Seminárn´ı práce z Historie matematiky Origami

MASARYKOVA UNIVERZITA
Přı́rodovědecká fakulta
Seminárnı́ práce z Historie matematiky
Origami
Brno 2008
Petr Pupı́k
Motto:
Úsměv je odpočinkem unavenému,
nadějı́ malomyslnému, slunečnı́m
světlem smutnému a nejlepšı́m
přirozeným prostředkem proti
trápenı́...
A podobně je tomu s origami.
Origami
OBSAH
Obsah
Úvod
3
1 Co je origami
4
2 Historie origami
2.1 Prvopočátky origami . . .
2.2 Japonské klasické origami
2.2.1 Slavnostnı́ origami
2.2.2 Rekreačnı́ origami .
2.3 Evropské klasické origami
2.4 Tradičnı́ origami . . . . .
2.5 Modernı́ origami . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Origami v matematice
3.1 Huzitovy axiomy . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Tečna paraboly . . . . . . . . .
3.1.2 Společná tečna dvou parabol . .
3.1.3 Kubické rovnice . . . . . . . . .
3.1.4 Trisekce úhlu a zdvojenı́ krychle
3.2 Pythagorova věta . . . . . . . . . . . .
3.3 Modulárnı́ origami . . . . . . . . . . .
3.3.1 Platónská tělesa . . . . . . . . .
3.3.2 Archimedovská tělesa . . . . . .
3.3.3 Kepler - poı́nsotova tělesa . . .
3.3.4 Fraktály . . . . . . . . . . . . .
4 Origami ve vědě
4.1 Složenı́ solárnı́ho panelu
4.2 Optigami . . . . . . . .
4.3 Vesmı́rný teleskop . . . .
4.4 Origami v medicı́ně . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
7
7
7
8
10
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
15
15
17
19
20
22
22
22
22
.
.
.
.
24
24
24
25
25
Origami
5 Zajı́mavosti ze světa
5.1 Origami nábytek
5.2 Rekordy . . . . .
5.3 Zajı́mavosti . . .
OBSAH
origami
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
27
Seznam obrázků
29
Literatura
Knižnı́ zdroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Internetové zdroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
30
Přı́lohy
31
2
Origami
ÚVOD
Úvod
Ještě než si řekneme něco o této seminárnı́ práci, pokuste si v duchu odpovědět na dvě
otázky. Co si představı́te pod pojmem origami? Najdete si v dnešnı́ době čas na to, abyste
si skládali z papı́ru a co z něho umı́te složit?
V této seminárnı́ práci se budeme zabývat právě origami. V pěti kapitolách si řekneme,
co si pod tı́mto pojmem představit. Seznámı́me se se zajı́mavou historiı́ origami a ukážeme
si, jak můžeme využı́t origami v matematice a dalšı́ch vědách.
Na přiloženém CD najdete návody k některým skládankám. Práce obsahuje také kapitolu o origami v matematice. Tato kapitola (a také celá práce) je psána tak, aby byla bez
problémů srozumitelná čtenáři s gymnaziálnı́m vzdělánı́m.
Nynı́ se podı́vejme, čı́m se budeme v našı́ práci zabývat. V prvnı́ kapitole se seznámı́me
s pojmem origami.
Ve druhé kapitole se podı́váme na historii origami. Seznámı́me se s Japonským, ale i
Evropským origami, poznáme druhy a směry origami a uvedeme si nejznámějšı́ osobnosti
spojené s origami.
Třetı́ kapitola bude věnována již zminěnému origami v matematice. Ukážeme si, jak
pomocı́ origami dokážeme řešit kubické rovnice, či sestrojit společnou tečnu dvou parabol.
Dozvı́me se, že pomocı́ origami umı́me řešit dva ze třı́ starověkých geometrických problémů.
V dalšı́ části této kapitoly se budeme věnovat modulárnı́mu origami.
Ve čtvrté kapitole si uvedeme, jaké má origami využitı́ v praxi. Určitě je zajı́mavé, že
se s origami můžeme setkat ve vesmı́ru, v lékařstvı́, optice i v automobilovém průmyslu.
V závěrečné kapitole si potom ukážeme některé zajı́mavosti ze světa origami.
K práci je také přiloženo několik složených skládanek. Jedná se o ukázku modulárnı́ho
origami a také o několik skládanek, o kterých je v této práci zmı́nka. Dalšı́ přı́lohou je již
zmı́něné CD.
Celá práce je vysázena systémem LATEX. Některé obrázky jsou kresleny v programu
Zoner Calisto 4. Modely jsou potom skládány z obyčejného barevného papı́ru. Vhodnějšı́
je však tenšı́ papı́r. Většina skládanek zde uvedených nenı́ těžká, avšak je časově náročná.
Napřı́klad skládánı́ modulárnı́ho origami zabere až několik hodin. Přiložený drátěný“
”
dvacetistěn jsem skládal vı́ce než 6 hodin. Nicméně výsledek za to určitě stojı́, je fantastické,
co všechno lze z papı́ru složit.
3
Origami
KAPITOLA 1. CO JE ORIGAMI
Kapitola 1
Co je origami
Origami je japonské jméno pro uměnı́ skládánı́ papı́ru. Samotné slovo origami je složenı́m
dvou slov: slovesa oru (skládat) a podstatného jména kami (papı́r).
Skládanky se skládajı́ většinou ze čtvercového papı́ru, který by měl mı́t délku strany
15 cm, měl by být tenký, jemný, pevný, ohebný, z jedné strany bı́lý a z druhé barevný.
Asi nejznámějšı́ japonskou papı́rovou skládankou je papı́rový
jeřáb (orizuru). Jeřáb patřı́ mezi japonské symboly dlouhého
života. Právě z tohoto důvodu si lidé v Japonsku papı́rové jeřáby
návlékajı́ na šňůru a rozvěšujı́ je po svém domě.
Známý je také přı́běh japonského děvčátka Sadako Sasaki.
Byly jı́ dva roky, když dne 6. srpna 1945 byla svržena atomová bomba na Hirošimu. Ve věku 11 let (9 let po svrženı́ atomové bomby) náhle dostala závratě. Diagnóza zněla leukémie,
Obrázek 1.1: Papı́rový nemoc způsobená ozářenı́m z výbuchu atomové bomby. Nejlepšı́
přı́telkyně pověděla Sadako starou japonskou legendu, která řı́ká,
jeřáb (Orizuru)
že každému, kdo složı́ tisı́c papı́rových jeřábů, se splnı́ jedno přánı́.
Sadako měla přánı́, aby se uzdravila. . .
Poslednı́ch 14 měsı́ců svého života strávila v nemocnici a za tu
dobu složila přes 1300 papı́rových jeřábů (jiná verze tohoto přı́běhu
řı́ká, že se jı́ podařilo složit pouze 644 papı́rových jeřábů, a tak
jejı́ přátelé pro ni složili ostatnı́, aby jich měla vysněných 1000).
