(r̂)|2 . Označı́me ĤI (t) = − me A(r̂, t) · p̂ a dosadı́me za vektorový potenciál monochromatickou vlnu (10.1.1):
ĤI (t) = −
eA0 i(κ·r̂−ωt)
e
+ e−i(κ·r̂−ωt) ǫ · p̂
m
(10.1.2)
Nás bude zajı́mat excitace, stačı́ tedy brát pouze část
ĤI (t) = ĥ e−iωt
eA0 iκ·r
e ǫ · p̂.
ĥ = −
m
2. Rychlost přechodu
Vlnová funkce základnı́ho stavu atomu vodı́ku je rovna21
1
− r
ψi (r) = R10 (r)Y00 (θ, φ) = p 3 e a0 .
πa0
21
Vlnová funkce konečného stavu volného elektronu je ovlivněna Coulombickým polem jádra. Toto pole je však rychle odstı́něno látkou, která se v okolı́ jádra vyskytuje, a proto budeme brát elektron jako volný, jehož vlnovou funkci vyjádřı́me
jako
1
eik·r
ψf (r) ≡ hr|ki = p
3
(2π~)
Jedná se o radiálnı́ i úhlovou část vlnové funkce, srovnej s (8.2.2) a s nı́ souvisejı́cı́ poznámkou.
67
kde k je vlnový vektor elektronu s energiı́ Ee ,
Ee =
~2 k 2
.
2m
Výpočet přechodu mezi spojitou a diskrétnı́ částı́ spektra zjednodušı́me tı́m, že
budeme považovat elektron nikoliv za zcela volný, ale za uzavřený v krabici (nekonečně hluboké potenciálové jámě) o objemu V . Budeme předpokládat, že krabice je tak velká, že neovlivnı́ přı́liš spektrum atomu vodı́ku (stačı́, aby neovlivnila
základnı́ stav, se kterým počı́táme). Nakonec provedeme limitu V → ∞.
Vlnová funkce elektronu v krabici znı́
1
ψf′ (r) = √ eik·r .
V
V tomto přı́padě je k důsledkem konečných rozměrů kvantovaná veličina,
En =
~2 k 2
,
2m
k=
2π
n,
L
L=
√
3
V,
n = (n1 , n2 , n3 ) .
Pokud je však objem V dostatečně velký, lze s nı́ nadále počı́tat jako se spojitou.
Při výpočtu hustoty hladin volného elektronu vyjdeme ze vztahů (4.0.1) a (4.0.2).
Objem fázového prostoru klasicky se pohybujı́cı́ho volného elektronu v krabici je
podle (4.0.1)
Z
Z 1 2 3
3
ΩPS (E) =
d x δ E−
p d p=
2m
V
Z
Z ∞ 1 2 2
=V
dΩ
δ E−
p p dp.
2m
Ω
0
Budeme se ptát po hustotě hladin s vlnovým vektorem mı́řı́cı́m do elementu prostorového úhlu dΩ, tj.
dρ(E)
1 dΩPS (E)
=
=
dΩ
(2π~)3 dΩ
Z ∞ V
1 2 2
=
p p dp =
δ E−
(2π~)3 0
2m
Z ∞ √
2m
V
√
2mE
p2 dp =
δ
p
−
=
(2π~)3 2 2mE 0
V
2m
√
=
2mE =
3
(2π~) 2 2mE
√
V
m
=
2mE
(2π~)3
či v závislosti na veličině k
dρ(k)
V
=
~km
dΩ
(2π~)3
68
K výpočtu pravděpodobnosti, resp. rychlosti přechodu použijeme Fermiho zlaté
pravidlo (9.0.8). Maticový element, který se v něm objevuje, znı́
D E
hf i = f ĥi =
Z
eA0
′
ψf∗ (r) eiκ·r ǫ · p ψi (r)d3 r =
=−
m
Z
i~eA0
− r
(10.1.3)
= p 3 ǫ · ei(κ−k)·r ∇ e a0 d3 r =
m πa0 V
Z
r
i~eA0
iq·r r − a0 3
p
=−
dr=
e
ǫ
·
e
r
ma0 πa30 V
i~eA0
p
ǫ · I(q) ,
=−
ma0 πa30 V
kde jsme označili q ≡ κ − k. Integrál I(q) vypočı́táme následujı́cı́ úvahou. Jediný
vektor, na kterém integrand integrálu závisı́, je q. To znamená, že integrál musı́
být možné vyjádřit jako
I(q) = qI(q) ,
kde I(q) je skalárnı́ funkce. Budeme tedy počı́tat výraz
Z
q · r − ar 3
2
e 0dr=
q I(q) = eiq·r
r
Sférické souřadnice (r, θ, φ) =
=
osa z paralelnı́ s vektorem q Z ∞
Z π
Z 2π
− ar
iqr
cos
θ
=
r e 0 dr
e
qr cos θ sin θ dθ
dφ =
0
0
0
= u = cos θ du = − sin θ dθ =
Z 1
Z ∞
Per partes
− ar
eiqru u du =
= 2πq
r e 0 dr
0
(−1
)
1
Z 1
Z ∞
r
1
1
−
eiqru u
eiqru du =
−
= 2πq
r e a0 dr
iqr
iqr
−1
0
−1
Z ∞
1 iqr
i
− ar
−iqr
iqr
−iqr
r e 0 dr
= −2πqi
e +e
+
=
e −e
qr
(qr)2
0
Z ∞ −r a1 −iq
−r a1 +iq
0
0
+e
dr−
r e
= −2πi
0
Z 2π ∞ −r a1 +iq
−r a1 −iq
0
0
e
−
−e
dr =
q 0
2π
J2
= −2πi J1 −
q
Platı́
Z
∞
1
α
0
Z ∞
Z
1 ∞ −αr
1
−αr
re
dr =
e
dr = 2
α 0
α
0
e−αr dr =
69
(pro α > 0), takže
J1 = 1
1
a0
= 2a20
J2 =
1
a0
=−
+ iq
2 + 1 − q 2 a20
1
1
a0
− iq
2
2 = a0
(1 − iqa0 )2 + (1 + iqa0 )2
(1 + q 2 a20 )
2
=
2
(1 + q 2 a20 )
1
1
1 − iqa0 − 1 − iqa0
=
− 1
= a0
1 + q 2 a20
+ iq
− iq
a0
2iqa20
1 + q 2 a20
a po dosazenı́ dostaneme
1
q I(q) =
=
2 −
1 + q 2 a20
(1 + q 2 a20 )
1 − a20 q 2 − 1 − a20 q 2
=
= −4πia20
2
(1 + q 2 a20 )
8iπa40 q 2
=
2
(1 + q 2 a20 )
2
−4πia20
1 − a20 q 2
neboli
I(q) =
8iπa40
(1 + q 2 a20 )
2
q.
Maticový element je
8iπa40
i~eA0
p
hf i =
2 ǫ · (κ − k)
ma0 πa30 V (1 + q 2 a20 )
i~eA0
8iπa40
p
=−
2 ǫ · k,
ma0 πa30 V (1 + q 2 a20 )
nebot’ ǫ · κ = 0, což plyne z vlastnostı́ Coulombické kalibrace.
Nynı́ již máme v rukou vše, co potřebujeme k použitı́ Fermiho zlatého pravidla
(9.0.8). Dosadı́me a dostaneme
dwi→f
2π
dρ
=
|hf i |2
=
dΩ
~ dΩ
2
2π i~eA0
8iπa40
V
p
ǫ
·
k
=
~km =
2
(2π~)3
~ ma0 πa30 V (1 + q 2 a20 )
16 (eA0 )2 (ǫ · k)2 ka30
=
π~ m (1 + q 2 a20 )4
(10.1.4)
3. Účinný přůřez
Účinný průřez procesu je definován jako počet procesů i → f za jednotku času
dělenou celkovým tokem částic. V našem přı́padě je to absorbovaná energie za
jednotku času dělená tokem energie dopadajı́cı́ho elektromagnetického zářenı́.
70
Absorbovaná energie za jednotku času je dána součinem rychlosti přechodu
(10.1.4) a energie, která se absorbuje a která je rovna ~ω:
Ui→f = ~ω
dwi→f
dΩ
Tok energie Φ je součin rychlosti přenosu energie c a střednı́ hustoty energie
ǫ0 2 E + c2 B 2 ,
hwi =
2
kde vektory elektrické intenzity a magnetické indukce jsou
∂A
= −2A0 ωǫ sin (κ · r − ωt) ,
∂t
B = ∇ × A = −2A0 ǫ × κ sin (κ · r − ωt) ,
E=−
takže
E 2 = 4 |A0 |2 ω 2 sin2 (κ · r − ωt) = 2 |A0 |2 ω 2 ,
2
B = 2 |A0 |2 κ2 = 2 |A0 |2 ω 2 .
Dostáváme tedy
hwi = 2ǫ0 |A0 |2 ω 2 ,
Φ = c hwi = 2cǫ0 |A0 |2 ω 2
a po dosazenı́ je účinný průřez
dσi→f
32α~ (ǫ · k)2 ka30
Ui→f
~ω
32γ (ǫ · k)2 ka30
dwi→f
=
,
=
=
=
dΩ
Φ
mcω (1 + q 2 a20 )4
mω (1 + q 2 a20 )4
2cǫ0 ω 2 |A0 |2 dΩ
kde α = γ/(~c) je konstanta jemné struktury.
Zaved’me ještě souřadnou soustavu tak, aby vektor polarizace ǫ mı́řil do směru osy x,
vlnový vektor dopadajı́cı́ vlny κ do směru osy z. Ve sférických souřadnicı́ch dostaneme
ǫ · k = k sin θ cos φ
q 2 = k 2 − 2k · κ + κ2 = k 2 − 2k
ω 2
ω
cos θ +
c
c
Při výpočtu jsme uvažovali, že Coulombické pole neovlivnı́ pohyb vyraženého elektronu a ten se pohybuje jako volný. To platı́ pouze v přı́padě, že k ≫ |E0 |, kde E0 je
energie základnı́ho stavu atomu. Tuto aproximaci lze rozvést ještě dál. Energie, kterou
zı́ská vylétávajı́cı́ elektron, je dı́ky tomuto přiblı́ženı́ rovna energii dopadajı́cı́ch fotonů:
√
√
2mEe
2m~ω
=
.
k=
~
~
Jelikož κ = ω/c, dostáváme
κ
~k
p
v
κ
=k 2 =
=
=
,
k
k
2mc
2mc
2c
takže
q2 ≈ k2 −
71
v
cos θ ,
c
kde v je rychlost vylétnuvšı́ho elektronu. Navı́c můžeme zanedbat
v
1 + q 2 a20 ≈ 1 + k 2 a20 1 − cos θ ≈
c v
2 2
≈ k a0 1 − cos θ .
c
Diferenciálnı́ účinný průřez bude
32α~
sin2 θ cos2 φ
dσi→f
=
.
dΩ
mω (ka0 )5 1 − vc cos θ 4
Ten nabývá maxima pro φ = 0, tj. v rovině polarizace dopadajı́cı́ elektromagnetické
vlny, a pro θ dané rovnicı́
d
sin2 θ
=0
dθ 1 − vc cos θ
4
3
v
v
v
2 sin θ cos θ 1 − cos θ − 4 sin2 θ sin θ 1 − cos θ = 0
c
c
c
v
v
2
2 cos θ − 2 cos θ − sin2 θ = 0
c
c
a tedy
q
−1 ± 1 + 8
c

