docTaylorův polynom
download 
Stížnost Transkript
Taylorův polynom c ÚM FSI VUT v Brně ° 29. září 2007 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom Určete Taylorův polynom druhého stupně T2 (x, y) funkce f se středem v bodě A[1, 1] f (x, y) = ln c ÚM FSI VUT v Brně ° p x2 + y 2 Taylorův polynom Obecný tvar Taylorova polynomu druhého stupně funkce f se středem v bodě [x0 , y0 ] má tvar T2 ([x0 , y0 ]) = f ([x0 , y0 ]) + fx0 ([x0 , y0 ])(x − x0 ) + fy0 ([x0 , y0 ])(y − ¡ 00 00 ([x , y ])(x − x )(y − y ) + y0 ) + 2!1 fxx ([x0 , y0 ])(x − x0 )2 + 2fxy 0 ¢0 0 0 00 fyy ([x0 , y0 ])(y − y0 )2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom Obecný tvar Taylorova polynomu druhého stupně funkce f se středem v bodě [x0 , y0 ] má tvar T2 ([x0 , y0 ]) = f ([x0 , y0 ]) + fx0 ([x0 , y0 ])(x − x0 ) + fy0 ([x0 , y0 ])(y − ¡ 00 00 ([x , y ])(x − x )(y − y ) + y0 ) + 2!1 fxx ([x0 , y0 ])(x − x0 )2 + 2fxy 0 ¢0 0 0 00 fyy ([x0 , y0 ])(y − y0 )2 Taylorův polynom druhého stupně funkce f se středem v bodě [1, 1] má tedy tvar T2 ([1, 1]) = f ([1, 1]) + fx0 ([1, 1])(x − 1) + fy0 ([1, 1])(y − 1) + ¡ ¢ 1 00 2 00 00 2 2! fxx ([1, 1])(x−1) +2fxy ([1, 1])(x−1)(y−1)+fyy ([1, 1])(y−1) c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 Nejprve určíme hodnotu funkce f a hodnotu parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 Nejprve určíme hodnotu funkce f a hodnotu parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] √ Řešení: f ([1, 1]) = ln 12 + 12 = 12 ln 2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 Nejprve určíme hodnotu funkce f a hodnotu parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] √ Řešení: f ([1, 1]) = ln 12 + 12 = 12 ln 2 ¡ p ¢0 x fx0 = ln x2 + y 2 x = x2 +y 2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 Nejprve určíme hodnotu funkce f a hodnotu parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] √ Řešení: f ([1, 1]) = ln 12 + 12 = 12 ln 2 ¡ p ¢0 x 1 1 fx0 = ln x2 + y 2 x = x2 +y fx0 ([1, 1]) = 12 +1 2 2 = 2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 Nejprve určíme hodnotu funkce f a hodnotu parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] √ Řešení: f ([1, 1]) = ln 12 + 12 = 12 ln 2 ¡ p ¢0 x 1 1 fx0 = ln x2 + y 2 x = x2 +y fx0 ([1, 1]) = 12 +1 2 2 = 2 ¢0 ¡ p y fy0 = ln x2 + y 2 y = x2 +y 2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 Nejprve určíme hodnotu funkce f a hodnotu parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] √ Řešení: f ([1, 1]) = ln 12 + 12 = 12 ln 2 ¡ p ¢0 x 1 1 fx0 = ln x2 + y 2 x = x2 +y fx0 ([1, 1]) = 12 +1 2 2 = 2 ¢0 ¡ p y 1 1 fy0 = ln x2 + y 2 y = x2 +y fy0 ([1, 1]) = 12 +1 2 2 = 2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 , fx0 = x x2 +y 2 , fy0 = y x2 +y 2 Určíme hodnotu druhých parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 , fx0 = x x2 +y 2 , fy0 = y x2 +y 2 Určíme hodnotu druhých parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] ¡ p ¢00 ¡ x ¢0 y 2 −x2 00 = ln Řešení: fxx x2 + y 2 xx = x2 +y 2 x = (x2 +y 2 )2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 , fx0 = x x2 +y 2 , fy0 = y x2 +y 2 Určíme hodnotu druhých parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] ¡ p ¢00 ¡ x ¢0 y 2 −x2 00 = ln Řešení: fxx x2 + y 2 xx = x2 +y 2 x = (x2 +y 2 )2 00 ([1, 1]) = fxx c ÚM FSI VUT v Brně ° 12 −12 (12 +12 )2 =0 Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 , fx0 = x x2 +y 2 , fy0 = y x2 +y 2 Určíme hodnotu druhých parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] ¡ p ¢00 ¡ x ¢0 y 2 −x2 00 = ln Řešení: fxx x2 + y 2 xx = x2 +y 2 x = (x2 +y 2 )2 2 2 00 ([1, 1]) = 1 −1 fxx =0 (12 +12 )2 p ¡ ¢ ¡ x ¢0 00 00 = ln fxy x2 + y 2 xy = x2 +y 2 y = c ÚM FSI VUT v Brně ° −2xy (x2 +y 2 )2 Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 , fx0 = x x2 +y 2 , fy0 = y x2 +y 2 Určíme hodnotu druhých parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] ¡ p ¢00 ¡ x ¢0 y 2 −x2 00 = ln Řešení: fxx x2 + y 2 xx = x2 +y 2 x = (x2 +y 2 )2 2 2 00 ([1, 1]) = 1 −1 fxx =0 (12 +12 )2 p ¡ ¢ ¡ x ¢0 00 00 = ln fxy x2 + y 2 xy = x2 +y 2 y = 00 ([1, 1]) = fxy c ÚM FSI VUT v Brně ° −2.1.1 (12 +12 )2 −2xy (x2 +y 2 )2 = − 21 Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 , fx0 = x x2 +y 2 , fy0 = y x2 +y 2 Určíme hodnotu druhých parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] ¡ p ¢00 ¡ x ¢0 y 2 −x2 00 = ln Řešení: fxx x2 + y 2 xx = x2 +y 2 x = (x2 +y 2 )2 2 2 00 ([1, 1]) = 1 −1 fxx =0 (12 +12 )2 p ¡ ¢ ¡ x ¢0 00 00 = ln fxy x2 + y 2 xy = x2 +y 2 y = −2xy (x2 +y 2 )2 00 ([1, 1]) = −2.1.1 = − 1 fxy 2 (12 +12 )2 p ¢ ¡ ¡ 00 y ¢0 00 = ln x2 + y 2 yy = x2 +y fyy 2 y = x2 −y 2 (x2 +y 2 )2 c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom f (x, y) = ln p x2 + y 2 , fx0 = x x2 +y 2 , fy0 = y x2 +y 2 Určíme hodnotu druhých parciálních derivací funkce f v bodě A[1, 1] ¡ p ¢00 ¡ x ¢0 y 2 −x2 00 = ln Řešení: fxx x2 + y 2 xx = x2 +y 2 x = (x2 +y 2 )2 2 2 00 ([1, 1]) = 1 −1 fxx =0 (12 +12 )2 p ¡ ¢ ¡ x ¢0 00 00 = ln fxy x2 + y 2 xy = x2 +y 2 y = −2xy (x2 +y 2 )2 00 ([1, 1]) = −2.1.1 = − 1 fxy 2 (12 +12 )2 p ¢ ¡ ¡ 00 y ¢0 00 = ln x2 + y 2 yy = x2 +y fyy 2 y = x2 −y 2 (x2 +y 2 )2 00 ([1, 1]) = fyy c ÚM FSI VUT v Brně ° 12 −12 (12 +12 )2 =0 Taylorův polynom Spočítané hodnoty f ([1, 1]) = 12 ln 2, 00 ([1, 1]) = 0, fxx fx0 ([1, 1]) = 12 , fx0 ([1, 1]) = 12 , 00 ([1, 1]) = − 1 , fxy 2 00 ([1, 1]) = 0 fyy dosadíme do obecného vzorce 1 2! T (x, y) = f ([1, 1]) + fx0 ([1, 1])(x − 1) + fy0 ([1, 1])(y − 1) + ¡ 002 ¢ 00 ([1, 1])(x−1)(y−1)+f 00 ([1, 1])(y−1)2 fxx ([1, 1])(x−1)2 +2fxy yy