Dne 25. řı́jna 1955 však bohužel Sadako umı́rá ve věku 12 let.
Roku 1958 byla v Parku Mı́ru v Hirošimě odhalena socha Sadako
držı́cı́ v rukou zlatého jeřába. Každý rok je k jejı́mu památnı́ku
posláno nespočet papı́rových jeřábů. Dnes je jeřáb v Japonsku
nejen symbolem dlouhého života, ale i symbolem mı́ru.
V současné době existujı́ v Japonsku dva duhy origami:
tradičnı́ a modernı́. Pro tradičnı́ origami je typické, že se skládanky
skládajı́ vždy z jednoho kusu papı́ru, bez použitı́ nůžek, lepidla a
také by se nemělo do skládanek nic domalovávat. Postup skládánı́ Obrázek 1.2: Památnı́k
je vždy přesně předepsán, složené skládanky by se neměly lišit, at’ Sadako Sasaki
4
Origami
KAPITOLA 1. CO JE ORIGAMI
už je složı́ kdokoliv.
Oproti tomu u modernı́ho origami je důležitá fantazie
toho, kdo skládá. Důležitá je originalita skládánı́. Je mnoho
směrů modernı́ho origami, některé uznávajı́ pouze skládánı́
z jednoho kusu papı́ru, přı́padně zasouvánı́ jednotlivých dı́lů
do sebe. Jiné směry uznávajı́ i střı́hánı́ a vzájemné slepovánı́
jednotlivých dı́lů, dokreslovánı́ očı́ zvı́řatům, či dolepovánı́
různých části těla, nejenom z papı́ru, ale i napřı́klad z kůže.
Každoročně se pořádajı́ výstavy modernı́ho origami. Takovéto
skládánı́ je považováno za samostatné výtvarné dı́lo na pomezı́ plastiky a obrazu.
Obrázek 1.3: Papı́rovı́ jeřábi
u pomnı́ku Sadako Sasaki
5
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
Kapitola 2
Historie origami
O historii origami toho dnes vı́me velice málo. Názory na to, kdy se poprvé objevilo origami,
se různı́. Různı́ se také i to, co považovat za origami. Zda jen pouhé přehnutı́ papı́ru, nebo
za origami budeme považovat skládánı́ papı́ru pro vlastnı́ potěšenı́, za nějakým účelem.
Tuto druhou možnost budeme uvažovat i my.
2.1
Prvopočátky origami
Někteřı́ řı́kajı́, že se origami zrodilo zhruba 100 let po vynálezu papı́ru asi před 2000 lety
v Čı́ně za doby vlády dynastie Han (ta vládla v Čı́ně od roku 205 př. n. l. do roku 220
n. l.). Čı́nský znak pro papı́r, zhi, symbolizujuje látku vyrobenou z hedvábı́, na kterou je
možné psát. Japonské slovo pro papı́r, kami, označuje materiál vyrobený z březového či
bambusového dřeva. Obojı́ však byl materiál určený ke psanı́. O skládánı́ však nenı́ nikde
ani zmı́nka.
Kolem roku 600 našeho letopočtu se papı́r rozšı́řil do Japonska. Někteřı́ se právě
domnı́vajı́, že origami vzniklo v Japonsku a to v obdobı́ Heian. To trvalo od roku 794
do roku 1185. Bylo to obdobı́, kdy v Japonsku vzkvétalo uměnı́ a literatura. V tomto
obdobı́ se také poprvé objevujı́ dnes známé japonské obřady čaje nebo uměnı́ aranžovánı́
květin (ikebana). Ti, kteřı́ si myslı́, že origami pocházı́ právě z tohoto obdobı́, poukazujı́
na dvě pověsti. Prvnı́ z nich vypravuje o muži jménem Abe-no Seimei, který prý složil
papı́rového ptáka a oživil ho. Druhý přı́běh vyprávı́ o chlapci jménem Fujiwara-no Kiyuosoke, který daroval dı́vce, se kterou se právě rozešel, falešnou žábu. Bohužel však nejsou
žádné důkazy o tom, že byla složená z papı́ru.
Je však dokázáné, že se v obdobı́ Heian již použı́val balı́cı́ papı́r. Řı́kalo se mu tatogami
nebo tato. Dodnes se podobným zopůsobem, jako se balilo v obdobı́ Heian, balı́ kimono.
Toto však nenı́ důkaz toho, že již docházelo ke skládánı́ ze čtvercového papı́ru.
Dnes vidı́me v šintoistických stavbách mnoho ozdobných prvků vyrobených z papı́ru. At’
už se jedná o různé papı́rové proužky, heisoku (ozdoba stojı́cı́ před šintoistickou svatynı́),
nebo papı́rové loutky. Ty jsou také velice staré. Bohužel však ve starověkém Japonsku
nebyly nikdy vyráběny z papı́ru.
6
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
Samotné slovo origami pocházı́ právě z obdobı́ Heian. Původně však mělo úplně jiný
význam. Slovem origami se označoval list papı́ru přehnutý v polovině šı́řky. Dnes bychom
na něj psali napřı́klad dopisy.
To, co si představujeme pod slovem origami dnes, se v 17. stoletı́ nazývalo orisue později
orikata. Název origami se užı́vá až od konce prvnı́ poloviny dvacátého stoletı́.
2.2
Japonské klasické origami
Za japonské klasické origami považujeme dva druhy skládanek: slavnostnı́ a rekreačnı́.
2.2.1
Slavnostnı́ origami
Nejstaršı́m dochovaným dokumentem o origami je krátká báseň Rosei-ga yume-no cho-wa
orisue (Motýli v Růženčině snu mohou být origami), kterou složil roku 1680 Ihara Saikaku.
Zmı́nil zde origami skládanku nazvanou Ocho Mecho (Motýlı́ pár). Dnes se tato skládanka
použı́vá při svadebnı́ch hostinách jako ozdobný obal na vı́no.
Ihara Saikaku (1642 – 9. zářı́ 1693) byl japonský básnı́k a spisovatel. Napsal řadu
milostných románů. Je také autorem tohoto citátu: ”Láska je jako hra, při nı́ž se tahá za
nitky o štěstı́, tolik je jich všelijak propletených a jenom na jedné je perla, která znamená
výhru.”
Origami však jistě vzniklo dřı́ve.
Kromě Ocho Mecho je dalšı́m přı́kladem orgami uživáného při různých
slavnostech Noshi. Do této skládanky se umist’oval (a dodnes umist’uje) kousek sušené ryby nebo jiného jı́dla. Celkově se origami využı́valo při mnoha
přı́ležitostech. Z tohoto důvodu Iso Sadatake usuzuje ve své knize Tsutsumino Ki (1764), že origami mohlo vzniknout někdy v obdobı́ Muromachi (asi
od roku 1336 do roku 1573). Toto dı́lo je také nejstaršı́m dochovanou knihou
o slavnostnı́m origami.
