T - MFFBorec

Stochastické finanční modely
Otázky:
A1. Wienerův proces
A2. Stochastický integrál
A3. Lineární stochastické diferenciální rovnice
A4. Stochastický diferenciál
A5. Difúzní procesy
B1.
B2.
B3.
B4.
B5.
B6.
Black-Scholesova formule
Replikační portfolio
Cena rizika
Kontrakty s výplatou v cizí měně
Difúzní model okamžité úrokové intenzity
Deflátory
Odkazy na literaturu:
[PM]
P. Mandl: Pravděpodobnostní dynamické modely. Academia, Praha, 1985
[PREPR] P. Mandl: Preprint FAP012
[BR]
M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus. Cambridge University Press,
Cambridge, 1996
Poznámka:
V textu jsou přehozeno pořadí otázek A3 a A4 - především kvůli návaznosti problematiky.
1
A1. Wienerův proces
- také bílý šum - objasňuje se na Brownově pohybu molekul.
Síla F působící na molekuly jako náhodná veličina má charakter bílého šumu. Jde o proces,
jehož hodnoty jsou nezávislé náhodné veličiny měnící se s vysokou frekvencí.
t
Bílý šum si lze představit jako
∫ F ds , t ≥ 0 , přitom
s
0
t ′′
1)
∫ F ds
s
mají nulovou střední hodnotu (nárazy pro kladný i záporný směr jsou rovnocenné)
t′
2) přírůstky na vzájemně disjunktních intervalech jsou nezávislé, jejich rozložení je
invariantní vůči posunu času
3) Integrál je spojitou funkcí t
Náhodný proces mající vlastnosti integrálu bílého šumu nazýváme Wienerovým procesem.
Definice: Wienerův proces je náhodný proces {Wt ; t ≥ 0} splňující:
1) Pro t ≥ 0 , s > 0 mají přírůstky Wt + s − Wt normální rozdělení s nulovou střední hodnotou
s rozptylem b ⋅ s , kde b je kladná konstanta.
2) Pro libovolné časy 0 ≤ t1 < t 2 < K < t n jsou přírůstky Wt 2 − Wt1 , Wt3 − Wt 2 , … vzájemně
nezávislé náhodné veličiny.
3) W má spojité trajektorie.
Obvykle se předpokládá, že b = 1 a W0 = 0 .
Vlastnosti 1) a 2) pak znamenají, že pro 0 ≤ t1 < t 2 < K < t n má Wt1 ,…, Wt n hustotu
sdruženého rozložení pravděpodobností
( x 2 − x1 ) 2
x12
f t1 ,K,tn ( x1 , K, x n ) =
( xn − x n −1 ) 2
−
−
−
1
1
1
⋅ e 2t1 ⋅
⋅ e 2(t 2 −t1 ) ⋅ K ⋅
⋅ e 2(tn −tn −1 )
2πt1
2π (t 2 − t1 )
2π (t n − t n −1 )
f t1 ,K,tn ( x1 ,K, x n ) je hustota n-rozměrného normálního rozdělení, W je gaussovským
procesem se střední hodnotou 0 a kovarianční funkcí pro 0 ≤ s ≤ t :
EWsWt = E (Wt − Ws ) ⋅ (Ws − 0) + EWs2 = E (Wt − Ws ) ⋅ (Ws − W0 ) + EWs2 =
= E (Wt − Ws ) ⋅ EWs + EWs2 = E (Wt − Ws ) ⋅ 0 + s = s = min( s , t )
(Využili jsme nezávislosti přírůstků a jejich nulové střední hodnoty a vlastnosti 1), která říká,
že EWs2 = s .
Wienerův proces má velmi oscilující trajektorii.
Tvrzení: Nechť t > 0 . Označme pro n = 1, 2,K , n − 1 : ∆W jt / n = W( j +1)t / n − W jt / n
Označme nξ = ∑ (∆W jt / n ) 2 .
j
Platí: l.i.m. ξ = t (limita v kvadratickém středu - viz dále)
n
n→∞
Důkaz: ∆W jt / n jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením N (0, t / n) .
2
Proto E nξ = ∑ E (∆W jt / n ) 2 = n ⋅
j
t
=t
n
Vypočtěme rozptyl nξ (s ohledem na nezávislost (∆W jt / n ) 2 ):
t
t
E ( nξ − t ) 2 = E (∑ ((∆W jt / n ) 2 − )) 2 = ∑ E ((∆W jt / n ) 2 − ) 2 =
n
n
j
j
t
t
t
2t 2
= ∑ ( E (∆W jt / n ) 4 − ( ) 2 ) = n ⋅ (3 ⋅ ( ) 2 − ( ) 2 ) =
n
n
n
n
j
t
(Pozn.: Vztah E (∆W jt / n ) 4 = 3 ⋅ ( ) 2 plyne z vlastností normálního rozdělení s nulovou střední
n
hodnotou. V takovém případě 4. moment rovný trojnásobku kvadrátu rozptylu. Navíc 4.
moment se díky nulové střední hodnotě rovné střední hodnotě 4. mocnin. Důkaz se najde asi
v každé elementární učebnici teorie pravděpodobnosti.)
Pro n → ∞ jde tedy E ( n ξ − t 2 ) k nule, tzn. limita podle kvadratických středů je t.
Předchozí tvrzení vyjadřujeme slovy: W má na intervalu délky t kvadratickou variaci rovnou
t.
Variace prvního řádu je přitom nekonečná, jak plyne z nerovnosti
n
ξ ≤ max ∆W jt / n ∑ ∆W jt / n
j
Pravá strana této nerovnosti pro spojitou trajektorii s ohraničenou trajektorií konverguje k 0.
To s ohledem na předchozí tvrzení říká, že jde o jev s nulovou pravděpodobností.
Dynamika ve Wienerově procesu
Wienerův proces se může definovat i ve vztahu k dynamice systému.
~
Mějme neklesající posloupnost jevových polí Ft , t ≥ 0 . Tuto posloupnost chápeme tak, že
zaznamenáváme všechny hodnoty, jichž náhodná veličina nabyla do času t .
{
}
Definice: Za Wienerův proces vzhledem k neklesající posloupnosti jevových polí
~
Ft , t ≥ 0 označujeme proces, pro který platí:
1) Pro t ≥ 0 , s > 0 mají přírůstky Wt + s − Wt normální rozdělení s nulovou střední hodnotou
{
}
s rozptylem s 2 .
~
~
2) Pro t ≥ 0 je Wt na základě Ft známa a pro u > t je Wu − Wt nezávislé na Ft .
3) W má spojité trajektorie.
r-rozměrný Wienerův proces definujeme jako r-rozměrný (sloupcový) vektor
Wt = (Wt1 ,K, Wt r )′ , kde složky vektoru tvoří r vzájemně nezávislých Wienerových procesů.
3
A2. Stochastický integrál
Pro modelování cen akcií se často používá model
dS t = S t ⋅ ( µ t ⋅ dt + σ t ⋅ dWt ) , kde µ t je označováno jako posun (drift) - má význam
deterministického (trendového) růstu - a σ t je volatilita, která do růstu vnáší prvek nejistoty.
Tento vztah nás vede k potřebě umět řešit takové diferenciální rovnice zahrnující v sobě bílý
šum. K tomu budeme potřebovat zavést pojem integrálu s bílým šumem - tedy stochastický
integrál.
Výsledkem stochastického integrování je náhodná veličina „zašuměná“ Wienerovým
procesem.
Budeme pracovat podobně jako při odvozování deterministických integrálů (limita
integrálních součtů). Vzhledem k tomu, že Wienerův proces je velmi oscilující, nebudeme
moci použít beze změny deterministický přístup (na dostatečně krátkém intervalu je funkce
„skoro“ lineární).
Stochastickým integrálům se podrobně věnuje kniha [PM], ke zkoušce potřebuje pouze část
výkladu.
Na přednášce se popisovaly dva důležité integrály.
t
Pro spojitou funkci ϕ (s ) hledáme stochastický integrál ∫ ϕ ( s )dWs
0
Postupujeme jako v deterministickém případu - rozdělíme interval: 0 = s 0 < s1 < K < s n = t
n −1
Počítáme integrální součet I = ∑ ϕ ( s j )(Ws j +1 − Ws j )
j =0
Platí:
EI = 0 (nezávislé přírůstky vynásobené konstantou, přírůstky s nulovou střední hodnotou)


VarI = E ∑ ϕ (s j ) 2 (Ws j +1 − Ws j ) 2  = ∑ ϕ (s j ) 2 (s j +1 − s j ) (součet variací nezávislých
j
 j

