Návod ke cvičení

1
FYZIKÁLNÍ MODELY
A ANALOGY.
ELEKTRICKÉ ANALOGY
AEROTERMOMECHANICKÝCH
PROCESŮ
Seznámení s aplikací fyzikálních modelů a fyzikálních
analogů při řešení aerotermomechanických úloh. Elektrické
analogy jako účinný prostředek pro řešení řady úloh
z oblasti aeromechaniky a šíření tepla. Laboratorní
modelování obtékání válce včetně analýzy proudového pole
v jeho okolí pomocí elektrického analogu potenciálního
proudění ideální tekutiny. Porovnání výsledků s analytickým
řešením. Laboratorní modelování šíření tepla v rovinné
stěně pomocí elektrického analogu stacionárního teplotního
pole.
-1-
1.1 CÍL CVIČENÍ
•
Seznámit se s fyzikálními modely při řešení úloh. Princip fyzikálních modelů a jejich
možnosti použití. Seznámit se s fyzikálními analogy při řešení úloh. Princip
fyzikálních analogů a jejich možnosti použití. Elektrické analogy jako jeden
z nejpoužívanějších druhů fyzikálních analogů. Příklad řešené průmyslové úlohy
pomocí elektrických analogů.
•
Elektrický analog hydrodynamické úlohy. Provést analýzu proudového pole v okolí
obtékaného válce pomocí elektrické analogie. Na dvourozměrné úloze potenciálního
obtékání válce ideální nestlačitelnou tekutinou nalézt proudnice a izočáry potenciálu
rychlosti proudového pole. Změřit velikosti rychlosti proudící tekutiny na osách x a y,
dále po obvodu válce. Zjištěné průběhy rychlostí porovnat s výsledky podle
analytických vztahů.
•
Elektrický analog tepelné úlohy. Provést analýzu teplotního pole v rovinné stěně
pomocí elektrické analogie. Na dvourozměrné úloze šíření tepla mezi tekutinou
v levém vnitřním prostředí, materiálem stěny a pravým vnějším prostředím naměřit
teploty uvnitř stěny a na jejím vnitřním a vnějším povrchu. Prakticky si vyzkoušet
převod tepelné úlohy na elektrickou, vytvoření elektrické úlohy pomocí polovodivých
papírů, změření elektrických potenciálů a zpětné převedení výsledků řešení na tepelné
veličiny.
1.2 FYZIKÁLNÍ MODELY A FYZIKÁLNÍ ANALOGY
1.2.1
Fyzikální modely
Fyzikální modelování je založeno na principu fyzikální podobnosti mezi modelem a dílem.
Oba dva objekty, resp. procesy, musí splňovat podmínku stejných fyzikálních procesů a tedy
i stejného matematického popisu.
Fyzikální model je uměle vytvořený objekt (model) na kterém se zkoumá chování díla
(originálu). Zvláštním případem fyzikálního modelu je přirozený model, což je dílo (originál)
zkoumaný za různých podmínek.
Fyzikální modely jsou obvykle finančně i časově náročnější než modely založené na principu
matematické podobnosti. Postup při fyzikálním modelování vychází z podmínky rovnosti
odpovídajících si kritérií podobnosti na modelu a dílu.
1.2.2
Fyzikální analogy
Fyzikální analogie je založena na principu matematické podobnosti mezi modelem a dílem.
Oba dva objekty, resp. procesy, musí splňovat podmínku stejného matematického popisu.
-2-
V minulosti existovala řada různých fyzikálních analogií používaných zejména
v hydromechanice, termomechanice, pružnosti, elektrotechnice a dalších oborech.
V předpočítačové době byly tyto analogie spolu s fyzikálními modely hlavním prostředkem
v rozvoji modelování, ale jejich vývoj ustrnul a byl překonán nástupem počítačových modelů.
Pouze několik z těchto fyzikálních analogií zůstalo vhodným modelovým prostředkem při
řešení některých zvláštních úloh a to v důsledku svého možného zdokonalování vlivem
nástupu nových technologií. Týká se to elektrické, optické, chemické a difúzní analogie. Tyto
analogie mohou mít přednosti například v jednoduchosti, názornosti a nenáročnosti.
1.2.3
Příklad průmyslové úlohy řešené pomocí elektrických analogů
V době, kdy nebyly dostupné metody počítačového modelování, se v aerodynamice
a hydrodynamice používala při řešení problémů obtékání profilů elektro-hydrodynamická
analogie. Vyšetřování proudu tekutiny v experimentálním kanálu je poměrně náročné
a mnohem jednodušší je vyšetřování analogického elektrostatického pole.
Jako prostředí, v němž se provádí měření, se volí elektrolytická vana nebo odporový papír.
Jako stěny modelovaného kanálu se použijí elektrody a mezi ně se umístí obtékaný profil
z elektricky vodivého materiálu. Na povrchu každé z elektrod je konstantní hodnota
elektrického potenciálu, stejně tak je konstantní potenciál na povrchu obtékaného tělesa.
