ohyb

p13 – 1
13. Prostý ohyb
13.1. Definice
Prostý ohyb je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže
– jsou splněny prutové předpoklady,
– příčné průřezy se vzájemně natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a následně
deformují,
~ oy , M
~ oz ,
– nenulové složky VVÚ jsou pouze ohybové momenty M
– deformace prutu jsou pro řešení statické rovnováhy prvku nepodstatné.
prostá
pružnost
prutové
předpoklady
Poznámka: Ze Schwedlerovy věty T = dMo /dx plyne, že má-li být posouvající síla T
~ To je přesně splněno jen při zatížení silovými dvojicemi.
~ o = konst.
nulová, musí být M
~ oy , M
~ oz ), je jeho řešení složiProtože u prostého ohybu jsou nenulové dvě složky VVÚ (M
tější než u ostatních typů jednoduchého namáhání. Tento typ ohybu nazýváme ohybem
obecným (někdy šikmým nebo prostorovým).
Pro zjednodušení odvodíme veškeré vztahy pro tzv. základní ohyb, při němž je jen jedna
ze složek ohybového momentu nenulová, konkrétně pro Moy 6= 0, Moz = 0.
OBSAH
další
p13 – 2
13.2. Geometrické vztahy
Z prutu uvolníme prvek jednonásobně elementární Ω1
a z něj trojnásobně elementární Ω3 . Prvek Ω1 se deformuje tak, že se limitně blízké příčné průřezy ψ1 , ψ2
– natočí kolem přímky ležící v příčném průřezu,
přičemž původní délka dx prvku Ω3 se změní
o deformační posuv du,
– průřezy prutu zůstanou kolmé k deformované
střednici prutu, tj. nezmění se pravé úhly α, β
prvků Ω1 a Ω3 .
Protože příčný průřez podle prutových předpokladů zůstává i po natočení rovinný a při předpoklady
zvoleném základním ohybu (Moy = Mo 6= 0) se natáčí kolem přímky rovnoběžné s osou y, prutové
jsou posuvy du nezávislé na souřadnici y a pro jejich popis postačuje rovnice přímky
(řešíme v rovině (x, z)):
du(z) = a1 + b1 z.
Těmto deformacím odpovídají složky tenzoru přetvoření:
– délkové přetvoření ve směru střednice prutu
εx (z) =
přetvoření
du(z)
= a + bz,
dx
– nulová úhlová přetvoření γxy = γxz = 0.
V důsledku příčné kontrakce vznikají v každém bodě prutu různě
velká příčná přetvoření εy = εz = −µεx .
předchozí
OBSAH
další
p13 – 3
U prostého ohybu jsou délková přetvoření rozložena v příčném průřezu lineárně a úhlová
přetvoření jsou nulová.
V každém bodě prutu tedy vzniká obecný
 trojosý stav deformace, popsaný tenzorem
εx 0 0


přetvoření ve tvaru Tε =  0 εy 0  . Deformace je na rozdíl od prostého tahu tenzor
0 0 εz
přetvoření
nehomogenní po průřezu, hodnoty jsou v každém bodě různé.
13.3. Rozložení napětí v příčném průřezu
Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí stejně jako pro
přetvoření εx lineární závislost i pro normálové napětí σx :
Hookův
zákon
σx (z) = Eεx (z) = E(a + bz).
Pro smykové napětí platí vztah
τ=
E
γ = Gγ.
2(1 + µ)
Protože γxy = γxz = 0, je i τxy = τxz = 0.
Ostatní složky tenzoru napětí (σy , σz , τyz ) jsou nulové na základě prutových předpokladů. prutové
Jediným nenulovým napětím je tedy normálové napětí σx rozložené lineárně v příčném předpoklady
průřezu.
