Numerické modelování proudení ve vodních turbínách

Transkript

www.KMA.zcu.cz
Numerické modelování proudění ve vodních
turbínách
Problémy a otázky
Bohumír Bastl, Marek Brandner, Jiří Egermaier, Hana Horníková,
Kristýna Michálková, Jan Šourek, Eva Turnerová
Katedra matematiky, Evropské centrum excelence NTIS – Nové technologie pro informační
společnost, Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita v Plzni
červen 2016
Numerické modelování proudění ve vodních turbínách
červen 2016
1 / 78
Obsah
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
Geometrické modelování
3
Numerické modelování proudění
Navierovy-Stokesovy rovnice
Galerkinova metoda
Časová diskretizace
Řešení nelineární soustavy (stacionární úlohy)
Nekonformní sítě – DGFEM
4
Isogeometrická analýza
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
2 / 78
Úvod
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
3 / 78
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Úvod
Problematika řešena v rámci dvou projektů:
I
TA03011157 Inovativní postupy pro zvyšování užitných vlastností
vodních turbín s využitím tvarové optimalizace založené na
moderních metodách geometrického modelování
I
H2020 678727 MOTOR - Multi-ObjecTive design Optimization of
fluid eneRgy machines
červen 2016
4 / 78
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Úvod
Řešený problém má tyto části:
I
Geometrické modelování vodní turbíny.
I
Numerické modelování dynamiky vazké nestlačitelné tekutiny s
využitím isogeometrické analýzy (s modelováním turbulence).
I
Tvarová optimalizace některých částí turbíny. Cílem je
optimalizace – předchozí úlohy jsou její součástí.
červen 2016
5 / 78
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Kaplanova turbína
červen 2016
6 / 78
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Kaplanova turbína
červen 2016
7 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
8 / 78
www.KMA.zcu.cz
Lopatkový kanál
I
I
I
I
reprezentuje vnitřní a vnější plášt’ turbíny – vymezuje tak prostor,
ve kterém proudí voda uvnitř turbíny
vnitřní plášt’ ukrývá zařízení související s převodem odebrané
energie na elektrickou energii, vnější plášt’ je samotným pláštěm
celého stroje
jak vnitřní, tak vnější plášt’ je rotační plochou – lze jej
reprezentovat rovinnou křivkou v prostoru složenou z úseček,
částí kružnic a parabol a osou rotace
při tvorbě modelu je tato křivka reprezentována jako NURBS
křivka, výsledná rotační plocha je NURBS plochou
červen 2016
9 / 78
www.KMA.zcu.cz
Rozváděcí lopatka
I
jedná se o zobecněnou kuželovou plochu
I
rovinný profil lopatky v rovinné mříži se nejprve ztransformuje do
kruhové mříže
I
následně je kruhová mříž opět „stočena“ do kuželové plochy a
profil v kruhové mříži je tak nanesen na kužel
I
dále vytvoříme kuželovou plochu určenou profilem naneseným na
kuželové ploše a průsečíkem osy rotace rozváděcí lopatky (osa
výseče oblasti pro rozváděcí lopatku) a osou turbíny
I
posledním krokem je oříznutí získané kuželové plochy kulovými
plochami
červen 2016
10 / 78
www.KMA.zcu.cz
Rozváděcí lopatka
červen 2016
11 / 78
www.KMA.zcu.cz
Lopatka oběžného kola
I
typicky určena 3 − 7 rovinnými profily a odtokovou hranu (nebo
osou lopatky)
I
každý rovinný profil je v rovině příslušně natočen a nanesen na
válcovou plochu určitého poloměru (osou je vždy osa turbíny)
I
pokud je zadána osa lopatky, je profil na válcové ploše posunut
tak, aby osa lopatky procházela příslušným bodem daného profilu
I
následně jsou všechny profily propojeny do výsledné plochy
lopatky s cílem dosáhnout co nejvyšší spojitosti
I
na závěr je získaná plocha opět oříznuta z obou stran kulovými
plochami, určenými vnitřním a vnějším pláštěm turbíny
červen 2016
12 / 78
www.KMA.zcu.cz
Lopatka oběžného kola
červen 2016
13 / 78
www.KMA.zcu.cz
Savka
I
I
poslední část turbíny za oběžným kolem, hlavním smyslem je
odebrání co nejvíce ze zbývající kinetické energie vody, také
