1 Měření

Transkript

1 Měření

OBCHODNÍ AKADEMIE ORLOVÁ,
PŘÍSPĚVKOVÁ ORGANIZACE
MECHANIKA A TERMIKA
UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ FORMU VZDĚLÁVÁNÍ
Mgr. MICHAELA MASNÁ
ORLOVÁ 2006
Obsah
1
Obsah:
Úvod ..................................................................................... 5
Používané symboly................................................................ 6
1 Měření ................................................................................ 7
1.1 Fyzikální veličina ........................................................................... 8
Řešený příklad: .............................................................................. 8
Úkol 1: ............................................................................................ 8
1.2 Jednotky, převody jednotek ........................................................ 10
Řešený příklad: ............................................................................. 11
Shrnutí................................................................................................12
Úkol 2:...........................................................................................12
Úkol 3:...........................................................................................12
Úkol 4:...........................................................................................12
Řešení úkolů:......................................................................................12
2 Kinematika ....................................................................... 14
2.1 Klid a pohyb těles .........................................................................15
Úkol 1: ...........................................................................................15
Řešený příklad: .............................................................................16
2.2 Rovnoměrný pohyb ......................................................................18
Řešený příklad: .............................................................................19
2.3 Pohyb rovnoměrně zrychlený...................................................... 20
Řešený příklad: ............................................................................ 23
2.4 Volný pád ..................................................................................... 23
2.5 Pohyb hmotného bodu po kružnici ............................................. 24
Úkol 2:.......................................................................................... 26
Úkol 3:.......................................................................................... 26
Úkol 4:.......................................................................................... 26
Úkol 5:.......................................................................................... 26
Shrnutí:.............................................................................................. 26
Řešení úkolů:..................................................................................... 27
Korespondenční úkol 1:..................................................................... 28
2
Obsah
3 Dynamika ......................................................................... 29
3.1 Síla její účinky..............................................................................30
Úkol 1: ...........................................................................................31
3.2 Newtonovy pohybové zákony .......................................................31
První Newtonův pohybový zákon – zákon setrvačnosti ..............31
Zamyšlení:.................................................................................... 32
Úkol 2:.......................................................................................... 33
Druhý Newtonův pohybový zákon – zákon síly .......................... 33
Zamyšlení:.................................................................................... 34
Řešený příklad: ............................................................................ 35
Třetí Newtonův pohybový zákon – zákon akce a reakce ............ 35
Zamyšlení:.................................................................................... 36
Zamyšlení:.................................................................................... 37
Řešený příklad: ............................................................................ 37
Úkol 3:..........................................................................................38
Úkol 4:..........................................................................................38
3.3 Hybnost tělesa ............................................................................. 39
Zákon zachování hybnosti ...........................................................40
Úkol 5:...........................................................................................41
Úkol 6:...........................................................................................41
3.4 Dostředivá a odstředivá síla .........................................................41
Úkol 7: .......................................................................................... 42
3.5 Síly, které brání pohybu tělesa .................................................... 43
Úkol 8:.......................................................................................... 45
Úkol 9:.......................................................................................... 45
Shrnutí:.............................................................................................. 45
Řešení úkolů:.....................................................................................46
Korespondenční úkol 2: ....................................................................48
4 Mechanická práce a energie .............................................. 49
4.1 Mechanická práce ........................................................................50
Zamyšlení:.....................................................................................51
Řešený příklad: .............................................................................51
Úkol 1: .......................................................................................... 52
Obsah
3
Úkol 2:.......................................................................................... 52
4.2 Výkon ........................................................................................... 52
Řešený příklad: ............................................................................ 53
Řešený příklad: ............................................................................ 53
Úkol 3:.......................................................................................... 54
Úkol 4:.......................................................................................... 54
4.3 Mechanická energie..................................................................... 54
Řešený příklad: ............................................................................ 56
4.4 Zákon zachování mechanické energie......................................... 56
Úkol 5:.......................................................................................... 58
Úkol 6:.......................................................................................... 58
Shrnutí:.............................................................................................. 58
Řešení úkolů:..................................................................................... 58
Korespondenční úkol 3: .....................................................................61
5 Mechanika tekutin ............................................................ 62
5.1 Vlastnosti kapalin a plynů ........................................................... 63
5.2 Tlak v kapalinách a plynech ........................................................ 65
Řešený příklad: ............................................................................ 67
Úkol 1: .......................................................................................... 67
Úkol 2:.......................................................................................... 69
Úkol 3:.......................................................................................... 70
Úkol 4:.......................................................................................... 72
Úkol 5:.......................................................................................... 72
5.3 Vztlaková síla v kapalinách a plynech ......................................... 72
Úkol 6:.......................................................................................... 74
Shrnutí:.............................................................................................. 74
Řešení úkolů:......................................................................................75
Korespondenční úkol 4: .................................................................... 76
6 Termika .............................................................................77
6.1 Teplota ......................................................................................... 78
Úkol 1: ..........................................................................................80
6.2 Teplotní délková roztažnost ........................................................80
6.3 Teplotní objemová roztažnost ..................................................... 82
Úkol 2:.......................................................................................... 83
4
Obsah
6.4 Částicová stavba látek..................................................................83
6.5 Vnitřní energie a teplo ................................................................. 85
Řešený příklad: ............................................................................88
Úkol 3:..........................................................................................88
Úkol 4:..........................................................................................88
6.6 Přenos vnitřní energie .................................................................89
Úkol 5:..........................................................................................92
Shrnutí:.............................................................................................. 92
Řešení úkolů:..................................................................................... 93
Korespondenční úkol 5: .................................................................... 94
Literatura............................................................................ 95
Úvod
5
Úvod
Dnešní doba klade na vědu stále větší důraz. Množství základních
poznatků, které by měl jedinec znát, se neustále zvyšuje. Nejde jen
o zvládnutí čtení, psaní a počítání, ale i o umění komunikace, schopnosti
řešit problémy, touhy po poznání, o kritický přístup k práci.
Během studia se naučíte uvědomit si a formulovat problém,
uvažovat o něm, navrhnete možná řešení, naučíte se provádět,
pozorování, shromažďovat údaje a nacházet správné odpovědi. Poznáte,
že vědeckou metodou se můžete dobrat k faktům.
Tento studijní text nenahrazuje učebnice fyziky, kterých existuje na
trhu dostatečné množství. Autoři studijní opory vycházeli ze svých
zkušeností získaných během výuky fyziky v prezenční formě a snažili se
přizpůsobit ji svým obsahem co nejvíce podmínkám distančního
vzdělání.
Studijní opora je rozdělena do 6 kapitol, ve kterých jsou vám
přiblíženy jevy související s kinematikou a dynamikou pohybu,
přeměnami energie, vlastnostmi tekutin a s tepelnými jevy. Kapitoly
obsahují řešené příklady, úkoly, jejichž řešení najdete v závěru kapitoly
a korespondenční úkoly.
Î po prostudování opory budete vědět:
−
že fyzikální veličiny slouží k popisu stavu objektů a dějů;
−
že klid a pohyb těles je relativní;
−
že fyzikální práce je něco jiného než fyziologická námaha;
−
že tekutiny mají pro náš život obrovský význam a vyskytují se
v mnoha zařízeních;
−
že pocity tepla a chladu můžeme vyjádřit fyzikálními
veličinami.
Î budete umět:
−
objevit v běžném životě fyzikální problém a formulovat ho;
−
ujasnit si hlavní a vedlejší otázky;
−
vysvětlovat a třídit údaje;
−
aplikovat výsledky v nových situacích.
Î čas potřebný k prostudování učiva předmětu:
−
20 hodin
Když se lidé učí ze svých chyb, mnohdy získávají neuvěřitelné
vzdělání.
Přejeme Vám hodně radosti z poznávání!
Symboly
6
Používané symboly
Průvodce studiem – vstup autora, doplnění tetu
Informace – co se v kapitole dovíte
Klíčová slova
Čas potřebný ke studiu kapitoly
Důležité – pojmy nebo početní vztahy
Příklad – objasnění problematiky nebo řešený příklad
Úkol k zamyšlení
Otázky a úkoly – řešení najdete v rámci opory
Řešení úkolů – vážou se na konkrétní úkoly a otázky
Část pro zájemce – rozšíření látky, pasáže jsou
dobrovolné
Shrnutí – shrnutí látky, shrnutí kapitoly
Literatura
Korespondenční úkol
1 Měření
7
1 Měření
Při zkoumání přírodních jevů snadno zjistíte, že studované
objekty mají určité vlastnosti, že se nacházejí v jistých stavech a že
mezi nimi probíhají nejrůznější děje.
K vystižení těchto skutečností nám slouží fyzikální veličiny,
jejich měření, hledání vzájemných souvislostí mezi nimi a stanovení
fyzikálních zákonitostí.
Î V této kapitole se dozvíte:
−
co je to fyzikální veličina;
−
co je to měření fyzikálních veličin;
−
jaké jsou druhy fyzikálních veličin;
−
jaké jsou jednotky fyzikálních veličin.
Î Klíčová slova:
−
fyzikální veličina; jednotka; měření; skalár; vektor;
mezinárodní soustava SI; základní jednotky; doplňkové
jednotky; vedlejší jednotky; odvozené jednotky; převody
jednotek.
Î Čas potřebný k prostudování kapitoly:
−
1 hodina.
8
1 Měření
1.1 Fyzikální veličina
K jednoduchému popsání vlastností, stavů a změn hmotných
objektů slouží pojem fyzikální veličina. Každá fyzikální veličina má
svůj název a přiřazujeme jí dohodnutou značku. Např. značka pro
délku je l, pro sílu F, pro elektrické napětí U.
Abychom mohli určit hodnotu fyzikální veličiny, zavedeme nejprve
její jednotku. To je míra fyzikální veličiny, které přiřadíme
hodnotu 1,0. Jednotka má definovaný název a příslušnou značku,
např. název jednotky délky je metr a značka m.
Měření fyzikální veličiny je její porovnávání s dohodnutou
jednotkou. Číselná hodnota fyzikální veličiny udává, kolikrát je daná
veličina menší nebo větší než zvolená jednotka.
Řešený příklad:
Při měření výšky našeho těla zjistíme, že naše výška je 1,8 krát větší
než délka jednoho metru. Číselná hodnota vyjadřující výšku našeho těla
je 1,8.
Výsledek měření zapíšeme ve tvaru:
l = 1,8 m
Hodnota fyzikální veličiny je určena číselnou hodnotou
a danou měřicí jednotkou.
Obecně zapisujeme ve tvaru:
X = {X } ⋅ [X]
hodnota fyzikální veličiny = číselná hodnota . jednotka
Úkol 1:
Najděte skryté fyzikální veličiny:
Modrá halenka jí vážně neslušela.
Cvičili jsme nový kondiční cvik.
Prudce smetl aktovku ze stolu
Jan Hus to taktně odmítl.
Kapří koncert byl němý.
Polož dřevo podél kamen.
Martin prosí Lauru, aby mu půjčila pastelku.
(řešení najdete na konci kapitoly)
Fyzikální veličiny můžeme dělit různým způsobem. Nejčastěji podle
toho, kolik údajů potřebujeme k jejich úplnému určení. Toto hledisko
nám rozděluje fyzikální veličiny na dvě základní skupiny – skalární
veličiny a vektorové veličiny.
9
1 Měření
Skalární veličina – skalár je taková, k jejímuž úplnému určení
stačí zadat číselnou hodnotu a odpovídající jednotku. Mezi skaláry
patří např. hmotnost, čas, délka, energie, elektrické napětí, frekvence
a mnoho dalších.
U vektorové veličiny – vektoru k úplnému určení nestačí jen
číselná hodnota s příslušnou jednotkou, ale musíme znát i směr
a někdy také místo působení – působiště. K vektorovým veličinám
patří např. rychlost, zrychlení, síla, intenzita elektrického pole a jiné.
Vektorové veličiny se označují v tištěné podobě tučnou kurzívou,
např. F,
→
při ručním psaní vodorovnou šipkou nad její značkou, např. F .
Vektorové veličiny můžeme znázorňovat úsečkou se šipkou, tj.
orientovanou úsečkou. Délka úsečky vyjadřuje v zadaném měřítku
velikost vektorové veličiny, počáteční bod úsečky je působištěm veličiny
a směr je určen šipkou, viz obr. 1.1
v
F
Obr. 1.1 Znázornění vektorů
Zápis:
F = F = 80 N
Při počítání s fyzikálními veličinami musíme dodržovat určitá
pravidla. Sčítat můžeme jen veličiny stejného druhu s naprosto
stejnou jednotkou. Pokud budeme toto pravidlo respektovat, při
počítání se skalárními veličinami můžeme v klidu použít běžné
postupy algebry reálných čísel.
S vektorovými veličinami je to trochu složitější.
Působí-li na těleso v jednom bodě dvě síly 60 N a 80 N, pokud
nebudeme znát jejich směry, nemůžeme jednoznačně určit jejich
výslednici, tj. sílu, která nahrazuje účinky těchto dvou sil.
V případě dvou různoběžných vektorových veličin využijeme
k určení výslednice vektorový rovnoběžník. Z jednoho bodu O
nakreslíme orientované úsečky, které zobrazují dané vektory. Doplníme
na rovnoběžník. Z bodu O sestrojíme úhlopříčku rovnoběžníku, její
koncový bod označíme šipkou. Tato orientovaná úsečka zobrazuje
výslednici, tj. součet obou vektorů, viz obr. 1.2.
Leží-li oba vektory v téže vektorové přímce, pak přejde
vektorové sčítání na jednoduché algebraické sčítání. V tomto
případě jsou vektory shodně orientovány, viz obr. 1.3. Jsou-li
vektory opačně orientovány, jedná se o odčítání, viz obr. 1.4.
10
1 Měření
F
F2
F2
F1
F1
Obr. 1.2 Skládání různoběžných vektorů
v1
v2
v=v1 + v2
Obr. 1.3 Sčítání vektorů
a1
a2
a=a1 – a2
Obr. 1.4 Odčítání vektorů
1.2 Jednotky, převody jednotek
Všechny fyzikální veličiny a jejich jednotky tvoří ucelený systém.
Rozvoj průmyslu a obchodu vedl k vytvoření a zavedení jednotné
soustavy jednotek. Ve většině zemí světa platí od roku 1960
Mezinárodní soustava jednotek označovaná SI. Je to zkratka
francouzského názvu Système International d’Unités.
Soustava SI je založena na sedmi základních jednotkách, které
odpovídají sedmi základním veličinám. Pro další veličiny jsou
určeny v SI odvozené jednotky, doplňkové jednotky, násobky
a díly jednotek SI. Vedlejší jednotky nepatří do SI, ale je dovoleno
je užívat s jednotkami SI a jejich dekadickými násobky a díly.
Některé dnešní jednotky mají svůj původ u starých
národů a přetrvaly tisíciletí. Jednotky času a úhlů
s šedesátinnými dělením pocházejí ze Sumeru a Babylónie. Další
jednotky byly odvozovány z rozměrů lidského těla.
Starých měr bylo velké množství, což vytvářelo měrový chaos,
hlavně ve středověku. Své míry měly nejen státy, ale i jednotlivá
města.
U nás došlo k prvnímu důležitějšímu sjednocení r. 1268 za vlády
Přemysla Otakara II.
Základní jednotkou byl zvolen 1 pražský loket, asi 59,5 cm
1 pražský loket = 3 pídím = 30 prstům
= „širokosti“ 12 zrn ječmene
11
1 Měření
Základní veličina
délka
hmotnost
čas
elektrický proud
termodynamická teplota
látkové množství
svítivost
Značka
veličiny
l
m
t
I
T
n
I
Základní
jednotka
metr
kilogram
sekunda
ampér
kelvin
mol
kandela
Značka
jednotky
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tab. 1.1 Základní veličiny a základní jednotky
Doplňkové jednotky – pro měření úhlu radián (rad), pro
měření prostorového úhlu steradián (sr).
Odvozené jednotky – jsou vytvořeny na základě definičních
vztahů odpovídajících veličin.
Vyjádříme 1 J (joule) pomocí základních jednotek SI.
Práce je definována vztahem W = Fs, kde F je síla a s je dráha.
Sílu můžeme vyjádřit vztahem F = ma, kde m je hmotnost
a a je zrychlení. Dostaneme tedy:
W = F.s = m.a.s, a pro joule [J] = kg . m . s-2 . m = kg . m2 . s-2
Násobky a díly jednotek – v praxi se užívají násobky a díly
pomocí mocnin deseti. Názvy potom vytváříme pomocí slovních
předpon, viz tab. 1.2.
Předpona
exapetateragigamegakilo-
Značka
E
P
T
G
M
k
Násobek Předpona
1018
mili15
10
mikro
1012
nano9
10
piko6
10
femto3
10
attoTab. 1.2 Předpony SI
Značka
m
μ
n
p
f
a
Díl
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
12
1 Měření
Úkol 2:
Určete výpočtem i graficky výslednou rychlost loďky, je-li rychlost
proudu
v1 = 3 m/s a pohání-li ji motor rovnoměrně přímočaře rychlostí
v2 = 4 m/s kolmo k rychlosti proudu. (rychlosti uvažujeme vzhledem ke
břehu).
Úkol 3:
Vyhledejte v tabulkách definiční vztah pro určení tlaku a výkonu.
Jejich jednotky pascal a watt vyjádřete pomocí součinu základních
jednotek SI. Tímto způsobem dostanete rozměr jednotky tlaku
a jednotky výkonu.
Úkol 4:
Vyjádřete ve správných jednotkách
800 m = 8.105…
0,7 kg = 7.102…
200 Pa = 0,2…
1 260 kV = 1,26…
6,5… = 6,5.103 mg
30… = 3.10-2 kN
0,48… = 4,8 cm
0,06… = 60 MPa
Shrnutí
−
Fyzikální veličina je vlastnost hmotného objektu, kterou
můžeme měřit. Má svůj název, značku a jednotku
−
Fyzikální veličiny můžeme rozdělit podle různých hledisek.
Nejčastěji podle počtu údajů nutných k jejich úplnému určení
– na skaláry a vektory
−
Měření je porovnávání fyzikální veličiny s její dohodnutou
jednotkou. V dnešní době je platná Mezinárodní soustava
jednotek SI, jejímž základem je sedm základních jednotek
sedmi odpovídajících veličin.
Řešení úkolů:
1.
Skryté veličiny:
dráha; výkon; tlak; hustota; příkon; délka; síla
2.
Výpočtem určíme výslednou rychlost pomocí Pythagorovy věty.
v = v12 + v 22
{v} = 32 + 4 2 = 25 = 5 v = 5 m/s
Grafické řešení: Nakreslíme orientované úsečky ve vhodném
měřítku;
13
1 Měření
tj. 1 cm = 1 m/s, doplníme na rovnoběžník. Výslednou rychlost tvoří
jeho úhlopříčka.
v1
v
v2
3.
tlak
F ma
p= =
= m a S −1
S
S
pascal
[Pa] = kg ⋅ m ⋅ s −2 ⋅ m −2 = kg ⋅ m −1 ⋅ s −2
výkon
W F s mas
=
=
= m a s t −1
P=
t
t
t
watt
[W ] = kg ⋅ m ⋅ s −2 ⋅ m ⋅ s −1 = kg ⋅ m 2 ⋅ s −3
4.
8.105 mm; 7.102 g; 0,2 kPa; 1,26 MV; 6,5 g; 30 N; 0,48 dm;
0,06 GPa
2 Kinematika
14
2 Kinematika
Svět a všechno v něm se pohybuje. I věci, které se zdají být
v klidu, jako například domy, se pohybují společně s pohybem Země
kolem Slunce, s pohybem Slunce kolem středu Mléčné dráhy,
s pohybem Mléčné dráhy vzhledem k ostatním vesmírným objektům.
Část fyziky, která se zabývá popisem pohybu těles, jejich
rozdělením a srovnáním, se nazývá kinematika.
−
že klid a pohyb tělesa je relativní;
−
že kinematika popisuje pohyb tělesa pomocí veličin: dráha,
rychlost a zrychlení;
−
že pohyby tělesa můžeme rozdělit podle různých hledisek.
−
klid, pohyb, hmotný bod, vztažná soustava, trajektorie,
dráha, rychlost, zrychlení, rovnoměrný pohyb, rovnoměrně
zrychlený pohyb, volný pád, pohyb po kružnici, tíhové
zrychlení, perioda, frekvence, obvodová rychlost, úhlová
rychlost.
−
4 hodiny.
2 Kinematika
15
2.1 Klid a pohyb těles
Příklad:
O člověku sedícím v křesle u televize říkáme, že je v klidu. Jeho
poloha se vzhledem k okolí nemění. Stav automobilu jedoucího po
silnici označíme jako pohyb. Poloha automobilu se vzhledem k okolí
mění.