c
cos θ =
−1 ± 1 ± 4
≈ vv .
≈
2
2 vc
2v
c
c
Prvnı́ řešenı́ nevyhovuje, pravá strana je většı́ než 1. Maximálnı́ pravděpodobnost emise
je tedy do směru
π
v
θ = −2 ,
φ = 0.
2
c
v 2
c
v 2 Poznámka:
Integrál (10.1.3) lze vypočı́tat též jiným způsobem. V p-reprezentaci budeme posunovat
operátor ∇ vlevo. Posunutı́ skrz člen eiκ·r lze provést přı́mo dı́ky Coulombické kalibraci (směr šı́řenı́ elektromagnetické vlny je kolmý na polarizaci). Posunutı́ skrz člen
e−ik·r provedeme pomocı́ integrace Per partes. Povrchový přı́spěvek je 0 a gradient po
zapůsobenı́ na tento člen dá pouze faktor −ik, který je možné vytknout před integrál.
Integrujeme tedy nakonec
Z
r
~eA0
iq·r − a0 3
p
hf i = −
d r,
ǫ
·
k
e
e
mca0 πa30 V
což je vlastně Fourierova transformace vlnové funkce základnı́ho stavu atomu vodı́ku.
10.2
Fotoelektrický jev v dipólové aproximaci
Uvažujte stejný systém jako v předchozı́m přı́padě.
1. Nalezněte interakčnı́ Hamiltonián v dipólové (E1) aproximaci.
2. V této aproximaci spočı́tejte diferenciálnı́ rychlost přechodu a účinný průřez.
3. Určete, pro jakou energii vylétávajı́cı́ho elektronu je rychost přechodu (diferenciálnı́ účinný průřez) největšı́.
4. Srovnejte obecné řešenı́ z předchozı́ úlohy a řešenı́ v dipólové aproximaci.
72
Řešenı́:
1. Interakčnı́ Hamiltonián v dipólové aproximaci
Vyjdeme z vyjádřenı́ interakčnı́ho Hamiltoniánu (10.1.2)
ĤI (t) = −
eA0 i(κ·r̂−ωt)
e
+ e−i(κ·r̂−ωt) ǫ · p̂.
mc
Je-li vlnová délka vlny mnohem většı́ než rozměry atomu, z rozvoje exponenciály
e±iκ·r̂ ≈ 1 ± iκ · r̂ + · · ·
vezmeme jen prvnı́ člen.
V
E nestacionárnı́ poruchové teorie počı́táme amplitudy přechodu
D 1. řádu
f ĤI (t)i , kde |ii je počátečnı́ stav, |ii koncový stav, oba vlastnı́ stavy neporušeného Hamiltoniánu Ĥ0 . V našem přı́padě
E
D eA0
f ĤI (t)i = −
ǫ · hf |p̂|ii eiωt + e−iωt =
m h
i
p̂ = platı́ r̂, Ĥ0 = i~ =
m
D
h
i E
eA0
m
ǫ · f
r̂, Ĥ0 i 2 cos ωt =
=−
m
i~
(0)
(0)
Ef − Ei
= 2ieA0
ǫ · hf |r̂|ii cos ωt =
~
= hf |2ieA0 ωf i cos ωt ǫ · r̂|ii
Pro poruchu harmonicky závisejı́cı́ na čase s úhlovou frekvencı́ ω a pro dostatečně
dlouhé časy platı́ podle (9.0.7)
ω ≃ ±ωf i .
Dostáváme tedy
ĤI (t) = 2ieA0 ω ǫ · r̂ cos ωt
což můžeme ještě přepsat pomocı́ intenzity elektrického pole
E(t) = −
∂A
= 2A0 ω ǫ sin (κ · r − ωt) ≈ −2E0 ǫ sin ωt
∂t
a vhodnou volbou fázı́ do tvaru
ĤI (t) = −E(t) · d̂ ,
kde d̂ = −er̂ je dipólový operátor. Takto zapsaný interačnı́ Hamiltonián pro harmonickou poruchu vyjadřuje interakci dipólu atomu vodı́ku s proměnným elektrickým polem. To objasňuje, proč se aproximace nazývá dipólová.
2. Rychlost přechodu
Budeme postupovat ve zcela stejných krocı́ch jako v předchozı́m přı́kladě, tj.
využijeme Fermiho zlaté pravidlo (9.0.8).
73
Označı́me-li ĥ = eE0 ǫ · r, dává maticový element přı́spěvek
D E
hf i = f ĥi =
Z
′
= eE0 ψf∗ (r)ǫ · rψi (r)d3 r =
Z
1
− r
= eE0 p 3 ǫ · e−ik·r r e a0 d3 r =
πa0 V
1
= eE0 p 3 ǫ · I(k)
πa0 V
a integrál vypočteme opět stejnou úvahou jako dřı́ve:
Z
k I(k) =
Platı́
Z
neboli
J1 = −
r
e−ik·r k · r e a0 d3 r =
Z ∞ −r a1 +ik
−r a1 −ik
2
0
0
= 2πi
r e
+e
dr+
0
Z
2π ∞
−r a1 +ik
−r a1 −ik
0
0
r e
+
−e
dr =
k 0
2π
J2
= 2πi J1 +
k
2
2
1
a0
= 4a30
+ ik
∞
2
dr =
α
2 −αr
r e
0
3 + 1 − 3k 2 a20
2
1
a0
− ik
Z
3 =
∞
r e−αr dr =
0
(1
2a30
2
,
α3
− ika0 )3 + (1 + ika0 )3
(1 + k 2 a20 )
3
3
=
(1 + k 2 a20 )
2
2
1
1
2 (1 − ika0 ) − (1 + ika0 )
=
J2 = 2 + 2 = a0
2
1
1
(1 + k 2 a20 )
+
ik
−
ik
a0
a0
=−
4ika30
(1 + k 2 a20 )
2
a po dosazenı́ dostaneme
2
8πia30
1 − 3a20 k 2
1
3 −
2 =
(1 + k 2 a20 )
(1 + k 2 a20 )
1 − 3a20 k 2 − 1 − a20 k 2
=
= 8πia30
3
(1 + k 2 a20 )
32iπa50 k 2
=−
3.
(1 + k 2 a20 )
k I(k) =
74
Samotný integrál znı́
I(k) = −
32iπa50
(1 + k 2 a20 )
3
k,
takže maticový element je
eE0
32iπa50
hf i = − p 3
3 ǫ·k
πa0 V (1 + k 2 a20 )
Konečně rychlost přechodu je
dwi→f
2π
dρ
=
|hf i |2
=
dΩ
~ dΩ
2
~km
2π 32iπa50
eE0
p
ǫ
·
k
=
=
−
2 3
3
2
(2π~)3
~ πa0 V (1 + k a0 )
256ma40 (eA0 ω)2 ( ǫ · k)2 ka30
=
6
π~3
(1 + k 2 a20 )
1024γǫ0 ma40 (A0 ω)2 ( ǫ · k)2 ka30
=
6
π~3
(1 + k 2 a20 )
a diferenciálnı́ účinný průřez
512γma40 ω ( ǫ · k)2 ka30
512αma40 ω ( ǫ · k)2 ka30
dσi→f
=
=
6 .
dΩ
π~2 c (1 + k 2 a20 )6
π~
(1 + k 2 a20 )
3. Extrémy rychlosti přechodu
Vidı́me, že dwi→f /dΩ ∼ (ǫ · k)2 , což znamená, že elektrony jsou s největšı́
pravděpodobnostı́ emitovány ve směru polarizace dopadajı́cı́ elektromagnetické
vlny.
Velikost vlnového vektoru, pro který je rychlost emise elektronu nejvyššı́,