U prostého ohybu vzniká v bodech prutu jednoosá napjatost, ale na rozdíl od prostého
tahu není homogenní.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 4
13.4. Závislost mezi VVÚ a napětím
Vztah pro napětí σ(z) odvodíme z podmínek statické ekvivalence mezi soustavou elementárních plošných sil σdS~i a jejich
~ oy v příčném průřezu ψ prvku Ω0 , které sestavíme
výslednicí M
v lokálním souřadnicovém systému podle obrázku. Použitelné
podmínky statické ekvivalence pro soustavu rovnoběžných sil
v prostoru jsou tři:
ZZ
ψ
předchozí
σdS = 0,
Moy =
ZZ
ψ
z σdS,
Moz = −
ZZ
statická
ekvivalence
statické
podmínky
y σdS = 0.
ψ
OBSAH
další
p13 – 5
Dosadíme
σ = E(a + bz):
napětí
E
ZZ
(a + bz)dS = 0
⇒
a
dS + b
RR
ZZ
zdS = 0
⇒
a = 0,
centrální s.s.
ψ
ψ
ψ
protože
ZZ
zdS = Uy = 0 v centrálním souřadnicovém systému.
ψ
Moy = E
ZZ
(a + bz)zdS = E(a
ψ
ZZ
zdS + b
ψ
ZZ
z 2 dS)
⇒
b=
ψ
Moy
EJy
Dosazením a, b do vztahu pro napětí, dostáváme
σ = E(a + bz) = E
Moy
z
EJy
⇒
σ=
Moy
z.
Jy
Vztah však platí pouze tehdy, je-li splněna i třetí použitelná podmínka statické ekvivalence, což je jedině v hlavním centrálním souřadnicovém systému
Moz = −E
ZZ
ψ
(a + bz)ydS = −E
Moy ZZ
Moy
yzdS =
Jyz = 0
EJy
Jy
⇒
Jyz = 0
ψ
hlavní centrální s.s.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 6
Poznámka:
V případě nenulového momentu Moz platí obdobný vztah pro napětí
σ=−
Moz
y.
Jz
Protože obě tato napětí mají směr osy x, je možné je v případě obecného ohybu algebraicky sečíst:
Moy
Moz
σ=
z−
y.
Jy
Jz
Všechny tyto vztahy platí jen v hlavním centrálním souřadnicovém systému. Základní
ohyb proto nastává tehdy, je-li nositelka ohybového momentu totožná s některou z hlavních centrálních os průřezu (např. osou symetrie).
předchozí
OBSAH
další
p13 – 7
13.5. Extrémní napětí
Pro usnadnění popisu rozložení napětí v průřezu nejprve zavedeme označení neutrální
osa pro přímku, která má tyto vlastnosti:
– leží v příčném průřezu a prochází jeho těžištěm,
– ve všech jejích bodech je σ = 0, a tedy i ε = 0,
– rozděluje průřez na dvě části, z nichž v jedné působí napětí kladná a v druhé záporná.
Ze vztahu pro napětí u základního ohybu (Moy 6= 0) je zřejmé, že neutrální osou je osa y,
která je současně nositelkou ohybového momentu. Vzhledem k lineárnímu rozložení napětí
budou jeho extrémní absolutní hodnoty v bodech od této osy nejvzdálenějších.
σmax =
předchozí
Moy
zmax
Jy
OBSAH
další
p13 – 8
Body s největší souřadnicí z jsou tedy
nebezpečnými body. U základního ohybu
je možno zavést tzv. modul průřezu
v ohybu Wo [m3 ], definovaný jako podíl
kvadratického osového momentu příčného
průřezu vzhledem k neutrální ose a vzdálenosti nejodlehlejšího bodu obrysové čáry od
neutrální osy (Wo = Jy /zmax ). Pak můžeme
maximální napětí vyjádřit:
σmax =
Mo
Moy
zmax =
.