Sedíme v jedoucím vlaku. Naše poloha vzhledem k vlaku se nemění,
vzhledem k okolní krajině ano. Jsme v klidu vzhledem k vlaku, ale
v pohybu vzhledem k okolí.
Z uvedených příkladů vyplývá, že klid a pohyb tělesa určujeme
vzhledem k jiným tělesům. Stav klidu a pohybu je relativní. Záleží
na soustavě těles, ke které daný stav tělesa popisujeme. Tuto soustavu
označujeme jako vztažnou soustavu. Nejčastěji za ni volíme zemský
povrch nebo tělesa s ním pevně spojená.
Popis pohybu tělesa si zjednodušíme tím, že těleso nahradíme
hmotným bodem. Hmotný bod má stejnou hmotnost jako těleso.
Toto zjednodušení můžeme použít, jsou-li rozměry tělesa
zanedbatelné vzhledem k vzdálenostem, po nichž se pohybuje.
Například automobil jedoucí mezi dvěma městy, hozený kámen, pohyb
planety kolem Slunce.
Úkol 1:
Vyberte situace, kdy můžeme zvolené těleso považovat za hmotný bod:
Letadlo letící na lince Praha – Tokio.
Golfový míček letící po úderu holí.
Auto zajíždějící na parkovací místo.
Maratónský běžec na trati dlouhé 42 km.
Hokejový puk v rukou brankáře.
Hmotný bod opisuje při svém pohybu souvislou pomyslnou čáru,
kterou nazýváme trajektorie. Viditelnou trajektorii za sebou nechává
lyžař při jízdě po sněhu, hrot pera při psaní, letadlo v podobě
kondenzační čáry.
Podle tvaru trajektorie dělíme pohyby na přímočaré, např.
pád jablka ze stromu, pohyb eskalátoru, a na křivočaré, např. pohyb
automobilu v zatáčce, pohyb míčku odraženého od tenisové rakety.
Délku trajektorie, kterou hmotný bod opíše za čas svého pohybu,
nazýváme dráha. Je to skalární fyzikální veličina, její značka je s.
Dráhu měříme v jednotkách délky, nejčastěji v metrech nebo
kilometrech.
2 Kinematika
16
Obr. 2.1 Dráha a trajektorie
Na obr. 2.1 (a) koná hmotný bod přímočarý pohyb z místa A do
místa B. Trajektorií je část přímky. Dráha je rovna vzdálenosti míst A a
B. Na obr. 2.1 (b) se hmotný bod pohybuje po křivce. Dráhu musíme
měřit podél této křivky z místa A do místa B. Dráha je v tomto případě
větší než vzdálenost bodů A a B.
Při pohybu hmotného bodu po trajektorii plyne čas. S rostoucím
časem se zvětšuje dráha, kterou hmotný bod urazí. Dráha je funkcí
času. Tuto funkci můžeme vyjádřit graficky. Na vodorovnou osu x
nanášíme čas t, na svislou osu y uraženou dráhu s.
Sledujeme pohyb motorového člunu. V tabulce 2.1 je zaznamenán
čas t v sekundách a ujetá dráha s v metrech. Grafem závislosti dráhy na
čase jsou úseky AB, BC, CD, viz graf 2.1
Čas
Dráha
t
s
s
m
0
2
4
6
8
0
10
10
25
40
Tabulka 2.1 Pohyb motorového člunu
Graf 2.1 Závislost dráhy na čase
2 Kinematika
17
Z grafu můžeme vyčíst údaje, které v tabulce 2.1 nenajdeme.
Snadno zjistíme dráhu, kterou člun ujel v libovolně zvoleném čase
od 0 s do 10 s. Stejným způsobem určíme čas, ve kterém měl člun ujetou
jakoukoliv dráhu od 0 m do 40 m. V grafu je také patrné, že v čase
od 2 s do 4 s byl člun v klidu vzhledem k místu A. V tomto úseku se jeho
dráha neměnila.
Na obrázku 2.2 je znázorněn pohyb sanitky a jízdního kola. Sanitka
ujela za hodinu 60 km, jízdní kolo jen 28 km. V běžném hovoru tuto
situaci popíšeme slovy „sanitka byla rychlejší než kolo, měla větší
rychlost“.
Obr. 2.2 Průměrná rychlost
Pokud známe dráhu, kterou hmotný bod při svém pohybu urazí,
a čas tohoto pohybu, můžeme určit průměrnou rychlost hmotného
bodu.
Průměrná rychlost hmotného bodu je podíl jeho celkové
dráhy s a celkového času t.
v=
s
t
Jednotkou rychlosti je metr za sekundu, značka m/s, v praxi
používáme km/h, někdy také km/s.
1 m/s =
1 m 3600 m 3,6 km
=
=
= 3,6 km/h
1s
3600 s
1h
Je výhodné si pamatovat, že 10 m/s = 36 km/h; 15 m/s = 54 km/h;
20 m/s = 72 km/h; 25 m/s = 90 km/h.
Američan Michael Johnson překonal v roce 1999 světový
rekord v běhu na 400 m časem 43,18 s.
Nejvýkonnější ruční pletařka za tuto dobu uplete 80 očí.
Můžeme porovnat tyto výkony, abychom měli představu, který
přinesl více vzrušení?
18
2 Kinematika
2.2 Rovnoměrný pohyb
Hmotný bod urazí při rovnoměrném pohybu ve stejných
časových intervalech stejné dráhy.
Rychlost má během pohybu stálou nenulovou hodnotu, je
konstantní.
Na obrázku 2.3 je znázorněn rovnoměrný pohyb motorového
člunu, jedoucího rychlostí 15 m/s.
Obr. 2.3 Rovnoměrný pohyb
Protože známe rychlost rovnoměrného pohybu, můžeme
snadno vypočítat dráhu s, kterou hmotný bod urazí za daný čas.
V našem příkladě ujede člun:
za 1 s dráhu 15 m/s ⋅ 1 s = 15 m
za 3 s dráhu 15 m/s ⋅ 3 s = 45 m
za 2 s dráhu 15 m/s ⋅ 2 s = 30 m
za 4 s dráhu 15 m/s ⋅ 4 s = 60 m
Pro dráhu rovnoměrného pohybu platí vztah
s= v t .
Tento vztah vyjádříme slovně: Dráha rovnoměrného
pohybu je přímo úměrná času.
Grafem závislosti dráhy rovnoměrného pohybu hmotného bodu
na čase je část přímky, viz graf 2.2. Přímka I znázorňuje případ, kdy
je počáteční dráha nulová. Přímka II ukazuje, že před sledováním
pohybu hmotný bod již urazil nějakou dráhu s0.
Vztah pro výpočet dráhy bude mít tvar: s = s0
+vt.
Graf 2.2 Dráha rovnoměrného pohybu
2 Kinematika
19
Grafem závislosti rychlosti rovnoměrného pohybu hmotného
bodu na čase je část přímky rovnoběžná s časovou osou, viz
graf 2.3. Vyšrafovaná část grafu vyjadřuje velikost ujeté dráhy
v daném čase při konstantní rychlosti.
Graf 2.3 Rychlost rovnoměrného pohybu
Nejjednodušší je rovnoměrný přímočarý pohyb. Takový pohyb
koná např. vlak jedoucí stálou rychlostí po přímém úseku tratě.
Osobní automobil jedoucí rychlostí 90 km/h předjíždí nákladní
automobil 10 m dlouhý. Nákladní automobil jede rychlostí 72 km/h.
Jakou dráhu potřebuje osobní automobil k předjetí, když začíná
předjíždět 20 m za nákladním automobilem a končí předjíždění 20 m
před nákladním automobilem.
v 0 = 90 km / h = 25 m / s ; v N = 72 km / h = 20 m / s ;
d = 10 m , l = 20 m , s = ? m
Obr. 2.4 Nákres situace
Oba automobily, viz obr. 2.4, jedou vedle sebe stejným směrem.
Jejich vzájemná rychlost v = v0 – vN = 25 – 20 = 5 m/s, (odpovídá to
situaci: nákladní automobil je vzhledem k silnici v klidu a osobní
automobil jej míjí rychlostí v).
− Vypočítáme, za jaký čas t0 by urazil osobní automobil dráhu
s 0 = d + 2 l ; {s 0 } = 10 + 2 ⋅ 20 ; s 0 = 50 m , při pohybu rychlostí v.
20
2 Kinematika
Vyjdeme ze vztahu pro výpočet dráhy rovnoměrného pohybu:
s
50
s 0 = v t 0 ⇒ t 0 = 0 ; {t 0 } =
; t 0 = 10 s
v
5
− Vypočítáme, jakou skutečnou dráhu s ujel osobní automobil za
čas t0, jestliže se pohyboval rychlostí v0:
s = v 0 t 0 ; {s} = 25 ⋅ 10 ; s = 250 m
Osobní automobil by potřeboval k předjetí nákladního automobilu
dráhu 250 m.
Pokud se automobily pohybují proti sobě, jejich vzájemná rychlost
je v = v0 + vN.
2.3 Pohyb rovnoměrně zrychlený
Jestliže se rychlost hmotného bodu během pohybu mění, mluvíme
o nerovnoměrném pohybu. Hmotný bod urazí ve stejných
časových úsecích nestejné dráhy, viz obr. 2.5.
Obr. 2.5 Nerovnoměrný pohyb
Rychlost není konstantní, může mít v každém okamžiku jinou
hodnotu. V případě nerovnoměrného pohybu hmotného bodu hovoříme
proto o okamžité rychlosti.
Okamžitá rychlost hmotného bodu je rychlost, kterou má
hmotný bod v určitém okamžiku v určitém místě trajektorie.
Velikost okamžité rychlosti může sledovat např. řidič automobilu nebo
pilot letadla na tachometru. Během pohybu hmotného bodu mění
okamžitá rychlost nejen svoji velikost, ale i směr. Okamžitá rychlost je
vektorová veličina.
Když vypočítáme u nerovnoměrného pohybu rychlost jako podíl
celkové dráhy a celkového času, určíme jeho průměrnou rychlost.
Fyzikální veličina, která charakterizuje změnu rychlosti za jednotku
času, je zrychlení a. Určíme ho jako podíl změny rychlosti
a času, za který ke změně došlo.
a=
v − v 0 Δv
=
t − t0
Δt
Jednotkou zrychlení je m/s2, čteme metr za sekundu na
druhou.
2 Kinematika
21
Tímto vztahem určíme průměrné zrychlení. Pokud časový
interval zkrátíme na velmi malou hodnotu blížící se nule, dostaneme
okamžité zrychlení.
Nejjednodušší nerovnoměrný pohyb je rovnoměrně zrychlený
pohyb. Zrychlení je konstantní, nemění se jeho velikost ani směr.
Grafem závislosti zrychlení na čase je část přímky rovnoběžná
s časovou osou, viz graf 2.4.
Graf 2.4 Zrychlení pohybu
Pro určení rychlosti rovnoměrně zrychleného pohybu vyjdeme ze
vztahu pro zrychlení.
V čase t0 = 0 je počáteční rychlost v0, zrychlení bude:
v − v0 v − v0
=
a=
t−0
t
Rychlost vyjádříme:
v = v0 + a t
Grafem závislosti rychlosti rovnoměrně zrychleného pohybu na
čase je část přímky, viz graf 2.5. Graf I znázorňuje případ, kdy je
počáteční rychlost nulová. Vztah pro určení rychlosti má tvar
v = at
Graf II ukazuje, že před sledováním pohybu hmotný bod již
získal nějakou rychlost v0.
2 Kinematika
22
Graf 2.5 Rychlost zrychleného pohybu
Grafické znázornění závislosti rychlosti na čase rovnoměrně
zrychleného pohybu je výhodné. Z vyšrafovaných ploch můžeme určit
dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu.
Modře vyšrafovaná plocha vyjadřuje velikost dráhy
s0 = v0 t, kterou by hmotný bod urazil, kdyby se pohyboval jen
rovnoměrným pohybem konstantní rychlostí v0.
Ale jeho rychlost se v průběhu času zvětšuje. Tomu odpovídá
prodloužení dráhy o úsek vyjádřený zeleně šrafovanou plochou.
Platí:
s=
1
1
1
v t = a t t = a t2
2
2
2
Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu s nenulovou
počáteční rychlostí je dána vztahem
s = v0 t +
1 2
at
2
Grafem závislosti dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu na čase
při nulové počáteční rychlosti je část paraboly, která prochází
počátkem souřadnic, viz graf 2.6,
Graf 2.6 Dráha zrychleného pohybu
kde za v jsme dosadili v = a t.
2 Kinematika
23
Tělesa se samozřejmě nepohybují jen zrychleným pohybem, ale
také zpomaleným. Nejedná se o dva odlišné pohyby.
U rovnoměrně zrychleného pohybu je zrychlení a > 0, rychlost
se zvětšuje.
U rovnoměrně zpomaleného pohybu je zrychlení a < 0, rychlost
se
zmenšuje.
Vztah
pro
určení
rychlosti
má
tvar
v = v0 – a t.
Vlak se rozjíždí s nulovou počáteční rychlostí se stálým zrychlením.
Na trati 900 m dosáhne rychlosti 43,2 km/h. Určete zrychlení vlaku
a dobu potřebnou k dosažení této rychlosti.
s = 900 m , v = 43,2 km / h = 12 m / s , a = ? m / s 2 , t = ? s
Vlak koná rovnoměrně zrychlený pohyb, při výpočtu vyjdeme ze
vztahů pro dráhu a zrychlení.
v
v
1 v2 v2
v2
1
s= a 2 =
s = at2 ;
⇒ a=
a=
⇒ t= ;
2 a
2a
2s
2
t
a
{ a} =
12 2
; a = 0 ,08 m / s 2 ;
2 ⋅ 900
{t } =
12
; t = 150 s = 2,5 min
0 ,08
Zrychlení vlaku je 0,08 m/s2 a rychlosti 43,2 km/h dosáhne za
2,5 min.
2.4 Volný pád
Příklad
Kámen puštěný z ruky s nulovou počáteční rychlostí se pohybuje
svislým směrem k Zemi. Jeho rychlost se postupně zvyšuje, pohybuje se
volným pádem.
Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou
počáteční rychlostí a tíhovým zrychlením g.
Velikost tíhového zrychlení závisí na zeměpisné šířce.
Největší tíhové zrychlení je na pólech g = 9,83 m/s2, nejmenší tíhové
zrychlení je na rovníku g = 9,78 m/s2. U nás má tíhové zrychlení
přibližně hodnotu g = 9,81 m/s2, pro naše výpočty můžeme použít
přibližně hodnotu g = 10 m/s2.
24
2 Kinematika
Pro výpočty veličin platí podobné vztahy jako pro pohyb
rovnoměrně zrychlený s nulovou počáteční rychlostí:
1
v = gt
s = gt2 ;
2
Zákonitosti volného pádu poprvé formuloval italský fyzik,
matematik a astronom Galileo Galilei (1564 – 1642). Je považován
za zakladatele experimentální fyziky.
Zjistil, že všechna tělesa na Zemi padají stejně rychle bez ohledu
na to, jaký mají tvar a z jakého jsou materiálu, pokud na ně nepůsobí
odporová síla vzduchu nebo jiné síly.
2.5 Pohyb hmotného bodu po kružnici
Jedná se o křivočarý pohyb tělesa. V denní praxi se s ním často
setkáváme. Takto se pohybuje hrot hodinových ručiček, značka na
termostatu žehličky, kterým otáčíme, ventilek automobilu jedoucího
stálou rychlostí, tělesa na povrchu Země.
Příklad
Kuličku upevníme na provázek a uvedeme ji do pohybu tak, aby
opisovala kružnici, viz obr. 2. 6.
Obr. 2.6 Pohyb po kružnici
Spojnici kuličky se středem kružnice nazýváme průvodič. Jeho
délka je rovna poloměru kružnice r.
K popisu rovnoměrného pohybu po kružnici potřebujeme poznat
další fyzikální veličiny.
Úhlová dráha ϕ je středový úhel, který opíše průvodič
hmotného bodu za čas t. Za tento čas se hmotný bod přemístí z místa A
do místa B. Urazí dráhu s rovnou délce oblouku AB, viz obr. 2.6.
2 Kinematika
25
Pro dráhu s a úhlovou dráhu ϕ platí vztah:
s = rϕ
Jednotkou úhlové dráhy je radián, značka rad.
Úhlová rychlost ω je podíl úhlové dráhy ϕ a daného času t:
ϕ
ω=
t
Jednotkou úhlové rychlosti je rad/s.
Hmotný bod koná rovnoměrný pohyb po kružnici, když
jeho průvodič opíše za stejné časové úseky stejné úhlové
dráhy.
U pohybu po kružnici určujeme také rychlost v hmotného bodu.
Jako vektor má v každém místě trajektorie směr tečny ke kružnici,
viz obr. 2.7
Obr. 2.7 Rychlost a zrychlení pohybu po kružnici
Vztah mezi rychlostí v a úhlovou rychlostí ω si odvodíme:
v=
s rϕ
=
= rω
t
t
Perioda T neboli oběžná doba je doba, za kterou hmotný bod
opíše celou kružnici a jeho průvodič úhlovou dráhu ϕ = 2π . Jednotkou
periody je sekunda.
Frekvence f udává počet oběhů hmotného bodu za jednotku času.
Jednotkou frekvence je 1/s.
f =
1
T
Kolikrát je perioda T delší, tolikrát je frekvence f menší.
Pomocí periody nebo frekvence můžeme vyjádřit úhlovou rychlost:
ω=
2π
= 2π f
T
U rovnoměrného pohybu hmotného bodu po kružnici se velikost
rychlosti v nemění, ale mění se její směr.
Protože každá změna rychlosti za jednotku času představuje
zrychlení, pohybuje se hmotný bod po kružnici se zrychlením.
Zrychlení směřuje do středu kružnice a nazýváme ho dostředivé
zrychlení ad, viz obr. 2.7. Pro jeho velikost platí vztahy:
2 Kinematika
26
v2
ad = ω r =
r
2
Úkol 2:
Přes železniční most o délce 250 m jel nákladní vlak stálou rychlostí
54 km/h. Od vjezdu lokomotivy na most po výjezd posledního vagonu
uplynulo 30 s. Jak je vlak dlouhý?
Úkol 3:
Při brzdění dosáhl nákladní automobil zpomalení 5 m/s2. Jeho
brzdná dráha byla 40 m. Jaká byla jeho počáteční rychlost?
Úkol 4:
Graf závislosti rychlosti cyklisty na čase
- Popište, jak se
cyklista pohyboval
v daných úsecích.
- Určete celkovou
dráhu, kterou urazí
za 5 s.
Úkol 5:
Hmotný bod padá volným pádem. V místě M má rychlost 20 m/s.
V místě N je jeho rychlost 80 m/s. Za jak dlouho spadne z M do N? Jaká
je vzdálenost MN?
Shrnutí:
−
Klid a pohyb tělesa je relativní, záleží na tom, jakou vztažnou
soustavu používáme.
−
Kinematika používá k popisu pohybu hmotného bodu tři
veličiny: dráhu, rychlost a zrychlení.
−
Dráha s je určena délkou trajektorie, kterou hmotný bod opíše
za určitý čas. Rychlost v je podíl celkové dráhy s a celkového
času t pohybu. Zrychlení a je podíl změny rychlosti a času t,
během kterého ke změně došlo.
2 Kinematika
27
−
Podle tvaru trajektorie dělíme pohyby na přímočaré
a křivočaré.
−
Podle změny rychlosti rozlišujeme pohyby rovnoměrné
a nerovnoměrné. Při pohybu rovnoměrném je rychlost
konstantní, u nerovnoměrného pohybu se rychlost v průběhu
pohybu mění. Hmotný bod se pohybuje se zrychlením.
−
Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb. Jeho zrychlení
nazýváme tíhové zrychlení g.
−
Pro rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici zavádíme
další veličiny: úhlovou dráhu ϕ, úhlovou rychlost ω, periodu T
a frekvenci f a dostředivé zrychlení ad.
Řešení úkolů:
1.
Hmotné body:
ano, ano, ne, ano, ano
2.
Rovnoměrný pohyb
d = 250 m , v = 54 km / h = 15 m / s , t = 30 s , l = ? m
Vlak při cestě přes most urazí dráhu s = d + l , současně s = v t
d + l = vt ⇒ l = vt − d ;
{l} = 15 ⋅ 30 − 250 l = 200 m
Vlak je dlouhý 200 m.
3.
