Aritmetická posloupnost a její užití, posloupnost rostoucí a klesající

Aritmetická posloupnost a její užití, posloupnost rostoucí a klesající
1.Definujte posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající . Co je grafem posloupnosti ?
Posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem jsou všechna n ∈ N ( všechna přirozená
čísla) . K číslům 1, 2, 3, …. N přiřazuje předpis čísla a1 , a2 , a3 , …..an , tj. členy posloupnosti.
Je-li an < an+1 , ( tj. každý následující člen je větší než předchozí), je daná posloupnost rostoucí.
Je-li an > an+1 , ( tj. každý následující člen je menší než předchozí), je daná posloupnost klesající.
Grafem posloupnosti je soustava bodů !
Příklad: Napište prvních pět členů dané posloupnosti, rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající a své
tvrzení dokažte :
∞
 2n − 1 
a) a n = 

 3  n= 1
1
5
7
, a 2 = 1, a3 = , a 4 = , a5 = 3
3
3
Řešení : za n postupně dosazuji 1,2,3,4,5 …..a1 3
...posl.rostoucí
2( n + 1) − 1 2n + 1
=
Důkaz : vytvořím člen a n + 1 =
a musí platit an <an+1 , tj.
3
3
2n − 1 2n + 1
<
…..po úpravě získám nerovnost 0<2 , tj. pravdivá a tedy posl.je rostoucí
3
3
∞
 5 
b) a n =  2

 n + 1  n= 1
5
1
5
5
, a5 =
Řešení: za n postupně dosazuji 1,2,3,4,5 ... a1 = , a 2 = 1, a3 = , a 4 =
…
2
2
17
26
5
5
5
= 2
= 2
posl.klesající……. Důkaz: vytvořím člen a n + 1 =
a musí
2
( n + 1) + 1 n + 2n + 1 + 1 n + 2n + 2
5
5
platit an >an+1 , tj. 2
> 2
, po roznásobení a úpravě 10n>0 platí, protože n je přir.č.
n + 1 n + 2n + 2
=
Cvičení : Napište prvních pět členů dané posloupnosti, rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající a své
∞
 2n + 1 
tvrzení dokažte : a) 

 n + 3  n= 1
∞
 3n + 1 
b) 

 2n − 1  n = 1
∞
 n − 1
c) 

 n  n= 1
∞
 2n + 1 
d) 

2
 n  n= 1
2.Aritmetická posloupnost
Definujte aritmetickou posloupnost a napište základní vztahy, které platí pro aritmetickou
posloupnost.
Definice: Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, ve které rozdíl dvou sousedních členů je
konstantní , tj. platí an+1 – an = d ……… diference aritmetické posloupnosti
Vztahy : pro n-tý člen :
pro součet n – členů :
a n = a1 + ( n – 1 ) d
as = ar + ( s – r ) d
sn = ( a1 + a n ).
n
2
Příklad : V aritmetické posloupnosti je dáno a1 =3 , an=27 , sn= 196 . Určete n , d .
Řešení : dosadíme do vzorce pro n-tý člen 27 = 3 + ( n -1 ) d
a do vzorce pro součet n – členů : 195 = ( 3 + 27 ) .
n
, po vyřešení n=13 a dosazením do
2
předchozího vztahu d = 2
Příklad : V aritmetické posloupnosti je dáno : an= 80 , d=8, sn= 416 … určete a1 a n
Řešení : ze vzorce pro n-tý člen 80 = a1 + ( n – 1 ) .8
vyjádříme a1= 80 – 8 n + 8
a1 = 88 – 8 n
a dosadíme do vzorce pro součet n – členů :
416 = ( 88 – 8n + 80 )
n
.. po úpravě dostaneme
2
kvadratickou rovnici n2 – 21 n + 104 = 0 s kořeny n1 = 8 , n2 = 13 ( vyhovují oba kořeny, n musí být
celé kladné číslo ) a zadání vyhovují dvě posloupnosti : n= 13 , a1 = -16
n= 8 , a1 = 24
Cvičení :
1) V aritmetické posloupnosti je dáno a1=3, an=27, sn= 195. Určete n,d .
( n= 13, d= 2)
2) V aritmetické posloupnosti je dáno a1 = 210 , an = 102, d = - 12.Určete n, sn.
( n=10,sn = 1560)
3) V aritmetické posloupnosti je dáno a7=8 , a11 = 20. Určete s20.
( s20 = 370 )
4) V aritmetické posloupnosti je dáno a1=450 , d=-24 , an=210 . Určete n, sn .
( n=11, sn=3630)
5) V aritmetické posloupnosti je dáno an=80, d= 8 ,sn= 416. Určete a1,n .
( n=13,a1=-16 nebo n=8,a1=24)
6) V aritmetické posloupnosti je dáno a1= 7 , d=3 , sn=282.Určete n, an.
( n = 12 , an=40)
7) V aritmetické posloupnosti je dáno a1= 4 , d=2 , sn= 180. Určete an, n.
( a12=26, n=12 )
3.Užití aritmetické posloupnosti
1. Ocelové roury se skládají do vrstev tak, že roury každé vrstvy horní zapadají do mezer vrstvy
2.
3.
4.
5.
dolní. Do kolika vrstev se složí 90 rour, jsou-li v nejhořejší vrstvě jen dvě roury ? Kolik rour
je v nejspodnější vrstvě ?
( z textu a1=2, d=1 , sn= 90 …hledáme n,an…12,13).
Železné trubky jsou srovnány v deseti řadách nad sebou tak, že vrchní řada má 15 trubek a
každá další o jednu více. Kolik je všech trubek ? ( n=10,a1= 15 , d=1 ….s10= 195)
Dělník vyrobí za směnu 35 součástek . Kolik součástek by vyrobil za 16 dní, kdyby zvyšoval
svůj výkon denně o 2 součástky?
( a1= 35 , n=16, d=2……hledáme s16 = 800)
Vypočtěte vnitřní úhly šestiúhelníku, tvoří-li velikosti úhlů aritmetickou posloupnost a
nejmenší velikost úhlu je 700 ? ( návod: součet vnitřních úhlů v n-úhelníku je n.1800-3600=
1800(n-2) , a1=70 , n=6, hledáme d ……d=200 a vypočteme jednotlivé úhly )
Nejmenší vnitřní úhel mnohoúhelníku je 1170 , největší 1710. Velikosti úhlů tvoří aritmetickou
posloupnost. Kolik má mnohoúhelník stran a jak velké má vnitřní úhly?
( a1=1170 , an=1710 , sn = 1800( n-2) …viz cv.4….hledáme n,d ……..n=10 , d=60 )