Ekvipotenciály elektrického pole tedy kopírují povrchy elektrod a vodivé oblasti stejně jako je
tomu u proudnic v případě hydrodynamiky, kdy proudnice kopírují stěny kanálu i povrch
obtékaného profilu. Ekvipotenciály elektrického pole tedy v tomto experimentálním
uspořádání reprezentují proudnice. Toto uspořádání se proto nazývá nepřímá analogie mezi
hydrodynamickou a elektrostatickou úlohou.
V případě jiného experimentálního uspořádání lze modelovat nikoli proudnice, ale křivky
konstantních hodnot potenciálové funkce. V tomto uspořádání elektrody reprezentují vstup a
výstup proudového kanálu. Stěny kanálu a obtékané těleso jsou reprezentovány elektricky
nevodivými oblastmi. Mezi elektrodami protéká elektrický proud, ten se samozřejmě vyhýbá
nevodivým oblastem a kopíruje povrch obtékaného tělesa stejně jako tekutina v proudovém
kanálu. Zde se tedy mluví o přímé analogii mezi hydrodynamickou a elektrostatickou úlohou.
Ekvipotenciály elektrického pole odpovídají ekvipotenciálám hydrodynamického proudového
pole. Kromě určení tvaru ekvipotenciál a proudnic lze v přímé analogii měřením gradientu
napětí, tj. napětí ve směru proudnic, určovat rychlosti proudění.
Jednou z řešených průmyslových úloh bylo modelování potenciálního proudění lopatkovou
mříží na elektrickém analogu a fyzikálním modelu. Uvažuje se rovinné potenciální proudění
dokonalé nestlačitelné tekutiny kompresorovou lopatkovou mříží pro zadané geometrické
parametry mříže. Úkolem je určit rozložení rychlosti po povrchu lopatkového profilu
a provést vzájemné porovnání výsledků měření na elektrickém analogu s výsledky měření na
stejné lopatkové mříži v aerodynamickém tunelu při Machově čísle vstupního proudu 0,39.
Z výsledků řešení povrchové rychlosti na elektrickém analogu se modeluje vektorové
rychlostní pole v lopatkovém kanálu.
Řešení na elektrickém analogu zahrnuje dvě základní úlohy. Nepřímou úlohu, při níž se
nejdříve modeluje pro zadanou vstupní rychlost a úhel náběhu soustava komplexně
-3-
sdružených ekvipotenciál a proudnic a z jejich gradientu na povrchu lopatkového profilu
rychlost proudění, jíž na elektrickém analogu odpovídá proudová hustota. Přímou úlohu, kdy
se z hustoty elektrického proudu, představující okrajovou podmínku 2. druhu, určuje
vektorové rychlostní pole v lopatkovém kanálu. Přitom se dá výhodně využít vlastností
harmonických funkcí a tzv. logaritmického potenciálu k přímému modelování vektorových
polí modulu a argumentu gradientu. Tím, že se tato vektorová pole modelují pomocí
elektrického potenciálu, se dá dosáhnout přesnosti odpovídající přesnosti měření napětí.
Obr. 1 Výsledky modelování vektorového rychlostního pole v kompresorové
lopatkové mříži
Výsledky modelování vektorového pole rychlosti proudění v kanálu kompresorové lopatkové
mříže jsou uvedeny na obr. 1. Vyjadřují je průběhy konstantního modulu (a) a argumentu (b)
hydrodynamického potenciálu Φ, jinak konstantní velikosti poměrné rychlosti w
a konstantního úhlu. Tím je určena v libovolném místě lopatkového kanálu nejen velikost
rychlosti, ale i směr proudění.
K ověření věrohodnosti výsledků dosažených na elektrickém modelu bylo provedeno
proměření stejné lopatkové mříže v aerodynamickém tunelu při vstupní rychlosti vzduchu
vyjádřené Machovým číslem 0,39, při němž se ještě plně neprojevil vliv stlačitelnosti. Při
experimentu se uvažovaly různé alternativy vstupního úhlu od 64º do 42º, což byla optimální
hodnota. Pro tuto alternativu je provedeno na obr. 2 porovnání průběhu rychlosti po povrchu
lopatky naměřené na elektrickém modelu a na fyzikálním modelu lopatkové mříže
v aerodynamickém tunelu.
Výsledky vzájemného porovnání ukazují na poměrně dobrý souhlas s tím, že zřetelnější
odchylka na přetlakové straně lopatky a zřejmě souvisí s neuvažováním stlačitelnosti
proudícího vzduchu.
-4-
Obr. 2 Porovnání průběhu rychlostí po povrchu kompresorové lopatky při
měření na elektrickém analogu a na fyzikálním modelu v aerodynamickém
tunelu
1.3 ANALÝZA PROUDOVÉHO POLE V OKOLÍ OBTÉKANÉHO
VÁLCE
Jsou využity elektrické modely vyjadřující fyzikální pole popisovaná eliptickými rovnicemi,
Laplaceovou a Poissonovou.
1.3.1
Elektro-hydrodynamická analogie
Vychází se z matematické podobnosti rovnic popisujících rozložení hydrodynamického
potenciálu na díle a elektrického potenciálu na modelu. Dále platí podmínky fyzikální
podobnosti mezi modelem a dílem.