náhodných veličin, přitom variace přírůstku Wienerova procesu je rovna délce intervalu).
Dále se uvádí bez důkazu (je v knize):
t
Protože max (s j +1 − s j ) → 0 , konverguje I → ∫ ϕ (s )dWs podle kvadratických středů.
j
0
Víme tedy:
t
t
t
E ∫ ϕ ( s )dWs = 0 , E ( ∫ ϕ ( s )dWs ) = E ∫ ϕ ( s ) 2 ds
2
0
0
0
(u rozptylu je na pravé straně střední hodnota formální - jde o integrál deterministické funkce;
při integrování náhodné funkce má střední hodnota ve výrazu své místo)
t
t
0
0
2
∫ ϕ ( s)dWs ≈ N (0, ∫ ϕ ( s) ds) (součet nezávislých násobků N (0,1) by měl mít normální
rozdělení)
Konstrukce integrálu je pak zakončena tím, že se přejde k I definovanému s hodnotami
t
θ (ζ j ) ležícími uvnitř intervalu [s j , s j +1 ] a opět se dojde k tomu, že I → ∫ θ ( s )dWs .
0
4
t
Druhým důležitým integrálem je ∫ Ws dWs .
0
Zde je situace komplikovanější:
Postupujeme opět cestou integrálních součtů:
n −1
n −1
1 2 1
1 2 1 n−1
I = ∑ Wtj / n ⋅ (Wt ( j +1) / n − Wtj / n ) = ∑ Wtj / n ⋅ ∆Wtj / n = Wt − ∑ (∆Wtj / n ) 2 → Wt − t
2
2
2
2 j =0
j =0
j =0
t
(poslední suma se blíží n -krát rozptylu Wienerova procesu na intervalu délky )
n
Ukažme si podrobněji použitou úpravu sumy - pro zkrácení zápisu použijeme označení
W( j ) = Wtj / n :
n −1
1
1 n
1 n −1
1
1 n −1
2
2
2
2
W( n ) − ∑ (∆W( j ) ) 2 = W( n ) − ∑ W( j ) + ∑ W( j )W( j +1) − ∑ W( j ) =
2
2 j =1
2 j =0
2
2 j =0
j =0
n −1
1
1 n
1
1 n −1
2
2
2
2
= ∑ W( j )W( j +1) − ∑ W( j ) − ( W(0 ) + ∑ W( j ) − W( n ) ) =
2
2 j =1
2
2 j =0
j =0
n −1
n −1
n −1
n −1
n −1
1
1
2
2
2
= ∑ W( j )W( j +1) − ∑ W( j ) − ∑ W( j ) = ∑ (W( j )W( j +1) − W( j ) ) = ∑ W( j ) (W( j +1) − W( j ) )
2 j=0
2 j =0
j =0
j =0
j =0
(Použili jsme také toho, že 0 = W0 = W0⋅t / n = W(0) )
Na druhou stranu ale můžeme použít jiný integrální součet:
n −1
1 2 1 n −1
1 2 1
J = ∑ Wt ( j +1) / n ⋅ ∆Wtj / n = Wt + ∑ (∆Wtj / n ) 2 → Wt + t
2
2 j =0
2
2
j =0
Z toho ovšem vyplývá, že pro řešení stochastických diferenciálních rovnic bude nutné použít
jiné mechanismy.
Z Itôova kalkulu plyne, že správně jde na věc integrální součet I.
Podrobněji konstrukci popisuje [PM].
5
A4. Stochastický diferenciál
Zaveďme si pro neklesající soustavu jevových polí pojem neanticipativní náhodné funkce
(v [BR] se uvádí tato vlastnost jako „previsible“).
Mějme W = {Wt , t ≥ 0} Wienerův proces vzhledem k neklesající soustavě jevových polí
F = {Ft , t ≥ 0}.
O náhodné funkci Y = {Yt , t ≥ 0} řekneme, že je neanticipativní vzhledem k F , pokud platí,
že pro t ≥ 0 je hodnota Yt určena pouze jevy, které nastaly do času t .
Taková funkce je náhodná, protože její hodnota je proměnlivá s tím, jakou trajektorií se ubíral
podkladový proces. Pokud už ale historii známe, umíme tuto hodnotu určit.
1
Jako příklad (naprosto umělý) může sloužit Yt = (Wmax( 0,t −1) + Wt )
2
Neanticipativní funkce se používají např. při konstrukci samofinancujících portfolií - např. při
odvozování Black-Scholesovy formule (viz) jsou veličiny θ t a ψ t neanticipativními.
Upozorníme na to, že neanticipativita je vždy vázána na neklesající soustavu jevových polí.
Stochastický diferenciál se definuje pomocí stochastického integrálu:
Definice:
Nechť W = {Wt , t ≥ 0} je Wienerův proces vzhledem k neklesající soustavě jevových polí
F = {Ft , t ≥ 0}. Nechť A = {At , t ≥ 0} a B = {Bt , t ≥ 0} jsou neanticipativní procesy splňující
T
∫
0
T
2
As ds < ∞ a ∫ Bs ds < ∞ .
0
Potom řekneme, že náhodný proces X = {X t , t ≥ 0} má stochastický diferenciál
dX t = At dt + Bt dWt , t ∈ [0, T ] , když platí:
t
t
0
0
X t = X 0 + ∫ As ds + ∫ Bs dWs , t ∈ [0, T ] .
Jak plyne z definice, proces, který má stochastický diferenciál, je neanticipativní.
Pro diferenciální diferenciály platí zásadní Itôova formule, která upravuje „diferenciální“
aritmetiku.
K ní se dostaneme přes toto tvrzení:
Věta: Nechť X je proces se stochastickým diferenciálem dX t = µdt + σdWt . Nechť f je
(deterministická) funkce se spojitou 2. derivací. Označme Yt = f ( X t ) .
Pak Yt má stochastický diferenciál
1
dYt = σf ′( X t )dWt + ( µf ′( X t ) + σ 2 f ′′( X t ))dt
2
Odvození tvrzení vychází z Taylorova rozvoje:
1
Yt + h − Yt = f ′( X t )( X t + h − X t ) + f ′′( X t )( X t + h − X t ) + K =
2
1
= f ′( X t )(µh + σ (Wt + h − Wt )) + f ′′( X t )( µ 2 h 2 + 2 µ σh(Wt + h − Wt ) + σ 2 (Wt + h − Wt ) 2 ) + K
2
6
n −1
t
n→ ∞ j = 0
0
Při použití l.i.m. ∑ ∆W jt2 / n = t = ∫ ds a při zanedbání členů řádu o(h) vyjde pro h → 0+
dostaneme dokazované tvrzení.
Poznámka:
Pokud f ( x) = e x , pak Itôova formule dá následující (velmi známý) vztah:
1
de X t = X t ( µ t + σ t2 )dt + X t σ t2 dWt
2
Poznámka:
Při násobení diferenciálů se používají následující pravidla:
(dt ) 2 = 0 , dt ⋅ dWt = 0 , (dWt ) 2 = dt
Pro vícerozměrný Wienerův proces a pro k ≠ l platí: dWt k ⋅ dWt l = 0
Tento poslední vztah si dokážeme:
n −1
t
E (∑ ∆W jtk / n ⋅ ∆W jtl / n ) 2 = n ⋅ ( ) 2 → 0
n
j=0
Konečně si uveďme vlastní Itôovo lemma, k jehož odvození jsme si řekli to nejdůležitější
v předchozím:
Tvrzení:
Nechť náhodné procesy X ti , t ∈ [0, T ] , i = 1,K, m mají stochastický diferenciály, nechť
{
}
∂2 f
∂f
∂f
funkce f (t , x1 ,K , x m ) má spojité derivace f& =
, fi =
, f ij =
.
∂xi ∂x j
∂t
∂x i
Potom Yt = f (t , X t1 , K, X tm ) , t ∈ [0, T ] má stochastický diferenciál
m
m
1
dYt = f& ⋅ dt + ∑ f i ⋅ dX ti + ∑ f ij ⋅ dX ti ⋅ dX t j , t ∈ [0, T ] .
2 i , j =1
i =1
7
A3. Lineární stochastické diferenciální rovnice
Nejdříve si zopakujeme, jak řešíme soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:
Mějme matici a(t ) = a ij
norma matice ( a =
T
n
splňující technickou podmínku
i , j =1
(∑ a )
2
∫ a(t ) ⋅ dt < ∞ , kde
a(t ) je
0
¨1
2
ij
).
′
Nechť z (t ) = z 1 (t ),K, z n (t ) je vektorová funkce splňující technickou podmínku
(
)
T
∫ z (t ) ⋅ dt < ∞ .
0
Nechť y je počáteční vektor.
′
Nechť x(t ) = x 1 (t ), K, x n (t ) označuje vektorovou funkci.
Řešme rovnici
d
x = a (t ) x + z (t ), z (0) = y .
dt
Tuto rovnici chápeme jako integrální rovnici
(
)
t
t
0
0
x(t ) = y + ∫ a (s ) ⋅ x ( s ) ⋅ ds + ∫ z (s ) ⋅ ds, t ∈ [0, T ]
Pro řešení zavedeme pojem fundamentální matice F (t ) = f ij (t )
n
i , j =1
, která je řešením rovnic
d
F = a (t ) F , F (0) = I .
dt
Řešením naší soustavy diferenciálních rovnic je
t



x(t ) = F (t ) y + ∫ F ( s ) −1 ⋅ z ( s ) ⋅ ds , t ∈ [0, T ]
0


Skutečnost, že jde o řešení, lze ověřit derivováním.
Nyní přejdeme k stochastickým diferenciálním rovnicím.
Uvažujme následující matice:
′
h(t ) = h1 (t ), K, h n (t ) , a(t ) = a ij
(
(
)
)
n
i , j =1
, b(t ) = bij
n ,r
i , j =1
, t ∈ [0, T ] .
(
)
Nechť Wt = Wt1 ,K , Wt r , t ∈ [0, T ] je n-rozměrný Wienerův proces a ξ = ξ 1 , K , ξ n je
vektor počátečních podmínek.
Pod stochastickou diferenciální rovnicí
dX t = (h(t ) + a (t ) X t )dt + b(t )dWt , t ∈ [0, T ] , X 0 = ξ
′
rozumíme úlohu najít  X t = X t1 ,K , X tn , t ∈ [0, T ] , které splňuje


(
)
t
t
0
0
X t = ξ + ∫ (h(s ) + a ( s ) X s )ds + ∫ b( s )dWs pro t ∈ [0, T ]
8
Tvrzení:
T
Pokud
T
T
∫ h(t ) ⋅ dt < ∞ , ∫ a(t ) ⋅ dt < ∞ , ∫ b(t )
0
0
2
⋅ dt < ∞ , pak stochastická diferenciální rovnice
0
dX t = (h(t ) + a (t ) X t )dt + b(t )dWt , t ∈ [0, T ] , X 0 = ξ má jediné řešení
t
t
X t = F (t )(ξ + ∫ F ( s ) h( s )ds + ∫ F ( s ) −1 b( s )dWs )
−1
0
0
Důkaz:
Podmínky na konečnost integrálů zaručují existenci integrálů ve vyjádření X t .
Ověřme, že máme opravdu řešení - integrováním per partes a dosazením z definice
d
d
fundamentální matice ( F = a(t ) F , resp. a(t ) = F ⋅ F (t ) −1 ):
dt
dt
t
t
s
s
d