Jy
Wo
POZOR! Wo není aditivní veličina!!! Např. pro mezikruhový průřez
ho musíme určit odečtením osových kvadratických momentů, zatímco
zmax = D/2 se nemění!
kvadratický
moment
!4
πD4 − πd4
Jy
πD3 
d 
64
64
Wo =
=
1−
=
D
D
32
D
2
2


U obecného ohybu je určení extrémních napětí podstatně složitější.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 9
13.6. Energie napjatosti
V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W .
V kapitole 11.6 byl pro jednoosou napjatost odvozen vztah pro energii napjatosti trojná- energie
sobně elementárního prvku
napjatosti
WΩ3 = A(σdS) = ΛdSdx =
1 σ2
dSdx.
2E
Energii napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω1 dostaneme integrací energie WΩ3
M
(do které dosadíme napětí podle vztahu σ(z) = J oy z) přes plochu ψ:
napětí
y
WΩ1 =
ZZ
ψ
protože
RR
2
2
Moy
1 σ2
1 ZZ Moy
2
dxdS =
z
dSdx
=
dx,
2E
2E
Jy2
2EJy
ψ
z 2 dS = Jy . V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti daná inte-
ψ
grálem energií elementárních prvků Ω1 po délce prutu
W=
Zl
0
WΩ1 =
Zl
0
2
Moy
dx.
2EJy
Pro obecný ohyb (Moy 6= 0, Moz 6= 0) je energie napjatosti dána superpozicí příspěvků
dvou základních prostých ohybů (od složek M~oy , M~oz ):
základní
ohyb
W =W
+W .
Moy
Moz
Vztahy platí jen pro hlavní centrální souřadnicový systém (Jyz = 0)!
předchozí
OBSAH
hlavní s.s.
další
p13 – 10
13.7. Vyjádření deformačních charakteristik střednice
deformační
Při ohybovém namáhání přímého prizmatického prutu se jeho střednice ohýbá a vytváří charakteristiky
ohybovou čáru. Podle prutových předpokladů příčné průřezy zůstávají rovinné a kolmé prostý ohyb
k ohybové čáře. Posuvy libovolného bodu příčného průřezu tedy můžeme určit, budeme-li
znát průhyby a úhly natočení v jednotlivých bodech střednice (jako průhyby označujeme složky posuvů kolmé ke střednici), které jsou proto základními deformačními charakteristikami prostého ohybu. Určujeme je z rovnice ohybové čáry.
prutové
předpoklady
Jednonásobně elementární prvek Ω1 se deformuje tak, že se dva soumezné příčné průřezy vzájemně natočí kolem neutrální osy
o úhel dϕ. Neutrální osy v jednotlivých průřezech vytvářejí dohromady neutrální rovinu, v níž jsou napětí a přetvoření nulová.
Délka trojnásobně elementárního prvku Ω3 ,
daná úsečkou GH, se protažením a zakřived
ním prvku změní na G’H’.
Pro odvození rovnice ohybové čáry budeme uvažovat základní ohyb takový,
že ohybový moment ve směru osy y je
různý od nuly, ve směru osy z roven nule
(M~oy 6= 0, M~oz = 0).
předchozí
neutrální osa
OBSAH
další
p13 – 11
Prvek Ω3 se střednicí ve vzdálenosti z od neutrální osy měl před přetvoření
deformací délku rdϕ (tj. stejnou jako úsečka OA, jejíž protažení
napjatost
je zanedbatelné) a po deformaci (r + z)dϕ.
jednoosá
Délkové přetvoření prvku Ω3 tedy je
napětí
z
(r + z)dϕ − rdϕ
=
εΩ3 =
Hookův
rdϕ
r
zákon
U ohybu vzniká jednoosá napjatost, a protože uvažujeme základní ohyb od složky ohybového momentu M~oy , platí
εΩ3 =
Moy
σ
=
z.
E
EJy
M
M
Porovnáním zr = EJoy z ⇒ 1r = EJoy dostáváme křivost deformované střednice 1r ,
y
y
resp. poloměr zakřivení střednice r.
Poznámka:
Moz .
