Logaritmus - teorie + příklady na rovnice

Logaritmické rovnice
Logaritmus
Logaritmus je exponent, kterým když umocníme základ logaritmu, dostaneme logaritmované číslo.
(jinak: logaritmus jako funkce hledá exponent, kterým musíme umocnit základ logaritmu,
abychom dostali logaritmované číslo)
Mějme log a x = y … a je základ logaritmu
x je logaritmované číslo
y je logaritmus
Dle definice platí:
log a x = y ⇔
x = a y , kde a > 0 , a se nerovná 1.
Logaritmus o základu 10 nazveme dekadický logaritmus, běžně zapisuje bez uvedení základu:
log10 x = log x
Logaritmus o základu e (e – Eulerovo číslo, e = 2,718) nazveme přirozený logaritmus, zapíšeme:
log e x = ln x
Vzorce pro počítání s logaritmy:
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y
log a 1 = 0
x
= log a x − log a y
y
log a a = 1
log a
log a a x = x
log a x y = y ⋅ log a x
Pro výpočet logaritmu odlišného základu než 10 (dekadický logaritmus), užijeme vzorce:
log a x = log10 x / log10 a
Postup pří řešení rovnic s logaritmy:
1. Odlogaritmování.
Pokud se podaří logaritmickou rovnici upravit do tvaru log a (výraz1) = log a (výraz 2) můžeme přejít
k rovnici výraz1 = výraz2 . Této úpravě se říká odlogaritmování.
2. Úprava pomocí vzorců
3. Substituce – nahrazení složitějšího výrazu jednodušším
Dané čísla vyjádřete jako logaritmy při daném základě:
3{log10 }
2 {log5 }
−1{log 0,5 }
0,5 {log 4 }
0 {logπ }
Řešte logaritmické rovnice:
log a 8 = 3
log 3
1
=x
27
log10 x = −2
log 4
1
=x
16
2 {log 3 }
Logaritmické rovnice
log 4 x = −3
log 4 ( x + 5) = log 4 (2 x − 1)
log x = 3
2 ⋅ log x = log 9
2 ⋅ log x = log( x + 6)
1
− log10 10 + log 3 243
256
log 4
log 2 ( x 2 + x) = log 2 (−2 x)
log 2 16 − 3
log10 0,1
log 4 4
log 2 ( x 2 − x) = log 2 (3 − 3 x)
log 3 (2 x + 3) − log 3 ( x − 2) = 2
1
− 2 log 7 49
27
log 10 0,1
log 3
log(5 x) + log( x − 1) = 2
log( x + 3) + log( x − 3) = 2 ⋅ log( x + 1)
2 ⋅ log 5 25 + 3 ⋅ log 2 64 + log 3
1
9
log 2 (4 x − 4) − log 2 (3 − x) = 2
log 2 ( x + 1) = 3
log 5 ( x 2 + 2 x) = log 5 (−3x) K = {−5}
log 2 ( x − 2) = 4
log 6 ( x + 1) + log 6 x = 1 K = {2; −3}
log 1 (1 + x) = −1
log( x − 2) + log(8 x + 4) = 3 K = {12}
3
log 3 (5 − 2 x) = 1
log 2 ( x + 7) − log 2 x = 3 K = {1}
4 ⋅ log 3 (2 x − 1) = 12
log 3 (2 x + 3) − log 3 ( x − 2) = 2 K = {3}
4 ⋅ log 4 (5 x − 4) = 8
log x 5 − log x 4 + log x3 = 12 K = {1000}
(
)
1
log(2 x + 7) = log( x − 2) K = {5}
2
log log 2  log 0,5 x  = 0
(
)
log 8 2 log 3 1 + log 2 {2 − log 0,5 x} =
1
3
log 9 3log 2 1 + log 3 {1 − 2 log 3 x} = 0,5
(
)
log 3 ( x + 5) = log 3 (2 x − 1)
log 5 ( x − 17) = log 5 ( x + 3)
2
2 log 2 x + log 2 2 x − 3 = 0 K = {2}
− log
1
+ log(10 x) − 6 = 0 K = {10}
x4
− log 3
1
+ log 3 (3 x) − 4 = 0 K = {3}
x2
Pomocí substituce:
log 2 x − log x3 + 2 = 0 K = {10;100}
log 2 x + log x 2 − 3 = 0 K = {0, 001;10}
log 2 2 x + log 2 x3 + 2 = 0 K = {0, 25; 0,5}
log 2 x + log x 3 + 2 = 0 K = {0, 01; 0,1}
1 
log 32 x + log 3 x 2 − 3 = 0 K =  ; 3
 27 
log 1 x +
7
1
= −2
log 1 x
7
log x 3 + 2 =
10
log x 2
log 32 ( x + 1) +
log 24 x3 −
1
17
=
log ( x + 1) 4
2
3
1
=8
log 24 x 2