−1
−1
−1


ξ
(
)
F
(
s
)
F
(
s
)
F
(
s
)(
F
(
y
)
h
(
y
)
dy
F
(
y
)
b
(
y
)
dW
a
s
X
ds
=
⋅
+
+
s
y  ds =
∫0
∫0  ds
∫0
∫0

s
s
d

−1

= ∫  F ( s ) ⋅ (ξ + ∫ F ( y ) h( y )dy + ∫ F ( y ) −1 b( y )dW y ds =
ds
0
0
0

t
t
t
t
t
0
0
= F (s ) − ∫ F ( s ) F (s )h( s )ds − ∫ F (s ) F (s )b(s )dWs = X t − ξ − ∫ h( s )ds − ∫ b( s )dWs
t
0
−1
0
−1
0
Po úpravě převedením na příslušné strany dostaneme
t
t
0
0
X t = ξ + ∫ (h(s ) + a ( s ) X s )ds + ∫ b( s )dWs ,
tzn. X t je hledaným řešením stochastické diferenciální rovnice.
~
Jednoznačnost se dokáže tak, že předpokládáme, že existuje další řešení X t .
Pak musí platit:
t
~
~
X t − X t = ∫ a( s )( X s − X s )ds
0
To je s pravděpodobností 1 lineární homogenní soustava obyčejných lineárních rovnic
~
s počáteční podmínkou X 0 − X 0 = 0 . Té vyhovuje pouze nulové řešení, proto
~
X t = X t , t ∈ [0, T ] .
Z předchozího tvrzení je možné odvodit momenty X t .
Označíme e(t ) = EX t , r ( z , t ) = E ( X z − e( z ))( X t − e(t ))′ , r (t , t ) = q(t ) , t ∈ [0, T ] .
Předpokládejme, že E ξ 1 < ∞ .
Potom platí:
d
e = a (t )e + h(t ) , t ∈ [0, T ] , e(0) = E (ξ )
dt
d
r = a ( z )r , z ∈ [t , T ]
dz
d
q = a (t )q + qa ′(t ) + b(t )b ′(t ) , t ∈ [0, T ]
dt
9
q(0) = E (ξ − Eξ ))(ξ − Eξ ))′
Důkazy jsou opět v [PM] a na zkoušku se nepožadují.
10
A5. Difúzní procesy
′
Nechť a(t , x) = a1 (t , x), K, a n (t , x ) , b(t , x) = bij
(
lokálně integrovatelné.
)
n
r
i =1, j =1
, t ∈ [0, T ] jsou maticové funkce,
′
Nechť W = (Wt1 ,K, Wt r , t ∈ [0, T ] je r-rozměrný Wienerův proces vzhledem k neklesající
soustavě jevových polí F = {Ft , t ∈ [0, T ]}
′
Pak náhodný proces X = X t = ( X t1 ,K, X tn , t ∈ [0, T ] nazveme difúzním procesem, pokud
má stochastický diferenciál dX t = a (t , X t )dt + b(t , X t )dWt , t ∈ [0, T ] .
V [PREP] není k difúzním procesům nic dalšího uvedeno, pouze odkaz na příklad (otázky
řady B).
{
}
{
}
11
Doplňkové informace
Následující pasáž se přímo nevztahuje k žádné otázce. Informace v ní uvedené pomohou při
odvozování Black-Scholesova modelu i při dalších praktických aplikacích.
Většinou jde o tvrzení bez důkazů.
Postup odvození v modelech
Všechny postupy vykládané v [BR] jsou postaveny na následujících třech krocích:
1. Ke stochastickému procesu se nalezne míra Q , pro kterou je náhodná veličina cena akcie
S t martingalem.
2. Vytvoří se nový proces Et = EQ ( X Ft ) , který je martingalem ( X označuje např. výplatu
z opce, ale může znamenat i cokoliv jiného - třeba v případě výpočtu ceny forwardu
diskontovanou cenu akcie) - proces označuje očekávanou střední hodnotu příslušné
náhodné veličiny; E 0 pak označí počáteční hodnotu odpovídající tomuto procesu - např.
aktuální cenu opce). To, že jde o martingal, ukážeme níže.
3. Využije se toho, že cena akcie i nový proces jsou martingalu pod stejnou
pravděpodobnostní mírou. Pak je možné najít neanticipativní proces φ t takový, že
dEt = φ t dS t
Definice: Proces X = ( X t , t ≥ 0) nazýváme stochastickým procesem, jestliže platí
t
t
0
0
X t = X 0 + ∫ σ s dWs + ∫ µ s ds , kde σ a µ jsou neanticipativní procesy vzhledem k neklesající
t
soustavě jevových polí F takové, že ∫ (σ s2 + µ s )ds je konečné s pravděpodobností 1.
0
Poznámka: Stochastický diferenciál stochastického procesu lze psát dX t = σ t dWt + µ t dt
Definice: O stochastickém procesu M t řekneme, že je martingalem vzhledem
k pravděpodobnostní míře P , pokud platí:
i) E P ( M t ) < ∞ , ∀t
ii) E P (M t Fs ) = M s pro s ≤ t
Brownův pohyb je martingalem:
E P (Wt Fs ) = E P (Ws Fs ) + E P (Wt − Ws Fs ) = Ws + 0 ( Wt − Ws je nezávislé na Fs )
Velmi přirozeným martingalem je proces střední hodnoty:
Tvrzení: Jestliže náhodný proces výplat X má hodnoty závislé pouze na událostech do času T
(to je horizont sledování - např. čas vypořádání opce) a jestliže je splněna technická podmínka
E P X < ∞ , je náhodný proces N t = E P (X Ft ) martingalem.
Důkaz: Potřebujeme dokázat, že E P (N t Fs ) = E P (E P (X Ft ) Fs ) = E P (X Fs ) = N s , s ≤ t .
Hledáme střední hodnotu náhodné veličiny na intervalu 0, T , ale je pro případy, kdy máme
fixovánu historii do doby t, následně navíc za podmínky, že historie je fixována dokonce do
času s. To je ale totéž, jako rovnou počítat střední hodnotu s fixací historie už do času s.
12
To, že proces má normální rozdělení, je možné ověřit pomocí charakteristické funkce.
Charakteristická funkce je definována jako ψ (t ) = Ee itX . Charakteristická funkce normálního
1
rozdělení N ( µ , σ 2 ) je ψ (t ) = exp(iµt − σ 2 t 2 ) .
2
Tvrzení: Pro P-Brownův pohyb Wt je X t = Wt + γt je P-martingalem, právě když γ = 0
Důkaz: Pro γ = 0 jde o Brownův pohyb, který je podle předchozího martingalem. Pokud
γ ≠ 0 , pak E (X t Fs ) = E (Wt Fs ) + γt = Ws + γt´= X s + γ (t − s )
Pokud tedy γ ≠ 0 , není X t martingal, protože podmíněná pravděpodobnost není rovná
okamžité hodnotě.
Dále se používá Cameron-Martin-Girsanovova věta:
Tvrzení: Pokud Wt je P-Brownův pohyb a γ t je neanticipativní proces vůči neklesající
T
posloupnosti jevových polí F , která splňuje omezující podmínku E P exp(
1 2
γ t dt ) < ∞ , pak
2 ∫0
existuje pravděpodobnostní míra Q , pro kterou platí:
i) Q je pravděpodobnostní míra ekvivalentní k P (tzn. P( A) > 0 ⇔ Q( A) > 0 )
ii) Pro Radon-Nikodymovu derivaci platí
 T

1T
dQ
= exp − ∫ γ t dWt − ∫ γ t2 dt 
20
dP
 0

t
~
iii) Wt = Wt + ∫ γ s ds je Q-Brownovým pohybem.
0
Jinými slovy Wt je Q-Brownovým pohybem s driftem − γ t .
Radon-Nikodymova derivace je popsána dále v této kapitole.
V dalším budeme používat iii): Pomocí něj budeme očišťovat Brownův pohyb o drift. Víme
že existuje nějaká pravděpodobnostní míra Q, pro kterou je nový Brownův pohyb bez driftu.
Platí další tvrzení (martingalová reprezentační věta):
Tvrzení: Nechť M t je Q-martingalový proces, jehož volatilita σ t je s pravděpodobností 1
nenulová. Nechť N t je nějaký jiný Q-martingalový proces. Pak existuje neanticipativní
T
proces φ t vzhledem k neklesající soustavě jevových polí F takový, že ∫ φ s dM s < ∞
0
t
s pravděpodobností 1 a pro který N t = N 0 + ∫ φ s dM s . Navíc je proces φ t určen jednoznačně.
0
(Tvrzení je opět bez důkazu.)
Definice: Řekneme, že portfolio Vt = φt S t + ψ t Bt je samofinancující, jestliže platí
dVt = φ t dS t + ψ t dBt .
13
Lemma: Nechť Bt je proces s nulovou volatilitou a X t libovolný stochastický proces. Potom
d (Bt X t ) = Bt dX t + X t dBt
Důkaz: Pro stochastické diferenciály obou procesů platí:
dBt = β t dt (nulová volatilita z předpokladu)
dX t = σ t dWt + µ t dt
Potom:
1
2
d ( Bt X t ) = d (Bt + X t ) − Bt2 − X t2
2
Pomocí Itôovy věty upravíme:
1
1


d (Bt X t ) = (Bt + X t )(dBt + dX t ) + σ t2 dt − Bt dBt −  X t dX t + σ t2 dt  = Bt dX t + X t dBt
2
2


