Stochastický integrál podle Wienerova procesu Jitky Kostkové

’kolitel·v posudek Bakalá°ské práce
Stochastický integrál podle Wienerova procesu
studentky
Jitky Kostkové
V p°edkládané bakalá°ské práci se autorka zabývá úvodními partiemi stochastické analýzy a
aplikacemi tohoto aparátu na vybrané modely z ekonomie, fyziky a biologie. Úst°edním pojmem
je zde Wiener·v proces jakoºto základní model ²umu ve spojitém £ase. Téma vyºaduje znalosti
z pokro£ilých partií teorie pravd¥podobnosti a náhodných proces· a autorka projevila zna£né
nasazení a matematické schopnosti p°i samostudiu, po£íta£ových simulacích a p°i vlastním psaní
práce. Látka je vyloºena velice srozumiteln¥, s dostatkem p°íklad· a s ohledem na aplikace.
Vybudovaný aparát pak bude dobrým východiskem pro práci na stochastických biologických
modelech ve spojitém £ase, zejména modelech epidemiologických.
První kapitola shrnuje n¥které základní denice a výsledky teorie náhodných proces·. Ve
druhé kapitole je pak denován Wiener·v proces a jsou dokázány n¥které jeho d·leºité vlastnosti s ohledem na konstrukci náhodného integrálu: (ne)kone£nost totální a kvadratické variace,
s.j. nediferencovatelnost trajektorií. Kapitola téº obsahuje výsledek o £asu prvního dosaºení konstantní hranice.
T°etí kapitola p°edstavuje úvod do stochastické analýzy. Vybudovány jsou postupn¥ tzv. Wiener·v a Itô·v stochastický integrál. D·leºitým diskutovaným pojmem je téº Itôovo lemma, které
umoº¬uje nalézt explicitní °e²ení n¥kterých SDE. V kapitole je téº zaveden pojem stochastické
diferenciální rovnice (SDE) spolu s posta£ující podmínkou existence a jednozna£nosti °e²ení.
Ve £tvrté kapitole jsou p°edstaveny t°i základní modely: Geometrický Brown·v pohyb, který
je základním modelem ceny akcie; Ornstein-Uhlenbeck·v model pohybu difuzní £ástice a stochastický logistický model popisující vývoj po£tu jedinc· biologické populace. Ve v²ech p°ípadech je
nalezeno explicitní °e²ení p°íslu²ných SDE, jsou vypo£teny n¥které charakteristiky daných proces· a výsledky jsou téº dopln¥ny grafy a simulacemi trajektorií. Posledn¥ jmenovaný p°íklad
je motivován konkrétním modelem zdrodu a úmrtí jedinc· v biologické populaci a byl vybrán s
ohledem na budoucí zamý²lenou práci v oblasti model· epidemií jako nap°. odhady parametr·
z reálných dat, simulace p°íslu²né soustavy SDE, pop°. analýza prvního £asu kdy po£et nakaºených p°ekro£í danou hladinu.
Autorce se bez výhrad poda°ilo splnit zadání práce a výsledkem je p°ehledný a ucelený úvod
do stochastické analýzy s p°íklady aplikací v p°írodních v¥dách, který bude dobrým základem pro
dal²í práci na tématu. Nutno téº dodat, ºe práce je tém¥° bez p°eklep· a v¥cných chyb (pouze
v °ádu jednotek) a z mého pohledu netrpí nedostatky.
Detailní hodnocení práce uvádím na druhé stran¥ tohoto dokumentu.
Vzhledem k vý²e uvedenému doporu£uji práci k obhajob¥ a navrhuji hodnocení
A (výborn¥).
V Praze dne 20. srpna 2013
Ing. Petr Veverka
Hodnocení detailn¥
1. Náro£nost zadání: B.
Zadání klade nemalé nároky na studenta ohledn¥ znalosti teorie pravd¥podobnosti a náhodných proces·.
2. Spln¥ní zadání: A.
Zadání bylo spln¥no bez výhrad. Nad p·vodní plán byla navíc za°azena kontstrukce Itôova
integrálu a Itôova formule.