spočı́táme z rovnice
d dwi→f
=0
dk
dΩ
6
5
3k 2 1 + k 2 a20 − 6 1 + k 2 a20 2ka20 k 3 = 0
3k 2 1 + k 2 a20 − 12a20 k 4 = 0
3 − 9k 2 a20 = 0
což dává
mcα
1 1
= √
km = √
3 a0
~2 3
Energie je pro tuto hodnotu vlnového vektoru rovna
Em =
75
1
mc2 α2
6~2
10.3
Domácı́ úkol
Atom vodı́ku popsaný Hamiltoniánem
Ĥ0 =
1 2 γ
p̂ − ,
2m
r̂
se nacházı́ v excitovaném stavu 2p, tj. ve stavu popsaném vektorem |n = 2, l = 1, mi, kde
projekce orbitálnı́ho momentu hybnosti m může nabývat libovolné z hodnot {−1, 0, 1}.
Na atom působı́ elektromagnetické vlněnı́ s vektorovým potenciálem
A(r̂, t) = 2A0 ǫ cos (κ · r̂ − ωt)
(jednotkový vektor ǫ určuje polarizaci vln, κ = nω/c je vlnový vektor určujı́cı́ směr
postupu vlny) a skalárnı́m potenciálem
Φ(r̂, t) = 0.
Předpokládejte, že vlnová délka λ = 2π/κ je mnohem většı́ než efektivnı́ rozměr atomu
a0 , lze tedy počı́tat v dipólové aproximaci.
1. Nalezněte hustotu pravděpodobnosti za jednotku času, že atom přejde do
základnı́ho stavu a vyzářı́ foton o frekvenci ω do elementu prostorového úhlu Ω.
2. Napište diferenciálnı́ účinný průřez tohoto procesu.
3. Nalezněte směr, do kterého je pravděpodobnost vyzářenı́ fotonu nejvyššı́. Jak tento
směr závisı́ na počátečnı́m kvantovém čı́sle m?
11
Rozptyl
Sférické Besselovy funkce
Sférické Besselovy funkce jsou dvě linárně nezávislá řešenı́ diferenciálnı́ rovnice 2. řádu
(někdy nazývané Helmholtzova rovnice)
d2
l(l + 1)
2 d
jl (z)
=0 .
+ 1−
+
2
2
nl (z)
dz
z dz
z
(11.0.1)
• jl (z) se nazývá sférická Besselova funkce nebo sférická Besselova funkce 1. druhu.
• nl (z) se nazývá sférická Neumannova funkce nebo sférická Besselova funkce 2.
druhu.
• Definujı́ se také sférické Hankelovy funkce 1. a 2. druhu vztahy
(1)
hl (z) ≡ jl (z) + inl (z) ,
(2)
hl (z) ≡ jl (z) − inl (z) .
l je parametr (převážně celočı́selný nezáporný, což budeme předpokládat v dalšı́ch
výrazech, ale obecně může být reálný).
76
Symetrie
jl (z) = (−1)l jl (z) ,
nl (z) = (−1)l+1 nl (z) ,
(1,2)
hl
(1,2)
(z) = (−1)l hl
(z) .
Vyjádřenı́ pomocı́ řady
∞
X
2 n
z
1
jl (z) = z
−
n! (2l + 2n + 1)!!
2
n=0
( l−1
X (2l − 2n − 1)!! z 2 n 1 z 2 l
1
−
+
nl (z) = − l+1
z
n!
2
l! 2
n=0
)
∞
2 n
X
1
z
+ (−1)l
−
n! (2n − 2l − 1)!!
2
n=l+1
l
Vyjádřenı́ pomocı́ goniometrických funkcı́
l
1 d
sin z
jl (z) = (−z)
z dz
z
l
cos z
1 d
nl (z) = −(−z)l
z dz
z
l
Asymptotika z → 0
zl
(2l + 1)!!
(
− z1
z→0
nl (z) −−→
− (2l−1)!!
z l+1
z→0
jl (z) −−→
pokud l = 0
pokud l > 0
(11.0.2)
Sférické Neumannovy funkce divergujı́ pro z → 0.
Asymptotika z → ∞
sin z − l π2
jl (z) −−−→
z
cos
z
− l π2
z→∞
nl (z) −−−→ −
z
z→∞
(11.0.3)
Relace ortogonality
Z
∞
jl (kr)jl (k ′ r)r2 dr =
0
77
π
δ(k − k ′ )
2
2k
(11.0.4)
Rozklad exponenciály
e
ik·r
= 4π
l
∞ X
X
i
l
∗
jl (kr)Ylm
l=0 m=−l
=
∞
X
r k
Ylm
=
k
r
il (2l + 1)jl (kr)Pl (cos θ) ,
l=0
kde jsme zvolili souřadnou soustavu tak, že osa z je rovnoběžná s vektorem r, takže
k · r = kr cos θ .
Eplicitnı́ vyjádřenı́ nejnižšı́ch Besselových funkcı́
cos z
z
cos z sin z
n1 (z) = − 2 −
z
z
3
1
3
cos z − 2 sin z
n2 (z) = −
−
3
z
z
z
sin z
z
sin z cos z
j1 (z) = − 2 −
z
z
3
3
1
sin z − 2 cos z
j2 (z) =
−
3
z
z
z
n0 (z) = −
j0 (z) =
Stacionárnı́ stavy volné částice s ostrou hodnotou impulsmomentu
Vlnovou funkci volné částice s velikostı́ vlnového vektoru k zapı́šeme jako
ψklm (r, θ, φ) = hr|k l mi = Rklm (r)Ylm (θ, φ) .
Schrödingerova rovnice v tomto přı́padě znı́
−
~2
∆ψklm (r, θ, φ) = Eψklm (r, θ, φ) ,
2M
kde
1 ∂ 2∂
∂
∂2
1
∂
1
r
+
sin
θ
+
r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ
∂θ r2 sin2 θ ∂φ2
2 ∂
L2
∂2
− 2 ,
= 2+
∂r
r ∂r
r
∆=
přičemž E = ~2 k 2 /2M . Po dosazenı́ L2 ψklm (r, θ, φ) = l(l + 1)ψklm (r, θ, φ)
2
∂
2 ∂
l(l + 1)
2
Rkl (r) = 0
+
+ k −
∂r2 r ∂r
r2
↓ z = kr
2
∂
2 ∂
l(l + 1)
Rkl (z) = 0
+
+ 1−
2
∂z
z ∂z
z2
78
což je přesně Helmholtzova rovnice pro sférické Besselovy funkce (11.0.1). Obecné řešenı́
pro radiálnı́ část tedy znı́
Rkl (r) = al (k)jl (kr) + bl (k)nl (kr).
(11.0.5)
Sférická Neumannova funkce podle asymptotiky (11.0.2) diverguje pro r = 0, ve
výsledném řešenı́ se tudı́ž nebude vyskytovat. Užitı́m relacı́ ortogonality (11.0.4)
dostáváme normovanou radiálnı́ část vlnové funkce volné částice
r
2
kjl (kr) .
Rkl (r) =
π
Rozvoj amplitudy rozptylu do parciálnı́ch vln
Asymptotická vlnová funkce částice rozptylujı́cı́ se na potenciálu V (r) je dána superpozicı́ rovinné vlny s vlnovým vektorem k a rozptýlené kulové vlny
(+)
ψk (r)
E
D (+)
=
≡ r ψ k
1
3