(
)
Radon-Nikodymova derivace
Připomeňme si, že při stanovování cen opcí i jiných finančních instrumentů se používá
přechod od přirozené pravděpodobnosti P k pravděpodobnosti Q, pod kterou je popisovaný
proces martingalem. Pravděpodobnostní míra Q deformuje pravděpodobnostní míru P.
K popisu míry deformace je možné použít vhodně definovaného poměru měr. Používá se
k tomu Radon-Nikodymova derivace, popisovaná v obecné teorii míry a integrálu.
Radon-Nikodymova derivace se vztahuje na popis míry v omezeném časovém horizontu
[0, T ].
Podívejme se nejdříve pro názornost na diskrétní případ popsaný následujícím diagramem
(převzatým z článku Mathematical Theory of Finance autora J. Brodyho):
Chápejme diagram jako popis přirozené pravděpodobnostní míry P. Vycházíme z následující
úvahy: Pokud na konci časového horizontu známe pravděpodobnost, se kterou se dostaneme
do jednoho určitého koncového stavu a pokud známe i cestu, po které jsme se do tohoto stavu
dostali, pak jsme schopni najít zpětně i pravděpodobnosti pro přechod z jednoho vrcholu do
vrcholu následujícího.
Ukažme si to na příkladu:
Předpokládejme, že známe všechny hodnoty ρ i . Jak vypočteme p 2 a p3 a pravděpodobnosti,
že dojdeme do vrcholů o úroveň před horizontem?
p 2 vypočteme ze soustavy:
ρ1 = p1 p 2
ρ 2 = p1 (1 − p 2 )
ρ1
Řešením je p 2 =
a pravděpodobnost, že se dostaneme do příslušného předchozího
ρ1 + ρ 2
vrcholu je p1 = ρ1 + ρ 2 .
Analogicky postupujeme pro ostatní vrcholy.
14
Nyní si představme situaci, kdy máme jinou pravděpodobnostní míru Q na tomtéž stromu.
Pokud bychom věděli na „nejpravější“ vrstvě, jaký je poměr mezi ρ i pro míru Q a pro míru P
ρ iQ
platný pro tuto vrstvu ( P ), uměli bychom dopočítat už všechny Q-pravděpodobnosti na
ρi
předchozích vrstvách. Jak? Z poměru bychom dopočetli Q-pravděpodobnosti na nejpravější
vrstvě a pak už bychom se analogicky jako v případě P vraceli vždy o vrstvu doleva.
Navíc: pro každou předchozí vrstvu bychom si mohli spočítat poměr Q- a
P-pravděpodobností.
V tuto chvíli si můžeme říct, že náš poměr je něčím, čemu odpovídá ve spojitém případě
Radon-Nikodymova derivace.
V [BR] se popisuje Radon-Nikodymova derivace takto:
Rozdělíme si [0, T ] na n intervalů a určíme pro P a Q hustoty f t0P,K,t n ( x1 ,K , x n ) a
f t0Q,K,t n ( x1 , K , x n ) . Uvažujeme poměr
f t0Q,K,t n ( x1 ,K, x n )
f t0P,K,t n ( x1 ,K, x n )
. Tento poměr s jemnějším dělením
konverguje k náhodné veličině, nazývané Radon-Nikodymova derivace Q vzhledem k P,
dQ
. Jde o náhodnou veličinu, neboť její hodnota závisí na tom, jakou
kterou označíme
dP
trajektorii hlavní proces vykoná. Pokud trajektorii známe, můžeme určit tuto hodnotu.
Zatím jsme uvažovali hodnotu RN derivace v čase T. Můžeme ji ale rozšířit na hodnoty
t ∈ [0, T ] .
V [BR] se označuje tato hodnota ζ t .
 dQ ~ 
Často se používá vztah ζ t = E P 
Ft  .
 dP 
Pokusme se najít představu, proč tento vztah funguje.
f t0Q,K,t k ( x1 ,K , x k )
K ζ t je možné konvergovat pomocí P
.
f t0 ,K,t k ( x1 , K , x k )
 dQ ~ 
Pokud chceme počítat ζ t = E P 
Ft  , pak počítáme integrál součinu P-pravděpodobností
 dP 
dQ
(od času t; pravděpodobnost výskytu události) a koncových hodnot
(koncových = v čase
dP
T):
f t0Q,K,tk ,tk +1 ,K,t n ( x1 ,K , x k , x k +1 ,K, x n )
P
∫∫∫ f tk +1 ,K,tn ( xk +1 ,K, xn ) ⋅ f t P,K,t ,t ,K,t ( x1 ,K, xk , xk +1 ,K, xn ) =
k k +1
n
0
= ∫∫∫ f t k +1 ,K,tn ( x k +1 ,K , x n ) ⋅
P
= ∫∫∫
f t0Q,K,t k ( x1 , K, x k ) f t kQ+1 ,K,tn ( x k +1 ,K, x n )
f t0P,K,t k ( x1 , K, x k ) f t kP+1 ,K,tn ( x k +1 ,K, x n )
f t0Q,K,tk ( x1 ,K , x k ) f tkQ+1 ,K,t n ( x k +1 ,K , x n )
f t0P,K,t k ( x1 ,K , x k )
=
=
= ζ t ∫∫∫ f t kQ+1 ,K,tn ( x k +1 ,K, x n ) = ζ t ⋅ 1 = ζ t
Upozornění: Toto „odvození“ je velmi intuitivní a neobstojí jako plnohodnotný důkaz.
15
Vícenásobné integrály jsou spíše jen grafickou zkratkou, která znázorňuje, že bychom měli
integrovat přes xi . Nakonec se využije toho, že v čase t je už ζ t známé a fixní a že je ho tedy
možné vytknout před integrál. A úplně nakonec využijeme toho, že integrál hustoty přes celý
pravděpodobnostní prostor dá 1. Použili jsme také toho, že hustotu bylo možno díky
nezávislosti přírůstků (pozor - to je určité omezení, které ale v našich modelech platí) napsat
jako součin dvou „podhustot“.
Dalším důležitým vztahem s RN derivací je
~
~
EQ X T Ft = E P ζ T X T Ft ζ t
{
}
{
}
Pokusme se tento vztah interpretovat:
Podmíněnou Q-střední hodnotu v čase T bychom počítali jako součet součinu možných
hodnot X T vynásobených pravděpodobností od času t, že náhodná veličina této hodnoty
nabude.
f t0Q,K,t k ( x1 , K, x k )
~
Celou pravou stranu interpretované rovnosti lze při značení ζ t = P
zapsat:
f t0 ,K,t k ( x1 , K, x k )
 ~

f t0Q,K,tk ,tk +1 ,K,tn ( x1 , K , x k , x k +1 , K, x n )
P

XT  ζt =
f tk +1 ,K,tn ( x k +1 , K, x n ) ⋅ P
∫∫∫


f t0 ,K,tk ,tk +1 ,K,tn ( x1 , K , x k , x k +1 , K, x n )


P
Q


f t ,K,t ( x1 , K, x k ) f t0 ,K,t k ,t k +1 ,K,t n ( x1 , K , x k , x k +1 , K , x n )
XT  =
= ∫∫∫  f t kP+1 ,K,t n ( x k +1 , K , x n ) 0Q k
⋅ P


f t0 ,K,t k ( x1 , K, x k ) f t0 ,K,t k ,t k +1 ,K,t n ( x1 , K , x k , x k +1 , K , x n )


P
P
Q
Q
 f t ,K,t ( x1 , K , x k ) f tk +1 ,K,tn ( x k +1 , K , x n ) f t 0 ,K,tk ( x1 , K , x k ) f tk +1 ,K,t n ( x k +1 , K , x n )

=
X
= ∫∫∫  0 k
⋅
T
Q
P
P


f
x
x
f
x
x
f
x
x
(
,
,
)
(
,
,
)
(
,
,
)
K
K
K
t 0 ,K,t k
k
t 0 ,K,t k
k
t k +1 ,K,t n
k +1
n
1
1