Základní hydrodynamické vztahy pro potenciální proudění dokonalé nestlačitelné tekutiny
mají tvar Laplaceovy rovnice
∇2Φ = 0
a nebo ∇ 2 Ψ = 0 ,
(1)
kde Φ je potenciální funkce (hydrodynamický potenciál) a Ψ je proudová funkce. Dále
platí pro složky rychlosti při dvourozměrném proudění
wx =
∂Φ
,
∂x
-5-
wy =
∂Φ
,
∂y
(2)
wx =
∂Ψ
,
∂y
∂Ψ
.
∂x
(3)
∂Φ
∂Φ
+ i2
,
∂x
∂y
(4)
∂Ψ
∂Ψ
+ i2
,
∂x
∂y
(5)
wy = −
Gradient potenciální a proudové funkce má tvar
gradΦ = i1 wx + i2 w y = i1
gradΨ = −i1wy + i2 wx = i1
kde i1 a i2 jsou jednotkové vektory. Z toho vyplývá, že vektory grad Φ a grad Ψ jsou na
sebe kolmé, tj. ekvipotenciály a proudnice jsou na sebe kolné, a jejich absolutní hodnoty jsou
si rovny.
Základní elektrické vztahy pro elektrostatické pole bez volných nábojů mají analogický tvar
rovnice (1) a platí tudíž
∇ 2V = 0
a obdobně
∇2 I = 0 ,
(6)
kde V je elektrický potenciál a I funkce elektrického proudu. Pro složky proudové hustoty
platí analogicky k rovnicím (2) a (3)
ix = −
1 ∂V
1 ∂V
, iy = −
,
ρ e ∂x
ρ e ∂y
(7)
1 ∂I
1 ∂I
, iy =
.
h ∂y
h ∂x
(8)
ix = −
Porovnáním předchozích hydrodynamických a elektrických vztahů vyplývá analogie
Φ ~ V , wx ~ ix , Ψ ~ I , wy ~ i y .
(9)
Jako důsledek matematické podobnosti lze odvodit vztah mezi rychlostí proudění a napětím
ve dvou místech elektrostatického pole
w
L ΔU
=
,
wref U ref Δl
-6-
(10)
kde referenční hodnotou napětí U ref je napětí mezi elektrodami, referenční rychlostí wref je
rychlost nerozrušeného proudu ve velké vzdálenosti od obtékaného tělesa, L je vzdálenost
elektrod, ΔU a Δl jsou napětí mezi hroty a vzdálenost hrotů gradientní dvouhroté sondy.
Metodu elektro-hydrodynamické analogie lze rozšířit i na proudění s cirkulací, proudění
stlačitelné tekutiny, případně i vazké tekutiny. Použité elektrické modely mohou být
prostorově spojité nebo diskrétní. Okrajová podmínka bývá nejčastěji 1. druhu (Dirichletova),
při níž se zná hodnota potenciálu (často 0 a 100%), nebo jeho gradientu (rychlosti proudění).
1.3.2 Úloha
Úkolem je modelovat pomocí elektrického analogu bezcirkulační obtékání kruhového válce
o průměru 71 mm dokonalou nestlačitelnou tekutinou.
Stanovte:
•
pole proudnic a ekvipotenciál pro jeden kvadrant a v něm pole konstantních velikostí
rychlosti,
•
průběh velikosti rychlosti na ose x a na ose y, porovnejte s analytickým vztahem,
•
průběh velikosti rychlosti po obvodu válce, porovnejte s analytickým vztahem.
Pole proudnic a ekvipotenciál zjistěte pro hodnoty 10 %, 20 %, 30 %, 35 %, 40 %, 45 %
a 50 % napětí mezi elektrodami. Izočáry konstantních velikostí rychlosti změřte pro rychlosti
0,8 w∞ a 1,2 w∞ (v místě, kde osa x protíná povrch válce, by měla být rychlost w = 0; v místě,
kde osa y protíná povrch válce, by měla být rychlost w = 2 w∞; v místě dostatečně vzdáleném
od obtékaného válce (tzv. nenarušené proudění) by měla být rychlost w = w∞ ). Body pro
proudnice, ekvipotenciály a izočáry konstatních velikostí rychlosti měřte tak hustě, jak je
potřeba pro přesné zakreslení křivek.
Velikost rychlosti na ose x odpovídá složce rychlosti ve směru osy x, protože složka rychlosti
ve směru osy y je nulová. Velikost rychlosti na ose y odpovídá též složce rychlosti ve směru
osy x, neboť složka rychlosti ve směru osy y je nulová. Velikosti rychlostí na osách x a y
začněte měřit na povrchu válce a pokračujte v místech vzdálených 1 cm, 2 cm a dalších, vždy
po 1 cm. Velikost rychlosti na obvodu válce odpovídá tečné rychlosti k povrchu válce, neboť
radiální složka rychlosti je nulová. Velikosti rychlostí po obvodu válce měřte pro úhly 0º až
90º, vždy po 10º, měřeno od osy x (tj. od směru rovnoběžného se směrem proudění).
Pozn: Nepoužívá se číselná hodnota w∞, ale pracuje s bezrozměrovou rychlostí w w∞-1. A to
jak při měření na vodivém papíru (viz. přepočetní vztah (10)), tak v následujících
analytických vztazích.