2.2.2
Rekreačnı́ origami
Obrázek 2.1:
O několik let dřı́ve, než byla vydána kniha Tsutsumi-no Ki, však již byly Noshi
známy některé skládanky, které řadı́me mezi rekreačnı́. Byly to napřı́klad
lod’ka a také Tamatebako, jedno z prvnı́ch geometrických (modulárnı́ch) origami. Bohužel
však přesně nevı́me, kdy byly tyto skládanky poprvé složeny.
Ke skládance Tamatebako se váže zajı́mavý přı́běh. V jedné vesnici žil mladý rybář
Urashima Taro. Když šel jednou po pláži, uviděl chlapce týrajı́cı́ho vodnı́ želvu. Urashima
za nı́m okamžitě běžel, želvu zachránil a pustil do moře.
Uběhlo několik dnı́ a želva se za nı́m vrátila, poděkovala mu, že ji osvobodil, a nabı́dla
mu, jestli by nechtěl žı́t v podmořském světe. Urushima souhlasil a ocitl se v okouzlujı́cı́m
paláci vládkyně mořı́ Oto-Hime. Byl to fascinujı́cı́ svět, Urashima pozoroval překrásný
7
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
tanec ryb, jedl ty největšı́ pochoutky na těch největšı́ch hostinách. . . Takto si užı́val tři
měsı́ce, když tu se mu náhle postesklo po domově.
Poprosil tedy Oto-Hime, jestli by se nemohl vrátit domů.
Ona souhlasila a když se s nı́m loučila, darovala mu Tamatebako s tı́m, že tuto skládanku nesmı́ nikdy otevřı́t. Urashima
se tedy vrátil na zem, ale byl celý zděšený, protože vše, na
co vzpomı́nal a na co se těšil, se změnilo. Nepoznával nikoho
kolem sebe, všechny budovy se mu zdály tak cizı́. Najednou
si připadal úplně sám. Chodil smutně křı́žem krážem, když
potkal starce. Zeptal ho, jestli zná muže jménem Urashima
Taro. Stařec odpověděl, že o něm slyšel, že žil před 300 lety,
ale jednoho dne prý zmizel v moři a nikdy se nenašlo jeho
tělo.
Urushima byl velice zklamaný, nevěděl vůbec, co má dělat.
Obrázek 2.2: Tamatebako
Rozhodl se, že se podı́vá, co je uvnitř krabičky, kterou dostal od Oto-Hime. Jakmile ji otevřel, objevil se jemný oblak dýmu, který ihned zmizel a
Urashima se náhle změnil v bělovlasého starce. Čas, který Urashima strávil v kouzelném
podmořském světě, ukryla Oto-Hime do krabičky Tamatebako, kterou právě Urashima
otevřel. Jeho život se náhle chýlil ke svému konci. . .
To, jaké skládanky se skládali, se dozvı́dáme hlavně z románů, poezie a jiných literárnı́ch
děl, ve kterých hlavnı́ protagonisté skládajı́ skládanky k různým účelům. Roku 1682 napsal
Ihara Saikaku jedno ze svých mnoha děl, ve kterém hlavnı́ hrdina skládá skládanku Hiyokuno Tori, což se dá považovat za předchůdce papı́rového jeřába. (Orizuru).
Roku 1797 napsal Akisato Rito knihu Hiden Senbazuru Orikata, což bychom dnes
překládali jako Tajemstvı́ tisı́ce jeřábů origami, tehdy to však znamenalo spı́še Tucty spojených jeřábů Orizuru složených z jednoho kusu papı́ru. Tato knı́žka bývá někdy nesprávně
označována jako nejstaršı́ knı́žkou o origami (Tsutsumi-no Ki je ale staršı́).
2.3
Evropské klasické origami
Mnoho lidı́ se domnı́vá, že origami je pouze japonským uměnı́m.
Nenı́ to však pravda. Podle některých odbornı́ků sládal origami již
Leonardo da Vinci (1452-1519). Ten by mohl být autorem prvnı́ho
papı́rového modelu letadla. Na obrázku 2.4. vidı́me, jak měl prý
tento model vypadat.
Jan Webster zmiňuje papı́rové vězenı́ ve své divadelnı́ hře
Vévodkyně z Malfi, která byla napsána kolem roku 1614. Papı́rové
vězenı́ je zřejmě origami skládanka, kterou dnes známe pod Obrázek 2.4: Model lenázvem vodnı́ bomba. Tato skládanka se v tomto obdobı́ vůbec tadla podle Leonarda da
Vinci
v Japonsku neobjevuje.
Můžeme najı́t mnoho zmı́nek o origami z 19. stoletı́. Mimo jiné napřı́klad Německé
národnı́ muzeum vlastnı́ ve své sbı́rce origami skládanky konı́ a jezdců, o kterých se mı́nı́,
8
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
Obrázek 2.3: Ukázka z Hiden Senbazuru Orikata
9
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
že byly složeny někdy kolem roku 1810.
Dalšı́ osobnostı́, která je svázána s historiı́ origami, je Friedrich Fröbel. Tento německý
pedagog založil v polovině 19. stoletı́ prvnı́ mateřskou školku. V té děti mimo jiné také
skládali origami.
Pouze několik evropských skládanek z 19. stoletı́ bylo součastně
známo v Japonsku, stejně tak naopak. Napřı́klad španělskou
skládanka Pajarita (Ptáček, u nás známá spı́še pod názvem konı́k)
znalo v té době jen málo japonců, podobně Jeřába (Orizuru) znalo
jen málo evropanů, přitom dnes je to jedna z nejznámějšı́ch origami skládanek.
Evropské a japosnké origami je značně odlišné. Zatı́mco v japonských klasických skládankách se skládá z papı́rů různých tvarů,
v evropských se použı́vá striktně čtvercový nebo obdélnı́kový
Obrázek 2.5: Pajarita papı́r. Zatı́mco u evropských skládanek se objevujı́ záhyby
nejčastěji pod úhlem 45◦ , u japonských to je úhel polovičnı́. U japonských skládanek se při skládánı́ často střı́há, což se v evropských klasických skládankách
témeř nedělá.
Vznik evropského origami nenı́ znám, odhaduje se však, že mohlo vzniknout nejspı́še
na začátku 16. stoletı́. Oproti tomu vznik Japonského slavnostnı́ho origami se datuje do
počátku 15. stoletı́. Japonskému klasickému origami se někdy také řı́ká východnı́ origami,
oproti tomu evropskému se řı́ká západnı́ origami.
2.4
Tradičnı́ origami
Na začátku tedy bylo japonské a evropské origami nezávislé. Ve druhé polovině 19. stoletı́,
po otevřenı́ Japonska světu, došlo k promı́chánı́ obou druhů origami. V Japonsku se začal
vyrábět speciálnı́ origami papı́r čtvercového formátu, který byl z jedné strany obarvený.