Analogicky pro druhý základní ohyb M~oz dostaneme vztah 1r = EJ
z
Moy (x)
Pokud bude výraz
podél střednice konstantní (dáno předpoklady prostého ohybu),
EJy (x)
bude mít zdeformovaná střednice tvar části kružnice. V praxi jsou ale daleko častější případy, kdy Mo (x) 6=konst. Důsledkem je, že 1r 6= konst. a ohybová čára je obecná rovinná
křivka. (O vlivu posouvající síly, která nutně vzniká při Mo (x) 6= konst., bude pojednáno
v kapitole 13.9.2.)
předchozí
OBSAH
základní
ohyb
ohyb
vliv T
další
p13 – 12
V matematice se pro křivost rovinné křivky znázorňující funkci z = z(x) odvozuje vztah
2
± d z2
±w00
1
dx
=
=
3 ,
dz )2 ] 32
r(x)
(1 + w02 ) 2
[1 + ( dx
kde posuv bodu střednice ve směru osy z (průhyb)
jsme označili w. Porovnáním s odvozenou křivostí
dostaneme diferenciální rovnici ohybové čáry
±w00
02
(1 + w )
3
2
=
Moy
.
EJy
Jedná se o obecnou, nelineární diferenciální rovnici 2. řádu, analyticky řešitelnou jen ve
speciálních případech.
Pro většinu strojních součástí jsou charakteristické malé deformace. Pro úhel nato.
čení ϕ < 0, 1 rad platí w0 = tg ϕ = ϕ a w02 < 0, 01 můžeme vůči 1 zanedbat.
Pro malé deformace dostaneme obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu s pravou
stranou, řešitelnou přímou integrací:
M
w00 = − EJoy .
y
Záporné znaménko v rovnici je důsledkem zavedených znaménkových konvencí a orientace
os.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 13
Poznámka ke znaménku v rovnici:
Volba znaménka souvisí se znaménkovou konvencí
momentu Moy (x) a s orientací globálního souřadnicového systému. Veličiny E, Jy (x), w02 (x) jsou vždy
kladné. Kladný ohybový moment Moy (x) způsobuje
deformaci střednice naznačenou na obrázku. Je zde
zakreslen i průběh w0 (x), tj. úhlu natočení střednice.
Je zřejmé, že w00 (x) (směrnice tečny k w0 (x)) je podél
celé střednice prutu záporná. Odtud vyplývá:
pro Moy (x) > 0 je w00 (x) < 0 a tedy bude-li osa +z orientována směrem dolů (nahoru),
M
bude ve vztahu ±w00 = EJoy záporné (kladné) znaménko. V námi zavedené orientaci souy
řadnicových os platí tedy záporné znaménko.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 14
13.8. Deformace příčného průřezu
Vlivem součinitele příčné kontrakce jsou přetvoření εy , εz nenulová, takže dochází ke změnám rozměrů příčných průřezů v důsledku deformace. Jejich určení je však obtížnější než
u prostého tahu, protože stav deformace v bodech prutu je nehomogenní. Pro praxi je deformace
tato deformace obvykle nepodstatná.
13.9. Oblasti použitelnosti prostého ohybu prutů
13.9.1. Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu
a) Spojitě proměnný příčný průřez
Uvažujme prut se spojitě se měnícím příčným průřezem, ve všech průřezech je konstantní
~ o a hlavní osy v jednotlivých průřezech jsou navzájem rovnoběžné
ohybový moment M
(prut je nešroubovitý).
V kapitole 11.10.1 je odvozeno, že v příčných průřezech vznikne pro odvození
N 6= 0 smykové napětí. Podobně i pro namáhání ohybem se dá odvodit, že proměnnost velikosti příčného průřezu podél střednice prutu
způsobuje vznik smykových napětí v příčných průřezech.