Zpomalený pohyb
a = 5 m / s 2 , s = 40 m, v0 = ? m / s
Při zastavení nákladního automobilu v = 0 ⇒ v 0 − a t = 0 ⇒ v 0 = a t
2s
1 2
at ⇒ t =
2
a
2s
2 ⋅ 40
;
{v0 } = 5
; v 0 = 20 m / s
v0 = a
5
a
Počáteční rychlost je automobilu je 20 m/s.
s=
4.
A – rovnoměrný pohyb, B – rovnoměrně zpomalený pohyb,
C – cyklista je v klidu, D – rovnoměrně zrychlený pohyb,
E – rovnoměrný pohyb
1
1
celková dráha {s} = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 0 + 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1; s = 9 m
2
2
Cyklista urazí za 5 s celkovou dráhu 9 m.
2 Kinematika
28
Volný pád
v M = 20 m / s , v N = 80 m / s , g = 10 m / s 2 , t = ? s , s MN = ? m
v = vN − vM ;
{ v} = 80 − 20 ;
v = 60 m / s
v
60
v = gt ⇒ t = ;
t = 6s
{t } =
g
10
1
1
s MN = v M t + g t 2 ;
{s MN } = 20 ⋅ 6 + 10 ⋅ 6 2 ; s MN = 300 m
2
2
Hmotný bod spadne z M do N za 6 s; vzdálenost bodů MN je
300 m.
5.
Korespondenční úkol 1:
Kolikrát rychleji jde jedna ručička věžních hodin než
druhá?
Minutová ručička hodin je o třetinu delší než hodinová.
− Nakreslete náčrt situace.
− Do obrázku dokreslete vektory rychlosti pohybu koncových
bodů obou ručiček. Porovnejte velikosti obou vektorů.
− Zapište délku minutové ručičky pomocí délky hodinové
ručičky.
− Jaký pohyb konají koncové body ručiček?
− Určete periodu pohybu minutové i hodinové ručičky hodinek.
− Zapište vztah mezi rychlostí koncového bodu ručiček a jeho
vzdáleností od osy otáčení pro každou ručičku zvlášť.
− Hrot minutové ručičky věžních hodin se pohybuje rychlostí
2 mm/s. Vypočítejte délku ručičky.
− Určete velikost rychlosti koncového hrotu hodinové ručičky
3. Dynamika
29
3 Dynamika
Náhlý pohyb předmětu bez zjevné příčiny, např. neočekávaný
pohyb židle stojící uprostřed místnosti, by nás určitě ohromil.
Většina z nás by v tom hledala nějaký trik. Každý z nás jistě tuší, že
pohyb musí mít svou příčinu.
Část mechaniky, která studuje příčiny pohybu tělesa, se nazývá
dynamika. V kinematice jsme popisovali, jak se tělesa pohybují.
V dynamice se budeme ptát proč a za jakých podmínek se tělesa
pohybují.
Název dynamika byl odvozen z řeckého slova dynamis, což
znamená síla.
−
že nejdůležitějším pojmem dynamiky je síla;
−
jaké účinky má síla a čím je určena;
−
že základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony;
−
že pohybový stav tělesa charakterizuje hybnost;
−
že při pohybu tělesa vznikají síly, které tento pohyb brzdí;
−
co je příčinou pohybu hmotného bodu po kružnici.
−
síla; newton; zákon setrvačnosti; zákon síly; zákon akce a
reakce; tíhová síla; tíha tělesa; hybnost tělesa; impulz síly;
třecí síla; smykové tření; valivý odpor; dostředivá síla;
odstředivá síla.
−
4,5 hodiny.
30
3. Dynamika
3.1 Síla její účinky
Pojem síla známe z každodenního života. Zvedáme tašky
s nákupem a přenášíme je, při mytí nádobí mačkáme mycí houbu,
tlačíme nákupní vozík nebo nohou zastavujeme kutálející se míč.
Silou působí magnet na železný předmět, Země na Měsíc,
plastové pravítko někdy přitahuje list papíru.
Síla se projevuje při vzájemném působení těles.
Síla je fyzikální veličina, kterou popisujeme vzájemné
působení těles. Z výše uvedených příkladů vyplývá, že působení je
dvojího druhu:
přímým dotykem, např. ruka zvedající nákup, člověk tlačící
kočárek, kniha ležící na stole, zavěšený lustr;
prostřednictvím silových polí, např. gravitační pole Země,
magnetické pole magnetu přitahující špendlík, elektrické pole dvou
nesouhlasných nebo souhlasných elektrických nábojů.
Na dlouhé tenké prkno položíme knihy. Prkno se pod silovým
působením knih prohne, deformuje se, viz obr. 3.1.
Pokud se těleso působením síly deformuje,
o deformačním nebo statickém účinku síly.
Obr. 3.1: Statický účinek síly
hovoříme
Obr. 3.2: Dynamický účinek síly
Na obr. 3.2 se golfový hráč chystá odpálit míček, uvést míček do
pohybu.
Pokud se působením síly mění pohybový stav tělesa, jde
o pohybový nebo dynamický účinek síly.
Účinky síly nezávisí jen na její velikost, ale i na jejím směru a na
místě, ve kterém síla působí.
Síla F je vektorová veličina určená velikostí, směrem a
působištěm. Jednotkou síly je newton, značka N.
3. Dynamika
31
Sílu znázorňujeme orientovanou úsečkou. Délka úsečky
vyjadřuje v zadaném měřítku velikost síly, počáteční bod úsečky je
působištěm síly a směr je určen šipkou.
Úkol 1:
Na obr. 3.3 je nakreslena molitanová mycí houba, na kterou působí
čtyři stejně velké síly. Která z těchto sil má účinek pohybový, která
deformační která otáčecí?
Obr. 3.3: Účinky síly
3.2 Newtonovy pohybové zákony
Anglický učenec Isaac Newton (1643 – 1727) byl
nejvýznamnějším matematikem a fyzikem své doby.
Jeho tři pohybové zákony, které formuloval před
více než 300 lety, jsou považovány za základ dynamiky.
Newtonovy zásluhy v mechanice a v teoretické fyzice se
pojí s jeho největším a snad nejvýznamnějším dílem v dějinách
vůbec: “Matematické základy přírodní filozofie”.
Newtonova kniha podává soustavný a na svou dobu úplný
systém dynamiky hmotných bodů, tuhých těles, kapalin a plynů. Vše
na nové, vyšší úrovni a ve spojení se zcela novými matematickými
ideami.
První Newtonův pohybový zákon – zákon setrvačnosti
Žádné těleso, které je v relativním klidu, se nezačne samo
od sebe pohybovat.
Příklad:
Chceme-li rozkutálet míč, musíme do něho kopnout nohou, při
jízdě na kolečkových bruslích se odrazíme od zemského povrchu, vlak
táhne lokomotiva.
32
3. Dynamika
A naopak, tělesa uvedená do pohybu se sama od sebe nedostanou
do klidu.
Příklad:
Bruslař po odražení zůstává v pohybu, hokejový puk se po
vystřelení pohybuje přímočarým rovnoměrným pohybem.
Můžeme samozřejmě namítnout, že bruslař i puk se po určité době
zastaví. Je to proto, že na ně působila jiná tělesa silou, např. okolní
vzduch odporovou silou, zemský povrch nebo led třecí silou.
Uvedené příklady ukazují na všeobecnou vlastnost těles setrvávat
v relativním klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu. Tuto
vlastnost nazýváme setrvačnost a vyjadřuje ji první Newtonův
pohybový zákon:
Každé těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném
přímočarém pohybu, dokud není donuceno silovým
působením jiných těles tento stav změnit.
Všechny vztažné soustavy, ve kterých platí zákon setrvačnosti, se
nazývají inerciální vztažné soustavy. Jsou to soustavy, které jsou
vůči sobě v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu.
Vztažnou soustavu spojenou se Zemí lze považovat za inerciální.
Neinerciální soustava je každá, která se vzhledem k inerciální
soustavě pohybuje jinak než rovnoměrným přímočarým pohybem, např.
rozjíždějící se, brzdící, zatáčející auto.
Zamyšlení:
Představme si, že stojíme na kolečkových bruslích ve stojícím vlaku.
V okamžiku, kdy se vlak začne rozjíždět s určitým zrychlením a,
rozjedeme se i my se stejným zrychlením a, ale opačným směrem, viz
obr. 3.4.
Obr. 3.4 Vztažné soustavy
Pozorovatel venku, tedy v soustavě spojené se Zemí, vysvětlí náš
pohyb pomocí zákona setrvačnosti. My setrváváme vzhledem k Zemi
v klidu, pouze vagon se pohybuje se zrychlením a. Pozorovatel venku
a my ve vagonu tvoříme inerciální soustavu.
3. Dynamika
33
Pozorovatel uvnitř vagonu pozoruje, že jsme se dali „sami od
sebe“ do zrychleného pohybu. Vagon je neinerciální vztažná
soustava. Náš pohyb vysvětlí pozorovatel ve vagonu pomocí nové síly,
která nevzniká vzájemným působením těles, ale v důsledku zrychleného
pohybu vztažné soustavy. Tuto sílu budeme nazývat setrvačná síla FS.
Působí vždy proti zrychlení tělesa.
Se setrvačností těles se setkáváme denně, při rozjezdu a zastavování
autobusu, při nárazu na překážku, v atletických disciplinách jako je hod
oštěpem, hod diskem, vrh koulí.
Úkol 2:
Proč oštěpař odhazuje oštěp v určité vzdálenosti před odhodovou
čárou?
Vysvětlete, jak je setrvačnost využita při klepání koberců?
Proč je při rychlé jízdě na kole nebezpečné brzdit jen přední
brzdou?
Několik knih je postavených ve sloupci na sobě. Jakým
nejrychlejším způsobem můžeme vytáhnout knížku naspodu?
Proč jsou u zadních kol automobilů předepsány pryžové zástěrky?
Druhý Newtonův pohybový zákon – zákon síly
Příklad:
U běžného osobního automobilu Škoda Octavia vyvine motor sílu,
která autu udělí rychlost 100 km/h asi za 13 s. Sportovní automobil
Lamborghini má mnohem silnější motor, proto auto dosáhne téže
rychlosti již za 5 s. Zrychlení Octavie je přibližně 2,1 m/s2, zrychlení
druhého auta je asi 5,6 m/s2.
Z uvedeného příkladu můžeme odvodit, že kolikrát větší síla
působí na těleso, tolikrát větší bude jeho zrychlení.
Příklad:
Obr. 3.5: Rozjezd nákladního automobilu
3. Dynamika
34
Z obr. 3.5, který znázorňuje známou situaci, můžeme odvodit:
Nákladní automobil s větší hmotností se rozjíždí pomaleji, tedy
s menším zrychlením.
Shrnutím závěrů obou příkladů dostáváme druhý Newtonův
pohybový zákon, zákon síly:
Velikost zrychlení a, které uděluje síla F tělesu je přímo
úměrná velikosti této síly a nepřímo úměrná hmotnosti tělesa.
F
F
, vektorový tvar a =
a=
m
m
F
Při řešení úloh budeme používat tvar F = m a nebo m = , vztah
a
vyplývající ze zákona , tj:
Zrychlení, které síla uděluje tělesu, má stejný směr jako síla.
Ze zákona síly vyplývá poznatek, že působí-li na těleso stálá síla,
pohybuje se těleso rovnoměrně zrychleným pohybem.
Příkladem rovnoměrně zrychleného pohybu, se kterým se často
setkáváme, je volný pád.
Těleso padající volným pádem se pohybuje s tíhovým zrychlením g.
Síla, která toto zrychlení tělesu uděluje, se nazývá tíhová síla FG. Síla
má svislý směr, kolmý k povrchu Země.
FG = m g
Zamyšlení:
Působí všude na Zemi na těleso o stejné hmotnosti stejná tíhová
síla?
(řešení najedete na konci kapitoly)
Tíhová síla nemá na těleso vždy jen pohybový účinek.
Prohlédněte si situace na obr. 3.6.
Obr. 3.6: Tíha tělesa
Když těleso leží na pevné podložce nebo visí na pevném závěsu,
nepohybuje se. Těleso působí tlakovou silou na podložku a tahovou
silou na závěs. Tuto sílu nazýváme tíha G.
3. Dynamika
35
Tíha G je síla, kterou působí nehybné těleso na
vodorovnou podložku nebo na svislý závěs. Je důsledkem
tíhové síly.
Je-li těleso v klidu, má tíhová síla i tíha stejný směr i stejnou
velikost. Tíhu můžeme vypočítat pomocí vztahu:
G = mg
Cisterna o hmotnosti 8 t vezla 6 m3 vody. Jela rovnoměrně
zpomaleným pohybem a za 10 s se zastavila na dráze 75 m. Jaká byla
počáteční rychlost cisterny? Jak velká brzdící síla působila?
m C = 8t = 8000 kg; V = 6 m 3 ; t = 10 s; s = 75 m; v 0 = ? m/s; F = ? N
ρ V = 1000 kg/m 3 ;
celková hmotnost: m = m C + m V = m C + ρV ;
{m} = 8000 + 6 ⋅ 1000;
m = 14000 kg
Pro výpočet počáteční rychlosti vyjdeme ze vztahů pro rovnoměrně
zpomalený pohyb:
při zastavení cisterny je rychlost v = 0 ;
v − v v0
1
pro dráhu platí s = v 0 t − at 2 ; pro zrychlení a = 0
;
=
2
t
t
1 v0 2
1
1
kombinací rovnic dostaneme s = v 0 t −
t = v0t − v0t = v0t
2 t
2
2
2s
2 ⋅ 75
{v 0 } =
počáteční rychlost v 0 = ;
;
v 0 = 15 m/s
10
t
pro určení brzdící síly použijeme zákon síly F = m a ;
za zrychlení dosadíme z výše uvedených vztahů a dostáváme
v
15
{F} = 14000 ⋅ ; F = 21000 N = 21 kN
F=m 0 ;
10
t
Počáteční rychlost cisterny je 15 m/s. Na cisternu působila brzdící
síla o velikosti 21 kN.
Třetí Newtonův pohybový zákon – zákon akce a reakce
Síly se projevují při vzájemném působení těles. Síly působí
ve dvojicích.
Příklad:
Při zvedání tašky s nákupem působí ruka na tašku, ale současně i
taška na ruku. Sedneme-li si na židli, tlačí i židle na nás. Hokejka při
úderu působí na puk určitou silou. Současně působí puk na hokejku
stejně velkou silou, opačně orientovanou.
Na obr. 3.7 máme zobrazeno pokusné zařízení k určení vlastností
sil, kterými na sebe dvě tělesa působí. Zatáhneme-li za volný konec
siloměru B, projeví se naše působení vysunutím siloměru A.
36
3. Dynamika
Obr. 3.7: Třetí Newtonův pohybový zákon
Při skutečném provedení experimentu bychom zjistili, že síly,
kterými na sebe siloměry působí:
− jsou stejně velké, tzn. FAB = FBA;
− jsou opačného směru, tzn. FAB= – FBA;
− současně vznikají a zanikají
Zjištění našeho experimentu je obsahem třetího Newtonova
pohybového zákona:
Síly, kterými na sebe vzájemně působí dvě tělesa, jsou
stejně velké, opačného směru, současně vznikají a současně
zanikají.
Běžně je jedna z těchto sil nazývána akcí a druhá síla reakcí.
Odtud vyplývá označení třetího pohybového zákona jako zákona akce
a reakce. Větu můžeme formulovat:
Každá akce vyvolává stejně velkou reakci opačného
směru.
Zamyšlení:
Jistě vás napadne: je-li každá síla spjata s jinou silou stejné
velikosti opačného směru, proč se tyto síly nevyruší?
Musíte si uvědomit, že síly akce a reakce působí vždy na různá
tělesa. Síly se nesčítají, nevyruší se.
Pohybový účinek akce a reakce na obě tělesa nemusí být stejný,
i když mají obě síly stejnou velikost.
Zrychlení tělesa závisí nejen na velikosti působící síly, ale
i na jeho hmotnosti.
Srazí-li se např. kulečníková koule s lehkým pingpongovým
míčkem, budou na sebe v okamžiku srážky působit stejně velkými
silami. Pingpongový míček se odrazí s mnohem větším zrychlením.
Dvě síly, které působí na totéž těleso, nejsou akcí a reakcí,
ani když mají stejnou velikost a stejný směr.
3. Dynamika
37
Zamyšlení:
A jak je to s platností zákona akce a reakce v neinerciální vztažné
soustavě?
Víme, že v neinerciální vztažné soustavě neplatí zákon setrvačnosti.
Těleso nezůstává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu.
Setrvačná síla FS, která uděluje tělesu zrychlení, nemá původ ve
vzájemném působení těles. Neexistuje k ní tedy reakce.
V neinerciální
a reakce.
vztažné
soustavě
neplatí
zákon
akce
Druhý pohybový zákon můžeme v neinerciální vztažné soustavě
použít jen s tím, že setrvačná síla má opačný směr než zrychlení,
které vyvolává.
FS = −m a
Návštěvník o hmotnosti 75 kg stojí na nášlapné osobní váze ve
výtahu, viz obr. 3.8. Jaký údaj ukáže váha pro hodnoty zrychlení kabiny
uvedené na obrázku? (předpokládáme, že váha je cejchována tak, že tíze
10 N odpovídá hmotnost 1 kg)
Obr. 3.8: Návštěvník ve výtahu
Podíváme se na tuto situaci z hlediska
v inerciální vztažné soustavě spojené se Zemí.
pozorovatele
Pozorovatel použije druhý pohybový zákon. Na obr. 3. 8 jsou
zakresleny silové diagramy pro různé hodnoty zrychlení kabiny.
Návštěvníka považujeme za hmotný bod.
Bez ohledu na zrychlení kabiny působí na návštěvníka Země
tíhovou silou m g. Podlaha výtahu tlačí na váhu, váha tlačí na
návštěvníka svisle vzhůru silou N. Tato síla je shodná s údajem na
stupnici váhy. Návštěvník se domnívá, že váží tolik, kolik váha ukazuje.
Z druhého Newtonova pohybového zákona dostaneme pro
výslednou sílu:
F = m a = N − m g ⇒ N = mg + ma = m( g + a) g = 10m/s 2 ; a = 3m/s 2
3. Dynamika
38
1. Je-li a = 0, znamená to, že kabina výtahu je v klidu, nebo
rovnoměrném přímočarém pohybu stálou rychlostí.
N = m g;
{N} = 75 ⋅ 10;
N = 750 N
Tento údaj považuje návštěvník za svoji váhu, tzn. jeho váha je
75 kg.
2. Směřuje-li zrychlení a svisle vzhůru, kabina jede vzhůru s rostoucí
rychlostí, nebo jede dolů s klesající rychlostí, neinerciální soustava.
N = m( g + a);
{N} = 75 ⋅ (10 + 3);
N = 975 N
Návštěvník tlačí na váhu větší silou, z jeho pohledu „přibral“
22,5 kg.
3. Směřuje-li zrychlení a svisle dolů, kabina stoupá s klesající
rychlostí, nebo klesá s rostoucí rychlostí, neinerciální soustava.
{N} = 75 ⋅ (10 − 3);
N = m( g − a);
N = 525 N
Návštěvník tlačí na váhu menší silou, z jeho pohledu „zhubnul“
o 22,5 kg.
Úkol 3:
Jaký by byl údaj na stupnici váhy, kdyby se lano kabiny přetrhlo a
kabina by padala volným pádem?
Úkol 4:
Dvě kamarádky s rozdílnou hmotností stojí proti sobě na bruslích a
přitahují se švihadlem. Jsou jejich zrychlení stejná?
3. Dynamika
39
3.3 Hybnost tělesa
Z vlastní zkušenosti potvrdíte, že k zastavení pomalu kráčejícího
člověka potřebujeme menší sílu než k zastavení člověka běžícího.
Stejně tak malé dítě zastavíme snadněji než dospělého člověka.
Při zatloukání hřebíků si určitě vezmeme těžší kladivo a navíc
budeme zatloukat rychlejším pohybem.
O silovém účinku rozhoduje tedy hmotnost tělesa a rychlost
pohybu.
Fyzikální veličina, která bere v úvahu rychlost i hmotnost tělesa se
nazývá hybnost p.
Určíme ji jako součin hmotnosti a rychlosti tělesa. Hybnost
je vektorová veličina, má stejný směr jako rychlost tělesa. Vektorový
tvar vztahu:
p = mv
Jednotkou hybnosti je kg.m/s
Hybnost charakterizuje pohybový stav tělesa.
