Zadání úlohy KOAX1 Koaxiální kabel se sestává ze dvou vodičů se

Zadání úlohy KOAX1
Koaxiální kabel se sestává ze dvou vodičů se společnou osou. Vnitřní vodič má poloměr Rin . Vnější vodič
je velmi tenký, tvoří plášť válce o poloměru Rout . Prostor mezi vodiči je vyplněn dielektrikem o relativní
permitivitě εr . Dále je známo napětí U12 (rozdíl potenciálů) mezi dvěma body, z nichž jeden leží na
poloměru R1 , druhý na poloměru R2 a potenciál ϕ1 bodu na poloměru R1 .
Stanovte :
liniovou hustotu τ náboje na vnitřním vodiči,
potenciál ϕ3 ekvipotenciály o poloměru R3 a integrační konstantu K,
kapacitu mezi vodiči C vztaženou na metr délky,
indukčnost L1 úseku kabelu o délce jeden metr pro případ, kdy lze zanedbat vnitřní indukčnost
vodičů.
5. Určete unitřní indukčnost L2 metrového úseku vnitřního vodiče pro případ, kdy nedochází k povrchovému jevu.
6. Určete maximální honotu výkonu Pmax , který lze kabelem přenášet do zátěže o impedanci 10Ω za
předpokladu, že elektrická pevnost dielektrika mezi vodiči je rovna 4M V /m.
7. Na kabel je přiloženo napětí o poloviční velikosti napětí průrazného. Dielektrikum se sestává ze dvou
částí, rozdělených řezem kolmým k ose kabelu. Stanovte sílu F, kterou se budou obě části dielektrika
mezi vodiči přitahovat (v mezeře mezi částmi dielektrika uvažujte vakuum).
1.
2.
3.
4.
Relativní chyba vašich výsledků nesmí přesáhnout 2%. Vnitřní vodič je nabit kladným nábojem. Hodnoty
vstupních dat jsou následující :
Rin = 1, 555.10−3 m
Rout = 8, 702.10−3 m
R1 = 3, 465.10−3 m
R2 = 4, 708.10−3 m
R3 = 3, 996.10−3 m
εr = 3, 662
U12 = 2, 665 V
ϕ1 = −7, 995 V
Vypracování :
ad 1. Z Gaussovy věty
H
S
~ dS
~=
E
Q0
ε
vyplývá :
E · 2πrl =
Z
ϕ=−
τ0 l
ε
z toho
~ d~l = − τ0
E
2πε
Z
U12 = ϕ(R1 ) − ϕ(R2 ) =
τ0 =
ad 2.
E=
τ0
2πεr
dr
τ0
=−
ln r + K
r
2πε
τ0
R2
ln
2πε R1
z toho
2πεU12
= 1, 771.10−9 C/m
2
ln R
R1
τ0
ln R1 + K
z toho
2πε
τ0
K = ϕ(R1 ) +
ln R1 = −57, 24 V
2πε
ϕ(R1 ) = −
ϕ(R3 ) = −
τ0
ln R3 + K = −9.23 V
2πε
1
ad 3.
C=
Q
=
U
τ0
2πε
τ0 l
ln RRout
in
z toho
C
2πε
=
= 1, 183.10−12 F/m
l
ln RRout
in
ad 4. Indukčnost kabelu na jednotku délky vypočteme ze vztahu statické definice indukčnosti. Magnetickou indukci B určíme jako velikost indukce vytvořené vnitřním vodičem ve vzdálenosti r. Po
užití Amperova pravidla vyjde vztah :
µ0 I
B=
2πr
Dosadíme do vzorce pro magnetický tok a dostaneme :
ZZ
~ dS
~=
B
Φ=
Z
Rout
Rin
S
µ0 I
µ0 Il Rout
dr l =
ln
2πr
2π
Rin
Tento vzrorec dosadíme do vzorce :
Φ
I
L1 =
z čehož po úpravě vyjde :
µ0 Rout
L1
=
ln
= 3, 44.10−7 H
l
2π
Rin
ad 5. Jak je známo vnitřní indukčnost nelze počítat podle statické definice. Její velikost stanovíme na
základě vztahu energie magnetického pole. Velikost magnetické intenzity a indukce uvnitř vodiče
je :
µ0 Ir
Ir
a
B=
H=
2
2
2πRin
2πRin
Pro objemovou hustotu energie magnetického obvodu platí :
2
1
1
Ir
BH = µ0
2
2
2
2πRin
wm =
Potom :
ZZZ
W =
wm dV =
V
1
2
Z
Rin
µ0
0
Ir
2
2πRin
2
2πrl dr =
µ0 I 2 l
1
= L2 I 2
16π
2
Z toho je :
µ0
4π.10−7
L2
=
=
= 5.10−8 H/m
l
8π
8π
ad 6. Pro napětí mezi vodiči platí :
U=
τ0
Rout
ln
2πε
Rin
Maximální intenzita je na okraji vnitřního vodiče :
Emax =
Emax Rin =
τ0
2πεRin
τ0
2πε
z toho
což po dosazení do U dá :
Umax = Emax Rin ln
Rout
Rin
Pro maximální výkon potom platí vztah :
2
Pmax =
(Umax )
=
R
Emax Rin ln RRout
in
R
2
2
= 1, 147.107 W
ad 7. Tím, že kabel rozřežeme, v něm vzniknou dvě části. Jedna bude mít délku l − x a bude vyplněna
původním dielektrikem. Druhá bude mít délku x a bude vyplněna vakuem. Celkovou kapacitu
takto rozděleného kabelu určíme jako paralelní kombinaci kapacit tvořených jednotlivými částmi.
C = C1 + C2 =
2πε0 x
2πε0 2πε0 εr (l − x)
+ Rout =
εr l + x(1 − εr )
Rout
Rout
ln Rin
ln Rin
ln Rin
Z principu virtuální práce vyplývá :
F =−
dW
1 dC(x)
= − U2
dx
2
dx
Umax
dC(x)
a derivaci
dá :
2
dx
Rout
1
2
2
Rin
ln
= 1, 23.10−3 N
F = πε0 (εr − 1)Emax
4
Rin
Což po dosazení za U =
3