Vlastnosti logaritmu Jiná definice logaritmu: Další vlastnosti

Vlastnosti logaritmu
Jiná definice logaritmu:
log a x = y ⇔ a y = x , neboť
y=a x ⇔ x=log a y
Další vlastnosti logaritmu:
a 0=1 ⇔log a 1=0
a 1=a ⇔log a a=1
∀ a∈ℝ+ ∖{1}∧s∈ℝ+ q=a
log a q
Příklad 1:
Určete hodnotu logaritmu:
a) log 3 81
b) log 2 0,125
d) log 1 16
c) log 4 8
2
Řešení:
log a x = y ⇔ a y = x , neboť y=a x ⇔ x=log a y
a) log 3 81= y ⇔ 3 y =81⇒ y=4
1
y
y
y
−3
b) log 2 0,125= y ⇔2 =0,125 ⇒2 = ⇒ 2 =2 ⇒ y=−3
8
3
y
2⋅y
3
c) log 4 8= y ⇔4 =8⇒ 2 =2 ⇒ y=
2
y
1
=16 ⇒ 2− y =2 4 ⇒ y=−4
d) log 1 16= y ⇔
2
2

Příklad 2:
Určete logaritmované číslo:
a) log 5 x=2
b) log 0,5 a=4
c) log 3 s=
3
2
d) log 4 x=−3
Řešení:
log a x = y ⇔ a y = x , neboť y=a x ⇔ x=log a y
a) log 5 x=2⇔5 2=x ⇒ x=25
1
4
b) log 0,5 a=4 ⇔0,5 =a ⇒ a=
16
3
3
c) log 3 s= ⇔3 2 =s ⇒ s= 27
2
1
−3
d) log 4 x=−3 ⇔ 4 =x ⇒ x =
64
Příklad 3:
Určete základ logaritmu:
a) log a 16=4
b) loga 625=2
c) log a 49=−2
Řešení:
log a x = y ⇔ a y = x , neboť y=a x ⇔ x=log a y
a) log a 16=4 ⇔ a 4=16 ⇒a 4 =2 4 ⇒ a=2
b) log a 625=2 ⇔a 2=625⇒ a 2=54 ⇒ a 2=5 22 ⇒ a=5 2 ⇒ a=25
d) log a 13=5

2
1
1
1
c) log a 49=−2 ⇔ a =49 ⇒ a =7 ⇒
=72 ⇒ =7⇒ a=
a
a
7
5
5
d) log a 13=5⇔ a =13 ⇒ a= 13
−2
−2
2
Protipříklady a vzorové příklady
log 10−5 záporné číslo nelze logaritmovat
log −2 4 základ nesmí být záporný
log 1 16 základ nesmí být jedna
log 16 16=1 základní pravidlo
log 17 1=0 základní pravidlo
Další vlastnosti logaritmů:
1. ∀ a∈ℝ + ∖{1}∧x , y ∈ℝ+ : log a xlog a y=log a  x⋅y 
Důkaz:
podle definice:
log a x =r ⇔a r =x
s
log a y=s ⇔ a = y
t
log a  x⋅y =t ⇔ a =x⋅y
pravidla pro umocňování: x⋅y=a r⋅a s=a r s
exponenciální rovnice: x⋅y= x⋅y ⇒ a r s=a t ⇒ rs=t
x
+
+
2. ∀ a∈ℝ ∖{1}∧x , y ∈ℝ : log a x−log a y=log a
y
Důkaz:
podle definice:
log a x =r ⇔a r =x
log a y=s ⇔ a s = y
x
x
log a =t ⇔a t =
y
y
x ar
= s =a r− s
y a
x x
r−s
t
= ⇒ a =a ⇒ r−s=t
exponenciální rovnice:
y y
3. ∀ a∈ℝ + ∖{1}∧x , n∈ℝ: log a x n=n⋅log a x
pravidla pro umocňování:
Důkaz:
Pro n∈ℕ je evidentní: Součet n sčítanců log a x a podle pravidla 1 toto pravidlo platí
Pro n∈ℝ podle definice levá strana log a x n=r ⇔ a r= x n ; podle definice pravá strana n⋅log a x=s (což
s
s
s
musíme upravit na log a x = ; n≠0 , pak a n = x . Zbývá dokázat, že r =s , což – upravíme-li a n = x
n
umocněním na n-tou – dostaneme a s =x n .
Příklady:
Příklad 4:
Upravte na jeden logaritmus
a) log 4 xlog 4 x 3
b) log 3 y 2 – log 3 y
c) 3 – log 10 x
d) 5log 1 x
5
e) 5⋅log 6 x−2
Řešení:
a) Podle pravidla 1: log 4 xlog 4 x 3=log 4 x 4 ; podle pravidla 3 log 4 x 4 =4 log 4 x
y2
b) Podle pravidla 2: log 3 y 2 – log 3 y =log 3 =log 3 y
y
103
3
3
3=log
10
c) Podle definice
; podle pravidla 2: log 10 10 – log 10 x =log 10
10
x
15
15
x
15
d) Podle definice 5=log 1
; podle pravidla 1: log 1 log 1 x=log 1 ⋅x=log 1 5
5 5
5 5
5
5 5
5 5
2
5
2=log
6
5⋅log
x=log
x
e) Podle definice
; podle pravidla 3:
; podle pravidla 2:
6
6
6
5
x
5
2
log 6 x – log 6 6 =log 6 2
6
Příklad 5:
Zlogaritmujte výrazy:
x7
x 2⋅y 3
a)
b)
2
4
x
z
Řešení:
x7
=log a  x7 – 2⋅log a x
x2
x 2⋅y 3
b) log a 4 =2⋅log a x3⋅log a y – 4⋅log a z
z
a) log a