Teoretické otázky PROFANT 2007

Pružnost a pevnost I
Pružnost a pevnost I
teoretické otázky 2007 – Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D.
verze 1.1
OBSAH:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Tenzor napětí
Věta o sdruženosti smykových napětí
Saint Venantův princip
Tenzor deformace (přetvoření)
Geometrická reprezentace tenzoru deformace (přetvoření)
Hookův zákon
Práce síly při deformaci tělesa
Věta o superpozici
Věta o vzájemnosti prácí – Bettiho věta
Věta Castiglianova
Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ)
Prostý krut
Prostý tlak a tah
Prostý ohyb
Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu
Hlavní souřadnicový systém
Zvláštní typy napjatosti – trojosá (prostorová) napjatost
Zvláštní typy napjatosti – dvojosá (rovinná) napjatost
Zvláštní typy napjatosti – jednoosá (přímková) napjatost
Zvláštní typy napjatosti – nulová napjatost
Grafické znázornění napjatosti
created by Stana & Blucher
Stránka | 1
Stránka | 2
1.
Pružnost a pevnost I
Tenzor napětí
 σ x τ xy τ xz  σi (i = x, y, z) jsou normálová napětí


Tσ =  τ yx σ y τ yz  τij (i, j = x, y, z; i ≠ j) jsou smyková napětí
τ

 zx τ zy σ z  Napjatost v bodě tělesa je jednoznačně
určena tenzorem napětí Tσ.
2.
Věta o sdruženosti smykových napětí
Smyková napětí působící ve vzajemně kolmých elementarních řezech kolmo k jejich
průsečnici jsou stejně veliká a orientovaná buď k průsečnici, nebo od ní.
3.
Saint Venantův princip
Nahradíme-li v určité oblasti tělesa jednu silovou soustavu jinou, staticky
ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je pro obě zatiženi prakticky stejná s
vyjimkou blízkého okolí oblasti náhrady, jehož rozměry δ jsou srovnatelné s rozměry této
oblasti.
4.
Tenzor deformace (přetvoření)
ε i (i = x, y, z) jsou délková přetvoření
γ xy γ xz 

 εx
 γ ij (i, j = x, y, z; i ≠ j) jsou úhlová přetvoření
2
2
γ
γ yz 

Tε =  yx ε y
2  Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního
 2
 γ zx γ zy

ε z  prvku tělesa, který tento bod tělesa obsahuje. Je popsána
 2
2

 tenzorem přetvoření Tε .
5.
Geometrická reprezentace tenzoru deformace (přetvoření)
Deformace elementární krychle je dána
poměrnými změnami délek tří jejich hran a tří
uhlů mezi jejími stěnami.
created by Stana & Blucher
Pružnost a pevnost I
6.
Stránka | 3
Hookův zákon
Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε je u oceli lineární,
dostáváme tak materiál lineárně pružný, jehož vlastnosti popisuje
Hookův zákon.
- Závislost mezi napětím σx a přetvořením v podélném směru:
σ x = E ⋅ε x
E – Yongův modul pružnosti v tahu
- Délková přetvoření lze určit ze vztahu:
ε y = ε z = −µ ⋅ ε x
µ – součinitel příčné kontrakce (Poissonovo číslo)
- Smyková napjatost v rovině:
G – modul pružnosti ve smyku: G =
τ = G ⋅γ
- Obecný Hookův zákon:
7.
Popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napětí na
všech složkách tenzoru přetvoření.
Práce síly při deformaci tělesa
Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci:
AF =
uFK
∫
FduF =
0
uFK
∫
0
cuF duF =
cuF2K
2
=
FK2 1
= FK uFK
2c 2
Integrál si lze geometricky představit jako plochu pod
křivkou v grafu F = F (uF) a při lineární závislosti sily a
posuvu odpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka.
8.
Věta o superpozici
Napjatost a deformace tělesa zatíženého
silovou soustavou je v lineární pružnosti
rovna součtu napjatostí a deformací
způsobených jednotlivými silami této
soustavy.
9.
Věta o vzájemnosti prácí – Bettiho věta
ur
ur
Při působeni F 1 a F 2 na lineárně pružné těleso platí,
ur
že práce sily F 1 na složkách deformace vyvolaných silou
ur
ur
F 2 je rovna práci sily F 2 na složkách deformace
ur
vyvolaných silou F 1 .
F1 ⋅ u12 = F2 ⋅ u21
created by Stana & Blucher
E
2 ⋅ (1 + µ )
Stránka | 4
Pružnost a pevnost I
10. Věta Castiglianova
Působi-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv uJ působiště
ur
sily F J po její nositelce je dán parcialní derivací celkové energie napjatosti tělesa
(soustavy) podle této síly.
∂W
uJ =
∂FJ
uur
Úhel natočení ϕ J přímky spojené s působištěm silové dvojice M J v rovině jejiho
působení je dán parcialní derivaci celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této
dvojice.
∂W
ϕJ =
∂M J
11. Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ)
Schwedlerova věta:
dN ( x )
= − qN ( x )
dx
dT ( x )
= − qT ( x )
dx
dM O ( x )
= T ( x)
dx
qT – spojité zatížení, T ( x ) – posouvající síly
12. Prostý krut
Tenzor napětí v krutu:
Tenzor deformace:
0 τ 0
τ σ = τ 0 0 
0 0 0