Podobně jako u prostého tahu zde platí, že bude-li změna příčného průřezu malá, budou malá i smyková napětí v poměru k napětí normálovému (τ σ) a tuto odchylku
od prutových předpokladů můžeme považovat za nepodstatnou. Pro určování deformace prutové
a napjatosti můžeme pak použít vztahy prosté pružnosti.
předpoklady
předchozí
OBSAH
další
p13 – 15
b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby)
Místo největší koncentrace napětí nazýváme kořen vrubu. Hodnota maximálního napětí se
určuje pomocí vztahu σmax = ασn , kde α je součinitel koncentrace napětí, σn je nominální vruby
napětí v místě vrubu, které je vypočteno ze vztahů prosté pružnosti a pevnosti.
α grafy
Na příkladu průběhu napětí v místě vrubu prutu, napětí
zatíženého v případě a) tahem a v případě b) ohyPříklad 602
bem jsou vidět odlišnosti:
1. u ohybu může existovat koncentrace napětí
současně jak v oblasti tahové, tak tlakové,
2. u ohybu má poloha vrubu vliv na koncentraci
napětí (odlišný charakter koncentrace v závislosti na poloze vrubu v příčném průřezu
prutu),
3. koncentrace napětí v kořeni vrubu umístěného v blízkosti neutrální osy nemusí u ohybu překročit nominální napětí na obvodu, zatímco u tahu, kde je homogenní napjatost, bude napětí v kořeni vrubu vždy
největší.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 16
13.9.2. Proměnnost ohybového momentu podél střednice
Předpoklady prostého ohybu může splnit jedině prut zatížený osamělými silovými dvojicemi, pro nějž platí
– posouvající síla T (x) = 0,
– ohybový moment Mo (x) = M = konst. v jednotlivých intervalech,
Pak smyková napětí v příčných průřezech nevznikají.
V praxi je daleko častější prut zatížený osamělými silami nebo spojitým liniovým zatížením v příčném směru, u nějž je posouvající síla nenulová a ohybový moment není
konstantní. Pro takovýto prut se často používá tradiční název nosník. U něj vzniká složitější typ napjatosti:
~ o vznikají v příčných průřezech normálová
– od ohybových momentů M
napětí σ.
– od posouvající síly T~ vznikají v příčných průřezech smyková napětí τ .
Příčné zatížení vede vždy ke vzniku smykových napětí v příčných průřezech.
Velikost a rozdělení smykových napětí v příčných průřezech s obecným tvarem obrysové
křivky a s obecnou polohou nositelky posouvající síly je možno stanovit metodami obecné
předchozí
OBSAH
další
p13 – 17
pružnosti nebo MKP. Na úrovni pružnosti prutů se smyková napětí určují pro 2 případy:
1. příčné průřezy alespoň s 1 osou symetrie,
2. tenkostěnné příčné průřezy – profily I, U, T za předpokladu, že
– prut je prizmatický,
– povrch prutu není zatížen smykovými silami.
V literatuře lze nalézt vztah pro výpočet smykového napětí,
který se někdy nazývá Žuravského vzorec.
τ (x, z) =
statický
moment
neutrální osa
T (x)Uyψ1 (z)
,
b(z)Jy
kde Uyψ1 (z) je statický moment plochy ψ1 (z) k neutrální ose
.
Tento vzorec je odvozen za předpokladu, že nositelka posouvající síly je osou symetrie
příčného průřezu a smyková napětí jsou po jeho šířce rozložena rovnoměrně. Z něj dostaneme vztahy pro
maximální smykové napětí
a) v obdélníkovém průřezu: τmax =
3T
2S
b) v kruhovém průřezu:
4T
3S
předchozí
τmax =
OBSAH
další
p13 – 18
Poznámka:
Je tedy zřejmé, že v praxi někdy používaná hodnota tzv. smluvního smykového napětí
τs = T /S vede ke značnému podhodnocení smykových napětí. Navíc u některých profilů
nejsou všude splněny ani předpoklady Žuravského vztahu a extrémní smyková napětí jsou
ve skutečnosti ještě vyšší.