Skládanky se předávali z generace na genaraci. Skládanky se během krátké doby dostali do celého světa. Často docházelo k změnám jejich názvů a k proměnám samotných
skládanek. Každý si nějakým způsobem svoji skládanku vylepšil. Rozvoj kreativnı́ho myšlenı́ byl jednı́m z důvodů, proč se origami učilo už v mateřských školkách.
Nynı́ je však přesně opačný trend. Většinou se děti učı́ skládánı́ z papı́ru přesně podle
daného návodu.
Dnes se pojmem tradičnı́ origami mı́nı́ skládanky složené z jednoho kusu papı́ru, většinou
bez střı́hánı́, bez lepenı́, podle daného návodu. Jednotlivé skládnky se proto nelišı́, at’ už
je složı́ kdokoliv.
2.5
Modernı́ origami
Modernı́ origami vzniko v prvnı́ polovině 20. stoletı́. Jeho vznik je úzce spjatý se jménem
Akira Yoshizawa. Akira Yoshizawa se narodil 14. března 1911 nedaleko Tokia. Jeho otec byl
10
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
zemědělec. Ve věku třinácti let odešel pracovat do Tokia. Stal se technickým projektantem
a v továrně, kde pracoval vyučoval mladé záměstnance geometrii (zajı́mavé je, že sám Akira
Yoshizawa absolvoval pouze šestileté základnı́ vzdělánı́). Při vyuce začal použı́vt skládánı́
papı́ru.
Ve svých 26 letech se začal origami věnovat naplno. Před druhou světovou válkou studoval jako
budhistický mnich, ale nikdy nevstoupil do kláštera.
Když potom vypukla válka, působil ve vojenské nemocnici v Hongkongu, kde zdobil postele pacientů
svými barevnými origami modely.
V roce 1951 dostal zakázku od umělce jménem
Tadasu Iizawa, který sháněl modely pro symboly japonského zvěrokruhu. Akira Yoshizawa s nimi slavil
obrovský úspěch. Roku 1954 vydal svoji prvnı́ knı́žku
Obrázek 2.6: Akira Yoshizawa
Atarashi Origami Geijitsu (Nové origami uměnı́). V
této knize popsal vlastnı́ systém kreslenı́ diagramů. Dı́ky tomu mohli jeho skládanky skládat
i čtenáři, kteřı́ neuměli japonsky. Tento systém kreslenı́ diagramů se bez velkých změn užı́vá
dodnes.
Obrázek 2.7: Skládanky, které složil Akira Yoshizawa
Téhož roku, co vydal svoji prvnı́ knihu, založil Mezinárodnı́ origami centrum v Tokiu
a v roce 1955 uskutečnil svoji prvnı́ velkou výstavu v Japonsku. Téhož roku se mu dostalo
11
Origami
KAPITOLA 2. HISTORIE ORIGAMI
i mezinárodnı́ho uznánı́, když 300 jeho modelů bylo vystaveno v muzeu v Amsterdamu.
Jeho věhlas stále stoupal a to přimělo japosnkou vládu, aby ho jmenovala kulturnı́m velvyslancem. V této roli hodně cestoval a vyučoval origami po celém světě. Zajı́mavostı́ je,
že ve Velké Británii byl jmenován doživotnı́m vı́ceprezidentem.
Za svůj život zı́skal Akira Yoshizawa řadu oceněnı́. Za svůj život vytvořil vı́ce než 50
tisı́c modelů, vydal 18 jeho knih o origami. Zajı́vé je, že pouze několik stovek jeho origami
modelů zapsal do svých diagramů. Akira Yoshizawa nikdy nechtěl svoje modely prodávat,
často o nich mluvil jako o svých dětech. Je také zakladatelem takzvaného mokrého skládánı́.
Tato technika spočı́vá ve skládánı́ navlhčeného tlustšı́ho papı́ru, který umožňuje lepšı́ trojrozměrné modelovánı́ a po zaschnutı́ držı́ model dobře svůj tvar. Skládanky také rozdělil
podle základnı́ch tvarů, ze kterých vznikajı́.
Asi těžko bychom v historii hledali někoho, jehož život by byl vı́ce spojený s origami.
Hlavně dı́ky tomuto muži je origami považováno za japonské uměnı́. Akira Yoshizawa
zemřel v den svých devadesátých čtvrtých narozenin, 14. března 2005.
Dalšı́m origamistou, který je úzce spjatý se vznikem modernı́ho origami je Uchiyama
Koko. Ten si jako prvnı́ nechal petentovat své origami skládanky. V modernı́m origami je
důležitá právě originalita skládanek. Kladen je důraz nejen na výsledný vzhled, ale i na
zajı́mavý postup. V neposlednı́ řadě je por modernı́ origami důležitá reprodukovatelnost
modelů. Každý origamista přesně popisuje, jak danou skládanku složil.
Existuje několik směrů modernı́ho origami. Některé směry neuznávajı́ dokreslovánı́,
dolepovánı́, střı́hánı́ jiné naopak ano.
Na závěr této kapitoly si ještě uved’me několik dalšı́ch známých modernı́ch origamistů.
Jsou jimi napřı́klad Takahama Toshie, Honda Isao, Robert Harbin, Garshon Legman, Lilian
Oppenheimer, Samuel Randlett atd.
12
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Kapitola 3
Origami v matematice
V této kapitole se podı́váme, jaké fascinujı́cı́ využitı́ může mı́t origami v matematice.
Několik prvnı́ch odstavců se bude věnovat origami v geometrii.
3.1
Huzitovy axiomy
Každý jistě zná pět Euklidových axiomů (postulátů). I v origami se
něco takového objevuje. Slavný origamista a matematik Humiaki Huzita formuloval šest axiomů origami. Pomocı́ nich lze dojı́t k zajı́mavým
výsledkům, které si právě ukážeme v této sekci.
Humiaki Huzita se narodil roku 1924 v Japonsku. Odtud emigroval
do Itálie, kde studoval na univerzitě v Padové nukleovou fyziku. Roku
1991 formuloval své slavné axiomi origami. Humiaki Huzita zemřel
roku 2005.
Uved’me si nynı́ oněch šest zmiňovaných Huzitových axiomů ori- Obrázek
3.1:
gami:
Humiaki Huzita
1. Jsou li dány body B1 a B2 , potom můžeme složit hranu tak, že bude procházet body
B1 a B2 .
2. Jsou li dány body B1 a B2 , potom můžeme složit hranu tak, že bod B1 bude na bodu
B2 .
3. Jsou-li dány přı́mky (hrany) p1 a p2 , můžeme složit hranu tak, aby přı́mka p1 ležela
na přı́mce p2 .
4. Je-li dán bod B1 a přı́mka p1 , můžeme složit hranu, která je kolmá k p1 a procházı́
bodem B1 .
5. Jsou-li dány body B1 , B2 a přı́mka p1 , můžeme složit hranu tak, aby bod B1 ležel na
přı́mce p1 a zároveň tato hrana procházela bodem B2 .
13
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
6. Jsou-li dány body B1 , B2 a přı́mky p1 , p2 , můžeme složit hranu tak, aby bod B1 ležel
na přı́mce p1 a zároveň bod B2 ležel na přı́mce p2 .