c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom Spočítané hodnoty f ([1, 1]) = 12 ln 2, 00 ([1, 1]) = 0, fxx fx0 ([1, 1]) = 12 , fx0 ([1, 1]) = 12 , 00 ([1, 1]) = − 1 , fxy 2 00 ([1, 1]) = 0 fyy dosadíme do obecného vzorce 1 2! T (x, y) = f ([1, 1]) + fx0 ([1, 1])(x − 1) + fy0 ([1, 1])(y − 1) + ¡ 002 ¢ 00 ([1, 1])(x−1)(y−1)+f 00 ([1, 1])(y−1)2 fxx ([1, 1])(x−1)2 +2fxy yy Závěr. Taylorův polynom druhého stupně funkce f = ln se středem v bodě A[1, 1] má tvar p x2 + y 2 ¡ T2 (x, y) = 12 ln 2 + 12 (x − 1) + ¢12 (y − 1) + 2!1 0(x − 1)2 + 2(− 12 )(x − 1)(y − 1) + 0(y − 1)2 = 12 ln 2 − 1 + x + y − 12 xy c ÚM FSI VUT v Brně ° Taylorův polynom
Podobné dokumenty
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROM ˇENNÝCH
Funkce f má v C lokální extrém, jestliže má v C lokální maximum nebo lokální minimum.
Absolutní maximum funkce f na množině A ⊂ D(f ) je hodno ta max{f (x, y); (x, y) ∈ A}. Podobně se
definuje ab...
Řešené příklady - MATEMATIKA online
Protože je derivace fu0 (A) záporná, je funkce f v bodě A ve směru u klesající.
Příklad 4.10. Spočtěte derivaci funkce f (x, y) = ln (x + y) v bodě A = [1, 2] ležícím na parabole y 2 = 4x
ve směru ...
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMˇENNÝCH
resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f (C) je maximální
(resp. minimální ) hodnota f na U ∩ D(f ).
Funkce f má v C lokální extrém, jestliže má v C lokální maximum nebo...
Funkce více promenných
Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4 , určte její parc. derivace
podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené.
fx0 = 2xy + 4y 3 x 3
00 = 2y + 12y 3 x 2
fxx
00 = 2x + 12y 2 x 3
fxy
x √ x2 + 1 je ∀x ∈ R řešením diferenciální rovnice yy
Příklad 1. Dokažme, že funkce f (x) = x x2 + 1 je ∀x ∈ R řešením diferenciální rovnice
yy 0 − x = 2x3 .
Řešení. Aby funkce f byla řešením dané diferenciální rovnice v R, musí ∀x ∈ R platit
f (x) · ...
čtyřleté 2000 - Gymnázium Kroměříž
jejichž tváři se odrážel běh času jen vnějškově. Životy obyvatel plynuly pomalým tempem a nejeden vysloužilý úředník nebo učitel z různých koutů
Hané zde toužil dožít své dny. Kroměříž se ale vymyk...
TI-84-Plus
Uživatelsky definované názvy seznamů. Do seznamů lze uložit až 999 prvků
17 interaktivních funkcí zoom
Číselné hodnocení uvedené v tabulkovém formátu pro všechny druhy grafů
Interaktivní analýza fu...
Šíření chyb u složených funkcí
zřídka požadovaný výsledek měření. Většinou je
funkcí měřených veličin
K odhadu střední hodnoty hledané veličiny
a rozptylu lze použít:
metody
Pro pokročilé - Industry Online Support
all liability for the completeness of this document. It shall only be used for the user's own internal purposes. It shall not be passed on to third parties. The complete
documentation can be found ...