Pro výpočet rychlostí platí:
•
R2
x-ová složka rychlosti v místech na ose x: wx = w∞ (1 − 2 ) ,
x
-7-
•
R2
x-ová složka rychlosti v místech na ose y: wx = w∞ (1 + 2 ) ,
y
•
tečná složka rychlosti v místech po obvodu válce blízko jeho povrchu: wϑ = 2 w∞ sin ϑ ,
kde x, y se měří od středu válce, ϑ je úhel měřený od osy x (tj. od směru proudění), R je
poloměr válce a w∞ je rychlost nenarušeného proudění (tj. ve velké vzdálenosti od povrchu
válce).
1.3.3 Postup modelování
Postup při modelování je následující:
příprava modelování,
měření proudnic,
měření ekvipotenciál,
měření průběhů velikosti rychlosti na osách x a y,
měření průběhu velikosti rychlosti po obvodu válce,
měření izočár stejné velikosti rychlosti.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1
Měřící krabička
2
3
Těleso
U+
Modelu
6
13
Gradient
11
4
Vodivý papír
Elektrody
7
Hladina
0
8
9
Hladina %
Měření
gradientu
12
550
14
10
5
Model
Obr. 3 Propojení měřicí krabičky s modelem.
(a) Příprava modelování
Vystřihněte vodivý papír podle šablony (volná deska), tj. získáte čtverec o straně 41,5 x 41,5
cm. Používá se vodivý papír s plošným odporem 1,74 kΩ (SSSR).
Podle obr. 3 propojte svorky (4) měřicích krabiček pomocí kabelů do zdroje napájení. Pro
napájení modelu spojte svorky (1) a (3) a svorky (2) a (5). Pro měření tří úloh najednou lze
měřicí krabičky mezi sebou vzájemně propojit podle obr. 4. Poté je možné zapnout zdroj
napájení.
-8-
(b) Měření proudnic
Připravený vodivý papír vložte do držáků elektrod na modelu a upevněte elektrody na
stranách jemným utažením šroubků, aby byl dobrý elektrický kontakt mezi elektrodami
a vodivým papírem. Nakreslete střed vodivého papíru a souřadné osy x a y. Osa x je ve směru
proudění, tj. v tomto zapojení rovnoběžně s elektrodami. Plechovka se položí na střed
souřadných os a zatíží se závažím. (Je vhodné případně posunout plechovku tak, aby byla na
50 % potenciálu kladné elektrody.) Podle dna plechovky nakreslete povrch válce. Poloměr je
přibližně 40 mm. Pod vodivý papír (tj. mezi podložku a vodivý papír) je vhodné v místě válce
dát 1-2 mm průklepového papíru (pro lepší elektrický kontakt dna plechovky s vodivým
papírem při jejím zatížení). Tím je dosaženo stavu, kdy celý obvod válce je vodivě spojen,
což je potřebné pro měření proudnic (viz obr. 5a).
Obr. 4 Schéma zapojení pracovišť při modelování.
Pro měření potenciálu použijte jednohrotou stíněnou sondu. Její měřicí vodič (červený)
zapojte do svorky (7) a stíněný vodič do svorky (8). Přepínač (9) přepněte do polohy
HLADINA.
Na potenciometru (10) nastavte požadovanou hladinu potenciálu (např. 550 udává 55 %
hodnoty napětí mezi elektrodami). Správné místo hledaných bodů na vodivém papíře se určí
pomocí led diod (11) a (12). Hrot sondy se přiloží na vodivý papír. Pokud svítí červená dioda
(11) je nutné posunout sondu blíže k elektrodě s nulovým napětím (2). Naopak pokud svítí
zelená dioda (12), posouvá se sonda blíže k elektrodě s napětím U (1). Pokud nesvítí žádná
dioda, je hrot sondy přímo na hledané hodnotě potenciálu.
-9-
Pozn: Před měřením proudnic je vhodné vyzkoušet, zda válec je na 50 % potenciálu kladné
elektrody. Pokud ne, je lépe jej posunout blíže některé z elektrod tak, aby byl na polovině
maximálního potenciálu.
Tímto způsobem se proměří všechny požadované proudnice.
(c) Měření ekvipotenciál
Vodivý papír vyjměte s držáku, modelovaný válec vystřihněte a papír vložte do držáků
otočený o 90°. Tím je dosaženo stavu, kdy modelovaný válec ve vodivém papíru chybí a
zároveň obvod válce není vodivě spojen, což je potřebné pro měření ekvipotenciál
(viz obr. 5b).
Pro měření potenciálu se používá jednohrotá sonda zapojená stejně jako v případě modelování
proudnic.
Stejným způsobem jako proudnice (rozdíl je pouze ve způsobu zobrazení válce na vodivém
papíru a otočení vodivého papíru o 90°) se proměří všechny požadované ekvipotenciály.
e
0%
0%
y
100%
y
x
Odporový
x
papír
100%
Odporový papír
e
e
e
b-modelování ekvipotenciál
a-modelování proudnic
Obr. 5 Experimentální uspořádání při modelování (a) proudnic, (b) ekvipotenciál.