přispívá k tomu, že turbínu není nutné umístit tak hluboko do země
složena ze 3 částí – za oběžným kolem následuje kuželová část,
která přechází v „kvádr se zaoblenými rohy“
červen 2016
14 / 78
www.KMA.zcu.cz
Objem vnitřní části turbíny pro simulaci proudění
I
B-spline model turbíny je následně využit pro generování B-spline
objemové parametrizace vnitřní části turbíny
I
tato objemová parametrizace dále slouží jako výpočetní sít’ pro
výpočty prováděné metodou isogeometrické analýzy
typicky používáme dva typy objemových parametrizací:
I
I
I
objemová parametrizace vnitřní části turbíny pouze s rozváděcími
lopatkami, ale bez oběžných lopatek – slouží k získání rychlostního pole za
rozváděcími lopatkami, využívá se periodicity oblasti
objemová parametrizace oběžného kola, resp. prostoru okolo jedné oběžné
lopatky – rozdělen opět na několik částí, využívá se periodicity oblasti
červen 2016
15 / 78
www.KMA.zcu.cz
Objem vnitřní části turbíny pro simulaci proudění
červen 2016
16 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
17 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
18 / 78
www.KMA.zcu.cz
Úloha vazkého nestlačitelného proudění
I
Navierovy-Stokesovy rovnice pro vazké nestlačitelné proudění
∂u
+ ∇p + u · ∇u − ν∆u = 0
∂t
∇·u = 0
I
in Ω × (0, T )
in Ω
okrajové a počáteční podmínky
u(x, t) = w(x, t)
u(x, 0) = u0 (x)
on ∂Ω × [0, T ] (okrajové podmínky)
in Ω
(počáteční podmínky)
kde u = u(x, t) rychlost proudění, p = p(x, t) tlak, ν kinematická
viskozita.
I
Reynoldsovo číslo Re =
Ud
ν
červen 2016
19 / 78
www.KMA.zcu.cz
Úloha vazkého nestlačitelného proudění
I
Vazba mezi konvektivním členem a vazkým členem (Reynoldsovo
číslo).
I
Turbulentní proudění, prudké změny dat (DNS – výpočetní
náročnost, modely turbulence, stabilizace).
I
Tlak vystupuje pouze v členu s první derivací (formálně
konvektivní člen).
I
V rovnici kontinuity nevystupuje člen s časovou derivací.
červen 2016
20 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
21 / 78
www.KMA.zcu.cz
Galerkinova metoda
I
Prostorová diskretizace realizována pomocí isogeometrického
přístupu (jiné bázové funkce než ve FEM)
I
Definujeme konečně-dimenzionální podprostory V h ⊂ V ,
V0h ⊂ V0 , W h ⊂ L2 (Ω)
I
Hledáme uh ∈ V h a ph ∈ W h takové, že pro všechny vh ∈ V0h a
qh ∈ W h platí
R
R
R ∂uh
∂t · vh + ν ∇uh · ∇vh + (uh · ∇uh )vh −
Ω R
Ω
Ω
(1)
− ph ∇ · vh = 0,
Ω
Z
qh ∇ · uh = 0,
(2)
Ω
červen 2016
22 / 78
www.KMA.zcu.cz
Galerkinova metoda
I
Přibližné řešení uh a ph je lineární kombinací bázových funkcí ϕui ,
ϕpi , tyto lineární kombinace dosadíme do (1) a (2)
u
n
X
uh =
(u1i , u2i )> ϕui ,
i=1
I
p
ph =
n
X
pi ϕpi ,
i=1
Bázové funkce – B-splajny, NURBS
červen 2016
23 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
24 / 78
www.KMA.zcu.cz
I
Aplikace časové diskretizace na celou soustavu (řešení nelineární
soustavy PDR se složitou vnitřní strukturou v každém časovém
kroce).
I
Segregační metody (metoda korekce tlaku, metoda korekce
rychlosti, metody štěpení – spojitý a algebraický přístup). V
každém časovém kroku dekompozice na jednodušší úlohy.
červen 2016
25 / 78
www.KMA.zcu.cz
Jednoduchá verze metody projekce, un ≈ u(x, tn ) :
n+1 −un
I u
+ ∇pn+1 + un · ∇un
∆t
I un+1 = −∆t∇pn+1 + gn
I
∇ · un+1 = 0
I
∆t∆pn+1 = ∇ · gn
− ν∆un = 0
Problém s okrajovou podmínkou pro Poissonovu rovnici.
červen 2016
26 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
27 / 78
www.KMA.zcu.cz
I
Metoda umělé stlačitelnosti (hledáme ustálený stav evolučního
problému, využití přístupů pro stlačitelné vazké proudění).
I
Picardova linearizace, Newtonova metoda (s vhodným řešičem
získané soustavy lineárních algebraických rovnic s nesymetrickou
maticí)
I
metody typu SIMPLE (Picardova linearizace a štěpení na
Poissonovu rovnici pro tlak a advekčně-difuzní rovnice pro složky
rychlostí).
I
Segregační metody (hledáme ustálený stav, např. metoda
projekce)
červen 2016
28 / 78
www.KMA.zcu.cz
Stabilita I
I
I
I
I
I
I