(2π) 2
e
ik·r
eikr
+f (k , k)
r
′
(11.0.6)
přičemž k = k ′ a k′ = kr/r. Amplituda rozptylu je
E
D 1 2M
′ (+)
3
f (cos θ) = −
(2π) k V̂ψk
4π ~2
Z
4π 2 M D ′ E
M
′
k V̂k = −
ei(k−k )·r V (r)d3 r ,
≈− 2
2
~
2π~
(11.0.7)
kde poslednı́ řádek je tzv. Bornova aproximace (1. člen Bornovy řady). Diferenciálnı́
účinný průřez rozptylu z amplitudy rozptylu je
dσ
2
= |f (k′ , k)| .
dΩ
(11.0.8)
Pro sféricky symetrický potenciál je výhodné rozložit amplitudu rozptylu do
parciálnı́ch vln
∞
X
′
f (k , k) =
(11.0.9)
(2l + 1)fl (k)Pl (cos θ)
l=0
kde cos θ je úhel mezi směrem dopadajı́cı́ rovinné vlny daným vektorem k a polohovým
vektorem r
k·r
,
cos θ =
kr
Pl (cos θ) je Legendreův polynom a fl (k) amplituda rozptylu l-té parciálnı́ vlny. Dosazenı́m tohoto rozvoje do (11.0.6) a z asymptotiky a srovnánı́ s volnou částicı́ vyplývá
vztah mezi fl (k) a fázovým posunutı́m δl (k)
1
sin δl (k) eiδl (k)
k
.
1
δl (k) = ln [2ikfl (δ) + 1]
2i
fl (k) =
79
(11.0.10)
Amplitudu rozptylu l-té parciálnı́ vlny dostaneme přeintegrovánı́m plné amplitudy rozptylu (11.0.9) s l-tým Legendreovým polynomem
Z
1
′
f (k , k)Pl (cos θ) d cos θ =
−1
=
∞
X
m=0
∞
X
(2m + 1)fm (k)
(2m + 1)fm (k)
m=0
Z
1
Pl (cos θ)Pm (cos θ) d cos θ
−1
2
δml = 2fl (k) ,
2m + 1
kde jsme využili relacı́ ortogonality Legendreových polynomů
Z 1
2
Pm (x)Pl (x)dx =
δml .
2m + 1
−1
Dostáváme tedy
1
fl (k) =
2
Z
π
f (k′ , k)Pl (cos θ) sin θ dθ .
(11.0.11)
−π
V prvnı́ Bornově aproximaci se předpokládá, že je amplituda rozptylu malá.
Využijeme přibližný vzorec pro logaritmus ln(1+x) ≈ x, platný pro x ≪ 1, a z (11.0.10)
dostaneme jednoduchý vztah
δl (k) = kfl (k) .
(11.0.12)
Přeintegrovánı́m vztahu pro diferenciálnı́ účiný průřez (11.0.8) dostaneme vztah mezi
účinným průřezem pro l-tou parciálnı́ vlnu a jejı́m fázovým posunutı́m
σl (k) =
4π
(2l + 1) sin2 δl (k) .
k2
Celkový účinný průřez je pak
σ(k) =
∞
X
(11.0.13)
σl (k)
l=0
Fázové posunutı́ je kladné pro přitažlivé sı́ly (záporný potenciál) a záporné pro
odpudivé sı́ly.
11.1
Gaussovský potenciál
Interakce je určena sféricky symetrickým potenciálem
2
V (r) = v e−µr ,
kde v a µ jsou reálné konstanty, µ > 0.
1. Určete v Bornově aproximaci amplitudu rozptylu a diferenciálnı́ účinný průřez
rozptylu na tomto potenciálu.
2. Určete fázové posunutı́ pro s vlnu.
3. Určete fázové posunutı́ pro p vlnu.
80
Řešenı́:
Předně označı́me q = k − k′ a úhel mezi vektory k a k′ jako ψ. Pak (využijeme toho,
že k = k ′ )
ψ
′
q 2 = k 2 − 2k · k′ + k 2 = 2k 2 (1 − cos ψ) = 4k 2 sin2 ,
2
a tedy
ψ
q = 2k sin .
2
1. Amplitudu rozptylu spočı́táme pomocı́ vzorce (11.0.7):
sférické souřadnice,
Z
Mv
iq·r −µr 2 3
osa z paralelnı́ s q f (k′ , k) = −
e
e
d
r
=
2π~2
q · r = qr cos θ Z ∞ Z π Z 2π
u = cos θ Mv
iqr cos θ −µr 2 2
e
e
r sin θ dr dθ dφ = =−
du = − sin θ dθ
2π~2 0
0
0
Z 1
Z
M v ∞ 2 −µr2
eiqru du
r e
dr
=− 2
~
−1
0
iqru 1
Z ∞
Z
Mv
M v ∞ −µr2 +iqr
2
2 −µr 2 e
=− 2
r e
dr = − 2
e
− e−µr −iqr r dr
~
iqr −1
iq~ 0
0
x = r − a
Z ∞h
i
2
iq 2
iq 2
Mv q
= − 2 e− 4µ
e−µ(r− 2µ ) − e−µ(r+ 2µ ) r dr = y = r + a
iq~
0
a = iq 2µ
Z ∞
Z ∞
2
q
M v − 4µ
−µx2
−µy 2
=− 2e
(x + a) e
dx −
(y − a) e
dy .
iq~
−a
a
{z
}
|
I
Integrál je
Z
I=
0
Z
−µx2
0
−µx2
Z
∞
Z
−µx2
∞
2
xe
+a
e
dx +
xe
dx + a
e−µx dx
−a
−a
0
0
Z ∞
Z ∞
Z a
Z a
2
2
2
2
−µx
−µx
−µx
−
xe
dx + a
e
dx +
xe
dx − a
e−µx dx
Z a 0
Z ∞0
Z a 0
Z 00
2
2
2
2
x e−µx dx + a
e−µx dx +
= 2a
e−µx dx
e−µx dx − a
0
| −a {z
} | −a
{z 0
}
0 (lichá funkce)
= 2a
Z
∞
2
e−µx dx = a
0
r
0 (sudá funkce)
π
,
µ
takže amplituda rozptylu je
Mv
f (k , k) = −
2µ~2
′
r
q2
π − 4µ
e
µ
a diferenciálnı́ účinný průřez
q2
dσ
π(M v)2 − 2µ
.
=
e
dΩ
4~2 µ3
81
2. K výpočtu amplitudy rozptylu s-vlny (l = 0) aplikujeme vzorec (11.0.11):
ψ
4k2 sin2 2
z}|{
r Z 1
q2
Mv π
−
4µ
P (cos ψ) d cos ψ
e
f0 (k) = −
| 0 {z }
4µ~2 µ −1
1
r Z 1
2
k
Mv π
=−
e− 2µ (1−x) dx
2
4µ~
µ −1
1
r M v π 2µ − k2µ2 (1−x)
e
=−
4µ~2 µ k 2
−1
r r
2
M v π − k2µ2
π
k2
Mv
− kµ
=− 2 2
sinh
1−e
e
.
=− 2 2
2~ k
µ
~k
µ
2µ
Fázové posunutı́ určı́me pomocı́ přibližného vzorce (11.0.12)
r
k2
M v π − k2µ2
sinh
δ0 (k) ≈ − 2
e
.
~k µ
2µ
3. Aplitudu rozptylu a fázové posunutı́ p-vlny počı́táme analogicky jako v předchozı́m
bodě:
r Z
M v π 1 − k2µ2 (1−x)
Per partes
dx
=
P
(x)
f0 (k) = −
e
1
| {z }
4µ~2 µ −1
x
)
1
r (
Z 1
2
2
k
k
Mv π
2µ
2µ − 2µ (1−x)
=−
− 2
xe
e− 2µ (1−x) dx
2
2
4µ~
µ
k
k −1
−1
r 2
2
π
Mv
2µ
− kµ
− kµ
1+e
=− 2 2
− 2 1−e
2~ k
µ
k
2
2
r
2
2
2
k
k
2µ
π − k2µ
Mv
− k2µ
− k2µ
2µ
2µ