V případě přímočarého pohybu má síla, rychlost i hybnost směr
rovnoběžný s trajektorií pohybu a vztah pro hybnost můžeme psát:
p = mv
Chceme-li změnit hybnost tělesa, musíme působit silou po určitou
dobu.
Příklad:
Nákupní vozík o hmotnosti 8 kg chceme roztlačit. Jaká bude změna
jeho rychlosti, jestliže budeme působit:
− silou 30 N po dobu 0,4 s;
− silou 12 N po dobu 1 s?
Vyjdeme z druhého pohybového zákona F = m a , zrychlení si
Δv
vyjádříme jako změnu rychlosti za daný čas a =
a úpravou
t
dostáváme
Ft
Δv
F=m
⇒ F t = m Δv odtud pro změnu rychlosti Δv =
t
m
30 ⋅ 0 ,4
12 ⋅ 1
1. {Δv} =
2. {Δv} =
; Δv = 1,5m/s
; Δv = 1,5m/s
8
8
Z našeho příkladu vyplývá, že změna rychlosti při stejné hmotnosti
tělesa a tím i změna hybnosti tělesa je stejná, ať už působíme větší
silou po kratší dobu, nebo menší silou po delší dobu.
40
3. Dynamika
Součin Ft nazýváme impulz síly I. Jeho jednotkou je
newtonsekunda N s.
Impulz síly vyjadřuje časový účinek síly.
Součin m Δv vyjadřuje veličinu zvanou změna hybnosti.
Impulz síly je roven změně hybnosti
F t = m Δv
Zákon zachování hybnosti
Na obr. 3.9 jsou dva vozíčky spojeny ideální pružinou a mohou se
pohybovat po dokonale hladké vodorovné podložce. Jejich hmotnosti
jsou m1 a m2. Vozíčky nejprve oddálíme, pružina se napne a pak
uvolníme.
Obr. 3.9: Zachování hybnosti
Vozíčky na sebe budou působit prostřednictvím pružiny podle
zákona akce a reakce stejně velkými silami opačného směru F1
a F2 po dobu t.
v
v
Pro tyto síly platí F1 = m1a1 = m1 1 a F2 = m 2 a 2 = m 2 2
t
t
v
v
F1 = − F2 ⇒ m1 1 = −m 2 2 ⇒ m1v1 = −m 2 v 2
t
t
Hybnosti, které vozíčky při vzájemném silovém působení získají,
jsou stejně velké. Musíme si uvědomit, že vektory rychlostí v1 a v2
jsou opačného směru. Konečnou úpravou dostaneme vztah:
m1v1 + m 2 v 2 = 0 ,
který vyjadřuje zákon zachování hybnosti pro tělesa, která jsou
původně v klidu.
Uvedeme-li dvě tělesa z klidu do pohybu jen vzájemným
silovým působením, zůstává součet jejich hybností nulový, tzn.
stejný jako před uvedením do pohybu.
Samozřejmě, že na sebe mohou působit i tělesa, která se na začátku
pohybují, a jejich hybnost není nulová. Zákon zachování hybnosti bude
mít tvar:
m1v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )v ,
kde m1, m2 jsou hmotnosti těles, v1 a v2 rychlosti před spojením
a v je rychlost těles po spojení.
3. Dynamika
41
Zákon zachování hybnosti se uplatňuje při činnosti raketových
motorů, reaktivních turbín, setkáváme se s ním u zpětného nárazu při
výstřelu ze zbraně.
Úkol 5:
Hlavonožec kalmar žije v mořských hlubinách. Pohybuje se tak, že
nasává vodu a potom ji velkou rychlostí protlačuje zvláštním otvorem
mimo své tělo. Dovedete vysvětlit tento jev?
Úkol 6:
Posunují se dva vagony, jedoucí stejným směrem. Jeden má
hmotnost 20 t a rychlost 1 m/s, druhý má hmotnost 16 t a rychlost
1,5 m/s. Po nárazu jedou oba vagony spojeny společně. Určete velikost
a směr rychlosti pohybu spojených vagonů. Jak by se situace změnila,
kdyby se vagony před nárazem pohybovaly proti sobě?
3.4 Dostředivá a odstředivá síla
Kdybychom kbelíkem naplněným vodou točili rychle před sebou,
voda by z něj nevytekla.
Jestliže se těleso rychle otáčí, působí na ně síla, která směřuje
ze středu otáčení ven. Čím je rychlost otáčení větší, tím je tato síla
větší.
Roztočíme-li kbelík rychle, vzniklá síla tlačí vodu ke dnu. Jestliže
ve chvíli, kdy máme kbelík nad hlavou, je tato síla větší než tíha vody,
voda z něho nevyteče.
Připomeňme si pokus s kuličkou upevněnou na vlákně, kterou
uvedeme do rovnoměrného pohybu po kružnici rychlostí v, viz obr.
3.10.
Obr. 3.10 Pohyb po kružnici
3. Dynamika
42
V kapitole Pohyb hmotného bodu po kružnici jsme si odvodili, že
kulička se pohybuje s dostředivým zrychlením ad, pro které platí vztah:
v2
ad = ω 2 r =
,
r
kde ω je úhlová rychlost a r je poloměr kružnice.
Podle druhého Newtonova pohybového zákona je příčinou
zrychlení síla, která má směr shodný se zrychlením. Příčinou
dostředivého zrychlení při pohybu po kružnici je dostředivá síla Fd,
která směřuje do středu kružnice stejně jako zrychlení.
Velikost dostředivé síly odvodíme ze zákona síly dosazením ad za a:
v2
2
Fd = m ad = m ω r = m
r
Dostředivou silou působí ruka na kuličku prostřednictvím
napnutého vlákna. Současně působí kulička na ruku stejně velkou silou
opačného směru. Tuto sílu nazýváme odstředivá síla Fo.
Dostředivá a odstředivá síla představují akci a reakci.
Působení dostředivé a odstředivé síly se projevuje v řadě situací,
které znáte z běžného života.
Jedete-li autem a projedete rychle zatáčkou, pociťujete
odstředivou sílu, která vás tlačí k okraji delšího oblouku zatáčky.
Odstředivou sílu využíváte v domácnosti v odstředivkách prádla.
Vyprané prádlo se v odstředivce rychle otáčí, vlhkost je z něho
vytěsňována ven.
Odstředivá síla je v rovnováze s dostředivou i ve sluneční
soustavě. Země a Slunce jsou mohutná tělesa. Působí mezi nimi
obrovská gravitační síla, která působí jako dostředivá síla. Aby se
Země nezřítila na Slunce, působí odstředivá síla vyvolaná pohybem
Země kolem Slunce.
Úkol 7:
Nákladní automobil o hmotnosti 9 t projíždí zatáčkou rychlostí
17,5 m/s. Působí na něj dostředivá síla 18 375 N. Určete poloměr
zatáčky.
3. Dynamika
43
3.5 Síly, které brání pohybu tělesa
Postrčíme knihu, aby klouzala po desce stolu. Kniha postupně
zpomaluje, až se zastaví. Na spodek knihy působí deska stolu
odporovou silou.
Na podlaze ve sklepě leží těžká přepravka. Tlačíme ji vodorovně
silou, ale ona se ani nepohne. Síla, kterou působíme je vyrovnávána
odporovou silou, kterou na přepravku působí podlaha.
Při pohybu tělesa vznikají odporové síly, které nějakým
způsobem brání pohybu tělesa. Vznikají tam, kde se těleso stýká
s povrchem jiného tělesa, nebo se pohybuje v látkovém
prostředí.
V této kapitole se budeme zabývat odporovými silami, které
vznikají pohybem tělesa po povrchu jiného tělesa. Rozlišujeme dva
druhy těchto sil, smykové tření a valivý odpor.
Smykové tření
Jestliže se těleso posouvá, „smýká“ po povrchu jiného tělesa, vzniká
na rozhraní stykových ploch odporová síla. Nazývá se třecí síla
a působí proti pohybu tělesa.
Příčinou vzniku třecí síly jsou jednak nerovnosti stykových
ploch a jednak přitažlivé síly mezi částicemi povrchových vrstev.
Obr. 3.11:Smykové tření
Na obr. 3.11 (a) leží kostka na stole. Kostka působí na podložku
kolmo tlakovou silou FN. My na kostku působíme silou F a snažíme se ji
odtlačit směrem doprava. Jako odezva vzniká mezi kostkou a podložkou
třecí síla FS, která směřuje doleva a vyrovnává naši sílu F. Sílu FS
nazýváme klidová třecí síla. Obr. 3.11 (b) ukazuje, jak se vzrůstající
silou F roste i síla FS.
3. Dynamika
44
Při určité hodnotě F ztrácí kostka kontakt s podložkou a urychluje
se směrem doprava, viz obr. 3.11 (c). Síla, která nyní pohyb kostky brzdí
je třecí síla Ft, která působí pouze při pohybu. Má-li se kostka pohybovat
dále rovnoměrně, musíme sílu F snížit tak, aby vyrovnala sílu Ft, viz obr.
3.11 (d).
Klidová třecí síla FS je za stejných podmínek větší než třecí
síla za pohybu Ft.
Třecí síla Ft:
je přímo úměrná tlakové síle FN, platí mezi nimi vztah
Ft = f FN , při rovnoměrném pohybu Ft = f mg
kde f je součinitel smykového tření, je to bezrozměrné číslo,
v tabulkách se udává vždy pro dvojici materiálů, které se po sobě
posunují;
nezávisí na velikosti stykových ploch;
nezávisí na rychlosti pohybu, to platí jenom přibližně, protože
při větších rychlostech součinitel f klesá a tím se zmenšuje třecí síla Ft.
Třecím silám se v každodenním životě nevyhneme. Třecí
síly způsobují odírání obuvi, ojíždění pneumatik, opotřebování částí
strojů a jejich zahřívání.
Na druhé straně, kdyby tření nebylo, nemohli bychom chodit ani
jezdit na kole. Utkaná látka našich šatů by se rozpadla, tkaničky by se
rozvázaly. Hřebíky a šrouby by nebyly k ničemu. Neudrželi bychom
v ruce tužku, a i kdyby, tak by nepsala.
Valivý odpor
Odporová síla, která vzniká, když se těleso o kruhovém průřezu
valí po pevné podložce.
Příčinou valivého odporu je deformace a stlačování podložky
před valícím se tělesem. Deformace vznikají působením kolmé tlakové
síly FN valeného tělesa. Vyvolává odporovou sílu FV, která působí proti
pohybu tělesa viz obr. 3.12.
Obr. 3.12: Valivý odpor
3. Dynamika
45
Odporová síla FV je přímo úměrná tlakové síle FN
a nepřímo úměrná poloměru R tělesa:
F
FV = ξ N ,
R
kde součinitel ξ se nazývá rameno valivého odporu, hodnoty
jsou různé pro různé povrchy těles a podložky, jeho jednotkou je metr.
Odporová síla při valení je mnohem menší než smykové
tření za stejných podmínek.
Při přemísťování těžkých předmětů je podkládáme válečky, pro
uložení otáčejících se částí strojů používáme kuličková nebo válečková
ložiska.
Úkol 8:
Když chce skupina kamarádů přesunout těžkou bednu, tak se na
počátku opřou do bedny a jeden řekne: raz, dva, teď. Proč není nutné
vydávat tento pokyn, když už je bedna v pohybu?
Úkol 9:
Jakou silou musí být přitlačován předmět na brusný kotouč, je-li
velikost třecí síly 900 mN a součinitel smykového tření je 0,6?
Shrnutí:
−
Síla F je vektorová veličina, která je určena svou velikostí,
směrem a působištěm. Projevuje se při vzájemném působení
těles. Její jednotkou je newton.
−
Zákon setrvačnosti nám říká, že každé těleso setrvává v klidu
nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není
přinuceno silovým působením jiných těles tento stav změnit.
−
Zrychlení a, které síla uděluje tělesu, je přímo úměrné této síle
a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Tento poznatek
vyjadřuje zákon síly.
−
Podle zákona akce a reakce působí na sebe dvě tělesa stejně
velkými silami opačného směru.
−
Tíhová síla FG je síla, kterou působí Země na těleso při svém
povrchu. Tíha G tělesa je síla, kterou nehybné těleso působí na
vodorovnou podložku nebo na svislý závěs.
−
Hybnost tělesa p určuje pohybový stav tělesa. Je určena
součinem hmotnosti tělesa a rychlosti tělesa. Impulz síly I je
3. Dynamika
46
součin síly a doby, po kterou síla na těleso působí. Impulz síly
je roven změně hybnosti.
−
Při rovnoměrném pohybu po kružnici se těleso pohybuje
s dostředivým zrychlení ad. Jeho příčinou je dostředivá síla
Fd, která stejně jako zrychlení směřuje do středu kružnice.
Dostředivá síla Fd představuje akci a odstředivá síla Fo reakci
při vzájemném působení těles.
−
Při pohybu tělesa po povrchu jiného tělesa vznikají odporové
síly, které působí proti pohybu tělesa. Při posouvání vzniká
smyková třecí síla Ft, při valení tělesa brání pohybu síla
valivého odporu FV. Je-li těleso v klidu, působí klidová třecí
síla FS.
Řešení úkolů:
1.
pohybový účinek – síla F4 posunuje houbu směrem doprava, síla
F3 zvedá houbu nahoru; deformační účinek – síla F2; otáčecí – síla
F1.
2.
Po odhodu oštěpu setrvává závodník v pohybu. Závodník nesmí
odhodovou čáru přešlápnout.
Při úderu do koberce se dostanou do pohybu i částice prachu. Při
návratu koberce setrvávají částice v pohybu původním směrem a
z koberce vyletí.
Při zabrzdění setrvává jezdec v pohybu a mohl by přepadnout přes
řídítka.
Při prudkém pohybu spodní knížky zůstane celý sloupec
setrvačností na místě.
Vlivem setrvačnosti odlétají od kol kapky bláta a mohou znečistit
přední skla vozů jedoucích za ním.
3.
Kabina padá volným pádem.
a = g ⇒ N = m( g − g );
N =0
Váha by neukázala žádnou výchylku.
4.
Dívky na sebe působí podle zákona akce a reakce stejně velkými
silami opačného směru. Podle zákona síly je zrychlení udělené
tělesu nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Dívky se budou
pohybovat s různým zrychlením.
5.
Jedná se o zákon zachování hybnosti.
3. Dynamika
6.
47
Zákon zachování hybnosti
m1 = 20 t = 20 000 kg; v1 = 1 m/s; m 2 = 16 t = 16 000 kg;
v 2 = 1,5 m/s; v = ? m/s
pohyb stejným směrem:
m1 v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )v
m v + m2 v2
20000 ⋅ 1 + 16000 ⋅ 1,5
v= 1 1
v = 1,2 m/s
;
{v} =
;
m1 + m 2
20000 + 16000
Směr výsledné rychlosti je stejný jako směr rychlostí obou vagonů,
velikost výsledné rychlosti je 1,2 m/s.
pohyb proti sobě:
m v − m2 v2
v= 1 1
;
m1 + m 2
m1v1 − m2 v 2 = (m1 + m2 )v
20000 ⋅ 1 − 16000 ⋅ 1,5
{v} =
;
20000 + 16000
v = −0,1 m/s
Směr výsledné rychlosti je stejný jako směr rychlosti vagonu s větší
rychlostí, velikost výsledné rychlosti je 0,1 m/s.
7.
Dostředivá síla
m = 9 t = 9 000 kg; Fd = 18 375 N; v = 17,5 m/s; r = ? m
Fd =
mv 2
r
⇒ r=
mv 2
;
Fd
{r} =
9000 ⋅ 17 ,5 2
;
18375
r = 150 m
Poloměr zatáčky je 150 m.
8.
Klidová třecí síla, kterou musí skupina překonat na začátku, je větší
než třecí síla, která působí, když je bedna v pohybu.¨
9.
Třecí síla
Ft = 900 mN = 0,9 N; f = 0,6; FN = ? N
F
{FN } = 0,9 ;
Ft = f FN ⇒ FN = t ;
f
0,6
FN = 1,5 N
K zamyšlení
Na tělesa nepůsobí stejná tíhová síla, protože tíhové zrychlení mění
svoji velikost. Na pólech je největší, na rovníku nejmenší.
3. Dynamika
48
Proč automobily a motocykly při jízdě v terénu „skáčou“?
Automobil s hmotností 500 kg se pohybuje rychlostí 72 km/h. Najel
na obloukový most s poloměrem křivosti 50 m.
− Jakou vztažnou soustavu představuje automobil při přejezdu
mostu?
− Nakreslete danou situaci.
− Do obrázku dokreslete vektory sil, které na automobil při
přejezdu mostu působí (třecí sílu a odpor vzduchu zanedbejte).
− Zapište početní vztah pro určení velikost výslednice všech sil
působících na automobil. Vztah vysvětlete a zdůvodněte.
− Kde je tlaková síla, kterou působí automobil na vozovku větší,
na vodorovné cestě nebo na vrcholu mostu? Svou úvahu
vysvětlete.
− Vypočítejte velikost těchto tlakových sil v obou místech
a zapište, zda výsledek odpovídal předpokladu.
− Jakou rychlostí by se musel automobil pohybovat po mostě,
aby tlaková síla, kterou působí na vozovku, byla nulová?
− Co se stane, když bude velikost rychlosti pohybu automobilu
při přejezdu mostu větší než v zadání?
− Co bychom museli změnit, aby daná situace nastala i při
rychlosti 72 km/h? Změnu propočítejte.
− Vysvětlete, proč automobily a motocykly při terénních
závodech na trati „skáčou“.
− Jak by se změnili podmínky, kdyby most nebyl vypuklý, ale
dutý?
4 Mechanická práce a energie
49
Pojem „práce“ má ve fyzice odlišný význam od běžného
významu. V běžném hovoru nazýváme prací jakoukoliv tělesnou
nebo dušení činnost.
Stojíte s těžkým balíkem ve frontě na poště. Za nějakou chvíli vás
stání i držení balíku unaví. V obvyklém smyslu „pracujete“.
Balík v daný okamžik nepřenášíte, z fyzikálního hlediska práci
nekonáte. Fyzikální práce je něco jiného než fyziologická
námaha.
Slovo „energie“ užíváme běžně velmi často a samozřejmě.
Definovat energii jako fyzikální veličinu tak, aby definice
obsahovala všechna hlediska tohoto pojmu, je celkem obtížné.
Budeme se s energií postupně seznamovat, od nejjednodušší podoby
v mechanice až po složitější obecné úvahy.
−
kdy těleso koná práci a kdy práci nekoná;
−
že výkon vyjadřuje, jak rychle těleso práci koná;
−
že k posouzení hospodárnosti zařízení je zavedena účinnost;
−
že existuje více druhů mechanické energie;
−
že u mechanických dějů platí zákon zachování mechanické
energie.
−
mechanická práce; síla; dráha; joule; výkon; watt; příkon;
účinnost; mechanická energie; potenciální energie; kinetická
energie; zákon zachování mechanické energie.
−
3,5 hodiny.
50
4.1 Mechanická práce
Vzpěrač těžké váhy zvedne činku o hmotnosti 265 kg do výšky
přibližně 2 m.
Při soutěži siláků dokázal jeden z nich zády nadzvednout plošinu
s nákladem o hmotnosti 2 790 kg asi o jeden centimetr.
Je těžké tyto dva výkony srovnávat.
Přesto: Kdo z nich vykonal větší práci?
Mechanickou práci W koná těleso, které působí silou na
jiné těleso a přemístí ho po určité dráze.
Mechanickou práci koná automobil táhnoucí obytný přívěs do
kopce, motor jeřábu zvedající panel, kuchař při krájení salámu, ale
stejně ji konají nohy lyžaře běžícího do kopce nebo nohy cyklisty
jedoucího na kole.
Na čem velikost mechanické práce závisí?
Jeřáb zvedající dva panely vykoná větší práci, než když zvedá jeden
panel. Jestliže zvedne jeden panel do výšky 20 m, vykoná větší práci,
než když ho zvedne do výšky 10 m.
Z našeho příkladu můžeme odvodit, že velikost mechanické práce
závisí:
− přímo úměrně na velikosti působící síly;
− přímo úměrně na dráze, o kterou těleso posuneme.
A nyní se podívejte na obr. 4.1. Znázorňuje jednoduchý pokus.
Dětské autíčko chceme posunout po dráze s. Pokud si pokus vyzkoušíte,
určitě zjistíte, že záleží i na úhlu, který svírá vektor síly se
směrem pohybu autíčka. Při posunu autíčka budete silou F
překonávat tření autíčka o podložku.
Obr. 4.1: Pohyb autíčka
Působí-li na těleso síla ve směru trajektorie pohybu, je její
účinek největší.
51
Čím více se směr síly odchyluje, tím více se její účinky snižují.