Standardní FEM, isogeometrická analýza, centrální diference
v prostorové proměnné v rámci FDM, centrální numerické toky
v rámci FVM – lineárně nestabilní metody (pro nulovou viskozitu).
Upwind (FDM, FVM, FEM), Taylor-Galerkin FEM, SUPG, LW, BW
– L2 stabilní metody.
Pokud převládá konvekce, (ne vždy) prudce se měnící řešení.
Některé z výše uvedených metod použitelné i pro některé úlohy
s prudce se měnícími daty. Nelze však použít obecně (metody
nezachovávají monotonii řešení).
V některých speciálních případech lze dosáhnout L1 a L∞
stability (LW3, QUICK, schémata lichého řádu).
Metody, které zachovávají monotonii, jsou TVD, TVB, monotonní,
jsou nelineární (stabilizace i „vůči prudkým změnám dat, nikoliv
pouze stabilizační metody pro konvekční rovnici s nulovou
viskozitou“).
Stabilizace začleněním modelů turbulence.
červen 2016
29 / 78
www.KMA.zcu.cz
Stabilita II – LBB
I
Standardní implementace FEM, FDM a FVM (stejné bázové
funkce pro složky rychlosti a tlaku) vede v případě
Navierových-Stokesových rovnic k nestabilnímu algoritmu.
Nezávisle na Reynoldsovu číslu.
I
Problém nastává i u Stokesovy úlohy (problém nesouvisí
s konvekcí, tlakový člen má formálně konvektivní tvar).
I
Splnění LBB podmínky (volba různého stupně bázových funkcí).
I
Použití stabilizačních přístupů (podobně jako u advekce).
I
Segregační metody lze dát do souvislosti se stabilizací, umělou
vazkostí a stlačitelností (přesto je také někdy nutná také
stabilizace nebo splnění LBB; obvykle se u metod projekce
nezmiňuje).
červen 2016
30 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
31 / 78
www.KMA.zcu.cz
I
Jednotlivé „patche“ na sebe nelze navázat konformně (konformní
sítí nelze diskretizovat celý objem, kterým proudí tekutina).
I
Potřebujeme použít metodu, která připouští nekonformní sítě.
I
Volíme metodu DGFEM – nespojitá Galerkinova metoda.
I
V případě DGFEM se používá nespojitá aproximace řešení.
I
V našem případě nespojitost pouze na rozhraních patchů.
červen 2016
32 / 78
www.KMA.zcu.cz
Zavedeme označení
Z
(p, q) =
pqdΩ,
pro skalární funkce,
ZΩ
u · vdΩ,
(u, v) =
pro vektorové funkce.
Ω
1
1
}i + }j on Γ,
2 }i + 2 }j on Γ,
{}} =
}
on ∂Ω.
}
on ∂Ω,
pi ni + pj nj = ni (pi − pj ) on Γ,
JpnK =
pn
on ∂Ω
J}K =
červen 2016
33 / 78
www.KMA.zcu.cz
Hledáme uh ∈ V h and ph ∈ W h takovou, že ∀v ∈ V h a ∀q ∈ W h
∂uh
, v + aIP (uh , v) + c(uh ; uh , v)−
∂t
−b(v, ph ) + ({ph }, Jn · vK)Γ = lIP (v),
(3)
b(uh , q) − ({q}, Jn · uh K)Γ = 0,
where
γ
(Jn ⊗ uK, Jn ⊗ vK)Γ −
h
−(ν{∇u}, Jn ⊗ vK)Γ − (Jn ⊗ uK, ν{∇v})Γ ,
1
1
c(u; w, v) = ((u · ∇)w, v) + ( {u · n}JwK − |{u · n}|JwK, JvK)Γ ,
2
2
Z
aIP (u, v) = (ν∇u, ∇v) +
q∇ · vdΩ, lIP (v) = (f , v).
b(v, p) =
Ω
červen 2016
34 / 78
www.KMA.zcu.cz
I
RNa konvektivní člen uplatněno per partes, integrand členu
(u · n)w · vdΓ nahrazen vhodným numerickým tokem (přibližný
Γ
Riemannův řešič).
I
Na vazký člen uplatněno per partes (získáme členy na rozhraní),
dále je přidána penaltová bilineární forma (spojitost) a člen, který
zajistí symetrii.
I
Na tuto soustavu lze uplatnit projekční metodu. Druhá varianta:
nejdříve uplatníme metodu projekce, poté na Poissonovu rovnici a
advekčně-difuzní rovnice aplikujeme DGFEM.
I
Pro řešení jednotlivých soustav lineárních algebraických rovnic
použity v současnosti přímé metody.
červen 2016
35 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
36 / 78
www.KMA.zcu.cz
Isogeometrická analýza – motivace
I
inspirováno CAD (Computer Aided Design) – praxi je design
typicky reprezentován pomocí CAD metod, výpočetní sít’ je
generována z tohoto CAD popisu
I
sít’ obecně nepopisuje oblast přesně, což může vnášet
nepřesnosti do výpočtu
I
generování sítě je většinou poloautomatický proces, který
vyžaduje řadu ručních zásahů a je velmi časově náročný
I
jakékoli designové změny vyžadují nové generování sítě
I
isogeometrická analýza - hlavním cílem je geometrická přesnost,
nezávisle na hrubosti diskretizace
I
dalším cílem je zjednodušení procesu zjemňování sítě a změny