Pro výpočet deformačních parametrů využitím Castiglianovy věty je třeba do energie Castiglianova
napjatosti zahrnout i vliv posouvající síly. Pro měrnou energii napjatosti od smykových věta
τ 2 . Jeho integrací přes průřez ψ dostaneme energii nanapětí byl odvozen vztah Λ = 2G
Λ
pjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω1 , v jehož příčném průřezu působí smykové
napětí τ vyvolané posouvající silou T~
ZZ
2
(z)
1 ZZ T 2 Uyψ1
τ2
WΩ1 =
dSdx =
dxdS.
2
2G
2G
b (z)Jy2
ψ
ψ
Vztah upravíme, zlomek rozšíříme o plochu S a výraz (v hranaté závorce), který závisí
pouze na průřezových charakteristikách
a pro daný tvar
průřezu je konstantní, označíme β:


2
(z) 
T 2  ZZ Uyψ1
βT 2
dS
dx
=
dx
W Ω1 =
S

2GS
b2 (z)Jy2
2GS
ψ
.
Pro kruhový průřez je β = 32/27 = 1, 185 = 1, 2, pro obdélníkový β = 1, 2.
U prutu o délce l tedy posouvající síla přispěje k celkové energii napjatosti hodnotou
WT =
Zl
0
předchozí
Příklad 627
l
W Ω1
β Z T 2 (x)
=
dx.
2G
S(x)
0
OBSAH
další
p13 – 19
13.9.3. Zakřivení střednice prutu
U rovinného zakřiveného prutu, namáhaného základním ohybem, jsou normálová napětí základní
v příčném průřezu rozložena podle hyperboly s neutrální osou posunutou vůči centrální ohyb
ose, na rozdíl od prutu přímého, kde jsou rozložena podle přímky.
neutrální osa
Pro porovnání výpočtu průběhu napětí (u prutu
centrální osa
s poloměrem křivosti R a rozměrem příčσp
ného průřezu v rovině střednice h) při použití vztahů pro pruty zakřivené σz a pro pruty
přímé σp vyneseme závislost ∆σ(R/h), kde
σ −σ
∆σ = z σz p · 100 %.
Poměr R/h charakterizuje relativní zakřivení prutu,
∆σ je odchylka napětí σp od σz . Z grafu je patrné,
že průběh napětí u prutů slabě zakřivených, pro něž
platí h R (velké R
h ), je možno řešit užitím vztahu
pro pruty přímé. Při poměru R/h = 10 se dopustíme
chyby ∼ 4%, pro R/h = 5 bude chyba cca. 8%. Průběh
napětí u prutů silně zakřivených s poměrem R/h < 5
je hyperbolický, extrémní hodnota napětí je vyšší
a musíme ji počítat pomocí vztahů pro pruty zakřivené (ty nejsou součástí bakalářského studia PP) nebo
dnes častěji metodou konečných prvků.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 20
13.10. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných ohybem
13.10.1. Volný prut
Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformační parametry a energii napjatosti u prutu namáhaného ohybem při splnění prutových předpokladů . U praktických výpočtů se omezíme prutové
v tomto kurzu na základní ohyb, pro nějž platí vztahy ve zjednodušené podobě
předpoklady
l
Z
2
Moy
Moy
Mo
Moy
00
σ(z) =
z; σmax =
; w =−
; W =
dx
Jy
Wo
EJy
2EJy
0
σ(z)
σmax
w00
Při vyšetřování mezních stavů deformace je třeba znát průhyby resp. úhly natočení aspoň
v některých význačných bodech střednice prutu. Pro jejich určení existuje řada metod, W
z nichž si uvedeme dvě:
– integrace diferenciální rovnice průhybové čáry prutu (diferenciální přístup),
– Castiglianova věta (integrální přístup).
předchozí
OBSAH
další
p13 – 21
13.10.2. Diferenciální přístup
Moy (x)
se řeší přímou integrací. Musí být doplněna okraDiferenciální rovnice w00 (x) = − EJ
y
jovými podmínkami. U prutů, u nichž průběh Mo (x) po celé délce vyjádříme jedinou Příklad 604
funkční závislostí (hladkou a spojitou), řešíme jednu diferenciální rovnici 2. řádu a potře- Příklad 607
bujeme pro určení integračních konstant 2 okrajové podmínky.