Práci koná jen složka síly rovnoběžná se směrem pohybu
tělesa, viz obr. 4.2.
Obr. 4.2: Síla konající práci
Z našich úvah
mechanické práce:
můžete
odvodit
vztah
pro
určení
velikosti
W = F s cos α .
Mechanická práce vykonaná silou při přemístění tělesa
závisí přímo úměrně na velikosti působící síly F, na dráze s,
o kterou těleso posuneme a na úhlu α, který svírá síla se
směrem trajektorie.
Jednotkou mechanické práce je joule, značka J.
Práci jednoho joulu vykonáme, když např. zvedneme sáček
bonbonů o hmotnosti 100 g do výšky 1 metru.
Zamyšlení:
Po vodorovném chodníku nesete těžký nákup. Koná síla vaší paže
mechanickou práci?
Síla vaší paže působí kolmo na směr pohybu tašky, překonává
tíhovou sílu. Tzn., že úhel α = 90°, cos α = cos 90° = 0.
Vaše paže nekoná mechanickou práci.
Síla práci nekoná, jestliže působí kolmo ke směru
přemisťování tělesa.
Vrátíte se k výkonům vzpěrače a siláka. Určete, jakou práci vykonali
při překonání tíhové síly.
Vzpěrač:
m = 265 kg ; s = 2 m ; g = 10 m/s 2 ; W V = ? J
W V = F s cos α = m g s cos α ; { W V } = 265 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ cos 90°; W V = 5300 J
52
Silák:
m = 2 2790 kg; s = 0,01 m; g = 10 m/s 2 ; WS = ? J
W S = F s cos α = m g s cos α ; { W S } = 2790 ⋅ 10 ⋅ 0 ,01 ⋅ cos 90°; W S = 279 J
Vzpěrač vykonal práci 5 300 J. Silákův výkon vyžadoval obrovskou
sílu, ale díky malému posunutí vykonal práci jen 279 J.
Úkol 1:
Při které z následujících činností je vykonána větší mechanická
práce:
− když se zvedne automobil o hmotnosti 950 kg od výšky 0,5 m,
nebo když člověk o hmotnosti 70 kg vyběhne do výšky 12 m;
− když vynesete dva kufry do 3. patra najednou, nebo každý
zvlášť;
− když zvednete činku o hmotnosti 6 kg nad hlavu, nebo když ji
tam 5 minut držíte?
Úkol 2:
Jeřáb využívaný při stavbě výškových budov může zvednout
břemeno do výšky 150 m a vykoná práci 45 MJ. Kolik tvárnic
o rozměrech 50 cm x 25 cm x 35 cm do této výšky zvedne? Hustota
tvárnic je 800 kg/m3.
4.2 Výkon
Výrobce nábytku potřebuje dopravit zásilku skříní do
obchodního domu. Při nakládání na korbu auta je využit
vysokozdvižný vozík. Není složité vypočítat práci, kterou
vykoná síla vysokozdvižného vozíku při zvednutí každého nákladu.
Dodavateli však jde i o to, jak rychle bude tato práce vykonána.
Musí stihnout dodací termín.
Mírou toho, jak „rychle“ vykoná síla práci, je výkon.
Výkon P je fyzikální veličina.
Výkon určíme jako podíl mechanické práce W a doby t, za
kterou práci vykonáme:
W
P=
t
Jednotkou výkonu je watt, značka W.
53
Výkon o velikosti 1 W je docela malý. Takový výkon budete
mít, když zvednete výše zmíněný sáček bonbonů o hmotnosti 100 g
do výšky 1 m za dobu 1 s.
Výkon strojních zařízení a mechanismů je mnohem větší. Udává
se většinou v kW nebo v MW. Výkon elektrické lokomotivy je 2 MW,
nákladní automobil má výkon asi 300 kW.
Francouzský vysokorychlostní vlak TGV se pohybuje průměrnou
rychlostí 212 km/h. Tažná síla lokomotivy je 65 kN. Určete její výkon.
v = 212 km/h = 58,9 m/s ; F = 65 kN = 65 ⋅ 10 3 N ; P = ? W
W Fs
=
=Fv
P=
t
t
{P} = 65 ⋅ 10 3 ⋅ 59; P = 3 800 000 W = 3,8 MW
Výkon lokomotivy je 3,8 MW.
Proudové letadlo o stálém výkonu 7 MW se vzneslo do výšky 1,4 km
za 1 minutu. Jakou práci vykonaly motory letadla?
P = 7 MW = 7 ⋅ 10 6 W ; t = 1 min = 60 s ; W = ? J
W
P=
⇒ W = Pt
t
{W } = 7 ⋅ 10 6 ⋅ 60 W = 4,2 ⋅ 10 8 J = 420 MJ
Motory letadla vykonají práci 420 MJ.
Ze vztahu pro práci W = P t můžeme odvodit jednotku práce
wattsekunda, značka Ws.
1 J = 1 Ws
V běžném životě měříme čas většinou v hodinách, odpovídající
jednotkou práce je potom watthodina, značka Wh nebo větší
kilowatthodina, kWh
1 Wh = 3600 Ws = 3600 J; 1 kWh = 1000 Wh = 3,6 MJ
Velmi často potřebujeme porovnat hospodárnost používaných
strojů a zařízení. K tomu slouží fyzikální veličina účinnost η.
Účinnost vyjadřuje, jaká část energie E dodané stroji se
využije na vykonání dané práce W.
W
η=
E
54
Protože při činnosti stroje jsou překonávány odporové síly jako
tření, valivý odpor, odpor prostředí, dochází tím k přeměnám pohybové
energie na vnitřní energii, která se projeví zvýšením teploty stykových
ploch.
Celková energie dodaná zařízení musí být větší než
vykonaná práce.
η 〈 1 nebo vyjádřeno v procentech η 〈 100%
V praxi vyjadřujeme účinnost pomocí výkonu.
Celkový výkon dodaný zařízení označujeme jako příkon P0,
skutečný výkon stroje jako výkon P. Vztah pro určení účinnosti
můžeme přepsat ve tvaru:
P
η=
⋅ 100 %
P0
Úkol 3:
Výkon motoru elektrické pily je 2,7 kW. Rychlost posuvu pilového
listu je 18 m/min. Jakou sílu motor pily vyvine?
Úkol 4:
Elektromotor s příkonem 5 kW pracuje s účinností 80 %. Jakou
celkovou silou působí, jestliže po dobu 8 hodin zvedá každé 2 min těleso
do výšky 5 m?
4.3 Mechanická energie
Mechanická energie
mechanickou práci.
souvisí
se
schopností
konat
Zvednete míč nad hlavu. Vykonáte mechanickou práci. Zvednutý
míč může sám při pádu k Zemi vykonat práci, třeba udělá dolík do
písku na pláži. Míč zvednutý do výšky má polohovou energii
neboli potenciální energii tíhovou.
Kopnete do míče, konáte mechanickou práci. I pohybující se
míč může konat práci, třeba rozbít okno pokoje. Pohybující se
těleso má pohybovou neboli kinetickou energii.
Stlačíte nebo natáhnete pružinu. Opět vykonáte
mechanickou práci. A deformovaná pružina může konat práci.
V tomto případě hovoříme o potenciální energii pružnosti.
Mechanickou energii mají tělesa zvednutá do výšky nad povrch
Země, tělesa, která se pohybují a tělesa pružně deformovaná.
55
Protože mechanická energie je mírou mechanické práce,
kterou vykonáme, aby těleso získalo energii, používáme stejné
jednotky.
Potenciální energie tíhová
Jablko o hmotnosti m = 200 g zvednete ze země a položíte na stůl
o výšce h = 75 cm. Jak velkou potenciální energii jablko potom má?
Při zvedání jablka působíte silou F = FG = m g , vykonáte práci:
W = Fh = mgh
Zvednuté jablko má potenciální tíhovou energii, která je
mírou vykonané práce:
EP = m g h
Potenciální tíhová energie je přímo úměrná hmotnosti
tělesa a výšce, do které těleso zvedneme.
Po dosazení hodnot a jednoduchém výpočtu zjistíte, že vaše jablko
má potenciální tíhovou energii o velikosti 1,5 J.
Hodnota potenciální tíhové energie je relativní.
Určujeme ji vždy vzhledem k nějakému tělesu, nejčastěji k povrchu
Země, podlaze místnosti, desce stolu, apod.
Kinetická energie
Na těleso o hmotnosti m působíme stálou silou F. Těleso se začne
pohybovat rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a.
1
Za dobu t urazí dráhu s = a t 2 , získá rychlost v = a t
2
Síla vykoná práci:
1
1
1
W = F s = ma at 2 = m (at )2 = m v 2
2
2
2
Vykonáním práce získá těleso kinetickou energii:
1
EK = m v 2
2
Kinetická energie tělesa je přímo úměrná jeho hmotnosti
a druhé mocnině jeho rychlosti.
Také hodnota kinetické energie je relativní. Určujeme ji
vždy vzhledem k jiným tělesům, nejčastěji k povrchu Země nebo
vzhledem k tělesům spojeným s povrchem Země.
56
Automobil jede po vodorovném úseku dálnice rychlostí 108 km/h.
Do jaké výšky by mohl vyjet po vypnutí motoru po stoupající silnici,
kdyby neexistovalo tření a odpor prostředí?
Při řešení vyjdete z úvahy, že kinetická energie automobilu se změní
na jeho potenciální tíhovou energii.
v = 108 km/h = 30 m/s ; h = ? m
E P = EK
⇒
mgh =
1
mv 2
2
⇒ h=
30 2
v2
; {h} =
; h = 45 m
2g
2 ⋅ 10
Automobil by za těchto podmínek mohl vyjet do výšky 45 m.
4.4 Zákon zachování mechanické energie
V předchozím řešeném příkladě jsme vycházeli z úvahy, že
kinetická energie automobilu se změní na potenciální tíhovou
energii.
Pokud jste si na Matějské pouti dodali odvahu a usedli do vozíku
horské dráhy, zkusili jste na vlastní kůži přeměnu potenciální
tíhové energie na kinetickou energii.
S vozíkem jste se vyvezli na nejvyšší „kopec“ horské dráhy
a získali potenciální tíhovou energii. Při volném pohybu do „údolí“ se
tato energie mění na kinetickou. Kdyby neexistovalo tření, mohli
byste vyjet na stejně vysoký druhý kopec.
Jak je to tedy se změnami mechanické energie?
V našich úvahách budeme vycházet z předpokladu, že na těleso
nepůsobí žádná jiná síla kromě přitažlivé síly Země. Těleso a Země
tvoří izolovanou soustavu.
Budeme přeměnu mechanické energie zkoumat u volného
pádu tělesa.
Těleso o hmotnosti m = 1 kg, padá volným pádem z výšky h = 80 m.
Tíhové zrychlení g = 10 m/s2. Volný pád budete sledovat během doby
4 s.
t = 0 s, v = 0 m/s, h = 80 m
1
mv 2 ; EK = 0 J
2
Potenciální energie EP = m g h ; EP = 1 ⋅ 10 ⋅ 80 J = 800 J
Celková mechanická energie E = EK + EP = 0 J + 800 J = 800 J
Kinetická energie EK =
57
t1 = 1 s
1 2
g t = 5 m; h1 = h − s1 = 75 m
2
1
1
Kinetická energie EK1 = mv12 ; EK1 = ⋅ 1 ⋅ 10 2 J = 50 J
2
2
Potenciální energie EP1 = m g h1 ; EP1 = 1 ⋅ 10 ⋅ 75 J = 750 J
Celková mechanická energie E1 = EK1 + EP1 = 50 J + 750 J = 800 J
v1 = g t1 = 10 m/s; s 1 =
Podobně bychom provedli výpočty pro dobu:
t 2 = 2 s; t 3 = 3 s; t 4 = 4 s , výsledky jsou uvedeny v tabulce 4.1.
t[s]
0
1
2
3
4
v[m/s]
0
10
20
30
40
s[m]
0
5
20
45
80
h[m]
80
75
60
35
0
EK[J]
0
50
200
450
800
EP[J]
800
750
600
350
0
E[J]
800
800
800
800
800
Tab. 4.1 Celková mechanická energie
Z výpočtů v naší tabulce vidíte, že součet kinetické a potenciální
tíhové energie je v každé sekundě volného pádu stejný. Počáteční
potenciální tíhová energie se mění na kinetickou, ale celková
mechanická energie se nemění.
Vaše výsledky jsou zvláštním případem zákona zachování
mechanické energie.
U mechanických dějů probíhajících v izolované soustavě
těles je celková mechanická energie stálá. Mění se navzájem
potenciální a kinetická energie.
Zákon zachování mechanické energie platí pro čistě mechanické
děje, např. pro kmitání tělesa na pružině, pro kývání kyvadla, pro odraz
míčku od podložky.
Při reálných pokusech vidíte, že se celková mechanická energie
zmenšuje. Odražený míč již nevystoupí do původní výšky, kyvadlo se
po určité době přestane kývat.
Mechanické energie se působením odporových sil mění na
vnitřní energii tělesa, což se projeví zvýšením teploty tělesa i
okolí. Nedochází tedy ke ztrátám energie, ale k přeměně jedné
formy energie na jinou formu energie.
V přírodě platí obecný zákon zachování energie. Při všech
dějích v izolované soustavě těles se mění jedna forma energie na
druhou, nebo přechází z jednoho tělesa na jiné. Celková energie
soustavy se nemění.
58
Úkol 5:
Kniha o hmotnosti 2 kg padá volným pádem z výšky 10 m.
Zachytíte ji ve výšce 2 m. Určete hodnotu její kinetické, potenciální
tíhové a celkové energie:
− po první sekundě pohybu
− v okamžiku zachycení.
Výsledky porovnejte.
Úkol 6:
Jaká je odporová síla desky, do které zarazíte hřebík dlouhý 2 cm?
Použijete kladivo o hmotnosti 300 g, které dopadne rychlostí 6 m/s.
Shrnutí:
−
Těleso, které působí na jiné těleso silou a přemístí ho po určité
dráze, koná mechanickou práci.
−
Velikost mechanické práce závisí na velikosti působící síly, na
délce dráhy a na velikosti úhlu, který svírá vektor síly se
směrem přemístění tělesa.
−
Pokud je vektor síly rovnoběžný se směrem přemístění, je
velikost vykonané práce maximální. Jestliže je vektor síly
kolmý na směr přemístění, síla práci nekoná.
−
Výkon je fyzikální veličina, která vyjadřuje, jak rychle se
určitá práce vykoná. Účinnost je fyzikální veličina, která
slouží k posouzení hospodárnosti strojů a zařízení. Je to podíl
dodané energie a skutečně vykonané práce.
−
Mírou mechanické energie je vykonaná mechanická práce.
Existují tři druhy mechanické energie: potenciální tíhová
energie, potenciální energie pružnosti a kinetická energie.
−
Pro mechanické děje probíhající v izolované soustavě těles
platí zákon zachování mechanické energie. Celková
mechanická energie soustavy se nemění. Mění se navzájem
potenciální a kinetická energie.
Řešení úkolů:
1.
mechanická práce
−
automobil – člověk
mA = 950 kg ; s A = 0 ,5 m ; mČ = 70 kg ; s Č = 12 m
W = F s = mgs
{ WA } = 950 ⋅ 10 ⋅ 0 ,5;
{W } = 70 ⋅ 10 ⋅12;
Č
W A = 4750 J
WČ = 8400 J
2.
59
−
Větší mechanickou práci vykoná člověk, když vyběhne
do výšky 12 m.
−
Při přenášení kufrů vykonáme stejně velkou práci.
−
Při držení činky nad hlavou mechanickou práci nekonáme.
Počet tvárnic
s = 150 m ; W = 45 MJ = 45 ⋅ 10 6 J ; ρ = 800 kg/m 3 ;
a = 50 cm = 0,5 m ; b = 25 cm = 0,25 m ; c = 30 cm = 0,3 m;
Nejprve určíte celkovou hmotnost tvárnic mC, hmotnost jedné
tvárnice mT. Z těchto hodnot můžete určit jejich počet.
W
45 ⋅ 10 6
W = F s = mC g s ⇒ mC =
; {m C } =
; m C = 30000 kg
gs
10 ⋅ 150
mT = ρ V = ρ a b c ; {m T } = 800 ⋅ 0 ,5 ⋅ 0 ,25 ⋅ 0,3; m T = 30 kg
m
30000
počet tvárnic p T = C ; {p T } =
; p T = 1000
mT
30
3.
Síla motoru
P = 2 ,7 kW = 2,7 ⋅ 10 3 W ; v = 18 m/min = 0,3 m/s ; F = ? N
P
W Fs
P=
=
=Fv ⇒ F =
v
t
t
3
2 ,7 ⋅ 10
{F} =
; F = 9000 N = 9 kN
0 ,3
4.
Elektromotor
P0 = 5 kW = 5 ⋅ 10 3 W ; η = 80 % = 0 ,8; t = 8 h = 28800 s; F = ? N
Nejprve určíte, jakou celkovou dráhu urazí tělesa při zvedání
během 8 hodin. Je jasné, že když elektromotor zvedně těleso každé
2 minuty, provede to 30 krát za hodinu.
Celková dráha bude: s = 5 ⋅ 30 ⋅ 8 m = 1200 m
η t P0
Fs
P
=
⇒ F=
η=
P0 t P0
s
{F} =
0 ,8 ⋅ 28800 ⋅ 5 ⋅ 10 3
; F = 96000 N = 96 kN
1200
60
5.
Padající kniha
m = 2 kg ; h = 10 m; h Z = 2 m
−
Po první sekundě pohybu:
1
t1 = 1 s; v1 = g t = 10 m/s; s1 = gt 2 = 5 m; h 1 = h − s1 = 5 m
2
EP = mgh1 ; {EP } = 2 ⋅ 10 ⋅ 5; EP = 100 J
1
1
EK = mv 2 ; {EK } = ⋅ 2 ⋅ 10 2 ; EK = 100 J
2
2
E = EP + EK = 100 J + 100 J = 200 J
−
Okamžik zachycení:
sZ = h − hZ = 8 m
2s
2s
1
sZ = g t 2 ⇒ t 2 = Z ; v 2 = g 2 t 2 = g 2 Z = 2 sZ g
g
g
2
EP = m g h Z ; {EP } = 2 ⋅ 10 ⋅ 2; EP = 40 J
1
1
EK = mv 2 = m 2 s Z g = m s Z g ; {EK } = 2 ⋅ 8 ⋅ 10 ; EK = 160 J
2
2
E = EP + EK = 40 J + 160 J = 200 J
Celková mechanická energie se zachovává, při volném pádu se část
potenciální tíhové energie mění na kinetickou energii.
6.
Hřebík – při řešení vycházíte z toho, že se kinetická energie kladiva
změní na mechanickou práci nutnou k zaražení hřebíku
m = 300 g = 0,3 kg ; s = 2 cm = 0,02 m ; v = 6 m/s ; F = ? N
Fs =
1
mv 2
mv 2 ⇒ F =
;
2
2s
{F} =
0 ,3 ⋅ 6 2
; F = 270 N
2 ⋅ 0,02
61
Na velkých stavbách je nemyslitelným pomocníkem
stavební jeřáb. S jeho pomocí jsou přenášena tělesa
s hmotností několik desítek tun.
− Nakreslete schématicky zvedání tělesa pomocí jeřábu.
− Do obrázku zakreslete vektory všech sil, které na těleso působí.
(tření a odpor prostředí zanedbejte).
− Porovnejte velikosti sil působících na těleso, jestliže je zvedáno
rovnoměrným přímočarým pohybem.
− Vysvětlete zvedání tělesa z hlediska souvislostí mezi prací
a energií. Která síla koná práci při zvedání tělesa? Co získává
energii při zvedání tělesa? Jakou formu energie?
− Porovnejte velikost práce vykonané silou, která zvedá těleso,
s velikostí získané energie. Zapište toto porovnání pomocí
početních vztahů.
− Vypočítejte velikost vykonané práce, jestliže jeřáb zvedá těleso
o hmotnosti 15 tun do výšky 8 m.
− Za jakou dobu zdvihne jeřáb toto těleso, jestliže jeho motor má
příkon 8,5 kW a účinnost zařízení je 70 %?
5 Mechanika tekutin
62
5 Mechanika tekutin
Tekutiny – tímto společným názvem označujeme kapaliny
a plyny. Tekutiny mají pro náš život obrovský význam.
Dýcháme je, pijeme je, v našich cévách protéká životní tekutina
krev. Bez tekutého plynného ovzduší bychom nemohli žít.
Tekutiny se vyskytují v mnoha zařízeních kolem nás. V topných
systémech našich domovů i v chladicích systémech chladniček.