e +e
− 2 e −e
e
=− 2 2
2~ k
µ
k
r
2
2
2µ
k2
M v π − k2µ
k
e
−
sinh
=− 2 2
,
cosh
~k
µ
2µ k 2
2µ
r
M v π − k2µ2
k2
2µ
k2
δ1 (k) = − 2
cosh
.
e
−
sinh
~k µ
2µ k 2
2µ
Fázová posunutı́ pro s a p vlnu jsou znázorněna na obrázku 11.1.
11.2
Wronskián sférické Besselovy rovnice
Nalezněte, čemu se rovná Wronskián22 sférických Besselových funkcı́, tj. determinant
jl (z) nl (z)
= jl (z)n′l (z) − jl′ (z)nl (z) .
Wl (z) ≡ det ′
jl (z) n′l (z)
22
Nenulovost Wronskiánu zaručuje lineárnı́ nezávislost zúčastněných funkcı́.
82
Řešenı́:
Rovnici pro sférické Besselovy funkce (11.0.1) vynásobı́me zleva sférickou Neumannovou
funkcı́ a naopak. Výsledné rovnice od sebe odečteme:
2
d
2
l(l
+
1)
d
nl (z)
jl (z) = 0
+
+ 1+
dz 2 z dz
z2
2
2
l(l
+
1)
d
d
jl (z)
nl (z) = 0
+
+ 1+
dz 2 z dz
z2
jl′′ (z)nl (z) − jl (z)n′′l (z) + 2z(jl′ (z)nl (z) − jl (z)n′l (z)) = 0
Wl′ (z) + 2zWl (z) = 0
Obdrželi jsme diferenciálnı́ rovnici pro W (z), jejı́ž řešenı́ hledáme ve tvaru
Wl (z) = cz α .
Dosazenı́m dostaneme α = −2. Pro určenı́ konstanty c nám stačı́ spočı́tat hodnotu
Wronskiánu pro jedno konkrétnı́ z. Využijme napřı́klad asymptotiky z → 0 (11.0.2).
Pro l 6= 0 dostáváme
(2l − 1)!!
d
(2l − 1)!! d
zl
zl
−
+
Wl (z ∼ 0) =
(2l + 1)!! dz
z l+1
z l+1 dz (2l + 1)!!
zl
(l + 1)(2l − 1)!! (2l − 1)!! lz l−1
=
+
(2l + 1)!!
z l+2
z l+1 (2l + 1)!!
1 l+1
1 l
1
= 2
+ 2
= 2
z 2l + 1 z 2l + 1
z
a pro l = 0
1
1 d
1
d
−
+
1 = 2.
W0 (z ∼ 0) = 1
dz
z
z dz
z
Wronskián sférických Besselových funkcı́ tedy je
Wl (z) = jl′ (z)nl (z) − jl (z)n′l (z) =
0
3
0.0
1
.
z2
(11.2.1)
6
k
δ1(k)
-0.3
δ0(k)
-0.6
Obrázek 11: Fázová posunutı́ s a p parciálnı́ vlny pro rozptyl na Gaussovském potenciálu
v 1. Bornově aproximaci. Hodnoty parametrů jsou M = ~ = v = µ = 1.
83
11.3
Sférická dutina obalená δ-slupkou
Mějme částici rozptylujı́cı́ se na potenciálu
v
V (r) = δ(r − a)
a
(dutina obalená slupkou z δ-funkce).
• Nalezněte radiálnı́ část vlnové funkce Rkl (r).
• Určete fázové posunutı́ l-té parciálnı́ vlny δl (k).
• Určete totálnı́ účinný průřez l-té parciálnı́ vlny σl (k).
Řešenı́:
Až na oblast δ-slupky máme vlastně volnou částici. Radiálnı́ část jejı́ vlnové funkce
bude mı́t obecný tvar daný lineárnı́ kombinacı́ sférické Besselovy a Neumannovy funkce
(11.0.5). Uvnitř koule musı́ být
Rkl (r < a) = Al (k)jl (kr)
(odůvodněnı́ stejné jako v přı́padě volné částice, vlnová funkce nesmı́ divergovat v
počátku).
Řešenı́ vně koule zapišme jako
Rkl (r) = Bl (k) [αl (k)jl (kr) + βl (k)nl (kr)]
což v asymptotice r → ∞ (11.0.3) dává
"
#
sin kr − l π2
cos kr − l π2
Rkl (r → ∞) → Bl (k) αl (k)
− βl (k)
kr
kr
Asymptotika zcela volné částice, jejı́ž řešenı́ je (11.0.5), znı́
sin kr − l π2
(0)
.
(11.3.1)
Rkl (r → ∞) →
kr
V našem přı́padě dojde k fázovému posunutı́ oproti řešenı́ volné částice, které lze popsat
pomocı́ veličiny δl (k):
sin kr − l π2 + δl (k)
Rkl (r → ∞) →
=
kr
sin kr − l π2
cos kr − l π2
= cos δl (k)
+ sin δl (k)
kr
kr
Srovnánı́m s předchozı́m vyjádřenı́m (11.3.1) vidı́me, že
αl (k) = cos δl (k)
βl (k) = − sin δl (k)
a vlnová funkce zapsaná pomocı́ fázového posunutı́ je
(
Al (k)jl (kr)
pro r < a
Rkl (r) =
Bl (k) [cos δl (k)jl (kr) − sin δl (k)nl (kr)] pro r > a
Fázové posunutı́ určı́me pomocı́ sešı́vacı́ podmı́nky na slupce. Stejně jako v přı́padě
jednorozměrného potenciálu i zde musı́ platit dvě podmı́nky:
84
1. Vlnová funkce je spojitá
Al (k)jl (ka) = Bl (k) [cos δl (k)jl (ka) − sin δl (k)nl (ka)]
(11.3.2)
2. V derivaci je skok daný silou δ-funkce (viz 5. cvičenı́ zimnı́ho semestru)
2M v
Rkl (a),
~2 a
′
′
Rkl
(a + 0) − Rkl
(a − 0) =
′
což v našem přı́padě dává (pozor, Rkl
=
d
R ,
dr kl
tj. derivujeme jen podle r)
kAl (k) [cos δl (k)jl′ (ka) − sin δl (k)n′l (ka)] − kBl (k)jl′ (ka) =
Q
Bl (k)jl (ka), (11.3.3)
a
přičemž jsme označili Q ≡ 2mv/~2 .
Dosazenı́m z (11.3.2) do (11.3.3) dostaneme (nepı́šu již argumenty funkcı́)
Q
jl (jl cos δl − nl sin δl )
ka
Q
jl (jl cos δl − nl sin δl ) .
− (jl n′l − jl′ nl ) sin δl =
ka
jl jl′ cos δl − jl n′l sin δl − jl jl′ cos δl + jl′ nl sin δl =
Na levé straně se nám objevil Wronskián (11.2.1), za který dosadı́me:
−
Q
1
sin δl =
jl (jl cos δl − nl sin δl )
2
(ka)
ka
Z toho již zı́skáme explicitnı́ výraz pro fázové posunutı́
tg δl (k) =
Qjl2 (ka)
Qjl (ka)nl (ka) −
(11.3.4)
1
ka
Dále můžeme z podmı́nky spojitosti (11.3.2) určit koeficient průniku
Al (k) 2 cos δl (k)jl (ka) − sin δl (k)nl (ka)
=
,
Pl (k) ≡ Bl (k) jl (ka)
(11.3.5)