Okrajové podmínky mohou být popsány
a) vazbovými podmínkami – známými průhyby a úhly natočení v místě vazeb prutu se
základním tělesem,
b) symetriií deformace,
pro x = 2l → w0 = ϕ = 0 (tečna k ohybové čáře je rovnoběžná s osou x)
Pro prut na obrázku máme tedy dvě možnosti pro vyjádření okrajových podmínek:
1. vazbové podmínky
2. symetrie deformace
x=0 w=0
x=0 w=0
x=l w=0
x = 2l w0 = 0
c) geometrickými prutovými předpoklady (střednice zůstává během deformace spojitá
a hladká). Je-li výraz Moy /EJy vyjádřen na úsecích prutu různými funkčními závislostmi, pak na hranicích těchto úseků formulujeme podmínky spojitosti a hladkosti
střednice.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 22
Např. pro x = a, kde je změna zatížení (změna průběhu Mo (x)), musí platit
– průhyb zleva se rovná průhybu zprava (zachování spojitosti) ⇒ wI = wII
– natočení zleva se rovná natočení zprava (zachování
hladkosti střednice) ⇒ ϕI = ϕII
prutové
předpoklady
U prutů, u nichž je výraz Moy /EJy vyjádřen různými závislostmi v určitých částech
střednice, pak postupujeme následovně:
Příklad 616
– Střednici rozdělíme na úseky, v nichž je výraz Moy /EJy vyjádřen jedinou závislostí. Hranice
intervalů jsou v místech změny zatížení, materiálových a průřezových charakteristik.
– Pro každý úsek napíšeme diferenciální rovnici.
– Popíšeme vazbové okrajové podmínky, vyplývající
z vazeb prutu se základním tělesem.
– Pro všechna rozhraní mezi intervaly napíšeme pro deformovanou střednici
podmínky spojitosti (rovnost průhybů zleva a zprava) (wi (a) = wi+1 (a)),
podmínky hladkosti (rovnost natočení zleva a zprava) (ϕi (a) = ϕi+1 (a))
materiálové
charakteristiky
průřezové
charakteristiky
ohybová čára
Příklad 622
Protože k řešení diferenciální rovnice ohybové čáry je třeba stanovit 2 integrační konstanty,
musíme napsat odpovídající počet (2x počet intervalů) okrajových podmínek. Pro jejich
Mo (x)
správné sestavení je nutné, aby funkce EJ
byla pro všechny úseky vyjádřena v tomtéž
y
souřadnicovém systému.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 23
13.10.3. Integrální přístup
Deformační charakteristiky pro konkrétní body střednice můžeme také určit s využitím
Castiglianovy věty.
Castiglianova
věta
V prutu délky l se akumuluje energie napjatosti
W = WMoy
l
l
2
(x)
1 Z Moy
β Z T 2 (x)
+ WT =
dx +
dx,
2E
Jy (x)
2G
S(x)
0
WMo
WT
0
která je superpozicí příspěvků od ohybu a smyku.
Při řešení posuvu působiště J síly F~J dosadíme energii napjatosti do Castiglianovy věty Castiglianova
a v obecném tvaru zderivujeme:
věta
l
l
Z
Z
∂W
Moy ∂Moy
T ∂T
wJ =
=
dx + β
dx.