tvaru oblasti
červen 2016
37 / 78
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
I
I
metoda pro analýzu problémů popsaných pomocí parciálních
diferenciálních rovnic
mnoho prvků společných s metodou konečných prvků, některé
prvky společné s „bezmeshovými“ metodami
je založena na NURBS objektech, které jsou standardem v
současných CAD systémech
název isogeometrická analýza proto, že bázové funkce prostoru
řešení a funkce použité pro reprezentaci geometrie jsou stejné
výpočetní sít’ je určena částmi NURBS objektů, máme tedy
přesnou reprezentaci oblasti
lze snadno provádět zjemňování sítě (h-refinement) nebo
zvyšování stupně bázových funkcí (p-refinement)
novou možností je tzv. k-refinement (vysvětlíme později)
podstatnou vlastností je, že v každé úrovni zjemnění zůstává
objekt reprezentován přesně
červen 2016
38 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
39 / 78
www.KMA.zcu.cz
B-spline báze
I
I
B-spline a NURBS objekty jsou založeny na tzv. B-spline bázi
k jejímu zkonstruování potřebujeme vektor parametrizace
T = (t1 , t2 , . . . , tn+p+1 ),
I
I
I
ti ≤ ti+1 ,
ti nazýváme uzly, p je stupeň B-spline báze a n je počet bázových
funkcí
uzly rozloženy rovnoměrně – uniformní vektor parametrizace,
jinak neuniformní
obecně mohou být uzly ve vektoru parametrizace násobné
definice B-spline báze
1 ti ≤ t < ti+1
Ni,0 (t) =
0 jinde
ti+p+1 − t
t − ti
Ni,p−1 (t) +
Ni+1,p−1 (t)
Ni,p (t) =
ti+p − ti
ti+p+1 − ti+1
červen 2016
40 / 78
www.KMA.zcu.cz
B-spline báze
I
I
I
B-spline bázové funkce stupně p mají obecně p − 1 spojitých
derivací, tzn. kvadratické bázové funkce obecně spadají do třídy
C 1 apod.
násobné uzly ve vektoru parametrizace snižují spojitost bázových
funkcí (a následně i odpovídající B-spline/NURBS křivky) – jestliže
vektor parametrizace obsahuje k-násobný uzel (k > 1 ∧ k <= p),
potom odpovídající bázové funkce jsou třídy C p−k
pro neperiodický vektor parametrizace bázové funkce interpolují
kraje intervalu parametru (podobně pro uzel násobnosti p)
Důležité vlastnosti B-spline bázových funkcí:
Pn
I ∀t :
i=1 Ni,p (t) = 1
I
support každé bázové funkce Ni,p je kompaktní (lokální) – jde o
interval [ti , ti+p+1 ]
I
bázové funkce jsou nezáporné (Ni,p (t) ≥ 0, ∀t)
červen 2016
41 / 78
www.KMA.zcu.cz
B-spline báze – periodický vektor parametrizace
I
bázové funkce pro uniformní periodický vektor T = (0, 1, 2, . . . , 7)
stupně 0 až 3 – vždy stejné, pouze posunuté bázové funkce
červen 2016
42 / 78
www.KMA.zcu.cz
B-spline báze – otevřený (neperiodický) vektor
parametrizace
I
vektor parametrizace
T = (0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4),
tj. uniformní vektor
parametrizace, p = 3, n = 7,
výsledný spline je třídy C 2
I
vektor parametrizace
T = (0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3), tj.
neuniformní vektor
parametrizace, p = 2, n = 6,
výsledný spline je obecně třídy
C0
červen 2016
43 / 78
www.KMA.zcu.cz
B-spline křivky
I
I
I
získáme jako lineární kombinaci B-spline bázových funkcí,
koeficienty bázových funkcí nazýváme řídící body
lomená čára spojující řídící body se nazývá řídící polygon
pro řídící body Pi , i = 1, . . . , n, a bázové funkce Ni,p , i = 1, . . . , n,
je B-spline křivka stupně p dána vztahem
n
X
C(t) =
Pi Ni,p (t)
i=1
Důležité vlastnosti B-spline křivek:
I
B-spline křivka stupně p je obecně (p − 1)-krát spojitě
diferencovatelná, pokud vektor parametrizace neobsahuje
násobné uzly nebo nesplývají některé řídící body
I
uzel násobnosti k ve vektoru parametrizace snižuje spojitost
B-spline křivky o k − 1
I
afinní invariantnost – je jedno, jestli transformujeme afinní
červen
2016
transformací křivku nebo její řídící polygon, výsledek je
stejný
44 / 78
www.KMA.zcu.cz
B-spline křivka – příklad
I
B-spline křivka určená řídícím polygonem P1 = [0, 0], P2 = [1, 4],
P3 = [3, 5], P4 = [5, −1], P5 = [7, −1], P6 = [9, 2] a vektorem
parametrizace T = (0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3):