(d) Měření průběhů velikosti rychlosti na osách x a y
Vodivý papír se ponechá ve stejném zapojení jako v případě měření ekvipotenciál.
Pro měření gradientu, tj. rozdílu napětí ve dvou místech vodivého papíru, se používá
dvouhrotá sonda. Černý vodič sondy se zapojí do svorky (6) a červený do svorky (7).
Přepínač (9) je nutné přepnout do polohy GRADIENT. Do svorek (13) a (14) se zapojí vodiče
multimetru (např. Omega TrueRMS SupermeterTM HHM290), přičemž vodič z nulové svorky
(COM) do zelené svorky (14) a vodič z plusové svorky do žluté svorky (13). Nastavení
potenciometru nemá při tomto měření žádný význam.
- 10 -
Na dvouhroté sondě je pevně nastavená vzdálenost hrotů. Změřte si proto vzdálenost hrotů na
své dvouhroté sondě. Naměřený gradient závisí na velikosti a směru toku v dané oblasti a
vzdálenosti hrotů sondy. Gradient může být kladný i záporný. Pokud je kovový červeně
obalený hrot na kladnějším potenciálu než kovový neobalený hrot, svítí červená dioda.
V opačném případě svítí zelená. Pokud je absolutní hodnota gradientu menší než 30 mV,
nesvítí žádná dioda.
V tomto uspořádání se proměří velikosti rychlostí na osách x a y pro požadovaná místa. Pokud
se hroty sondy otočí do směru osy x, měří rozdíl napětí pro získání x-ové složky rychlosti
proudění, obdobně pro osu y.
(e) Měření průběhu velikosti rychlosti po obvodu válce
Vodivý papír je ve stejném zapojení jako u předchozího měření, opět se měří dvouhrotou
sondou ve stejném zapojení.
V tomto uspořádání se proměří velikosti rychlostí (tj. tečné složky rychlosti) na povrchu
válce, resp. velmi blízko od povrchu, pro požadované úhly od osy x po celé jedné čtvrtině
obvodu válce.
(f) Měření izočár stejné velikosti rychlosti
Vodivý papír je ve stejném zapojení jako u předchozího měření, opět se měří dvouhrotou
sondou ve stejném zapojení.
Oblasti na modelu se stejným gradientem potenciálu jsou oblastmi se stejnou velikostí
rychlosti. V každém místě je nutné otáčením sondy najít takovou polohu, kde je měřený rozdíl
napětí maximální, tj. změří se celková velikost rychlosti.
V tomto uspořádání se proměří dvě požadované izočáry konstantní velikosti rychlosti.
Dále je nutné změřit velikost rychlosti nerozrušeného (tj. neovlivněného) proudění ve velké
vzdálenosti od válce. Změřte proto velikost rychlosti proudění na min. 3 místech vzdálených
od povrchu válce a spočítejte jejich střední hodnotu.
Pro přepočet rozdílů napětí měřeného dvouhrotou sondou na rychlost proudění se používá
výše uvedený vztah (10), pracuje se přitom s bezrozměrovou rychlostí w w∞-1.
Pozn: Otáčecí knoflík měřicí krabičky umístěný nad potenciometrem nemá žádnou funkci.
- 11 -
1.3.4 Výsledky a zhodnocení
Výsledky z elektrického analogu dvoudimenzionálního bezcirkulačního obtékání válce ideální
nestlačitelnou tekutinou zahrnují:
•
•
•
•
Na vodivém papíře zakreslené na jednom kvadrantu proudnice a ekvipotenciály, dále
izočáry konstantní velikosti rychlosti.
Do prvního grafu vynést průběh naměřených velikostí rychlosti na ose x spolu
s hodnotami z odpovídajícího analytického vztahu.
V druhém grafu zobrazit průběhy naměřených velikostí rychlosti na ose y spolu
s hodnotami z příslušného analytického vztahu.
Třetí graf by měl obsahovat naměřené velikosti rychlosti po obvodu válce v oblasti
jednoho kvadrantu spolu s příslušnými hodnotami z analytického vztahu.
Provést diskuzi naměřených hodnot a průběhů, zejména jejich porovnání s analytickými
vztahy.
1.4 ANALÝZA TEPLOTNÍHO POLE V ROVINNÉ STĚNĚ
Jsou využity elektrické modely vyjadřující fyzikální pole popisovaná rovnicí parabolickou
(Fourierovou).
1.4.1
Elektro-tepelná analogie
Je založena na matematické podobnosti rovnic popisujících rozložení teplot na díle
a elektrického potenciálu na modelu. Kromě toho platí též podmínky fyzikální podobnosti
mezi modelem a dílem.
Pro nestacionární teplotní pole v tělese platí Fourierova rovnice v rozměrovém a bezrozměrovém tvaru
∇ 2T =
1 ∂T
,
a ∂τ
(11)
∇2Θ =
∂Θ
,
∂Fo
(12)
kde značí T – teplota (K), Θ - bezrozměrová teplota, τ - čas (s), Fo – bezrozměrový čas
(Fourierovo číslo), a - tepelná difuzivita (m2.s-1), přičemž a =
λ
, λ - tepelná vodivost
cρ M
(W.m-1.K-1), c - tepelná kapacita (J.kg-1.K-1), ρM - hustota (kg.m-3). Bezrozměrové veličiny
jsou definovány vztahy
- 12 -
T − Tout
,
Tin − Tout
Θ=
Fo =
aτ
.