~
= ∫∫∫ X T ⋅ f tkQ+1 ,K,t n ( x k +1 , K , x n ) = EQ X T Ft
(
)
{
}
16
B1. Black-Scholesova formule
Black-Scholesova formule je výsledkem modelu popisujícího oceňování call opcí.
Vychází se z binomického modelu, na jehož základě je pak postaven i spojitý model, z něhož
formule vychází.
Binomický model
Mějme akcii s okamžitou cenou S , o které předpokládáme, že za časovou jednotku („tick“)
změní s pravděpodobností p svoji cenu na S u = S ⋅ u a s doplňkovou pravděpodobností
1 − p na cenu S d = S ⋅ d . Předpokládá se, že d < r < u , kde r odpovídá bezrizikovému
zhodnocování. Nemusí nutně platit, že d < 1 . (Značení vychází z anglického up a down.)
U call opce se dohodne, že v čase T (odpovídajícím n tickům) může držitel opce koupit u
emitenta akci za vypořádací („strike“) cenu K .
Užitek z opce v čase vypořádání T je ( S T − K ) + (držitel koupí akcii od emitenta opce a prodá
ji za aktuální cenu.
Pokusíme se modelovat cenu opce po jednom ticku. Nechť dnešní cena opce je C a nechť po
skoku „u“ je cena opce C u a po skoku „d“ je cena opce C d .
Myšlenka: Pokusíme se zkonstruovat portfolio složené z podkladových akcií a
z bezrizikových bondů, jehož hodnota bude nezávisle na vývoji akcie rovná hodnotě opce.
Předpokládejme, že v portfoliu máme φ akcií a že jsme si na jejich nákup půjčili ψ
peněžních jednotek.
Pak pro ceny opce platí:
C = φ ⋅ S −ψ
Cu = φ ⋅ S ⋅ u − ψ ⋅ r
Cd = φ ⋅ S ⋅ d − ψ ⋅ r
Z druhých dvou rovnic vychází:
C − Cd
φ= u
Su − Sd
1  C − Cd
 1 C Sd − C d Su
Su − C u  = ⋅ u
ψ =  u
r  Su − Sd
Su − Sd
 r
Dnešní hodnota portfolia je pak:
C − Cd
1 C Sd − C d Su 1 
Sr − Sd
Su − Sr 
=  Cu
+ Cd
C = φ ⋅ S −ψ = u
S− ⋅ u
=
Su − Sd
r
Su − Sd
r  Su − Sd
Su − Sd 
1 r −d
u−r  1
=  Cu
+ Cd
 = (qC u + (1 − q )C d ) ,
u−d  r
r u−d
r −d
.
kde q =
u−d
Z předpokladů vyplývá, že 0 < q < 1 , navíc qu + (1 − q )d = r .
Důkaz:
(r − d )u + (u − r )d (u − d )r
qu + (1 − q )d =
=
=r
u−d
u−d
Poznámka: Právě jsme vytvořili něco, co se tváří jako pravděpodobnost, i když nemáme
racionální výklad, o pravděpodobnost jakého jevu by mohlo jít. Později uvidíme, že jde o
jeden z používaných obratů ve finanční matematice - vytvoříme pravděpodobnostní míru, pro
kterou je proces martingalem.
17
Tímto způsobem můžeme postupně napočítávat cenu opce. Počáteční (neznámá) se spočte
jako q-kombinace cen po 1 ticku, každá z těchto dvou z následujících dvakrát dvou cen atd.
Na konci máme 2 n cen opcí, které se už rovnají zisku (chceme-li výplatě) z opce v případě,
že historie se vyvine zrovna k té které ceně po té které cestě (tím rozumíme posloupností up a
down skoků).
Za našich předpokladů vidíme, že výplata z opce po n časových jednotek (v čase T ) může
být ( Su n − K ) + , ( Su n −1 d − K ) + , …, ( Sd n − K ) +
Tyto hodnoty postupně dosazujeme do našich rovnic, až zpětně vypočteme počáteční cenu
opce (samozřejmě nebudeme dosazovat - od toho máme kombinatoriku; ta nám říká, že pokud
cena akci je Su j d n − j , pak na cestě došlo k j skokům nahoru a tím i k j-násobnému použití
q , analogicky k n − j down skokům s (n − j ) -násobnému použití 1 − q ; k Su j d n − j můžeme
dojít nj cestami; a nezapomeňme, že kromě q se uplatním v každém kroku r ).
()
Přitom dopočítáváme φ t a ψ t (kolik akcií máme držet a kolik si na to půjčit). Tyto φ t a ψ t
jsou neanticipativními náhodnými veličinami.
Dnešní hodnota opce je
n
C = r −n ∑
j =0
( )q
n
j
j
(1 − q) n − j (u j d n − j S − K ) +
Pokud označíme jako a první j , u kterého je u j d n − j S − K > 0 , můžeme cenu opce psát
n
C = r − n (∑
j =a
n
= S ⋅∑
j =a
n
= S ⋅∑
j =a
( )q
n
j

( )q′
n
j
(1 − q ) n − j u j d n − j S − ∑
j =a
 (1 − q )d 


r
 

( ) qur 
n
j
n
j
j
n− j
n
j
n
− Kr − n ∑
j =a
n
j
( )q
(1 − q ′) n− j − Kr − n ∑
j =a
( )q
n
j
j
j
(1 − q ) n − j K ) =
( )q
n
j
j
(1 − q) n− j =
(1 − q) n− j =S ⋅ B(a, n, q ′) − Kr − n ⋅ B(a, n, q )
(B označuje příslušné sumy.)
Poznámka: Úprava do konečného tvaru se může zdát zbytečně složitá, ale konečný tvar pěkně
odpovídá spojitému Black-Scholesovu modelu.
u
Připomeňme si dále, že při zavedení označení q ′ = q jsme využili dříve dokázaného vztahu
r
qu + (1 − q )d = r .
Začneme-li tedy s portfoliem příslušným k počátku, pak po n krocích máme portfolio, jehož
cena přesně odpovídá výplatě z opce. Přitom jsme nemuseli do portfolia přidávat peníze
„zvenku“. Naše strategie byla taková, že pokud cena akcie stoupla, půjčili jsme si peníze, za
které jsme dokoupili akcie, naopak při poklesu ceny jsme prodali kus akcií a utrženými penězi
splatili kus dluhu.
Binomický model je prvním přiblížením pro oceňování opcí. Přechodem do spojitého případu
dostaneme všeobecně používaný Black-Scholesův model.


S (k )
Při analýze cen akcií se používá posloupnost log
, k = 0,1, K , představující náhodnou
S (0)


procházku s krokem velikosti log u a log d . S (0) je známá konstanta a odpovídá ceně akcie
18
1
. Limitním
n
přechodem se dostaneme do spojitého případu. Náhodná procházka je součtem nezávislých
stejně rozložených náhodných veličin, proto očekáváme, že limitní proces {Bt , t ≥ 0} bude
gaussovským procesem s nenulovými přírůstky, časově homogenním.
To znamená:
1. Pro t1 < t 2 < K < t n jsou přírůstky Bt 2 − Bt1 , Bt3 − Bt2 , K , Btn − Btn −1 vzájemně nezávislé
náhodné veličiny.
2. Pro s > 0 mají Bt + s − Bt normální rozdělení nezávislé na t ≥ 0 .
v čase 0. Předpokládáme, že v diskrétním modelu je doba mezi kroky
Protože jsou přírůstky nezávislé a protože B0 = 0 , je EBt = µt a VarBt = σ 2 t ( t ≥ 0 )
Do času t se v diskrétním modelu uskuteční [nt ] kroků, proto pro n → ∞ by mělo být:
u


E P log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ]( p log u + (1 − p ) log d ) = [nt ] p log + log d  → µt
d


(
)
VarP log S ([nt ]) = [nt ] p log 2 u + (1 − p ) log 2 d − ( p log u + (1 − p) log d ) =
(
= [nt ]( p (1 − p ) log
2
)
= [nt ] p log 2 u + (1 − p) log 2 d − p 2 log 2 u − 2 p (1 − p) log u log d − (1 − p) 2 log 2 d =
2
)
u + p(1 − p) log 2 d − 2 p(1 − p ) log u log d =
(
2
)
u

= [nt ]p (1 − p) log 2 u − 2 log u log d + log 2 d = [nt ]p (1 − p ) log  → σ 2 t
d

Ukážeme si, že tyto rovnosti platí např. pro u = exp(σ n ) , d = exp( − σ n ) a p =
 1 1 µ 
E P log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ]  +
 ⋅ 2 ⋅ σ
 2 2 σ n 
µ


= [nt ] σ n + − σ n  → µt
n


n −σ
1 1 µ
+
:
2 2σ n

n  =

u
1 
µ2 
σ2

VarP log S ([nt ]) = [nt ]p (1 − p) log  = [nt ] ⋅ ⋅ 1 − 2  ⋅ 4 ⋅
=
d
n
4  σ n

2
σ 2 µ2 
= [nt ]
− 2  → σ 2 t
n 
 n
Poznámka: u, d a p nejsou určeny jednoznačně. V [BR] se vychází z u = exp( µ n + σ n ) ,
d = exp( µ n − σ n ) a p = 1 . To možná lépe odpovídá představě náhodné procházky - skok
2
nahoru i dolů mají stejnou pravděpodobnost. Přitom ale jsou splněny předpoklady pro střední
hodnotu a rozptyl (vzhledem k pravděpodobnostní míře P ):
µ
1

E P log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ] ⋅ 2 ⋅ σ n + − σ n  → µt
n
2

u
1
σ2

VarP log S ([nt ]) = [nt ] p(1 − p) log  = [nt ] ⋅ ⋅ 4 ⋅
→ σ 2t
d
4
n

2
19
Toto pozorování potvrzuje to, co jsme dělali v binomickém modelu a co se bude používat i ve
spojitých případech: Pravděpodobnostní míru můžeme deformovat při souběžné úpravě
modelu pohybu cen. V [BR] je použita „neutrální“ pravděpodobnost 1/2 a růstový trend ceny
akcií je zabudován v růstech resp. poklesech cen akcií. Naopak v [PREP] je trend z pohybů
cen akcií hodně odpreparován a je zahrnut v pravděpodobnosti růstu resp. poklesu (tzn.
pravděpodobnost z náhodné procházky je tímto trendem „deformována“).
Označíme-li ρ = log r , můžeme psát
q=
r
1
ρ
−d
e
= σ
u−d
e
n
n
n
−e
−σ
−e
−σ
ρ
n
=
n
1 2
1 2
− σ
+K
ρ
−
σ
n
1 1
n 2
2
= + ⋅
+ O( 1 )
n
σ
2
2
n
σ
2⋅
+K
n
+σ
n
Potom po dosazení:
1


ρ− σ2

1
1
2
⋅2⋅σ
EQ log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ]  + ⋅
 2 2 σ n 




1 

→  ρ − σ 2 t
2 

n
−σ


2
 = [nt ] ρ − σ  →
n
 n 2n 





1 
 
 ρ − σ 2 
1
σ2
2 
4
VarQ log S ([nt ]) = [nt ] ⋅ ⋅ 1 − 
⋅
⋅
=

4 
n
σ 2n




2
σ
1 
1 
= [nt ]⋅ 
− 2  ρ 2 + ρσ 2 − σ 4   → σ 2 t
4 
 n n 
Nyní bychom potřebovali dokázat, že log( S ([nt ]) konverguje k normálnímu rozdělení. Důkaz
provedeme přes charakteristickou funkci (viz předchozí kapitola) - dokážeme, že
1 2


E P exp (iτ log S ([nt ])) → exp iτ (log S (0) + µt ) − τ σ 2 t  (což je charakteristická funkce
2


2
rozložení N (log S (0) + µt , σ t ) ).
Platí:
(
E P exp (iτ (log S ([nt ]) − log S (0))) ≈ p exp(iτσ / n ) + (1 − p) exp( −iτσ / n )
)[ ] =
nt
  1 1 µ 
  1 1 µ 