Obrázek 3.2: Huzitovy axiomy origami
Později přišli Jacques Justin, Robert Lang a Hatori Koshiro nezávisle na sobě na dalšı́
axiom:
7. Jsou-li dán bod B a přı́mky p1 , p2 , můžeme složit hranu kolmou na přı́mku p1 tak,
aby bod B1 ležel na přı́mce p2 .
Nynı́ se podı́vejme na to, jaké majı́ tyto axiomy využitı́ v geometrii.
3.1.1
Tečna paraboly
Vezměmě si čtvercový papı́r. Přı́mku na které ležı́ jedna ze stran označme p1 . Zvolme bod
B1 na ose strany ležı́cı́ na přı́mce p1 . Necht’ nynı́ bod B2 je kdekoliv na stranách čverce
kolmých k přı́mce p1 . Sestrojme hranu podle axiomu 5 tak, aby procházela bodem B2 a
bod B1 ležel na přı́mce p1 .
Když máme papı́r takto přehnutý, sestrojme na rubu papı́ru kolmici v bodě B1 na
přehnutou část přı́mky p1 . Průsečı́k této kolmice a hrany je bod, který je stejně vzdálený
od bodu B1 a původnı́ přı́mky p1 . Ležı́ tedy na parabole s řı́dı́cı́ přı́mkou p1 a ohniskem B1 .
Zřejmě je naše hrana tečnou této paraboly. Dostáváme tedy parabolu, jako obálku hran
procházejı́cı́ch body B2 takových, že bod B1 ležı́ na p1 . Celá konstrukce je vidět na obrázku
3.3.
Tedy pokud máme sestrojit tečnu jdoucı́ bodem B2 k parabole dané ohniskem B1 a
řı́dı́cı́ přı́mkou p1 , potom stačı́ přeložit hranu tak, aby procházela bodem B2 a bod B1 ležel
na přı́mce p1 .
14
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Obrázek 3.3: Tečna paraboly
3.1.2
Společná tečna dvou parabol
I tento náročný problém lze elegantně pomocı́ origami vyřešit. Nejedná se vlastně o nic
jiného, než o aplikaci šestého Huzitova axiomu. Mějme tedy dvě paraboly, jednu danou
ohniskem B1 a řı́dı́cı́ přı́mkou p1 a druhou danou ohniskem B2 a řı́dı́cı́ přı́mkou p2 . Nynı́
dokážeme, že hrana taková, aby bod B1 ležel na přı́mce p1 a zároveň bod B2 ležel na přı́mce
p2 je společnou tečnou obou parabol.
Z předchozı́ho odstavce vı́me, že prvnı́ parabola je obálka hran (tečen) takových, že bod
B1 bude ležet na přı́mce p1 . Stjně tak druhá parabola je obálka hran (tečen) takových, že
bod B2 bude ležet na přı́mce p2 . Proto tedy hrana, která je v obou obálkách, je společnou
tečnou obou parabol. Zároveň tato hrana převádı́ bod B1 na přı́mku p1 a bod B2 na přı́mku
p2 .
Nynı́ si ukážeme, jak pomocı́ origami můžeme řešit kubické rovnice. To nám bude
užitečné ve třetı́ části, kde si ukážeme, jak pomocı́ origami dokážeme vyřešit dva ze třı́
starověkých problémů geometrie.
3.1.3
Kubické rovnice
Necht’ máme kubickou rovnici x3 + ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c ∈ R, c 6= 0. Uvažme nynı́
dva body v rovině: bod P1 o souřadnicı́ch [a, 1] a bod P2 o souřadnicı́ch [c, b]. Dále uvažme
přı́mky p1 o rovnici y + 1 = 0 a p2 o rovnici x + c = 0. Sestrojme nynı́ podle axiomu 6
hranu h tak, že bod P1 bude ležet na přı́mce p1 a bod P2 bude ležet na řı́mce p2 . Potom
směrnice této hrany bude řešenı́m našı́ kubické rovnice. Toto tvrzenı́ nynı́ dokážeme.
Uvažme parabolu P1 danou ohniskem P1 a řı́dı́cı́ přı́mkou p1 a parabolu P2 s ohniskem
P2 a řı́dı́cı́ přı́mkou p2 . Potom podle předchozı́ho odstavce je hrana h společnou tečnou
parabol P1 a P2 . Zřejmě hrana h nenı́ rovnoběžná s osou y, můžeme tedy uvažovat rovnici
hrany ve tvaru
h : y = kx + q.
(3.1)
Rovnice paraboly P1 je (x − a)2 = 4y. Necht’ bod dotyku hrany h a paraboly P1
má souřadnice [x1 , y1 ]. Protože tento bod ležı́ na parabole, musı́ jeho souřadnice splňovat
15
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
rovnost
(x1 − a)2 = 4y1 .
(3.2)
Protože je hrana h tečnou paraboly P1 , má rovnici
(x1 − a) · (x − x1 ) = 2(y − y1 ).
(3.3)
Porovnánı́m koeficientů u x a u y v rovnostech 3.1 a 3.3 obdržı́me
x1 − a
2
x1 (x1 − a)
q = y1 −
.
2
k =
(3.4)
(3.5)
Dosad’me nynı́ do rovnosti 3.2 vztah 3.4. Dostaneme tak
4y1 = (x1 − a)2
2
x1 − a
= 4·
2
2
= 4k .
Vydělı́me čtyřmi a dostáváme
y1 = k 2 .
(3.6)
Dosad’mě nynı́ vztahy 3.6 a 3.4 do rovnosti 3.5 pro výpočet q
x1 (x1 − a)
2
(x
−
a + a)(x1 − a)
1
= k2 −
2
2
x1 − a
(x1 − a)
−a·
= k2 −
2
2
= k 2 − 2k 2 − a · k.
q = y1 −
Dohromady tak dostáváme, že
q = −k 2 − ak.
(3.7)
Stejným způsobem, jako jsme uvažovali u paraboly P1 budeme nynı́ uvažovat u paraboly
P2 . Ta má rovnici (y − b)2 = 4cx. Souřadnice bodu dotyku hrany h a paraboly P2 má
souřadnice [x2 , y2 ]. Tento bod musı́ splňovat rovnici paraboly
(y2 − b)2 = 4cx2 .
(3.8)
Protože je hrana h i tečnou paraboly P2 , má rovnici
(y2 − b) · (y − y2 ) = 2c(x − x2 ).
16
(3.9)
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Nynı́ opět porovnáme koeficienty u x a u y v rovnostech 3.1 a 3.9 a obdržı́me
2c
y2 − b
2cx2
.
q = y2 −
y2 − b
k =
(3.10)
(3.11)
Stejým postupem jako u paraboly P1 vyjádřı́me nynı́ q z rovnostı́ odvozených pro
parabolu P2 a dostaneme
c
q = b+ .
k
(3.12)
Porovnánı́m pravých stran u rovnostı́ 3.7 a 3.12 obdržı́me
−k 2 − ak = b +
c
k
k 3 + ak 2 + bk + c = 0
To ale znamená, že k je řešenı́m rovnice x3 + ax2 + bx + c = 0, což jsme chtěli dokázat.