L2
(13)
(14)
Pro okrajovou podmínku 3. druhu (přestup tepla na povrchu tělesa) platí rozměrová
a bezrozměrová rovnice
−λ
−
∂T
= α (TP - T),
∂n
(15)
∂Θ
= Bi ( Θ P − Θ ),
∂N
(16)
kde značí α - součinitel přestupu tepla (W.m-2.K-1), Bi – Biotovo číslo, TP – povrchová
teplota (K), Θ P - bezrozměrová povrchová teplota, n – normálový vektor, N – bezrozměrový
normálový vektor. Bezrozměrové veličiny jsou definovány vztahy
Bi =
ΘP =
α .L
,
λ
(17)
TP − Tout
.
Tin − Tout
(18)
Pro nestacionární elektrické pole platí analogicky k rovnicím (11) a (12) rozměrové
a bezrozměrové vyjádření
∇ 2V = RC
∇ 2Φ =
∂V
,
∂τ E
∂Φ
,
∂Fo E
(19)
(20)
kde značí V – elektrický potenciál (V), Φ - bezrozměrový elektrický potenciál, τ E - čas (s),
FoE – bezrozměrový čas (Fourierovo číslo elektrické), R – odpor (Ω), C – kapacita (F).
Bezrozměrové veličiny jsou definovány vztahy
Φ=
V − Vout
,
Vin − Vout
- 13 -
(21)
τE
FoE =
RC
.
(22)
Pro okrajovou podmínku 3. druhu platí analogicky k rovnicím (15) a (16) rozměrová
a bezrozměrová rovnice
−
1
1 ∂V
=
(VP - V),
R ∂n R N
−
∂Φ
= BiE ( Φ P − Φ ),
∂N
(23)
(24)
kde značí RN – náhradní odpor modelující okrajovou podmínku 3. druhu (Ω), BiE – Biotovo
číslo elektrické, VP – elektrický potenciál na povrchu (V), ΦP - bezrozměrový elektrický
potenciál na povrchu, n – normálový vektor, N – bezrozměrový normálový vektor.
Bezrozměrové veličiny jsou definovány vztahy
BiE =
ΦP =
R
,
RN
VP − Vout
.
Vin − Vout
(25)
(26)
Jako důsledek matematické podobnosti musí platit rovnost kritérií podobnosti pro teplotní
a elektrické pole. Omezíme-li se na analogii stacionárního teplotního pole a stacionárního
elektrického pole (elektrostatické pole), je požadována rovnost kritérií podobnosti
Θ = Φ,
(27)
Bi = BiE,
(28)
kde Θ, Bi jsou bezrozměrová teplota a Biotovo číslo tepelného procesu, Φ, BiE jsou
bezrozměrový elektrický potenciál a Biotovo číslo elektrické vyjadřující okrajovou podmínku
3. druhu pro elektrický systém.
1.4.2 Úloha
Úkolem je modelovat pomocí elektrického analogu stacionární teplotní pole ve
dvourozměrném řezu nekonečnou rovinnou stěnou. Tloušťka stěny je L, tepelná vodivost
materiálu stěny je λ. Na levé vnitřní straně proudí tekutina o teplotě Tin, přičemž přestup tepla
z vnitřního prostředí do stěny je charakterizován součinitelem přestupu tepla αin. Pravé vnější
prostředí má teplotu Tout a přestup tepla mezi stěnou a vnějším prostředím je dán součinitelem
- 14 -
přestupu tepla αout. V libovolném místě stěny ve vzdálenosti x od jejího levého (vnitřního)
povrchu je aktuální teplota T.
x
L
Tin , αin
λ
Tout , αout
T1, T2, T3
Obr. 6 Přenos tepla rovinnou stěnou
z vnitřního do vnějšího prostředí.
Podle typu úlohy stanovte:
1) přímá úloha – teploty uvnitř stěny ve třech místech – vnitřní povrch (T1), vnější povrch
(T3) a střed stěny (T2),
2) nepřímá úloha okrajová – hodnoty součinitele přestupu tepla do vnitřního (αin)
a vnějšího prostředí (αout),
3) nepřímá úloha okrajová a parametrická – hodnotu tepelné vodivosti materiálu stěny (λ)
a součinitel přestupu tepla do vnitřního prostředí (αin).
Pro všechny typy úloh stanovte:
4) hodnoty teploty uvnitř stěny – hodnoty teploty uvnitř stěny na 15 místech rovnoměrně
rozmístěných mezi vnitřním a vnějším povrchem stěny.
1.4.3 Postup měření
Postup při modelování:
a) převod tepelné úlohy na elektrickou,
b) sestavení a zapojení elektrického analogu tepelné úlohy,
- 15 -
c) měření požadovaných veličin na elektrickém analogu a jejich zpětné převedení na
tepelné veličiny.