σ τ2 σ2
σ τ2 σ2
=   +
1 + iτ
−
+ K +  −
1 − iτ
−
+ K 
n 2 n
n 2 n
  2 2 σ n 

  2 2 σ n 
[nt ]
[nt ]
=
1 2 2


 iτµ − τ σ

3
−
1


2
= 1 +
+ O(n 2 )  → exp iτµ − τ 2σ 2 t 
2
n








Zcela analogicky se dá dokázat, že log( S ([nt ]) konverguje vzhledem k pravděpodobnostní
1
míře Q k N (log S (0) + ( ρ − σ 2 )t , σ 2 t ) .
2
20
Cena aktiva (akcie) má hodnotu S t = exp Bt , t ≥ 0 .
Počítejme očekávanou diskontovanou hodnotu aktiva:
1


( x + σ 2 h) 2 

1
2
 dx =
r −h EQ {S t + h S t = s} = EQ {s exp( − ρh + Bt + h − Bt } = s ∫ exp x ⋅
⋅ exp −
2
2

2
σ
h

2πσ h
−∞




1


− 2 xσ 2 h + ( x + σ 2 h) 2 
∞

1
2
dx =
=s∫
⋅ exp −
2
2
2

σ
h

− ∞ 2πσ h




1


( x − σ 2 h) 2 
∞

1
2
dx = s
=s∫
⋅ exp −
2
2
2
σ
h


− ∞ 2πσ h




(poslední integrál = 1, protože jde o pravděpodobnost, že x nabude nějaké reálné hodnoty - a
to je jev jistý)
Logaritmický Brownův pohyb, který studujeme, je markovský proces, protože {Bt , t ≥ 0} má
∞
nezávislé přírůstky. Platí tedy pro něj P(S t + h ∈ A S t ) = P(S t + h ∈ A S u , u ≤ t )
Pro očekávanou diskontovanou hodnotu tedy platí
EQ r − ( t + h ) S t + h S u , u ≤ t = r −t S t , t ≥ 0, h > 0 .
{
}
{
}
To znamená, že při rozložení Q je r − t S t , t ≥ 0 martingalem. Jinak zapsáno,
EQ {S t + h S u , u ≤ t} = r S t .
Při rozložení Q je očekávaný výnos shodný s výnosem bezrizikové investice! (Srovnej:
V binomickém modelu platilo qu + (1 − q )d = r )
h
Chceme-li vypočíst hodnotu call-opce, počítáme
C = r −T EQ {( S T − K ) + s}
1


Ukázali jsme si, že S T = s exp( ∆B) , kde ∆B má rozložení N  ( ρ − σ 2 )t , σ 2 t  .
2


Připomeňme si, že pro standardizované normální rozdělení píšeme
x
 y2 
1
Φ ( x) =
exp
∫  − dy .
2π −∞  2 
21
Platí:
2
 
1 2  

x
+
σ
T


∞
 
1
2
 
− ρT
ρT + x
C=e
∫−∞ se − k + 2πσ 2T exp − 2σ 2T dx =






2
 
1 2  

x
+
σ
T


∞

1
2
 dx
=
se x − ke − ρT
exp − 

∫
2
2
2σ T
2πσ T
kog ( K / s ) − ρT






Integrál si rozdělíme na dva sčítance. Ten první upravíme:
(
)
(
)
2
 
1 2  

x + σ T
∞
 
1
2
 dx =
x
se exp −

∫
2
2
2σ T
2πσ T kog ( K / s )− ρT






1
x − σ 2T
2
dostaneme:
Substitucí y =
σ T
∞
 y2 
s
dy
 −
exp
∫ 1
2
2π


2
∞
s
2π
2

 
  x − 1 σ 2 T  

1
2
 dx
exp − 

2
2
2σ T
σ T






∫
kog ( K / s ) − ρT
log( k / s ) − ( ρ + σ )T
2
σ T
Ze symetrie integrované funkce kolem nuly a z rovnosti
1
1
log( K / s )±( ρ + σ 2 )T log( s / K )m ( ρ + σ 2 )T
2
2
−
=
dostaneme
σ T
σ T
s
2π
∞
 y 
1
 − dy = s
exp
∫ 1
2π
 2 
log( K / s ) − ( ρ + σ 2 )T
2
1
log( s / K ) + ( ρ + σ 2 ) T
2
σ T
∫
−∞
2
σ T

s 
1

 log +  ρ + σ 2T  
 y 
K 
2

dy = sΦ
exp −


σ T
 2 




2
Analogicky pak dostaneme i druhý sčítanec do integrálu. Black-Scholesova formule pak má
konečný tvar


s 
1  
s 
1  
 log +  ρ + σ 2 T 
 log +  ρ − σ 2 T 
K 
2  
K 
2  
V (s, T ) = sΦ
− ke − ρT Φ




σ T
σ T








Pro srovnání si uveďme výklad z [BR], který dává určitý návod, jak se postupuje i v dalších
případech (akcie s dividendou, výplaty v cizí měně apod.):
Všechny postupy vykládané v [BR] jsou postaveny na následujících třech krocích:
22
1. Ke stochastickému procesu se nalezne míra Q , pro kterou je náhodná veličina cena akcie
S t martingalem.
2. Vytvoří se nový proces Et = EQ ( X Ft ) , o které se ví, že je martingal ( X označuje např.
výplatu z opce, ale může znamenat i cokoliv jiného - třeba v případě výpočtu ceny
forwardu diskontovanou cenu akcie) - proces označuje očekávanou střední hodnotu
příslušné náhodné veličiny; E 0 pak označí počáteční hodnotu odpovídající tomuto
procesu - např. aktuální cenu opce).
3. Využije se toho, že cena akcie i nový proces jsou martingalu pod stejnou
pravděpodobnostní mírou. Pak je možné najít neanticipativní proces φ t takový, že
dEt = φ t dS t . Ten se pak využije ke stanovení investiční strategie, tzn. určí strukturu
replikačního portfolia v čase.
Uvažujme obecně používaný model cen akcií S t = S 0 ⋅ e σWt + µt .
Budeme pracovat s diskontovanou cenou akcií, tedy s procesem Z t = e − rt S t = S 0 ⋅ eσWt + ( µ −r )t
1
Stochastickým diferenciálem je dZ t = Z t dWt + ( µ − r + σ 2 )Z t dt
2
Aby se Z t stalo martingalem, musíme zrušit v jeho stochastickém diferenciálu drift - složku
1
~
µdt . To se povede zavedením Wt = Wt + γt , kde γ = ( µ − r + σ 2 ) / σ .
2
~
~
Pokud Wt dosadíme do stochastického diferenciálu výše, dostaneme dZ t = Z t dWt . Tím, že
v stochastickém diferenciálu není drift, mohlo by jít o martingal.
Ověřit to lze z jednoho tvrzení o martingalech (opět bez důkazu): Jestliže pro proces
dX t = σ t X t dWt , kde σ t je neanticipativní pro nějakou soustavu F , platí

1 T

E  exp ∫ σ s2 ds   < ∞ , pak X je martingal.


2 0


Tato podmínka je pro konstantní σ splněna.
Podle Cameron-Martin-Girsanovovy věty existuje pravděpodobnostní míra Q, vzhledem k níž
~
je Wt martingalem.
Nyní můžeme proces X (později si upřesníme, jak X nadefinujeme v případě call opcí nyní pracujeme s obecnou výplatní funkcí) převést na martingal vzhledem ke Q . Definujeme
Et = EQ ( X Ft ) .
Et a Z t jsou Q-martingaly. Proto podle martingalové reprezentační věty existuje φ t :
t
Et = EQ ( X ) + ∫ φ s dZ s , neboli dEt = φ t dZ t .
0
Tento proces φ t nám definuje replikační strategii:
- budeme držet φ t akcií
- zbytek ψ t = ( Et − φ t S t ) budeme investovat do bezrizikových dluhopisů (resp. budeme si
půjčovat)
23
Ukažme si, že toto portfolio je samofinancující.
Pro Vt = φ t S t + ψ t Bt potřebujeme ukázat, že dVt = φ t dS t + ψ t dBt , nebo ekvivalentně
dEt = φ t dZ t .
Víme, že Vt = φ t S t + ψ t Bt = Bt Et .
V předchozí kapitole bylo dokázáno lemma o stochastickém diferenciálu součinu procesu bez
volatility a stochastického procesu. Jeho použitím dostaneme:
dVt = d (Bt Et ) = Bt dEt + Et dBt = Btθ t dZ t + (φ t Z t + ψ t )dBt = φ t (Bt dZ t + Et dZ t ) + ψ t dBt =
= φ t d (Bt Z t ) + ψ t dBt = φ t S t + ψ t dBt q.e.d.
Zvolme za X diskontovanou výplatu z opce při vypořádací (strike) ceně K v čase T , která je
e − rT (S T − K )+ .
Potom ale cena opce je V0 = e − rT EQ ((S T − K )+ ) , kde Q je martingalová míra pro proces
Bt−1 S t .
Označíme-li s = S 0 , je cena akcie S t = s ⋅ e
Cena akcie k datu vypořádání je S T = s ⋅ e
~  1

σWt +  r − σ 2  t
 2 
~  1 
σWT +  r − σ 2 T
 2 
.
. Marginální distribuce S T je tedy rovna
počáteční ceně násobené exponentem normálního rozdělení se střední hodnotou
rozptylem σ 2 T .
Označíme-li Z normální rozdělení
∞
1
2πσ T
2
∫
kog ( k / s ) − rT
(se
x
− ke − rt
)

