Kinematika a dynamika tělesa

Kinematika a dynamika tělesa
V kinematice tělesa rozebereme tři druhy pohybu: posuvný pohyb tělesa, rotační pohyb tělesa,
obecný rovinný pohyb
Posuvný pohyb tělesa
Při posuvném pohybu spojnice libovolných
bodů tělesa zůstává rovnoběžná ( KL K ′L ′) .
Trajektorie všech bodů jsou vzájemně
posunuté křivky. Rychlost a zrychlení všech
bodů jsou stejné.
Posuvný pohyb tělesa vyšetřujeme jako pohyb
bodu (např. střediska).
Rotační pohyb tělesa
Při rotačním pohybu tělesa se všechny body
pohybují po kružnicích se středem na ose
rotace. Úhlová rychlost ω všech bodů je
stejná. Úhlové zrychlení α všech bodů je
stejné.
Rotační pohyb tělesa vyšetřujeme jako pohyb
bodu po kružnici
ω=
dϕ
dω d 2ϕ d (ω 2 )
; α=
= 2 =
dt
dt
dt
2dϕ
v A = r ⋅ ω , a At = r α , a An = r ω 2
Obecný rovinný pohyb
Popišme polohu jednotlivých bodů tělesa pomocí
odpovídajících radiusvektorů. Lze psát
r r r
rL = rA + rLA
Rychlosti a zrychlení
radiusvektoru podle času
určíme
pak
r r
r r r r
r
vL = rL = rA + rLA = v A + ω × rLA
derivací
r r
r&A = v A vyjadřuje rychlost posuvného pohybu úsečky AL a tedy celého tělesa
r
r&LA vyjadřuje rychlost rotačního pohybu bodu L při otáčení kolem bodu A
r r
r
r r
r
r r
d r r
aL = v&L = v&A + (ω × rLA ) = a A + α × rLA − rLA ⋅ ω 2 ,
dt
r r
r
r r
a A je zrychlení posuvného pohybu úsečky AL a tedy celého tělesa, (α × rLA ) a (− rLA ⋅ ω 2 ) je
tečné resp. normálové zrychlení bodu L při rotaci kolem bodu A. Na základě výše uvedeného
odvození lze tedy obecný rovinný pohyb rozložit na unášivý pohyb posuvný a relativní pohyb
rotační. Tomuto rozkladu se říká základní rozklad
obecný rovinný pohyb
= unášivý pohyb posuvný + relativní pohyb rotační
Při základním rozkladu bodu platí rychlost libovolného bodu je součtem rychlostí unášivého a
relativního pohybu
r r
r
v = vun + vrel
Zrychlení libovolného bodu je součtem zrychlení unášivého a relativního pohybu
r r
r
a = aun + arel
V dynamice tělesa rozebereme opět tři případy:
těleso konající posuvný pohyb, těleso konající rotační pohyb, těleso konající obecný rovinný
pohyb
Posuvný pohyb tělesa
r
r
Hybnost elementu dm bude dH = dm ⋅ v , kinetická
1
energie dE = dm v 2 . Poněvadž rychlost i zrychlení
2
všech
bodů
jsou
stejné,
bude
hybnost
r
r
r
r
r
H = ∫ dH = ∫ v dm = mv = mvS , S je středisko hmotnosti
m
tělesa, kinetická energie pak
1
1
1
E = ∫ dE = ∫ dm v 2 = m v 2 = m vS2 .
2
2
2
n
Pohybová rovnice při posuvném pohybu tělesa má tvar
r
r
maS = ∑ Fi .
Posuvný pohyb tělesa vyšetřujeme jako pohyb hmotného bodu, který je totožný se střediskem
hmotnosti a do něhož je soustředěná celá hmotnost.
Rotační pohyb tělesa
Uvažujeme dva případy
a) rotace kolem hlavní centrální osy
E=
1
Iξ ω 2
2
Pohybová rovnice
Iξ α = ∑ M i
b) rotace kolem hlavní osy
Pohybové rovnice
mat = ∑ Fit
man = ∑ Fin
Iξ α = ∑ M iξ
Obecný rovinný pohyb
Pro řešení obecného rovinného pohybu
tělesa využijeme základní rozklad na
unášivý posuvný pohyb střediska a
relativní rotační pohyb kolem střediska
(rotace kolem hlavní centrální osy).
Kinetická energie je součtem energie obou pohybů
E=
1
1
m vS2 + I S ω 2 .
2
2
Pohybové rovnice mají tvar
maS x = ∑ Fi x , maS y = ∑ Fi y , I S α = ∑ M i S .