kde dosadı́me v tuto chvı́li již známé fázové posunutı́ δl (k).
Nakonec určı́me účiný průřez pro l-tou parciálnı́ vlnu. K tomu se bude hodit vztah
(11.0.13). Mezi goniometrickými funkcemi platı́
sin2 x =
tg2 x
.
1 + tg2 x
V našem přı́padě
tg2 δl (k)
=
1 + tg2 δl (k)
Q2 jl4 (ka)
=
Q2 jl4 (ka) + Qjl (ka)nl (ka) −
sin2 δl (k) =
85
1 2
ka
∆HkL
∆HkL
2
-0.1
4
6
8
10
∆HkL
k
2
4
6
8
10
k
2
-0.5
-0.5
4
6
8
10
k
-1.0
-0.2
-1.0
-0.3
-0.4
-1.5
-0.5
-2.0
PHkL
1.2
-1.5
-2.0
-2.5
PHkL
15
PHkL
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
k
10
5
2
4
6
8
10
k
ΣHkL
ΣHkL
3.0
10
2.5
8
2.0
6
1.5
2
4
6
8
10
k
10
2.5
8
2.0
6
1.5
2
4
6
8
10
k
4
6
8
10
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
k
k
ΣHkL
12
10
8
6
4
2
0.5
2
k
4
4
1.0
10
6
ΣHkL
ΣHkL
8
8
2
3.0
6
10
2
0.5
4
ΣHkL
12
4
1.0
2
2
2
(j) Q = 1
4
6
8
10
k
(k) Q = 10
k
(l) Q = 50
Obrázek 12: 1. řádek: Fázové posunutı́ l-té parciálnı́ vlny δl (k) podle (11.3.4) pro l = 0
(modře), l = 1 (fialově), l = 2 (béžově). 2. řádek: Koeficient průniku l-té parciálnı́ vlny Pl (k)
podle (11.3.5). 3. řádek: Účinný průřez l-té parciálnı́ vlny podle (11.3.6). 3. řádek: Součet
účinných průřezů σ0 (modře), σ0 +σ1 (fialově), σ0 +σ1 +σ2 (béžově), σ0 +σ1 +σ2 +σ3 (zeleně).
Vše je znázorněno pro různé hodnoty Q.
Hladina
ka
1s
π = 3.1
1p
4.5
1d
5.8
2s
2π = 6.3
1f
7.0
2p
7.7
1g
8.2
2d
9.1
Tabulka 2: Vázané stavy nekonečně hluboké sféricky symetrické jámy. Je užito spektroskopické
značenı́ s(l = 0), p(l = 1), d(l = 2), f (l = 3), g(l = 4).
86
a účinný průřez je tedy
σl (k) =
Q2 jl4 (ka)
4π
(2l
+
1)
k2
Q2 jl4 (ka) + Qjl (ka)nl (ka) −
1 2
ka
(11.3.6)
Na obrázku 11.3 jsou znázorněny výsledky pro nejnižšı́ parciálnı́ vlny a pro různé
sı́ly potenciálu dané velikostı́ parametru Q. Čı́m je Q většı́ (potenciál silnějšı́), tı́m jsou
výraznějšı́ a ostřejšı́ maxima v koeficientu průniku a v účinném průřezu. To je ukázka
rezonancı́ (kvazivázaných stavů). Kdybychom spočı́tali vázané stavy nekonečné hluboké
sférické dutiny s potenciálem
(
0 pro r < a
V (r) =
∞ pro r > a
obdrželi bychom vázané stavy uvedené v tabulce 11.3. Jejich poloha dobře koresponduje
s rezonančnı́mi maximy při velkých Q.
Z obrázku je také vidět, že pro malé hybnosti (energie) k přispı́vá k rozptylu prakticky
jen s-vlna (l=0).
11.4
Domácı́ úkol
Uvažujte rozptyl na potenciálu
v
,
r2
kde v může být kladný (pro odpudivou sı́lu) nebo záporný (pro sı́lu přitažlivou) parametr.
V (r) =
• Řešenı́m Schrödingerovy rovnice nalezněte vlnovou funkci pro energii E > 0.
• Spočı́tejte fázové posunutı́ δl (k) l-té parciálnı́ vlny a načrtněte jeho závislost na k
(nebo na energii E).
• Nalezněte totálnı́ účinný průřez pro l-tou parciálnı́ vlnu σl (k). Diskutujte fyzikálnı́
přı́činu skutečnosti, že pro k → 0 účinný průřez diverguje.
12
Systémy nerozlišitelných částic
Pro složené soustavy nerozlišitelných částic je výhodný popis pomocı́ kreačnı́ch a anihilačnı́ch operátorů â†k , âk , které působı́ na Fockově prostoru
F = H(0) ⊕ H(1) ⊕ H(2) ⊕ · · ·
(H(n) označuje Hilbertův prostor soustavy n částic, H(0) obsahuje pouze jeden stav |0i,
který se běžně nazývá vakuum). Normované bázové vektory prostoru H(n) budeme značit
|N1 , N2 , . . . ; N i ,
kde
∞
X
k=1
87
Nk = N
je celkový počet částic (N1 je počet částic v jednočásticovém stavu (orbitalu) |φk i), a
dajı́ se vytvořit pomocı́ kreačnı́ch operátorů
|N1 , N2 , . . . ; N i = √
N1 N2
1
· · · |0i
â†2
â†1
N1 !N2 ! · · ·
Schematicky můžeme tedy psát
F = |0i ⊗ â†j |0i ⊗ â†j â†k |0i ⊗ · · ·
Kreačnı́ operátory přidávajı́ částici, anihilačnı́ ubı́rajı́:
p
â†k |N1 , . . . , Nk , . . . ; N i = Nk + 1 |N1 , . . . , Nk + 1, . . . ; N + 1i
p
âk |N1 , . . . , Nk , . . . ; N i = Nk |N1 , . . . , Nk − 1, . . . ; N − 1i
(odmocninové koeficienty plynou z normalizace vektorů). Působenı́ anihilačnı́ho
operátoru na vakuum dá 0:
âk |0i = 0
Vlnové funkce soustavy částic musı́ být symetrické vůči záměně libovolných dvou
nerozlišitených bosonů (částic s celočı́selným spinem) a antisymetrické vůči záměně dvou
nerozlišitelných fermionů (částic s poločı́selným spinem). Toho lze docı́lit tı́m, že kreačnı́
operátory splňujı́ komutačnı́ (bosony) nebo antikomutačnı́ (fermiony) relace.
Bosonové kreačnı́ a anihilačnı́ operátory označı́me b̂†k , b̂k . Komutačnı́ relace mezi
nimi znı́
i
i
h
i h
h
† †
†
b̂j , b̂k = b̂j , b̂k = 0 .
(12.0.1)
b̂j , b̂k = δjk ,
Operátor počtu částic ve stavu |φk i a operátor celkového počtu částic jsou