 1
N  r − σ 2 ,σ 2T 

 2
((
, pak e − rT EQ se Z + rT − ke − rt
 1 2
 r − σ T
 2 
a
) ) je možné psát:
+
2

 
  x + 1 σ 2 T  
 
2
 dx
exp −

2
2σ T






Úpravou (viz výše) dostaneme Black-Scholesovu formuli.
Akcie se spojitou výplatou dividend
Zatím jsme se zabývali akciemi, z nichž se nevyplácely dividendy.
Obecnějším případem jsou akcie se spojitou výplatou dividendy - za interval t , t + dt se
vyplácí dividenda δ S t dt , kde δ je konstantní intenzita výplaty. Tento případ je poněkud
umělý - pokud ale za akcii označíme dostatečně komplexní akciový index, jde o dobré
přiblížení.
Při modelování takových akcií se používá mechanismus reinvestice dividendy do téhož aktiva
(za dividendy okamžitě nakoupíme další akcie).
Původní hodnota akcie
S t = S 0 exp(σ Wt + µ t )
se tak modifikuje na
~
S t = S 0 exp(σ Wt + ( µ + δ )t )
Diskontovaná cenu pak je
~
Z t = exp( − ρ t ) S t = S 0 exp(σ Wt + (µ + δ − ρ )t )
24
se stochastickým diferenciálem
1
dZ t = Z 0 (σ dWt + ( µ + δ − ρ + σ 2 )dt )
2
−ρ t ~
Najdeme rozložení Q tak, aby e S t bylo martingalem (obvyklý postup v těchto modelech
1
µ +δ − ρ + σ 2
~
2
- Cameron-Martin-Girsanovova věta) pro Wt = Wt +
t.
σ
Pak ale platí:
~
~ 1
Z t = S 0 exp(σ Wt − σ 2 t )
2
a
~
~
~
dZ t = Z t σ dWt
Potom
1
~
~
S t = exp( ρ t ) Z t = S 0 exp(σ Wt + ( ρ − δ − σ 2 )t )
2
{
}
Jak se nám situace liší od standardního Black-Scholesova modelu?
V tomto bezdividendovém modelu jsme ukázali, že S T = s exp( ∆B) , kde ∆B má rozložení
1


N  ( ρ − σ 2 )t , σ 2 t  .
2


1


V modelu s dividendami je S T = s exp( ∆B) , kde ∆B má rozložení N  ( ρ − δ − σ 2 )t , σ 2 t  .
2


Platí:
2
 
1 2  

x + σ T
∞
 
1
2
 dx =
− ρT
( ρ −δ ) T + x
C=e
−k +
exp −

2
∫−∞ se
2σ T
2πσ 2T






2
 
1 2  

x + σ T 
∞
 
1
2
 dx
− ρT
δT + x
se
=
− ke
exp −

∫
2
2σ T
2πσ 2T
kog ( K / s ) − ( ρ −δ ) T






(
)
(
)
Následné úpravy probíhají stejně jako v modelu bez dividend a výsledný tvar formule je:
E S
E S





1
1

 log Q T +  r + σ 2 T  
 log Q T +  r − σ 2 T   
K
2
K
2


  − kΦ

  ,
V (s, T ) = e − ρT  EQ S T ⋅ Φ



σ T
σ T




 









− ( ρ −δ ) T
kde EQ S T = s ⋅ e
.
Akcie s diskrétní výplatou dividend
Je-li dividenda ve výši rovné podílu δ z ceny akcie vyplácena v časech T1 , T2 , K , máme
25
(
)
S t = S 0 (1 − δ ) exp σ Wt + µ t , t ≥ 0 , kde n(t ) je počet výplat do času t (předpokládáme,
že po výplatě dividendy se sníží cena o vyplacenou dividendu).
Vyloženou teorii použijeme na proces
~
− n (t )
S t = (1 − δ )
S t = S 0 exp σ Wt + µ t , t ≥ 0
n (t )
(
Označíme-li F = S 0 (1 − δ )
n(t )
)
e ρt , dostaneme formuli



F 
F 
1
1

 

 log +  r + σ 2T  
 log +  r − σ 2T   
K 
K 
2
2

  − kΦ
 
V (s, T ) = e − ρT  FΦ




σ T
σ T




 





(Srovnej se spojitou výplatou dividendy a se standardním Black-Scholesovým modelem.)
26
B2. Replikační portfolio
Portfolio je dvojice procesů (φ t ,ψ t ) , která popisuje počet držených aktiv (obecně může jít o
n-tici - v našich aplikacích používáme pouze dvojice). φ t v našich modelech reprezentuje
počet držených podkladových aktiv a jde o neanticipativní proces (jeho hodnota je spočtena
deterministickou funkcí z hodnot, kterých hlavní proces nabyl).
Pro portfolio z našich modelů definujeme jeho hodnotu Vt = φ t S t + ψ t Bt ( S t je cena akcie, Bt
cena bezrizikového bondu).
Definice: Portfolio je samofinancující, právě když je splněna podmínka dVt = φ t dS t + ψ t dBt .
To, že portfolio je samofinancující, znamená, že změna jeho hodnoty je dána pouze změnou
cen podkladových aktiv.
Definice: Nechť B je bezrizikový bond a S je rizikové aktivum s volatilitou σ . Nechť X
označuje výplatní funkci na události do času T. Replikační strategií pro X je samofinancující
T
portfolio (φ t ,ψ t ) takové, že ∫ σ t2φ t2 dt < ∞ a VT = φT S T + ψ T BT = X .
0
Replikaci nám tedy zajistí portfolio, které po úvodním pořízení můžeme upravovat tak, aby
k datu vypořádání dalo hodnotu výplatní funkce. Příkladem je třeba portfolio, kterým
replikujeme hodnotu call-opce - na začátku pořídíme určitý počet akcií a půjčíme si určitý
počet (bezrizikových) peněz (rozdíl mezi cenou akcií a vypůjčenými penězi je rovný ceně
opce) a toto portfolio upravujeme tak, že podle potřeby zakupujeme nové akcie proti
zapůjčení peněz nebo naopak prodáváme akcie se současným splacením dluhu. Na konci
období je hodnota portfolia rovna výnosu z opce.
Cenu závazku v čase t za to, že vyplatíme v čase T částku f ( S T ) , jsme vyjádřili jako
(*)
V (t , s ) = e − ρ (T −t ) EQ { f ( S T ) S t = s}
Pro tuto funkci odvoďme parciální diferenciální rovnici.
Sestrojíme okrajovou podmínku pro diferenciální rovnici:
V (T , s ) = e − ρ (T −T ) EQ {f ( S T ) S T = s} = f ( s )
Hodnotu akcie jsme v Black-Scholesově modelu definovali
1
 ~
 ~
S t = S 0 exp σWt + ( ρ − σ 2 )t  ( Wt je Wienerův proces odpovídající martingalové míře Q)
2


Stochastický diferenciál tohoto procesu je
~
dS t = ρS t dt + σS t dWt
Označme s = S t . Za určitých technických předpokladů pro f máme z Itôovy formule
T
e − ρT f ( S T ) − e − ρt V (t , s ) = ∫ d (e − ρtV (u, S u )) =
t
T
= ∫e
t
− ρu
1 2 2 ∂2
∂
∂
∂
~
(− ρV + V + ρS u V + σ S u 2 V )du + ∫ σS u e − ρu VdWu
∂t
∂s
2
∂s
∂s
t
T
Střední hodnota levé strany za podmínky s = S t a tedy i střední hodnota stochastického
integrálu je 0. Proto:
27
T
0 = ∫ E (e − ρu (− ρV +
t
∂
∂
1
∂2
∂
~
V + ρS u V + σ 2 S u2 2 V ))du + ∫ σS u e − ρu VdWu
∂t
∂s
2
∂s
∂s
t
T
Tento vztah derivujeme podle t a s použitím s = S t dostaneme:
∂
∂
1
∂2
V − ρV + ρs V + σ 2 s 2 V = 0
(**)
∂t
∂s
2
∂s
Tento vztah spolu s podmínkou V (T , s ) = f ( s ) tvoří parciální diferenciální rovnici. Tato
rovnice je v obecném případě špatně řešitelná, obvykle se proto používá numerický výpočet
vztahu (*) (numerický výpočet integrálu vzhledem k hustotě normálního rozdělení).
V Black-Scholesově modelu je situace jednodušší.
Následující text sleduje výklad z [BR]:
~
Při dříve ukázaném stochastickém diferenciálu dS t = ρS t dt + σS t dWt je stochastický
diferenciál procesu V (t , s ) = e − ρ (T −t ) EQ { f ( S T ) S t = s} roven:
∂
∂2
∂ 
∂  ~ 
1

dVt = d (V (t , S t )) =  σS t V dWt +  ρS t V + σ 2 S t2 2 V + V  dt
∂s
∂t 
∂s 
2
∂s


Na druhou stranu ale z toho, že portfolio je replikační, platí
dVt = φ t dS t + ψ t dBt = φ t dS t + ρBt dt ( Bt je bezrizikové, proto dBt = ρBt dt ).
Aby mohly obě rovnosti platit, musí být rovné složky s volatilitou, tedy φ t =
∂
V.
∂s
Podle Black-Scholesova modelu je
S 
S 




1
1


 log t +  ρ − σ 2 (T − t ) 
 log t +  ρ + σ 2 (T − t ) 
K 
K 
2 
2 
 (***)
 − ke − ρ (T −t ) Φ
V (t , S t ) = S t Φ




σ T −t
σ T −t








Potom platí:
S 


1 
 log t +  ρ + σ 2 (T − t ) 
∂
K 
2 

φ t = V = Φ


∂s
σ T −t




(Tady je to trochu nejasné: V je součinem S t a Φ , které je závislé na S t . Při derivování je
pravděpodobně přírůstek Φ nulový a je možné ho zanedbat.)
Po dosazení tohoto vztahu do (***) dostaneme:
S 