Tekutiny najdeme je v brzdných systémech našich automobilů,
stejně jako v automobilových pneumatikách. Díky hydraulickým
válcům mohou pracovat stroje, jako jsou zvedáky a lisy.
Energii tekutin využíváme ve vodních a větrných elektrárnách.
Je tedy na místě dozvědět se, co o kapalinách a plynech
zjistila fyzika.
−
že společnou vlastností kapalin a plynů je tekutost;
−
že kapaliny a plyny se některými vlastnostmi odlišují;
−
že stav tekutiny v klidu charakterizuje fyzikální veličina tlak;
−
že tlak v kapalině v uzavřené nádobě je všude stejný;
−
že existuje tlak vyvolaný tíhou kapaliny a tlak vyvolaný tíhou
vzduchu;
−
že na tělesa ponořená v kapalině působí vztlaková síla.
−
tekutiny; ideální kapalina; ideální plyn; hustota; tlak;
Pascalův zákon; hydraulická zařízení; hydrostatická tlaková
síla; hydrostatický tlak; atmosférický tlak; vztlaková síla;
Archimedův zákon.
−
2,5 hodiny.
5 Mechanika tekutin
63
5.1 Vlastnosti kapalin a plynů
Kapaliny a plyny nazýváme tekutiny, protože mohou téci.
Znamená to, že přizpůsobí svůj tvar tvaru nádoby, do které je
umístíme.
Mezi molekulami kapalných a plynných látek působí mnohem
menší mezimolekulární síly než v pevných látkách. Částice
kapalných a plynných látek se vzájemně pohybují. Pohyblivost
částic je příčinou tekutosti kapalin plynů.
Společnou vlastností kapaliny a plynů je tedy tekutost. Existují
také vlastnosti, kterými se kapaliny a plyny liší.
Kapaliny
− stálý objem
− tvar mění podle
nádoby
− nestlačitelné
− vytvářejí
vodorovný povrch
Plyny
− mění objem
− tvar mění
podle nádoby
− stlačitelné
− vyplní celý
objem nádoby
Obr. 5.1 Odlišné vlastnosti kapalin plynů
Abychom si zjednodušili další úvahy, zavedeme modelovou
představu kapaliny a plynu. Tento model se nazývá ideální
kapalina a ideální plyn.
Ideální kapalina je dokonale tekutá, tj. zcela nestlačitelná,
bez vnitřního tření
Ideální plyn je dokonale tekutý, tj. zcela stlačitelný, bez
vnitřního tření
Při popisu chování pevného tělesa, např. míče, kovové tyče nebo
dřevěné kostky využíváme fyzikální veličiny hmotnost a sílu.
Hovoříme o míči, jehož hmotnost je 1,5 kg a působí na něj síla 18 N.
Pro charakteristiku tekutin používáme fyzikální veličiny hustotu
a tlak.
5 Mechanika tekutin
64
Hustota tělesa závisí na hmotnosti jeho molekul a také na
jejich objemu.
Látky s různou hustotou mají při stejném objemu různou
hmotnost, viz obr. 5.2.
těžké molekuly
umístěné blízko sebe
větší hustota
lehké molekuly
umístěné dál od sebe
menší hustota
Obr. 5.2 Různá hmotnost, stejný objem
A naopak, látky s různou hustotou
hmotnosti, různý objem, viz obr. 5.3.
mají
při
stejné
Obr. 5.3 Stejná hmotnost, různý objem
Hustota ρ je skalární veličina. Určíme ji jako podíl hmotnosti
a objemu tělesa.
m
ρ=
V
Jednotkou
značka kg/m3.
hustoty
je
kilogram
na
metr
krychlový,
Tlak p je fyzikální veličina, která charakterizuje stav tekutiny
v klidu. Určíme ho jako podíl tlakové síly a obsahu plochy, na
kterou síla působí v kolmém směru.
F
p=
S
Jednotkou tlaku je pascal, značka Pa.
5 Mechanika tekutin
65
5.2 Tlak v kapalinách a plynech
O tlaku v kapalinách se přesvědčíme při každodenním
otočení vodovodního kohoutku. Bez tlaku vody v potrubí bychom se
neumyli.
Důkazem tlaku v plynech je nafouknutý volejbalový míč nebo
nahuštěné pneumatiky automobilu.
Když stlačíme jeden konec tuby se zubní pastou, abychom
druhým koncem vytlačili pastu na kartáček, používáme jeden
z fyzikálních zákonů, Pascalův zákon v praxi.
Tlak v kapalině vyvolaný vnější silou
Na hladinu kapaliny v nádobě působíme vnější silou. Tlaková síla
se v důsledku tekutosti kapaliny působí všemi směry. V kapalině je
potom všude stejný tlak.
O tom, že je velikost tlaku ve všech místech stejná se můžeme
přesvědčit jednoduchým pokusem.
Skleněnou baňku s malými otvory naplníme vodou. Pokud budeme
na hladinu vody působit tlakovou silou, začne voda prudce
vystřikovat všemi otvory, kolmo ke stěnám baňky, viz obr. 5.4.
Obr. 5.4 Demonstrace tlaku v kapalině
Pokud nemáme k dispozici skleněnou baňku, vystačíme
s mikroténovým sáčkem. Sáček naplníme vodou, stlačíme a na několika
místech propíchneme špendlíkem. Voda bude opět vystřikovat kolmo ke
stěnám sáčku.
Působení tlaku v kapalině formuloval v 17. století francouzský fyzik
Blaise Pascal. Zákon nese jeho jméno.
66
5 Mechanika tekutin
Pascalův zákon
Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalinu
v uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný.
Pascalův zákon platí i pro plyny. Když nafukujeme míč,
napínají se jeho stěny všemi směry rovnoměrně, přestože tlaková síla
foukaného vzduchu působí v jednom směru.
V praktickém životě se Pascalův zákon používá k násobení silového
účinku. Na jeho principu se konstruují hydraulická a pneumatická
zařízení. Jejich model je na obr. 5.5
Obr. 5.5. Hydraulické zařízení
Zařízení tvoří dvě válcové nádoby různého průřezu vzájemně
propojené, uzavřené pohyblivými písty. Jsou naplněny kapalinou
v případě hydraulických zařízení, nebo stlačeným vzduchem
v případě pneumatických zařízení.
Působíme-li na tekutinu v užším válci silou F1, bude v nádobě
podle Pascalova zákona všude stejný tlak p. Píst v širším válci se zvedne
silou F2. Platí vztahy:
F
F
p = 1 ; F2 = p S 2 = 1 S 2 ; po úpravě získáme vztah:
S1
S1
F1 S1
=
F2 S2
Na širší píst působí tolikrát větší síla než je síla působící
na užší píst, kolikrát je plocha širšího pístu větší než plocha
užšího pístu
Mezi zařízení využívající Pascalův zákon patří hydraulické
zvedáky, hydraulické lisy, hydraulické brzdy automobilů,
pneumatická kladiva, pneumatické vrtačky a pneumatické
brzdy vlaků.
5 Mechanika tekutin
67
Písty hydraulické lisu mají průřezy o obsahu 15 cm2 a 4500 cm2.
− Jakou silou působí kapalina na širší píst, působí-li na užší píst
síla 60 N?
− O kolik cm se zvedne širší píst, klesne-li užší píst o 90 cm dolů?
S1 = 15 cm 2 = 15 ⋅ 10 −4 m 2 ; S 2 = 4500 cm 2 = 45 ⋅ 10 −2 m 2 ; F1 = 60 N ;
h1 = 90 cm = 0,9 m; F2 = ? N; h 2 = ? m
F2 S 2
S
=
⇒ F2 = F1 2 ;
F1 S1
S1
−2
{F2 } = 60 ⋅ 45 ⋅ 10−4
15 ⋅ 10
V1 = V2 ⇒ S1 h1 = S 2 h 2 ⇒ h 2 = h1
h 2 = h1
S1
;
S2
−4
{h 2 } = 0 ,9 ⋅ 15 ⋅ 10 −2
45 ⋅ 10
; F2 = 18000 N = 18 kN
S1
S2
h 2 = 3 ⋅ 10 −3 m = 3 mm
Kapalina působí na širší píst silou 18 kN. Širší píst se zvedne
o 3 mm.
Úkol 1:
Lékař zvedá křeslo s pacientem pomocí hydraulického zařízení.
Obsah menšího pístu je 5 cm2, obsah většího pístu je 200 cm2.
Hmotnost křesla je 30 kg, hmotnost pacienta je 100 kg. Zvedne lékař
silou 20 N křeslo s pacientem? Pokud síla 20 N nebude stačit, spočítejte
vhodnou úpravu většího pístu.
Tlak v kapalině vyvolaný její tíhou
Na částice kapaliny v nádobě působí tíhová síla FG. Protože je
kapalina tekutá, působí tlak v kapalině na dno i stěny nádoby.
Výsledkem působení tlaku na dno a stěny nádoby je hydrostatická
tlaková síla Fh.
Na čem závisí její velikost?
Při odvozování vyjdeme z jednoduchého pokusu. Skleněný válec
s volně pohyblivým dnem ponoříme do větší nádoby s vodou, viz
obr. 5.6 (a). Dno neodpadne, protože kapalina působí zespodu na dno
hydrostatickou tlakovou silou Fh.
Do válce pomalu naléváme vodu až do okamžiku, kdy dno odpadne.
Při pozorování zjistíme, že dno odpadlo v okamžiku, kdy jsou hladiny
v obou nádobách stejné, viz obr. 5.6 (b). V tomto okamžiku
hydrostatická tlaková síla Fh působící zdola je stejně velká jako
tíhová síla FG působící shora.
68
5 Mechanika tekutin
Obr. 5.6 Hydrostatická tlaková síla
Z rovnosti velikostí obou sil odvodíme závislost hydrostatické
tlakové síly Fh:
Fh = m ⋅ g ; m = V ⋅ ρ = S ⋅ h ⋅ ρ
Fh = FG ;
Fh = S ⋅ h ⋅ ρ ⋅ g
Velikost hydrostatické tlakové síly závisí:
− na obsahu plochy S;
− na hloubce pod volnou hladinou kapaliny h;
− na hustotě kapaliny ρ.
Jak je to s velikostí hydrostatické tlakové síly působící na
stejně velká dna nádob různého tvaru?
Příklady takových nádob máme nakresleny na obr. 5.7.
Obr. 5.7 Hydrostatické paradoxon
Velikost hydrostatické tlakové síly nezávisí na celkovém objemu
kapaliny ani na tvaru nádoby.
Na stejně velké dno nádob působí stejně velké
hydrostatické tlakové síly, i když je v nádobách různý objem
kapaliny. Tento zdánlivě protismyslný jev nazýváme hydrostatické
paradoxon.
Tlak způsobený hydrostatickou tlakovou silou nazýváme
hydrostatický tlak ph. Jeho příčinou je působení tíhové síly Země.
Hydrostatický tlak určíme jako podíl hydrostatické
tlakové síly a obsahu plochy, na kterou síla působí.
5 Mechanika tekutin
ph =
69
Fh S h ρ g
=
= hρ g
S
S
Hydrostatický tlak je přímo úměrný hloubce pod volnou
hladinou kapaliny a hustotě kapaliny. Jednotkou hydrostatického
tlaku je pascal, značka Pa.
Jak můžeme určit hustotu neznámé kapaliny?
Spojené nádoby naplníme kapalinami o různých hustotách, které se
nemísí ani spolu nereagují, viz obr. 5.8.
Hladiny kapalin se ustálí v různých výškách. Rovnováha
nastane, jsou-li hydrostatické tlaky v místě společného
rozhraní stejné.
Obr. 5.8 Spojené nádoby
p1 = h1 ρ1 g ;
p2 = h2 ρ 2 g;
p1 = p 2
⇒ h1 ρ1 g = h 2 ρ 2 g
ρ1 h 2
=
ρ 2 h1
Ve spojených nádobách jsou hustoty kapalin v obráceném
poměru k výškám sloupců hladin nad společným rozhraním.
Této skutečnosti využijeme k určení hustoty neznámé kapaliny na
základě znalosti hustoty druhé kapaliny.
Úkol 2:
Na obrázku 5.9 je nakreslen svislý řez třemi nádobami. Nádoby
mají stejnou hmotnost a stejný obsah dna. V nádobách je volná hladina
vody ve stejné výšce ode dna. Porovnejte:
− hydrostatický tlak u dna každé nádoby;
− hydrostatickou tlakovou sílu vody na dno každé nádoby;
− hmotnost vody v každé nádobě;
− tlakovou sílu každé nádoby s kapalinou na podložku.
Své úvahy vysvětlete.
5 Mechanika tekutin
70
Obr. 5.9 Úkol 2
Úkol 3:
Proč je hráz přehradní nádrže u dna širší než nahoře?
Tlak vyvolaný tíhou vzduchu
Kolem Země je mohutná vrstva vzduchu, kterou nazýváme
atmosféra. Molekuly plynu, z nichž je atmosféra složena, přitahuje
tíhová síla k zemskému povrchu.
Důsledkem jejího účinku je atmosférická tlaková síla, která
působí na tělesa ve vzduchu, podobně jako na tělesa ponořená
v kapalině působí hydrostatická tlaková síla.
O tom, že na tělesa ve vzduchu působí atmosférická tlaková
síla, se můžete přesvědčit jednoduchým pokusem.
Sklenici naplníte vodou až po okraj. Na sklenici položíte čtvrtku
výkresu. Papír přidržíte rukou a sklenici obrátíte dnem vzhůru. Papír
opatrně pustíte.
Působením atmosférické tlakové síly je papír přitlačen
ke sklenici a voda nevyteče.
V důsledku působení horních vrstev atmosféry na spodní vrstvy
atmosféry, vzniká ve vzduchu atmosférický tlak. Je obdobou
hydrostatického tlaku v kapalinách.
Hustota vzduchu není stálou veličinou, ale s rostoucí výškou nad
povrchem Země se zmenšuje. Atmosférický tlak nemůžeme proto určit
pomocí vztahu, který jsme odvodili pro hydrostatický tlak.
Atmosférický tlak určujeme pokusem, který provedl
v 17. století italský fyzik E. Torricelli.
Skleněnou trubici asi 1 metr dlouhou naplnil rtutí po okraj. Trubici
převrátil a ponořil do nádoby se rtutí, viz obr. 5.10. Rtuť v trubici
poklesla a ustálila se v určité výšce. V horní části trubice vzniklo
vakuum. Při naklánění trubice se rozdíl hladin neměnil.
5 Mechanika tekutin
71
Obr. 5.10 Torricelliho pokus
Atmosférický tlak pa je v rovnováze s hydrostatickým tlakem ph
rtuťového sloupce.
pa = ph = h ρ g
Po dosazení hodnot h = 0,75 m , ρ = 13 600 kg/m 3 , g = 9,81 m/s 2
dostaneme přibližnou hodnotu atmosférického tlaku p a = 100 000 Pa .
Atmosférický tlak je roven hydrostatickému
rtuťového sloupce v Torricelliho trubici.
tlaku
Atmosférický tlak se zmenšuje s rostoucí nadmořskou výškou. Mění
se také při stejné výšce s denní dobou. K měření atmosférického tlaku se
používají tlakoměry nebo barometry.
Tlak plynu v uzavřené nádobě
Plyn v uzavřené nádobě působí kolmo na stěny nádoby tlakovou
silou.
Je-li tlak v uzavřené nádobě větší, než je okolní atmosférický tlak,
říkáme, že je v nádobě přetlak. V případě, že je tlak v nádobě menší než
atmosférický tlak, jedná se o podtlak.
Přetlak a podtlak v nádobě měříme otevřeným kapalinovým
manometrem, viz obr. 5.11:
(a) obě ramena otevřená
(b) přetlak plynu v nádobě p1 = h1 ρ g
(c) podtlak plynu v nádobě p 2 = h2 ρ g
Obr. 5.11 Kapalinový manometr
5 Mechanika tekutin
72
Velké přetlaky měříme deformačním manometrem.
Úkol 4:
Vysvětlete:
− činnost injekční stříkačky;
− proč stoupá tekutina ve slámce, kterou pijeme;
Úkol 5:
Do jaké výše by sahal benzín o hustotě 730 kg/m3, kdybychom ho
použili při Torricelliho místo rtuti za normálního tlaku?
5.3 Vztlaková síla v kapalinách a plynech
Hodíme do vody kámen a kousek dřeva. Kámen klesne ke dnu,
dřevo bude plovat. Mohou také plovat dvě kapaliny na sobě
navzájem. Při havárii ropných tankerů se může ropa, která unikla do
moře, dostat až k pořeží a znečistit je. Hořící benzín nelze hasit
vodou, protože benzín plove na povrchu vody.
Příčinou těchto jevů je síla, která působí na každé těleso ponořené
v kapalině směrem vzhůru. Sílu nazýváme vztlaková síla.
Na čem závisí její velikost?
Provedeme jednoduchý pokus, viz obr. 5.12.
Obr. 5.12 Archimedův zákon
Na siloměr zavěsíme malý mikroténový sáček, zanedbatelné
hmotnosti, naplněný vodou. Určíme tíhu G tohoto kapalného tělesa.
Její velikost nám ukáže údaj na siloměru. Pak sáček ponoříme do vody
a zjistíme, že výchylka siloměru je nulová.
5 Mechanika tekutin
73
V tomto okamžiku působí na kapalné těleso vztlaková síla FVZ,
která je stejně velká jako tíha tělesa, ale opačného směru. Z rovnosti sil
můžeme odvodit závislost vztlakové síly.
FVZ = G ⇒ FVZ = mg = Vρ K g
Velikost vztlakové síly je přímo úměrná velikosti objemu
tělesa a hustotě kapaliny.
Jako první se otázkou vztlakové síly zabýval řecký učenec
Archimedes. Jeho závěr nazýváme Archimedův zákon:
Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou
silou, jejíž velikost je rovna tíze kapaliny stejného objemu,
jako je objem ponořeného tělesa.
Vypráví se, že na myšlenku určit objem tělesa tím, že ho
ponoříme do vody, připadl Archimédes při koupání v sudu zcela
naplněném vodou až po okraj.
Objem jeho těla se rovnal objemu vody, která vytekla ze
sudu ven. Byl svým objevem tak nadšen, že vyskočil ze sudu a nahý
utíkal z lázní domů a volal: „Heuréka!“
Z Archimedova zákona vycházíme při popisu chování těles
v kapalině. Na těleso ponořené do kapaliny působí dvě síly:
směrem nahoru vztlaková síla FVZ = VT ρ K g ;
směrem dolů tíhová síla FG = VT ρ T g ;
kde ρK je hustota kapaliny, ρT je hustota tělesa, VT je objem tělesa.
Mohou nastat tři případy:
1.
FG > FVZ , ρT > ρK – těleso klesá ke dnu, viz obr. 5.13 (a). Takto
se chová například kámen.
2.
FG < FVZ , ρT < ρK – těleso stoupá k volné hladině kapaliny,
až se částečně vynoří, viz obr. 5.12 (b). Vztlaková síla je rovna
tíze kapaliny o stejném objemu, jako má ponořená část tělesa.
Takto se chová kus dřeva, korkový pás.
3.
FG = FVZ , ρT = ρK – těleso se vznáší, viz obr. 5.12 (c). Ve vodě se
vznáší potápěč, ryby, ponorky.
5 Mechanika tekutin
74
Obr. 5.13 Chování těles v kapalině
Při vhodné úpravě mohou plovat v kapalině i pevná tělesa
s hustotou větší než je hustota kapaliny. Tato tělesa nejsou stejnorodá.
Mají některé části z materiálů s hustotou větší než je hustota kapaliny
a některé části z materiálů s hustotou menší než je hustota kapaliny.
Toho se využívá například při stavbě lodí.
Vznášení těles ve vzduchu je založeno na působení vztlakové síly
v plynech. Ve vzduchu se vznášejí horkovzdušné balóny, dětské balónky,
vzducholodě, meteorologické balóny.
