15 – State feedback

15 – State feedback
Martin Hromcik
Automatic control 2012
16‐III‐12
State feedback
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
system
u = −Kx + r
= − [ k1 k2
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
K kn ] ⎢ 2 ⎥ + r
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
r
++
u
x& = Ax + Bu
x
y
C
−K
controller
‐ static FB
‐ “full‐information” fedback
‐ fundamental goal: dynamics modification (artificial damping, pole‐
placement)
Michael Šebek
ARI‐15‐2011
2
State feedback
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
x& = Ax + Bu
u = −Kx + r
x& = Ax + Bu = Ax + B ( −Kx + r ) = ( A − BK ) x + Br
x& = ( A − BK ) x + Br
x& = ( A - BK ) x + Br
x& = Ax + Bu
y = Cx
Anew
Michael Šebek
⎡ a11 a12
⎢a
a22
= A − BK = ⎢ 21
⎢ M
M
⎢
⎣ an1 an 2
K a1n ⎤ ⎡ b1 ⎤
K a2 n ⎥⎥ ⎢⎢b2 ⎥⎥
−
k1 k2 K kn ]
[
O M ⎥ ⎢M⎥
⎥ ⎢ ⎥
K ann ⎦ ⎣bn ⎦
ARI‐15‐2011
3
Pole-placement: system in CTRL canonical form
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
det ( sI − Anew ) = det ( sI − ( A − BK ) )
⎡−an−1 −an−2
⎢ 1
0
⎢
A=⎢ M
M
⎢
0
⎢ 0
⎢⎣ 0
0
L −a1 −a0 ⎤
0 ⎥⎥
L 0
O M
M ⎥,
⎥
0 ⎥
L 0
0 ⎥⎦
L 1
⎡1 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
B = ⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢⎣0⎥⎦
det ( sI − A ) = s n + an −1s n −1 + L + a1s + an
Michael Šebek
ARI‐15‐2011
4
Pole-placement: system in CTRL canonical form
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
A new = A − BK =
⎡ −an −1
⎢ 1
⎢
=⎢ M
⎢
⎢ 0
⎣⎢ 0
•
−an − 2 L −a1
0
L 0
M
O M
0
L
0
0
L
1
−a0 ⎤ ⎡1 ⎤ [ k1 K kn ]
0 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥
M ⎥ − ⎢M ⎥
⎥ ⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎡−(a + k ) −(a + k )
n−1
1
n −2
2
⎢
⎥
⎢
⎥
0 ⎦ ⎣0⎦
1
0
⎢
=⎢
M
M
⎢
0
0
⎢
⎢⎣
0
0
L −(a1 + kn−1 ) −(a0 + kn )⎤
⎥
L
0
0
⎥
⎥
O
M
M
⎥
L
0
0
⎥
⎥⎦
L
1
0
overall characterisitic polynomial:
pnew (s) = det ( sI − Anew ) = sn + ( an−1 + k1 ) sn−1 +L+ ( a1 + kn−1 ) s + ( a0 + kn )
•
select K so that
p( s ) = s n + pn −1s n −1 + L + p1s + p0
Michael Šebek
ARI‐15‐2011
k1 = pn −1 − an −1
M
kn −1 = p1 − a1
kn = p0 − a0
5
Pole-placement: system in general form
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
General case: transformation into CTRL canonical form.
x = Tx con
A = TA con T
[
]
AB L A N −1 B ×
× Bcon
B = TB con
A con = T−1AT,
[
T= B
−1
Acon Bcon L Acon
N −1
Bcon
]
−1
B con = T−1B
K con
K = K con T−1
x& con = ( Acon − Bcon Kcon ) xcon + Bcon r
x& = T ( A con − B con K con ) T −1x + TB con r
= ( A − BK con T −1 ) x + Br
= ( A − BK ) x + Br
Michael Šebek
ARI‐15‐2011
6
Ackermann formula
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
pCL (s) = sn + pn−1sn−1 + L + p1s + p0
pCL ( A) = A n + pn −1A n −1 + L + p1A + p0 I n
C = ⎡⎣B AB K A n−1B ⎤⎦
K = [ 0 K 0 1]C −1 pCL (A)
Michael Šebek
ARI‐15‐2011
7
Zeros
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
⎡ sI − A B ⎤
det ⎢
=0
⎥
0⎦
⎣ −C
⎡ sI − ( A − BK ) B ⎤
det ⎢
=0
⎥
0⎦
−C
⎣
⎡sI − A B⎤
⎡sI − A B⎤ ⎡ I 0⎤
⎡sI − A + BK B⎤
⎡sI − (A − BK) B⎤
det ⎢
=
det
=
det
=
det
⎥
⎢ −C 0 ⎥ ⎢K I ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
C
0
−
C
0
−
C
0
⎣
⎦
⎣
⎦⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Michael Šebek
ARI‐15‐2011
8
State feedback and non-robust reference tracking
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
(
P(0) = C(sI − A)−1 B + D
)
s =0
(
= −CA−1B + D
T (0) = C(sI − (A − BK))−1 B + D
)
s =0
= −C(A − BK)−1 B + D
r
M = 1 T (0)
M
++
u
x& = Fx + Gu
y
x
H
−K
Tcelk (0) = M (0)T (0) = T (0) T (0) = 1
Michael Šebek
ARI‐15‐2011
9
State feedback and robust reference tracking (integral control)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
x& = Ax + Bu
y = Cx
x&I = −Cx + r
r
−
xI
∫
−KI +
+
u
x& = Ax + Bu
x
y
C
−K
⎡ x& ⎤ ⎡ A 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡B ⎤
⎡0 ⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢ −C 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 0 ⎥ u + ⎢1 ⎥ r
⎦⎣ I⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ I⎦ ⎣
⎡x⎤
y = [C 0] ⎢ ⎥
⎣ xI ⎦
Michael Šebek
x&I
ARI‐15‐2011
r
x&I
−
∫
xI
KI
u
++
x& = Ax + Bu
x
y
C
−K
10