Nynı́ se již můžeme pustit do řešenı́ dvou ze třı́ starověkých problémů geometrie.
3.1.4
Trisekce úhlu a zdvojenı́ krychle
Představme si následujı́cı́ úlohy. Pomocı́ pravı́tka a kružı́tka máme rozdělit libovolný úhel
na tři stejné části. Dále máme danou krychly o straně a a pomocı́ pravı́tka a kružı́tka
máme určit stranu krychle, která bude mı́t dvojnásobný objem než původnı́ krychle. Prvnı́
úloze se řı́ká trisekce úhlu, druhé zdvojenı́ krychle. Řadı́ se mezi tři starověké problémy
geometrie. Třetı́m problémem je kvadratura kruhu. Pomocı́ pravı́tka a kružı́tka máme
sestrojit čtverec, který bude mı́t stejný obsa jako zadaný kruh. Tyto úlohy majı́ původ již
ve starověkém Řecku, avšak až v 19. stoletı́ bylo dokázáno, že nejsou řešitelné. Do této doby
se matematici pokoušeli tyto úlohy vyřešit. Starověkým problémům geometrie vděčı́me za
vznik kuželoseček, Nikomedovy konchoidy, křivky kvadratrix a mnoha dalšı́ch křivek.
My si nynı́ ukážeme, jak můžeme vyřešit trisekci úhlu a kvadraturu kruhu pomocı́
origami.
Trisekce úhlu
Vyznačme si na čtvercovém papı́ře úhel θ, který budeme chtı́t rozdělit na tři stejné části
tak, že jedno rameno tohoto úhlu bude rovnoběžné se stranou čtverce. Vytvořme dvě
rovnoběžné hrany tak, že jejich vzdálenost bude stejná jako vzdálenost jedné z hran a
strany čtverce splývajı́cı́ s ramenem úhlu θ.
Označme nynı́ body A, B, C podle čtvrté části obrázku 3.4. Vytvořme hranu tak aby
bod A ležel na hraně v předchozı́m kroku vytvořené a to na té, která je bližšı́ ke straně
čtverce (splývajı́cı́ s jednı́m ramenem úhlu θ), a bod C aby ležel na druhém rameni úhlu θ.
17
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Pokud nynı́ prodloužı́me“ hranu jdoucı́ bodem B 0 na celý čtverec, bude tato hrana spolu
”
s ramenem úhlu (nesplývajı́cı́ se stranou čtverce) tvořı́t úhel, který bude mı́t třetinovou
velikost, než má úhel θ. Celá konstrukce je znázorněna na obrázku 3.4, včetně celého
roztřetěnı́.
Obrázek 3.4: Trisekce úhlu
Nynı́ bychom měli dokázat, že opravdu takto roztřetı́me libovolný úhel. Zaved’me nejprve označenı́ jako je na obrázku 3.5
Zřejmě hrany, které by měli určovat roztřetěnı́ úhlu θ, procházejı́ bodem A. Z osmé
části obrázku 3.4 plyne, že α = β. Dokažme nynı́, že trojúhelnı́ky AA0 B 0 a AB 0 C 0 jsou
shodné. Z konstrukce provedené ve třetı́ části obrázku 3.4 dostáváme, že |AB| = |BC| a
tedy i |A0 B 0 | = |B 0 C 0 |. Oba trojúhelnı́ky majı́ společnou stranu AB 0 .
18
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
A konečně, z konstrukce provedené v páté části obrázku
3.4 obdržı́me, že hrana AB 0 je kolmá na A0 C 0 . Podle věty
SU S jsou tedy trojúhelnı́ky AA0 B 0 a AB 0 C 0 shodné. Tedy
γ = β = α = 3θ , což jsme chtěli dokázat.
Nynı́ se pust’mě do řešenı́ problému zdvojenı́ krychle.
Zdvojenı́ krychle
Označme b stranu původnı́ krychle, jejiž objem chceme zdvoObrázek 3.5: Důkaz kon- jit. Potom krychle, která bude mı́t dvojnásobný objem, musı́
√
strukce trisekce úhlu
mı́t √
stranu o velikosti a = 3 2b. Tedy chceme nějakým
způsobem sestrojit velikost ab = 3 2. Využijeme u toho poznatky z odstavce o kubických
rovnicı́ch. Hledáme totiž řešenı́ rovnice x3 − 2 = 0.
Sestrojme body P1 o souřadnicı́ch [0, 1] a P2
o souřadnicı́ch [−2, 0], přı́mky p1 : y + 1 = 0 a
p2 : x − 2 = 0.
Sestrojı́me-li nynı́ hranu takovou, že bod P1 bude
ležet na přı́mce p1 a bod P2 na přı́mce p2 , potom
směrnice této hrany bude řešenı́m rovnice x3 −2 = 0.
A protože směrnice této hrany je ab , dostáváme tak,
√
že ab = 3 2.
Poznámka: Vı́ce o množině bodů, které lze zkonstruovat pomocı́ skládánı́ papı́ru se můžete dozvědět
v [1].
Nynı́ si ukážeme, jak pomocı́ origami lze dokázat
Pythagorova věta.
3.2
Obrázek 3.6: Zdvojenı́ krychle
Pythagorova věta
Pomocı́ origami můžeme dokázat i Pythagorovu větu.
Složme čtvercový papı́r dvojı́m způsobem. Nejprve podle obrázku 3.7. Čtvercový papı́r
přehněme napůl, aby vznikl trojúhelnı́k. Jeden z cı́pů přehněme libovolně tak, aby vzniklá
hrana bylo rovnoběžná s přeponou trojúhelnı́ku. Druhý cı́p přehněme kolmo k původnı́
přeponě tak podle třetı́ části obrázku 3.7. Dále vytvořme pomocnou hranu a celý papı́r
rozbalme do původnı́ho čtverce. Ten bude sestrojenými hranami rozdělený na dva menšı́
čtverce a čtyři shodné trojúhelnı́ky. Označme a, b odvěsny vzniklých trojúhelnı́ků (=vniklých čtverců).
Když nynı́ spočı́táme obsah původnı́ho čtverce, dostaneme: S = a2 + b2 + 2a · b.
Nynı́ složme ten samý čtverec podle obrázku 3.8. Tedy, složme hrany tak, abychom
dostaly na krajı́ch čtyři pravoúhlé trojúhelnı́ky o stranách a a b. Uvnitř nám potom vznikne
čtverec, který bude mı́t za stranu přeponu vzniklých trojúhelnı́ků. Tu označme c.