I
křivka je složena ze 3 oblouků a je třídy C 0 , jak naznačoval vektor
parametrizace
první část křivky je ovlivněna pouze prvními třemi bázovými
funkcemi (žlutá, zelená, tyrkysová), ostatní jsou na [0, 1] nulové, a
tedy pouze první tři řídící body ovlivňují tuto část křivky, podobně
pro ostatní části
první
poslední
hrana
řídícího
křivce
na
Numerickéa
modelování
proudění
ve vodních
turbínách polygonu určují tečny ke
červen
2016
45 / 78
I
I
www.KMA.zcu.cz
B-spline plochy
I
pro danou řídící sít’ {Pi,j }, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, a vektory
parametrizace U = (u1 , . . . , un+p+1 ), V = (v1 , . . . , vm+q+1 ) je
B-spline plocha stupně p, q definována vztahem
S(u, v) =
n X
m
X
Pi,j Ni,p (u)Mj,q (v),
i=1 j=1
kde Ni,p (u), Mj,q (v) jsou B-spline bázové funkce odpovídající
vektorům parametrizace U , V
I
tímto způsobem můžeme popsat i rovinné oblasti
I
analogicky můžeme popsat i tělesa
červen 2016
46 / 78
www.KMA.zcu.cz
NURBS – racionální B-spline křivky
I
I
I
některé standardní objekty (např. kružnice, elipsa), nelze popsat
jako B-spline křivky, proto se zavádí racionální B-spline křivky
(NURBS křivky), které tento nedostatek odstraňují
NURBS objekt je určen řídícími body, váhami těchto řídících bodů
a potřebným počtem vektorů parametrizace
NURBS objekt v Rd popsaný parametrizací CR (u) je možné získat
projektivní transformací B-spline objektu v Rd+1
červen 2016
47 / 78
www.KMA.zcu.cz
Racionální B-spline křivky/plochy
I
pokud Pi a wi , i = 1, . . . , n jsou řídící body a váhy NURBS křivky,
T je vektor parametrizace, potom parametrizace NURBS křivky
stupně p je
Pn
Ni,p (u)wi Pi
C(u) = Pi=1
(4)
n
i=1 Ni,p (u)wi
I
analogicky pro plochy, NURBS plocha stupně p, q pro řídící sít’
{Pi,j }, s váhami wi,j , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, a vektory
parametrizace U = (u1 , . . . , un+p+1 ), V = (v1 , . . . , vm+q+1 ) je dána
vztahem
Pn Pm
i=1
j=1 wi,j Pi,j Ni,p (u)Mj,q (v)
S(u, v) = Pn Pm
i=1
j=1 wi,j Ni,p (u)Mj,q (v)
červen 2016
48 / 78
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
49 / 78
www.KMA.zcu.cz
„NURBS elementy“
I
I
I
analogií ke „konečným prvkům“ v MKP jsou v isogeometrické
analýze tzv. NURBS elementy (prvky), které vyplývají z vektorů
parametrizace
v 1D jsou NURBS elementy části NURBS křivky pro intervaly
[ui , ui+1 ] nenulové délky ve vektoru parametrizace
U = (u1 , . . . , un+p+1 ), např. pro U = (0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3) máme 3
NURBS elementy pro intervaly [0, 1], [1, 2], [2, 3]
ve 2D, resp. 3D jsou NURBS elementy části NURBS plochy, resp.
objemu, příslušné oblastem [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ], resp.
[ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] × [wk , wk+1 ] v parametrické oblasti
→
červen 2016
50 / 78
www.KMA.zcu.cz
h-refinement
I
I
I
I
analogem zjemňování sítě v MKP je v isogeometrické analýze
vkládání uzlů do vektoru parametrizace
vložení uzlu je možné provést bez toho, aby se změnila geometrie
křivky nebo dokonce její parametrizace
příklad: mějme kvadratický B-spline určený řídícími body
P1 = [0, 0], P2 = [1/2, 1], P3 = [1, 0] a vektorem parametrizace
T = (0, 0, 0, 1, 1, 1) a chceme vložit uzel t̄ = 1/2
nové řídící body po vložení uzlu jsou P̄1 = [0, 0], P̄2 = [1/4, 1/2],
P̄3 = [3/4, 1/2], P̄4 = [1, 0], parametricky a geometricky je ale
křivka modelování
stejná proudění ve vodních turbínách
Numerické
červen 2016
51 / 78
www.KMA.zcu.cz
p-refinement
I
I
I
I
zvýšení stupně bázových funkcí je opět možné provést beze
změny geometrie nebo parametrizace křivky
vektor parametrizace se upraví tak, že násobnost každého uzlu se
zvýší o 1, abychom zachovali třídu spojitosti; je potřeba zvýšit i
počet řídících bodů
příklad: mějme stejný kvadratický B-spline jako v předchozím a
chceme zvýšit stupeň o 1
nový vektor parametrizace je T̄ = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) a nové řídící