N̂k = â†k âk ,
X †
N̂ =
âk âk .
k
12.1
Gaussovská porucha bosonového systému
Dva nerozlišitelné bosony se pohybujı́ v poli jednorozměrného harmonického oscilátoru
Ĥ0 =
1
1
p̂21 + p̂22 + M Ω2 x̂21 + x̂22 .
2M
2
Jejich vzájemná interakce je popsána Gausovským Hamiltoniánem
2
ĤI = v e−α(x̂1 −x̂2 ) ,
kde v, α > 0 jsou reálné parametry.
Uvažujte interakci za malou poruchu a spočı́tejte do prvnı́ho řádu poruchové teorie
opravu k energii základnı́ho stavu.
88
Řešenı́:
Budeme počı́tat v x-reprezentaci. Jednočásticová vlnová funkce základnı́ho stavu je
r
4 M Ω − M Ω x2
φ0 (x) =
e 2~
2π~
V přı́padě dvou bosonů musı́ být vlnová funkce symetrická vůči záměně dvou částic. To
splňuje přı́mo součin
r
M Ω − M2~Ω (x21 +x22 )
ψ0B (x1 , x2 ) = φ0 (x1 )φ0 (x2 ) =
e
(12.1.1)
2π~
Neporušená energie základnı́ho stavu soustavy dvou bosonů je
1
B(0)
= ~Ω
E0 = 2~Ω 0 +
2
Opravu k energii základnı́ho stavu spočı́táme jako skalárnı́ součin23
ZZ
B(1)
ψ0B∗ (x1 , x2 )ĤI ψ0B (x1 , x2 )dx1 dx2 =
E0 =
ZZ
MΩ
2
MΩ
2
2
=v
e− ~ (x1 +x2 ) e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 =
2π~
ZZ
2
2
MΩ
2
MΩ
e− 2~ [(x1 +x2 ) +(x1 −x2 ) ] e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 =
=v
2π~
X = x1 +x2
Jakobián
2
=
=
x = x1 − x2 transformace je 1
Z
Z
MΩ
Ω 2
MΩ
2
X
− 2M
=v
dX e−( 2~ +α)x dx =
e ~
2π~
r
r
MΩ
π~
π
=
=v
MΩ
2π~ 2M Ω
+α
2~
r
MΩ
v
=
2 M Ω + 2~α
12.2
Fermionový systém
Zadánı́ je stejné jako v předchozı́m přı́kladu 12.1, jen uvažujte fermiony se spinem 1/2.
Spočı́tejte v prvnı́m řádu poruchové teorie opravu k energii základnı́ho stavu pro singletnı́ i tripletnı́ spinový stav.
23
Transformace k proměnným X, x je speciálnı́m přı́padem přechodu k Jacobiho souřadnicı́m
(těžišt’ový a relativnı́ pohyb). Pro tři částice tato transformace znı́
y1 = x 1 − x 2
x1 + x2
− x3
y2 =
2
x1 + x2 + x3
y3 =
3
89
Řešenı́:
Vlnová funkce dvou stejných fermionů je obecně rovna
ψ F (x1 , x2 ) = φF (x1 , x2 )ΣSξ
kde φF (x1 , x2 ) je prostorová část, σSξ část spinová. Dva spiny o velikosti 1/2 se složı́
bud’ na celkový spin S = 1 – tripletnı́ stav –, který je symetrický vůči záměně částic
1 ↔ 2, nebo na spin S = 0 – singletnı́ stav –, který je vůči záměně antisymetrický.
Vlnová funkce systému složeného z fermionů musı́ být antisymetrická. Z toho vyplývá,
že jejı́ prostorová část musı́ být
• symetrická pro singletnı́ stav
• antisymetrická pro tripletnı́ stav.
Prostorová část vlnové funkce pro singletnı́ stav tudı́ž vypadá stejně jako v přı́padě
bosonů (12.1.1)
r
M Ω − M2~Ω (x21 +x22 )
F
φ0,S=0 (x1 , x2 ) = φ0 (x1 )φ0 (x2 ) =
e
2π~
a tı́m pádem také oprava k energii vyjde stejně:
r
v
MΩ
F(1)
E0,S=0 =
2 M Ω + 2~α
U prostorové části vlnové funkce stavu tripletnı́ho si již nevystačı́me s
jednočásticovou vlnovou funkcı́ ψ0 . Antisymetrizovat se dá až součin
1
φF0,S=1 (x1 , x2 ) = √ [φ0 (x1 )φ1 (x2 ) − φ1 (x1 )φ0 (x2 )] ,
2
přičemž φ1 (x) můžeme určit napřı́kad aplikovánı́m posunovacı́ho operátoru â† na funkci
φ0 (x)
r
MΩ
i
†
â =
x̂ +
p̂
2~
MΩ
r
r
~ ∂
MΩ
4 M Ω − M Ω x2
x−
e 2~ =
φ1 (x) =
2~
M Ω ∂x
2π~
r
~ MΩ
MΩ
x+
x
= φ0 (x)
2~
MΩ ~
r
2M Ω
,
= xφ0 (x)
~
takže
"
#
r
r
2M
Ω
2M
Ω
1
φF0,S=1 (x1 , x2 ) = √ φ0 (x1 )x2 φ0 (x2 )
− x1 φ0 (x1 )
φ0 (x2 )
~
~
2
r
MΩ
(x2 − x1 ) φ0 (x1 )φ0 (x2 ) .
=
~
90
Neporušená hodnota energie je v tomto stavu
1
1
F(0)
+ ~ω 1 +
= 2~ω
E0,S=1 = ~ω 0 +
2
2
a přı́spěvek 1. řádu poruchové teorie znı́
ZZ
F(1)
F∗
F
E0,S=1 =
ψ0,S=1
(x1 , x2 )ĤI ψ0,S=1
(x1 , x2 )dx1 dx2 =
ZZ
MΩ
2
MΩ MΩ
2
2
=v
(x1 − x2 )2 e− ~ (x1 +x2 ) e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 =
~ 2π~
2 Z Z
MΩ
2
v MΩ
2
2
=
(x1 − x2 )2 e− ~ (x1 +x2 ) e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 =
2π
~
2 Z
Z
MΩ
Ω 2
2
v MΩ
X
− 2M
dX x2 e−( 2~ +α)x dx =
e ~
=
2π
~
2 r
r
π~ 1
π
v MΩ
π
=
=
MΩ
MΩ
2π
~
2M Ω 2 2~ + α
+α
2~
3/2
MΩ
v
.
=
2 M Ω + 2~α
12.3
Kondenzátová střednı́ hodnota
Je zadán bosonový N -částicový kondenzát24
1 † N
|B; N i ≡ √
B̂
|0i
N!
kde operátor B̂† je vyjádřen lineárnı́ kombinacı́
X
B̂† ≡
zz b̂†k
k
a b̂†k bosonové operátory, splňujı́cı́ komutačnı́ relace (12.0.1). Komplexnı́ čı́sla zk jsou
normována:
X
|z|2 ≡
zk∗ zk = 1
k
E
Spočı́tejte střednı́ hodnotu B; N ĤB; N , kde operátor Ĥ je složen z jednočásticové
a dvoučásticové části
X
1X
vklmn b̂†k b̂†l b̂n b̂m ,
Ĥ =
ǫij b̂†i b̂j +
2
ij
klmn
D
přičemž ǫij , vklmn jsou komplexnı́ čı́sla.
24
Tento přı́klad je vyřešen a diskutován v učebnici [1].
91
Řešenı́:
Našı́m cı́lem je prokomutovat všechny anihilačnı́ operátory napravo skrz kreačnı́
operátory kondenzátu. Jejich působenı́ na stav vakua pak dá nulový přı́spěvek.
Vyjdeme z
i X
i X h
h
zk δjk = zj
zk b̂j , b̂†k =
K̂1 ≡ b̂j , B̂† =
k
k
a indukcı́ dostaneme
h
† N
i
K̂N ≡ b̂j , (B̂ ) =
i
h
i
h
= b̂j , B̂† (B̂† )N −1 + B̂† b̂j , (B̂† )N −1 =
= zj (B̂† )N −1 + B̂† K̂N −1 ,
neboli
K̂2 = zj B̂† + B̂† zj = 2zj B̂†
K̂3 = zj (B̂† )2 + B̂† (2zj B̂† ) = 3zj (B̂† )2
..
.
K̂†N = N zj (B̂† )N −1 .
Působenı́ anihilačnı́ho operátoru b̂j na kondenzát dává
1
b̂j |B; N i = √ b̂j (B̂† )N |0i =
N!
1
1
= √ N zj (B̂† )N −1 |0i + √ (B̂† )N b̂j |0i =
N!
N!
N
1
= √ zj p
(B̂† )N −1 |0i =
N
(N − 1)!
√
= zj N |B; N − 1i .
Nynı́ již můžeme vypočı́tat střednı́ hodnotu Hamiltoniánu:
D
E
X
N (N − 1) X
B; N ĤB; N = N
ǫij zi∗ zj +
vklmn zk∗ zl∗ zm zn
2
ij
klmn
Podobně bychom mohli pokračovat a určit kondenzátovou střednı́ hodnotu
vı́cečásticových operátorů.
12.4
Evoluce bosonového kondenzátu
Necht’ se soustava N bosonů nacházı́ ve stavu kondenzátu
1 † N
|ψ0 ; N i ≡ √
b̂0 |0i .
N!
a systém je popsán jednočásticovým Hamiltoniánem
†
†
Ĥ = E B̂ b̂0 + b̂0 B̂ ,
92
ve kterém E je reálný parametr udávajı́cı́ škálu energie,
X
B̂† ≡
zk b̂†k
k>0
(komplexnı́ parametry zk nynı́ nemusı́ být – narozdı́l od předchozı́ho přı́kladu – normovány) a operátory b̂k , b̂†k splňujı́ bosonové komutačnı́ relace (12.0.1).
Nalezněte časový vývoj stavu |ψ0 (t); N i.
Řešenı́:
Hledáme stav
|ψ0 (t); N i = Û(t) |ψ0 ; N i ,
kde
i
Û(t) = e− ~ Ĥt .
Začneme s jednı́m bosonem a budeme postupně přidávat dalšı́.
• N = 1:
− i Et
~
z}|{
α
(B̂† bˆ0 +b̂†0 B̂) b̂† |0i .
|ψ0 (t); 1i = e
0
Využijeme BCH formuli
e
αX̂
Ŷ e
−αX̂
=
∞
X
αk
k=0
k!
K̂n ,
K̂0 = Ŷ ,
h
i
K̂k+1 = X̂, K̂n ,
kde
X̂ = B̂† b̂0 + b̂†0 B̂ ,
Ŷ = b̂†0 .
Dostaneme
ii α3
α2 h h
· · · eαÂ |0i .
X̂, X̂, Ŷ +
|ψ0 (t); 1i = Ŷ + α X̂, Ŷ +
| {z }
2!
3!
{z
} |0i
|
h
i
Ẑ
Jednotlivé členy přispějı́ takto:
Ŷ = b̂†0 ,
i
i
h
i h
i h
†
†
†
†
†
†
†
X̂, Ŷ = B̂ b̂0 + b̂0 B̂, b̂0 = B̂ b̂0 , b̂0 = B̂ b̂0 , b̂0 = B̂† ,
i
h
i
ii h
h h
X̂, X̂, Ŷ = B̂† b̂0 + b̂†0 B̂, B̂† = b̂†0 B̂, B̂† = |z|2 b̂†0 ,
i
iii h
h h h
= B̂† b̂0 + b̂†0 B̂, |z|2 b̂†0 = |z|2 B̂† ,
X̂, X̂, X̂, Ŷ
h
···
93
Shrnuto, dostaneme
!
4
2
2
|z|
|z|
|z|
b̂†0 + α3
B̂† + α4
b̂†0 + · · · |0i
|ψ0 (t); 1i = b̂†0 + αB̂† + α2
2!
3!
4!
!
! #
"
2
4
4
2
|z|
|z|
|z|
|z|
+ α4
+ · · · b̂†0 + α + α3
+ α5
+ · · · B̂† |0i
=
1 + α2
2!
4!
3!
4!
{z
}
{z
}
|
|
cosh α|z|
= b̂†0 cosh α |z| + B̂†
1
|z|
sinh α|z|
sinh α |z|
|0i .
|z|
• N = 2:
Ẑ αX̂
Ẑ2 αX̂
Ẑ2
Ŷ2
|0i = e Ŷ |0i =
e |0i =
|0i
|ψ0 (t); 2i = e
2!
2
2
2
2
1 †
sinh α |z|
=
b̂0 cosh α |z| + B̂†
|0i .
2
|z|
αX̂
• Pro obecné N budeme komutovat za využitı́ BCH formule N krát a indukcı́ dostaneme
N
1
†
† sinh α |z|
b̂0 cosh α |z| + B̂
|0i
|ψ0 (t); N i = √
|z|
N!
#N
"
†
1
B̂
Et
|z|
Et
|z|
=√
|0i .
+i
sin
b̂†0 cos
~
|z|
~
N!
Vektor tedy rotuje v komplexnı́ rovině s frekvencı́
ω≡
E
|z| .
~
Reference
[1] P. Cejnar, A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum Press, Prague,
2013).
[2] A.Z. Capri, Nonrelativistic quantum mechanics (World Scientific Publishing, Singapore, 2002).
[3] J.E. Campbell, Proc. London Math. Soc. 29, 14 (1898).
[4] H.F. Baker, London Math. Soc. Ser. 3, 24 (1904).
[5] F. Hausdorf, Ber. Vehr. Sachs. Wissen. Leipzig, Math.-Naturwiss. Kl. 58, 19 (1906).
[6] B. Podolsky, Phys. Rev. 32, 812 (1928).
[7] R. de L. Kronig, I.I. Rabi, The symmetrical top in the undulatory mechanics, Phys.
Rev. 29, 262 (1927).
94
[8] R. de L. Kronig, W.G. Penney, Quantum mechanics of electrons in crystal lattices,
Proc. Roy. Soc. A130, 499 (1931).
[9] J. Formánek, Úvod do kvantové teorie (Academia Praha, 2004).
[10] E.B. Manoukian, Quantum Theory: A Wide Spectrum (Springer, 2006).
[11] J.L. Basdevant, J. Dalibard, The Quantum Mechanics Solver: How to Apply Quantum Theory to Modern Physics (Springer, 2000).
[12] M. Cini, F. Fucito, M. Sbragaglia, Solved Problems in Quantum and Statistical
Mechanics (Springer, Italy, 2012).
[13] H. Margenau, Rev. Mod. Phys. 11, 1 (1939).
95

tady - Pavel Stránský

Transkript

Podobné dokumenty

Kvantová mechanika pro učitele

vakuum Fanton

E - Katedra optiky

příklady

příspěvek

PDF ke stažení

Integrální transformace T. Kozubek, M. Lampart

F1 - Natura

užití elektrické energie - střední škola elektrotechnická, ostrava, na

15 Experimentální základy kvantové hypotézy

01FIMA - Slovníček finanční matematiky