19
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Obrázek 3.7: Důkaz Pythagorovy věty - 1. část
Obrázek 3.8: Důkaz Pythagorovy věty - 2. část
Obsah téhož čtverce můžeme nynı́ vyjádřit ve tvaru: S = 2a · b + c2 . Porovnáme-li nynı́
obě rovnosti, dostaneme: c2 = a2 + b2 , což jsme chtěli dokázat.
Nynı́ se podı́váme na modulárnı́ origami. Z papı́ru totiž můžeme složit spoustu mnohostěnů, pravidelných i polopravidelných.
3.3
Modulárnı́ origami
Mezi modulárnı́ origami se řadı́ skládanky geometrickcýh útvarů. Někdy bývajı́ tyto skládanky nazývany geometrické origami. Může jı́t o obrazce rovinné či prostorové. Z těch
rovinných jmenujme napřı́klad pravidelné mnohoúhelnı́ky. Skládanky modulárnı́ho origami
bývajı́ složeny z několika shodných dı́lů (desı́tek až stovek) zasunutých vzájemně do sebe.
20
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Obrázek 3.9: Ukázka modulárnı́ho origami
21
Origami
3.3.1
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Platónská tělesa
Platónská tělesa jsou takové konvexnı́ mnohostěny, jejichž stěny tvořı́ pravidelné mnohoúhelnı́ky a v každém vrcholu se setkává vždy stejný počet rovin. Existuje pět platónských
těles: čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn.
Je mnoho způsobů, jak zmı́něná tělesa složit. V přı́loze si můžete složená tělesa prohlédnout a na přiloženám CD se podı́vat na návody, jak je složit. Některá tělesa jsou složena
vı́ce způsby, aby bylo vidět, jak rozmanité a krásné origami je.
3.3.2
Archimedovská tělesa
Archimédovským tělesem (nebo též polopravidelným mnohostěnem) rozumı́me konvexnı́
mnohostěn, jehož všechny stěny jsou pravidelné mnohoúhelnı́ky a navı́c platı́, že v každém
vrcholu se sbı́há stejný počet mnohoúhelnı́ků a tyto obı́hajı́“ všechny vrcholy ve stejném
”
pořadı́. Mezi polopravidelné mnohostěny navı́c neřadı́me platónská tělesa.
V přı́loze jsou složena dvě polopravidelná tělesa a to kubooktaedr, který vznikl ořezánı́m
krychle, a komolý dvacetistěn, který vznikl ořezánı́m dvacetistěnu. Komolý dvacetistěn je
poskládán ze dvou druhů skládanek. Pravidelný šestiúhelnı́k jsme složili z trojúhelnı́ku,
pravidelný pětiúhelnı́k z obdélnı́ku. Je to jediná skládanka v této práci, která nevznikla ze
čtverce.
3.3.3
Kepler - poı́nsotova tělesa
Kepler - poı́nsotovým tělesem (nebo také hvězdicovým mnohostěnem) rozumı́me těleso,
které vzniklo protaženı́m stěn platónských těles, až se protnou, splňujı́cı́ navı́c tyto podmı́nky:
1. Stěny jsou bud’ pravidelné mnohoúhelnı́ky nebo pravidelné hvězdy
2. Konvexnı́m obalem je platónské těleso.
V přı́loze se opět můžete podı́vat na jeden z hvězdicových mnohostěnů, hvezdicový
dvanáctistěn, složený ze šedesáti čtvercových dı́lů.
3.3.4
Fraktály
Obrázek 3.10: Ukázka origami fraktálů“
”
22
Origami
KAPITOLA 3. ORIGAMI V MATEMATICE
Dalšı́m přı́kladem modulárnı́ho origami jsou fraktály složené z papı́ru. Na obrázku 3.10
se můžete podı́vat na jejich ukázky. V přı́loze je potom složena Kochova vločka.
Mezi modulárnı́ origami se neředı́ pouze ty zde uvedené. Existuje spousta dalšı́ch fantastických skládanek. Na obrázku 3.9 se můžete podı́vat na jejich ukázku.
V dalšı́ kapitolé této práce se podı́váme na využitı́ origami ve vědě.
23
Origami
KAPITOLA 4. ORIGAMI VE VĚDĚ
Kapitola 4
Origami ve vědě
Nynı́ se podı́váme, kde se můžeme setkat s origami ve vědě. Asi každý z nás by věděl o
využitı́ origami v automobilovém průmyslu při skládánı́ airbagů. Podı́vejme se na dalšı́
využitı́ origami.
4.1
Složenı́ solárnı́ho panelu
V březnu roku 1995 využili japonštı́ vědci origami na přepravu
solárnı́ho panelu k napájenı́ vesmı́rného tělesa - SFU (Space
Flight Unit). Na zemi byl panel složen do malého rovnoběžnı́ku, takto byl transportován a ve vesmı́ru poté opět
rozbalen do původnı́ch rozměrů.
Autorem myšlenky složit takto solárnı́ panel byl Koryo
Miura, profesor na Tokijské univerzitě. Po něm se také tato
metoda skládánı́ nazývá Miura-ori.
Obrázek 4.1: Solárnı́ panel
Obrázek 4.2: Složenı́ solárnı́ho panelu
4.2
Optigami
V lednu roku 2007 Eric Tremblay a Joseph Ford z Kalifornské univerzity v San Diegu
vynalezli ultharin. Jedná se o origami objektiv“ s velkým rozlišenı́m. Objektiv je velice
”
tenký a sedmkrát silnějšı́ než klasický objektiv.
24
Origami
KAPITOLA 4. ORIGAMI VE VĚDĚ
Obyčejný objektiv použı́vá mnoho částı́ k ohýbánı́ a soustředěnı́ světla. Origami objektiv soustřed’uje mnoho částı́ klasického objektivu do jednoho optického systému, který ho
dělá tenšı́m.
Origami objektiv je vyroben z krystalu, který je kosočtverečný. Z tohoto důvodu přes
něho putuje světelný paprsek cik-cak. Vypadá to tedy jako by se světelný parsek skládal,
proto název optigami.
Obrázek 4.3: Optigami - skládánı́ paprsku v objektivu
4.3
Vesmı́rný teleskop
Ke studovánı́ galaxiı́ je potřeba čı́m dál tı́m většı́ teleskop. Avšak je velice problematické manipulovat ve vesmı́ru
s rozměrným telekopem. Proto byl jeden z nejznámějšı́ch
současných origamistů Robert Lang požádán Národnı́ laboratořı́ v Livermore, aby navrhl metodu složenı́ telekopu.
Roku 2002 byl takto zkonstruován prvnı́ prototyp,
třı́metrový telekop, který se složil do válce o průměru 1,2
Obrázek 4.4: Složenı́ temetrů.
leskopu
V budoucnosti však bude možné dı́ky origami složit stometrový teleskop do válce o průměrů 3 metry.
4.4
Origami v medicı́ně
25
Origami
KAPITOLA 4. ORIGAMI VE VĚDĚ
Roku 2003 vynalezli Zhong You a Kaori Kuribayashi z univerzity v Oxfordu
origami rourku, která může být využı́vána k rozšı́řenı́ ucpaných cév. V roce
2005 byla potom tato rourka zdokonalena tak, že se rozevı́rá automaticky.