3. V¥cná a logická úrove¬: A.
Výklad je dob°e strukturován, je srozumitelný a dopln¥n °adou p°íklad·.
4. Formální úrove¬: A.
Práce neobsahuje ºádné závaºné nedostatky, ani chyby ve výpo£tech £i ve zna£ení.
5. Práce se zdroji: A.
Seznam literatury je uveden na konci práce v dostate£ném rozsahu a s dobrou kvalitou
výb¥ru zdroj·. Známé výsledky jsou dob°e citovány. Obrázky jsou dob°e popsány a zdrojové
kódy byly p°iloºeny na CD.
6. Výsledky a výstupy: A.
Autorka se s tématem vypo°ádala zdárn¥ a se ctí. Krom¥ práce re²er²ní provedla velké
mnoºství výpo£t· charakteristik p°íslu²ných proces· a sama téº v software Matlab naprogramovala skripty pro vykreslení trajektorií zkoumaných proces·. Autorka téº precizovala
n¥které nep°ehledn¥ £i stru£n¥ uvedené d·kazy v literatu°e.
Posudek oponenta
Název bakalářské práce: Stochastický integrál podle Wienerova procesu
Autor:
Jitka Kostková
Shrnutí:
Práce se zabývá konstrukcí stochastického integrálu a jeho základními vlastnostmi.
Dále je zaveden pojem stochastická differenciální rovnice a jsou ukázány některé
praktické aplikace zavedených pojmů.
V první části jsou zavedené základní pojmy, které autorka potřebuje k dalšímu vybudování teorie. Druhá část práce se zabývá Wienerovým procesem. V této části
se kromě definice Wienerova procesu hlouběji hovoří i o jeho vlastnostech. Další
část práce je pak věnována zavedení stochastického integrálu a na konci kapitoly i
stochastické diferenciální rovnici. Poslední část se věnuje aplikacím použitých pojmů.
Práce je pěkně strukturovaná, obsahuje menší počet tiskových chyb, je doplněna
množstvím příkladů a obrázků a zvolené téma jde určitě nad rámec běžného bakalářského studia. Jako jistou slabinu vidím příliš velký rozsah práce, který pravděpodobně
způsobil, že autorka nebyla schopna práci sepsat s maximální pečlivostí. Některé
pasáže by dle mého názoru bylo lépe úplně vynechat, jelikož se zvoleného tématu
týkají jen okrajově a v další části textu se o nich už autorka vůbec nezmiňuje. Rovněž
by bylo vhodné, aby autorka věnovala o něco větší pozornost zavádění pojmů a
jednotnosti značení.
Konkrétní připomínky:
• str. 15, Definice 1.1.: Bylo by vhodné doplnit například T ⊆ R, asi by zde
nebylo vhodné použít naprosto libovolnou neprázdnou množinu.
• str. 16, poznámka za Definicí 1.9.: Autorka v textu nedefinovala pojem spojitý
proces, přičemž zde jeho definici rozšiřuje. Bylo by vhodné nejdříve definovat
tento pojem a pak ho teprve rozšířit i na všechny verze procesu.
• str. 16, Věta 1.1.: To, že má proces spojitou verzi, neznamená, že existuje
{X̃(t), t ∈ T } takový, že P ({X̃(t) = X(t)}) = 1 pro každé t. Zde je třeba
doplnit, že X̃ je spojitý. Pokud ale je spojitost rozšířena tak, jak to autorka
učinila v poznámce za Definicí 1.9., pak nemá smysl o spojitých verzích vůbec
hovořit.
• str. 19, ř. 20-21: Vyjdeme-li z √
Definice 2.1., pak W (t) − W (s) má stejné
rozdělení jako náhodná veličina σ t − s · Z (v textu chybí σ).
• str. 19, ř. 23: Lépe by bylo napsat ”Z toho plyne, že pro α = 4...” místo ”Z
toho plyne, že α = 4...”.
• str. 22, popis obrázku: Místo pojmu ”střední hodnota” by bylo asi lépe použít
například ”průměrná hodnota těchto deseti trajektorií”. V této oblasti se pojem
”střední hodnota” většinou používá pro teoretickou střední hodnotu, což je v
tomto případě konstantní funkce (totéž platí pro popis obrázku 4.2. na straně
55).