body jsou P̄1 = [0, 0], P̄2 = [1/3, 2/3], P̄3 = [2/3, 2/3], P̄4 = [1, 0]
červen 2016
52 / 78
www.KMA.zcu.cz
k-refinement
I
I
I
využívá faktu, že procesy vložení uzlu a zvýšení stupně
nekomutují
pokud nejprve vkládáme nové uzly a až poté zvyšujeme stupeň
bázových funkcí, dostáváme příliš mnoho bázových funkcí s
nízkou třídou spojitosti
výhodnější proto je nejprve zvýšit stupeň bázových funkcí na co
nejhrubší síti a až poté vkládat uzly a zjemňovat sít’ – dostáváme
mnohem méně bázových funkcí, které navíc spadají do vyšší třídy
pojitosti
T=(0,0,1,1)
→
T=(0,0,1/3,2/3,1,1)
→
T=(0,0,0,1/3,1/3,2/3,2/3,1,1,1)
T=(0,0,1,1)
→
T=(0,0,0,1,1,1)
→
T=(0,0,0,1/3,2/3,1,1,1)
červen 2016
53 / 78
www.KMA.zcu.cz
Rovinné a prostorové NURBS oblasti
I jedním z hlavních geometrických problémů v isogeometrické analýze je nalezení
I
I
I
I
I
I
popisu rovinných a prostorových NURBS oblastí z jejich hranice (která je obvykle
dána CAD modelem)
základním požadavkem je, aby zobrazení popsané parametrizací NURBS
plochy/objemu, která zobrazuje parametrickou oblast do reálného prostoru, bylo
prosté
obvykle se navíc vyžaduje, aby nad celou parametrizací platilo det(J) > 0, kde J
je Jakobián daného zobrazení (parametrizace)
kvalita parametrizace oblasti může mít značný vliv na výsledky výpočtů
pro generování rovinných NURBS oblastí existuje několik různých přístupů, jak
vygenerovat vnitřní body – jednodušší jsou založeny na řešení lineární soustavy
rovnic, složitější obvykle počáteční rozmístění vnitřních řídících bodů (např.
pomocí diskrétních Coonsových plátů) modifikují na základě daného
optimalizačního procesu (typicky nelineární úlohy)
hlavní problémem (a v současnosti stále otevřeným problémem) je generování
objemových NURBS parametrizací pro prostorové NURBS oblasti určené hranicí
prozatím existují metody pouze pro některé speciální třídy ploch, jako jsou např.
rotační plochy a sweep plochy
červen 2016
54 / 78
www.KMA.zcu.cz
Oblast určená 4 okrajovými NURBS křivkami
I mějme jednoduše souvislou oblast
danou 4 okrajovými NURBS křivkami
a chceme najít řídící body a příslušné
uzlové vektory pro rovinnou NURBS
plochu, popisující tuto oblast:
1. pro každou dvojici „protilehlých“
křivek potřebujeme, aby tyto křivky
měly stejný stupeň (zvýšení stupně)
2. ... a stejné uzly (vkládání uzlů)
3. potom najdeme vnitřní řídící body –
existují různé přístupy
4. získáme tak NURBS plochu
popisující danou oblast, která
zachovává zadané hraniční křivky
červen 2016
55 / 78
www.KMA.zcu.cz
červen 2016
55 / 78
www.KMA.zcu.cz
červen 2016
55 / 78
www.KMA.zcu.cz
červen 2016
55 / 78
www.KMA.zcu.cz
červen 2016
55 / 78
www.KMA.zcu.cz
červen 2016
55 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
56 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
Numerické simulace - nestacionární úloha
I
I
I
I
I
I
Re = 200, nestacionární úloha
nulová počáteční podmínka
metoda projekce, zpětná Eulerova metoda pro časovou
diskretizaci
báze stupně 2 a 3
nekonformní sít’ - DGFEM na rozhraních patchů
18844 stupňů volnosti, ∆t = 0.1s, CF L = 0.5
červen 2016
57 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
Re = 200, nestacionární úloha, t = 1s
diskretizaci
červen 2016
58 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
59 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
60 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
61 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
62 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
63 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
64 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
65 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
66 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
I
I
I
I
I
I
diskretizaci
červen 2016
67 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
Numerické simulace - stacionární úloha
I
Re = 200, hledáme stacionární řešení,
I
zastavovací podmínka:
I
metoda projekce