Dı́ky origami je možné tuto roukru složit do miniaturnı́ch rozměrů tak, aby
ji bylo možné transportovat krvı́ k postiženému mı́stu.
V poslednı́ kapitole se podı́váme na zajı́mavosti o origami.
Obrázek 4.5:
Origami v medicı́ně
26
Origami
KAPITOLA 5. ZAJÍMAVOSTI ZE SVĚTA ORIGAMI
Kapitola 5
Zajı́mavosti ze světa origami
5.1
Origami nábytek
Pokud si skládánı́ z papı́ru oblı́bı́te, můžete si pořı́dit do vašeho obývacı́ho pokoje nábytek
ve stylu origami. Na obrázku 5.1 se můžete podı́vat na ukázku takovéhoto nábytku.
Obrázek 5.1: Nábytek ve stylu origami
5.2
Rekordy
Nejmenšı́ papı́rový jeřáb byl složen ze čtverce ostraně 0,1 mm. Složil ho pod mikroskopem
Naito Akira. Naopak njevětšı́ papı́rový jeřáb byl složen roku 1998 a je 217 stop široký.
Nejdelšı́ origami vláček měřı́ 245 metrů a má 1550 vagónů. Nejdelšı́ origami kobra měřı́
vı́ce než 150 stop.
5.3
Zajı́mavosti
27
Origami
KAPITOLA 5. ZAJÍMAVOSTI ZE SVĚTA ORIGAMI
Obrázek 5.2: Rekordnı́ origami
Skládat se dá téměř ze všeho. V Mexiku byla složena cukrovinková kabelka. K viděnı́ je také smažený jeřáb“, neboli
”
jeřáb složený z plátku masa, obalený a usmažený.
Roku 2005 byla vydána knı́žka s názvem Baby-gami. Nejedná se ale o skládánı́ dětı́, ale o to, jak zabalit malé děti.
Využı́vajı́ se k tomu také některé skládanky origami.
Skládat se dá také z vizitek. Jeannine Mosley složila Mengerovu houbu a použila 66048 vizitek. Od roku 2006 se ji snažı́
překonat Nicholas Rougeux, který zatı́m použil 1 200000 viObrázek
zitek, ale houba ještě nenı́ hotová.
5.3:
houba z vizitek
28
Mengerova
Origami
SEZNAM OBRÁZKŮ
Seznam obrázků
1.1
1.2
1.3
Papı́rový jeřáb (Orizuru) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Památnı́k Sadako Sasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Papı́rovı́ jeřábi u pomnı́ku Sadako Sasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.4
2.3
2.5
2.6
2.7
Noshi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tamatebako . . . . . . . . . . . . . . .
Model letadla podle Leonarda da Vinci
Ukázka z Hiden Senbazuru Orikata . .
Pajarita . . . . . . . . . . . . . . . .
Akira Yoshizawa . . . . . . . . . . . .
Skládanky, které složil Akira Yoshizawa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
8
9
10
11
11
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
Humiaki Huzita . . . . . . . . .
Huzitovy axiomy origami . . . . .
Tečna paraboly . . . . . . . . . .
Trisekce úhlu . . . . . . . . . . .
Důkaz konstrukce trisekce úhlu . .
Zdvojenı́ krychle . . . . . . . . .
Důkaz Pythagorovy věty - 1. část
Důkaz Pythagorovy věty - 2. část
Ukázka modulárnı́ho origami . . .
Ukázka origami fraktálů“ . . . .
”
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
14
15
18
19
19
20
20
21
22
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Solárnı́ panel . . . . . . . . . . . . . .
Složenı́ solárnı́ho panelu . . . . . . . .
Optigami - skládánı́ paprsku v objektivu
Složenı́ teleskopu . . . . . . . . . . . .
Origami v medicı́ně . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
25
25
26
5.1
5.2
5.3
Nábytek ve stylu origami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekordnı́ origami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengerova houba z vizitek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
28
28
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
4
4
5
Origami
LITERATURA
Literatura
Knižnı́ zdroje
[1] R. C. Alperin: A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, 2000
[2] L. Lomtatidze: Historický vývoj pojmu křivka, CERM, 2006
[3] J. Jánoš: Origami - japonské skládanky z papı́ru, Albatros, 1991
[4] T. Kawai: Origami,1971
[5] S. Smithová: Origami pro radost, Ikar, 2007
[6] V. Svobodová: Historie pravidelných mnohostěnů, 2006
Internetové zdroje
[7] http://new.origami.cz
[8] http://www.origami.cz
[9] http://www.origami-resource-center.com/
[10] http://origami.ousaan.com/
[11] http://en.wikipedia.org
[12] http://homepage.ntlworld.com/peterjohn.rootham-smith/noshi.jpg
[13] http://origamimais.blogs.sapo.pt/
[14] http://www.mat.unb.br/~lucero/origami/
[15] http://www.langorigami.com
[16] http://www.youtube.com
[17] http://www.origaminut.com
[18] http://hektor.umcs.lublin.pl/~mikosmul/index.html
30
Origami
Přı́lohy
Seznam přı́loh
Modulárnı́ origami
1. Čtyřstěn
2. Krychle
3. Osmistěn
4. Osmistěn - ( jehlanový“)
”
5. Dvanáctistěn
6. Dvacetistěn
7. Dvacetistěn - ( drátěný“)
”
8. Dvacetistěn - ( jehlanový“)
”
9. Kubooktaedr
10. Hvězdicový dvanáctistěn
11. Kochova vločka (2 části)
Dalšı́ skládanky
1. Jeřáb (orizuru)
2. Pajarita
3. Žába
4. Vodnı́ bomba
PŘÍLOHY
Origami
Čtyřstěn
Počet dı́lů: 2
Krychle
Počet dı́lů: 6
PŘÍLOHY
Origami
Osmistěn
Počet dı́lů: 4
Osmistěn - jehlanový“
”
Počet dı́lů: 12
PŘÍLOHY
Origami
Dvanáctistěn
Počet dı́lů: 60
Dvacetistěn
Počet dı́lů: 10
PŘÍLOHY
Origami
Dvacetistěn - drátěný“
”
Počet dı́lů: 30
Dvacetistěn - jehlanový“
”
Počet dı́lů: 30
PŘÍLOHY
Origami
Kubooktaedr
Počet dı́lů: 12
Hvězdicový dvanáctistěn
Počet dı́lů: 30
PŘÍLOHY
Origami
Komolý dvacetistěn
Počet dı́lů: 32 (20+12)
Kochova vločka
Počet dı́lů (prvnı́ krok): 12
Počet dı́lů (druhý krok): 72
PŘÍLOHY
Origami
Jeřab (orizuru)
Pajarita
PŘÍLOHY
Origami
Žába
Vodnı́ bomba
PŘÍLOHY