(a) Převod tepelné úlohy na elektrickou
Tepelnou úlohu (viz obr. 6) lze převést na elektrickou úlohu pomocí elektro-tepelné analogie.
Elektrický analog pro úlohu přenosu tepla rovinnou deskou se realizuje jako elektrický obvod,
ve kterém je prostupový materiál reprezentován odporovým materiálem (vodivý papír), jeho
povrch pak představují elektrody na koncích odporového materiálu. Pro modelování přestupu
tepla mezi prostředími a stěnou jsou mezi elektrody a napěťový zdroj umístěny nastavitelné
odpory reprezentující součinitel přestupu tepla.
Tepelná úloha je popsána následujícími fyzikálními veličinami: λ, αin, αout, Tin, Tout, L, T1, T2,
T3, x, T. Tyto rozměrové veličiny lze převést na bezrozměrová kritéria podobnosti
Biin =
α in L
,
λ
Biout =
α out L
,
λ
(29)
Θin =
Tin − Tout
= 1,
Tin − Tout
Θout =
Tout − Tout
= 0,
Tin − Tout
(30)
Θ1 =
T1 − Tout
,
Tin − Tout
Θ2 =
X=
x
,
L
Θ=
T2 − Tout
,
Tin − Tout
Θ3 =
T3 − Tout
,
Tin − Tout
T − Tout
.
Tin − Tout
(31)
(32)
Elektrická úloha je popsána fyzikálními veličinami: R – odpor polovodivého papíru, RN, in –
náhradní odpor pro OP 3. druhu na vnitřní straně stěny, RN, out – náhradní odpor pro OP
3. druhu na vnější straně stěny, Vin – elektrický potenciál charakterizující vnitřní prostředí,
Vout – elektrický potenciál charakterizující vnější prostředí, LE – vzdálenost mezi elektrodami
na polovodivém papíru, V1 – elektrický potenciál na vnitřním povrchu stěny, V2 – el. potenciál
uprostřed stěny, V3 – el. potenciál na vnějším povrchu stěny, xE - vzdálenost od levé
elektrody, V – aktuální hodnota elektrického potenciálu v místě xE. Tyto rozměrové veličiny
lze převést na bezrozměrová kritéria podobnosti
Biin,E =
Φin =
Φ1 =
R
,
RN ,in
Vin − Vout
= 1,
Vin − Vout
V1 − Vout
,
Vin − Vout
Biout,E =
Φout =
Φ2 =
R
RN , out
,
(33)
Vout − Vout
= 0,
Vin − Vout
V2 − Vout
,
Vin − Vout
- 16 -
(34)
Φ3 =
V3 − Vout
,
Vin − Vout
(35)
XE =
xE
,
LE
Φ=
V − Vout
.
Vin − Vout
(36)
V případě elektro-tepelné analogie mezi stacionárním teplotním polem a elektrostatickým
polem platí rovnost odpovídajících si kritérií podobnosti. Z nich se odvodí vztahy mezi
rozměrovými tepelnými a rozměrovými elektrickými veličinami.
Rozměrové tepelné veličiny jsou připravené pro tři úlohy, které se liší určovanými veličinami.
V první úloze, přímé, se určují teploty T1, T2 a T3. Ve druhé úloze, nepřímé okrajové, se určují
přestupy tepla αin, αout. Ve třetí úloze, nepřímé okrajové a parametrické, se určuje tepelná
vodivost stěny λ a součinitel přestupu tepla do vnitřního prostředí αin (viz tab. 1).
Pomocí nalezených vztahů mezi rozměrovými tepelnými veličinami a rozměrovými
elektrickými veličinami se spočítají elektrické veličiny odpovídající zadaným tepelným
veličinám.
Nastavitelné odpory mají maximální odpor 10 kΩ. Tzn. při nastavení 0 %o (promile) na
displeji odporu se získá odpor o velikosti 0 kΩ, při nastavení 1000 %o se získá odpor 10 kΩ.
Tab. 1 Zadané tepelné a elektrické veličiny pro tři typy tepelné úlohy a jejich elektrické
analogy
tepelná úloha
λ (W.m-1.K-1)
αin (W.m-2.K-1)
αout (W.m-2.K-1)
Tin (°C)
Tout (°C)
L (m)
T1 (°C)
T2 (°C)
T3 (°C)
(1)
0,2
200
15
50
15
0,003
(2)
(3)
0,2
70
20
0,003
40
35
30
100
10
50
0,003
15
29
43
elektrická
úloha
R
(kΩ)
RN,in (kΩ)
RN,out (kΩ)
Vin (V)
Vout (V)
LE (m)
V1 (V)
V2 (V)
V3 (V)
(1)
(2)
(3)
1,74
1,74
1,74
10
0
0,040
10
0
0,040
10
0
0,040
(b) Sestavení a zapojení elektrického analogu tepelné úlohy
Vystřihněte vodivý papír podle šablony (volná deska), tj. získáte čtverec o straně 41,5 x 41,5
cm. Odpor vodivého papíru je 1,74 kΩ, tj. používá se stejný vodivý papír jako v případě
modelování obtékání válce. Připravený vodivý papír vložte do držáku elektrod na modelu a
upevněte elektrody na stranách jemným utažením šroubků, aby byl dobrý elektrický kontakt
mezi elektrodami a vodivým papírem.