Úkol 6:
Ledová kra má tvar hranolu, jehož podstava má obsah 6 m2 a výšku
0,3 m. Může na ni vstoupit člověk o hmotnosti 80 kg, aby se
neponořila? Jaké největší zatížení ledové kry je možné? Hustota ledu je
920 kg/m3
Shrnutí:
−
společnou vlastností kapalin a plynů je tekutost, kterou
způsobuje vzájemná pohyblivost jejich částic;
−
stav tekutiny v klidu charakterizují fyzikální veličiny hustota
a tlak;
−
ideální kapalinu definujeme jako kapalinu bez vnitřního tření
a zcela nestlačitelnou, ideální plyn charakterizujeme jako
plyn bez vnitřního tření a dokonale stlačitelný;
−
tlak vyvolaný vnější silou je ve všech místech tekutiny stejný,
Pascalův zákon využíváme v hydraulických a pneumatických
zařízeních;
−
tlak vyvolaný tíhou kapaliny nazýváme hydrostatický tlak,
jeho velikost závisí na hloubce kapaliny a její hustotě;
5 Mechanika tekutin
75
−
tlak vyvolaný tíhou vzduchu v atmosféře Země nazýváme
atmosférický tlak, jeho velikost se vzrůstající výškou nad
povrchem klesá;
−
na tělesa ponořená v kapalině působí směrem vzhůru
vztlaková síla, její velikost je podle Archimedova zákona
rovna tíze kapaliny o stejném objemu, jaký má ponořená část
tělesa;
−
Archimedovým zákonem se řídí chování těles v kapalině i ve
vzduchu.
Řešení úkolů:
1.
Hydraulické zařízení
S1 = 5 cm 2 = 5 ⋅ 10 −4 m 2 ; S 2 = 200 cm 2 = 2 ⋅ 10 −2 m 2 ; F1 = 20 N ;
m1 = 30 kg ; m1 = 100 kg
Tíha křesla s pacientem:
G = (m1 + m 2 ) g ; {G} = (30 + 100) ⋅ 10 ; G = 1300 N
Síla, kterou se zvedne větší píst za původních podmínek:
S
2 ⋅ 10 −2
F2 = F1 2 ; {F2 } = 20 ⋅
; F2 = 800 N
S1
5 ⋅ 10 − 4
Lékař pacienta s křeslem nezvedne, protože jejich společná tíha je
větší než síla, kterou se zvedá větší píst, musíme provést úpravu:
G
1300
S 2 = S1 ; {S 2 } = 5 ⋅ 10 −4 ⋅
; S 2 = 3,25 ⋅ 10 − 2 m 2 = 325 cm 2
F1
20
Obsah většího pístu po úpravě bude 325 cm2.
2.
Hydrostatický tlak:
p h1 = p h2 = p h3 hustota a výška kapaliny je stejná;
Hydrostatická tlaková síla:
Fh1 = Fh2 = Fh3 obsah dna, hustota i výška kapaliny jsou stejné;
Hmotnost kapaliny:
m2 〉 m1 〉 m3 objem vody v nádobách je různý;
Tlaková síla na podložku:
F2 〉 F1 〉 F3 tlaková síla nádoby s kapalinou na podložku je rovna tíze
nádoby. Tíha závisí na hmotnosti.
3.
U dna přehradní nádrže je větší hydrostatický tlak.
4.
Nasávání kapaliny injekční stříkačky – nad kapalinou vznikne
podtlak, atmosférická tlaková síla tlačí kapalinu dovnitř.
Vystřikování kapaliny – v injekční stříkačce vznikne přetlak.
76
5 Mechanika tekutin
Nad kapalinou ve slámce vznikne podtlak, limonáda je tlačena
atmosférickou tlakovou silou.
5.
Atmosférický tlak:
p a = 100 000 Pa ; ρ = 730 kg/m 3 ; h = ? m
p
100000
p a = p h = h ρ g ⇒ h = a ; {h} =
; h = 13,7 m
ρg
730 ⋅ 10
Benzín by sahal do výšky 13,7 m.
6.
Vztlaková síla:
S = 6 m 2 ; h = 0,3 m; m = 80 kg; ρ L = 920 kg/m 3 ; ρ V = 1000 kg/m 3 ;
Tíhová síla působící na ledovou kru:
FG = m L g = VL ρ L g = S h ρ g ; {FG } = 6 ⋅ 0,3 ⋅ 920 ⋅ 10; FG = 16560 N ;
Vztlaková síla působící na ledovou kru:
FVZ = VL ρ V g ; {FVZ } = 6 ⋅ 0,3 ⋅ 1000 ⋅ 10; FVZ = 18000 N ;
Rozdíl mezi oběma silami je 1 440 N; to je velikost možného
zatížení
Tíha člověka:
G = m g ; {G} = 80 ⋅ 10; G = 800 N ;
Tíha člověka je menší, ledová kra se nepotopí.
Co se děje při zavařování ovoce a zeleniny v zavařovací
sklenici?
− Nakreslete zavařovací sklenici s víčkem
− Do obrázku vyznačte tlak vzduchu působící na víčko zvenku a
tlak vodní páry působící zevnitř.
− Který tlak bude větší? Svoje tvrzení zdůvodněte.
− Do obrázku nakreslete vektor síly působící na plošný obsah
víčka zvenku a vektor síly působící na víčko zevnitř.
− Změřte průměr víčka zavařovací sklenice o objemu 0,7 l.
− Vypočítejte velikost obou sil působících na víčko sklenice za
předpokladu, že uvnitř působí tlak vodní páry 1 900 Pa a venku
je normální atmosférický tlak.
− Vysvětlete, proč je tlak uvnitř sklenice o hodně menší než
vnější atmosférický tlak. Kdy a jak dochází k jeho snížení?
− Určete velikost výsledné síly, která působí na víčko sklenice.
6 Termika
77
6 Termika
Pro zahřátí pijete v zimě horký čaj, v létě si kupujete studenou
zmrzlinu. Často říkáte, že venku je teplo nebo venku je zima.
Pomocí pojmů horký, studený, zima, teplo charakterizujeme
tepelné stavy těles. Termika je obor fyziky, který nám pomůže nejen
vyjádřit naše subjektivní pocity chladu a tepla fyzikálními
veličinami, ale vysvětlí i podstatu změny tepelného stavu tělesa.
Studium tepelných jevů probíhá dvěma metodami.
První, termodynamika vychází ze zákona zachování energie
a zabývá se změnou vnitřní energie při konání práce a tepelné
výměně.
Druhá, molekulová a statistická fyzika zkoumá vlastnosti
látek na základě jejich částicové stavby. Vychází ze vzájemného
působení a pohybu obrovského počtu částic, ze kterých se látky
skládají.
Obě základní metody se vzájemně prolínají a doplňují.
−
že teplota je fyzikální veličina, která charakterizuje stav tělesa
při tepelném ději;
−
že změna délky tělesa a změna objemu tělesa jsou přímo
úměrné změně teploty;
−
že vnitřní energii tělesa tvoří součet celkové kinetické energie
a celkové potenciální energie částic tvořících těleso;
−
že vnitřní energii můžeme změnit konáním práce nebo
tepelnou výměnou;
−
že se vnitřní energie přenáší tepelnou výměnou, prouděním
nebo zářením.
−
teplota; teploměr; Celsiův stupeň; termodynamická teplota;
Kelvin; teplotní roztažnost; molekula; atom; vnitřní energie;
práce; teplo; tepelná výměna; záření; proudění.
−
4,5 hodiny.
6 Termika
78
6.1 Teplota
V běžném životě určujeme tepelný stav tělesa většinou
dotykem. Říkáme, že je těleso teplé, studené, vlažné, horké.
Takové vyjádření je velmi nepřesné. Dokazuje to následující pokus.
Nalijeme do jedné nádoby studenou vodu, do druhé vlažnou
a do třetí tak teplou, abychom v ní ještě udrželi ruku. Levou ruku
ponoříme do studené a pravou ruku do teplé vody. Ruce tak
ponecháme asi jednu minutu. Pak obě ruce současně ponoříme do
nádoby s vlažnou vodou. Podle pocitu v levé ruce bude voda teplá,
podle pocitu v pravé ruce bude studená.
Z pokusu je vidět, že tepelný stav tělesa je nutné určovat nezávisle
na našich osobních pocitech. Proto byla zavedena fyzikální veličina,
která charakterizuje tepelný stav tělesa, teplota.
Teplota tělesa souvisí s pohybem jeho částic. Čím rychleji se
částice tělesa pohybují, tím vyšší teplotu naměříme. Pohyb molekul však
nemůžeme přímo pozorovat, a proto ho nemůžeme měřit.
Při měření teploty postupujeme nepřímo. Využíváme toho, že se při
její změně mění jiné vlastnosti těles. Využíváme takové změny, které
probíhají co nejjednodušeji. Tyto změny mohou být:
− mechanické – změny délky, objemu, tlaku;
− elektrické – změny odporu, napětí;
− optické – změny barvy;
− změny skupenství apod.
Různým tepelným stavům tělesa tak můžeme jednoznačně
přiřadit určitou teplotu.
K měření teploty se používají teploměry. Teploměr je opatřen
stupnicí a musí být určena jednotka teploty.
Celsiova stupnice
Má dva základní body:
0 °C – bod mrazu je teplota, při které taje led za normálního
atmosférického tlaku;
100 °C – bod varu je teplota, při které vře voda za normálního
atmosférického tlaku.
Jednotkou teploty je Celsiův stupeň, značka °C
6 Termika
79
Kelvinova (termodynamická) stupnice
Jednotkou termodynamické teplotní stupnice je kelvin, značka K,
je to jedna ze základních jednotek soustavy SI.
Základním bodem je teplota rovnovážného stavu soustavy
led – voda – pára, tzv. trojného bodu vody.
Je jí přiřazena hodnota přesně 273,16 K, tj. 0,01 °C.
Celsiovu teplotu a termodynamickou teplotu rozlišujeme značkou:
t – Celsiova teplota, °C; T – termodynamická teplota, K.
Termodynamická teplota má hodnotu o 273,15 K větší než
Celsiova teplota, viz obr. 6.1.
Změna teploty o 1 °C je stejná jako změna teploty o 1 K.
Obr. 6.1 Celsiova a termodynamická teplota
Pro převody mezi
používáme vztahy:
Celsiovou
a
termodynamickou
teplotou
t = ({T } − 273,15) °C
T = ({t} + 273,15) K
Termodynamická teplota 0 K je nejnižší možná hodnota teploty.
Neexistují záporné hodnoty termodynamické teploty.
Teplota 0 K má ve fyzice zvláštní význam. Prakticky nemůže být
této teploty dosaženo, lze se k ní jen přiblížit laboratorními pokusy.
Mezinárodní teplotní stupnice, která je přijata pro
praktická měření, proto začíná teplotou 0,65 K nikoli 0 K
6 Termika
80
Teploměry
K měření teploty se používají různé druhy teploměrů, které
využívají určité fyzikální jevy:
− dilatační teploměry
Většina látek mění svůj objem s teplotou. Měření teploty se tak
převádí na měření změn délky, objemu nebo tlaku. V praxi se nejčastěji
setkáváme s teploměry kapalinovými nebo bimetalovými. V domácnosti
nejčastěji používáme teploměr rtuťový nebo lihový.
− odporové teploměry
Odpor kovů se při zahřívání zvětšuje, odpor polovodičů naopak
klesá. Měření teploty se tak převádí na měření odporu.
− termoelektrické teploměry
Při vodivém spojení konců drátů nebo desek ze dvou různých kovů
vzniká elektromotorické napětí závislé na teplotě.
− infračervené teploměry
Zahřáté těleso vysílá do okolí záření, jehož vlastnosti závisí na
teplotě zářícího tělesa. Používají je např. skláři k měření teploty ve
sklářských pecích nebo hasiči k zjištění ohniska požáru.
Úkol 1:
Odpovězte na následující otázky:
− Které základní body má Celsiova teplotní stupnice?
− Těleso má v Kelvinově stupnici teplotu 280 K. Jaká je jeho
teplota ve °C?
− Těleso má teplotu 25 °C. Jaká je jeho teplota v kelvinech?
− Proč nemůžeme rtuťovým teploměrem měřit teplotu nižší než
-39 °C?
− Jakou zvláštností je vyznačuje rtuťový lékařský teploměr?
− K čemu se používají termostaty
6.2 Teplotní délková roztažnost
Při zahřívání těles se mění nejen teplota, ale dochází i ke změnám
jejich rozměrů Tento jev nazýváme teplotní roztažnost a projevuje
se u látek ve skupenství pevném, kapalném i plynném.
U pevných těles se při zahřívání mění všechny tři rozměry,
délka, šířka i výška. U tyčí, trubek nebo drátů převládá změna jen
jednoho rozměru, délky. V tom případě nemá význam zabývat se
změnou zbývajících dvou rozměrů. Proto hovoříme o délkové teplotní
roztažnosti.
6 Termika
81
Závislost délkové roztažnosti na teplotě si ověřte pomocí
jednoduchého pokusu.
Pletací jehlici nebo asi 30 cm dlouhý svařovací drát na
jednom konci nehybně upevněte, druhý konec je volný a leží na
válečku s ukazatelem. Může to být hřebík, na jehož konci je nasunutý
kousek korku s nalepenou ručičkou.
Uprostřed zahřívejte drát svíčkou. Prodlužováním na
volném konci se otáčí váleček s ukazatelem a na stupnici můžeme
odhadnout, jak závisí prodloužení jehlice na teplotě.
Zvětšení rozměrů při zahřívání pevných látek je poměrně malé
a nedá se pozorovat pouhým okem. Pro měření se proto používají
přístroje, zvané dilatometry, viz obr. 6.2.
Obr. 6.2 Dilatometr
Z pokusů vyplývá, že teplotní roztažnost závisí:
− na počátečních rozměrech tělesa;
− na přírůstku teploty;
− na druhu zahřívané látky.
Závislost vyjádříme matematickým vztahem:
l − l0 = l0 α (t − t 0 ); Δl = l0 α Δt ;
l0 – počáteční délka; t0 – počáteční teplota; l – konečná délka po
zahřátí; t – konečná teplota po zahřátí;
α - teplotní součinitel délkové roztažnosti, jednotkou je K-1,
hodnoty pro různé látky najdeme v tabulkách.
Teplotní součinitel délkové roztažnosti vyjadřuje
prodloužení tyče dlouhé 1 m při zahřátí o jeden teplotní
stupeň.
82
6 Termika
Pro výpočet konečné délky tyče dostaneme po úpravě vztah:
l = l0 (1 + α Δt )
Přesná měření ukazují, že součinitel délkové teplotní roztažnosti se
poněkud mění s teplotou, pro malé teplotní rozdíly jej však můžeme
považovat za stálý.
Teplotní roztažnost v praktickém životě
Jako příklad teplotní roztažnosti se tradičně uvádí, že jsou nutné
malé mezery mezi kolejnicemi. To už dnes není tak docela pravda,
stále víc železničních tratí má tzv. bezstykové koleje. I svařované
koleje se samozřejmě v létě roztahují, ale jejich upevnění je jiné,
mnohem pevnější než dřív.
Mostní kovové konstrukce se upevňují na jednom pilíři, na
druhém konci spočívají na válcích, aby se konstrukce mohla při
změnách teploty podle potřeby posunovat a nezdeformovala se.
S roztažností je třeba počítat při zavěšování a napínání kovových
lan a elektrických vodičů, aby při velkých mrazech nepopraskaly.
Zavěšují-li se lana v horkém létě, musí se dostatečně prověsit.
Kovová teplovodní potrubí jsou v určitých vzdálenostech
opatřena oblouky, které umožňují vyrovnávání délky potrubí při
změnách teploty venkovního prostředí i teploty vody nebo vodní páry
v potrubí.
Pevným spojením dvou pásků z různých kovů vznikne součástka,
nazývaná bimetal. Zahříváním se pásky prodlužují, ale každý jinak
a bimetal se prohne do oblouku. Po ochlazení se opět narovná. Velikost
prohnutí závisí na dosažené teplotě. Toho se využívá např. k měření
teploty bimetalovým teploměrem, nebo k regulaci teploty
bimetalovým termostatem.
6.3 Teplotní objemová roztažnost
Jestliže u těles nepřevládá jen jeden rozměr, musíme uvažovat
o jejich objemové teplotní roztažnosti. Setkáváme se s ní u všech tří
skupenství látek. Budeme se zde zabývat objemovou roztažností těles
z pevných látek a kapalin.
Pro změnu objemu při zahřátí platí podobné vztahy jako u délkové
roztažnosti:
V = V0 (1 + β Δt ) ≈ V = V0 (1 + 3α Δt ) ;
V0 – počáteční objem v m3; V – konečný objem po zahřátí;
β - teplotní součinitel objemové roztažnosti, jednotkou je K-1. Platí
jednoduchý vztah β = 3 α..
6 Termika
83
U většiny látek je změna objemu přímo úměrná změně
teploty. Při ztuhnutí má většina látek větší hustotu než v kapalném
stavu. Důležitou výjimku tvoří voda.
Anomálie vody se projevuje v teplotním intervalu od 0 °C do
4 °C, kdy se při zahřívání objem vody zmenšuje a hustota roste.
Maximální hustotu nemá voda při 0 °C, ale až při 4 °C. Při všech
jiných teplotách je její hustota menší. Tato vlastnost vody se projevuje
při zamrzání jezer a rybníků, viz obr. 6.3.
Obr. 6.3 Anomálie vody
Když se na začátku zimy voda na hladině ochlazuje například
z 8 °C, její hustota roste a chladnější voda proto klesá ke dnu. To trvá
tak dlouho, dokud teplota veškeré vody neklesne na 4 °C.
Při dalším ochlazování už chladnější vrstvy zůstávají při hladině
a při poklesu teploty na 0 °C se na hladině začne tvořit vrstva ledu.
Zatímco hladina rybníka je už zamrzlá, na dně je teplota vody stále 4 °C
a vodní živočichové a rostliny v ní mohou přežít. Na jaře probíhá opačný
děj.
Úkol 2:
Vzdálenost mezi sloupy elektrického vedení je 20 m. V létě mají při
teplotě 35 °C měděné vodiče délku 21,3 m. Jakou délku mají tyto vodiče
v zimě při teplotě -25 °C? Nemůže dojít při tak nízké teplotě k přetržení
vodičů? (αmeď = 1,7.10-5 K-1)
6.4 Částicová stavba látek
Látky se skládají z velkého množství částic, molekul, atomů
nebo iontů. Částice se v látce pohybují, jejich pohyb je neustálý
a neuspořádaný. Tuto formu pohybu nazýváme tepelný pohyb.
Částice na sebe navzájem působí současně přitažlivými
i odpudivými silami. Velikost těchto sil závisí na vzdálenosti mezi
84
6 Termika
částicemi. Se vzájemným působením částic souvisí skupenství látek.
Podle něho rozdělujeme látky na pevné, kapalné a plynné.
S důkazy tepelného pohybu částic se setkáváme v běžném životě.
Ponoříme sáček s čajem do šálku s horkou vodou. Postupně se obarví
voda v celém šálku. Při použití parfému je vůně cítit v celé místnosti.
Tyto jevy (jistě vymyslíte mnoho dalších) dokazují, že částice
jedné látky pronikají mezi částice druhé látky vlivem tepelného
pohybu. Jev se nazývá difuze.
Jestliže do výše zmíněného čaje vhodíme kostku cukru, cukr se
po chvíli rozpustí. Příčinou tohoto jevu je Brownův pohyb. Je to
pohyb drobné částice pozorovatelné mikroskopem, způsobený
neustálými a nepravidelnými nárazy molekul kapaliny nebo plynu.
Pevné látky
Jsou složeny z částic v malé vzdálenosti. Vzdálenost částic se
blíží velikosti průměru částic. V takových vzdálenostech se projevují
přitažlivé síly. Pevné látky mají proto tyto vlastnosti:
− zachovávají tvar a objem, bez vnějšího působení nedojde
k jejich změně;
− většina pevných látek má krystalovou strukturu
s pravidelným uspořádáním částic.
Kapalné látky
Vzdálenosti mezi jejich částicemi jsou takové, že se ještě projevují
přitažlivé síly. Velikost sil je menší než u pevných látek. Částice
mohou měnit svoji polohu, ale nepohybují se volně jako u plynů.
Kapaliny mají tyto vlastnosti:
− stálý objem;
− tvar kapalného tělesa se mění podle tvaru nádoby;
− vytvářejí vodorovný povrch;
− mezi částicemi působí i odpudivé síly, kapaliny nemůžeme
stlačit.
Plynné látky
Vzdálenosti mezi částicemi jsou tak velké, že můžeme přitažlivé
síly zanedbat. Proto mají plyny tyto vlastnosti:
− mění tvar i objem;
− jsou dobře stlačitelné i rozpínavé.
6 Termika
85
6.5 Vnitřní energie a teplo
V předcházející kapitole jsme si řekli, že částice látek konají
neustálý tepelný pohyb. Znamená to, že mají určitou kinetickou energii.
Největší kinetickou energii mají částice plynných látek. U pevných látek
je kinetická energie částic menší, protože částice kmitají na určitém
místě.
Vzájemné působení částic dané jejich polohou se projevuje tím, že
částice mají také energii potenciální.