1 
 log t +  ρ − σ 2 (T − t ) 
K 
2 

ψ t = − ke − ρ (T −t ) Φ


σ T −t




28
B3. Cena rizika
Ceny akcií modelujeme jako S t = S 0 exp(σWt + µt ) , čemuž odpovídá stochastický diferenciál
1
dS t = S t (σdWt + ( µ + σ 2 )dt )
2
Někdy je ale pohodlnější definovat proces pomocí jeho stochastického diferenciálu, typicky
1
dS t = S t (σdWt + µdt ) , čemuž odpovídá proces S t = S 0 exp(σ Wt + ( µ − σ 2 )t )
2
Obě formy je možné rovnocenně používat, ta druhá ale dovoluje jednodušeji pracovat
s širokou třídou modelů.
Předpokládejme, že máme dvě riziková obchodovatelná aktiva S t1 a S t2 , popsaná
stochastickými diferenciály
dS ti = S ti (σ i dWt + µ i dt )
Najdeme-li pro S t1 martingalovou pravděpodobnostní míru Q, pak by táž míra měla být
martingalová i pro S t2 . Pokud ne, pak v místě, kde není martingalem, je možné najít arbitráž s pomocí prvního aktiva (blíže [BM], strana 117).
Máme tedy (z Cameron-Martin-Girsanovovy věty)
µ −ρ
µ −ρ
~
Wt = Wt + 1
t = Wt + 2
t
σ1
σ2
µ − ρ µ2 − ρ
=
představuje míru rizika trhu.
Odtud ovšem γ = 1
σ1
σ2
Vzhledem k tomu, že platí
EQ S ti = EQ S 0i e − ρt ,
je Q často označována jako pravděpodobnost neutrální k riziku (pod ní se chovají aktiva jako
bezriziková).
29
B4. Kontrakty v cizí měně
Kurzy cizích měn
Kurzy cizích měn se analyzují přes bezrizikové bondy v jednotlivých měnách a směnný kurz,
který je stochastickým procesem.
Označme:
Dt = exp(ut )
[GBP]
librový dluhopis
Bt = exp( ρ t )
[EUR]
dluhopis v euro
C t = C 0 exp(σ Wt + µ t )
[EUR/GBP] směnný kurz - cena 1 EUR v GBP
Cena librového dluhopisu (vyjádřená v EUR) v čase t je
S t = Dt C t = C 0 exp(σ Wt + ( µ + u )t ) ,
jeho (v euro-sazbě) diskontovaná hodnota je pak
Z t = Bt−1C t Dt = S t exp( − ρ t ) = C 0 exp(σ Wt + (µ − ρ + u )t )
Položíme
1
µ − ρ +u+ σ2
~
2
Wt = Wt +
t
σ
Najdeme rozložení Q, pro které je diskontovaná hodnota Z t martingalem:
~ 1
Z t = C 0 exp(σ Wt − σ 2 t ) ,
2
1
~
tzn. C t = C 0 exp(σ Wt + ( ρ − u − σ 2 )t )
2
(*)
Forward na kurz
Za jakou cenu bychom měli prodávat libru v budoucím čase T? Pokud dohodneme, že
koupíme 1 GBP za k EUR, pak naše výplata (zisk) v čase T je
X = CT − k
(koupíme za k EUR jednu libru, za kterou podle platného kurzu dostaneme nazpět CT liber).
Povšimněme si: X je vyjádřeno v EUR - proto ho při diskontování musíme diskontovat
euro-sazbou.
Forward bychom měli prodávat za cenu k = EQ {CT } , neboli:
1
~


k = F = EQ C 0 exp(σ WT + ( ρ − u − σ 2 )T ) = e ( ρ −u )T C 0
2


V čase t je (současná, euro-sazbou diskontovaná) hodnota výplaty
V (t , C t ) = e − ρ (T −t ) EQ {CT − k C t } = e − ρ (T −t ) C t e ( ρ −u )(T −t ) − e ( ρ −u )T C 0 =
(
(
)
)
= e −uT e ut C t − e ρt C 0
K tomu raději výklad: Pokud víme, že v čase t je směnný kurz C t , pak lze očekávat, že do
času T průměrně poroste na hodnotu C t e ( ρ −u )(T −t ) (viz (*) - lokální posun = drift je ρ − u ).
Jak vypadá investiční strategie?
Diskontovaná hodnota portfolia je
Et = Bt−1V (t , C t ) = e − ρt e − uT e ut C t − e ρt C 0 = e − uT e − ρt e ut C t − e −uT C 0 = e − uT Z t − e − uT C 0
(
)
30
(definice Z t viz na začátku této kapitoly, v odstavci Kurzy cizích měn).
Odtud vyplývá, že dEt = e − uT dZ t .
Z této diskontované hodnoty portfolia lze odvodit investiční strategii (viz též kapitola
Replikační portfolio).
Budeme držet stále konstantní portfolio:
dE
- ϕ t = t = e −uT
dZ t
(
)
- ψ t = Et − ϕ t Z t = e − uT Z t − e −uT C 0 − e −uT Z t = −e − uT C 0
Jinými slovy:
- nakoupíme librový bond, který nám k datu vypořádání dá 1 GBP
- na tento nákup si půjčíme podle aktuálního kurzu příslušný počet euro; druhá strana musí
ve formě ceny tohoto forwardového kontraktu uhradit dnešní hodnotu rozdílu euro-výnosů
a librových výnosů ( e ( ρ −u )T C 0 )
Call opce na kurz
Předpokládejme opci na koupi 1 GBP za cenu k EUR (v čase T).
Použijeme označení
1
~


F (t ) = EQ {CT C t } = EQ C t exp(σ Wt + ( ρ − u − σ 2 )(T − t )) = e ( ρ −u )(T −t ) C t ,
2


tzn. forwardová cena v čase t.
Postupem obvyklým pro oceňování opcí pak dostaneme, že cena call opce v čase 0 je

F (0) 1 2 
F (0) 1 2  



+ σ T
− σ T 
 log
 log
k
2
k
2
 − kΦ

e − ρT  F (0)Φ





σ T
σ T










Přitom replikační strategie je
F (t ) 1 2


+ σ (T − t ) 
 log
k
2

φ t = e −uT Φ


σ T −t




F (t ) 1 2


− σ (T − t ) 
 log
k
2

ψ t = e − ρT kΦ


σ T −t




Kontrakty s výplatou v jiné měně
Tento úsek se zabývá konstrukcí cenných papírů nazývaných „quanto“, kterým je v [BR]
věnována kapitola 4.5.
Quanto si představujeme kontrakty „s chybnou měnou“, např. jako kontrakt, který v případě,
že akcie má cenu 5,20 GBP, vyplatí 5,20 EUR.
Cena akci v GBP je popsána jako
S t = S 0 exp σ 1Wt1 + µ t
[GBP]
(
)
31
Směnný kurz je popsán jako
(
)
C t = C 0 exp σ 2 (rWt1 + r Wt 2 ) + υ t , kde r = 1 − r 2
Dále zavádíme bezrizikové bondy:
[EUR/GBP]
Dt = exp(ut )
[GBP]
Bt = exp( ρ t )
{ }, {W } se předpokládají být vzájemně nezávislé.
1
t
Procesy W
[EUR]
2
t
{
}
Lemma: Proces Wt = rWt1 + r Wt 2 je rovněž Wienerovým procesem.
Důkaz:
Přírůstek Wt + s − Wt by měl mít rozdělení N (0, s ) , což je splněno, protože jde o nezávislé
procesy s nulovou střední hodnotou a pro rozptyl platí: r 2 s + (1 − r 2 )s = s . Vzhledem
k nezávislosti přírůstků v Wt1 i v Wt 2 jsou nezávislé i přírůstky Wt . Spojitost trajektorií
je triviální.
{ }
{ }
{ }
Pro korelaci platí:
corr (Wt , Wt1 ) = r , corr (Wt , Wt 2 ) = r
Cena bezrizikového librového dluhopisu vyjádřená v EUR a diskontovaná euro-sazbou je
Yt1 = e − ρt C t Dt
Proto stochastický diferenciál je:
1


dYt1 = Yt1  rσ 2 dWt1 + r σ 2 dWt 2 + (υ + σ 22 + u − ρ )dt 
2


Cena akcie vyjádřená v EUR a diskontovaná euro-sazbou je
Yt 2 = e − ρt C t S t
Proto stochastický diferenciál je:
1
1


dYt 2 = Yt 2  (σ 1 + rσ 2 )dWt1 + r σ 2 dWt 2 + ( µ + υ + σ 12 + rσ 1σ 2 + σ 22 − ρ )dt 
2
2


V dalším budeme značit:
1
′
′
µ1 = (υ + σ 22 + u ) , tzn. dYt1 = Yt1  rσ 2 dWt1 + r σ 2 dWt 2 + ( µ1 − ρ )dt 


2
1
1
′
µ 2 = ( µ + υ + σ 12 + rσ 1σ 2 + σ 22 ) , tzn.
2
2
′
dYt 2 = Yt 2  (σ 1 + rσ 2 )dWt1 + r σ 2 dWt 2 + ( µ 2 − ρ )dt 


Nyní se potřebujeme dostat k martingalové míře. Budeme chtít najít takovou míru Q, aby
driftové složky zmizely z obou diferenciálů najednou.
Chceme tedy najít γ 1 a γ 2 :
dYt1 = Yt1 rσ 2 (dWt1 + γ 1 dt ) + r σ 2 (dWt 2 + γ 2 dt )
(
= Y ((σ
)
2
1
2
dYt 2
t
1 + rσ 2 )( dWt + γ 1 dt ) + r σ 2 ( dWt + γ 2 dt )
Porovnáním obou zápisů dostaneme rovnice:
32
)
′
rσ 2γ 1 + r σ 2γ 2 = µ1 − ρ
′
(σ 1 + rσ 2 )γ 1 + r σ 2γ 2 = µ 2 − ρ
Pak ale:
1
µ + σ 12 + rσ 1σ 2 − u
2
γ1 =
σ1
1
υ + σ 22 + u − ρ − rσ 2γ 1
2
γ2 =
rσ 2
~
A konečně po dosazení Wt i = Wt i − γ i t :
1
 ~

S t = S 0 exp σ 1Wt1 + (u − rσ 1σ 2 − σ 12 )t 
2


1
~
~


C t = C 0 exp σ 2 (rWt1 + r Wt 2 ) + ( ρ − u − σ 22 )t 
2


exp( rσ 1σ 2 t ) − 1
Poznámka: corr ( S t , C t ) =
exp(σ 12 t ) − 1 ⋅ exp(σ 22 t ) − 1
Cena call opce se stanovuje podle formule
V (t , S t , C t ) = e − ρ (T −t ) EQ {(CT S T − k ) + S t C t }
33