Elektrický analog tepelné úlohy přenosu tepla rovinnou stěnou je na obr. 7. Elektrické
zapojení budete provádět podle obr. 8.
- 17 -
Propojte konektory modelu, tj. elektrody desky, s nastavitelnými odpory RN,in a RN,out
(viz obr. 8), tzn. spojte svorku (1) se svorkou (22), a svorku (2) se svorkou (25). Potenciometr
(28) pak představuje vnitřní nastavitelný odpor RN,in a potenciometr (30) pak vnější
nastavitelný odpor RN,out... Krabičku s nastavitelnými odpory propojte pomocí svorky (4) (viz
obr. 8) se zdrojem napájení. Pro měření tří úloh najednou lze měřicí krabičky a krabičky
s nastavitelnými odpory mezi sebou vzájemně propojit jak je naznačeno na obr. 4. Poté je
možno zapnout zdroj napájení. Na krabičce s nastavitelnými odpory je vyvedeno nulové
napětí modelu, svorky (23) a (26), a U+ modelu, svorky (21) a (24). Tyto svorky lze využít
např. pro připojení jednoho kabelu z voltmetru, jako referenční hodnoty (obvykle se používá
nulové napětí modelu, tj. svorky (23) a (26).
Pozn: Krabička s nastavitelnými odpory obsahuje též pojistky (27) a (29).
xE
LE
RN,in
RN,out
R
Vin
Vout
V1
V2
V3
Obr. 7 Elektrický analog tepelné úlohy.
1
krabička s nastavitelnými odpory
2
U+
modelu
21
27
29
25
22
vodivý papír
24
U+
modelu
4
0
elektrody
23
550
28
550
30
Obr. 8 Způsob propojení mezi vodivým papírem s elektrodami a krabičkou
s nastavitelnými odpory.
- 18 -
26
0
(c) Měření veličin na elektrickém analogu a zpětné převedení na tepelné veličiny
Na elektrické analogu se nastaví elektrické veličiny zadané a vypočítané ze zadaných
tepelných veličin.
Pro měření elektrického potenciálu použijte multimetr (např. Omega TrueRMS SupermeterTM
HHM290), přičemž vodič z nulové svorky (COM) se připojí do svorky (23) nebo (26), kde
nulové napětí. Vodič z plusové svorky multimetru bude sloužit jako sonda pro měření napětí
na libovolném místě elektrického analogu.
Podle typu tepelné úlohy (přímé, nepřímé okrajové, nepřímé okrajové a parametrické)
stanovte na fyzikálním analogu potřebné elektrické veličiny. Poté pomocí převodních vztahů
získaných v bodě (a) je přepočtěte zpět na tepelné veličiny.
Pro všechny typy úloh změřte hodnotu elektrického potenciálu uvnitř stěny na 15 místech
rovnoměrně rozmístěných mezi vnitřním a vnějším povrchem stěny. Poté pomocí převodních
vztahů získaných v bodě (a) je přepočtěte zpět na tepelné veličiny.
1.4.4 Výsledky a zhodnocení
Výsledky z elektrického analogu dvoudimenzionálního stacionárního teplotního pole v řezu
nekonečnou rovinnou deskou oddělující vnitřní a vnější prostředí zahrnují:
•
•
•
Zadané rozměrové tepelné veličiny, zadané rozměrové elektrické veličiny a dopočítané
hodnoty rozměrových elektrických veličin ze zadaných tepelných veličin.
Naměřené hledané hodnoty elektrických veličin, včetně jejich přepočtu zpět do tepelných
veličin.
Graf naměřeného rozložení elektrického potenciálu v rovinné stěně, včetně analogického
grafu v tepelných veličinách.
Proveďte diskuzi naměřených hodnot a průběhů tepelných veličin.
1.5 POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ PÍSEMNÉHO REFERÁTU
A KONTROLNÍ OTÁZKY
1.5.1 Obsah referátu
V části zvolené metody zpracování stručně popsat:
- princip fyzikálních modelů,
- princip fyzikálních analogů,
- princip elektro-hydronamické analogie,
- princip elektro-tepelné analogie,
- postup při řešení úlohy pomocí fyzikálního analogu.
- 19 -
V části výsledky a diskuse uvést:
- výsledky měření proudnic, ekvipotenciál a izočár konstantní velikosti rychlosti při obtékání
válce,
- výsledky měření rychlostí na osách x, y a po obvodu válce, tyto hodnoty v grafu porovnat
s analytickými vztahy,
- rychlost proudění ve velké vzdálenosti od obtékaného válce,
- výsledky tepelné úlohy.
1.5.2 Kontrolní otázky
•
Fyzikální modely. Princip a použití.
•
Fyzikální analogy. Princip a použití.
•
Elektrické analogy jako druh fyzikálních analogů.
•
Princip elektro-hydrodynamické analogie.
•
Princip elektro-tepelné analogie.
•
Obecný postup při návrhu analogu pro zkoumaný proces.
- 20 -