18844 stupňů volnosti, ∆t = 1.5s , 80 iterací (čas. kroků)
I
||un+1 −un ||
||un+1 ||
< 10−5
červen 2016
68 / 78
Numerické simulace
www.KMA.zcu.cz
Numerické simulace
I
18844 stupňů volnosti
I
nestacionární úloha
I
I
I
segregační metodou (projekce):
157s (z toho 80% času řešení soustav - sparseLU),
900 MB RAM
řešení nesegregované soustavy:
≈ 8000s (z toho >99% času řešení soustav),
2, 2 GB RAM
stacionární úloha
I
I
segregační metodou (projekce):
80 iterací,
119s
řešení nesegregované soustavy pomocí Picardových iterací:
16 iterací,
1621s
červen 2016
69 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
1
Úvod
2
3
Galerkinova metoda
4
B-spline, NURBS
Použití v IgA
5
Numerické simulace
6
Závěr
červen 2016
70 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
Závěr
I
Efektivní řešení optimalizační úlohy
I
Využití knihovny G+Smo
I
Účinná stabilizace, model turbulence
I
Efektivní iterační řešiče (s předpodmíněním).
červen 2016
71 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
Děkujeme za pozornost.
červen 2016
72 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
I
K popisu geometrie a k popisu řešení použijeme stejnou skupinu
funkcí.
I
K popisu řešení volíme funkce, které „jej dobře vystihují“. Tento
přístup je obvyklý i v oblasti FVM (polynomy vyššího stupně, po
částech konstantní funkce v okolí nespojitosti, T-splajny ve více
dimenzích apod.).
I
Současně však chceme konstruovat metodu použitelnou i pro
nonkonformní sítě.
červen 2016
73 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
NURBS plochy
I NURBS plocha stupně p, q je dána řídící sítí P (řídícími body Pi,j , i = 0, . . . , n,
j = 0, . . . , m), váhami wi,j řídících bodů a dvěma uzlovými vektory
U = (u0 , . . . , un+p+1 ), V = (v0 , . . . , vm+q+1 )
Pn Pm
n X
m
X
i=0
j=0 wi,j Pi,j Ni,p (u)Mj,q (v)
S(u, v) = Pn Pm
=
Pi,j Ri,j (u, v)
i=0
j=0 wi,j Ni,p (u)Mj,q (v)
i=0 j=0
I B-splajnové bázové funkce Ni,p (t) jsou dány uzlovými vektory T a stupněm p
Ni,0 (t)
=
Ni,p (t)
=
1 ti ≤ t < ti+1
0 jinak
t − ti
ti+p+1 − t
Ni,p−1 (t) +
Ni+1,p−1 (t)
ti+p − ti
ti+p+1 − ti+1
I Volíme kombinace bázových funkcí splňujících LBB podmínku (případně
stabilizovanou verzi metody).
červen 2016
74 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
Modelování turbulentního proudění
I
I
I
I
I
Přímá numerická simulace (volíme tak jemnou sít’, abychom
postihli dynamiku všech vírů) je extrémně výpočetně náročná
(konec 21. století?).
Existuje celá řada přístupů, pomocí kterých turbulenci
modelujeme (modelujeme jevy, které mají jemnější škály než je
diskretizační sít’).
Mezi často zmiňované patří RANS (Reynolds Averaged
Navier-Stokes), LES (Large Eddy Simulation), ILES (Implicit LES),
VMS (Variational MultiScale) . . .
V rámci těchto postupů jsou obvykle příslušné veličiny (rychlost,
tlak) rozděleny do více složek (dvou, tří). Některé jsou
stanovovány pomocí numerické metody pro řešení NS rovnic,
další jsou odpovídajícím způsobem modelovány.
V případě RANS přístupu dělíme veličiny na v čase průměrovanou
složku a složku fluktuační
u (x, t) = ū (x) + u0 (x, t) .
červen 2016
75 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
RANS method
I
apply the decomposition and time - averaged Navier – Stokes
equations
∂ ū
∂t
I
+ ū · ∇ū = −∇p̄ + ν∆ū − u0 · ∇u0 ,
∇ · ū = 0.
Extra new term appears in the system u0 · ∇u0 which is usually
approximated using Boussinesq assumption
2
T
0
0
−u · ∇u = ∇ · νT ∇ū + (∇ū) − kI
3
where νT in turbulent viscosity and k is kinetic energy.
∂ ū
∂t
I
+ ū · ∇ū = −∇p̄ + ∇ [(ν + νT ) ∇ū] + ∇(νT (∇ū)T ) − 23 ∇k,
∇ · ū = 0.
How to determine νT and k?
červen 2016
76 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
SST k − ω model
I
we implement k − ω SST model which include two more equations
for kinetic energy and turbulent specific dissipation
∂k
+ ū · ∇k = Pk + ∇ · [(σk νT + ν) ∇k] − β ∗ kω,
∂t
∂ω
1
+ū·∇ω = αf +∇·[(σω νT +ν)∇ω]−βω 2 +2 (1 − F1 ) σω2 ∇k·∇ω,
∂t
ω
where
"
"
!
##4 
√
k
500ν
4σ
k
ω2

