Řetězovka

Martin Bílek– Stavba strojů
Řetězovka
Martin Bílek
Martin Bílek– Stavba strojů
Řetězovka (Catenary)
Řetězovka je křivka, kterou vytvoří řetěz
(lépe řečeno homogenní dokonale pevné a
ohebné vlákno), které je na svých koncích
zavěšeno (ne nutně ve stejné výšce) v
homogenním gravitačním poli.
Problém řetězovky poprvé předložil Jacob
Bernoulli. Pojem řetězovka pochází od
Christiaana Huygense. Problém úspěšně
vyřešil Jakubův bratr Johann Bernoulli roku
1691.
Cartenoid
Martin Bílek– Stavba strojů
Hyperbolický cosinus
Jako hyperbolické funkce se v matematice
označuje skupina několika funkcí analogicky
podobných k funkcím goniometrickým. Stejně
jako sinus a kosinus definují body jednotkové
kružnice, hyperbolický sinus a kosinus definují
body pravé části rovnoosé hyperboly.
Martin Bílek– Stavba strojů
Martin Bílek– Stavba strojů
Řetězovka (Catenary)
A square rolling on a bed of inverted catenaries.
Martin Bílek– Stavba strojů
Kintai-kyô Bridge (Japan)
Clifton Suspension Bridge
Clifton
Suspension
Bridge byl
postaven v
roce 1864
nad řekou
Avon.
Most byl postaven v roce 1673. Je
složen z pěti oblouků, které jsou
vytvořeny z dřeva.
Martin Bílek– Stavba strojů
Viaduc de Garabit , autor návrhu Gustav Eiffel
Most
navržený
jako
nosníková
konstrukce
ve
tvaru
převrácené
řetězovky. Most byl dokončen v roce
1888, kdy proběhla první zatěžkávací
zkouška. Hlavní nosný parabolický
oblouk má rozpětí 165 m a celková délka
mostu je 565 m. Výška mostního pilíře je
80 m. Hmotnost zdiva je 3 249 tun,
objem zděné části je 18 647 krychlových
metrů. Hmotnost použitého železa je 3
326 tun. Ve své době byl most u Garabit
nejvyšším mostem na světě.
Martin Bílek– Stavba strojů
Katalánský architekt Antoni Gaudí
využíval tvaru řetězovky ve většině jeho
staveb. Příkladem může být sklepní
prostor budovy Casa Mila v Barceloně.
S cílem nalézt nejlepší zakřivení pro
oblouky a žebra Chrámu la Sagrada
Familia, využil zmenšený model stavby
sestavený z vláken.
Martin Bílek– Stavba strojů
Visuté mosty
Golden Gate Bridge, San Francisco
y=0.03(-16666+250(e^(x/500)+e^(-x/500)
Martin Bílek– Stavba strojů
Visuté mosty
Ponte Hercilio Luz, Florianopolis, Brazil
Martin Bílek– Stavba strojů
Oblouk v St. Louis
•
•
•
•
Saint Louis, Missouri, USA
převrácená řetězovka (catenary)
Řetězovka je ideální forma pro oblouk,
který podpírá sám sebe.
Je 630 stop široký u paty a 630 stop
vysoký.
Martin Bílek– Stavba strojů
Oblouk v St. Louis
Martin Bílek– Stavba strojů
To use the general equation, plug in the height of the
supporting arches (68.9 feet) as a. In order to find the
equation for the model of the arches in the building,
the equation needs to be horizontally compressed by
a factor of 2.51. This will make the width and height
of the graph equal to the width and height of the
Sheffield Winter Garden's arches.
y= 137.8-34.45 (e^(2.51x/68.9) + e^(-2.51x/68.9))
Výška 68.9 stop, šířka 72.18 stop
Sheffield Winter Garden
Martin Bílek– Stavba strojů
Ze složkových podmínek rovnováhy plyne:
 Tx  (Tx  dTx )  0
 Ty  Ty  dTy   q.ds  0
Martin Bílek– Stavba strojů
Ze složkových podmínek rovnováhy plyne:
 Tx  (Tx  dTx )  0
 Ty  Ty  dTy   q.ds  0
dTx  0  Tx  konst.  q.c
Pozn. z rozměrů Tx N= c m.q N/m,
plyne, že c má rozměr délky
Martin Bílek– Stavba strojů
Ze složkových podmínek rovnováhy plyne:
 Tx  (Tx  dTx )  0
 Ty  Ty  dTy   q.ds  0
dTy  q.ds
Ty  q.s  K
Konstantu K určíme z mezní
podmínky pro nejhlubší bod
řetězovky. Tam Ty= 0, a proto i
kont. K = 0.
Martin Bílek– Stavba strojů
Ze složkových podmínek rovnováhy plyne:
 Tx  (Tx  dTx )  0
 Ty  Ty  dTy   q.ds  0
dTy  q.ds
Ty  q.s  K
Martin Bílek– Stavba strojů
Ty  q.s
Tx  q.c
T  Tx2  Ty2 
q.c 2  q.s 2
 q. c 2  s 2
Martin Bílek– Stavba strojů
.
Z druhé rovnice plyne:
 dy 
2
2
dTy  q.ds  q. dx  dy  q.dx. 1   
 dx 
Označíme-li poměr
dy
  , můžeme předchozí rovnici napsat ve tvaru:
dx
dTy  q.ds  q.dx. 1   2
Osová síla T, působící v libovolném bodě řetězovky je rozložena na složky Tx a Ty (viz obr.).
dy
Ty  Tx .tg  Tx .
 Tx .
dx
Diferencováním této rovnice obdržíme
dTy  Tx .d
2
Martin Bílek– Stavba strojů
.
Diferencováním této rovnice obdržíme
Dosazením za dTy do rovnice získáváme
Dosadíme-li do této rovnice za Tx , obdržíme
dTy  Tx .d
Tx .d  q.dx. 1  
q.c.d  q.dx. 1  
d
Úpravou dostaneme
Integraci této diferenciální rovnice obdržíme
dx