• str. 23, ř. 12-14: Bylo by vhodné více vysvětlit, co je zde myšleno pojmem
”klesaly k nule nezávisle na sobě”. Zárověn by bylo dobré si rozmyslet, zda
kromě uvedených dvou variat (rozptyl roven nule či nekonečnu) neexistuje i
další varianta.
• str. 26, ř. 21: Má zde být E[(W (ti ) − W (ti−1 ))2 ] místo E[W (ti ) − W (ti−1 )].
• Dle mého názoru by bylo lepší vynechat celou část 2.3.. K tématu práce se
váže jen okrajově a zbytečně odvádí případného čtenáře od hlavního tématu
práce. Zvlášte definice infinitezimálního generátoru se zde jeví jako naprosto
nadbytečná. Neznalý čtenář z ní nezíská témeř žádnou představu a tomto
pojmu a v další části práce se již tento pojem nevyskytuje.
• str. 31, druhý odstavec: Tuto část by chtělo lépe rozpracovat nebo vynechat.
Autorka požaduje, aby funkce f měla konečnou totální variaci, ale nevysvětluje,
jak totální variace souvisí s množinovou funkcí µf . Rovněž
∑ není vhodné definovat µf ((a, b]) = f (b) − f (a) a hned nato µf ((a, b]) = ∞
i=1 |f (bi ) − f (ai )|.
Jelikož není o rozkladu intervalu (a, b] nic dalšího řečeno, byla by druhá definice
množinové funkce µf ((a, b]) nejednoznačná.
• str. 31, Definice 3.1.: Jelikož je v této práci uvažován pouze reálný náhodný
proces (viz Definice 1.1.), tak by bylo vhodnější použít v této definici E[(X(t1 )−
X(t2 ))(X(t3 ) − X(t4 ))] místo E[(X(t1 ) − X(t2 ))(X(t3 ) − X(t4 ))].
• str. 32, ř. 23: Je zde použit pojem ”faktorová funkce”, asi by bylo dobré ho
definovat nebo alespoň popsat, co se tímto pojmem myslí.
• str. 34, ř. 17: K citaci Prášková [11] by chtělo dodat ještě stranu, kde lze
zmiňovanou pasáž najít.
• str. 35, důkaz - část ii: Je zde provedena záměna limity a integrálu. Bylo by
vhodné doplnit, proč ji lze provést.
• str. 37, Definice 3.5.: Na konci definice chybí ”... ∈ T ”.
• str. 38: V některých chvílích autorka přechází od obecného T k [0, ∞), aniž
by to zmínila (např. v Definici 3.6. či v Definici 3.7. ).
• str. 40, Příklad 1.: Aby platilo limn→∞ E[X(t) − Xn t]2 = 0, je třeba doplnit
požadavek, aby norma dělení △n konvergovala k nule.
• str. 41, Příklad 2: O Yn se zde hovoří jak jako o procesu, tak jako o funkci,
bylo by vhodné to sjednotit.
• str. 50, Věta 3.10: Chtělo by zde doplnit odkaz na literaturu, kde lze nalézt
důkaz této věty.
• str. 51: Autorka používá nejednotné značení pro počáteční čas, je zde použito
jak a, tak t0 .
• str. 51, rovnice 3.19: Této rovnici se běžně říká ”stochastická integrální
rovnice”, nikoliv ”stochastická diferenciální rovnice”.
• str. 53, obrázek: Při podrobnějším zkoumání se zdá, že plná trajektorie startuje
z nuly, což by neměla.
• str. 54, ř. 4: Místo ”spojitá náhodná veličina” by zde mělo být ”spojitý
náhodný proces”.
• str. 64, ř. 22: Proč zde autorka přeznačila Z(t) na r(t)?
Závěr:
Přes větší počet nepřesností či zavádějících formulací však hodnotím práci jako velmi
dobrou a doporučuji ji uznat jako bakalářskou práci. Tuto práci navrhuji klasifikovat
známkou B-velmi dobře.
RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. (KDM MFF UK)
V Praze, dne 28.8.2013