F1 = tanh  min max
,
,
β ∗ ωy y 2 ω
CDkω y 2
1 ∇ū + (∇ū)T ,
2
- constants dependent on wall distance y Then
k
νT =
max (ω, SF2 )
Pk = min (νT f, 10β ∗ kω),
β ∗ , β, α, σk , σω , σω2
f=
červen 2016
77 / 78
Závěr
www.KMA.zcu.cz
Turbulent model
I
Turbulent initial boundary value problem is described
+ ū · ∇ū = −∇p̄ + ∇ [(ν + νT ) ∇ū] + ∇(νT (∇ū)T ) − 23 ∇k,
∇ · ū = 0,
∂k
+
ū
· ∇k = Pk + ∇ · [(σk νT + ν) ∇k] − β ∗ kω,
∂t
∂ω
1
+ū·∇ω = αf +∇·[(σω νT +ν)∇ω]−βω 2 +2 (1 − F1 ) σω2 ∇k · ∇ω.
∂t
ω
initial and boundary condition
Discretization: similar to NS problem - FEM using quadratic basis
functions for velocity ū and linear basis functions for pressure p,
kinetic energy k and specific dissipation ω
Linearization: Picard’s method for both RANS and k − ω equations
Disadvantage: k − ω models do not provide satisfactory results
through near-wall regions - very fine grid is necessary near walls
or the so called wall functions are applied
∂ ū
∂t
I
I
I
I
červen 2016
78 / 78

Numerické modelování proudení ve vodních turbínách

Transkript

Podobné dokumenty

Numerické metody pro řešení diferenciálních rovnic

JAVA vývojová prostředí sborník CIV 1/2005

Evropska´ unie a euroregiony

Rovinný izotermický stěnový proud

Rukověť správce pracovní stanice

Tekutiny v pohybu

Difúze p řirozených defekt ů a p říměsí v CdTe/CdZnTe

Úvod do počítačové grafiky

Reverzní inženýrství

Dynamický efekt v kapilarite - Mathematical Modelling Group

O nás - Společnost Eribos sro