Součet celkové kinetické a celkové polohové energie
soustavy částic se nazývá vnitřní energie U.
Vnitřní energie není konstantní veličina, může se měnit. Závisí
především na teplotě tělesa, protože s rostoucí teplotou se zvětšuje
rychlost pohybu částic a tím i jejich kinetická energie.
Jak můžeme dosáhnout změny vnitřní energie?
Je-li vám zima na ruce, zahříváte se vzájemným třením dlaní, při
šplhání si můžete dlaně spálit třením o šplhací tyč, při huštění
pneumatiky kola se hustilka zahřívá, apod.
U těchto dějů je zvýšení teploty a tím i zvětšení vnitřní energie
spojeno s prací, kterou vykoná síla při působení na těleso.
Vnitřní energii tělesa můžeme měnit konáním práce.
Do horkého kávy ponoříte kovovou lžičku. Po určité době teplota
kávy klesne a teplota lžičky se zvýší. Tento děj pokračuje tak dlouho, až
mají káva i lžička stejnou teplotu. Chcete-li horkou kávu ochladit,
postavíte šálek do větší nádoby se studenou vodou. Probíhá obdobný
děj.
Ke změně vnitřní energie dochází při ději zvaném tepelná
výměna. Část vnitřní energie teplejšího tělesa je předána
chladnějšímu tělesu.
Když při tepelné výměně předá teplejší těleso část své vnitřní
energie chladnějšímu tělesu, znamená to, že teplejší těleso
odevzdalo teplo. Současně chladnější těleso teplo přijalo.
Teplo Q je fyzikální veličina, která charakterizuje změnu
vnitřní energie těles při tepelné výměně. Teplo je část vnitřní
energie, která přejde při tepelné výměně z jednoho tělesa na druhé.
Jednotkou tepla je joule J.
Jestliže tepelná výměna probíhá jen mezi teplejším a chladnějším
tělesem a nedochází k tepelné výměně s okolím, hovoříme o izolované
soustavě těles, viz obr. 6.4.
Přírůstek vnitřní energie chladnějšího tělesa je roven úbytku vnitřní
energie teplejšího tělesa. Celková vnitřní energie izolované
soustavy se nemění.
6 Termika
86
Obr. 6.4 Izolovaná soustava těles
V praxi dochází ke změně vnitřní energie tělesa konáním práce
a tepelnou výměnou současně. Změnu vnitřní energie ΔU můžeme
vyjádřit vztahem:
ΔU = W + Q ,
kde W je práce vykonaná vnějšími silami.
Tento vztah nazýváme první termodynamický zákon.
Přírůstek vnitřní energie tělesa je roven součtu práce
vnějších sil působících na těleso a tepla, které těleso přijalo
při tepelné výměně.
Měření tepla
Řekli jsme si, že teplo je část vnitřní energie, která přejde z jednoho
tělesa na druhé při tepelné výměně. Na čem bude záviset jeho velikost?
K výsledku dojdete jednoduchou úvahou:
− K ohřátí dvou litrů vody na teplotu varu potřebujete více tepla
než k ohřátí jednoho litru vody;
− Chcete-li dva litry ohřát o 30 °C, budete potřebovat více tepla
než při ohřátí jen o 10 °C;
− Ze zkušenosti víte, že kovový hrnec se ohřeje dříve než voda
v něm.
Z úvah vyplývá, že velikost předaného tepla při tepelné výměně
závisí přímo úměrně na hmotnosti tělesa m, přímo úměrně na
rozdílu mezi počáteční a konečnou teplotou tělesa (t-t1) a na
látce, ze které je těleso vyrobeno.
Závislost na druhu látky vyjadřuje fyzikální veličina měrná
tepelná kapacita c. Veličina udává, kolik tepla musí přijmout 1 kg
látky, aby se ohřál o 1 °C (1 K). Její jednotkou je J.kg-1.K-1.
6 Termika
87
Měrné tepelné kapacity látek mají různé hodnoty. Najdeme
je ve fyzikálních tabulkách.
Naší pozornosti by neměla ujít voda jako kapalina. Je to
látka s největší měrnou tepelnou kapacitou. Laboratorně byla
určena na 4 185,5 J/kg.K.
Pro určení velikosti tepla přijatého nebo odevzdaného při tepelné
výměně dostáváme vztah:
Q = m c ( t − t1 ) .
Přístroj pro měření tepla se nazývá kalorimetr, viz obr. 6.5.
V principu se jedná o tepelně izolovanou nádobu, ve které probíhá
tepelná výměna mezi teplejším a chladnějším tělesem.
Obr. 6.5 Směšovací kalorimetr
Nejčastěji se setkáme s kalorimetrem směšovacím. Je tvořen
dvěma tenkostěnnými hliníkovými nádobami, které jsou vložené do
sebe, a mezi nimi je izolační vzduchová mezera. Součástí kalorimetru je
míchačka a teploměr. Jako kalorimetr se často používá termoska,
která je velmi dobře tepelně izolovaná.
Termoska používaná v domácnosti je
tepelně izolovaná nádoba pro uchovávání
horkých nápojů v zimě, nebo naopak chladných
nápojů v létě. Těleso termosky je zhotoveno
vyfouknutím ze skla. Stěny jsou dvojité a
z prostoru mezi nimi je vyčerpaný vzduch.
Vakuum tvoří výbornou tepelnou izolaci.
Termoska vznikla začátkem 20.
století
zjednodušením
konstrukce
tzv.
Dewarovy nádoby, která se v laboratořích
nebo nemocnicích používá k přechovávání
zkapalněných plynů.
6 Termika
88
Kalorimetr se používá například pro určování měrné tepelné
kapacity látek.
Do vnitřní nádoby s vodou o teplotě t1 a hmotnosti m1 vložíme
zahřáté těleso o hmotnosti m2 a teplotě t2 ze zkoumaného materiálu.
Mezi vodou a kapalinou dojde k tepelné výměně. Po vytvoření tepelné
rovnováhy změříme výslednou teplotu t.
Voda přijala teplo: Q1 =m1 c1 (t − t1 ) .
Těleso odevzdalo teplo: Q2 =m 2 c 2 (t 2 − t ) .
Protože nastala tepelná rovnováha, platí pro tepelnou výměnu mezi
oběma tělesy vztah:
Q1 = Q 2
,
m 1 c 1 ( t − t1 ) = m 2 c 2 ( t 2 − t )
který nazýváme kalorimetrická rovnice.
Hliníkové těleso o hmotnosti 1 kg a teplotě 10 °C bylo vloženo do
kalorimetru, ve kterém byla voda o hmotnosti 0,5 kg a teplotě 70 °C. Po
nastolení tepelné rovnováhy byla naměřena teplota 52 °C.
Z hodnot naměřených při pokusu určete měrnou tepelnou kapacitu
hliníku.
hliník: m1 = 1 kg; t1 = 10 °C; c1 = ? J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ;
voda: m2 = 0,5 kg; t 2 = 70 °C; c 2 = 4200 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ;
výsledná teplota: t = 52°C
Při řešení vycházíte z kalorimetrické rovnice.
m c (t − t )
m1 c1 (t − t1 ) = m 2 c 2 (t 2 − t ) ⇒ c1 = 2 2 2
m1 (t − t1 )
{c1 } =
0 ,5 ⋅ 4200 ⋅ (70 − 52)
;
1 ⋅ (52 − 10)
c1 = 900 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1
Úkol 3:
Vysvětlete:
− vznícení zápalky při škrtnutí;
− proč se kladivo i hřebík zahřívají při jeho zatloukání;
− proč se k přenosu tepla v ústředním topení používá voda.
Úkol 4:
Bazén o objemu 45 m3 se má naplnit vodou o teplotě 25 °C. Voda ve
vodovodu má teplotu 12 °C a voda v kotli 90 °C. Jak velký objem které
vody potřebujeme?
6 Termika
89
6.6 Přenos vnitřní energie
Svůj běžný, každodenní život si neumíme představit bez tepla.
Základním zdrojem tepla a světla pro naši Zemi je Slunce. Na
povrch Země dopadá asi 1/2 000 000 000 000 celkové energie
slunečního záření, přesto tato energie stačí k udržení celého
přírodního koloběhu, umožňuje život na Zemi.
Kromě Slunce je zdrojem tepla sama Země. Nejdůležitějšími
zdroji tepla jsou různá paliva, uhlí, ropa, zemní plyn, dřevo aj.
V nich nahromadila část sluneční energie ve formě chemické
energie. Při hoření paliv se část této energie přemění na teplo.
V předcházející kapitole jsme si vysvětlili, že zahřátá tělesa se
postupně ochlazují a předávají část vnitřní energie tělesům chladnějším.
Přenos tepla skončí v okamžiku, kdy se teploty obou těles vyrovnají.
Teplo může samovolně přecházet jen z tělesa teplejšího na
těleso chladnější. Obrácený přechod tepla z tělesa chladnějšího na
těleso teplejší samovolně nenastává nikdy.
Teplo vydávané zahřátým tělesem se může od tepelného zdroje šířit
vedením, prouděním nebo sáláním.
Vedení tepla (kondukce)
Když potřete nůž máslem a pak ho podržíte špičkou v blízkosti
plamene. Máslo se rychle rozpustí, nejprve na špičce a pak dál na
čepeli. Teplo plamene se šíří postupně po celé délce nože.
Přenos tepla je vyvolán zrychleným pohybem částic
plynných, kapalných i pevných látek. Částice v teplejším místě
mají větší energii, proto kmitají rychleji a část své pohybové energie
přitom předávají částicím v místech, kde je teplota nižší.
Všechny látky nejsou dobrými vodiči tepla. Látky, které dobře
vedou teplo, se nazývají vodiče tepla, látky špatně vedoucí teplo jsou
tepelné izolanty. Nejlepšími vodiči tepla jsou kovy, především
stříbro a měď.
Nekovové pevné látky vedou teplo hůře, mezi špatné vodiče patří
sklo, porcelán, dřevo nebo plasty. Kapaliny, s výjimkou rtuti, jsou
špatnými vodiči tepla. Plyny vedou teplo jen velmi málo, jsou výbornými
tepelnými izolanty.
Vlněné oděvy zabraňují úniku tepla, protože vzduch mezi vlákny je
špatný vodič. Dvojitá okna v bytech udržují doma teplo. Z dobrých
izolantů jako je dřevo nebo plasty se zhotovují různá držadla ke
6 Termika
90
kuchyňskému nádobí, horké pokrmy se při vaření míchají dřevěnými
vařečkami.
Když někomu řeknete, že dokážete vařit
vodu v papírovém krabičce, asi vám to
neuvěří. Ale opravdu to jde.
Vysvětlení zdánlivě nepochopitelného jevu
spočívá v neustálém ochlazování stěn krabičky
vodou. Jejich teplota proto nemůže ani při varu
vody přesáhnout teplotu 100 °C a při ní nedojde
k zapálení nebo poškození materiálu krabičky.
Proudění tepla (konvekce)
Při vaření vody v hrnci pozorujete, jak se voda ohřívá. Na její
hladině se objevují malé vlnky. Vznikají proto, že horká voda ode dna
hrnce stoupá vzhůru a na její místo přichází studená voda shora, viz
obr. 6.6.
Obr. 6.6 Vaření
Chcete-li si rychle vysušit mokré vlasy, použijete elektrický
vysoušeč, fén. Vlasy si vysušíte díky proudění tepla od rozžhavené topné
spirály.
Proudění tepla, konvekce, je přenos tepla vyvolaný
přemisťováním částic hmoty.
Proudění je charakteristické pro plyny a kapaliny. Nastává
proto, že plyny i kapaliny při zahřívání zvětšují svůj objem a tím
se snižuje jejich hustota. Vrstvy kapaliny nebo plynu s menší
hustotou stoupají vzhůru a naopak chladnější vrstvy s větší hustotou
klesají dolů.
Dochází k šíření tepla prouděním. Pohyby látky se nazývají
konvekční proudy. Tepelné proudění má velký význam nejen
v přírodě, ale i v technice a v našem denním životě.
6 Termika
91
Přenos tepla z jednoho místa na druhé prouděním je základem
mnoha významných meteorologických jevů. Prouděním se
přemisťují obrovská množství vody v mořích a oceánech i vzduchu
v atmosféře.
Proudění tepla se využívá při ústředním vytápění našich bytů.
Naopak nežádoucí teplo je třeba odvádět například z tělesa
spalovacího motoru, od mikroprocesoru počítače, kondenzátoru domácí
chladničky. Pro nejúčinnější odvod tepla jsou chladiče tenkostěnné
a mají velký povrch, viz obr. 6.7
Obr. 6.7 Chladič procesoru
Sálání (tepelné záření)
Je hezký teplý den. Slunce na vás svítí a je vám teplo. Náhle se
slunce schová za mraky a pocit tepla zmizí. Slunce vás hřálo, aniž by
současně ohřívalo okolní vzduch.
Přenos tepla, který není zprostředkován částicemi látek, nazýváme
sálání. Sáláním se může šířit teplo ve vzduchoprázdnu.
Zahřátá tělesa předávají část své vnitřní energie ve formě tepelného
záření, které má obdobné vlastnosti jako světlo. Je to
elektromagnetické záření. Tepelné záření nevysílají jen hodně
horká tělesa jako Slunce nebo kamna. Sálají i chladnější tělesa.
Některé povrchy vyzařují
Vyzkoušejte si následující pokus.
teplo
lépe,
jiné
hůře.
Polovinu staré plechovky nabarvěte na černo, druhou polovinu
nechte lesklou. Naplňte ji horkou vodou. Přiložte hřbet ruky nejdříve
k černé polovině plechovky a pak k lesklé straně. Pocítíte více tepla
v blízkosti černé poloviny.
S jinou plechovkou proveďte pokus znovu. Tentokrát bude
plechovka z poloviny nabarvena bíle a z poloviny hnědě. Více tepla
bude vyzařovat opět tmavší povrch než světlejší.
6 Termika
92
Tmavé a drsné povrchy velmi dobře pohlcují tepelné
záření a tím se silně zahřívají. Světlé, hladké a lesklé povrchy
většinu záření odrážejí a proto se zahřívají mnohem méně. Některé
materiály tepelné a světelné záření nepohlcují, ale propouštějí.
Úkol 5:
Vysvětlete
− Proč se studené kovové předměty zdají být chladnější než
dřevěné o stejné teplotě?
− Proč se u žehliček, hrnců, vařičů zhotovují držadla z umělých
hmot?
− Proč se tělesa ústředního topení umisťují u podlahy?
− Proč se chladící a mrazící boxy vyrábějí s bílým nebo kovovým
povrchem?
− Položíte ruku na parapet okna, kam dopadá sluneční záření,
proč se ruka zahřeje a okenní tabule ne?
Shrnutí:
−
teplota je fyzikální veličina, která charakterizuje tepelný stav
tělesa, teplota souvisí s pohybem částic tělesa, její hodnota se
vyjadřuje pomocí teplotních stupnic;
−
při zahřívání těles dochází ke změnám jejich rozměrů,
v případě změny délky tělesa jde o délkovou teplotní
roztažnost, pokud se změní všechny tři rozměry, hovoříme
o objemové roztažnosti;
−
látky se skládají z částic, které konají neuspořádaný tepelný
pohyb, částice na sebe působí přitažlivými a odpudivými
silami;
−
vnitřní energie tělesa je součet celkové kinetické a celkové
potenciální energie soustavy částic, které tvoří těleso, vnitřní
energii můžeme měnit konáním práce a tepelnou výměnou;
−
teplo vyjadřuje změnu vnitřní energie při tepelné výměně,
velikost předaného tepla závisí na hmotnosti tělesa, na
rozdílu mezi počáteční a konečnou teplotou a na druhu látky,
ze které je těleso zhotoveno;
−
první termodynamický zákon říká, že přírůstek vnitřní
energie je roven součtu práce vnějších sil působících na těleso
a tepla přijatého při tepelné výměně;
−
přenos vnitřní energie se uskutečňuje vedením, prouděním
a sáláním.
6 Termika
93
Řešení úkolů:
1.
Otázky:
− Bod mrazu 0 °C, bod varu 100 °C.
− T = 280 K; t = 280 – 273,15 °C = 6,85 °C
− t = 25 °C; T = 25 + 273,15 K = 298,15 K
− Při nižších teplotách rtuť tuhne.
− Sloupec rtuti ukazuje nejvyšší naměřenou teplotu i po
následujícím poklesu okolní teploty.
− K udržování stálé teploty žehliček, chladniček.
2.
Délková roztažnost
d = 20 m ; t = 35 °C ; l = 21,3 m ; t 0 = −25 °C ; α = 1,7 ⋅ 10 −5 K −1 ; l 0 = ? m
l = l 0 (1 + α Δt )
{l0 } =
⇒
l0 =
21,3
;
(1 + 1,7 ⋅ 10 −5 ⋅ 60)
l
(1 + α Δt )
l 0 = 21,28 m
K přetržení drátů nedojde, vzdálenost sloupů je menší než jejich
délka v zimě.
3.
Vysvětlení
− Při škrtnutí zápalkou konáme práci, zvětší se vnitřní energie
hlavičky zápalky, dojde ke vznícení.
− Vnitřní energie kladiva i podložky se zvětšuje konáním práce.
− Voda má největší měrnou tepelnou kapacitu.
4.
Bazén
m = 45 kg ; t = 25 °C ; t1 = 12 °C ; t 2 = 90 °C ; m1 = ? kg ; m 2 = ? kg ;
m = m1 + m 2 ⇒ m 2 = m − m1
Při řešení úlohy vyjdete z kalorimetrické rovnice.
m1 c (t − t1 ) = m1 c (t 2 − t ) ⇒ m1 c (t − t1 ) = (m − m1 ) c (t 2 − t )
Po matematické úpravě dostanete vztah pro výpočet hmotnosti
chladnější vody.
m (t 2 − t )
45 ⋅ 60
m1 =
; {m1 } =
; m1 = 37 ,5 kg V1 = 37 ,5 m 3 ;
78
t 2 − t1
{m 2 } = 45 − 37 ,5;
m 2 = 7 ,5 kg; V2 = 7 ,5 m 3
K naplnění bazénu je třeba 37,5 m3 studené vody a 7,5 m3 teplé
vody.
6 Termika
94
5.
Vysvětlení
− Kovy s dobrou tepelnou vodivostí odvádějí teplo z ruky.
− Umělá hmota je tepelný izolant.
− Teplý vzduch s menší hustotou stoupá nahoru, prohřeje celou
místnost.
− Bílé a lesklé povrchy odrážejí tepelné záření.
− Ruka pohlcuje tepelné záření, přes sklo záření projde.
Na střelnici bývá většinou terč upevněný na dřevěné
desce. Po výstřelu může nastat situace, že olověný náboj
uvízne v dřevěné desce.
− Nakreslete situaci, kdy se náboj nachází před terčem. Vyznačte
vektor rychlosti pohybu kulky.
− Které druhy energie tvoří celkovou energii letícího náboje?
− Nakreslete situaci, když náboj uvízl v dřevěné desce.
− Která část energie náboje se změnila a jak?
− Projeví se změna energie na teplotě náboje? Jak se změní její
teplota?
− Předpokládejme, že po nárazu náboje na dřevěnou desku se
polovina její kinetické energie přemění na teplo.
− Vyjádřete vztah mezi změnou kinetické energie a přijatým
teplem. Vztah vysvětlete.
− Vypočítejte přírůstek teploty náboje po jejím uvíznutí
v dřevěné desce, když víte, že rychlost náboje před nárazem na
terč byla 100 m/s.
− Na co přemění zbývajících 50% jeho kinetické energie?
Literatura
95
Literatura
LEPIL, O., BEDNAŘÍK, M., HÝBLOVÁ, R. Fyzika pro střední školy I.
Praha: PROMETHEUS, 2002.
LEPIL, O., BEDNAŘÍK, M., HÝBLOVÁ, R. Fyzika pro střední školy II.
MIKLASOVÁ, V. Sbírka úloh z fyziky pro SOŠ a SOU.
HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 1 až 5.
Brno: VUTIUM a Praha: PROMETHEUS, 2000.
BEŇUŠKA, J. Zbierka úloh z fyziky. Martin: 1997

1 Měření

Transkript

Podobné dokumenty

Dějiny matematiky (Wikipedie)

Zpravodaj 9/2006 - Město Jablonné nad Orlicí

Lékárna - Naturprodukt CZ

Modul 1. Mechanika (kapitoly 1.1-1.7)

2.1 Kinematika

NAST.BÍLÉ

Hry jako umění pohledem kritiky Analýza kritérií hodnocení

Model DMW-FL360