0
γ
Tε = 
2
 0

γ
2
0
0

0

0

0 

13. Prostý tlak a tah
V prutu vzniká trojosý stav deformace, tenzor deformace:
V prutu vzniká jednoosá napjatost, tenzor napětí:
τ xϕ = τ ϕ x = τ
τ – jsou smyková napětí
γ xϕ = γ = ρ ⋅ ϑ
γ – úhlové přetvoření
εx
Tε =  0
0

0
εy
0
σ x
Tσ =  0
 0

0
0
0
0
0
ε z 
0
0
0




created by Stana & Blucher
Pružnost a pevnost I
Stránka | 5
14. Prostý ohyb
V každém bodě prutu vzniká obecný trojosý stav
deformace, popsaný tenzorem deformace:
U prostého ohybu vzniká v bodech prutu jednoosá
napjatost, která ale na rozdíl od prostého tahu není
homogenní, tenzor jednoosé napjatosti:
εx
Tε =  0
0

0
εy
0
σ x
Tσ =  0
 0

0
0
0
0
0
ε z 
0
0
0




Proměnnost ohybového momentu podél střednice – maximální smykové napětí
v obdélníkovém a kruhovém průřezu:
τ max =
3T
2S
τ max =
4T
3S
15. Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu
Závislost tlakového napětí σkr v bodě rozdvojení rovnováhy na štíhlosti prutu λ je
hyperbolou vyššího stupně (Eulerova hyperbola).
16. Hlavní souřadnicový systém
Tenzor napětí v hlavním souřadnicovém systému:
 σ1 0
Tσ =  0 σ 2
 0 0

0
0
σ 3 
Hlavní napětí je normálové napětí v takové rovině, v niž jsou smyková napětí rovna
uur uur
nule (tj. obecné napětí v řezu je kolmé k tomuto řezu ( f ρ = σ ρ )).
created by Stana & Blucher
Stránka | 6
Pružnost a pevnost I
17. Zvláštní typy napjatosti – trojosá (prostorová) napjatost
1) Obecná:
σ1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 ≠ 0
2) Polorovnoměrná:
a) σ1 = σ 2 ≠ 0, σ 3 ≠ 0
b) σ 2 = σ 3 ≠ 0, σ 1 ≠ 0
3) Rovnoměrná:
σ1 = σ 2 = σ 3 = σ
18. Zvláštní typy napjatosti – dvojosá (rovinná) napjatost
1) Obecná:
a) σ 3 = 0, σ 1 ≠ σ 2 ≠ 0
b) σ 2 = 0, σ 1 ≠ σ 3 ≠ 0
c) σ1 = 0, σ 2 ≠ σ 3 ≠ 0
2) Rovnoměrná:
a) σ 3 = 0, σ 1 = σ 2 ≠ 0
b) σ 1 = 0, σ 2 = σ 3 ≠ 0
3) Prutová:
Je dána normálovou a smykovou
složkou napětí v příčném průřezu prutu.
σ x = σ ≠ 0, τ xy = τ ≠ 0
4) Smyková:
Je zvláštním případem prutové
napjatosti pro σ = 0 . Pak pro hlavní
napětí platí:
σ1 = −σ 3 = τ , σ 2 = 0
created by Stana & Blucher
Pružnost a pevnost I
Stránka | 7
19. Zvláštní typy napjatosti – jednoosá (přímková) napjatost
a) tahová σ1 > 0, σ 2 = σ 3 = 0
b) tlaková σ 3 < 0, σ 1 = σ 2 = 0
20. Zvláštní typy napjatosti – nulová napjatost
σ1 = σ 2 = σ 3 = 0
21. Grafické znázornění napjatosti
Nazývá se Mohrova kružnice napjatosti prostého tahu ( σ > 0 ) resp. tlaku ( σ < 0 ).
created by Stana & Blucher