∂FJ
EJy ∂FJ
GS ∂FJ
0
Příklad 625
0
Přitom musíme mít na paměti, že průhyb wJ je globální veličinou (závisí na deformacích celého prutu). Proto složky VVÚ musí být vyjádřeny jako funkční závislosti po celé
délce střednice prutu. U dlouhých štíhlých prutů (l > 10h) je příspěvek posouvající síly
zanedbatelný.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 24
13.10.4. Porovnání diferenciálního a integrálního přístupu
1. diferenciální přístup:
Umožňuje:
a) řešit i velké průhyby – pomocí rovnice pro velké deformace
M
±w00
= EJoy velké
02 32
y
(1 + w )
deformace
(pouze v určitých jednoduchých případech),
b) určit v obecném místě velikost průhybu a natočení.
c) určit extrémní průhyb i v případě, že neznáme polohu extrémního průhybu.
Příklad 624
Nevýhody: nezahrnuje vliv posouvající síly na průhyb a natočení a obvykle je matematicky složitější a pracnější.
2. integrální přístup (Castiglianova věta):
a) umožňuje určit deformační charakteristiky v kterémkoli konkrétním bodě střednice; pokud v něm nepůsobí odpovídající vnější zatížení, přidáme doplňkovou
~ d = 0, s nimiž pracujeme jako se známým
sílu F~d = 0 nebo silovou dvojici M
vnějším zatížením,
b) umožňuje zahrnout vliv posouvající síly T~ na průhyb a natočení,
c) ve srovnání s diferenciálním přístupem je výpočet podstatně rychlejší a snazší,
d) umožňuje volit různý (optimální) souřadnicový systém v každém úseku,
e) je použitelný i u zakřivených a lomených prutů.
Nevýhody:
a) lze ho použít pouze v lineární pružnosti (malé deformace, hookovský materiál,
vazby lineární),
b) řeší deformaci v konkrétním bodě, obtížně se používá při hledání extrémů.
předchozí
OBSAH
Příklad 618
Příklad 621
charakteristiky
Příklad 625
lineární
pružnost
další
p13 – 25
13.10.5. Vázaný prut
V blízkém okolí vazeb existuje oblast, kde není prut namáhán prostým ohybem, protože se
nepodaří realizovat vazbu tak, aby omezovala jen posuvy a natočení střednice. Tuto oblast prutové
nemůžeme řešit pomocí vztahů pro prostý ohyb. Je-li tato oblast rozhodující z hlediska předpoklady
mezních stavů, je třeba použít např. MKP.
předchozí
OBSAH
další
p13 – 26
Postup při řešení vázaných prutů
1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice.
2. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy.
3. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ − ν. Mohou nastat tyto případy:
a) s = 0 – prut je uložen staticky určitě – pokračujeme bodem 7.
b) s ≥ 1 – prut je uložen staticky neurčitě – pokračujeme bodem 4.
4. Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsou určeny
posuvem ev. natočením tolika bodů střednice, kolikrát je uložení staticky neurčité.
5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového působení s využitím Castiglianovy věty. Pokud vazby omezují podélné deformace prutu, vznikne v něm nenulová normálová síla a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (ohyb + tah
nebo tlak). Deformační podmínky mohou být
a) homogenní – kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu,
b) nehomogenní – kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v důsledku
výrobních nepřesností (např. nestejná výška podpor, nesouosost vazeb),
c) podmíněné – podle velikosti posuvu ev. natočení může prut zůstat buď staticky
určitý nebo se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobí nefunkčnost
vazby).
6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvolněného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu.
7. Řešíme soustavu rovnic.
8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu.
předchozí
OBSAH
uvolnění
SR
rozbor
Příklad 602
částečné
uvolnění
jednoduché
namáhání
Příklad 617
Příklad 608
Příklad 613
další
p13 – 27
13.11. Příklady k procvičování látky
Řešené příklady
Příklad 601
Příklad 625
Příklad 627
Příklad 602
Příklad 603
Příklad 604
Příklad 608
Příklad 610
Příklad 618
Příklad 622
Příklad 624
Příklad 616
Příklad 617
Neřešené příklady
předchozí
OBSAH
následující kapitola