2
c
1 
x
ln(   1   )   K
c
2
2
2
Martin Bílek– Stavba strojů
.
x
ln(   1   )   K
c
2
Konstanta K se určí z mezní podmínky, že pro x=0 je
dy
tg   
0K 0
dx
Proto
x
ln(   1   ) 
c
2
x
c
e    1 2
Z toho
Úpravou této rovnice je možné získat následující vztah
Odečtením rovnic obdržíme
Dosazením
dy

dx
x
c

e

x
c
   1   2
x
c
(e  e )  2
x
obdržíme
x
x
x


1 c
dy
dx c
c
(e  e ) 
 (e  e c )  dy
2
dx
2
Martin Bílek– Stavba strojů
.
x
x
x
x


1 c
dy
dx c
c
(e  e ) 
 (e  e c )  dy
2
dx
2
x
Integrací této rovnice obdržíme
x

c c
y  (e  e c )
2
x
y  c. cosh
c
To je hledaná rovnice řetězovky. Pro x=0, y=c. Parametr
c je tedy vzdáleností vrcholu řetězovky od osy X.
Martin Bílek– Stavba strojů
Výpočet délky řetězovky:
S

b
a
1   f ( y ) dy
1
x
y  c. . sinh
c
c
2


x 

1   ( c.cosh( ))  dx 
c 



2
S

x
0

x
0
x
x
x
x
1  sinh ( )dx  cosh( )dx  c. sinh( )
0
c
c
c
2

Martin Bílek– Stavba strojů
Síla v řetězovce
2
2
x 
x
x


2
2
2
T  Tx  Ty  ( q.c )  q.c. sinh( )  q.c. 1   sinh   q.c.cosh  q.y
c 
c
c


T 2  Tx2  Ty2  q 2 .y 2  q 2 .c 2  q 2 .s 2  y 2  c 2  s 2
Martin Bílek– Stavba strojů
Souhrn základních vztahů
Rovnice řetězovky:
y  c. cosh
x
c
y 2  c2  s2
Délka řetězovky:
Síly v řetězovce:
x
S  c. sinh( )
c
Tx  q.c
x
Ty  q.s  q.c. sinh( )
c
T  q. y
Martin Bílek– Stavba strojů